精品解析：江苏省扬州市江都区邵樊片2025-2026学年九年级上学期第二次月考数学试卷

九年级数学试卷 （试卷满分：150分 考试时间：120分钟） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卷相应位置上） 1. 下列函数中，是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列说法正确的是（ ） A. 相等的圆心角所对的弧相等 B. 半圆是弧，但弧不一定是半圆 C. 长度相等的两条弧是等弧 D. 圆的切线垂直于半径 3. 若是关于x的一元二次方程的解，则的值为（ ） A. 3 B. C. 9 D. 4. 如图，圆锥的底面圆半径，高，则圆锥的侧面积是（ ） A. B. C. D. 5. 点在二次函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，为的外接圆，且是的直径，点是上的一点，连接，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④有两个不相等的实数根．其中正确的结论有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 8. 二次函数（为常数），当时，的最小值为，则常数的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共10题，每题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卷相应位置上） 9. 一组数据4，5，，7的平均数是6，则__________． 10. 设，是方程的两个根，则________． 11. 如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同．假设飞镖击中每一块小正方形是等可能的（击中小正方形的边界线或没有击中游戏板，则重投1次），任意投掷飞镖1次，飞镖击中阴影区域的概率是_______． 12. 如图是一个半圆形拱桥的截面示意图，圆心为点，直径是河底线，弦是水位线，已知拱桥的跨度，若测得某时水面宽度，则水深为_____． 13. 如图，是的直径，若，，则的长等于______． 14. 将二次函数的图象先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的二次函数的表达式是______． 15. 如图，抛物线与x轴的一个交点为，则一元二次方程的实数根是 _______________ ． 16. 如图，某同学在学校运动会中投掷的铅球在行进过程中高度与水平距离之间的关系为，由此可知该同学此次投掷铅球的成绩是__________m． 17. 如图，的半径为，正六边形内接于，则图中阴影部分面积为_____（结果保留）． 18. 如图，在矩形中，，，点是以点为圆心，半径为2的圆上一个动点，将点绕点顺时针旋转得到点，点是边上一个动点，连接，，则线段的最小值为_____． 三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 解方程： （1）； （2）． 20. 某校八（2）班组织了一次经典朗读比赛，甲、乙两队各10人的比赛成绩如下表（单位：分）： 甲 7 8 9 7 10 10 9 10 10 10 乙 10 8 7 9 8 10 10 9 10 9 （1）甲队成绩的中位数是_______分，乙队成绩的众数是________分． （2）计算乙队的平均成绩和方差． （3）已知甲队成绩的方差是1.4，则成绩较为整齐的是_______队． 21. 如图，在正方形网格图中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过网格点、、，点为坐标原点．（网格中小正方形的边长为1） （1）该圆弧所在圆的圆心的坐标为______； （2）的半径为______；（结果保留根号） （3）点在______；（填“上”、“内”或“外”） （4）扇形刚好是某圆锥的侧面展开图，该圆锥底面半径为____． 22. 小滨的父母决定周末带她去旅游，初步商量有意向的四个景点分别为：A．明月山，B．庐山，C．婺源，D．三清山．由于受到时间限制，只能选两个景点，于是小滨的父母决定通过抽签选择，用四张小纸条分别写上四个景点做成四个签（外表无任何不同），让小滨随机先抽一次（不放回），再抽一次，每次抽一个签，每个签抽到的机会相等． （1）小滨最希望去婺源，则小滨第一次恰好抽到婺源的概率是 ； （2）除婺源外，小滨还希望去明月山，求小滨抽到婺源、明月山两个景点中至少一个的概率是多少．（通过“画树状图”或“列表”进行分析） 23. 已知关于x的一元二次方程（为常数） （1）求证：无论为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程的两个实数根为，且满足，求的值． 24. 如图，在中，，点D在边上，以为直径作交于点E，连接，且． （1）求证：是的切线； （2）若，求的半径． 25. 已知抛物线与轴的交点为、，且经过点． （1）该抛物线的解析式为 ； （2）画出这个函数的大致图象； 借助图象解决下列问题： （3）当时，的取值范围 ； （4）当的取值范围是 时，； （5）若方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为 ． 26. （1）如图，在中，，求作，使它经过点，且与射线、射线相切．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）所作的图中，若，，求的半径 27. 阳光玫瑰葡萄果肉鲜脆多汁，口感极佳，是一种比较畅销的水果，某水果店以元千克的价格购进某种阳光玫瑰葡萄，规定销售单价不低于成本价，且不高于元千克，试销期间发现，该种阳光玫瑰葡萄每周销售量（千克）与销售单价（元千克）满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 销售单价（元千克） 销售量（千克） （1）求与之间的函数关系式； （2）当销售单价定为多少时，水果店每周销售阳光玫瑰葡萄获利元？ （3）当销售单价定为多少时，水果店每周销售阳光玫瑰葡萄获得的利润（元）最大？最大利润是多少元？ 28. 二次函数的图象与x轴交于和两点，交y轴于点． （1）求二次函数表达式； （2）如图1，点C、D关于二次函数图象的对称轴对称，作直线． ①若将直线沿y轴向上平移个单位长度，当它与抛物线有交点时，求h的取值范围； ②如图2，若抛物线上有一点Q，满足，求Q点坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学试卷 （试卷满分：150分 考试时间：120分钟） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卷相应位置上） 1. 下列函数中，是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键． 根据二次函数的定义，形如的函数是二次函数，且必须是整式，逐项判断即可． 【详解】解：二次函数需满足整式且最高次项为2次，且， 选项A：，最高次为1次，故不符合题意； 选项B：，含有分式，不是整式，故不符合题意； 选项C：，是整式且最高次项为2次，故符合题意； 选项D：，含有分式，不是整式，故不符合题意， 故选：C． 2. 下列说法正确的是（ ） A. 相等的圆心角所对的弧相等 B. 半圆是弧，但弧不一定是半圆 C. 长度相等的两条弧是等弧 D. 圆的切线垂直于半径 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查圆的基本概念，熟练掌握有关概念是解题的关键． 根据圆的基本概念逐项判断即可． 【详解】解：选项A：相等的圆心角所对的弧相等，需在同圆或等圆中才成立，否则不一定成立，故A错误； 选项B：直径的两个端点把圆分成的两条弧，每一条弧都叫做半圆，是弧的一种；但弧可以是劣弧、优弧或半圆，故弧不一定是半圆，B正确； 选项C：等弧指在同圆或等圆中能完全重合的弧，长度相等但圆不同则不是等弧，故C错误； 选项D：圆的切线垂直于过切点的半径，但选项未指定“过切点的”，因此说法不严谨，故D错误； 故选：B． 3. 若是关于x的一元二次方程的解，则的值为（ ） A. 3 B. C. 9 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解． 将代入方程，得到关于a和b的等式，简化后直接求解的值． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， 即， 两边同时除以3：， ∴． 故选：B． 4. 如图，圆锥的底面圆半径，高，则圆锥的侧面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆锥侧面积的计算及勾股定理的应用，解题的关键是先利用勾股定理求出圆锥的母线长，再代入侧面积公式计算． 由圆锥的底面半径和高，利用勾股定理求出母线长；再根据圆锥侧面积公式（乘以底面半径乘以母线长）计算侧面积． 【详解】解：圆锥的母线长， 圆锥的侧面积为． 故选：A． 5. 点在二次函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的对称性，增减性，熟练掌握性质是解题的关键．根据二次函数的增减性，计算点与对称轴的距离，解答即可 【详解】解：根据题意，二次函数为，开口向下，对称轴为， 故离对称轴越远处的点的函数值越小， 又，，， 距离由近到远依次为、、， 故， 故选：D． 6. 如图，为的外接圆，且是的直径，点是上的一点，连接，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，圆内接四边形的性质，由圆周角定理得，即得，再根据圆内接四边形的性质即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵为的外接圆， ∴， ∴， 故选：． 7. 二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④有两个不相等的实数根．其中正确的结论有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，充分利用数形结合思想是解本题的关键．根据题意，结合二次函数的图象与性质，解答即可得出答案． 【详解】解：由图象可知，，对称轴为直线， ，即， ，故①正确； 由对称轴可知， ，故②错误； 由图象可知，抛物线与轴有两个交点， ，故③正确； 由图象可知时，此时只有一个解， 方程有两个相同的实数根，故④错误， 综上所述，正确的结论有个， 故选：B． 8. 二次函数（为常数），当时，的最小值为，则常数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数的最值问题．先求得抛物线对称轴为直线，分、和，三种情况进行分析，求得m的值即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴抛物线的开口向上， 当时，函数值y的最小值为， ①当时，则最小值在处， 此时， 解得，不符合题意，舍去； ②当，则最小值在处， 此时， 解得，不符合题意，舍去； ③当，则最小值在处， 此时， 解得或（不符合题意，舍去）； ∴ 常数m的值为2． 故选：C． 二、填空题（本大题共10题，每题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卷相应位置上） 9. 一组数据4，5，，7的平均数是6，则__________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题主要考查了平均数公式，解一元一次方程．根据平均数公式即可列出关于x的方程，再解出即可． 【详解】解：由题意得， 解得，， 故答案为：8． 10. 设，是方程的两个根，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系，直接计算两根之和与两根之积，再代入式子求值． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴，， ∴． 故答案为：． 11. 如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同．假设飞镖击中每一块小正方形是等可能的（击中小正方形的边界线或没有击中游戏板，则重投1次），任意投掷飞镖1次，飞镖击中阴影区域的概率是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了几何概率，掌握击中黑色小正方形的概率等于黑色小正方形与正方形总面积之比是解题的关键． 直接用涂有黑色的小正方形个数除以小正方形的总个数即可解答． 【详解】解：∵大正方形等分为25个小正方形，其中涂有黑色的小正方形有9个，且每个小正方形被击中的概率相同， ∴任意投掷飞镖1次，击中黑色区域的概率是． 故答案为：． 12. 如图是一个半圆形拱桥的截面示意图，圆心为点，直径是河底线，弦是水位线，已知拱桥的跨度，若测得某时水面宽度，则水深为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、垂径定理，连接，由题意可得，，由垂径定理可得，再由勾股定理计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图所示，连接， 由题意得，，， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴水深为， 故答案为：． 13. 如图，是的直径，若，，则的长等于______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，含角的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．根据直径所对的圆周角是直角，即可求得，由同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，求得的度数，继而求得的度数，最后由含角的直角三角形的性质与勾股定理，可求得、的长． 【详解】解：是的直径， ， ， ， ， ， ． 故答案为： ． 14. 将二次函数的图象先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的二次函数的表达式是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移；直接利用二次函数的平移规律：左加右减，上加下减即可解答． 【详解】将原函数的图象向右平移1个单位长度， 将替换为，得， 化简得； 再向上平移2个单位长度，将替换为， 即． 故答案为． 15. 如图，抛物线与x轴的一个交点为，则一元二次方程的实数根是 _______________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质． 先求抛物线的对称轴，再利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为，然后根据抛物线与x轴的交点问题求解． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，抛物线与x轴的一个交点坐标为， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为， ∴一元二次方程的实数根为． 故答案为：． 16. 如图，某同学在学校运动会中投掷的铅球在行进过程中高度与水平距离之间的关系为，由此可知该同学此次投掷铅球的成绩是__________m． 【答案】7 【解析】 【分析】本题是二次函数的实际应用题．理解当时，x的正值代表的是铅球的落脚点离原点的距离是解题关键．要求铅球推出的距离，实际上是求铅球的落脚点与坐标原点的距离，故可直接令，求出x的值，则x的正值即为所求． 【详解】解：在函数式， 令，则， 解得：（舍）， ∴铅球推出的距离是． 故答案为：7． 17. 如图，的半径为，正六边形内接于，则图中阴影部分面积为_____（结果保留）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正多边形和圆的综合，扇形面积等知识点，连接，由题意得：，推出是等边三角形，，，进而得，，证，推出即可求解； 【详解】解：连接，交于，如图所示： 由题意得：， ∴是等边三角形， ∴，， ∴，即平分； ∴，， ∵， ∴； ∴； ∴， 故答案为： 18. 如图，在矩形中，，，点是以点为圆心，半径为2的圆上一个动点，将点绕点顺时针旋转得到点，点是边上一个动点，连接，，则线段的最小值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质、旋转的性质、轴对称的性质、将军饮马问题、勾股定理和隐形圆的动点问题，正确找到动点的轨迹是解题的关键．先根据旋转的性质，找到动点 的轨迹是以点F为圆心，半径为2的圆，作点关于的对称点，连接，此时线段的值最小，即的长，最后根据勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，作点关于的对称点， 点是以点为圆心，半径为2的圆上一个动点，将点绕点顺时针旋转得到点， 点Q的轨迹是以点F为圆心半径为2的圆， 连接交于点E，交于点，此时线段的值最小，即的长， 矩形，，， ，， 点C关于的对称点， ， 点绕点顺时针旋转得到点，圆的半径为2， 的半径为2，即，， ， 在中，， ， 则线段的最小值为8． 故答案为：． 三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，选择合适的方法进行计算是解此题的关键． （1）利用直接开平方法解一元二次方程即可； （2）利用配方法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ，； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴，即， ∴， ，． 20. 某校八（2）班组织了一次经典朗读比赛，甲、乙两队各10人的比赛成绩如下表（单位：分）： 甲 7 8 9 7 10 10 9 10 10 10 乙 10 8 7 9 8 10 10 9 10 9 （1）甲队成绩的中位数是_______分，乙队成绩的众数是________分． （2）计算乙队的平均成绩和方差． （3）已知甲队成绩的方差是1.4，则成绩较为整齐的是_______队． 【答案】（1）9.5；10 （2）分， （3）乙 【解析】 【分析】本题考查求平均数，中位数，众数和方差，熟练掌握相关数据的计算方法，是解题的关键. （1）根据中位数和众数的确定方法，进行求解即可； （2）根据平均数和方差的计算方法，进行计算即可； （3）根据方差进行判断即可． 【小问1详解】 解：将甲队数据排序后，位于中间的2个数据是9和10， ∴中位数为（分）； 乙队数据中出现次数最多的是10，故众数为10分； 故答案为：9.5；10 【小问2详解】 （分）； ； 【小问3详解】 ∵，甲队成绩的方差是1.4，； 故成绩较为整齐的是乙队； 故答案为：乙． 21. 如图，在正方形网格图中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过网格点、、，点为坐标原点．（网格中小正方形的边长为1） （1）该圆弧所在圆的圆心的坐标为______； （2）的半径为______；（结果保留根号） （3）点在______；（填“上”、“内”或“外”） （4）扇形刚好是某圆锥的侧面展开图，该圆锥底面半径为____． 【答案】（1） （2） （3）外 （4） 【解析】 【分析】（1）可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心，根据位置写出圆心坐标即可； （2）利用勾股定理求出的长即可得到答案； （3）利用勾股定理求出点M到圆心的距离即可判断点和圆的位置关系； （4）利用勾股定理和勾股定理的逆定理证明是直角三角形，圆锥的侧面展开图的扇形圆心角，再根据圆锥底面底面周长等于侧面展开图扇形弧长即可求出半径． 【小问1详解】 解：作弦和的垂直平分线，交点即为圆心． 如图所示：， 【小问2详解】 解：①由题意得，， ∵， ∴， ∴的半径为， 故答案为：； 【小问3详解】 解：∵，， ∴， ∴在外， 故答案为：外； 【小问4详解】 解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，即， 设圆锥底面的半径为，可得： ， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了确定三角形外接圆圆心的位置，坐标与图形，勾股定理和勾股定理的逆定理，点和圆的位置关系，准确确定圆心是解答此题的关键． 22. 小滨的父母决定周末带她去旅游，初步商量有意向的四个景点分别为：A．明月山，B．庐山，C．婺源，D．三清山．由于受到时间限制，只能选两个景点，于是小滨的父母决定通过抽签选择，用四张小纸条分别写上四个景点做成四个签（外表无任何不同），让小滨随机先抽一次（不放回），再抽一次，每次抽一个签，每个签抽到的机会相等． （1）小滨最希望去婺源，则小滨第一次恰好抽到婺源的概率是 ； （2）除婺源外，小滨还希望去明月山，求小滨抽到婺源、明月山两个景点中至少一个的概率是多少．（通过“画树状图”或“列表”进行分析） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查利用列表法或树状图法求概率及概率公式，熟练掌握运用列表法或树状图法是解题关键． （1）根据概率公式求解即可； （2）由列表法或树状图法得出所有结果及满足条件的结果，然后由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：小滨从中抽签，共有4种等可能结果，其中第一次恰好抽到婺源的有1种结果，概率． 故答案为：． 【小问2详解】 解：画树状图得： ∵共有12种等可能的结果，抽到婺源、明月山两个景点中至少一个的情况数有10种， ∴抽到婺源、明月山两个景点中至少一个的概率． 23. 已知关于x的一元二次方程（为常数） （1）求证：无论为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程的两个实数根为，且满足，求的值． 【答案】（1） 证明：，，， ， ， ， 无论m为何值，方程总有两个不相等的实数根． （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的判别式与根与系数的关系，熟练掌握根的判别式判断根的情况、利用根与系数的关系转化根的关系是解题的关键． （1）利用一元二次方程根的判别式公式，计算并分析其取值，从而证明方程根的情况； （2）结合根与系数的关系表示出根的和与积，将已知条件展开后代入，通过解方程求出m的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由，得，， ， ， ， 解得：，． 24. 如图，在中，，点D在边上，以为直径作交于点E，连接，且． （1）求证：是的切线； （2）若，求的半径． 【答案】（1） 连接， ∵中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是的切线； （2）3 【解析】 【分析】（1）连接，根据直角三角形性质得到，根据等腰三角形性质得到， ，得到，得到，即得是的切线； （2）连接，根据直径性质得到，得到，得到，结合，得到，得到，根据，，得到，即得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆与三角形综合．熟练掌握直角三角形角的性质，圆的切线判定和性质，圆周角定理推论，余角性质，相似三角形的判定和性质，是解决问题的关键． 25. 已知抛物线与轴的交点为、，且经过点． （1）该抛物线的解析式为 ； （2）画出这个函数的大致图象； 借助图象解决下列问题： （3）当时，的取值范围 ； （4）当的取值范围是 时，； （5）若方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为 ． 【答案】（1）； （2）描点，画出函数图像如下： （3）； （4）或； （5） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握相关知识． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据函数解析式画出图象即可； （3）结合函数图象分析即可求解； （4）结合函数图象分析即可求解； （5）根据一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】解：（1）将、，代入，得： ， 解得：， 该抛物线的解析式为； （2）列表： x … 1 2 … … 5 0 0 5 … （3）该抛物线的解析式为， 顶点坐标为，抛物线的开口向上，当时，函数有最小值为， 当时，， 当时，的取值范围是； （4）由图可知，当的取值范围是或时，； （5）方程有两个不相等的实数根，即有两个不相等的实数根， ， 解得：． 26. （1）如图，在中，，求作，使它经过点，且与射线、射线相切．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）所作的图中，若，，求的半径 【答案】 （1）即为所求， （2） 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，切线的判定与性质，勾股定理解三角形，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，解决本题的关键是会作角平分线，并找到圆心，熟练掌握利用勾股定理建立方程求解半径． （1）先作的角平分线，与确定圆心，再根据切线的性质即可作出圆． （2）先证明与全等，即可得，再证明四边形为矩形，利用勾股定理求解半径即可． 【详解】（1）解：以点A为圆心，任意长度为半径画弧，分别交与于点H和点I， 再分别以点H和点I为圆心，以大于长度一半的相同长度为半径画弧，两弧相交于点P，连接， 则为的角平分线， 过点B作交于点O， 以点O为圆心，以为半径作， 过点O作交的延长线于点E，作交于点F， ∵为的半径，且， ∴与射线相切， ∵点O在的平分线上，，， ∴， ∴与射线相切， ∴经过点，且与射线、射线相切． （2）如图， ∵在中，，，， ∴， 设的半径为r，即， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， 则， 在中，， 即， 则有， 解得， 即的半径为． 27. 阳光玫瑰葡萄果肉鲜脆多汁，口感极佳，是一种比较畅销的水果，某水果店以元千克的价格购进某种阳光玫瑰葡萄，规定销售单价不低于成本价，且不高于元千克，试销期间发现，该种阳光玫瑰葡萄每周销售量（千克）与销售单价（元千克）满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 销售单价（元千克） 销售量（千克） （1）求与之间的函数关系式； （2）当销售单价定为多少时，水果店每周销售阳光玫瑰葡萄获利元？ （3）当销售单价定为多少时，水果店每周销售阳光玫瑰葡萄获得的利润（元）最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）； （2）当销售单价定为元时，水果店每周销售阳光玫瑰葡萄获利元； （3）当销售单价定为元时，水果店每周销售阳光玫瑰葡萄获得的利润最大，最大利润是元． 【解析】 【分析】（）设与之间的函数关系式为，将，和，分别代入即可求解； （）根据题意得， 然后解方程并检验即可； （）由题意得， 根据二次函数的性质即可求解； 本题考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用，二次函数的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． 【小问1详解】 解：设与之间的函数关系式为， 将，和，分别代入， 得， 解得， ∴与之间的函数关系式为； 【小问2详解】 解：根据题意得， 解得，（舍）， 答：当销售单价定为元时，水果店每周销售阳光玫瑰葡萄获利元； 【小问3详解】 解：由题意得， ∴， ∵， ∴当时，随的增大而增大， ∵， ∴当时，最大为， 答：当销售单价定为元时，水果店每周销售阳光玫瑰葡萄获得的利润最大，最大利润是元． 28. 二次函数的图象与x轴交于和两点，交y轴于点． （1）求二次函数表达式； （2）如图1，点C、D关于二次函数图象的对称轴对称，作直线． ①若将直线沿y轴向上平移个单位长度，当它与抛物线有交点时，求h的取值范围； ②如图2，若抛物线上有一点Q，满足，求Q点坐标． 【答案】（1） （2）①；②或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的解析式即可； （2）①先求出抛物线的对称轴，根据对称轴求出点坐标，然后利用待定系数法求出原直线的解析式，平移后得出新解析式，联立解析式利用根的判别式进行求解即可； ②连接，作，连接交抛物线于点，过点作交的延长线于点，过点作交的延长线于点，则，证明，得出对应边相等，求出，利用待定系数法求出直线的解析式，然后联立解析式求出交点坐标，同理利用对称性求出，求出点的另一坐标． 【小问1详解】 解：由条件可设二次函数的解析式为， 将代入二次函数解析式可得：， 解得：， ∴； ∴； 【小问2详解】 解：①抛物线的对称轴为直线，点， ∴， 假设原直线的解析式为， 将和代入得， 解得， ∴：， 上移h个长度单位， ：， ． 有交点， ， ， ； ②，，， ， ， ． 如图，连接，作，连接交抛物线于点，过点作交的延长线于点，过点作交的延长线于点，则， ∴， 又∵， ∴， ∴， ， 假设直线的解析式为， 将和代入解析式得， ， 解得， ， ， ，， ； 同理对称可知， 同上可求出直线解析式，联立直线解析式和抛物线解析式，求出； 综上，或． 【点睛】本题主要考查了二次函数和一次函数的相结合，二次函数的图象和性质，函数图象交点和一元二次方程的关系，全等三角形的判定和性质，求交点坐标，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $