精品解析：广东省梅州市梅县区2023-2024学年上学期期中统考九年级数学试题

2023~2024学年度第一学期九年级数学科中段试卷 考试时间：120分钟 试卷总分：120分 一、单选题（共10题，每题3分，共30分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列说法正确的是（ ） A. 邻边相等的矩形是正方形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 矩形的对角线互相垂直且互相平分 D. 顺次连接一四边形各边中点所得到的四边形是菱形，则原四边形一定就是矩形 3. 国学经典《声律启蒙》中有这样一段话：“斜对正，假对真，韩卢对苏雁，陆橘对庄椿”，现有四张卡片依次写有一“斜”、“正”、“假”、“真”，四个字（4张卡片除了书写汉字不同外其他完全相同），现从四张卡片中随机抽取两张，则抽到的汉字恰为相反意义的概率是（ ） A. B. C. D. 4. 电影《长津湖》讲述了一段波澜壮阔的历史，一上映就获得全国人民的追捧，某地第一天票房约3亿元，第三天的票房收入达10亿元，若把增长率记作x，则可以列出方程为（　　） A. B. C. D. 5. 给出下列各组线段，其中四条线段成比例的是（ ） A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 6. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　）． A. B. 且 C. k<2 D. 且 7. 下面四个选项中的一般三角形、等边三角形、正方形、矩形的各边分别等距向外扩张1个单位，那么扩张后的几何图形与原几何图形不一定相似的是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，矩形中，对角线，交于点，若，，则长为（ ） A. B. 4 C. 3 D. 5 9. 如图，在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，若BF=6，AB=5，则AE的长为(　　) A. 4 B. 8 C. 6 D. 10 10. 如图，在正方形中，顶点，，，在坐标轴上，且，以为边构造菱形．将菱形与正方形组成的图形绕点逆时针旋转，每次旋转，则第2022次旋转结束时，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6题，每题3分，共18分） 11. 不透明的箱子里装有除颜色外完全相同的黑白两种颜色的塑料球共50个，为了估计两种颜色的球各有多少个，将箱子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回箱子中，多次重复上述过程后，发现摸到黑球的频率稳定在0.7，据此可以估计箱子里黑球个数约是______个． 12. 若，则________． 13. 一元二次方程的两根为，则______． 14. 今年“国庆节”和“中秋节”双节期间，某微信群规定，群内的每个人都要发一个红包，并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包，若此次抢红包活动，群内所有人共收到90个红包，则该群一共有_________人． 15. 如图，菱形的对角线、相交于点O，过点D作于点H，连接，，若菱形的面积为12，则的长为________． 16. 如图，正方形中，，点在边上，，将沿对折至，延长交边于点，连接，给出以下结论： ；；； ，其中所有正确结论是______． 三、解答题（共8题，共72分） 17. 解方程． （1）； （2）． 18. 某中学为做好学生“午餐工程”工作，学校工作人员搭配了，，，四种不同种类的套餐，学校决定围绕“在，，，四种套餐中，你最喜欢的套餐种类是什么？（必选且只选一种）”的问题，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，将调查问适当整理后绘制成如图所示的不完整的条形统计图，其中最喜欢种套餐的学生占被抽取人数的．请你根据以上信息解答下列问题： 最喜欢的套餐种类的人数发布情况 （1）在这次调查中，一共抽取了________名学生； （2）通过计算，补全条形统计图； （3）如果全校有2000名学生，请你估计全校学生中最喜欢种套餐的学生有多少名？ （4）甲、乙两名同学一起去学校餐厅就餐，他们随机在“、、、四种套餐”中选择一种，求甲、乙两名同学选择同一种套餐就餐概率． 19. 如图，．直线m、n与a、b、c分别相交于点A、B、C和点D、E、F． （1）若，求的长； （2）若，，求的长． 20. 如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE=BD，连接AE． （1）若∠ADB=40°，求∠E度数． （2）若AB=3，CE=5，求AE的长． 21. 阳澄湖大闸蟹又名金爪蟹，体大膘肥，肉质膏腻，农历9月的雌蟹、10月的雄蟹，煮熟凝结，雌者成金黄色，雄者如白玉状，滋味鲜美.某经销部门以每千克40元从养殖户处进货一批阳澄湖大闸蟹；据市场分析，若按每千克50元销售，一天能售出400千克，销售单价每上涨1元，日销售量就减少10千克；物价部门规定：销售单价不能超过68元.要使日销售利润为6000元，销售单价应定为多少元？ 22. 已知平行四边形，相交于点，点在上，且． （1）求证：四边形平行四边形； （2）若，判断四边形的形状，说明理由． 23. 已知，如图：在直角坐标系中，正方形AOBC的边长为4，点D，E分别是线段AO，BO上的动点，D点由A点向O点运动，速度为每秒1个单位，E点由B点向O点运动，速度为每秒2个单位，当一个点停上运动时，另一个点也随之停止，设运动时间为t（秒） （1）如图1，当t为何值时，△DOE的面积为6； （2）如图2，连接CD，与AE交于一点，当t为何值时，CD⊥AE； （3）如图3，过点D作DGOB，交BC于点G，连接EG，当D，E在运动过程中，使得点D，E，G三点构成等腰三角形，求出此时t的值 24. 如图，矩形ABCO中，点C在x轴上，点A在y轴上，点B坐标是（-6，8），矩形ABCO沿直线BD折叠，使得点A落在对角线OB上的点E处，折痕与0A、x轴分别交于点D、F． （1）求证：△BOF是等腰三角形； （2）求直线BD的解析式； （3）若点P是平面内任意一点，点M是线段BD上的一个动点，过点M作MN⊥x轴，垂足为点N在点M的运动过程中是否存在以P、N、E、O为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点M的坐标：若不存在，请说明理由 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023~2024学年度第一学期九年级数学科中段试卷 考试时间：120分钟 试卷总分：120分 一、单选题（共10题，每题3分，共30分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程”分析判断即可． 【详解】解：A、方程整理得，不是一元二次方程，本选项不符合题意； B、不是整式方程，不是一元二次方程，本选项不符合题意； C、，是一元二次方程，本选项符合题意； D、，有两个未知数，不是一元二次方程，本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义． 2. 下列说法正确的是（ ） A. 邻边相等矩形是正方形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 矩形的对角线互相垂直且互相平分 D. 顺次连接一四边形各边中点所得到的四边形是菱形，则原四边形一定就是矩形 【答案】A 【解析】 【分析】根据正方形的判定、菱形的判定、矩形的性质及中点四边形的概念判断即可． 【详解】解：邻边相等的矩形是正方形，说法正确，故A符合题意； 对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，故B不符合题意； 矩形的对角线互相平分，但不垂直，故C不符合题意； 顺次连接一四边形各边中点所得到的四边形是菱形，则原四边形不一定就是矩形，顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所得到的四边形是矩形，故D不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查正方形判定、菱形的判定、矩形的性质及中点四边形，熟练掌握相关定理是解题的关键． 3. 国学经典《声律启蒙》中有这样一段话：“斜对正，假对真，韩卢对苏雁，陆橘对庄椿”，现有四张卡片依次写有一“斜”、“正”、“假”、“真”，四个字（4张卡片除了书写汉字不同外其他完全相同），现从四张卡片中随机抽取两张，则抽到的汉字恰为相反意义的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意画出树状图，得出所有可能数和所求情况数，根据概率公式即可得答案． 【详解】根据题意画出树状图： ∵事件发生的所有可能性为12种；抽到的汉字恰为相反意义的事件为4种； ∴抽到的汉字恰为相反意义的概率是：=， 故选：B． 【点睛】本题考查列表法或树状图法求概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数的比；正确画出树状图，熟练掌握概率公式是解题关键． 4. 电影《长津湖》讲述了一段波澜壮阔的历史，一上映就获得全国人民的追捧，某地第一天票房约3亿元，第三天的票房收入达10亿元，若把增长率记作x，则可以列出方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据第一天票房及以后每天票房的增长率，即可得出第二天票房约亿元，第三天票房约亿元，结合第三天的票房收入达10亿元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：依题意得：． 故选：B． 5. 给出下列各组线段，其中四条线段成比例的是（ ） A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了成比例线段的判断，准确分析判断是解题的关键． 判断四条线段是否成比例，可通过计算最小线段与最大线段乘积是否等于另外两条线段的乘积来验证． 【详解】对于选项：线段长为，，，， ，，， 不成比例； 对于选项：线段长为，，，， ，，， 不成比例； 对于选项：线段长为，，，， 将线段从小到大排序为：，，，， ，，， 不成比例； 对于选项：线段长为，，，， 将线段从小到大排序为：，，，， ，，， 成比例． 故选． 6. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　）． A. B. 且 C. k<2 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式列式求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴ 且， ∴且． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义和根的判别式，一元二次方程方程有两个不等实数根，则；方程有两个相等实数根，则；方程没有实数根，则． 7. 下面四个选项中的一般三角形、等边三角形、正方形、矩形的各边分别等距向外扩张1个单位，那么扩张后的几何图形与原几何图形不一定相似的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】若边数相同的两个多边形，它们的对应边成比例，对应角相等，则这两个多边形相似；根据相似多边形的定义进行判断即可． 【详解】解：A：形状相同，符合相似形的定义，对应角相等，所以三角形相似，故A选项不符合要求； B：形状相同，符合相似形的定义，故B选项不符合要求； C：形状相同，符合相似形的定义，故C选项不符合要求； D：两个矩形，虽然四个角对应相等，但对应边不一定成比例，故D选项符合要求； 故选：D． 【点睛】本题考查了相似多边形的判定，熟悉多边形相似的概念是关键． 8. 如图，矩形中，对角线，交于点，若，，则长为（ ） A. B. 4 C. 3 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，等边三角形的性质和判定；矩形的对角线相等且互相平分，可得，，所以为等边三角形，得到，最后由矩形的对边相等可得的长. 【详解】解：∵矩形中，对角线，交于点，， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴. 故选：B. 9. 如图，在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，若BF=6，AB=5，则AE的长为(　　) A. 4 B. 8 C. 6 D. 10 【答案】B 【解析】 【详解】解：设AG与BF交点为O， ∵AB=AF，AG平分∠BAD，AO=AO， ∴∠BAO=∠FAO， ∴△ABO≌△AFO（SAS）， ∴BO=FO=3，∠AOB=∠AOF=90º， ∵AB=5， ∴， ∵AF∥BE， ∴∠FAO=∠BOE， 又∵OB=OE，∠AOE=∠EOB， ∴△AOF≌△EOB（AAS）， ∴AO=EO， ∴AE=2AO=8， 故选B． 【点睛】本题考查角平分线的作图原理和平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理等等，熟知相关知识是解题的关键． 10. 如图，在正方形中，顶点，，，在坐标轴上，且，以为边构造菱形．将菱形与正方形组成的图形绕点逆时针旋转，每次旋转，则第2022次旋转结束时，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，菱形的性质，勾股定理，旋转的性质，坐标与图形，全等三角形的性质和判定，熟练掌握正方形知识和找到规律是解决本题的关键；先根据正方形知识求出长，从而求出点F的坐标，再得出旋转后的F的坐标，从中找到规律，从而求出点的坐标. 【详解】解：∵点B的坐标为， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵将菱形与正方形组成的图形绕点逆时针旋转，每次旋转， ∴点F也绕点逆时针旋转，每次旋转，如图所示： ∵， ∴可知其规律为，8个点一组循环， ∵， ∴与重合，坐标相同， 过点F作轴，过点作轴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵在第四象限， ∴， ∴. 故选：A. 二、填空题（共6题，每题3分，共18分） 11. 不透明的箱子里装有除颜色外完全相同的黑白两种颜色的塑料球共50个，为了估计两种颜色的球各有多少个，将箱子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回箱子中，多次重复上述过程后，发现摸到黑球的频率稳定在0.7，据此可以估计箱子里黑球个数约是______个． 【答案】35 【解析】 【分析】根据黑球频率稳定在0.7，得到摸到黑球的概率为0.7，利用总数乘以概率即可得出结果． 【详解】解：∵多次重复上述过程后，发现摸到黑球的频率稳定在0.7， ∴摸到黑球的概率为0.7， ∴黑球个数约是个； 故答案为：． 【点睛】本题考查利用频率估计概率，以及已知概率求数量．解题的关键是根据频率估算出概率． 12. 若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了代数式的代入求值和分式的约分运算． 先根据已知条件用表示出，再代入所求的表达式化简即可． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 13. 一元二次方程的两根为，则______． 【答案】11 【解析】 【分析】根据，计算即可． 【详解】∵一元二次方程的两根为， ∴， ∴， 故答案为：11． 【点睛】本题考查了根与系数关系定理，完全平方公式的变形计算，熟练掌握定理是解题的关键． 14. 今年“国庆节”和“中秋节”双节期间，某微信群规定，群内的每个人都要发一个红包，并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包，若此次抢红包活动，群内所有人共收到90个红包，则该群一共有_________人． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设该群一共有x人，则每人收到个红包，根据群内所有人共收到90个红包，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：设该群一共有x人，则每人收到个红包， 依题意，得：， 解得：（舍去）． 则该群一共有10人 故答案：10． 15. 如图，菱形的对角线、相交于点O，过点D作于点H，连接，，若菱形的面积为12，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】在中先求得的长，根据菱形面积公式求得长，再根据勾股定理求得长，即可得到． 【详解】解：， ， 四边形是菱形， ，，， （直角三角形斜边上中线等于斜边的一半）， ，， 由得， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形性质，直角三角形性质，勾股定理等知识，解题的关键是先求得的长． 16. 如图，正方形中，，点在边上，，将沿对折至，延长交边于点，连接，给出以下结论： ；；； ，其中所有正确结论的是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据正方形的性质和折叠的性质可得，通过证明即可得到答案；设，则，求出的值即可得到答案；由， 得到，由，得到 ，即可得到答案，根据等高的两个三角形的面积比等于底与底的比即可求得答案． 【详解】解：由正方形的性质和折叠可知：， ， 在和中， ， ， 故正确，符合题意； 正方形的边长为12， ， 设，则， 由勾股定理得，， 即：， 解得：， ，， ， 故正确，符合题意； ， ， ， ， 故正确，符合题意； ，， ， ， 故错误，不符合题意； 故答案为：． 【点睛】本题考查了图形的翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定，三角形的面积计算，有一定难度． 三、解答题（共8题，共72分） 17. 解方程． （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）移项后，利用因式分解法求解即可利用配方法求解即可； （2）移项后，利用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ， 或， ∴，； 【小问2详解】 解： ， ， 或， ∴，． 【点睛】本题主要考查了用因式分解法解一元二次方程，能够根据方程特点灵活选用不同的解法是解题的关键． 18. 某中学为做好学生“午餐工程”工作，学校工作人员搭配了，，，四种不同种类的套餐，学校决定围绕“在，，，四种套餐中，你最喜欢的套餐种类是什么？（必选且只选一种）”的问题，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，将调查问适当整理后绘制成如图所示的不完整的条形统计图，其中最喜欢种套餐的学生占被抽取人数的．请你根据以上信息解答下列问题： 最喜欢的套餐种类的人数发布情况 （1）在这次调查中，一共抽取了________名学生； （2）通过计算，补全条形统计图； （3）如果全校有2000名学生，请你估计全校学生中最喜欢种套餐的学生有多少名？ （4）甲、乙两名同学一起去学校餐厅就餐，他们随机在“、、、四种套餐”中选择一种，求甲、乙两名同学选择同一种套餐就餐的概率． 【答案】(1)200；(2)详见解析；(3)约有500名；（4） 【解析】 【分析】（1）用D种类的人数除以百分比即可得到答案； （2）用总人数减去A、B、D的人数得到C种类的人数； （3）用2000乘以B种类的比例即可得到答案； （4）列树状图解答即可. 【详解】（1）， 故答案为：200； （2）C种类的人数为：200-90-50-40=20（人） （3）（名）， 答：全校学生中最喜欢B种套餐的学生约有500名. （4）列树状图如下： 共有16种等可能的情况，其中甲、乙两名同学选择同一种套餐就餐的有4种， ∴P（甲、乙两名同学选择同一种套餐就餐）==. 【点睛】本题考查的是条形统计图的运用，根据部分求总体数量，利用部分估计总体，列树状图求事件的概率，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键. 19. 如图，．直线m、n与a、b、c分别相交于点A、B、C和点D、E、F． （1）若，求的长； （2）若，，求的长． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入计算得到答案． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴， 解得． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例是解题的关键． 20. 如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE=BD，连接AE． （1）若∠ADB=40°，求∠E的度数． （2）若AB=3，CE=5，求AE的长． 【答案】（1）20° （2） 【解析】 【分析】（1）连接AC，根据矩形的性质可得△ABC≌△BAD，从而得到∠ACB=∠ADB=40°，再由BD=CE，可得AC=CE，从而得到∠E=∠CAE，即可求解； （2）根据勾股定理可得BC=4，从而得到BE=9，再由勾股定理，即可求解． 【小问1详解】 解：如图，连接AC， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AC=BD，AD=BC，∠ABC=∠BAD=90°， ∵AB=BA， ∴△ABC≌△BAD， ∴∠ACB=∠ADB=40°， ∵BD=CE， ∴AC=CE， ∴∠E=∠CAE， ∵∠ACB=∠E+∠CAE， ∴∠E=20°； 【小问2详解】 解：由（1）得：AC=CE=5，∠ABC=90°， ∵AB=3， ∴， ∴BE=BC+CE=9， ∴． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 21. 阳澄湖大闸蟹又名金爪蟹，体大膘肥，肉质膏腻，农历9月的雌蟹、10月的雄蟹，煮熟凝结，雌者成金黄色，雄者如白玉状，滋味鲜美.某经销部门以每千克40元从养殖户处进货一批阳澄湖大闸蟹；据市场分析，若按每千克50元销售，一天能售出400千克，销售单价每上涨1元，日销售量就减少10千克；物价部门规定：销售单价不能超过68元.要使日销售利润为6000元，销售单价应定为多少元？ 【答案】60元 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用；设销售单价应定为每千克x元，日销售利润日销售量每千克利润，根据“按每千克50元销售，一天能售出400千克，单价每上涨1元，日销售量就减少10千克”先表示出日销售量，然后根据日销售利润为6000元列方程求解，舍去不合题意的解即可得到答案. 【详解】解：设销售单价应定为每千克元， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， ∵销售单价不能超过68元， ∴， 答：销售单价应定为每千克60元． 22. 已知平行四边形，相交于点，点在上，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，判断四边形的形状，说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）平行四边形是菱形，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证明； （2）根据平行四边形的性质可得，然后利用菱形的性质可得，进而可以证明四边形是菱形． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形，对角线相交于点， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形． 【小问2详解】 解：平行四边形是菱形，理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平行四边形为菱形， ∴， ∴平行四边形是菱形． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、等腰三角形的性质、菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 23. 已知，如图：在直角坐标系中，正方形AOBC的边长为4，点D，E分别是线段AO，BO上的动点，D点由A点向O点运动，速度为每秒1个单位，E点由B点向O点运动，速度为每秒2个单位，当一个点停上运动时，另一个点也随之停止，设运动时间为t（秒） （1）如图1，当t为何值时，△DOE的面积为6； （2）如图2，连接CD，与AE交于一点，当t为何值时，CD⊥AE； （3）如图3，过点D作DGOB，交BC于点G，连接EG，当D，E在运动过程中，使得点D，E，G三点构成等腰三角形，求出此时t的值 【答案】（1） （2） （3）0， 1.6， 0.8， 1 【解析】 【分析】（1）先表示出OE，OE，利用△DOE的面积为6建立方程求解即可得出结论； （2）先判断出∠ACD=∠OAE，进而利用AAS判断出△AOE≌△CAD，得出AD=OE建立方程求解即可得出结论； （3）分DG=DE，GE=DE，DG=EG三种情况进行分类讨论． 【小问1详解】 由题意知，AD=t，BE=2t，OA=4, ∴OD=4-t，OE=4-2t， ∴， ∴， ∴或＞2（舍）， 即当t为3-秒时，△DOE的面积为6； 【小问2详解】 如图2，当CD⊥AE时，此时，∠ACD+∠CAF=90°， ∵∠CAF+∠OAE=90°， ∴∠ACD=∠OAE， ∵∠AOE=∠CAD=90°，OA=AC， ∴△AOE≌△CAD（AAS）， ∴AD=OE， ∴t=4-2t， ∴t=； 即所求t值为； 【小问3详解】 ∵四边形OACB是正方形，， ∴可得四边形OBGD是矩形， ∴OB=DG=4，OD=BG=4-t， ①如图3，当EG=DG=4时， 在Rt△BEG中，， ∴， ∴， ∴t=0或t=1.6； ②如图4，当DE=DG=4时， 在Rt△ODE中，， ∴， ∴t=0.8或t=4＞2（舍）， 如图5，当DE=GE时， ∵OD=BG，∠DOE=∠GBE=90°， ∴△ODE≌△BGE， ∴OE=BE， ∴2t=2， ∴t=1， 综上所述t的值为：0、1.6、0.8、1． 【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，三角形的面积公式，用方程的思想解决问题是解本题的关键． 24. 如图，矩形ABCO中，点C在x轴上，点A在y轴上，点B的坐标是（-6，8），矩形ABCO沿直线BD折叠，使得点A落在对角线OB上的点E处，折痕与0A、x轴分别交于点D、F． （1）求证：△BOF是等腰三角形； （2）求直线BD的解析式； （3）若点P是平面内任意一点，点M是线段BD上的一个动点，过点M作MN⊥x轴，垂足为点N在点M的运动过程中是否存在以P、N、E、O为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点M的坐标：若不存在，请说明理由 【答案】（1）见解析 （2）y=x+5 （3）存在，M点的坐标为（，）、或（，） 【解析】 【分析】（1）由四边形ABCO是矩形，得∠ABF=∠BFO，根据矩形ABCO沿直线BD折叠，使得点A落在对角线OB上的点E处，得∠ABF=∠OBF，即得∠BFO=∠OBF，从而△BOF是等腰三角形； （2）先求出OB的长，根据矩形ABCO沿直线BD折叠，使得点A落在对角线OB上的点E处，可得OE=OB-BE=4，设OD=m,则AD=ED=8-m, 在Rt△ODE中利用勾股定理列方程可求得m的值，进而得到D（0，5），再用待定系数法即可得直线BD解析式； （3）先求出E点坐标，再菱形分类讨论题型之求第三点．解题方法：利用菱形邻边相等列方程求解． 【小问1详解】 证明：∵四边形ABCO是矩形， ∴AB//OC， ∴∠ABF=∠BFO， ∵矩形ABCO沿直线BD折叠，使得点A落在对角线OB上的点E处， ∴∠ABF=∠OBF， ∴∠BFO=∠OBF， ∴OB=OF， ∴△BOF是等腰三角形； 【小问2详解】 ∵点B的坐标是（-6，8） ∴AB=OC=6，BC=OA=8， ∴OB==10， ∵矩形ABCO沿直线BD折叠，使得点A落在对角线OB上的点E处， ∴BE=AB=6，AD=ED，∠BED=∠BAD=90°， ∴OE=OB-BE=10-6=4， 设OD=m，则AD=ED=8-m， 在Rt△ODE中，DE2+OE2=OD2， ∴（8-m）2+42=m2， 解得m=5， ∴OD=5， D（0，5）， 设直线BD解析式为y=kx+5， 将B（-6，8）代入得：-6k+5=8， 解得k=， ∴直线BD解析式为y=x+5； 【小问3详解】 过作轴于，如图： 由（2）知， ，， ， ，即， ，， ，， 设M（a，a+5），则N（a，0）， ∵M在线段BD上 ∴ ①当ON为菱形对角线时， ∵EN=EO， ∴， 解得a=0（舍去）或a=， ∴M（）； ②当EN为菱形对角线时， ∵ON=OE， ∴， 解得a=（正值舍去） ∴M； ③当OE为菱形对角线时， ∵EN=ON， ∴， 解得a=0（舍去）或a=， ∴M（）； 综上所述，M点的坐标为（）、、或（） 【点睛】本题考查一次函数综合应用，涉及待定系数法，等腰三角形的判定，菱形的性质及应用等知识，解题的关键是分类思想和方程思想的应用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $