精品解析：天津市新华中学2025-2026学年高二上学期11月月考数学试卷

新华中学2024级高二年级第一学期第二次阶段性练习反馈 数学学科 本试卷分为第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，用时120分钟. 将自己的姓名､准考号填写在答题卡上.答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效. 第I卷 注意事项：1.每题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 2.本卷共12题，每题5分，共60分.在每题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的. 1. 记为等差数列的前n项和.若则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由等差数列前n项和公式结合题意列出关于首项和公差d的方程求出首项和公差d，再由等差数列前n项和公式即可计算求解. 【详解】设等差数列的公差为d，则由题可得 ， 所以. 故选：B. 2. 已知双曲线，顶点到渐近线的距离为，则离心率（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】由点到直线的距离公式得出，根据双曲线离心率的公式即可求解. 【详解】双曲线的顶点到渐近线的距离为， 即，又，则，即， 则离心率. 故选：A. 3. 若双曲线的虚轴长为，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件求出，再求渐近线方程. 【详解】由题意可得，，得， 则该双曲线的渐近线方程为. 故选：B 4. 已知双曲线：的两条渐近线的倾斜角均小于，则的焦距的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线渐近线方程，结合直线斜率与倾斜角的关系进行求解即可. 【详解】由双曲线可知，焦距为， 该双曲线的渐近线方程为， 因为， 所以直线的斜率，所以倾斜角为锐角，符合题意； 直线的斜率为，设直线的倾斜角为， 所以， 因为， 所以由题意可知， 所以、 ， 故选：A 5. 已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线准线与一条渐近线交于点，则双曲线的方程为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，求得，，将代入渐近线方程，得到，联立方程即可求解. 【详解】因为抛物线的焦点为，双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合， 所以双曲线的右焦点为，即， 又因为抛物线的准线方程为，抛物线准线与一条渐近线交于点， 则， 因为点在第三象限，则点在渐近线上，代入得， 则，解得， 所以双曲线的方程为. 故选：D. 6. 已知b是的等差中项，直线与圆交于两点，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合等差数列性质将代换，求出直线恒过的定点，采用数形结合法即可求解. 【详解】因为成等差数列，所以，，代入直线方程得 ，即，令得， 故直线恒过，设，圆化为标准方程得：， 设圆心为，画出直线与圆的图形，由图可知，当时，最小， ，此时. 故选：C 7. 等差数列中，，则使前项和成立的最大自然数为（ ） A. 4052 B. 4051 C. 4050 D. 4049 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的性质和前项和公式进行计算判断即可. 【详解】因为等差数列中，， 则. 故，. 故使前项和成立的最大自然数. 故选：C. 8. 已知函数，数列满足，则“为递增数列”是“”的（ ）条件． A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分必要 D. 既不充分又不必要 【答案】B 【解析】 【分析】由为递增数列，注意n是正整数的条件，可得不等式组，解不等式组即可判断. 【详解】由“为递增数列”可以得到，解得， 所以“为递增数列”是“”的必要不充分条件， 故选：B． 9. 已知数列满足，，则的最小值为（ ） A. B. C. 7 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题中等式变形得出，由累加法求出数列的通项公式，利用对勾函数的单调性可求出的最小值. 【详解】因为数列满足，，即， 当时，则有， 所以，，，， 上述等式全部相加得， 所以， 也满足，故对任意的，， 所以， 由对勾函数的单调性可知，函数在上单调递减，在上单调递增， 又因为，因为，，故， 所以的最小值为. 故选：B. 10. 如图所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线的左、右焦点分别为，从发出的光线经过图中的两点反射后，分别经过点和，且 ，，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意设，结合双曲线定义可得，在中，由勾股定理列式求得，得解. 【详解】如图，由，得，设， 由双曲线定义，得， 所以，， 在中，可得，解得， 所以双曲线的离心率. 故选：B. 11. 已知双曲线：与抛物线：有公共焦点F，过F作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点A，延长FA与抛物线相交于点B，若点A为线段FB的中点，双曲线的离心率为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据几何关系，求得点的坐标，结合点在双曲线渐近线上，求得的等量关系，整理化简即可求得双曲线离心率. 【详解】根据题意，作图如下： 因为双曲线和抛物线共焦点，故可得， 又到的距离，即，又为中点，则， 设点，则，解得；由可得， 则由等面积可知：，解得，则， 则，又点在渐近线上，即，即， 又，联立得，即，解得， 故. 故选：B. 12. 已知双曲线：的一条渐近线与抛物线：的准线相交于点，点的横坐标为，双曲线的左、右焦点分别为和．若过点的直线交的左支于，两点，且（为坐标原点），记点到直线的距离为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由抛物线方程可得其准线方程，即可得点坐标，从而可结合双曲线渐近线方程得，再结合等腰三角形性质与双曲线定义，结合勾股定理计算可得，结合的值与计算即可得解. 【详解】由抛物线：的准线方程为，则， 则双曲线的渐近线满足，即， 连接，取中点，连接， 由，则，则， 则，则， 即有，化简得， 又，则，即有， 即，则， 则，又，故. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于连接，借助双曲线的性质得到. 第II卷 注意事项： 1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上. 2.本卷共12题，共90分. 二､填空题（本大题共9小题，共45分） 13. 已知数列满足，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】由递推关系求出可知数列是周期为3的周期数列，从而得解. 【详解】因为数列满足， 所以，，，……， 所以数列是周期为3的周期数列， 所以， 故答案为： 14. 已知点在抛物线上，则该抛物线的准线方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】将点代入抛物线方程解出，进而求准线方程即可. 【详解】因为点在抛物线上， 所以，解得， 所以抛物线方程为，则， 所以该抛物线的准线方程为， 故答案为： 15. 若数列的前项和是，则数列的通项公式是___________. 【答案】 【解析】 【分析】利用与之间关系直接求解即可. 【详解】当时，； 当时，，不满足； . 故答案为：. 16. 直线过点，且直线在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线的方程为__________. 【答案】或或 【解析】 【分析】考虑直线过原点、不过原点且在两坐标轴上的截距相等、不过原点且截距相反三种情况即可. 【详解】①若直线过原点，设直线方程为， 因为直线过点，所以，解得， 所以直线的方程为，即； ②若直线不过原点，且在两坐标轴上的截距相等，则可设直线的方程为， 代入点，得，解得，此时直线的方程为； ③若直线不过原点，且在两坐标轴上的截距相反，则可设直线的方程为， 代入点，得，解得，此时直线的方程为； 综上所述：直线的方程为或或. 故答案为：或或. 17. 过点且和抛物线C：有且仅有一个公共点的直线方程是________． 【答案】或或 【解析】 【分析】与抛物线只有一个公共点的直线有切线和平行对称轴两种，然后结合条件即得. 【详解】设直线方程为或（当斜率不存在时）， 当直线与抛物线相切时只有一个公共点，满足题意， 此时：由，得， 由得，此时切线方程为； 经检验，也是抛物线的切线方程； 当直线与抛物线对称轴轴平行时，直线与抛物线也只有一个交点，此时直线方程为； 故答案为：或或. 18. 过原点的一条直线与圆相切，交焦点为的抛物线于异于原点的点，若，则的值为__________. 【答案】6 【解析】 【分析】根据圆和曲线关于轴对称，设切线方程为，即可根据直线与圆的位置关系求得，由直线与抛物线的位置关系解出点的坐标，由两点间的距离公式可求得． 【详解】由圆，可得圆心，半径为， 易知圆和曲线关于轴对称， 设切线方程为， 由题意得，解得：， 当时，由，解得：或，即， 由于，所以，解得：． 当时，同理可得． 故答案为：6. 19. 双曲线的左､右焦点分别为，点在双曲线右支上，直线的斜率为3，若是直角三角形，且面积为6，则双曲线的方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意得，，根据三角函数的定义，可得、表达式，根据的面积，可得c值，根据双曲线的定义，可得a值，根据a，b，c的关系，可得，即可得答案. 【详解】因为点在双曲线右支上，直线的斜率为3，且是直角三角形， 所以，且，则， 设焦距为2c，即， 所以， 因为的面积为6，所以， 解得， 由双曲线的定义得，则， 所以， 所以双曲线的方程为. 故答案为： 20. 在数列中，，且，则__________ 【答案】2601 【解析】 【分析】 分为奇数和偶数两种情况讨论，是两个等差数列，然后分组求和. 【详解】解：由， 为奇数时， 为偶数时，，此时为公差是2的等差数列 故答案为：2601 【点睛】考查对的讨论、等差数列的求和公式以及分组求和，基础题. 21. 已知数列的通项公式为，在和之间插入个形成一个新数列，则的前2025项的和为__________. 【答案】7893 【解析】 【分析】先确定的前2025项中的项数，然后计算的前63项的和，然后计算插入的2的个数和总和，从而求得结果. 【详解】由于在和之间插入个形成一个新数列， 所以新数列中包含至的总项数由个项和个插入的2构成， 总项数为. 计算最大的，使得，当时，， 即前63个原数对应新数列的2016项，那么剩下的项数为项，为插入的2. 数列的前63项的和为，的前2016项中插入的2的个数为个， 从第2017项到第2025项有9个2，所以插入的2的总个数为个，则插入的2的和为. 所以的前2025项的和为. 故答案为：7893. 三､解答题（本大题共3小题，共45分） 22. 已知数列满足，，，若． （1）求证：是等差数列； （2）求的前项和的最小值； （3）求的前项和． 【答案】（1） 因为，所以，即， 所以，又， 所以是以为首项，3为公差的等差数列. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据递推关系和等差数列的定义，推导出即可得解； （2）根据等差数列求和公式求，再根据的符号分析的最值； （3）结合（2）的及的符号，按照和分情况讨论求出即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知， 所以， 令，解得， 可知当时，；当时，， 所以的最小值为. 【小问3详解】 因为，，， 当时，；当时，， 所以当时，； 当时， ， 所以. 23. 已知椭圆的离心率为，分别为椭圆的左､右顶点，为椭圆的上顶点，且. （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线交椭圆于两点，直线的斜率为，直线的斜率为，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据数量积公式，可得关系，根据离心率，可得的关系，联立求解，即可得答案. （2）将直线与椭圆联立，结合韦达定理，设，可得，表达式，由题意得的表达式，化简整理，即可得答案. 【小问1详解】 由题意，所以， 因为，所以， 又离心率，解得， 联立解得， 所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 将直线与椭圆联立，得， 设，则， 又，所以， 所以 . 24. 已知椭圆过点，离心率． （1）求椭圆的标准方程； （2）过椭圆的右焦点作两条相互垂直的直线与分别交于四点，设线段的中点分别为． ①证明：直线过定点； ②求四边形面积的最小值． 【答案】（1）； （2）①当直线的斜率存在且不等于零时，设斜率为，因，所以直线的斜率为. 因为右焦点，直线的方程为，设. 由，消去得，. ，，. 所以线段的中点M的坐标，，即. 同理将直线的方程，代入椭圆方程，同理可得（只需将换成）， 所以线段的中点N的坐标，，即. 所以的斜率，其中，直线的方程为 ，化简，即 所以当，直线：过定点.如图： 当时，，此时直线与轴垂直且过定点； 当时，，此时直线仍与轴垂直且过定点； 当直线的斜率不存在时，与与轴垂直且过焦点，根据椭圆的对称性可知， 此时为椭圆的长轴，所以，所以直线为轴，过定点； 当直线的斜率为0时，与与轴垂直且过焦点，根据椭圆的对称性可知， 此时为椭圆的长轴，所以，所以直线为轴，过定点； 综上可知，直线过定点. ②. 【解析】 【分析】（1）根据椭圆过点和离心率直接可得椭圆方程； （2）①根据直线的斜率进行分类讨论，根据根与系数关系分别求出中点的坐标，进而可判断直线过定点. ②由弦长公式可得，再由直接计算四边形的面积，由基本不等式可得最不小值. 【小问1详解】 因为椭圆过点，离心率，且. 所以，，即，得， 代入，得，即，所以. 故椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 ①略 ②当直线的斜率存在且不等于零时， 由①可知， 同理可得（只需将换成），因为， 所以 ， 当且仅当时等号成立，即时，四边形面积有最小值. 当直线的斜率不存在时，或者斜率等于零时与位置互换， 此时，，或者， 所以，显然. 综上可知，所以四边形面积有最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新华中学2024级高二年级第一学期第二次阶段性练习反馈 数学学科 本试卷分为第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，用时120分钟. 将自己的姓名､准考号填写在答题卡上.答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效. 第I卷 注意事项：1.每题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 2.本卷共12题，每题5分，共60分.在每题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的. 1. 记为等差数列的前n项和.若则（ ） A. B. C. D. 2. 已知双曲线，顶点到渐近线的距离为，则离心率（ ） A. B. C. D. 2 3. 若双曲线的虚轴长为，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知双曲线：的两条渐近线的倾斜角均小于，则的焦距的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线准线与一条渐近线交于点，则双曲线的方程为（    ） A. B. C. D. 6. 已知b是的等差中项，直线与圆交于两点，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 7. 等差数列中，，则使前项和成立的最大自然数为（ ） A. 4052 B. 4051 C. 4050 D. 4049 8. 已知函数，数列满足，则“为递增数列”是“”的（ ）条件． A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分必要 D. 既不充分又不必要 9. 已知数列满足，，则的最小值为（ ） A. B. C. 7 D. 10. 如图所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线的左、右焦点分别为，从发出的光线经过图中的两点反射后，分别经过点和，且 ，，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 11. 已知双曲线：与抛物线：有公共焦点F，过F作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点A，延长FA与抛物线相交于点B，若点A为线段FB的中点，双曲线的离心率为，则（ ） A. B. C. D. 12. 已知双曲线：的一条渐近线与抛物线：的准线相交于点，点的横坐标为，双曲线的左、右焦点分别为和．若过点的直线交的左支于，两点，且（为坐标原点），记点到直线的距离为，则（ ） A. B. C. D. 第II卷 注意事项： 1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上. 2.本卷共12题，共90分. 二､填空题（本大题共9小题，共45分） 13. 已知数列满足，则__________. 14. 已知点在抛物线上，则该抛物线的准线方程为__________. 15. 若数列的前项和是，则数列的通项公式是___________. 16. 直线过点，且直线在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线的方程为__________. 17. 过点且和抛物线C：有且仅有一个公共点的直线方程是________． 18. 过原点的一条直线与圆相切，交焦点为的抛物线于异于原点的点，若，则的值为__________. 19. 双曲线的左､右焦点分别为，点在双曲线右支上，直线的斜率为3，若是直角三角形，且面积为6，则双曲线的方程为__________. 20. 在数列中，，且，则__________ 21. 已知数列的通项公式为，在和之间插入个形成一个新数列，则的前2025项的和为__________. 三､解答题（本大题共3小题，共45分） 22. 已知数列满足，，，若． （1）求证：是等差数列； （2）求的前项和的最小值； （3）求的前项和． 23. 已知椭圆的离心率为，分别为椭圆的左､右顶点，为椭圆的上顶点，且. （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线交椭圆于两点，直线的斜率为，直线的斜率为，求的值. 24. 已知椭圆过点，离心率． （1）求椭圆的标准方程； （2）过椭圆的右焦点作两条相互垂直的直线与分别交于四点，设线段的中点分别为． ①证明：直线过定点； ②求四边形面积的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $