专题02 整式的乘除（期末复习知识清单，12知识18题型5易错6方法）八年级数学上学期新教材华东师大版

该初中数学专题清单系统梳理“整式的乘除”核心内容，涵盖幂的运算、整式乘除法则、乘法公式、因式分解等12个知识模块，搭建从基础法则到公式应用再到综合运算与因式分解的递进式学习支架。 清单通过18类题型分类、5个易错点警示、6个方法清单构建知识体系，如“幂的运算法则逆用技巧”“平方差公式特征解读”等设计，培养学生运算能力与推理意识。特别标注“完全平方公式符号口诀”等记忆技巧，教师可精准教学，学生能自主突破重难点，提升学习效率。

专题02 整式的乘除（12知识&18题型&5易错&6方法清单） 【清单01】幂的运算 法则（m，n都是整数） 示例 同底数幂的乘法 底数不变，指数相加，即 幂的乘方 底数不变，指数相乘，即 积的乘方 积的乘方等于把每一个因式分别乘方，再把所得的积相乘，即 同底数幂的除法 底数不变，指数相减，即（a≠0） 【清单02】单项式与单项式相乘 法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数，同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式. 法则的理论依据：乘法的交换律、结合律及同底数幂的乘法法则. 【清单03】单项式与多项式相乘 法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. 即. 法则的理论依据：乘法分配率. 【清单04】多项式与多项式相乘 法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．即 . 【清单05】单项式除以单项式 法则：单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式. 一般步骤： 1）系数相除，作为商的系数，注意系数包括前面的符号； 2）同底数幂相除，作为商的因式; 3）对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式，不要遗漏. 【清单06】多项式除以单项式 法则：一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.即 【清单07】平方差公式 文字表述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 代数表述： 【解读】 1）平方差公式的特征:(1)左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数； (2)右边是乘式中两项的平方差，即用相同项的平方减去相反项的平方. 2）公式中的a，b可以是单项式或多项式.所以，当这个字母表示一个负数、分式、多项式时，应加括号避免出现只把字母平方，而系数忘了平方的错误. 【清单08】完全平方公式 文字表述： 两个数的和（或差）的平方等于这两数的平方和加上（或减去）这两数乘积的两倍. 代数表述： . 【解读】 1）完全平方公式特征：（1）左边是两个数的和(或差)的平方； （2）右边是一个二次三项式，其中有两项是公式左边二项式中每一项的平方，第三项是左边二项式中两项的积的2倍. 2）运用公式时要注意保持前后“符号”的一致性.（口诀：首平方，尾平方，二倍乘积放中央，中间符号同前方.） 3）公式中的a，b既可以是单项式，也可以是多项式. 【清单09】因式分解 定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式. 【补充说明】 1）因式分解分解对象是多项式，分解结果必须是几个整式乘积的形式. 2）每个因式都要分解到不能再分解为止. 【清单10】提公因式法分解因式 公因式的概念：多项式的各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式. 提公因式法的概念：如果多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提到括号外，将多项式写成公因式与另一个多项式的乘积的形式，这种因式分解的方法叫提公因式法，即：. 提公因式法的步骤： 说明 举例： 确定公因式 可按照确定公因式的方法先确定系数， 再确定字母，最后确定字母次数 公因式是 提取公因式并确定另一个因式 多项式除以公因式，所得的商作为另一个因式， 把多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式 【清单11】公式法分解因式 定义：如果把乘法公式反过来用，就可以用来把某些多项式分解因式，这种因式分解的方法叫做公式法. 平方差公式逆用： 完全平方公式逆用： 【清单12】因式分解的一般步骤 【题型一】同底数幂的运算 1．（23-24八年级上·甘肃临夏·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查幂的运算法则，涉及幂的乘方、同底数幂的乘法、积的乘方、同底数幂的除法运算等知识，熟记幂的相关运算法则是解决问题的关键． 根据幂的乘方、同底数幂的乘法、积的乘方、同底数幂的除法运算法则逐一判断各选项的正确性即可得到答案． 【详解】解：A、由可知，选项A计算错误，不符合题意； B、由可知，选项B计算错误，不符合题意； C、由可知，选项C计算错误，不符合题意； D、由可知，选项D计算正确，符合题意； 故选：D． 2．（23-24八年级上·甘肃张掖·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，整式的混合运算； （1）根据幂的乘方的逆运算化为的形式，再相加减，即可求解； （2）根据幂的乘方，同底数幂的乘法进行计算化为的形式，再合并同类项，即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 3．（24-25八年级上·湖南长沙·期中）已知，，． (1)求的值； (2)求的值； (3)写出，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了幂的乘方逆运算，同底数幂的乘法的逆运算，同底数幂的除法的逆运算，熟练掌握幂的运算性质是解题的关键． （1）根据，代入计算即可； （2）根据，结合代入计算即可； （3）根据，结合变形即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴． （2）解：∵， ∴． （3）解：∵， 又， ∴， ∴． 【题型二】单项式乘单项式 4．（24-25七年级上·上海普陀·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式乘单项式，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据单项式乘单项式运算法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 5．（23-24八年级上·北京西城·期末）计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了单项式乘以单项式，同底数幂相乘，利用同底数幂乘法法则，即可计算求值． 【详解】解：， 故答案为：． 6．（2025七年级下·全国·专题练习）若单项式与是同类项，则这两个单项式的积是 ． 【答案】 【分析】先根据同类项的定义求出a、b的值，再根据单项式乘单项式的法则计算即可． 本题考查了单项式乘单项式，同类项，熟练掌握同类项的定义以及单项式乘单项式的法则是解题的关键． 【详解】解：根据题意得，，， 解得，， 所以这两个单项式是和， 所以， 故答案为：． 【题型三】单项式乘多项式 7．（25-26八年级上·甘肃·期末）一个长方形的长和宽分别是（其中），则这个长方形的面积是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了单项式与多项式的乘法，根据长方形的面积等于长乘以宽列式计算即可． 【详解】解：∵长方形面积长宽 ， ∴这个长方形的面积是． 故答案为：． 8．（24-25八年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）现规定一种新的运算，，其中，为实数，那么等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式乘多项式的运算和信息获取能力，读懂规定运算的运算方法并列出代数式是解题的关键．根据规定运算的运算方法，运算符号前后两数的积加上前面的数，再减去后面的数，再减去1，列出算式，然后根据单项式乘多项式的法则去掉括号，再加减计算即可． 【详解】解：根据题意得： ， 故答案为： 9．（23-24七年级下·河南郑州·期中）已知，，，且的值与无关，则 ． 【答案】 【分析】先根据题意列出算式，再计算单项式与多项式的乘法，最后合并，由题意得关于的方程，求解即可．此题考查的是单项式乘多项式及整式的加减，掌握其运算法则是解决此题的关键． 【详解】解： ， 的值与无关， ， ． 故答案为：． 【题型四】多项式乘多项式 10．（25-26八年级上·全国·课后作业）若一个三角形的底边为，底边上的高为，则面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的面积公式和多项式乘以多项式的应用，熟练掌握多项式乘以多项式运算法则是解题的关键．根据三角形面积公式列式，再按照多项式乘以多项式运算法则进行计算即可． 【详解】解：∵一个三角形的底边为，底边上的高为， ∴该三角形的面积为 ． 故答案为：． 11．（25-26八年级上·全国·单元测试）观察下列各式的规律： ； ； ； … 可得 ． 【答案】/ 【分析】本题考查整式乘法的运算规律，先根据算式结果的特点归纳出此种算式的规律，再运用该规律进行求解．解题的关键是能准确归纳出该运算规律． 【详解】解：∵， ， ， …… ∴， ∴． 故答案为：． 【题型五】利用多项式乘多项式求参数的值 12．（25-26八年级上·江苏南通·期中）若，则m的值是 ． 【答案】2 【分析】本题含参的整式乘法计算，通过展开左边多项式，并与右边多项式比较系数，得到m的值． 【详解】解：， ∵， ∴． 故答案为：2． 13．（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）已知，则的值为 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式、代数式求值等知识点，掌握多项式乘多项式法则是解题的关键． 根据多项式乘多项式法则将等式左侧展开，然后利用对应系数法即可求出和，然后整体代入计算即可． 【详解】解：∵． ∴， ∴． 故答案为：12． 14．（24-25八年级上·四川宜宾·期末）已知关于x的多项式与的乘积展开式中不含x的二次项，且一次项系数为，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查多项式乘以多项式，解二元一次方程组，解题的关键是明确不含的二次项，则二次项的系数为． 根据多项式乘以多项式法则进行运算，再将计算结果中，利用二次项是系数与一次项的系数的要求建立方程组，即可求解． 【详解】解：， ， ， ∵多项式与的乘积展开式中不含的二次项，且一次项系数为， 解得，， ， 故答案为：． 【题型六】运用平方差公式求解 15．（25-26八年级上·湖北襄阳·期中）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平方差公式，，据此求解即可． 【详解】解：， 故选：C． 16．（25-26八年级上·全国·期末）若，，则代数式的值是（      ） A．1 B． C．6 D． 【答案】B 【分析】本题考查代数式求值，平方差公式，利用平方差公式直接代入已知条件计算． 【详解】解：∵，， ∴． 故选：B． 17．（25-26七年级上·上海崇明·期中）阅读材料：计算： 运用上述方法求 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式，通过观察原式，仿照阅读材料的方法，将原式乘以和除以，利用平方差公式逐步化简，最终得到结果． 【详解】 ． 故答案为：2． 【题型七】运用完全平方公式求解 18．（24-25八年级上·甘肃武威·期末）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平方差公式和完全平方公式，解题的关键是熟练掌握平方差公式和完全平方公式． 先由平方差公式进行两次计算，再由完全平方公式计算． 【详解】解： ， 故选：B． 19．（24-25八年级下·安徽安庆·期末）比较大小： （填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式比较大小的方法，进行完全平方公式的运用是解决本题的关键． 通过比较两个数平方的大小来间接比较这两个数的大小． 【详解】解：因为， ， 因为，所以，即， 因为，，所以． 故答案为：． 20．（24-25八年级上·河南驻马店·期末）对于任意有理数 a、b 现用“☆”定义一种运算：，根据这个定义，代数式可以化简为 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义，整式的混合运算，涉及完全平方公式，整式的加减运算，正确理解新定义，掌握运算法则是解题的关键． 由新定义得到，再化简计算即可． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 【题型八】单项式除以单项式 21．（25-26八年级上·全国·期末）计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了积的乘方，单项式与单项式的除法，先计算积的乘方，再根据单项式与单项式的除法法则计算． 【详解】解： 故答案为：． 22．（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）某“数学乐园”展厅的密码被设计成如图所示的数学问题．小明在参观时认真思索，输入密码后成功地连接到网络．他输入的密码是 ． 【答案】 【分析】本题考查单项式定义及相关运算，熟记单项式定义及乘除运算法则是解决问题的关键． 由前面、找出密码规律求解即可得到答案． 【详解】解：由中的指数为，得到密码是单项式各项字母的次数； 由中的指数为，得到密码是单项式各项字母的次数； ， 则他输入的密码是， 故答案为：． 【题型九】多项式除以单项式 23．（25-26七年级上·上海崇明·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查多项式除以单项式的运算，根据运算法则，用多项式的每一项分别除以单项式，再合并所得的商． 【详解】解： ． 故答案为：． 24．（24-25八年级上·四川乐山·期末）计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了多项式除以单项式，根据多项式除以单项式法则计算即可． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 25．（24-25八年级上·内蒙古通辽·期末）化简 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先根据完全平方公式展开，再合并同类项，然后根据多项式除以单项式的运算法则计算即可得出答案． 【详解】解： ， 故答案为：． 【题型十】整式的混合运算 26．（25-26八年级上·全国·期末）化简：． 【答案】 【分析】本题考查整式的混合运算，掌握相关知识是解决问题的关键．先用完全平方公式和平方差公式进行计算，计算单项式乘以多项式，再合并同类项即可． 【详解】解： ． 27．（25-26八年级上·全国·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算，解题的关键是熟练掌握平方差公式、多项式乘多项式法则以及整式除法法则． （1）先利用平方差公式展开，再进行整式的乘法运算，最后合并同类项； （2）先运用多项式乘多项式法则展开，再进行整式除法运算，最后合并同类项． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 28．（24-25八年级上·湖北黄冈·期末）化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的混合运算，涉及整式的乘方、加减乘除混合运算及整式乘法公式等知识，熟练掌握整式混合运算法则是解决问题的关键． （1）先计算整式的乘方，再计算整式的乘除运算，最后合并同类项即可得到答案； （2）先由平方差公式、完全平方差公式展开，再去括号，最后合并同类项即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型十一】整式的化简求值问题 29．（23-24七年级下·辽宁丹东·期末）先化简再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先计算括号里多项式乘以多项式、完全平方差公式，再由去括号法则去括号，然后合并同类项化简括号内的运算，再由多项式除以单项式得到化简结果，再将代入化简后的结果由有理数乘法及加法运算求解即可得到答案． 【详解】解： ， 当时，原式． 【点睛】本题考查整式的化简求值，涉及多项式乘以多项式、完全平方差公式、去括号法则、合并同类项、多项式除以单项式、有理数乘法运算及有理数加法运算等知识，熟练掌握整式加减乘除等运算法则是解决问题的关键． 30．（25-26八年级上·陕西商洛·月考）先化简，再求值． (1)，其中，． (2)，其中． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查整式的化简求值，熟知其运算法则是解题的关键． （1）根据平方差公式和完全平方公式化简，再合并同类项，最后代入求值即可； （2）先计算整式的乘法，再合并同类项，最后代入求值即可． 【详解】（1）解：原式 ， 当，时，原式； （2）解：原式 ， 当时，原式． 31．（24-25八年级上·四川遂宁·期中）先化简再求值：，其中，． 【答案】，20 【分析】本题考查了整式的化简求值，先根据平方差公式和完全平方公式进行计算，再合并同类项，算除法，最后代入求出即可．关键是根据整式的混合运算法则先化简再求值． 【详解】解： ， 当，时，原式． 【题型十二】整式混合运算与实际问题 32．（24-25八年级上·河南南阳·期中）9月25日8时44分，中国人民解放军火箭军向太平洋相关公海海域，成功发射1发携载训练模拟弹头的洲际弹道导弹，准确落入预定海域．某校的一个数学兴趣小组看到新闻后，产生浓厚的兴趣，参加了学校科技节比赛，制作了如图1所示航天火箭模型，为了向全校同学宣传自己的科技作品，用板制作了如图2所示的宣传版画，它是由一个三角形，两个梯形组成，已知板（阴影部分）的尺寸如图2所示． (1)用含a、b的代数式表示图2的板模型的总面积（结果需化简）； (2)若，，求板总面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算、完全平方公式的运用，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）根据板模型的总面积为上面的三角形的面积中间梯形的面积下面梯形的面积，列式计算即可得解； （2）先利用完全平方公式得出，再代入（1）中所求的式子即可得解． 【详解】（1）解：由图可得： 板模型的总面积为： ； （2）解：∵，， ∴， ∴板模型的总面积为． 33．（24-25七年级下·山东青岛·月考）如图，某市修建了一个大正方形休闲场所，在大正方形内规划了一个正方形活动区，连接绿地到大正方形四边的笔直小路如图所示．已知大正方形休闲场所的边长为米，四条小路的长与宽都为b米和米．阴影区域铺设草坪，草坪的造价为每平米20元． (1)用含a、b的代数式表示草坪（阴影）面积并化简． (2)若，，计算草坪的造价． 【答案】(1)平方米 (2)21000元 【分析】本题考查列代数式、代数式求值、整式的混合运算，（1）根据题意得，利用大正方形的面积减去小正方形的面积和小路的面积等于阴影部分的面积即可求解； （2）由题意得，草坪的造价为：，再代入计算即可． 【详解】（1）解：由图可得，草坪面积为： ； （2）解：由题意得，草坪的造价为：， ∵，， ∴ （元） 答：草坪的造价为21000元． 34．（24-25八年级上·山西长治·期末）某学校开辟了两块劳动实践种植实验田，一块形状为长方形，一块形状为正方形，两块实验田均用来种植茄子幼苗．其中，长方形实验田每排种植株，种植了排；正方形实验田每排种植株，种植了排，其中．这两块试验田共种植茄子幼苗多少株？ 【答案】这两块试验田共种植茄子幼苗株． 【分析】本题考查了整式的混合运算，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键．根据题意列出算式，再根据多项式乘以多项式法则进行计算即可． 【详解】解：由题意得 （株）． 答：这两块试验田共种植茄子幼苗株． 35．（2024·河北石家庄·三模）有一电脑程序如图，能处理整式的相关计算，若输入整式，整式后，屏幕上自动呈现整式，但由于屏幕大小有限，只显示了整式的一部分：． (1)求程序自动呈现的整式； (2)在（1）的条件下，琪琪发现：若取某个正整数时，整式的值大于5，求满足条件的的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的乘法运算、整式的混合运算、解不等式等知识点，掌握整式混合运算法则成为解题的关键． （1）由题意列式表示出C，然后再运用整式的乘法运算法则计算即可； （2）将B、C代入运用整式的混合运算发展化简可得，最后根据整式的值大于5列不等式求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得： 程序自动呈现的整式为． （2）解： ， 整式的值大于5， ，解得， 为正整数， 的最小值为1． 【题型十三】判断是否因式分解 36．（25-26八年级上·四川自贡·期末）下列等式从左到右的变形，因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查因式分解的定义和因式分解的方法．因式分解是将多项式化为整式乘积的形式，需确保等式两边相等，再结合因式分解的方法即可求解． 【详解】解：∵因式分解是从多项式到乘积的变形， 选项A：从左到右是展开，不是因式分解，故错误； 选项B：应分解为，而非，故错误； 选项C：，正确； 选项D：，故错误． 故选：C． 37．（25-26八年级上·江西南昌·月考）下列各式从左边到右边的变形是因式分解的为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解，因式分解是将多项式化为几个整式的积的形式，据此判断各选项． 【详解】∵因式分解需满足右边为整式的积， A：右边含分式 ，不是整式，不符合因式分解概念，不是因式分解； B：右边是差的形式，不是积，不符合因式分解概念，不是因式分解； C：该变形是整式乘法，是因式分解的逆运算，不符合因式分解的概念，不是因式分解； D：右边是整式的积，符合因式分解概念，是因式分解； ∴故选：D． 38．（25-26八年级上·重庆·月考）下列各式从左边到右边的变形中，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的定义是解本题的关键．因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．利用因式分解的定义判断即可． 【详解】解：A、没有把多项式化为几个整式的积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意； B、没有把多项式化为几个整式的积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意； C、是整式的乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意； D、符合因式分解的定义，故本选项符合题意． 故选：D． 【题型十四】已知因式分解的结果求参数 39．（25-26八年级上·河南洛阳·期中）将分解因式后有一个因式是，则的值是（   ） A．6 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解和多项式乘多项式，能得出关于m的方程是解此题的关键．由分解因式后有一个因式是，得出时多项式的值为零，由此得出关于m的方程，求出方程的解即可． 【详解】解：∵分解因式后有一个因式是， ∴ 当时，多项式的值为零，即， ∴ ， ∴， 故选：B． 40．（25-26八年级上·全国·单元测试）多项式可分解因式为，那么等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解-提公因式法，利用单项式乘以多项式，进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： ∴M为：， 故选：D． 41．（25-26七年级上·上海·期中）已知整式可以因式分解为，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查的是多项式因式分解与整式乘法的互逆关系，解题关键是利用整式乘法展开因式分解式，再通过对应项系数相等列方程求解． 通过展开因式分解形式，比较同类项系数，建立方程求解即可． 【详解】展开 ，与原式 比较系数， 得 ，解得 ． 故答案为 4 42．（25-26八年级上·山东烟台·期中）关于的代数式分解因式得，则的值为 ． 【答案】 【分析】考查知识点多项式乘法、因式分解与整式乘法的互逆性、代数式求值．展开因式，对比系数求参数．关键：准确展开因式并匹配对应项系数．易错点：展开时符号错误；负指数幂运算出错． 先展开得；再与对比，得，；最后计算． 【详解】解： 因为， 所以对应项系数相等：二次项系数：；一次项系数：． 因此． 故答案为：． 【题型十五】提公因式法分解因式 43．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的因式分解，灵活选择因式分解的方法是解题的关键．首先观察式子中的，利用的关系，将其转化为的形式，然后提取公因式进行因式分解． 【详解】解： ， ， ， ， ， 故答案为：． 44．（25-26八年级上·湖南永州·期中）已知： ， 则 【答案】 【分析】本题主要考查求代数式的值，利用提取公因式法分解因式，是解题的关键； 通过因式分解将所求表达式转化为已知条件的组合，然后代入数值计算. 【详解】解：∵， ∴ 代入已知数值： 故答案为 ：. 45．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查提公因式法因式分解，利用提公因式法因式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【题型十六】公式法分解因式 46．（25-26八年级上·全国·期末）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握平方差公式的结构特征． 根据平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解： 故答案为：． 47．（25-26八年级上·广东汕头·月考）若，是等腰三角形的两边长，且满足关系式，则的周长是 ． 【答案】10 【分析】本题主要考查三角形的三边关系，因式分解，将变形得，求得，的值，再分两种情况讨论即可． 【详解】解：将变形，得，可得，． ①若是腰长，则三角形的三边长为：、、，不能组成三角形； ②若是底边长，则三角形的三边长为：、、，能组成三角形； 所以的周长． 故答案为：． 48．（24-25八年级上·广东东莞·期末）分解因式：（1） ；（2） ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解答的关键． （1）先提公因式，再利用平方差公式求解即可； （2）提公因式即可求解． 【详解】解：（1） ， 故答案为：； （2） 故答案为：． 49．（2025·新疆·模拟预测）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分解因式，先提取公因式，再对应用平方差公式分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【题型十七】综合提公因式法和公式法分解因式 50．（2025·山东聊城·二模）若，，则的值为 ． 【答案】9 【分析】此题考查了因式分解的应用，熟记公式结构正确将原式分解因式是解题的关键． 通过因式分解，将原式化为，然后代入已知条件计算． 【详解】 ； ，， 所以原式 ． 故答案为：9． 51．（24-25九年级上·山东济宁·期末）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，先提取公因式，再用完全平方公式分解即可． 【详解】解； ． 故答案为：． 【题型十八】因式分解的应用 52．（25-26八年级上·山东威海·月考）若的三边长a，b，c满足，则是 三角形． 【答案】等腰 【分析】本题考查因式分解的应用，等腰三角形的定义，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 将方程移项后因式分解，得到，根据三角形三边为正，得出，进而求解即可． 【详解】∵ ∴ ∴ ∴ ∵a，b，c是的三边长 ∴ ∴ ∴ ∴是等腰三角形． 故答案为：等腰． 53．（25-26八年级上·四川眉山·期中）阅读材料：要将多项式分解因式，可以先把它的前两项分成一组，再把它的后两项分成一组，从而得：．这种分解因式的方法称为分组分解法．根据以上方法回答下列问题： (1)解决问题：因式分解：； (2)拓展应用：已知三角形的三边长分别为a，b，c，且满足，试判断这个三角形的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)三角形为等边三角形，理由见解析 【分析】本题考查分组分解法，因式分解的应用，熟练掌握分组分解法是解题的关键： （1）利用分组分解法进行因式分解即可； （2）将等式左边进行因式分解，利用非负性得到之间的关系，即可得出结果． 【详解】（1）解： ； （2）解：三角形为等边三角形，理由如下： ， ， ， ∴， ∴， ∴这个三角形为等边三角形． 54．（24-25八年级下·四川成都·期末）先阅读下列材料，再解答下列问题： 材料：． 解：将“”看成整体，令，则原式； 再将“A”还原，得：原式． 上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，请你解下列问题： (1)类比应用，求______； (2)若n为正整数，判断式子的值是否是某一个整数的平方，并说明理由． 【答案】(1) (2)式子的值是某一个整数的平方，理由见详解 【分析】本题考查因式分解，解题的关键是理解并掌握整体思想和换元思想． （1）利用整体思想和完全平方公式进行化简即可； （2）利用乘法的结合律和多项式乘多项式的法则对原式进行整理，再利用整体思想和完全平方公式进行整理即可． 【详解】（1）解：将“”看成整体，令， 则原式， 再将“”还原，得：原式， 故答案为：； （2）证明：式子的值是某一个整数的平方， 理由如下： ， 令， 则上式， ∵为正整数， ∴是整数， ∴式子的值是某一个整数的平方． 55．（24-25八年级上·江西南昌·期末）学习了公式法后，老师向同学们提出了如下问题： 将多项式因式分解： ． 求多项式的最小值． 由，得，因为，所以．所以当时，的值最小，且最小值为． 请你运用上述方法解决下列问题： (1)将多项式因式分解； (2)求多项式的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了因式分解的应用、平方的非负性、阅读理解的能力．解决本题的关键是读懂材料中所给的解题思路，根据材料所提供的思路解决问题． （1）根据阅读材料中所提供的解题思路，把多项式中含有的项凑成完全平方公式，得到原式，然后再利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可； （2）根据阅读材料中所提供的解题思路，把多项式中含有的项凑成完全平方公式，得到原式，分解因式可得原式，根据平方的非负性求出代数式的最小值即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ， ， 当时，多项式取得最小值为． 【题型一】积的乘方运算 56．（25-26八年级上·西藏林芝·期末）= ． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方与幂的乘方运算，根据积的乘方与幂的乘方运算法则计算即可． 【详解】解：原式， 故答案为：． 57．（24-25七年级上·重庆万州·月考）计算： ． 【答案】4 【分析】本题考查了积的乘方的逆用，通过将转化为，并利用积的乘方法则进行化简计算即可． 【详解】解：， 故答案为：4． 【题型二】乘法公式的特征辨别 58．（25-26八年级上·云南昭通·月考）下列各式中，能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平方差公式，运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方． 根据平方差公式适用于形式为的表达式，计算得． 【详解】由平方差公式为， 选项A: ，不符合； 选项B: ，不符合； 选项C: ，符合； 选项D: ，不符合． 故选：C． 59．（25-26八年级上·天津滨海新·月考）下列式子：①；②；③．其中正确的是（   ） A．①②③ B．①② C．② D．① 【答案】A 【分析】本题考查了运用完全平方公式进行运算，解题关键是掌握完全平方公式并能运用求解． 利用平方的性质：任何数的平方都等于其相反数的平方，即，对每个式子进行变形验证． 【详解】解：∵， ∴，故①正确； ∵，且， ∴，， ∴，故②正确； ∵， ∴，故③正确． ∴①②③均正确， 故选：A． 60．（24-25八年级上·江西南昌·期末）下列各式中，能用完全平方公式计算的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查“完全平方式的定义”，熟练掌握完全平方式的形式是解题关键． 根据完全平方式的定义，两个因式需完全一致或其中一个式子是另一个式子的因式，才能应用完全平方式，根据定义判断即可． 【详解】 A选项： 中，不满足定义，不能用完全平方公式； B选项：，两项都相等，符合完全平方公式； C选项： 中，不满足定义，不能用完全平方公式； D选项： 中，两项无共同点，不满足定义，不能用完全平方公式； 故选：B． 【题型三】已知完全平方式求字母系数 61．（25-26八年级上·内蒙古·期末）若是一个完全平方式，则实数的值为 【答案】 【分析】本题考查了求完全平方式中字母系数，关键是将一般形式变形为然后将其展开，对比一次项系数即可． 【详解】解：因为 是一个完全平方式， 所以可以变形为 所以． 故答案为：． 62．（25-26八年级上·湖北襄阳·期末）若是完全平方公式，则 ． 【答案】16 【分析】本题考查了完全平方式，根据完全平方式的结构，将多项式转化为的形式，通过比较系数求解m的值． 【详解】解：设完全平方式为 ，与给定表达式 对比，得 ， 解得， 则． 故答案为：． 63．（25-26八年级上·全国·期末）如果是一个完全平方式，那么k的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了完全平方公式，熟知完全平方公式的结构特征是解题的关键．利用完全平方公式的结构特征，即可确定k的值． 【详解】解：，且是一个完全平方式， ∴， 故答案为：． 【题型四】判断公因式 64．（25-26八年级上·甘肃天水·期末）多项式的公因式是 【答案】 【分析】本题考查了公因式．确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：①定系数，即确定各项系数的最大公约数；②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂． 根据找公因式的方法得出答案即可． 【详解】解：多项式的公因式是． 故答案为： 65．（24-25八年级上·广东东莞·期末）多项式的最大公因式是 ． 【答案】 【分析】本题考查公因式的确定，根据公因式的定义，分别找出系数的最大公约数和相同字母的最低指数次幂，乘积就是公因式解答即可． 【详解】解：8、6的最大公约数为2，公因式a的最低次数为1，公因式b的最低次数为2， 所以的最大公因式为． 故答案为：． 66．（24-25八年级上·河北沧州·期末）用提公因式法因式分解时，应提取的公因式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查公因式，掌握公因式的定义是解题的关键． 根据公因式的定义求解即可． 【详解】解：， 故多项式各项的公因式是． 故答案为：． 【题型五】判断能否运用公式法分解因式 67．（24-25八年级下·四川成都·期末）下列多项式中不能用平方差公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了公式法分解因式，熟练掌握平方差公式的结构特点是解题的关键．根据平方差公式的结构特征对各选项分析判断后即可得答案． 【详解】解：A．，能利用平方差公式分解因式，故本选项不符合题意． B．，不能利用平方差公式分解因式，故本选项符合题意． C．，能利用平方差公式分解因式，故本选项不符合题意． D．，能利用平方差公式分解因式，故本选项不符合题意． 故选B． 68．（24-25八年级上·山东烟台·期中）下列多项式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查提公因式法、公式法分解因式，根据完全平方公式的结构特征逐项进行判断即可． 【详解】解：A． ，可以利用平方差公式进行因式分解，因此选项A不符合题意； B．，可以利用提公因式法进行因式分解，因此选项B不符合题意； C．，可以利用完全平方公式进行因式分解，因此选项C符合题意； D．，不能利用完全平方公式进行因式分解，因此选项D不符合题意； 故选：C． 69．（22-23八年级上·福建厦门·期末）要使多项式能运用平方差公式进行分解因式，整式可以是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平方差公式的结构特征判断即可． 【详解】解：A.是完全平方公式因式分解，不合题意； B.不能用平方差公式因式分解，故该选项不正确，不符合题意； C.，不能用平方差公式因式分解，故该选项不正确，不符合题意； D. ，能用平方差公式因式分解，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键． 【题型一】幂的运算法则的应用 解题方法：1）通过逆用积的乘方，幂的乘方积同底数幂的乘、除法则可以简化计算. 如：，，，（a≠0）. 2）解一些结构特殊的题目，可以先将式子进行合理变形后求解. 70．（25-26八年级上·山东临沂·期末）（1）若，，求代数式的值． （2）已知：，求的值． （3）已知，求的值． 【答案】（1）（2） （3） 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，完全平方公式，解题关键是熟记运算法则． （1）利用同底数幂的乘法、幂的乘方运算法则将原式变形进行求解； （2）利用同底数幂的乘法运算法则将原式变形进行求解． （3）将两边平方即可求解． 【详解】解：（1），， ； （2）， ， ； （3）∵， ∴， ， ． 71．（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）计算下面各题： (1)已知，，求的值； (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查同底数幂的运算，熟练掌握同底数幂的运算法则是解题的关键， （1）根据同底数幂的除法和幂的乘方法则，将变形为与已知条件相关的形式，再代入求值即可； （2）先将等式的两边的幂都化为以3为底的形式，根据同底数幂的乘法和乘方法则，求出的值，再代入求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． （2）解：∵ ∴   ∴   ∴， ∴． 72．（25-26八年级上·福建泉州·期中）下面是小刘同学完成的一道作业题，请你参考小刘的方法解答下列问题： 作业 计算：． 解：原式． (1)计算：； (2)若，请求出的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据积的乘方运算的逆用即可求解； （2）根据根据同底数幂的乘法、幂的乘方进行计算即可． 本题主要考查了幂运算，掌握相关运算方法是解题的关键． 【详解】（1）解：原式； （2）解：∵ ，， ∴ ，， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 【题型二】比较幂的大小 解题方法：对于底数为正整数的两个数 1）若底数相同，比较指数，指数大的比较大; 2）若指数相同，比较底数，底数大的比较大; 3）底数指数化不了一样的时候，利用放缩法（根据缩放底数或者指数转化为同底数幂或同指数幂的大小比较）. 73．（24-25八年级上·四川乐山·期末）阅读下列解题过程，试比较与的大小． 解：∵ ，，，而，∴． 请根据上述解答过程解答： 若，请比较a、b、c、d的大小．我的结论是： ． 【答案】 d a c b 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算，幂的乘方计算，根据题意可得，， ，，再由即可得到答案． 【详解】解：，， ，， ∵， ∴， 故答案为：d；a；c；b． 74．（20-21八年级上·福建漳州·期中）阅读：已知正整数a、b、c，显然，当同底数时，指数大的幂也大，若对于同指数，不同底数的两个幂和，当时，则有，根据上述材料，回答下列问题． (1)比较大小：_________ （填写>、<或=）． (2)比较与的大小（写出比较的具体过程）． (3)计算． 【答案】(1)> (2) (3)－4 【分析】（1）根据“对于同指数，不同底数的两个幂和，当时，则有”比较大小即可； （2）将与化为指数相同的幂，然后再根据“当同指数时，底数大的幂也大”即可进行比较大小； （3）首先将和化为指数相同的幂，将和也化为指数相同的幂，再根据积的乘方逆运算进行运算，然后进行减法运算即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意，对于同指数，不同底数的两个幂和，当时，则有， 可知． 故答案为：>； （2）∵，， 又∵， ∴； （3）原式 ． 【点睛】本题主要考查积的乘方的逆运算、幂的大小的比较以及有理数的混合运算等知识，解答的关键是熟练掌握相关的运算法则． 【题型三】乘法公式与几何图形结合的应用问题 解题方法：乘法公式与几何图形相结合的实质是将乘法公式与直观的图形结合起来，是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使乘法公式几何化，可借助形的生动性和直观性进一步加深对乘法公式的. 75．（24-25八年级上·重庆万州·期末）某班数学兴趣小组的同学在学习整式乘法公式后，构造了以下图形验证乘法公式．请你利用数形结合的思想，通过等积法解决以下数学问题．从边长为的正方形中减掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)比较两图中阴影部分面积，可以验证的等式是_____________；（请选择正确的选项） A．    B． (2)若，，求的值； (3)计算：． 【答案】(1)B (2)； (3) 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的关键． （1）分别用代数式表示图1、图2阴影部分的面积即可； （2）根据平方差公式进行计算即可； （3）将原式配上因式，连续利用平方差公式即可． 【详解】（1）解：图1阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即， 拼成的图2是长为，宽为的长方形，因此面积为， 所以有， 故答案为：B； （2）解：∵，即，而， ∴； （3）解： ． 76．（24-25八年级上·广东韶关·期末）【背景阅读】在数学的学习中，我们经常可以利用图形的面积关系理解代数公式，使抽象的数量关系直观化． 【问题解决】 （1）填空：根据图1所示图形的面积关系，可以写出的一个乘法公式是_____________； （2）如果图2中阴影部分的面积为25，一个小长方形的面积为14，求的值； 【拓展应用】 （3）如图3，有两个正方形A，B，现将放在的内部得到图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得到图乙．设正方形的边长为，正方形的边长为，且图甲和图乙中阴影部分的面积分别为4和30．现将三个正方形和两个正方形如图丙摆放，求图丙中阴影部分的面积． 【答案】（1）；（2）；（3）76 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． （1）从“整体”和“部分”两个方面分别用代数式表示图1的面积即可； （2）根据图2可得，再将，代入计算即可； （3）由图甲和乙中阴影部分的面积分别为4和30得到，，求得，，再根据代入计算即可． 【详解】解：（1）图1中大正方形的边长为，因此面积为， 拼成图1的四个部分的面积和为， 所以有， 故答案为：； （2）图2中，大正方形的边长为，因此面积为， 阴影部分是边长为的正方形，因此面积为，四个空白长方形的面积和为， 所以有， ∵图2中阴影部分的面积为25，一个小长方形的面积为14， ∴，， ∴， ∵， ∴； （3）∵图甲和图乙中阴影部分的面积分别为4和30，即，， ∴，， ∵， ∴，； ∴ ． 77．（24-25八年级上·广西南宁·期中）【知识生成】 通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图1，在边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形（），把余下的部分剪开并拼成一个长方形（如图2），图1中阴影部分的面积可表示为：，图2中阴影部分的面积可表示为：，因为两个图中的阴影部分的面积是相同的，所以可得到等式：． 【结论探究】 图3是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个大正方形． （1）如图4，用两种不同方法表示图中阴影部分面积，可得到一个关于，，的等式是______． （2）若，，求的值． 【类比迁移】 （3）如图5，点是线段上的一点，以为边向上下两侧作正方形，正方形，两正方形的面积分别记为和，若，两正方形的面积和，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）；（2）29；（3）17 【分析】（1）根据题意，阴影部分的面积大正方形的面积4个小长方形的面积，列出代数式即可；阴影部分的面积正方形的面积长方形的面积小长方形的面积，代入字母求出代数式即可； （2）根据（1）代入数据计算即可； （3）根据题意，延长交于点H，设正方形的边长为x，正方形的边长为，两个正方形的面积和是47，得出方程，根据 ，列出代数式，求出阴影部分面积即可． 本题考查了平方差公式、完全平方公式，代数式，解决本题的关键是熟练运用正方形的面积公式、三角形的面积公式、梯形的面积公式． 【详解】解：（1）阴影部分的面积： 阴影部分的面积： 故答案为： （2）若，， （3）如图：延长交于点H 设正方形的边长为x，正方形的边长为， 得， ， ， 即， ， 即 答：图中阴影部分的面积是17． 78．（23-24八年级上·河南南阳·期末）数形结合是一种重要的数学思想方法，利用图1中边长分别为、的两个正方形纸片和长为、宽为的长方形纸片，可以拼出一些图形来解释某些等式，如：由图2可得．      则： (1)由图3可以解释的等式是____________________； (2)用9张边长为的正方形纸片，12张长为、宽为的长方形纸片，4张边长为的正方形纸片拼成一个大正方形，则这个大正方形的边长为____________________； (3)先计算，再用图形的面积解释它的正确性． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）大正方形的面积等于小正方形的面积与四个长方形面积之和，用含、的代数式等量关系即可， （2）将所有纸片的面积加到一起，根据完全平方公式即可得出大正方形的边长， （3）阴影部分面积等于：2个边长为的正方形，与3个长为、宽为的长方形面积之和，再减去2个边长为的正方形面积， 本题考查了多项式的乘法，完全平方公式，解题的关键是：熟练应用数形结合的方法，用代数式表示出大图形的面积与它组成部分之间的等量关系． 【详解】（1）解：根据题意列式：， 故答案为：， （2）9张边长为的正方形纸片面积为：， 12张长为、宽为的长方形纸片面积为：， 4张边长为的正方形纸片面积为：， 由题意得：， 故大正方形的边长为：， （3）， 作图如下：    阴影面积为长为宽为的长方形，它的面积等于2个边长为的正方形，与个长为、宽为的长方形面积之和，再减去2个边长为的正方形面积， 故答案为：． 【题型四】利用完全平方式变形求值 完全平方公式常用的变式：① ② ③ ④ ⑤ 79．（24-25八年级上·福建厦门·期末）已知，，求及的值． 【答案】， 【分析】将两边平方，利用完全平方公式化简，将的值代入即可求出的值，再利用完全平方公式展开，将各自的值代入计算即可求出值． 此题考查了运用完全平方公式计算，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 【详解】解：∵，， ∴； ． 80．（24-25八年级上·河南商丘·期末）（1）已知，，求的值． （2）已知，，求：和的值． 【答案】（1）；（2）， 【分析】本题考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）利用完全平方公式变形求解即可； （2）利用完全平方公式变形求解即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴ ； （2）∵，， ∴①，②， 由得：， ∴， 由得：， ∴． 81．（24-25八年级上·贵州铜仁·期末）已知实数a，b满足． (1)求代数式的值； (2)求代数式的值． 【答案】(1)34 (2) 【分析】本题考查了完全平方公式，因式分解，代数式求值，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）先将变形为，然后把已知条件代入计算即可； （2）先将变形为，然后代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）解：∵，， ∴ ． 【题型五】利用配方法求最值 解题方法：给二次项和一次项配一个数，使之成为完全平方式，然后利用平方的非负性求最值. 82．（23-24八年级上·甘肃临夏·期末）阅读材料：我们学习了完全平方式，并知道完全平方式具有非负性．我们可以利用完全平方式的知识，将一般的二次代数式，转化为完全平方式的形式，这个过程叫做“配方”．通过配方，我们可以求代数式的最大（小）值． 例如：求代数式的最小值． 解：我们可以先将代数式配方：， 再利用完全平方式的非负性：， ，的最小值是2． (1)请直接写出x为何值时代数式有最小值，最小值是多少？ (2)求代数式的最大值； (3)某中学数学兴趣小组在临夏中心广场“品牌新天地”前设计了一个长方形花圃，营造迎接新年的氛围，在一块两面靠墙（假设墙长无限）的空地上用花盆摆成长方形，另外两边用总长为的栅栏围成．如图，设，请问：当x取何值时，花圃的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1)当时，代数式有最小值，最小值是6 (2)代数式的最大值是29 (3)当时，花圃的面积最大，最大面积是 【分析】本题考查了完全平方公式、非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键． （1）仿照题干，利用完全平方式的非负性解答即可； （2）将代数式配方为，可得出答案； （3）设，则，花圃的面积，再利用完全平方式的非负性解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴当时，代数式有最小值，最小值是6； （2）解： ， ∵， ∴， ∴， ∴代数式的最大值是29； （3）解：设，则， ∴花圃的面积， ∵， ∴， ∴当时，花圃的面积最大，最大面积是． 83．（24-25八年级上·吉林长春·期末）【阅读】代数式． ， ， ∴当时，的值最小，最小值为1， 即的最小值为1． 【应用】（1）代数式的最小值为_______． （2）求代数式的最小值． 【拓展】代数式的最大值为_______． 【答案】应用：（1）3；（2）；拓展：4 【分析】本题考查的是配方法是应用，掌握完全平方公式，熟记偶次方具有非负性是解题的关键． 应用：（1）根据偶次方的非负性即可求解；（2）根据偶次方的非负性，完全平方公式解答即可． 拓展：根据偶次方的非负性，完全平方公式解答即可． 【详解】解：应用：（1）∵， ， ∴当时，的值最小，最小值为3， 故答案为：3； （2）， 则的最小值是； 拓展：， ， ∴， ∴， ∴代数式的最大值为4， 故答案为：4． 【题型六】因式分解在有理数简算中的应用 简便运算步骤： ①观察数的特征，有公因式先提公因式； ②没有公因式则考虑是否符合平方差公式或完全平方公式. 84．（23-24八年级下·辽宁沈阳·月考）利用因式分解的方法简算 (1) (2) (3) 【答案】(1) (2)8 (3)40000 【分析】本题主要考查了利用因式分解进行简便计算，熟知完全平方公式和平方差公式是解题的关键． （1）先根据平方差公式进行求解，再提取公因数计算即可； （2）提公因数再进行计算； （3）根据完全平方公式进行求解即可． 【详解】（1） （2） （3） 85．（25-26八年级上·新疆·月考）利用因式分解进行简便计算： (1)． (2)． 【答案】(1)90000 (2) 【分析】本题主要考查了利用因式分解进行简便运算，涉及完全平方公式和提取公因式法： （1）利用完全平方公式计算即可； （2）提出公因式，即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 86．（25-26八年级上·全国·课后作业）利用因式分解简便计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2)0 【分析】本题考查有理数的混合运算，因式分解，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）（2）利用提公因式法因式分解后计算即可． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 ． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 整式的乘除（12知识&18题型&5易错&6方法清单） 【清单01】幂的运算 法则（m，n都是整数） 示例 同底数幂的乘法 底数不变，指数相加，即 幂的乘方 底数不变，指数相乘，即 积的乘方 积的乘方等于把每一个因式分别乘方，再把所得的积相乘，即 同底数幂的除法 底数不变，指数相减，即（a≠0） 【清单02】单项式与单项式相乘 法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数，同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式. 法则的理论依据：乘法的交换律、结合律及同底数幂的乘法法则. 【清单03】单项式与多项式相乘 法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. 即. 法则的理论依据：乘法分配率. 【清单04】多项式与多项式相乘 法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．即 . 【清单05】单项式除以单项式 法则：单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式. 一般步骤： 1）系数相除，作为商的系数，注意系数包括前面的符号； 2）同底数幂相除，作为商的因式; 3）对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式，不要遗漏. 【清单06】多项式除以单项式 法则：一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.即 【清单07】平方差公式 文字表述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 代数表述： 【解读】 1）平方差公式的特征:(1)左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数； (2)右边是乘式中两项的平方差，即用相同项的平方减去相反项的平方. 2）公式中的a，b可以是单项式或多项式.所以，当这个字母表示一个负数、分式、多项式时，应加括号避免出现只把字母平方，而系数忘了平方的错误. 【清单08】完全平方公式 文字表述： 两个数的和（或差）的平方等于这两数的平方和加上（或减去）这两数乘积的两倍. 代数表述： . 【解读】 1）完全平方公式特征：（1）左边是两个数的和(或差)的平方； （2）右边是一个二次三项式，其中有两项是公式左边二项式中每一项的平方，第三项是左边二项式中两项的积的2倍. 2）运用公式时要注意保持前后“符号”的一致性.（口诀：首平方，尾平方，二倍乘积放中央，中间符号同前方.） 3）公式中的a，b既可以是单项式，也可以是多项式. 【清单09】因式分解 定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式. 【补充说明】 1）因式分解分解对象是多项式，分解结果必须是几个整式乘积的形式. 2）每个因式都要分解到不能再分解为止. 【清单10】提公因式法分解因式 公因式的概念：多项式的各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式. 提公因式法的概念：如果多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提到括号外，将多项式写成公因式与另一个多项式的乘积的形式，这种因式分解的方法叫提公因式法，即：. 提公因式法的步骤： 说明 举例： 确定公因式 可按照确定公因式的方法先确定系数， 再确定字母，最后确定字母次数 公因式是 提取公因式并确定另一个因式 多项式除以公因式，所得的商作为另一个因式， 把多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式 【清单11】公式法分解因式 定义：如果把乘法公式反过来用，就可以用来把某些多项式分解因式，这种因式分解的方法叫做公式法. 平方差公式逆用： 完全平方公式逆用： 【清单12】因式分解的一般步骤 【题型一】同底数幂的运算 1．（23-24八年级上·甘肃临夏·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·甘肃张掖·期末）计算： (1) (2) 3．（24-25八年级上·湖南长沙·期中）已知，，． (1)求的值； (2)求的值； (3)写出，，之间的数量关系，并说明理由． 【题型二】单项式乘单项式 4．（24-25七年级上·上海普陀·期中）计算： ． 5．（23-24八年级上·北京西城·期末）计算： ． 6．（2025七年级下·全国·专题练习）若单项式与是同类项，则这两个单项式的积是 ． 【题型三】单项式乘多项式 7．（25-26八年级上·甘肃·期末）一个长方形的长和宽分别是（其中），则这个长方形的面积是 ． 8．（24-25八年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）现规定一种新的运算，，其中，为实数，那么等于 ． 9．（23-24七年级下·河南郑州·期中）已知，，，且的值与无关，则 ． 【题型四】多项式乘多项式 10．（25-26八年级上·全国·课后作业）若一个三角形的底边为，底边上的高为，则面积为 ． 11．（25-26八年级上·全国·单元测试）观察下列各式的规律： ； ； ； … 可得 ． 【题型五】利用多项式乘多项式求参数的值 12．（25-26八年级上·江苏南通·期中）若，则m的值是 ． 13．（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）已知，则的值为 ． 14．（24-25八年级上·四川宜宾·期末）已知关于x的多项式与的乘积展开式中不含x的二次项，且一次项系数为，则的值为______． 【题型六】运用平方差公式求解 15．（25-26八年级上·湖北襄阳·期中）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 16．（25-26八年级上·全国·期末）若，，则代数式的值是（      ） A．1 B． C．6 D． 17．（25-26七年级上·上海崇明·期中）阅读材料：计算： 运用上述方法求 ． 【题型七】运用完全平方公式求解 18．（24-25八年级上·甘肃武威·期末）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 19．（24-25八年级下·安徽安庆·期末）比较大小： （填“”“”或“”）． 20．（24-25八年级上·河南驻马店·期末）对于任意有理数 a、b 现用“☆”定义一种运算：，根据这个定义，代数式可以化简为 ． 【题型八】单项式除以单项式 21．（25-26八年级上·全国·期末）计算： ． 22．（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）某“数学乐园”展厅的密码被设计成如图所示的数学问题．小明在参观时认真思索，输入密码后成功地连接到网络．他输入的密码是 ． 【题型九】多项式除以单项式 23．（25-26七年级上·上海崇明·期中）计算： ． 24．（24-25八年级上·四川乐山·期末）计算： ． 25．（24-25八年级上·内蒙古通辽·期末）化简 ． 【题型十】整式的混合运算 26．（25-26八年级上·全国·期末）化简：． 27．（25-26八年级上·全国·期末）计算： (1)； (2)． 28．（24-25八年级上·湖北黄冈·期末）化简： (1)； (2)． 【题型十一】整式的化简求值问题 29．（23-24七年级下·辽宁丹东·期末）先化简再求值：，其中． 30．（25-26八年级上·陕西商洛·月考）先化简，再求值． (1)，其中，． (2)，其中． 31．（24-25八年级上·四川遂宁·期中）先化简再求值：，其中，． 【题型十二】整式混合运算与实际问题 32．（24-25八年级上·河南南阳·期中）9月25日8时44分，中国人民解放军火箭军向太平洋相关公海海域，成功发射1发携载训练模拟弹头的洲际弹道导弹，准确落入预定海域．某校的一个数学兴趣小组看到新闻后，产生浓厚的兴趣，参加了学校科技节比赛，制作了如图1所示航天火箭模型，为了向全校同学宣传自己的科技作品，用板制作了如图2所示的宣传版画，它是由一个三角形，两个梯形组成，已知板（阴影部分）的尺寸如图2所示． (1)用含a、b的代数式表示图2的板模型的总面积（结果需化简）； (2)若，，求板总面积． 33．（24-25七年级下·山东青岛·月考）如图，某市修建了一个大正方形休闲场所，在大正方形内规划了一个正方形活动区，连接绿地到大正方形四边的笔直小路如图所示．已知大正方形休闲场所的边长为米，四条小路的长与宽都为b米和米．阴影区域铺设草坪，草坪的造价为每平米20元． (1)用含a、b的代数式表示草坪（阴影）面积并化简． (2)若，，计算草坪的造价． 34．（24-25八年级上·山西长治·期末）某学校开辟了两块劳动实践种植实验田，一块形状为长方形，一块形状为正方形，两块实验田均用来种植茄子幼苗．其中，长方形实验田每排种植株，种植了排；正方形实验田每排种植株，种植了排，其中．这两块试验田共种植茄子幼苗多少株？ 35．（2024·河北石家庄·三模）有一电脑程序如图，能处理整式的相关计算，若输入整式，整式后，屏幕上自动呈现整式，但由于屏幕大小有限，只显示了整式的一部分：． (1)求程序自动呈现的整式； (2)在（1）的条件下，琪琪发现：若取某个正整数时，整式的值大于5，求满足条件的的最小值． 【题型十三】判断是否因式分解 36．（25-26八年级上·四川自贡·期末）下列等式从左到右的变形，因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 37．（25-26八年级上·江西南昌·月考）下列各式从左边到右边的变形是因式分解的为（    ） A． B． C． D． 38．（25-26八年级上·重庆·月考）下列各式从左边到右边的变形中，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【题型十四】已知因式分解的结果求参数 39．（25-26八年级上·河南洛阳·期中）将分解因式后有一个因式是，则的值是（   ） A．6 B． C．4 D． 40．（25-26八年级上·全国·单元测试）多项式可分解因式为，那么等于（　　） A． B． C． D． 41．（25-26七年级上·上海·期中）已知整式可以因式分解为，则的值为 ． 42．（25-26八年级上·山东烟台·期中）关于的代数式分解因式得，则的值为 ． 【题型十五】提公因式法分解因式 43．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解： ． 44．（25-26八年级上·湖南永州·期中）已知： ， 则 45．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）分解因式： ． 【题型十六】公式法分解因式 46．（25-26八年级上·全国·期末）分解因式： ． 47．（25-26八年级上·广东汕头·月考）若，是等腰三角形的两边长，且满足关系式，则的周长是 ． 48．（24-25八年级上·广东东莞·期末）分解因式：（1） ；（2） ． 49．（2025·新疆·模拟预测）分解因式： ． 【题型十七】综合提公因式法和公式法分解因式 50．（2025·山东聊城·二模）若，，则的值为 ． 51．（24-25九年级上·山东济宁·期末）分解因式： ． 【题型十八】因式分解的应用 52．（25-26八年级上·山东威海·月考）若的三边长a，b，c满足，则是 三角形． 53．（25-26八年级上·四川眉山·期中）阅读材料：要将多项式分解因式，可以先把它的前两项分成一组，再把它的后两项分成一组，从而得：．这种分解因式的方法称为分组分解法．根据以上方法回答下列问题： (1)解决问题：因式分解：； (2)拓展应用：已知三角形的三边长分别为a，b，c，且满足，试判断这个三角形的形状，并说明理由． 54．（24-25八年级下·四川成都·期末）先阅读下列材料，再解答下列问题： 材料：． 解：将“”看成整体，令，则原式； 再将“A”还原，得：原式． 上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，请你解下列问题： (1)类比应用，求______； (2)若n为正整数，判断式子的值是否是某一个整数的平方，并说明理由． 55．（24-25八年级上·江西南昌·期末）学习了公式法后，老师向同学们提出了如下问题： 将多项式因式分解： ． 求多项式的最小值． 由，得，因为，所以．所以当时，的值最小，且最小值为． 请你运用上述方法解决下列问题： (1)将多项式因式分解； (2)求多项式的最小值． 【题型一】积的乘方运算 56．（25-26八年级上·西藏林芝·期末）= ． 57．（24-25七年级上·重庆万州·月考）计算： ． 【题型二】乘法公式的特征辨别 58．（25-26八年级上·云南昭通·月考）下列各式中，能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 59．（25-26八年级上·天津滨海新·月考）下列式子：①；②；③．其中正确的是（   ） A．①②③ B．①② C．② D．① 60．（24-25八年级上·江西南昌·期末）下列各式中，能用完全平方公式计算的是（　　） A． B． C． D． 【题型三】已知完全平方式求字母系数 61．（25-26八年级上·内蒙古·期末）若是一个完全平方式，则实数的值为 62．（25-26八年级上·湖北襄阳·期末）若是完全平方公式，则 ． 63．（25-26八年级上·全国·期末）如果是一个完全平方式，那么k的值为 ． 【题型四】判断公因式 64．（25-26八年级上·甘肃天水·期末）多项式的公因式是 65．（24-25八年级上·广东东莞·期末）多项式的最大公因式是 ． 66．（24-25八年级上·河北沧州·期末）用提公因式法因式分解时，应提取的公因式是 ． 【题型五】判断能否运用公式法分解因式 67．（24-25八年级下·四川成都·期末）下列多项式中不能用平方差公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 68．（24-25八年级上·山东烟台·期中）下列多项式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 69．（22-23八年级上·福建厦门·期末）要使多项式能运用平方差公式进行分解因式，整式可以是（    ） A．1 B． C． D． 【题型一】幂的运算法则的应用 解题方法：1）通过逆用积的乘方，幂的乘方积同底数幂的乘、除法则可以简化计算. 如：，，，（a≠0）. 2）解一些结构特殊的题目，可以先将式子进行合理变形后求解. 70．（25-26八年级上·山东临沂·期末）（1）若，，求代数式的值． （2）已知：，求的值． （3）已知，求的值． 71．（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）计算下面各题： (1)已知，，求的值； (2)已知，求的值． 72．（25-26八年级上·福建泉州·期中）下面是小刘同学完成的一道作业题，请你参考小刘的方法解答下列问题： 作业 计算：． 解：原式． (1)计算：； (2)若，请求出的值． 【题型二】比较幂的大小 解题方法：对于底数为正整数的两个数 1）若底数相同，比较指数，指数大的比较大; 2）若指数相同，比较底数，底数大的比较大; 3）底数指数化不了一样的时候，利用放缩法（根据缩放底数或者指数转化为同底数幂或同指数幂的大小比较）. 73．（24-25八年级上·四川乐山·期末）阅读下列解题过程，试比较与的大小． 解：∵ ，，，而，∴． 请根据上述解答过程解答： 若，请比较a、b、c、d的大小．我的结论是： ． 74．（20-21八年级上·福建漳州·期中）阅读：已知正整数a、b、c，显然，当同底数时，指数大的幂也大，若对于同指数，不同底数的两个幂和，当时，则有，根据上述材料，回答下列问题． (1)比较大小：_________ （填写>、<或=）． (2)比较与的大小（写出比较的具体过程）． (3)计算． 【题型三】乘法公式与几何图形结合的应用问题 解题方法：乘法公式与几何图形相结合的实质是将乘法公式与直观的图形结合起来，是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使乘法公式几何化，可借助形的生动性和直观性进一步加深对乘法公式的. 75．（24-25八年级上·重庆万州·期末）某班数学兴趣小组的同学在学习整式乘法公式后，构造了以下图形验证乘法公式．请你利用数形结合的思想，通过等积法解决以下数学问题．从边长为的正方形中减掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)比较两图中阴影部分面积，可以验证的等式是_____________；（请选择正确的选项） A．    B． (2)若，，求的值； (3)计算：． 76．（24-25八年级上·广东韶关·期末）【背景阅读】在数学的学习中，我们经常可以利用图形的面积关系理解代数公式，使抽象的数量关系直观化． 【问题解决】（1）填空：根据图1所示图形的面积关系，可以写出的一个乘法公式是_____________； （2）如果图2中阴影部分的面积为25，一个小长方形的面积为14，求的值； 【拓展应用】（3）如图3，有两个正方形A，B，现将放在的内部得到图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得到图乙．设正方形的边长为，正方形的边长为，且图甲和图乙中阴影部分的面积分别为4和30．现将三个正方形和两个正方形如图丙摆放，求图丙中阴影部分的面积． 77．（24-25八年级上·广西南宁·期中）【知识生成】通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图1，在边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形（），把余下的部分剪开并拼成一个长方形（如图2），图1中阴影部分的面积可表示为：，图2中阴影部分的面积可表示为：，因为两个图中的阴影部分的面积是相同的，所以可得到等式：． 【结论探究】 图3是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个大正方形． （1）如图4，用两种不同方法表示图中阴影部分面积，可得到一个关于，，的等式是______． （2）若，，求的值． 【类比迁移】 （3）如图5，点是线段上的一点，以为边向上下两侧作正方形，正方形，两正方形的面积分别记为和，若，两正方形的面积和，求图中阴影部分的面积． 78．（23-24八年级上·河南南阳·期末）数形结合是一种重要的数学思想方法，利用图1中边长分别为、的两个正方形纸片和长为、宽为的长方形纸片，可以拼出一些图形来解释某些等式，如：由图2可得．      则： (1)由图3可以解释的等式是____________________； (2)用9张边长为的正方形纸片，12张长为、宽为的长方形纸片，4张边长为的正方形纸片拼成一个大正方形，则这个大正方形的边长为____________________； (3)先计算，再用图形的面积解释它的正确性． 【题型四】利用完全平方式变形求值 完全平方公式常用的变式：① ② ③ ④ ⑤ 79．（24-25八年级上·福建厦门·期末）已知，，求及的值． 80．（24-25八年级上·河南商丘·期末）（1）已知，，求的值． （2）已知，，求：和的值． 81．（24-25八年级上·贵州铜仁·期末）已知实数a，b满足． (1)求代数式的值； (2)求代数式的值． 【题型五】利用配方法求最值 解题方法：给二次项和一次项配一个数，使之成为完全平方式，然后利用平方的非负性求最值. 82．（23-24八年级上·甘肃临夏·期末）阅读材料：我们学习了完全平方式，并知道完全平方式具有非负性．我们可以利用完全平方式的知识，将一般的二次代数式，转化为完全平方式的形式，这个过程叫做“配方”．通过配方，我们可以求代数式的最大（小）值． 例如：求代数式的最小值． 解：我们可以先将代数式配方：， 再利用完全平方式的非负性：， ，的最小值是2． (1)请直接写出x为何值时代数式有最小值，最小值是多少？ (2)求代数式的最大值； (3)某中学数学兴趣小组在临夏中心广场“品牌新天地”前设计了一个长方形花圃，营造迎接新年的氛围，在一块两面靠墙（假设墙长无限）的空地上用花盆摆成长方形，另外两边用总长为的栅栏围成．如图，设，请问：当x取何值时，花圃的面积最大？最大面积是多少？ 83．（24-25八年级上·吉林长春·期末）【阅读】代数式． ， ， ∴当时，的值最小，最小值为1， 即的最小值为1． 【应用】（1）代数式的最小值为_______． （2）求代数式的最小值． 【拓展】代数式的最大值为_______． 【题型六】因式分解在有理数简算中的应用 简便运算步骤： ①观察数的特征，有公因式先提公因式； ②没有公因式则考虑是否符合平方差公式或完全平方公式. 84．（23-24八年级下·辽宁沈阳·月考）利用因式分解的方法简算 (1) (2) (3) 85．（25-26八年级上·新疆·月考）利用因式分解进行简便计算： (1)． (2)． 86．（25-26八年级上·全国·课后作业）利用因式分解简便计算： (1)． (2)． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $