第四章图形的认识 专题训练课件2025-2026学年湘教版七年级数学上册

该初中数学课件聚焦“与角有关的计算问题”专题，系统整合方程思想、分类讨论、整体思想及角的运动问题四大类型，通过例题解析、同类训练、综合拓展构建知识网络，串联角平分线、互补互余等核心概念，形成逻辑递进的复习体系。 其亮点在于融入新课标核心素养，如方程思想例题设未知数培养模型意识，分类讨论题考虑图形位置发展推理能力，角的运动问题结合动态情境提升几何直观。分层设计从基础训练到综合探究，适配不同学生需求，助力教师精准教学，有效巩固角的计算方法与数学思想应用。

第4章 图形的认识 专题提升五 与线段动点有关的计算问题 1 图1 1.如图1，已知线段， 是 线段上一动点，沿 以 （1）当时，___ . 的速度往返运动1次，设点的运动时间为（ 不超过10）. （2）用含的代数式表示运动过程中 的长. （3）设的中点为，的中点为，在运动过程中， 的长是否发 生变化？若不发生变化，则求出 的长；若发生变化，则请说明理由. 小锦囊 要对点从点向点运动，还是从点向点 运动，进行分类讨论. 8 ‹#› 目标素养 导航 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 2 （2）用含的代数式表示运动过程中 的长. 图1 解：当点由点向点移动时，；当点由点向点 移动 时， . ‹#› 目标素养 导航 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 3 （3）设的中点为，的中点为，在运动过程中， 的长是否发 生变化？若不发生变化，则求出 的长；若发生变化，则请说明理由. 解：不发生变化. ①当点由点向点移动时， ，. 因为，分别是线段， 的中点， 所以， . 所以. 图1 ‹#› 目标素养 导航 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 4 ②当点由点向点 移动时，，. 因为，分别是线段， 的中点， 所以 ， . 所以 . 综上所述，在运动过程中，的长不发生变化，长为 . 图1 ‹#› 目标素养 导航 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 5 2. 如图2，，是线段上任意一点，点， 分别从点 ，出发，同时向点运动，点的运动速度为，点 的运动速 度为，运动的时间为 . 图2 （1）当 时， ①求运动后 的长； 思路点拨 先求出，与 的长，然后利用即可 求出 ． 解：由题意，得， 因为， ， 所以 . 所以 ‹#› 6 ②若点在线段上运动，则请说明 . 思路点拨 用表示出，的长即可说明 . 解：由题意，得， . 因为， ， 所以 ， . 所以 . 所以 . 所以 . 图2 ‹#› 7 （2）当，时，求 的长． 图2 思路点拨 当时，先求出，的长，再对于点在点 的左 边还是右边进行分类讨论.可画出线段图，更便于计算． 图2 解：当 时，， 如图11，当点在点 的右边时， 因为 ， 所以 . 所以 . 所以 . ‹#› 8 如图2，当点在点 的左边时， 图2 因为 ， 所以 综上所述，的长为或 . ‹#› 9 图3 3.如图3，是线段上一点，，点 从点出发沿以的速度匀速向点 运动， 点从点出发沿以的速度匀速向点 运 （1）求 的长. 解：设，则. 由题意，得 .解得. 故的长为 . 动，两点同时出发，结果点比点提前到达点 ． ‹#› 10 （2）设点，运动时间为 ， 图3 ①求点与点重合（未到达点）时 的值； 解：由题意，得.解得. 故点与点 重合时（未到达点），的值为 . ‹#› 11 ②求点与点相距（未到达点） 时 的值． 解：当点追上点前与点相距时，由题意，得 . 解得. 当点追上点后与点相距时，由题意，得 . 解得. 综上，的值为或 ． 图3 ‹#› 12 4. 如图，数轴上A，B两点对应的有理数分别为10和15，点P从点A出发，以每秒1 个单位长度的速度沿数轴正方向运动，点Q同时从原点O出发，以每秒2个单位长 度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒. （1）当0＜t＜5时，用含t的式子填空：BP＝ ，AQ＝ ⁠； （2）当t＝2时，求PQ的值； 解：（2）当t＝2时，AP＜5，点P在线段AB上；OQ＜10，点Q在线段OA上， 如答图. 此时PQ＝OP－OQ＝（OA＋AP）－OQ ＝（10＋t）－2t＝10－t＝8. ​　5－t　 ​　10－2t　 解：（2）当t＝2时，AP＜5，点P在线段AB上；OQ＜10，点Q在线段OA上， 如答图. 此时PQ＝OP－OQ＝（OA＋AP）－OQ ＝（10＋t）－2t＝10－t＝8. （3）当PQ＝ AB时，求t的值. 解：（3）PQ＝｜OP－OQ｜＝｜（OA＋AP）－OQ｜ ＝｜（10＋t）－2t｜＝｜10－t｜. 因为PQ＝ AB， 所以｜10－t｜＝2.5. 解得t＝7.5或t＝12.5. 解：（3）PQ＝｜OP－OQ｜＝｜（OA＋AP）－OQ｜ ＝｜（10＋t）－2t｜＝｜10－t｜. 因为PQ＝ AB， 所以｜10－t｜＝2.5. 解得t＝7.5或t＝12.5. 5. 如图，直线l上有A，B两点，AB＝12cm，点O 是线段AB上的一点，OA＝2OB. （1）OA＝ cm，OB＝ cm； ​　8　 ​　4　 （2）若点C是线段AB上一点（点C不与点A，B重合），且满足AC＝CO＋ CB，求CO的长； 解：（2）设OC＝x， 分两种情况： ①当点C在线段OA上时， 因为AC＝CO＋CB， 所以8－x＝x＋4＋x， 3x＝4， 解得x＝ ； ②当点C在线段OB上时，因为AC＝CO＋CB， 所以8＋x＝4， 解得x＝－4（不符合题意，舍去）. 故CO的长是 cm； 解：（2）设OC＝x， 分两种情况： ①当点C在线段OA上时， 因为AC＝CO＋CB， 所以8－x＝x＋4＋x， 3x＝4， 解得x＝ ； ②当点C在线段OB上时，因为AC＝CO＋CB， 所以8＋x＝4， 解得x＝－4（不符合题意，舍去）. 故CO的长是 cm； （3）若动点P，Q分别从A，B同时出发，向右运动，点P的速度为2cm/s，点Q 的速度为1cm/s.设运动时间为ts，当点P与点Q重合时，P，Q两点停止运动.求当 t为何值时，2OP－OQ＝4cm. 解：（3）①当0＜t＜4（点P在点O的左侧）时， OP＝8－2t，OQ＝4＋t，2OP－OQ＝4， 则2（8－2t）－（4＋t）＝4，解得t＝1.6. ②当4≤t≤12时， OP＝2t－8，OQ＝4＋t，2OP－OQ＝4， 则2（2t－8）－（4＋t）＝4，解得t＝8. 综上所述，当t＝1.6s或8s时，2OP－OQ＝4cm. 解：（3）①当0＜t＜4（点P在点O的左侧）时， OP＝8－2t，OQ＝4＋t，2OP－OQ＝4， 则2（8－2t）－（4＋t）＝4，解得t＝1.6. ②当4≤t≤12时， OP＝2t－8，OQ＝4＋t，2OP－OQ＝4， 则2（2t－8）－（4＋t）＝4，解得t＝8. 综上所述，当t＝1.6s或8s时，2OP－OQ＝4cm. 6．如图，在直线上顺次取A，B，C三点，使得AB＝40 cm，BC＝280 cm，点P，点Q分别从A，B两点同时出发向点C运动，点P的速度为 3 cm/s，点Q的速度为1 cm/s. 　 (1)如果D是线段AC的中点，那么线段BD的长是 cm； (2)①求点P出发多少秒后追上点Q； ②点P出发多少秒后与点Q的距离是20 cm. 120 解：(2)①设点P出发x s后追上点Q， 根据题意得3x－x＝40，解得x＝20， 答：点P出发20 s后追上点Q. ②设点P出发t s后与点Q的距离是20 cm，根据题意得 3t－t＝40＋20或3t－t＝40－20， 解得t＝30或t＝10， 答：点P出发30 s或10 s后与点Q的距离是20 cm. 7．如图，已知a，b分别对应数轴上A，B两点，并且满足|a－2|＋(6＋2b)2＝0，点P为数轴上一个动点，它对应的数是x. (1)填空：a＝ ，b＝ ，AB＝ ； (2)若P为线段AB上一点，并且PA＝3PB，求x的值； (3)若P点从A点出发以每秒2个单位长度的速度运动，则出发几秒钟后，PA＝4PB? 2 －3 5 解：(2)根据题意，得 2－x＝3[x－(－3)]， 解得x＝－ . (3)因为点A在点B的右边， 所以若想PA＝4PB， 则点P从点A向左运动， 设点P运动的时间为t s， 则点P对应的数是2－2t， 根据题意得2t＝4|2－2t－(－3)|， 解得t＝2或 . 答：出发2 s或 s后，PA＝4PB. 8.A，B两点在数轴上的位置如图所示，现A，B两点分别以1个单位长度/s，4个单位长度/s的速度同时向左运动. (1)几秒钟后，原点O恰好在两点正中间？ (2)几秒钟后，恰好有OA∶OB＝1∶2? 解：(1)由图可知OA＝3，OB＝12，设x s后，原点O恰好在两点正中间，则有 3＋x＝12－4x，解得x＝. 答： s后，原点O恰好在两点正中间. (2)设y s后，恰好有OA∶OB＝1∶2， 则OB＝2OA，分两种情况： ①当B在点O的右边时，有12－4y＝2(3＋y)，解得y＝1； ②当点B运动到点O的左边时，有 4y－12＝2(3＋y)，解得y＝9. 答：1 s或9 s后，恰好有OA∶OB＝1∶2. 9.如图,是线段上的一个动点（不与点,重合）,是线段 的中 点,是线段的中点,的长是,则的长为___ . 5 提示：因为是线段的中点,是线段的中点,所以 , .所以 . ‹#› 27 16.（16分）如图13,,是线段上一点,动点从点 出发以 的速度向点运动,同时,动点从点出发以的速度向点 运 动（点在线段上,点在线段 上）. 图13 （1）当,点,运动了时,___,___ . 4 5 ‹#› 28 图13 （2）当,时,求动点和 运动的时间. 解：因为,, 所以. 设运动时间为 ,则,,. 因为 , 所以.解得. 所以动点和运动的时间为 . ‹#› 29 （3）当时,和 有什么数量关系？请说明理由. 图13 解：. 理由：设运动时间为,则, . 所以, . 所以 . ‹#› 30 【理解运用】 如图7,已知数轴上,两点对应的数分别为,,且 , 为数轴上一动点,对应的数为 . 图7 ‹#› 31 （1）求， 的值. 图7 解：因为,所以,.所以, . （2）求, 两点间的距离. 解：由（1）可知,，则，两点间的距离为 . ‹#› 32 （3）若点为线段的中点,求点对应的数 . 图7 解：由（1）可知，点对应的数是4，点对应的数是2.若点为线段 的中点，则点对应的数 . （4）若点为线段的中点,求点对应的数 . 解：由（1）可知，点对应的数是4，点对应的数是2.若点为线段 的中点，则，解得.故点对应的数 为0. ‹#› 33 【拓展提升】 （5）点,点同时在数轴上从图7的位置开始向左运动,点 的速度为每 秒3个单位长度,点的速度为每秒1个单位长度,求经过几秒点追上点 . 解：设经过点追上点.由题意,得.解得 .答：经 过点追上点 . ‹#› 34 【拓展探究】 图10 （3）“奋进”小组的同学在探究后,抽象出了新的问 题：如图10,已知 , （ , 都是锐角）,把它们的顶点 叠放在一起,请 探究与 之间有何数量关系,并说明理由. ‹#› 35 $第4章 图形的认识 专题提升六 与角有关的计算问题 1 类型一 利用方程思想求角 在有关角的计算问题中，当已知角度的比（或倍、分关系）时，常 常通过列方程的方法求解. 图1 例1 如图1，已知， 平分 ，平分，且 .求 的度数． 思路点拨 根据已知角的比例关系，设， ，，则.再根据角平分 线的定义以及 列方程求，即可求出 的度数. ‹#› 2 图1 解：由 ，设，， ， 则. 因为平分，平分 ， 所以，. 所以. 又 ， 所以.解得 . 所以 ． ‹#› 3 图2 1.如图2，已知，平分 ， .求 的度数． 解：由，设 ， ，则. 因为 平分， 所以 . 因为， ， 所以 .解得 . 所以 ． ‹#› 4 综合拓展 9.如图7，已知是直线上一点， ， 平分 . 图7 （1）与 互余的角是_____________________. ，， （2）与 互补的角是______________. ， 提示：因为 ， ，所以 . 因为与互补，所以与 互补.由 ，均与互余，可知 ， 所以.故与 互补. ‹#› 目标素养 导航 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 5 （3）已知，求 的度数. 图7 小锦囊 可设， ，列方程求解. ‹#› 目标素养 导航 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 6 图7 解：由，设 ，. 因为 ， 所以 .解得 . 所以 . 因为 ， 所以 ， . 所以 . 因为平分， 所以 . 因为 ， 所以 . ‹#› 目标素养 导航 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 7 23.（12分）综合与探究 【问题情境】 数学活动课上,为了提高同学们自主探究的热情,王老师提 出了数学问题并引导同学们逐步深入探究. 如图10,为直线上的一点,射线,在直线上方, , 射线在的内部,且平分 . 图10 【特例感知】 王老师先给出了已知角度,引导同学们开始探究学习. ‹#› 8 （1）已知 ,求和 的度数. 解：因为 ， 所以 . 因为 , 所以 . 因为平分 , 所以 . 所以 . 图10 ‹#› 9 【类比迁移】 在计算好已知角度后,王老师提出：“结合所学的代数式内 容,将已知角度改为用代数式表示”,引导同学们进一步探究 与 的关系. 图10 （2）如图10,若,则_ ___.（用含 的 式子表示） 提示：由已知,得 . 因为, 平分, 所以 . ‹#› 10 【拓展探究】 同学们对王老师提出的问题条件进行拓展研究,并得出 与 的关系. 图11 （3）如图11,当射线,分别在直线 的上方和下方时,经探究,小明 得到的结论是 .他的结论是否正确?请说明理由. ‹#› 11 解：小明的结论正确. 理由：设 ,则 . 因为平分, 所以 . 因为 , 所以 . 所以,即 . 图11 ‹#› 12 类型二 利用分类讨论思想求角 在进行角度计算时，当题目中没有给出图形，或要求补全图形时， 常需分类讨论，以保证答案的完整性. 例2 已知 ，，反向延长至点 ，求 的度数． 思路点拨 由于题目中没有给出图形，因此要分射线在 的 内部和外部两种情况进行讨论求解. ‹#› 13 13.在同一平面上，若 ，，则 的度 数是____________. 或 提示： .分两种情况：在 的内部，则 ；在 的内 部，则 . ‹#› 14 解： ①如图3，当在 的内部时， 图3 因为 ， 所以 . 所以 ． ‹#› 15 ②如图4，当在 的外部时， 图4 因为 . 所以 ． 故的度数为 或 . ‹#› 16 图5 2.如图5，在的内部，是 的平分线，是 的平分线. （1）已知 ， ，求 的度数. 解：因为是的平分线，是 的平分线， 所以， 因为 ，， 所以 ， . 所以 . ‹#› 17 （2）在（1）的条件下，在的内部，当是 的一条三等 分线时，画出射线，并求出 的度数. 图5 解：①如图24，当是内部靠近 的一条三等分线时， ， . 所以 图24 ‹#› 18 解： 如图25. 当是内部靠近的一条三等分线时， . 由（1）可知 ， 所以 . 所以 . 综上所述，的度数为 或. 图25 ‹#› 19 类型三 利用整体思想求角 在角的计算中，整体思想主要体现在当有公共顶点和公共边的两个 角的和或差一定时，把它们的和或差作为整体计算，可得到它们的角平 分线的夹角也是一个定值. ‹#› 20 例3 如图6，直线，相交于点， ，平分 ， 平分 ． 图6 （1）当 时，求 的度数． 思路点拨 由同角的补角相等可得 . ‹#› 21 解：因为平分， ， 所以 . 因为 ， 所以 . 因为 ， ， 所以 . 图6 ‹#› 22 （2）判断与 的数量关系，并说明理由． 图6 思路点拨 可先设 ，利用角平分线的性质、数形结合，用含 的代数式表示出.再由角的和差关系求得， 的度数， 即可得出结论. ‹#› 23 图6 解： . 理由：设 . 因为平分 ， 所以 . 因为 ， ， 所以 . 所以 . 因为平分 ， 所以 . 所以 . 所以 ． ‹#› 24 3.如图7，已知是直线上一点，平分，平分 . 图7 （1）当 时，求和 的度数． 解：因为平分， ， 所以 . 所以 . 又平分 ， 所以 . ‹#› 25 图7 （2）改变的度数，判断 的度数是否发生改 变，并说明理由． 解：改变的度数， 的度数不发生改变． 理由：因为平分，平分 ， 所以，. 因为 ， 所以 ， 即 ，为定值. ‹#› 26 类型四 角的运动问题 角的运动主要包括角的旋转、折叠以及三角尺的旋转等．解决策略： 在某一时刻，利用角的位置（大小），建立方程求解，或借助整体思想、 分类讨论思想、数形结合思想进行探究与求解． ‹#› 27 （1）如图8，当三角尺的一边与射线重合时，____ . 25 图8 提示： ． 思路点拨 根据 计算即可． 例4 为直线上一点，过点作射线，使 ，将一块直 角三角尺的直角顶点放在点 处． ‹#› 28 图9 （2）如图9，将三角尺绕点 逆时针旋转一定角度， 此时是的平分线，求和 的度数. 思路点拨 根据已知角和角平分线的定义，可求得 的度数，进而可得和 的度数． 解：因为 ，是 的平分线， 所以 ． 所以 ． 所以 ． ‹#› 29 （3）将三角尺绕点 逆时针旋转至图10所示的位置，此时 ，求 的度数． 图10 思路点拨 先求出的度数，即可得到 的度数． ‹#› 30 图10 解：因为 ， ， 所以 ． 因为 ， 所以 ． 所以 ． 所以 ． 所以 ． ‹#› 31 图11 4.如图11，已知 ，射线绕点从 的位 置开始，以每秒 的速度按顺时针方向旋转；同时， 射线绕点从的位置开始，以每秒 的速度按逆 时针方向旋转．当与成 角时，与 同时 停止旋转． （1）当旋转时， 的度数是____. 提示： . ‹#› 32 图11 （2）当与的夹角是 时，求旋转的时间. 解：设旋转时，与的夹角是 ，则 ， . 当在 上方时，有 ， 所以. 解得. 当在 上方时，有， 所以.解得 . 故当与的夹角是 时，旋转的时间是或． ‹#› 33 （3）当平分 时，求旋转的时间． 图11 解：如图26，设旋转时间为，则 ， . 由 平分，得， 所以. 解得 . 故当平分时，旋转的时间是 ． 图26 ‹#› 34 图14 17.（16分）综合与实践 【实践操作】 操作1：图14是由一副三角尺拼成的 图案,其中三角尺的边与三角尺的边 紧靠在一起． 操作2：如图15、图16，固定三角尺 ,把三角尺 绕着点 旋转. 图15 图16 ‹#› 35 【特例分析】 （1）如图14,在操作1中， 的度数是______. 图14 ‹#› 36 （2）如图15，在操作2的旋转过程中，当恰好是 的平分线时， 请求出的度数和 的度数. 解：因为是的平分线, , 所以 . 因为 , 所以 . 所以 ． 图15 ‹#› 37 【探究发现】 （3）如上页图16,在操作2的旋转过程中,保持在 的内部,那么 的度数是否发生变化？请说明理由． 解： 的度数不发生变化． 理由：因为, 所以 . 所以 的度数不发生变化． 图16 ‹#› 38 5.［例4变式］如图12，为直线上一点，过点作射线 ，使 ，将一块三角尺的直角顶点放在点处，一边在射线 上，另一边在直线 的下方. 图12 图13 图14 ‹#› 39 （1）如图13，将图12中的三角尺绕点按逆时针方向旋转，使边 在 的内部，且恰好平分，此时___ ， ___ . 120 30 提示：因为平分，所以 .所 以 ， . 图12 图13 ‹#› 40 （2）如图14，继续将图13中的三角尺绕点按逆时针方向旋转，使边 在 的内部.试探究与 之间满足什么数量关系，并说明理由. 解： . 理由:因为 ， 所以 . 所以 . 所以. 又 ， 所以 ，即 . 图13 图14 ‹#› 41 （3）将图12中的三角尺绕点以每秒 的速度按逆时针方向旋转一周， 在旋转的过程中，若直线恰好平分，则此时三角尺绕点 旋转的时 间是_______ . 图12 ‹#› 42 提示：设三角尺旋转的时间是.因为 ，所以 . 当直线恰好平分时，分两种情况：①如图27，线段在 外部，即线段的反向延长线平分 .根据同角的补角相等，得 ，此时旋转 .所以.解得 .②如 图28，线段在内部，即线段平分，则 ，此 时旋转 .所以.解得 . 图27 图28 ‹#› （3）将图12中的三角尺绕点以每秒 的速度按逆时针方向旋转一周， 在旋转的过程中，若直线恰好平分，则此时三角尺绕点 旋转的时 间是_______ . 6或24 图12 ‹#› 44 23.（12分）综合与探究 数学活动课上,数学老师和同学们一起利用三角尺探究共顶点的4条射线 形成的角之间的关系. 【特例分析】 图8 （1）数学老师让同学们每人拿出两块不相同的三角尺, 并将两块三角尺的直角顶点 叠放在一起,如图8.为了引 导同学们开始探究,数学老师提出了下面的问题,请你帮 忙解答. ①若 ,则 ______； ‹#› 45 图8 提示：已知 ，若 ， 则 .所以 . 答案： ‹#› 46 ②若 ,则 ____. 图8 提示：已知 ，若 ,则 .所以 . ‹#› 47 图9 （2）数学老师接着提出：希望同学们小组合作,每个小 组准备两块同样的含 角的三角尺,将 角的顶点 叠放在一起,如图9.请探究与 之间有何数量 关系,并说明理由. 解： .理由：因为 ,所以 所以 . .所以 . ‹#› 48 解： .理由：因为 ， ，所以 .所以 .所以 . 图10 ‹#› $