专题04：突破一元一次方程的应用（8大考点+8大重点常考题型）2025-2026学年苏科版七年级上学期数学期末复习最常考16大重点专题突破系列

该初中数学讲义以课标为纲，通过“考点梳理-题型突破-分层训练”三级架构系统构建一元一次方程应用复习体系，运用表格归纳等量关系，列表呈现解题技巧，如行程问题用线段图分析运动过程，古代数学问题通过“译题-建模-设元-列方程”四步法表格化呈现，清晰展现8大考点的内在联系。 讲义亮点在于分层练习设计与方法创新，基础运用题巩固步骤规范，能力提升题融合跨学科情境，如“校园植树和差倍分问题”“《算法统宗》古代数学题”，培养数学眼光和模型意识，每种题型配备例题+变式，助力分层教学，支持教师精准把握学情，帮助学生提升解题能力。

2025-2026七年级上学期期末专题复习——16大重点专题突破系列 专题04：突破一元一次方程的应用（苏科版） 目录 【课标要求+题型预测】 1 【突破一：考点知识突破】 1 【突破二：重点题型突破】 6 题型一：和、差、倍、分问题 6 题型二：行程问题 9 题型三：工程问题 13 题型四：利润与折扣问题 16 题型五：配套问题 21 题型六：数字问题 26 题型七：古代数学文化中的问题 29 题型八：年龄问题 31 【突破三：基础运用突破】 34 【突破四：能力提升突破】 47 【课标要求+题型预测】 1．能根据实际问题找到相应的等量关系，并列出对应的一元一次方程；【选择题、填空题】 2. 掌握一元一次方程的解法；【解答题】 3．掌握一元一次方程解决实际应用问题的基本步骤，并能检验方程的解是否合理；【解答题】 【突破一：考点知识突破】 考点1：和、差、倍、分问题 1.题目核心特征 题目涉及数量之间的和、差、倍数、比例关系，或部分与整体的关系。 2.常用等量关系 · 较大数 = 较小数 + 相差数 · 总量 = 各部分量之和 · 倍数关系：A = n×B（n为倍数） · 比例关系：A:B = → A = B 3.解题方法与技巧 · 设“比”“是”后面的量为未知数，简化列式； · 理清数量的增减变化，避免混淆“多几倍”和“是几倍”； · 部分量之和等于总量，可通过列表梳理各部分量。 考点2：行程问题 1. 题目核心特征 涉及路程、速度、时间三个量的关系，分为相遇问题、追及问题、航行问题三类。 2.常用等量关系 · 基本公式：路程 = 速度×时间（） · 相遇问题：总路程 = 甲路程 + 乙路程 = （甲速度+乙速度）×相遇时间 · 追及问题：追及路程 = 快者路程 - 慢者路程 = （快者速度-慢者速度）×追及时间 · 航行问题： · 顺水速度 = 静水速度 + 水流速度 · 逆水速度 = 静水速度 - 水流速度 3.解题方法与技巧 · 画线段图分析运动过程，标注起点、终点、相遇/追及点； · 航行问题中，静水速度和水流速度通常为不变量； · 注意单位统一（如：速度单位km/h对应时间单位h）。 考点3： 工程问题 1. 题目核心特征 涉及工作总量、工作效率、工作时间三个量的关系，常把工作总量看作单位1。 2.常用等量关系 · 基本公式：工作总量 = 工作效率×工作时间 · 合作问题：总工作量 = 甲工作量 + 乙工作量 = （甲效率+乙效率）×合作时间 · 剩余工作量 = 总工作量 - 已完成工作量 3.解题方法与技巧 · 若无具体工作总量，设为单位1，工作效率 =； · 多人合作时，效率可以直接相加； · 注意“中途休息”“提前完成”等条件对工作时间的影响。 考点4： 利润与折扣问题 1.题目核心特征 涉及成本（进价）、售价、利润、利润率、折扣等量的关系，是中考高频考点。 2.常用等量关系 · 利润 = 售价成本（进价） · 利润率 = · 折扣：售价 = 标价折扣率（如8折即折扣率为0.8） · 总利润 = 单件利润销售量 = 总销售额总成本 3.解题方法与技巧 · 区分“标价”和“售价”：标价是原价，售价是实际卖出的价格； · 利润率的计算基数是成本，不是售价； · 折扣问题中，折扣率＜1，如七五折表示售价=标价×0.75。 考点5： 配套问题 1.题目核心特征 题目涉及两种或多种物品的配套生产，需满足一定的数量比例关系。 2.常用等量关系 配套比例 = 甲物品数量: 乙物品数量 = m:n → n×甲物品数量 = m×乙物品数量 3.解题方法与技巧 · 明确配套标准（如1个螺钉配2个螺母）； · 设生产其中一种物品的数量为，根据配套比例表示另一种物品数量； · 利用“数量比例的乘积相等”列方程，避免比例颠倒。 考点6： 数字问题 1.题目核心特征 涉及两位数、三位数的数位关系，十位数字、个位数字、百位数字之间的运算。 2.常用等量关系 · 两位数：数值 = 十位数字×10 + 个位数字（如：两位数，数值为） · 三位数：数值 = 百位数字×100 + 十位数字×10 + 个位数字 · 数字位置互换后，新数与原数的和/差满足题目条件 3.解题方法与技巧 · 设数位上的数字为未知数（如设十位数字为），不要直接设数值； · 理清数字互换前后的数值变化，避免数位计算错误。 考点7： 古代数学文化中的问题 1.题目核心特征 古代数学名著中的一元一次方程应用题，是七年级期末的高频考点（如《九章算术》《孙子算经》《算法统宗》等经典著作中的问题改编）。这类题目核心特点是以文言 / 半文言表述情境，本质仍是一元一次方程的实际应用，难点在于 “翻译文言语句” 和 “提取隐藏的等量关系”。以下是针对性的解题策略、核心技巧。 2.解题方法与技巧 一、通用解题策略（四步核心法） 第一步：译题 —— 将文言语句转化为现代数学语言（现在通常都不要翻译，题目给出译文） 这是解题的前提，需突破 “文言壁垒”，精准提取已知量、未知量和数量关系。 · 逐句翻译：抓住文言关键词，忽略无关修饰（如 “今有”“若”“问” 等引导词），将复杂语句拆解为简单表述。 · 标注关键信息：用括号标注已知数据、数量关系（如 “盈”“不足”“倍”“共”“各” 等），明确所求问题。 · 梳理逻辑关系：判断题目属于 “和差倍分”“盈不足”“工程”“行程”“配套” 等常见模型（古代题本质是现代模型的文言包装）。 第二步：建模 —— 对接现代应用题模型 古代数学题的核心模型集中在以下几类，翻译后可直接对接七年级所学的一元一次方程模型： 古代题常见类型 对应现代模型 核心等量关系特征 盈不足问题 和差倍分问题 两种分配方案下，总数量不变（盈 = 多余，不足 = 缺少） 鸡兔同笼问题 和差倍分 / 配套问题 总头数、总脚数固定，两种动物数量满足倍数 / 和差关系 工程劳作问题 工程问题 总工作量 = 各部分工作量之和，常以 “1” 表示总工作量 行程相遇 / 追及 行程问题 路程 = 速度 × 时间，相遇总路程 = 两者路程和，追及路程 = 速度差 × 时间 物品买卖 / 分配 和差倍分 / 利润问题 总价 = 单价 × 数量，分配时总数量不变 第三步：设元 —— 选择最优未知数 · 直接设元：若所求问题明确（如 “问人数几何”“求物价”），直接设所求量为x（优先选）。 · 间接设元：若直接设元导致方程复杂（如涉及多个倍数关系），设 “中间量” 为x（如鸡兔同笼设鸡的数量为x，而非直接设脚数）。 · 注意：设元时需带单位（如 “设人数为x人”“设物价为x钱”），避免后续计算单位混淆。 第四步：列方程 —— 紧扣 “不变量” 列等式 古代题的核心是找到 “不变的量”（如总数量、总工作量、总路程、年龄差等），以此为等量关系列方程： 1. 从两种不同情境中提取对 “不变量” 的两种表达方式； 2. 将两种表达方式用 “=” 连接，形成一元一次方程； 3. 方程中各项需统一单位（如 “钱”“步”“人” 等，古代单位无需换算，保持一致即可）。 补充：求解与检验 · 解方程时遵循 “去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为 1” 的步骤，避免计算错误； · 检验时需注意：① 方程解是否满足等式；② 解是否符合实际意义（如人数、物品数为正整数，长度为正数）。 考点8、 年龄问题 1.题目核心特征：涉及两人或多人的年龄差，年龄差始终不变是解题关键。 2.常用等量关系 · 年龄差 = 大年龄 - 小年龄（固定值） · 几年后年龄 = 现在年龄 + 年数；几年前年龄 = 现在年龄 - 年数 3.解题方法与技巧 · 设现在的年龄为未知数，不要设“几年后/前”的年数为未知数； · 利用“年龄差不变”列方程，避免混淆“现在”“过去”“未来”的年龄关系。 通用解题步骤（所有类型适用） 审：审题，明确已知量、未知量及题目中的等量关系； 设：设未知数，直接设（求什么设什么）或间接设（设与所求量相关的量）； 列：根据等量关系列出一元一次方程； 解：解方程，求出未知数的值； 验：检验方程的解是否符合实际意义； 答：写出答案，注意单位。 【突破二：重点题型突破】 题型一：和、差、倍、分问题 【例题1】．列方程解答下面的问题． 某校组织师生去郊外进行植树活动，共有28人参加．为了减少碳排放，大家可以选择乘坐电动巴士或步行．已知步行的人数比乘坐电动巴士人数的3倍少4人．请问有多少人选择乘坐电动巴士？ 【答案】8 【知识点】和差倍分问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设选择乘坐电动巴士的有人，则步行的人数为人，根据共有28人参加列出一元一次方程即可，理解题意，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解此题的关键． 【详解】解：设选择乘坐电动巴士的有人，则步行的人数为人， 由题意可得：， 解得：， 故有人选择乘坐电动巴士． 【变式1】．为了丰富课后服务课程，某校开设了篮球兴趣班和足球兴趣班．现需要给兴趣班每人分别购买一个篮球或一个足球，已知篮球每个元，足球每个元，足球兴趣班的人数比篮球兴趣班的人数多，买篮球和足球的总费用相等，问两个兴趣班各有多少人？ 【答案】篮球兴趣班有人，足球兴趣班有人． 【知识点】和差倍分问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设篮球兴趣班有人，则足球兴趣班有人，则买篮球的总费用为元，买足球的总费用为元，根据题意，得，然后解方程即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设篮球兴趣班有人，则足球兴趣班有人，买篮球的总费用为元，买足球的总费用为元， 根据题意，得， 解得：， ∴足球兴趣班有， 答：篮球兴趣班有人，足球兴趣班有人． 【变式2】．学校组织植树活动，已知在甲处植树的有16人，在乙处植树的有10人，现在需要调70人去支援． (1)若要使在甲处植树的人数与在乙处植树的人数相等，应该调往甲处________人； (2)若要使在甲处植树的人数是在乙处植树人数的2倍，问应调往甲、乙两处各多少人？ 【答案】(1)32； (2)应该调往甲处48人，乙处22人． 【知识点】和差倍分问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用． （1）设应该调往甲处人，则调往乙处人，根据题意列方程求解即可； （2）设应该调往甲处人，则调往乙处人，根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：设应该调往甲处人，则调往乙处人， 根据题意得：， 解得：， 所以应该调往甲处32人． 故答案为：32； （2）解：设应该调往甲处人，则调往乙处人， 根据题意得：， 解得：， 所以（人）． 答：应该调往甲处48人，乙处22人． 【变式3】．元旦将至，学校组织学生进行元旦文艺汇演的节目排练，其中大合唱《大中华》节目中，七年级人数占该节目人数的一半，如果再增加6名七年级学生，那么七年级人数就占该节目总人数的，求大合唱《大中华》节目中原来七年级的表演人数． 【答案】6 【知识点】和差倍分问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用． 设原来节目总人数为t人，则七年级人数为人；增加6名七年级学生后，七年级人数为人，总人数为人，根据七年级人数占总人数列出方程求解． 【详解】解：设大合唱节目原来总人数为t人，则原来七年级人数为人， 增加6名七年级学生后，七年级人数为人，总人数为人， 由题意，， 解得， 所以原来总人数人，七年级人数为人． 答：原来七年级的表演人数为6人． 【变式4】．2024年9月份强台风“摩羯”袭击海南，造成严重的破坏．一方有难八方支援，全国各地纷纷来支援海南，其中有来自广东“粤粤”、广西“桂桂”的两个电网支援队伍参与其中，认真阅读以下“粤粤”与“桂桂”的对话后，求“粤粤”、“桂桂”两个电网支援队各有多少人？ 【答案】“粤粤”的支援人员数量为1300人，“桂桂”的支援人员数量为700人 【知识点】和差倍分问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程解决实际问题；设“桂桂”的支援人员数量为x人，则“粤粤”的支援人员数量为人，再根据两个支援队人数一共2000人，建立方程求解即可. 【详解】解：设“桂桂”的支援人员数量为x人，则“粤粤”的支援人员数量为人， ， 解得：， ， 答：“粤粤”的支援人员数量为1300人，“桂桂”的支援人员数量为700人. 题型二：行程问题 【例题2】．A、B两地相距450千米，甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，已知甲车速度为120千米/时，乙车速度为80千米/时，经过多少小时两车相遇？ 【答案】经过2.25小时两车相遇 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】此题考查了一元一次方程的应用．设经过x小时两车相遇，根据路程=速度×时间，甲车行驶路程为千米，乙车行驶路程为千米，两车相向而行，总路程为450千米，据此列出方程，解方程即可求出答案． 【详解】解：设经过x小时两车相遇，由题意可得， ； 合并同类项，得； 系数化为1，得． 答：经过小时两车相遇． 【变式1】．以下是两张不同类型火车（“Dxxx次”表示动车，“Gxxx次”表示高铁）的车票．（两车都是从A地出发，到B地停止，未出发时在A地等待）． (1)已知该列动车和高铁的平均速度分别为，，两列火车的长度不计，高铁比动车早到，求A，B两地之间的距离． (2)在（1）的条件下，求高铁出发多少小时后两车相距． 【答案】(1) (2)小时或小时或小时 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，理解题意，找到等量关系后列出方程是解题关键． （1）设A，B两地之间的距离为，利用动车和高铁的速度差与时间差的关系列方程，解出x即可； （2）设高铁出发m小时后两车相距，分三种情况讨论，高铁落后动车、高铁领先动车、高铁到站后动车距离B地，根据两者路程差与时间差的关系列方程，解出m即可． 【详解】（1）解：设A，B两地之间的距离为， 根据题意得： 解得，． 答：A，B两地之间的距离为； （2）设高铁出发m小时后两车相距，分为三种情况讨论： ①当动车在前且两车相距时，， 解得，； ②当高铁在前（未到站）且两车相距时，， 解得：； ③当高铁到站且两车相距时，， 解得：． 答：在（1）的条件下，高铁出发或或小时后两车相距． 【变式2】．我国高速铁路飞速发展，为了解“复兴号”列车的长度和行驶速度，小明所在的学习小组开展了一次课外探究活动．他们分工合作，在一架长的铁路桥附近进行了观察、测量和计算：“复兴号”列车从开始上桥到完全过桥的时间约为，列车完全在桥上的时间约为．你能根据该小组同学获得的数据，求出“复兴号”列车过桥时的速度和列车的长度吗？ 【答案】速度为，车长为 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设此列高铁的车长为，利用，结合该列高铁的速度不变，即可得出x的一元一次方程，解之即可求出此列高铁的车长，再将其代入中即可求出此列高铁的车速． 【详解】解：设此列高铁的车长为， 依题意得： 解得： 答：“复兴号”列车过桥时的速度为，车长为． 【变式3】．甲乙两地相距，一列慢车从甲地开出，每小时行驶，一列快车从乙地开出，每小时行驶． (1)若两列车同时开出，相向而行，经过多少小时两列车相遇？ (2)若快车先开出，两列车相向而行，慢车开出多少小时两列车相遇？ 【答案】(1)2小时 (2)小时 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是找出合适的等量关系，列出方程，再求解． （1）利用两车的速度结合甲、乙两地相距，得出等式求出答案； （2）利用快车先开出，再加上两列车以后行驶的路程总路程，进而列出方程求解． 【详解】（1）解：设经过x小时两列车相遇，根据题意可得： ， 解得：， 答：经过2小时两列车相遇； （2）解：设慢车开出x小时后两列车相遇，根据题意可得： ， 解得：， 答：慢车开出小时后两列车相遇． 【变式4】．一列普通列车匀速行驶，经过一条长的隧道，从车头进入隧道，到车尾离开隧道，共需要的时间．隧道口的顶上有一盏灯，垂直向下发光，灯光照在列车上的时间是设该列车的长度为． (1)用含的式子表示：从车头进入隧道到车尾离开隧道，列车所走的路程为__________，这段时间内列车的平均速度为___________； (2)求这列普通列车的长度； (3)相邻车道有一列长度为，匀速相向行驶的高铁列车经过．普通列车与高铁列车完成会车即从车头相遇开始到车尾相离时结束的时间是求高铁列车的平均速度为多少？ 【答案】(1)， (2)这列普通列车的长为 (3)高铁列车的平均速度为 【知识点】列代数式、行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查列代数式，一元一次方程的应用： （1）列车所走路程为隧道长与车身长之和，所走路程除以通过时间可得平均速度； （2）根据时间、速度、路程之间的关系列一元一次方程求解； （3）设高铁列车速度是，根据时间、速度、路程之间的关系列一元一次方程求解． 【详解】（1）解：列车所走的路程为，这段时间内列车的平均速度为， 故答案为：，； （2）解：由题意可得，， 解得：， 答：这列普通列车的长为； （3）解：设高铁列车速度是， 普通列车的速度是， 依题意得：， 解得： 答：高铁列车的平均速度为． 题型三：工程问题 【例题3】．甲、乙两队修一座桥，如果由甲队单独完成，需要天；如果由乙队单独完成，需要天．现在由甲队单独做了天后，承办方接到通知，需要加快修桥进度，后续工程由甲、乙两队共同完成，则甲、乙两队后续需要合作多少天才能修完这座桥？ 【答案】天 【知识点】工程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，列出方程是解答本题的关键．设甲乙两队后续需要合作天才能修完这座桥，根据甲队单独做了天后，甲乙两队后续需要合作天才能修完这座桥，列方程求解即可． 【详解】解：设甲、乙两队合作完成还需要的天数是， 根据题意可得， 解得， 答：甲、乙两队后续需要合作天才能修完这座桥． 【变式1】．在繁忙的都市生活中，地铁作为城市交通的重要组成部分，承载着无数人的日常出行需求．某线路地铁进行修建，修建后产生的建筑垃圾需要清理．现计划租用甲、乙两车队清理建筑垃圾，已知甲车队单独运完需要9天，乙车队单独运完需要12天．乙车队先运了5天，然后甲、乙两车队共同合作运完剩下的垃圾．（列方程解决下列问题） (1)甲、乙两车队共同合作了多少天？ (2)已知甲车队每天的租金比乙车队多80元，运完垃圾后需支付甲、乙两车队租金共5740元，求乙车队每天的租金． 【答案】(1)甲、乙两车队共同合作了3天 (2)乙车队每天的租金是500元 【知识点】工程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，根据题意找出等量关系并列出方程是解题关键； （1）根据题意首先可以得知甲车效率为每天运送，乙车效率为每天运送，据此设甲、乙两车合作还需要天运完垃圾，然后进一步列出方程求解即可； （2）设乙车每天租金为y元，则甲车每天租金为元，据此根据“共需支付租金5740元”列出方程求解即可.； 【详解】（1）解：设甲、乙两车队共同合作了天， 由题意可得：， 解得：． 答：甲、乙两车队共同合作了3天． （2）解：设乙车队每天的租金是元，则甲车队每天的租金是元，由题意可得： ， 解得：． 答：乙车队每天的租金是500元． 【变式2】．现有一道路改造修复工程，甲工程队单独完成需要18天，乙工程队单独完成需要12天．甲队单独施工3天后接到通知要缩短工期，剩余的部分由甲、乙两工程队合作完成． (1)甲、乙两工程队还需合作多少天才能完成？（用方程解决） (2)若甲队每天的工资为1000元，乙队每天的工资为1500元，问完成这项工程需支付两队工资一共多少钱？ 【答案】(1)6 (2)18000 【知识点】工程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用， 对于（1），设甲，乙两工程队还需要合作x天才能完成，再根据工作总量等于1列出方程，求出解即可； 对于（2），根据甲队需支付工资加上乙队需支付工资可得答案． 【详解】（1）解：甲，乙两工程队还需要合作x天才能完成，根据题意，得 ， 解得， 所以甲乙两工程队还需要合作6天才能完成； （2）解：， 所以完成这项工程需要支付两队工资一共18000元． 【变式3】．为了方便群众出行，甲、乙两个工程队共同承接了某地公路改造任务．若甲队单独施工需20天完成，乙队单独施工需30天完成． (1)甲、乙两队合作需要几天完成？ (2)若甲队先做5天，剩下部分由两队合作，还需要几天才能完成？ 【答案】(1)12天 (2)9天 【知识点】工程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程，是解题的关键． （1）设甲、乙两队合作需要天完成，将整个工程看作单位1，列出一元一次方程，解方程即可； （2）设还需要天才能完成，根据甲队先做5天，剩下部分由两队合作，列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设甲、乙两队合作需要天完成，根据题意，得： ， 解得， 答：甲、乙两队合作需要12天完成． （2）解：设还需要天才能完成，根据题意，得： ， 解得：． 答：还需要9天才能完成． 【变式4】．某市为建设市民河堤漫步休闲通道，现有一段长为180米的河堤整治任务由A、B两个工程队先后接力完成，A工程队每天整治12米，B工程队每天整治8米，共用时20天完成． (1)根据题意，甲、乙两个同学分别列出方程如下： 甲：； 乙： 根据甲、乙两名同学所列的方程，请你分别指出代数式表示的意义． 甲： x表示 ； 乙： x表示 ． (2)请你从甲、乙两位同学的解答思路中，选择一种你喜欢的思路，求A、B两工程队分别整治河堤的长度．（写出完整的解答过程） 【答案】(1)A工程队用的天数；A工程队整治的米数 (2)A工程队整治60米，B工程队整治120米；过程见解析 【知识点】工程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解． （1）根据所列方程可得甲：，x表示A工程队用的天数； 乙：，x表示A工程队整治的米数； （2）求解方程即可． 【详解】（1）解：由题意得：甲：，x表示A工程队用的天数； 乙：，x表示A工程队整治的米数． （2）解：选择甲同学的解答过程为：， 解得， 所以A工程队整治的米数为：米，B工程队整治的米数为：米， 答：A工程队整治的米数60米，B工程队整治的米数120米． 选择乙同学的解答过程为：， 解得， 由题意可知A工程队整治的米数为60米，B工程队整治的米数为：米， 答：A工程队整治的米数60米，B工程队整治的米数120米． 题型四：利润与折扣问题 【例题4】．为了迎接新学期，书店计划购进，两类书刊，类书刊和类书刊的售价分别是元本和元本，且每本类书刊的进价比每本类书刊贵元已知购买本类书刊和本类书刊共需要元． (1)每本类书刊、类书刊的进价各是多少元 (2)若该书店第一次购进，两类书刊共本，全部售完后总利润为元，则该书店第一次分别购进，两类书刊各多少本 (3)若第二次购进同样数量的两类书刊，且两类书刊的进价都比上次优惠了，再次销售时类书刊售价不变，类书刊打折出售，全部售完后总利润比上次还多元，则类书刊打了几折 【答案】(1)每本类书刊的进价为元，每本类书刊的进价是元 (2)该书店第一次购进类书刊本，购进类书刊本 (3)类书刊打了九折 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是找准题中的等量关系． （1）先理解题意，再设每本类书刊的进价是元，则每本类书刊的进价是元，根据购买本类书刊和本类书刊共需要元，进行列式计算，即可作答． （2）先理解题意，再设该书店第一次购进类书刊本，则购进类书刊本，根据全部售完后总利润为元，进行列式计算，即可作答． （3）设类书刊打了折，结合第二次购进同样数量的两类书刊，且两类书刊的进价都比上次优惠了，再次销售时类书刊售价不变，类书刊打折出售，全部售完后总利润比上次还多元，进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：设每本类书刊的进价是元，则每本类书刊的进价是元． 根据题意，得， 解得， （元） 答：每本类书刊的进价为元，每本类书刊的进价是元． （2）解：设该书店第一次购进类书刊本，则购进类书刊本． 根据题意，得， 解得， （本） 答：该书店第一次购进类书刊本，购进类书刊本． （3）解：设类书刊打了折， 根据题意，得， 解得． 答：类书刊打了九折． 【变式1】．列方程解应用题 某商场经销甲、乙两种畅销产品，甲种产品每件进价50元，乙种产品每件进价80元．为了迎接“双十一购物节”活动，该商场花费12400元提前购进甲、乙两种商品共200件． (1)该商场分别购进甲、乙两种产品多少件． (2)若甲种产品的标价是进价的3倍，每件乙种产品按标价出售可获得利润120元．“双十一购物节”期间，商场对这两种产品进行优惠促销活动：甲种产品每件降价元，乙种产品打m折出售．将这200件产品卖完后，商场最终获利13600元，求m的值． 【答案】(1)商场购进甲产品120件，购进乙产品80件 (2)8 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用： （1）设商场购进甲产品件，购进乙产品件，可得； （2）根据“总利润=总售价-总成本”的思路，列出方程即可求解 【详解】（1）解：设商场购进甲产品件，购进乙产品件， 根据题意，得 解得 （件） 答：商场购进甲产品件，则购进乙产品件． （2）根据题意，得 解得 【变式2】．某校开展校园艺术节系列活动，派小明到文体超市购买若干个文具袋作为奖品．这种文具袋标价每个10元，请认真阅读结账时老板与小明的对话图片，解决下面两个问题： (1)求小明原计划购买文具袋多少个？ (2)学校决定，再次购买钢笔和签字笔共50支作为补充奖品，其中钢笔标价每支8元，签字笔标价每支6元．经过沟通，这次老板给予8折优惠，合计272元．问小明购买了钢笔和签字笔各多少支？ 【答案】(1)小明原计划购买文具袋17个 (2)小明购买了钢笔20支，签字笔30支 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程解决实际问题，读懂题意，理清数量关系是解题的关键． （1）设小明原计划购买文具袋x个，则实际购买了个，根据对话内容列出方程即可得出结果； （2）设小明可购买钢笔y支，根据两种物品的购买总费用272元，列出方程即可得出结果． 【详解】（1）解：设小明原计划购买文具袋x个，根据题意，得 ， 解得， 答：小明原计划购买文具袋17个． （2）解：设小明可购买钢笔y支，则购买签字笔支，由题意得 ， 解得， 则． 答：小明购买了钢笔20支，签字笔30支． 【变式3】．一种商品按销售量分三部分制定销售单价，如下表： 销售量 单价 不超过100件部分 元/件 超过100件不超过300件部分 元/件 超过300件部分 2元/件 (1)若买50件花___________元，买300件花___________元，买400件花___________元； (2)小明买这种商品花了812元，列方程求购买这种商品多少件？ 【答案】(1)130；700；900 (2)356件 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，有理数四则混合运算的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据所给销售单价标准列式求解即可； （2）根据（1）所求可得小明购买的商品数量超过300件，设购买这种商品x件，分别表示出不超过100件部分，超过100件不超过300件部分和超过300件部分的费用，根据总费用为812元建立方程求解即可． 【详解】（1）解：元，元， 元， ∴购买50件花130元，购买300件花700元，购买400件花900元； （2）解：∵， ∴由（1）可知，小明购买的商品数量超过300件， 设购买这种商品x件， 由题意得，， 解得， 答：购买这种商品件． 【变式4】．某商场购进了A、B两种商品，其中A种商品每件的进价比B种商品每件的进价多20元，购进A种商品3件与购进B种商品4件的进价相同． (1)求A、B两种商品每件的进价分别是多少元？ (2)该商场购进了A、B两种商品共100件，所用资金为6900元，出售时，A种商品按标价出售，每件的利润率为，B种商品按标价出售，每件可获利15元．若按标价出售A、B两种商品，则全部售完商场共可获利多少元？ 【答案】(1)A种商品每件的进价是80元，B种商品每件的进价是60元 (2)全部售完商场共可获利1725元 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查一元一次方程的实际应用，根据已知条件设出合适的未知数和列出方程是解题的关键． （1）根据已知条件设出A种商品每件的进价是x元，则B种商品每件的进价是元，再根据购进A种商品3件与购进B种商品4件的进价相同，列出方程求解即可； （2）根据已知条件设出购进A种商品a件，则购进B商品件，首先解出商场购进两种商品各多少件，再计算总利润即可． 【详解】（1）解：设A种商品每件的进价是x元，则B种商品每件的进价是元， 由题意得：， 解得， ∴（元）， 答：A种商品每件的进价是80元，B种商品每件的进价是60元； （2）解：设购进A种商品a件，则购进B商品件， 由题意得， 解得， ∴， ∴（元）， 答：全部售完共可获利1725元． 题型五：配套问题 【例题5】．制作一张桌子要用1个桌面和4条桌腿，木材可制作20个桌面，或者制作400条桌腿． (1)现有木材，要用多少木料制作桌面，多少木料制作桌腿，才能制作尽可能多的桌子？ (2)甲、乙两个工厂合作加工（1）中数量的桌子，5天加工完毕（每个工厂都独立加工完整的桌子），已知甲工厂每天加工的桌子比乙工厂的2倍少5张，求甲工厂每天加工几张桌子？ 【答案】(1)安排木材用来生产桌面，用木材用来生产桌腿 (2)25张 【知识点】配套问题(一元一次方程的应用)、工程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意列出方程是解题关键． （1）设应安排木材用来生产桌面，则应安排木材用来生产桌腿．根据“木材可以制作个桌面，或者制作条桌腿”建立方程求出其解即可． （2）设乙工厂每天生产桌子m张，则甲工厂每天生产桌子张，根据题意列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设用木材制作桌面，则用木材制作桌腿， 根据题意得， 解得，， 则配成的桌子套数为套， 答：应安排木材用来生产桌面，用木材用来生产桌腿． （2）由（1）得，一共生产200套桌子， 设乙工厂每天生产桌子m张，则甲工厂每天生产桌子张， 根据题意得：， 解得：， ∴张， ∴甲工厂每天加工25张桌子． 【变式1】．在手工制作课上，老师组织七年级班的学生用硬纸制作圆柱形茶叶筒七年级班共有学生人，其中男生人数比女生人数少人，并且每名学生每小时剪筒身个或剪筒底个． (1)七年级班有男生、女生各多少人？ (2)要求一个筒身配两个筒底，那么如何进行人员调配，才能使每小时剪出的筒身与筒底刚好配套？ 【答案】(1)男生人，女生人 (2)人剪筒身，人剪筒底，剪出的筒身与筒底刚好配套 【知识点】配套问题(一元一次方程的应用)、其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】（）设七年级班有男生人，则女生有人，根据题意列出方程即可求解； （）设安排人剪筒身，则安排人剪筒底，根据题意列出方程即可求解； 本题考查了一元一次方程的应用，根据题意找到等量关系是解题的关键 【详解】（1）解：设七年级班有男生人，则女生有人， 由题意得，， 解得， ， 答：七年级班有男生人，女生人； （2）解：设安排人剪筒身，则安排人剪筒底， 由题意得，， 解得， ， 答：人剪筒身，人剪筒底，剪出的筒身与筒底刚好配套． 【变式2】．劳动技术课上王老师带领七（1）班45名学生制作圆柱形小鼓，并且每名学生每小时可制作2个鼓身或剪6个鼓面． (1)老师组织全班学生制作小鼓，要求一个鼓身配两个鼓面，为了使每小时制作的鼓身与剪出的鼓面刚好配套，应该分配多少名学生制作鼓身？多少名学生剪鼓面？ (2)若想每小时制作78个小鼓，且制作的鼓身与剪出的鼓面刚好配套，应再加入多少名学生？请你直接写出结果和新加入人员具体的分配方案． 【答案】(1)应该分配27名学生制作鼓身，18名学生剪鼓面 (2)应再加入20名学生，其中12名学生制作鼓身，8名学生剪鼓面 【知识点】配套问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键． （1）设分配名学生制作鼓身，则名学生剪鼓面，根据题意列出方程，求出的值即可解答； （2）由（1）知分配27名学生制作鼓身，18名学生剪鼓面，则每小时可制作小鼓个，还需制作个小鼓，再根据题意即可求解． 【详解】（1）解：设分配名学生制作鼓身，则名学生剪鼓面， 根据题意，得， 解得， 则， 答：应该分配27名学生制作鼓身，18名学生剪鼓面； （2）解：由（1）知分配27名学生制作鼓身，18名学生剪鼓面，则每小时可制作小鼓（个），还需制作（个）小鼓， ∴应再加入制作鼓身的人数为（名），剪鼓面的人数为（名）， 则新加入（名）， ∴综上所述，应再加入20名学生，其中12名学生制作鼓身，8名学生剪鼓面． 【变式3】．小敏和小强假期到某厂参加社会实践，该工厂用白板纸做包装盒，设计每张白板纸做盒身2个或者盒盖3个，且一个盒身和两个盒盖恰好做成一个包装盒．为了充分利用材料，要求做成的盒身和盒盖正好配套． (1)现有张白板纸，最多可做几个包装盒？ (2)现有张白板纸，为了尽可能做出更多的包装盒，小敏和小强各设计了一种解决方案： 小敏：把这些白板纸分成两部分，一部分全做盒身，一部分全做盒盖； 小强：先把一张白板纸适当裁出一个盒身和一个盒盖，剩下的张白板纸分成两部分，一部分做盒身，一部分做盒盖． 请探究：小敏和小强设计的方案是否可行？若可行，求出最多可做包装盒的个数；若不行，请说明理由． 【答案】(1)最多可做个包装盒 (2)小敏方案不可行，理由见解析；小强方案可行，最多做个包装盒 【知识点】配套问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查 一元一次方程的实际应用，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）设用 x 张白纸板做盒身， 张做盒盖，根据盒身数量 盒盖数量的配套关系列方程，求解后计算包装盒个数． （2）分别分析小敏、小强的方案，小敏方案：设用 a 张做盒身， 张做盒盖，按配套关系列方程，判断解是否为整数；小强方案：先利用 1 张纸板做 1 个盒身 + 1 个盒盖，再设剩下张中y张做盒身，张做盒盖，按配套关系列方程，求解后计算总包装盒数． 【详解】（1）解：设x 张白板纸做盒身，则有 张做盒盖， 根据题意，得 ， 解得：， (个)， 答：最多可做个包装盒． （2）解：小敏的方案不可行．理由如下： 设张白板纸做盒身． 根据题意，得 ， 解得 ，不符合题意． 小强的方案可行； 设张白板纸中张做盒身． 根据题意，得 解得， （个）． 答：最多做个包装盒． 【变式4】．在手工制作课上，老师组织七年级（2）班的学生用硬纸制作圆柱形茶叶筒．七年级（2）班共有学生50人，其中男生人数比女生人数少2人，并且每名学生每小时可以剪筒身40个或剪筒底120个． (1)七年级（2）班有男生、女生各多少人？ (2)原计划男生负责剪筒底，女生负责剪筒身，要求一个筒身配两个筒底，那么每小时剪出的筒身与筒底能配套吗？如果不配套，那么如何进行人员调配，才能使每小时剪出的筒身与筒底刚好配套？ 【答案】(1)男生24人，女生26人 (2)不配套；从男生中抽调4人去支援女生 【知识点】配套问题(一元一次方程的应用)、和差倍分问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程是解题的关键： （1）设七年级2班有女生人，根据七年级（2）班共有学生50人，其中男生人数比女生人数少2人，列出方程进行求解即可； （2）设从男生中调y人去支援女生，根据一个筒身配两个筒底，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解∶ 设七年级2班有女生人，则有男生人． 由题意，得 解得： ∴， 答：七年级（2）班有男生24人，女生26人． （2）男生每小时剪出筒底数为：(个) 女生每小时剪出筒身数为 (个) 因为，所以原计划每小时剪出的筒身与筒底不配套． 设从男生中调y人去支援女生，根据题意： 得， 解得∶ 答：应从男生中抽调4人去支援女生，才能使剪出的筒身筒底刚好配套． 题型六：数字问题 【例题6】．某两位数，已知十位数字与个位数字之和为9，把十位数字和个位数字互换位置后得到一个新的两位数，设原两位数的个位数字为． (1)请用含的式子表示得到的新的两位数，并说明这个新的两位数能被9整除； (2)若新的两位数比原来的两位数大45，试通过列一元一次方程的方法求出的值． 【答案】(1)，见解析 (2) 【知识点】整式加减的应用、数字问题(一元一次方程的应用)、列代数式 【分析】本题考查了列代数式，以及一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）根据题意，整理出代数式进行分析即可； （2）根据题意，列出一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：设原两位数的个位数字为，则十位数字为， 得到的新的两位数为， ，且为整数， 这个新的两位数能被9整除； （2）解：由题意， 得， 解得． 【变式1】一个两位数个位上的数字是1，十位上的数字是x．把1与x对调，新的两位数比原两位数小的值是多少？请你用方程解决这个问题． 【答案】x的值是3 【知识点】数字问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，原数为，新数为，根据新的两位数比原两位数小18建立方程求解即可． 【详解】解：由题意得，， 解得， 答：x的值是3． 【变式2】．有一个两位数，两个数位上的数字和是8，如果把个位上的数字与十位上的数字对调，那么所得到的两位数比原来的两位数大18，求原来的两位数．（用方程解决） 【答案】35 【知识点】数字问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意；由题意可设原来的两位数的个位上的数字为x，则十位上的数字为，然后根据题意可列方程为，进而求解即可． 【详解】解：由题意可设原来的两位数的个位上的数字为x，则十位上的数字为，则有： ， 解得：； ∴十位上的数字为， 答：原来的两位数是35． 【变式3】．有一列数，其中第n个数是，如果这列数中某三个相邻数的和是．那么这三个数各是多少？ 【答案】这三个数是 【知识点】数字问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，正确找到相邻数字之间的关系，进而列出方程求解是解题的关键．从符号和绝对值两方面观察，可发现这列数的排列规律，后面的是它前面的数与的乘积．设所求三个数中的第一个数是x，则后两个数分别是．根据题意列出方程求解即可． 【详解】解：设所求三个数中的第一个数是x，则后两个数分别是， 由三个数的和是，得． 合并同类项，得． 系数化为1，得． 所以． 答：这三个数是． 【变式4】．阅读材料：在一次数学活动课上，小智发现：若一个两位正整数，十位上的数字为，个位上的数字为（），把十位上的数字与个位上的数字交换位置，原数与所得新数的差等于与的差的倍． 回答问题： (1)请证明小智的发现； (2)已知一个三位正整数的百位上的数字为，个位上的数字为，把百位上的数字与个位上的数字交换位置，十位上的数字不变，原数与所得新数的差等于594，请直接写出的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】整式加减的应用、数字问题(一元一次方程的应用)、列代数式 【分析】本题考查了整式加减的应用，列代数式，一元一次方程的应用等，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）根据题意列出原数与新数之差进行计算； （2）设十位上的数字为，根据题意，表示出原数和新数，列出方程，求解即可． 【详解】（1）证明：由题意可得：原数为，新数为， ∵， ∴， ∴原数与新数的差为， ∵与的差为， 故原数与所得新数的差等于与的差的倍． （2）解：设十位上的数字为， 根据题意可得：原数为，新数为：， 两数之差为：， 根据题意：， ∴． 题型七：古代数学文化中的问题 【例题7】．我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“庭前孩童闹如簇，不知人数不知梨，每人四梨多十二，每人六梨恰齐足，”其大意：“孩童们在庭院玩耍，不知有多少人和梨，每人分4个梨，多12个梨；每人分6个梨，恰好分完．”请你用方程求庭前孩童人数和梨的数量． 【答案】孩童人数为6人，梨的数量为36个 【知识点】古代问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用（盈亏问题），熟练掌握“根据不变量（梨的数量）列方程”是解题的关键． 设孩童人数为未知数，根据梨的数量不变列方程，求解后再计算梨的数量． 【详解】解：设庭前孩童有人，由题意可得 ， ， ， ， 梨的数量：（个）， 答：孩童人数为6人，梨的数量为36个． 【变式1】牧童分杏各争竞，不知人数不知杏．三人五个多十枚，四人八枚两个剩．问：有几个牧童几个杏？（选自《算法统宗》）．题目大意：牧童们要分一堆杏，不知道人数也不知道有多少个杏．若3人一组，每组5个杏，则多10个杏；若4人一组，每组8个杏，则多2个杏．求有几个牧童？几个杏？ 【答案】有24个牧童，50个杏． 【知识点】古代问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的应用，掌握知识点是解题的关键． 设牧童有人，根据两种分法中杏的总数不变这一等量，列出一元一次方程，求出x的值，即可解答． 【详解】解：设牧童有人，根据题意，得 ， 解得， 所以． 答：有24个牧童，50个杏． 【变式2】在明代数学家程大位（1533—1606）所著的《算法统宗》中有这样一道题：“假如井不知深，先将绳三折入井，绳长四尺；后将绳四折入井，亦长一尺．问井深及绳长各若干?” 题意是：“用绳子测量井深，把绳子折成三折来量，井外余绳4尺；把绳子折成四折来量，井外余绳1尺．井深和绳长各是多少?” 请列方程解决这个问题． 【答案】井深8尺，绳长36尺 【知识点】古代问题(一元一次方程的应用) 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意找准等量关系，正确列出方程是此题的关键． 设井深尺，由两次测量绳长不变列出方程求解即可． 【详解】解：设井深尺， 根据题意列方程得， 解得， ． 答：井深8尺，绳长36尺． 【变式3】我国很多经典古籍中记载了“河图洛书”，它是中国重要的文化遗产．图1“洛书”中用实心点或空心点的个数表示数字．观察图1中的每一组点所对应的数字，回答下列问题： (1)根据“洛书”，图2中______，______； (2)根据图2所填数字，我们不难发现：方格中每一行、每一列、每条对角线上的三个数之和都相等．若图3符合“洛书”的规律，每一行、每一列以及两条对角线上的数字之和都相等，求c的值． 【答案】(1)5，6； (2) 【知识点】古代问题(一元一次方程的应用)、数字类规律探索 【分析】本题考查了数字类规律，一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）根据“洛书”中的点，找出，的值； （2）根据第二行及对角线上的三个数的和相等，可求出第三行第一个方格中的数为7，再根据第三行及第三列上的三个数的和相等，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：根据“洛书”，图2中，． 故答案为：5，6； （2）解：第三行第一个方格中的数为， 根据题意得：， 解得． 答：的值为． 【变式4】《张丘建算经》由北魏数学家张丘建所著，其中有这样一个问题：“今有客不知其数．两人共盘，少两盘：三人共盘，长三盘．问客及盘各几何？”意思为：“现有若干名客人．若2个人共用1个盘子，则少2个盘子；若3个人共用1个盘子，则多出来3个盘子，问客人和盘子各有多少？”请你解答这个问题． 【答案】客人共有30位，盘子共有13个． 【知识点】古代问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，设共有x位客人，根据盘子的数量为定值，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设共有x位客人． 依题意，得，解得， 所以． 答：客人共有30位，盘子共有13个． 题型八：年龄问题 【例题8】．科学研究表明，人的血压与年龄有关．如果用a表示一个人的年龄（岁），用p表示正常情况下这个人的收缩压（毫米汞柱），那么 (1)正常情况下，一个50岁的人的收缩压是_______毫米汞柱 (2)一位65岁的老人测量得收缩压为142毫米汞柱，医生告诉他略高于正常值．他的收缩压比正常值高了多少？ (3)如果某人的收缩压测量值为148毫米汞柱，根据公式计算，他的正常年龄应该是多少岁？ 【答案】(1)130 (2)3毫米汞柱 (3)80岁 【知识点】其他问题(一元一次方程的应用)、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了代数式求值，一元一次方程的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）将代入求解即可； （2）将代入求出此时的，再用测得的收缩压减去正常值即可； （3）将毫米汞柱代入，得到，再解方程即可． 【详解】（1）解：由题意得，，， ∴毫米汞柱， 故答案为：； （2）解：当时， ∵实际测量值为142毫米汞柱 ∴毫米汞柱， 答：他的收缩压比正常值高了毫米汞柱； （3）解：由题意得毫米汞柱 ∴， 解得， 答：他的正常年龄应该是岁． 正常年龄应该是多少岁？ 【变式1】．根据下面的对话，算出小亮今年的年龄． 【答案】小亮今年的年龄为岁． 【知识点】和差倍分问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设小亮今年的年龄为岁，则爸爸的年龄为岁，根据题意列出方程，然后解方程即可，理解题意，弄清数量关系是解题的关键． 【详解】解：设小亮今年的年龄为岁，则爸爸的年龄为岁， 根据题意得：， 解得：， 答：小亮今年的年龄为岁． 【变式2】．甲、乙、丙三人的平均年龄为42岁．若将甲的岁数增加7岁，乙的岁数扩大2倍，丙的年龄缩小到原来的，则三人岁数相等．丙的年龄是多少岁？ 【答案】丙的年龄为76岁． 【知识点】和差倍分问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，此题的关键是根据题干逆向思考，假设出变化后的年龄为x，从而得出三人的实际年龄．再列出方程求解即可． 【详解】解：设当变化后年龄相等时，三人的年龄都为岁， 则实际甲为岁，乙为：岁，丙为岁，根据题意得： ， （岁）， 答：丙的年龄为76岁． 【变式3】．希腊数学家丢番图的墓碑上记载着：“他生命的六分之一是幸福的童年；再活了他生命的十二分之一，两颊长起了细细的胡须；又度过了一生的七分之一，他结婚了；再过5年，他有了儿子，感到很幸福；可是儿子只活了他年龄的一半；儿子死后，他在极度痛苦中度过了四年，与世长辞了．”求他去世时的年龄是多少． 【答案】他去世时的年龄为84岁 【知识点】其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查列一元一次方程解决实际问题，设他去世时的年龄是x岁，根据丢番图的墓碑上的记载，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可解答． 【详解】解：设他去世时的年龄为x岁，根据题意，得 ， 解得：； 答：他去世时的年龄为84岁． 【变式4】．小红编了一道题：“我是月出生的，我年龄的倍加，正好是我出生那个月的总天数，你猜我有多少岁？”请根据题目列出方程，并利用等式的性质求出小红的年龄． 【答案】方程为，小红的年龄是岁 【知识点】其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意找准等量关系是解题的关键．利用月份有天，再根据“我年龄的倍加，正好是我出生那个月的总天数”列方程求解即可． 【详解】解：设小红的年龄是x岁， 由题意，得， 方程两边减6，得， 化简，得， 方程两边除以2，得， 答：方程为，小红的年龄是12岁． 【突破三：基础运用突破】 1．某车间有22名工人，每人每天可以生产1200个螺栓或2000个螺母．1个螺栓需要配2个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，应安排生产螺栓和螺母的工人各多少名？设安排生产螺栓的工人有x名，则列出方程（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】配套问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程． 根据题意可以列出相应的方程，从而可以解答本题． 【详解】解：设生产螺栓的工人有x名，则生产螺母的工人有名． 由题意得，每天生产螺栓数量为个，每天生产螺母数量为个， ∴． 故选A． 2．某工厂计划生产一批零件，如果每天生产个，则比计划晚一天完成；如果每天生产个，则比计划早一天完成．设计划生产个零件，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】工程问题(一元一次方程的应用)、列方程 【分析】本题考查一元一次方程的工程应用问题，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．根据原计划天数每天生产个的天数每天生产个的天数，列出方程即可． 【详解】解：∵若每天生产个，计划生产个零件的实际天数为：， 若每天生产个，计划生产个零件的实际天数为：， 又∵原计划天数每天生产个的天数每天生产个的天数， ∴． 故选：B． 3．某商品进价为元，售价为120元，按售价的8折出售仍可获利，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意，找准等量关系是解题的关键． 根据题意，商品按售价8折出售后仍可获利20%，即利润为进价的20%，利润等于打折售价减去进价，由此建立方程． 【详解】解:根据题意列方程得， 故选：A． 4．把1-9这9个数填入方格中，使其任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”，它源于我国古代的“洛书”（图1），是世界上最早的“幻方”．图2是仅可以看到部分数值的“九宫格”，则其中x的值为（   ） A．1 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【知识点】数字问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意；由“九宫格”可知：，然后进行求解即可． 【详解】解：由“九宫格”可知：， 解得：； 故选A． 5．几个人共同种一批树苗，如果每人种10棵，则剩下5棵树苗未种：如果每人种11棵，则缺3棵树苗，若设种树的人数为人，则依题意所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】和差倍分问题(一元一次方程的应用) 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．根据树苗总棵数不变，由两种种树方案列出方程． 【详解】解：设种树的人数为人， ∵每人种10棵，剩下5棵树苗未种， ∴树苗总棵数为； ∵每人种11棵，缺3棵树苗， ∴树苗总棵数为； ∴， 故选：A． 6．一列匀速前进的火车从进入长的隧道到完全通过隧道经历，隧道顶部安装了一台固定的激光发射器，它会持续发出一道垂直向下的极细激光（激光线不移动），激光照射在车身上的时间为，则这列火车的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用． 设这列火车的长为，根据速度关系列方程求解即可． 【详解】解：设这列火车的长为， 根据题意可得， 解得， ∴这列火车的长为． 故选：C． 7．把一些图书分给某班学生阅读，如果_____；如果每个同学分4本，则缺25本．设这个班级有x名学生，可列出方程．则横线的信息可以是（   ） A．分给3个同学，则剩余20本 B．每个同学分3本，则剩余20本 C．分给3个同学，则缺20本 D．每个同学分3本，则缺20本 【答案】B 【知识点】比例分配(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，根据“如果每个同学分4本，则缺25本”，结合这个班级的人数，可得出这些图书共有本，结合所列方程，可得出这些图书共有本，进而可得出横线的信息，根据所列方程，找出缺失的条件是解题的关键． 【详解】解：如果每个同学分4本，则缺25本，且这个班级有名学生， 这些图书共有本， 所列方程为， 这些图书共有本， 横线的信息可以是：每个同学分3本，则剩余20本． 故选：B． 8．《九章算术》是中国传统数学的重要著作，其中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”译文：几个人一起去购买某物品，如果每人出8钱，则多了3钱；如果每人出7钱，则少了4钱．问有多少人，物品的价格是多少钱？设有x人，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】古代问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是找出等量关系．根据题意，物品价格固定，每人出8钱时多3钱，即物品价格为；每人出7钱时少4钱，即物品价格为. 两者相等，得方程． 【详解】解：∵每人出8钱，盈3钱， ∴物价为； ∵每人出7钱，不足4钱， ∴物价为； ∴ ， 故选：B． 9．李老师家、学校和陈老师家在同一条直线上，早上李老师和陈老师同时从各自家中相向而行．李老师每分骑行，陈老师每分骑行，两人同时到达距中点的学校，李老师和陈老师家相距多少米？ 【答案】李老师和陈老师家相距米 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的应用是解题的关键． 设李老师和陈老师家相距米，则中点为米，可得李老师家到学校的距离为米，陈老师家到学校的距离为米，根据两人同时到达学校，时间相等，列出方程求解即可． 【详解】解：设李老师和陈老师家相距米，则两家的中点距各自家的距离为米， 李老师家到学校的距离为米， 陈老师家到学校的距离为米， 根据两人同时到达学校，时间相等，可列方程， 解得：， 答：李老师和陈老师家相距米． 10．综合与探究 问题情境：迎泽大桥位于汾河之上，被誉为“华北第一桥”，年迎泽大桥维修加固，于月份正式通车，谱写了新太原汾河建桥史上光辉的乐章．周末，小晋、小阳和小韵相约打卡迎泽大桥． 已知迎泽大桥全长．如图，小晋从迎泽大桥的东端（记为点）出发向迎泽大桥西端（记为点）方向匀速行走，速度为，同时小阳从点出发向点方向匀速行走，速度为，设小阳行走的时间为． 数学思考： （1）在上述行走过程中，小晋距点的距离为 ，小阳距点的距离为 （均用含的式子表示）； 解决问题： （2）求小晋与小阳相遇时的值； （3）小韵在小阳出发时，骑自行车以的速度从点出发向点骑行，到达点后立即停止． ①小韵能否在小晋和小阳相遇前追上小阳？如果能，请求出相应的的值；如果不能，请说明理由； ②在小韵骑行的整个过程中，当小韵与小阳之间的距离为时，的值为________． 【答案】（1），；（2）；（3）①小韵能在小晋和小阳相遇前追上小阳，理由见解析；②或 【知识点】列代数式、行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确地理解题意列出一元一次方程是解题的关键． （1）根据路程速度时间列出代数式即可； （2）根据小晋与小阳相遇时共走了米列方程求解即可； （3）①求出小韵追上小阳所用的时间，结合（2）的结论即可解答； ②分两种情况：小韵在未追上小阳时，小韵与小阳距离为；小韵在追上小阳后，小韵与小阳距离为，分别列方程，求解即可． 【详解】解：（1）小晋距点的距离为米，小阳距点的距离为米． 故答案为：；； （2）当小晋与小阳相遇时，， 解得； （3）①小韵能在小晋和小阳相遇前追上小阳，理由如下： 小韵在小阳出发时，才从点出发，此时小阳已经走了， 设小韵出发后追上小阳，此时小阳行走的时间为， ∵小韵的速度为，小阳速度为， 由题意，得， 解得， 故小阳行走的总时间， ∵小晋与小阳相遇时， ， 所以小韵能在小晋和小阳相遇前追上小阳，此时； ②∵小韵在小阳出发时，才从点出发， 故在小韵出发时，小阳已经走了， 小韵在未追上小阳时，存在小韵与小阳距离为的情况， 此时设小韵出发后与小阳距离为， 则， 解得， 则． 小韵在追上小阳后，存在小韵与小阳距离为的情况， 此时设小韵出发后与小阳距离为， 则， 解得， 则， 故答案为：或． 11．现有一种新型网约车是一种全无人自动驾驶的网约车，已经在全国多个城市开放运营．武汉经开区的新型网约车“萝卜快跑”的计价规则如表： 计费项目 里程费 时长费 远途费 单价 2元/公里 元/分钟 1元/公里 （注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算，时长费按行车的实际时间计算，远途费的收取方式为：行车里程15公里以内（含15公里）不收远途费，超过15公里的，超出部分每公里加收1元．） (1)若逸轩乘坐新型网约车，行车里程为20公里，行车时间为20分钟，则需付车费多少元？ (2)若子怡两次乘坐新型网约车，第一次行车里程为18公里，第二次行车里程为8公里，发现第一次行车时间是第二次的两倍且所付车费比第二次多元，则子怡第一次乘坐网约车的行车时间为多少分钟？ (3)正贤和明哲各自乘坐新型网约车，正贤比明哲的行车里程少3公里，行程结束后反而多付了6元，两人计费项目也相同（远途费为0时视为没有这个计费项目），那么这两辆新型网约车的行车时长相差________分钟． 【答案】(1)55元 (2)22分钟 (3)24或30 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、电费和水费问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，有理数四则混合运算的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据车费计算规则列式求解即可； （2）设子怡第一次乘坐网约车的行车时间为x分钟，则子怡第二次乘坐网约车的行车时间为分钟，分别表示出两次乘坐网约车的车费，再根据第一次所付车费比第二次多元建立方程求解即可； （3）设这两辆新型网约车的行车时长相差y分钟，分“两人都没有远途费”和“两人都有远途费”两种情况，分别根据费用差列方程求解即可． 【详解】（1）解：元， 答：需付车费55元； （2）解：设子怡第一次乘坐网约车的行车时间为x分钟，则子怡第二次乘坐网约车的行车时间为分钟， 由题意得，， 解得， 答：子怡第一次乘坐网约车的行车时间为22分钟； （3）解：设这两辆新型网约车的行车时长相差y分钟， 当都没有远途费时，则， 解得； 当都有远途费时，则， 解得； 综上所述，这两辆新型网约车的行车时长相差24分钟或30分钟． 12．12月4日为全国法制宣传日，学校组织4名学生参加法制知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，答错或不答均扣分，下表记录了其中2名参赛学生的得分情况． 参赛者 答对题数 答错或不答题数 得分 小王 20 0 100 小李 16 4 72 根据以上信息，请你解答下列问题： (1)答对一题得___________分，答错一题或不答得___________分； (2)若参赛学生小刘得了65分，他答对了几道题？ 【答案】(1)5， (2)15 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、比赛积分(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，有理数四则混合计算的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据小王答对20道题得100分可求出答对一道题的得分，再根据小李的答题情况可求出答错一题得的分数； （2）设他答对了x道题，则答错或不答道题，根据总得分为65分建立方程求解即可． 【详解】（1）解：分， ∴答对一题得5分； 分， ∴答错一题或不答得分； （2）解：设他答对了x道题，则答错或不答道题， 由题意得，， 解得， 答：他答对了15道题． 13．某公司为筹备团建活动，计划为员工购置60件文化衫．经市场调研，某制衣厂男士文化衫每件80元，女士文化衫每件100元，若按原价购买该公司需花费5400元．为促进销售，制衣厂给出两种优惠方案： 方案一：所有文化衫均打九折出售； 方案二：一次性购买50件文化衫（男女款不限）及以上，免费赠送10件男士文化衫，其余的按原价销售． (1)该公司计划购买男士文化衫和女士文化衫各多少件？ (2)请通过计算说明该公司选择哪种优惠方案更划算． 【答案】(1)该公司购买男士文化衫和女士文化衫各30件 (2)选择方案二购买更划算 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用)、方案选择(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，理解题意并进行正确计算是解题关键． （1）设该公司计划购买男士文化衫件，则计划购买女士文化衫件，根据总价5400元构造方程，解方程即可； （2）分别计算两个方案的花费，进行比较即可． 【详解】（1）解：设该公司计划购买男士文化衫件，则计划购买女士文化衫件， 根据题意得，， 解得，， ∴， 答：该公司购买男士文化衫和女士文化衫各30件． （2）按方案一购买需：元， 按方案二购买需：按原价购买20件男士文化衫和30件女士文化衫，赠送10件男士文化衫，总花费：元， ∵， ∴选择方案二购买更划算． 答：选择方案二购买更划算． 14．某市为了缓解交通压力决定建高架桥，甲、乙两个公司都希望承接这项工程．已知甲公司每个月可建160米高架桥，乙公司每个月可建240米高架桥，而且完成这项工程甲公司比乙公司要多用20个月．该城市政府需付给甲公司建筑费每月240万元，乙公司建筑费每月360万元． (1)求该城市要建多长的高架桥？ (2)该城市政府设计方案时，考虑可由每个公司单独做，也可以由两个公司合作建成，在建设过程中，政府需要派5名工程师到建筑工地里进行指导，建筑公司负担每人每月3000元的生活补贴费．你帮助该城市政府选择一种既省时又省钱的建设方案，并说明理由．（用方程解决问题） 【答案】(1)该城市要建9600米的高架桥． (2)该公司选择既省时又省钱的建设方案，应选择时间最短，费用最低的由甲乙两公司合作完成． 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、工程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用． （1）设该城市要建x米的高架桥，根据题意列方程求解即可； （2）设甲乙合作需要y个月完成这项工程，求出合作需要的时间，再分别求出甲乙合作完成、甲单独完成、乙单独完成的费用，比较后作答即可． 【详解】（1）解：设该城市要建x米的高架桥， 由题意得， 解得：， 答：该城市要建9600米的高架桥； （2）解：设甲乙合作需要y个月完成这项工程，由题意得， ， 解得， 所以甲乙合作需要24个月； ①甲乙合作完成费用：万元， ②甲单独完成费用：万元， ③乙单独完成费用：万元， ， 综上所述，该公司选择既省时又省钱的建设方案，应选择时间最短，费用最低的由甲乙两公司合作完成． 15．某校为了丰富学生的课余生活，计划购买10副乒乓球拍和若干盒乒乓球（大于10盒），已知甲乙两家体育用品商店的标价相同，一副乒乓球拍的标价为60元，一盒乒乓球的标价是20元，现了解到两家体育用品商店都在做促销活动：甲店：买一副乒乓球拍送一盒乒乓球；乙店：所有商品均打八折 (1)若学校购买乒乓球x盒（），则在甲店购买球拍和球的总费用为______元，在乙店购买球拍和球的总费用为______元（结果用含x的式子表示）； (2)学校经过测算，去甲店购买与去乙店购买所付的总费用相同，求学校计划购买乒乓球多少盒？ (3)若学校打算购买10副乒乓球拍和30盒乒乓球，请你设计一种最省钱的购买方案． 【答案】(1)，； (2)学校计划购买乒乓球20盒 (3)最省钱的购买方案是在甲店买10副球拍，再在乙店买20盒乒乓球 【知识点】列代数式、方案选择(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的应用，理解题意，找出等量关系，列出方程是解决问题的关键． （1）按照对应的方案的计算方法分别列式计算即可； （2）设学校计划购买乒乓球x盒，根据“去甲店购买与去乙店购买所付的总费用相同”列出方程求解即可； （3）根据两种方案的优惠方式，可得出先在甲店购买10副球拍，送10盒乒乓球，另外20盒乒乓球在乙店购买即可． 【详解】（1）解：甲店购买球拍和球的总费用为：元， 乙店购买球拍和球的总费用为：元， 故答案为： ，； （2）解：由题意得：， 解得：， 答：学校计划购买乒乓球20盒； （3）解：当时， ①在甲店购买球拍和球的总费用为： （元）， ②在乙店购买球拍和球的总费用为： （元）， ③在甲店买10副球拍送10盒球，费用为，在乙店买盒乒乓球， 费用为，则总费用为 （元） ∵， ∴最省钱的购买方案是在甲店买10副球拍送10盒球，再在乙店买20盒乒乓球． 16．在利用一元一次方程解决问题时，借助表格和示意图可以直观分析问题，使问题中的数量关系更加清晰，实际上，借助图表直观分析数量关系，往往是解决问题的一种重要策略． 【题目】我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》（1299年）一书中有一道题目是：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何日追及之．” 译文是：快马每天走240里，慢马每天走150里，慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？ 【直观分析】（1）设快马天可以追上慢马，请你将如下的线段图补充完整： 【解决问题】（2）根据（1）中线段图所反映的数量关系，列方程解决问题． 【答案】（1）画图见解析；（2）快马20天可以追上慢马． 【知识点】古代问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据数量关系列出关于x的一元一次方程是解题的关键． （1）根据题意画图表示即可； （2）设快马x天可以追上慢马，根据慢马先行的路程快慢马速度之差快马行走天数，即可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：（1）如图所示： （2）设快马x天可以追上慢马， 由题意，得， 解得：． 答：快马20天可以追上慢马． 【突破四：能力提升突破】 1．克拉玛依市准噶尔商场经销的两种商品，种商品每件售价60元，利润为20元；种商品每件进价50元，售价80元．（利润=售价-进价，利润率） 打折前一次性购物总金额 优惠措施 少于等于450元 不优惠 超过450元，但不超过600元 按总售价打九折 超过600元 其中600元部分八折优惠，超过600元的部分打七折优惠 (1)种商品每件进价为___________元，每件种商品利润率为___________； (2)若准噶尔商场同时购进两种商品共50件，恰好总进价为2100元，求购进种商品多少件？ (3)在“元旦”期间，准噶尔商场对两种商品进行如下的优惠促销活动：按上述优惠条件，若小华一次性购买商品实际付款522元，求小华在该商场打折前一次性购物总金额？ 【答案】(1)40； (2)种商品40件 (3)580元或660元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是： （1）设A种商品每件进价为a元，利用利润=售价-进价，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可求出A种商品每件的进价，再利用利润率利润进价，即可求出每件B种商品利润率； （2）设购进种商品件，则购进种商品件，由题意得，再解方程即可； （3）设若没有优惠促销，小华在该商场购买同样商品要付x元，分及两种情况考虑，根据该商场给出的优惠条件及小华一次性购买A，B商品实际付款元，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设A种商品每件进价为a元， 依题意得：， 解得：， ∴A种商品每件进价为40元， 每件B种商品利润率为． 故答案为：40；． （2）设购进种商品件，则购进种商品件， 由题意得， 解得：． 即购进种商品件，种商品件． （3）设小华打折前应付款元． 当打折前购物金额超过450元，但不超过600元，即， 由题意得，解得， 当打折前购物金额超过600元，即， ， 解得：． 综上，小华在该商场购买同样商品要付元或元． 2．某书店为促销经典名著，按购买数量分三部分制定阶梯售价，如下表： 购买数量 单价 不超过200本的部分 12元/本 超过200本但不超过500本的部分 9元/本 超过500本的部分 6元/本 (1)若购买350本这种经典名著，需花费___________元；若购买650本这种经典名著，需花费___________元； (2)某学校为丰富图书馆藏书，花了2517元从该书店购买这种经典名著，则该校购买了多少本经典名著？ (3)该校教务处先为初一学生购买一批经典名著作为课外读物，后来又为初二学生追加购买了一批，两次共购买了900本，其中第一次购买的数量超过450本，且小于700本，两次共花费9150元，求第一次购买的数量． 【答案】(1)3750；6000 (2)213本 (3)第一次购买的数量为550本 【分析】本题考查了有理数混合运算的实际应用，一元一次方程的应用． （1）根据售价表计算即可； （2）求出购买量位于第二阶梯，用总价减去第一阶梯的总价，再除以第二阶梯的单价即可； （3）设第一次购买本，第二次购买本，分情况求解即可． 【详解】（1）解：若购买350本这种经典名著，需花费元； 若购买650本这种经典名著，需花费元； 故答案为：3750；6000； （2）解：元， 元， 因为， 所以购买数量在200本到500本之间 超过200本的部分花费： （元），对应数量为（本）． 总数量： （本）； （3）解：设第一次购买本，第二次购买本． 分情况计算： 若，则第二次，花费为： 第一次：； 第二次：； 总花费方程：，化简后等式不成立，排除； 若，则第二次（且200），花费为： 第一次：； 第二次：； 总花费方程：， 解得，符合条件． 答：第一次购买的数量为550本． 3．如图1是2022年1月的月历 (1)带阴影的方框是相邻三行里同一列的三个数，不改变带阴影的方框的大小，将方框移动几个位置试试，三个数之和能否为36？请运用方程的知识说明理由： (2)如图2，带阴影的框是“7”字型框，设框中的四个数之和为，则： ①能否等于92，请说明理由． ②是否存在最大值，若存在，请求出．若不存在，请说明理由． 【答案】(1)三个数之和能为36，见详解 (2)①不能等于92，见详解；②存在最大值，见详解 【分析】此题考查的是一元一次方程的应用．解决本题的关键是发现日历中左右相邻的数相隔1，上下相邻的数相隔7． （1）设三个数中中间的一个数为x,根据日历中同一列上下相邻的数相隔7表示另外两个数，根据三个数之和为36列出方程，进而求解即可； （2）①设“7”字型框中最小的数为y,根据日历中左右相邻的数相隔1，上下相邻的数相隔7表示另外三个数，根据四个数之和为92列出方程，进而求解即可； ②根据2022年1月的月历表，可求出t的最大值． 【详解】（1）解：（1）三个数之和能为36，理由如下： 设三个数中中间的一个数为x, 根据题意得：， 解得： 则，． 答：三个数之和能为36，这三个数是5，12，19； （2）（2）①t不能等于92，理由如下： 设“7”字型框中最小的数为y， 根据题意得： 解得， 此时，不合题意舍去． 故t不能等于92； ②存在最大值，理由如下： 根据表格可知，t的最大值为． 4．某车间生产的一套产品由3个A型部件和4个B型部件组成，该车间现有40个工人，每个工人每天能加工3个A型部件或6个B型部件．工厂将所有工人分成两组同时开始加工，每组分别加工一种部件，并要求每天加工的A、B型部件数量正好组成若干套该产品． (1)按照这样的生产方式，该车间每天有多少人生产A型部件？ (2)春节后工厂补充20名新工人，这些新工人只能独立进行B型部件的加工，且每人每天只能加工4个B型部件，则补充新工人后每天能配套生产多少套该产品？ 【答案】(1)按照这样的生产方式，该车间每天有24人生产A型部件 (2)补充新工人后每天能配套生产32套该产品 【分析】本题主要考查一元一次方程的实际应用，利用已知条件设出未知数和列出正确的方程是解题的关键． （1）根据已知条件列出x人生产A型部件，则有人生产B型部件，再利用已知条件列出方程即可求解； （2）根据已知条件列出安排y个老员工生产A型部件，则安排个老员工生产B型部件，再根据已知条件列出方程，注意引入的新工人只能独立进行B型部件的加工，再解方程即可求解． 【详解】（1）解：设有x人生产A型部件，则有人生产B型部件， 根据题意：得， 解得：， 答：按照这样的生产方式，该车间每天有24人生产A型部件； （2）解：设安排y个老员工生产A型部件，则安排个老员工生产B型部件， 根据题意：得， 解得：， ∴（套）， 答：补充新工人后每天能配套生产32套该产品． 5．如图，甲、乙两台搬运机器人分别固定在数轴型仓库的8号货架（甲初始位置）和13号货架（乙初始位置），货架编号沿数轴正方向递增，机器人仅沿数轴正/负方向移动，每次移动以“货架间距”为单位（1个单位对应1个货架间距）．系统每次下达1条运输指令，指令类型分为三类，各类指令对应的机器人移动规则唯一且固定： ①协同搬运指令：甲向正方向移动2个单位，乙向负方向移动2个单位； ②甲优先搬运指令：甲向正方向移动2个单位，乙向正方向移动1个单位； ③乙优先搬运指令：甲向负方向移动2个单位，乙向负方向移动1个单位． (1)从初始位置出发，仅执行1条“协同搬运指令”后，甲、乙两台机器人之间的货架间距为 个单位长度； (2)从初始位置出发，累计执行k条运输指令 ①若，且两台机器人只执行“优先搬运指令”，设“甲优先搬运指令”执行次数为n，甲最终停留的货架编号为 （用n的代数式表示）； ②若“协同搬运指令”次数与“优先搬运类指令”总次数的比为，设“甲优先搬运指令”执行次数为n，最终停留的货架编号为 （用k、n的代数式表示）；若此时甲、乙的位置间距为3个货架单位，求所有符合条件的k值及对应的各类指令执行次数． 【答案】(1)17 (2)①；②；所有符合条件的k值为8或12或16；当，时，“协同搬运指令”次数为6，“甲优先搬运指令”执行次数为3，“乙优先搬运指令”执行次数为3；当，时，“协同搬运指令”次数为8，“甲优先搬运指令”执行次数为0，“乙优先搬运指令”执行次数为8；当，时，“协同搬运指令”次数为4，“甲优先搬运指令”执行次数为3，“乙优先搬运指令”执行次数为1．当，时，“协同搬运指令”次数为6，“甲优先搬运指令”执行次数为0，“乙优先搬运指令”执行次数为6 【分析】（1）根据“协同搬运指令”的移动方式列式求解即可； （2）①首先得到“乙优先搬运指令”执行次数为，然后列式求解即可； ②首先表示出“协同搬运指令”次数与“优先搬运类指令”总次数都为，“乙优先搬运指令”执行次数为，然后表示出甲最终停留的货架编号和乙最终停留的货架编号，然后根据甲、乙的位置间距为3个货架单位列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵从初始位置出发，仅执行1条“协同搬运指令” ∴甲移动后表示的数为，乙移动后表示的数为， ∴ ∴甲、乙两台机器人之间的货架间距为17个单位长度， 故答案为：； （2）解：①设“甲优先搬运指令”执行次数为n， ∴“乙优先搬运指令”执行次数为， ∴甲最终停留的货架编号为， 故答案为：； ②∵“协同搬运指令”次数与“优先搬运类指令”总次数的比为， ∴“协同搬运指令”次数与“优先搬运类指令”总次数都为 ∵设“甲优先搬运指令”执行次数为n， ∴“乙优先搬运指令”执行次数为， ∴甲最终停留的货架编号为； ∴乙最终停留的货架编号为； ∵此时甲、乙的位置间距为3个货架单位， ∴ 整理得， ∵k和n都是正整数，且， ∴ ∴当时，整理得， ∴，或，， ∴“协同搬运指令”次数为，“甲优先搬运指令”执行次数为3，“乙优先搬运指令”执行次数为； “协同搬运指令”次数为，“甲优先搬运指令”执行次数为0，“乙优先搬运指令”执行次数为； 当时，整理得， ∴，或，， ∴“协同搬运指令”次数为，“甲优先搬运指令”执行次数为3，“乙优先搬运指令”执行次数为； “协同搬运指令”次数为，“甲优先搬运指令”执行次数为0，“乙优先搬运指令”执行次数为； 综上所述，所有符合条件的k值为8或12或16； 当，时，“协同搬运指令”次数为6，“甲优先搬运指令”执行次数为3，“乙优先搬运指令”执行次数为3； 当，时，“协同搬运指令”次数为8，“甲优先搬运指令”执行次数为0，“乙优先搬运指令”执行次数为8； 当，时，“协同搬运指令”次数为4，“甲优先搬运指令”执行次数为3，“乙优先搬运指令”执行次数为1． 当，时，“协同搬运指令”次数为6，“甲优先搬运指令”执行次数为0，“乙优先搬运指令”执行次数为6； 【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，数轴上两点之间的距离，数轴动点问题，列代数式等知识，解题的关键是正确读懂题意． 6．综合与探究 问题情境：迎泽大桥位于汾河之上，被誉为“华北第一桥”，年迎泽大桥维修加固，于月份正式通车，谱写了新太原汾河建桥史上光辉的乐章．周末，小晋、小阳和小韵相约打卡迎泽大桥． 已知迎泽大桥全长．如图，小晋从迎泽大桥的东端（记为点）出发向迎泽大桥西端（记为点）方向匀速行走，速度为，同时小阳从点出发向点方向匀速行走，速度为，设小阳行走的时间为． 数学思考： （1）在上述行走过程中，小晋距点的距离为 ，小阳距点的距离为 （均用含的式子表示）； 解决问题： （2）求小晋与小阳相遇时的值； （3）小韵在小阳出发时，骑自行车以的速度从点出发向点骑行，到达点后立即停止． ①小韵能否在小晋和小阳相遇前追上小阳？如果能，请求出相应的的值；如果不能，请说明理由； ②在小韵骑行的整个过程中，当小韵与小阳之间的距离为时，的值为________． 【答案】（1），；（2）；（3）①小韵能在小晋和小阳相遇前追上小阳，理由见解析；②或 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确地理解题意列出一元一次方程是解题的关键． （1）根据路程速度时间列出代数式即可； （2）根据小晋与小阳相遇时共走了米列方程求解即可； （3）①求出小韵追上小阳所用的时间，结合（2）的结论即可解答； ②分两种情况：小韵在未追上小阳时，小韵与小阳距离为；小韵在追上小阳后，小韵与小阳距离为，分别列方程，求解即可． 【详解】解：（1）小晋距点的距离为米，小阳距点的距离为米． 故答案为：；； （2）当小晋与小阳相遇时，， 解得； （3）①小韵能在小晋和小阳相遇前追上小阳，理由如下： 小韵在小阳出发时，才从点出发，此时小阳已经走了， 设小韵出发后追上小阳，此时小阳行走的时间为， ∵小韵的速度为，小阳速度为， 由题意，得， 解得， 故小阳行走的总时间， ∵小晋与小阳相遇时， ， 所以小韵能在小晋和小阳相遇前追上小阳，此时； ②∵小韵在小阳出发时，才从点出发， 故在小韵出发时，小阳已经走了， 小韵在未追上小阳时，存在小韵与小阳距离为的情况， 此时设小韵出发后与小阳距离为， 则， 解得， 则． 小韵在追上小阳后，存在小韵与小阳距离为的情况， 此时设小韵出发后与小阳距离为， 则， 解得， 则， 故答案为：或． 7．“告别百年隐患，守护城市安全”初冬的哈尔滨中央大街，地下管网改造一片繁忙．现有甲乙两个工程队，需要对一小区进行改造，甲工程队单独完成这一项工程需要20天，乙工程队单独完成这项工程所需的时间比甲工程队多． (1)求乙队单独完成这项工程需要多少天？ (2)现在若甲工程队先做5天，剩余部分再由甲乙两队合作，还需要多少天才能完成？ (3)原计划由乙工程队单独完成这项工程，乙工程队工作几天后接到通知要缩短工期，后期工程由甲、乙两工程队合作完成，若甲工程队工作的总天数是乙工程队工作的总天数的，乙工程队每天施工费是甲工程队每天施工费的，最后甲、乙两队施工费共计7万元，求甲、乙工程队每天施工费多少万元？ 【答案】(1)30天 (2)9天 (3)甲队0.4万元，乙队0.2万元 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程是解题的关键： （1）根据乙工程队单独完成这项工程所需的时间比甲工程队多，列式计算即可； （2）设还需要天完成，根据总量等于各劳动分量之和，列出方程进行求解即可； （3）设乙工程队工作的天数为天，则甲工程队工作的天数为天，列出方程求出每个工程队的施工天数，再设甲工程队每天施工费为万元，根据甲、乙两队施工费共计7万元，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：根据题意可得：（天）， 答：乙队单独完成这项工程需要30天． （2）解：设还需要天完成，依题意，得：， 解得：， 答：还需要9天才能完成； （3）解：设乙工程队工作的天数为天，则甲工程队工作的天数为天， 依题意，得：，解得， 所以， 设甲工程队每天施工费为万元，则乙工程队每天施工费为万元， 依题意，得：， 解得：， 所以． 答：甲队每天的施工费为0.4万元，乙队每天的施工费为0.2万元． 8．某超市新购草莓的进价为20元．为合理定价，前五天试行调价，以28元为标准售价，超出与不足的部分分别用正、负数表示．售价与销量记录如下表： 时间 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 售价与标准售价的差/(元) 销量 10 40 20 30 65 (1)这五天中，该超市第 天售出的草莓价格最高，为 元． (2)该超市这五天售出此种草莓共获利多少元? (3)超市最终将草莓的售价定为30元，同时为了避免草莓腐烂，推出以下两种促销方式： 方式一：当购买草莓不超过时，无优惠;当超过时，超出部分按售价的八折销售． 方式二：按售价的九折销售． 当购买多少千克草莓时，两种方式所花钱数相同? 【答案】(1)一，31 (2)1250元 (3)6千克 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，有理数的计算，正负数意义，找好标准“0”、找出列方程的等量关系是解题的关键． （1）通过看图表的每千克价格相对于标准价格，可直接得结论； （2）分别计算出每天的利润，然后相加即可； （3）设当购买千克草莓时，两种方式所花钱数相同，可分别表示出两种方式的花费，然后根据题意列出方程求解． 【详解】（1）解： ， 这五天中，该超市第一天售出的草莓价格最高，最高单价是：（元）． 第一天单价最高，最高价为31元； 故答案为：一，31； （2）解： （元）， 所以这五天超市出售此种草莓盈利1250元； （3）解：设当购买x千克草莓时，通过两种方式购买所花钱数一样， 由题意知，， 方式一：（元）， 方式二：（元）， ， 解得 当购买6千克草莓时，通过两种方式购买所花钱数一样． 9．某食品加工厂计划到草莓种植基地购买一批草莓，种植基地对购买量在1200千克（含1200千克）以上的有两种销售方案，方案一：每千克25元，由基地送货上门；方案二：每千克22元，由食品加工厂自己运回，已知该食品加工厂租车从基地到工厂的运输费为4200元． (1)食品加工厂购买多少千克草莓时，选择两种购买方案所需的费用相同？ (2)如果食品加工厂计划购买2500千克草莓，选择哪种方案省钱？为什么？ 【答案】(1)食品加工厂购买1400千克草莓时，选择两种购买方案所需的费用相同 (2)方案二省钱，理由见解析 【分析】本题考查一元一次方程的应用，理解题意得到等量关系是解题的关键． （1）设食品加工厂购买千克草莓，选择两种购买方案所需的费用相同，再根据题意列出一元一次方程并正确解出即为本题答案； （2）分别列式求出两种方案分别多少钱，再比较大小即可得到本题答案． 【详解】（1）解：设食品加工厂购买千克草莓，选择两种购买方案所需的费用相同， 方案一：费用为， 方案二：费用为 则由题意得：， 解得：， 答：食品加工厂购买1400千克草莓时，选择两种购买方案所需的费用相同． （2）解：食品加工厂计划购买2500千克草莓， ∴方案一：（元）， 方案二：（元）， ∵， ∴方案二更省钱． 10．如图1，有一长，宽的科幻空间站长方形实验舱，动点P以每秒4个单位从A向B运动，同时点Q以每秒a个单位从B向C，运动，设点P运动时间为t秒，连接、．求： (1)_____（用t表示）； (2)当a为何值时，四边形的面积不会随运动时间t的变化而改变； (3)如图2，若点P每运动1秒实验舱的M区显示结果就会自动加上4，同时N区会自动将整个代数式乘以2且均显示化简后的结果．已知M，N两区初始显示的分别是和（为正整数），若，试用作差法比较M区、N区显示结果哪个大． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了列代数式及整式加减的应用，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）根据求解即可； （2）根据四边形的面积=长方形的面积-三角形的面积-三角形的面积求解，然后整理即可得出结果； （3）根据题意得出，，然后用作差法比较即可． 【详解】（1）解：∵宽，动点P以每秒4个单位从A向B运动， ∴． 故答案为：； （2）四边形的面积=长方形的面积三角形的面积三角形的面积， 即 ， ∵四边形的面积不会随运动时间t的变化而改变， ∴，即时，四边形的面积不会随运动时间的变化而变化； （3）当时，由题意得 ，， ∴ ， ∵， ∴， ∴． 第2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026七年级上学期期末专题复习——16大重点专题突破系列 专题04：突破一元一次方程的应用（苏科版） 目录 【课标要求+题型预测】 1 【突破一：考点知识突破】 1 【突破二：重点题型突破】 6 题型一：和、差、倍、分问题 6 题型二：行程问题 7 题型三：工程问题 9 题型四：利润与折扣问题 10 题型五：配套问题 13 题型六：数字问题 15 题型七：古代数学文化中的问题 17 题型八：年龄问题 19 【突破三：基础运用突破】 21 【突破四：能力提升突破】 27 【课标要求+题型预测】 1．能根据实际问题找到相应的等量关系，并列出对应的一元一次方程；【选择题、填空题】 2. 掌握一元一次方程的解法；【解答题】 3．掌握一元一次方程解决实际应用问题的基本步骤，并能检验方程的解是否合理；【解答题】 【突破一：考点知识突破】 考点1：和、差、倍、分问题 1.题目核心特征 题目涉及数量之间的和、差、倍数、比例关系，或部分与整体的关系。 2.常用等量关系 · 较大数 = 较小数 + 相差数 · 总量 = 各部分量之和 · 倍数关系：A = n×B（n为倍数） · 比例关系：A:B = → A = B 3.解题方法与技巧 · 设“比”“是”后面的量为未知数，简化列式； · 理清数量的增减变化，避免混淆“多几倍”和“是几倍”； · 部分量之和等于总量，可通过列表梳理各部分量。 考点2：行程问题 1. 题目核心特征 涉及路程、速度、时间三个量的关系，分为相遇问题、追及问题、航行问题三类。 2.常用等量关系 · 基本公式：路程 = 速度×时间（） · 相遇问题：总路程 = 甲路程 + 乙路程 = （甲速度+乙速度）×相遇时间 · 追及问题：追及路程 = 快者路程 - 慢者路程 = （快者速度-慢者速度）×追及时间 · 航行问题： · 顺水速度 = 静水速度 + 水流速度 · 逆水速度 = 静水速度 - 水流速度 3.解题方法与技巧 · 画线段图分析运动过程，标注起点、终点、相遇/追及点； · 航行问题中，静水速度和水流速度通常为不变量； · 注意单位统一（如：速度单位km/h对应时间单位h）。 考点3： 工程问题 1. 题目核心特征 涉及工作总量、工作效率、工作时间三个量的关系，常把工作总量看作单位1。 2.常用等量关系 · 基本公式：工作总量 = 工作效率×工作时间 · 合作问题：总工作量 = 甲工作量 + 乙工作量 = （甲效率+乙效率）×合作时间 · 剩余工作量 = 总工作量 - 已完成工作量 3.解题方法与技巧 · 若无具体工作总量，设为单位1，工作效率 =； · 多人合作时，效率可以直接相加； · 注意“中途休息”“提前完成”等条件对工作时间的影响。 考点4： 利润与折扣问题 1.题目核心特征 涉及成本（进价）、售价、利润、利润率、折扣等量的关系，是中考高频考点。 2.常用等量关系 · 利润 = 售价成本（进价） · 利润率 = · 折扣：售价 = 标价折扣率（如8折即折扣率为0.8） · 总利润 = 单件利润销售量 = 总销售额总成本 3.解题方法与技巧 · 区分“标价”和“售价”：标价是原价，售价是实际卖出的价格； · 利润率的计算基数是成本，不是售价； · 折扣问题中，折扣率＜1，如七五折表示售价=标价×0.75。 考点5： 配套问题 1.题目核心特征 题目涉及两种或多种物品的配套生产，需满足一定的数量比例关系。 2.常用等量关系 配套比例 = 甲物品数量: 乙物品数量 = m:n → n×甲物品数量 = m×乙物品数量 3.解题方法与技巧 · 明确配套标准（如1个螺钉配2个螺母）； · 设生产其中一种物品的数量为，根据配套比例表示另一种物品数量； · 利用“数量比例的乘积相等”列方程，避免比例颠倒。 考点6： 数字问题 1.题目核心特征 涉及两位数、三位数的数位关系，十位数字、个位数字、百位数字之间的运算。 2.常用等量关系 · 两位数：数值 = 十位数字×10 + 个位数字（如：两位数，数值为） · 三位数：数值 = 百位数字×100 + 十位数字×10 + 个位数字 · 数字位置互换后，新数与原数的和/差满足题目条件 3.解题方法与技巧 · 设数位上的数字为未知数（如设十位数字为），不要直接设数值； · 理清数字互换前后的数值变化，避免数位计算错误。 考点7： 古代数学文化中的问题 1.题目核心特征 古代数学名著中的一元一次方程应用题，是七年级期末的高频考点（如《九章算术》《孙子算经》《算法统宗》等经典著作中的问题改编）。这类题目核心特点是以文言 / 半文言表述情境，本质仍是一元一次方程的实际应用，难点在于 “翻译文言语句” 和 “提取隐藏的等量关系”。以下是针对性的解题策略、核心技巧。 2.解题方法与技巧 一、通用解题策略（四步核心法） 第一步：译题 —— 将文言语句转化为现代数学语言（现在通常都不要翻译，题目给出译文） 这是解题的前提，需突破 “文言壁垒”，精准提取已知量、未知量和数量关系。 · 逐句翻译：抓住文言关键词，忽略无关修饰（如 “今有”“若”“问” 等引导词），将复杂语句拆解为简单表述。 · 标注关键信息：用括号标注已知数据、数量关系（如 “盈”“不足”“倍”“共”“各” 等），明确所求问题。 · 梳理逻辑关系：判断题目属于 “和差倍分”“盈不足”“工程”“行程”“配套” 等常见模型（古代题本质是现代模型的文言包装）。 第二步：建模 —— 对接现代应用题模型 古代数学题的核心模型集中在以下几类，翻译后可直接对接七年级所学的一元一次方程模型： 古代题常见类型 对应现代模型 核心等量关系特征 盈不足问题 和差倍分问题 两种分配方案下，总数量不变（盈 = 多余，不足 = 缺少） 鸡兔同笼问题 和差倍分 / 配套问题 总头数、总脚数固定，两种动物数量满足倍数 / 和差关系 工程劳作问题 工程问题 总工作量 = 各部分工作量之和，常以 “1” 表示总工作量 行程相遇 / 追及 行程问题 路程 = 速度 × 时间，相遇总路程 = 两者路程和，追及路程 = 速度差 × 时间 物品买卖 / 分配 和差倍分 / 利润问题 总价 = 单价 × 数量，分配时总数量不变 第三步：设元 —— 选择最优未知数 · 直接设元：若所求问题明确（如 “问人数几何”“求物价”），直接设所求量为x（优先选）。 · 间接设元：若直接设元导致方程复杂（如涉及多个倍数关系），设 “中间量” 为x（如鸡兔同笼设鸡的数量为x，而非直接设脚数）。 · 注意：设元时需带单位（如 “设人数为x人”“设物价为x钱”），避免后续计算单位混淆。 第四步：列方程 —— 紧扣 “不变量” 列等式 古代题的核心是找到 “不变的量”（如总数量、总工作量、总路程、年龄差等），以此为等量关系列方程： 1. 从两种不同情境中提取对 “不变量” 的两种表达方式； 2. 将两种表达方式用 “=” 连接，形成一元一次方程； 3. 方程中各项需统一单位（如 “钱”“步”“人” 等，古代单位无需换算，保持一致即可）。 补充：求解与检验 · 解方程时遵循 “去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为 1” 的步骤，避免计算错误； · 检验时需注意：① 方程解是否满足等式；② 解是否符合实际意义（如人数、物品数为正整数，长度为正数）。 考点8、 年龄问题 1.题目核心特征：涉及两人或多人的年龄差，年龄差始终不变是解题关键。 2.常用等量关系 · 年龄差 = 大年龄 - 小年龄（固定值） · 几年后年龄 = 现在年龄 + 年数；几年前年龄 = 现在年龄 - 年数 3.解题方法与技巧 · 设现在的年龄为未知数，不要设“几年后/前”的年数为未知数； · 利用“年龄差不变”列方程，避免混淆“现在”“过去”“未来”的年龄关系。 通用解题步骤（所有类型适用） 审：审题，明确已知量、未知量及题目中的等量关系； 设：设未知数，直接设（求什么设什么）或间接设（设与所求量相关的量）； 列：根据等量关系列出一元一次方程； 解：解方程，求出未知数的值； 验：检验方程的解是否符合实际意义； 答：写出答案，注意单位。 【突破二：重点题型突破】 题型一：和、差、倍、分问题 【例题1】．列方程解答下面的问题． 某校组织师生去郊外进行植树活动，共有28人参加．为了减少碳排放，大家可以选择乘坐电动巴士或步行．已知步行的人数比乘坐电动巴士人数的3倍少4人．请问有多少人选择乘坐电动巴士？ 【变式1】．为了丰富课后服务课程，某校开设了篮球兴趣班和足球兴趣班．现需要给兴趣班每人分别购买一个篮球或一个足球，已知篮球每个元，足球每个元，足球兴趣班的人数比篮球兴趣班的人数多，买篮球和足球的总费用相等，问两个兴趣班各有多少人？ 【变式2】．学校组织植树活动，已知在甲处植树的有16人，在乙处植树的有10人，现在需要调70人去支援． (1)若要使在甲处植树的人数与在乙处植树的人数相等，应该调往甲处________人； (2)若要使在甲处植树的人数是在乙处植树人数的2倍，问应调往甲、乙两处各多少人？ 【变式3】．元旦将至，学校组织学生进行元旦文艺汇演的节目排练，其中大合唱《大中华》节目中，七年级人数占该节目人数的一半，如果再增加6名七年级学生，那么七年级人数就占该节目总人数的，求大合唱《大中华》节目中原来七年级的表演人数． 【变式4】．2024年9月份强台风“摩羯”袭击海南，造成严重的破坏．一方有难八方支援，全国各地纷纷来支援海南，其中有来自广东“粤粤”、广西“桂桂”的两个电网支援队伍参与其中，认真阅读以下“粤粤”与“桂桂”的对话后，求“粤粤”、“桂桂”两个电网支援队各有多少人？ 题型二：行程问题 【例题2】．A、B两地相距450千米，甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，已知甲车速度为120千米/时，乙车速度为80千米/时，经过多少小时两车相遇？ 【变式1】．以下是两张不同类型火车（“Dxxx次”表示动车，“Gxxx次”表示高铁）的车票．（两车都是从A地出发，到B地停止，未出发时在A地等待）． (1)已知该列动车和高铁的平均速度分别为，，两列火车的长度不计，高铁比动车早到，求A，B两地之间的距离． (2)在（1）的条件下，求高铁出发多少小时后两车相距． 【变式2】．我国高速铁路飞速发展，为了解“复兴号”列车的长度和行驶速度，小明所在的学习小组开展了一次课外探究活动．他们分工合作，在一架长的铁路桥附近进行了观察、测量和计算：“复兴号”列车从开始上桥到完全过桥的时间约为，列车完全在桥上的时间约为．你能根据该小组同学获得的数据，求出“复兴号”列车过桥时的速度和列车的长度吗？ 【变式3】．甲乙两地相距，一列慢车从甲地开出，每小时行驶，一列快车从乙地开出，每小时行驶． (1)若两列车同时开出，相向而行，经过多少小时两列车相遇？ (2)若快车先开出，两列车相向而行，慢车开出多少小时两列车相遇？ 【变式4】．一列普通列车匀速行驶，经过一条长的隧道，从车头进入隧道，到车尾离开隧道，共需要的时间．隧道口的顶上有一盏灯，垂直向下发光，灯光照在列车上的时间是设该列车的长度为． (1)用含的式子表示：从车头进入隧道到车尾离开隧道，列车所走的路程为__________，这段时间内列车的平均速度为___________； (2)求这列普通列车的长度； (3)相邻车道有一列长度为，匀速相向行驶的高铁列车经过．普通列车与高铁列车完成会车即从车头相遇开始到车尾相离时结束的时间是求高铁列车的平均速度为多少？ 题型三：工程问题 【例题3】．甲、乙两队修一座桥，如果由甲队单独完成，需要天；如果由乙队单独完成，需要天．现在由甲队单独做了天后，承办方接到通知，需要加快修桥进度，后续工程由甲、乙两队共同完成，则甲、乙两队后续需要合作多少天才能修完这座桥？ 【变式1】．在繁忙的都市生活中，地铁作为城市交通的重要组成部分，承载着无数人的日常出行需求．某线路地铁进行修建，修建后产生的建筑垃圾需要清理．现计划租用甲、乙两车队清理建筑垃圾，已知甲车队单独运完需要9天，乙车队单独运完需要12天．乙车队先运了5天，然后甲、乙两车队共同合作运完剩下的垃圾．（列方程解决下列问题） (1)甲、乙两车队共同合作了多少天？ (2)已知甲车队每天的租金比乙车队多80元，运完垃圾后需支付甲、乙两车队租金共5740元，求乙车队每天的租金． 【变式2】．现有一道路改造修复工程，甲工程队单独完成需要18天，乙工程队单独完成需要12天．甲队单独施工3天后接到通知要缩短工期，剩余的部分由甲、乙两工程队合作完成． (1)甲、乙两工程队还需合作多少天才能完成？（用方程解决） (2)若甲队每天的工资为1000元，乙队每天的工资为1500元，问完成这项工程需支付两队工资一共多少钱？ 【变式3】．为了方便群众出行，甲、乙两个工程队共同承接了某地公路改造任务．若甲队单独施工需20天完成，乙队单独施工需30天完成． (1)甲、乙两队合作需要几天完成？ (2)若甲队先做5天，剩下部分由两队合作，还需要几天才能完成？ 【变式4】．某市为建设市民河堤漫步休闲通道，现有一段长为180米的河堤整治任务由A、B两个工程队先后接力完成，A工程队每天整治12米，B工程队每天整治8米，共用时20天完成． (1)根据题意，甲、乙两个同学分别列出方程如下： 甲：； 乙： 根据甲、乙两名同学所列的方程，请你分别指出代数式表示的意义． 甲： x表示 ； 乙： x表示 ． (2)请你从甲、乙两位同学的解答思路中，选择一种你喜欢的思路，求A、B两工程队分别整治河堤的长度．（写出完整的解答过程） 题型四：利润与折扣问题 【例题4】．为了迎接新学期，书店计划购进，两类书刊，类书刊和类书刊的售价分别是元本和元本，且每本类书刊的进价比每本类书刊贵元已知购买本类书刊和本类书刊共需要元． (1)每本类书刊、类书刊的进价各是多少元 (2)若该书店第一次购进，两类书刊共本，全部售完后总利润为元，则该书店第一次分别购进，两类书刊各多少本 (3)若第二次购进同样数量的两类书刊，且两类书刊的进价都比上次优惠了，再次销售时类书刊售价不变，类书刊打折出售，全部售完后总利润比上次还多元，则类书刊打了几折 【变式1】．列方程解应用题 某商场经销甲、乙两种畅销产品，甲种产品每件进价50元，乙种产品每件进价80元．为了迎接“双十一购物节”活动，该商场花费12400元提前购进甲、乙两种商品共200件． (1)该商场分别购进甲、乙两种产品多少件． (2)若甲种产品的标价是进价的3倍，每件乙种产品按标价出售可获得利润120元．“双十一购物节”期间，商场对这两种产品进行优惠促销活动：甲种产品每件降价元，乙种产品打m折出售．将这200件产品卖完后，商场最终获利13600元，求m的值． 【变式2】．某校开展校园艺术节系列活动，派小明到文体超市购买若干个文具袋作为奖品．这种文具袋标价每个10元，请认真阅读结账时老板与小明的对话图片，解决下面两个问题： (1)求小明原计划购买文具袋多少个？ (2)学校决定，再次购买钢笔和签字笔共50支作为补充奖品，其中钢笔标价每支8元，签字笔标价每支6元．经过沟通，这次老板给予8折优惠，合计272元．问小明购买了钢笔和签字笔各多少支？ 【变式3】．一种商品按销售量分三部分制定销售单价，如下表： 销售量 单价 不超过100件部分 元/件 超过100件不超过300件部分 元/件 超过300件部分 2元/件 (1)若买50件花___________元，买300件花___________元，买400件花___________元； (2)小明买这种商品花了812元，列方程求购买这种商品多少件？ 【变式4】．某商场购进了A、B两种商品，其中A种商品每件的进价比B种商品每件的进价多20元，购进A种商品3件与购进B种商品4件的进价相同． (1)求A、B两种商品每件的进价分别是多少元？ (2)该商场购进了A、B两种商品共100件，所用资金为6900元，出售时，A种商品按标价出售，每件的利润率为，B种商品按标价出售，每件可获利15元．若按标价出售A、B两种商品，则全部售完商场共可获利多少元？ 题型五：配套问题 【例题5】．制作一张桌子要用1个桌面和4条桌腿，木材可制作20个桌面，或者制作400条桌腿． (1)现有木材，要用多少木料制作桌面，多少木料制作桌腿，才能制作尽可能多的桌子？ (2)甲、乙两个工厂合作加工（1）中数量的桌子，5天加工完毕（每个工厂都独立加工完整的桌子），已知甲工厂每天加工的桌子比乙工厂的2倍少5张，求甲工厂每天加工几张桌子？ 【变式1】．在手工制作课上，老师组织七年级班的学生用硬纸制作圆柱形茶叶筒七年级班共有学生人，其中男生人数比女生人数少人，并且每名学生每小时剪筒身个或剪筒底个． (1)七年级班有男生、女生各多少人？ (2)要求一个筒身配两个筒底，那么如何进行人员调配，才能使每小时剪出的筒身与筒底刚好配套？ 【变式2】．劳动技术课上王老师带领七（1）班45名学生制作圆柱形小鼓，并且每名学生每小时可制作2个鼓身或剪6个鼓面． (1)老师组织全班学生制作小鼓，要求一个鼓身配两个鼓面，为了使每小时制作的鼓身与剪出的鼓面刚好配套，应该分配多少名学生制作鼓身？多少名学生剪鼓面？ (2)若想每小时制作78个小鼓，且制作的鼓身与剪出的鼓面刚好配套，应再加入多少名学生？请你直接写出结果和新加入人员具体的分配方案． 【变式3】．小敏和小强假期到某厂参加社会实践，该工厂用白板纸做包装盒，设计每张白板纸做盒身2个或者盒盖3个，且一个盒身和两个盒盖恰好做成一个包装盒．为了充分利用材料，要求做成的盒身和盒盖正好配套． (1)现有张白板纸，最多可做几个包装盒？ (2)现有张白板纸，为了尽可能做出更多的包装盒，小敏和小强各设计了一种解决方案： 小敏：把这些白板纸分成两部分，一部分全做盒身，一部分全做盒盖； 小强：先把一张白板纸适当裁出一个盒身和一个盒盖，剩下的张白板纸分成两部分，一部分做盒身，一部分做盒盖． 请探究：小敏和小强设计的方案是否可行？若可行，求出最多可做包装盒的个数；若不行，请说明理由． 【变式4】．在手工制作课上，老师组织七年级（2）班的学生用硬纸制作圆柱形茶叶筒．七年级（2）班共有学生50人，其中男生人数比女生人数少2人，并且每名学生每小时可以剪筒身40个或剪筒底120个． (1)七年级（2）班有男生、女生各多少人？ (2)原计划男生负责剪筒底，女生负责剪筒身，要求一个筒身配两个筒底，那么每小时剪出的筒身与筒底能配套吗？如果不配套，那么如何进行人员调配，才能使每小时剪出的筒身与筒底刚好配套？ 题型六：数字问题 【例题6】．某两位数，已知十位数字与个位数字之和为9，把十位数字和个位数字互换位置后得到一个新的两位数，设原两位数的个位数字为． (1)请用含的式子表示得到的新的两位数，并说明这个新的两位数能被9整除； (2)若新的两位数比原来的两位数大45，试通过列一元一次方程的方法求出的值． 【变式1】．一个两位数个位上的数字是1，十位上的数字是x．把1与x对调，新的两位数比原两位数小的值是多少？请你用方程解决这个问题． 【变式2】．有一个两位数，两个数位上的数字和是8，如果把个位上的数字与十位上的数字对调，那么所得到的两位数比原来的两位数大18，求原来的两位数．（用方程解决） 【变式3】．有一列数，其中第n个数是，如果这列数中某三个相邻数的和是．那么这三个数各是多少？ 【变式4】．阅读材料：在一次数学活动课上，小智发现：若一个两位正整数，十位上的数字为，个位上的数字为（），把十位上的数字与个位上的数字交换位置，原数与所得新数的差等于与的差的倍． 回答问题： (1)请证明小智的发现； (2)已知一个三位正整数的百位上的数字为，个位上的数字为，把百位上的数字与个位上的数字交换位置，十位上的数字不变，原数与所得新数的差等于594，请直接写出的值． 题型七：古代数学文化中的问题 【例题7】．我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“庭前孩童闹如簇，不知人数不知梨，每人四梨多十二，每人六梨恰齐足，”其大意：“孩童们在庭院玩耍，不知有多少人和梨，每人分4个梨，多12个梨；每人分6个梨，恰好分完．”请你用方程求庭前孩童人数和梨的数量． 【变式1】牧童分杏各争竞，不知人数不知杏．三人五个多十枚，四人八枚两个剩．问：有几个牧童几个杏？（选自《算法统宗》）．题目大意：牧童们要分一堆杏，不知道人数也不知道有多少个杏．若3人一组，每组5个杏，则多10个杏；若4人一组，每组8个杏，则多2个杏．求有几个牧童？几个杏？ 【变式2】在明代数学家程大位（1533—1606）所著的《算法统宗》中有这样一道题：“假如井不知深，先将绳三折入井，绳长四尺；后将绳四折入井，亦长一尺．问井深及绳长各若干?” 题意是：“用绳子测量井深，把绳子折成三折来量，井外余绳4尺；把绳子折成四折来量，井外余绳1尺．井深和绳长各是多少?” 请列方程解决这个问题． 【变式3】我国很多经典古籍中记载了“河图洛书”，它是中国重要的文化遗产．图1“洛书”中用实心点或空心点的个数表示数字．观察图1中的每一组点所对应的数字，回答下列问题： (1)根据“洛书”，图2中______，______； (2)根据图2所填数字，我们不难发现：方格中每一行、每一列、每条对角线上的三个数之和都相等．若图3符合“洛书”的规律，每一行、每一列以及两条对角线上的数字之和都相等，求c的值． 【变式4】《张丘建算经》由北魏数学家张丘建所著，其中有这样一个问题：“今有客不知其数．两人共盘，少两盘：三人共盘，长三盘．问客及盘各几何？”意思为：“现有若干名客人．若2个人共用1个盘子，则少2个盘子；若3个人共用1个盘子，则多出来3个盘子，问客人和盘子各有多少？”请你解答这个问题． 题型八：年龄问题 【例题8】．科学研究表明，人的血压与年龄有关．如果用a表示一个人的年龄（岁），用p表示正常情况下这个人的收缩压（毫米汞柱），那么 (1)正常情况下，一个50岁的人的收缩压是_______毫米汞柱 (2)一位65岁的老人测量得收缩压为142毫米汞柱，医生告诉他略高于正常值．他的收缩压比正常值高了多少？ (3)如果某人的收缩压测量值为148毫米汞柱，根据公式计算，他的正常年龄应该是多少岁？ 【变式1】．根据下面的对话，算出小亮今年的年龄． 【变式2】．甲、乙、丙三人的平均年龄为42岁．若将甲的岁数增加7岁，乙的岁数扩大2倍，丙的年龄缩小到原来的，则三人岁数相等．丙的年龄是多少岁？ 【变式3】．希腊数学家丢番图的墓碑上记载着：“他生命的六分之一是幸福的童年；再活了他生命的十二分之一，两颊长起了细细的胡须；又度过了一生的七分之一，他结婚了；再过5年，他有了儿子，感到很幸福；可是儿子只活了他年龄的一半；儿子死后，他在极度痛苦中度过了四年，与世长辞了．”求他去世时的年龄是多少． 【变式4】．小红编了一道题：“我是月出生的，我年龄的倍加，正好是我出生那个月的总天数，你猜我有多少岁？”请根据题目列出方程，并利用等式的性质求出小红的年龄． 【突破三：基础运用突破】 1．某车间有22名工人，每人每天可以生产1200个螺栓或2000个螺母．1个螺栓需要配2个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，应安排生产螺栓和螺母的工人各多少名？设安排生产螺栓的工人有x名，则列出方程（   ） A． B． C． D． 2．某工厂计划生产一批零件，如果每天生产个，则比计划晚一天完成；如果每天生产个，则比计划早一天完成．设计划生产个零件，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 3．某商品进价为元，售价为120元，按售价的8折出售仍可获利，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 4．把1-9这9个数填入方格中，使其任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”，它源于我国古代的“洛书”（图1），是世界上最早的“幻方”．图2是仅可以看到部分数值的“九宫格”，则其中x的值为（   ） A．1 B．3 C．4 D．6 5．几个人共同种一批树苗，如果每人种10棵，则剩下5棵树苗未种：如果每人种11棵，则缺3棵树苗，若设种树的人数为人，则依题意所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 6．一列匀速前进的火车从进入长的隧道到完全通过隧道经历，隧道顶部安装了一台固定的激光发射器，它会持续发出一道垂直向下的极细激光（激光线不移动），激光照射在车身上的时间为，则这列火车的长为（   ） A． B． C． D． 7．把一些图书分给某班学生阅读，如果_____；如果每个同学分4本，则缺25本．设这个班级有x名学生，可列出方程．则横线的信息可以是（   ） A．分给3个同学，则剩余20本 B．每个同学分3本，则剩余20本 C．分给3个同学，则缺20本 D．每个同学分3本，则缺20本 8．《九章算术》是中国传统数学的重要著作，其中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”译文：几个人一起去购买某物品，如果每人出8钱，则多了3钱；如果每人出7钱，则少了4钱．问有多少人，物品的价格是多少钱？设有x人，可列方程为（    ） A． B． C． D． 9．李老师家、学校和陈老师家在同一条直线上，早上李老师和陈老师同时从各自家中相向而行．李老师每分骑行，陈老师每分骑行，两人同时到达距中点的学校，李老师和陈老师家相距多少米？ 10．综合与探究 问题情境：迎泽大桥位于汾河之上，被誉为“华北第一桥”，年迎泽大桥维修加固，于月份正式通车，谱写了新太原汾河建桥史上光辉的乐章．周末，小晋、小阳和小韵相约打卡迎泽大桥． 已知迎泽大桥全长．如图，小晋从迎泽大桥的东端（记为点）出发向迎泽大桥西端（记为点）方向匀速行走，速度为，同时小阳从点出发向点方向匀速行走，速度为，设小阳行走的时间为． 数学思考： （1）在上述行走过程中，小晋距点的距离为 ，小阳距点的距离为 （均用含的式子表示）； 解决问题： （2）求小晋与小阳相遇时的值； （3）小韵在小阳出发时，骑自行车以的速度从点出发向点骑行，到达点后立即停止． ①小韵能否在小晋和小阳相遇前追上小阳？如果能，请求出相应的的值；如果不能，请说明理由； ②在小韵骑行的整个过程中，当小韵与小阳之间的距离为时，的值为________． 11．现有一种新型网约车是一种全无人自动驾驶的网约车，已经在全国多个城市开放运营．武汉经开区的新型网约车“萝卜快跑”的计价规则如表： 计费项目 里程费 时长费 远途费 单价 2元/公里 元/分钟 1元/公里 （注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算，时长费按行车的实际时间计算，远途费的收取方式为：行车里程15公里以内（含15公里）不收远途费，超过15公里的，超出部分每公里加收1元．） (1)若逸轩乘坐新型网约车，行车里程为20公里，行车时间为20分钟，则需付车费多少元？ (2)若子怡两次乘坐新型网约车，第一次行车里程为18公里，第二次行车里程为8公里，发现第一次行车时间是第二次的两倍且所付车费比第二次多元，则子怡第一次乘坐网约车的行车时间为多少分钟？ (3)正贤和明哲各自乘坐新型网约车，正贤比明哲的行车里程少3公里，行程结束后反而多付了6元，两人计费项目也相同（远途费为0时视为没有这个计费项目），那么这两辆新型网约车的行车时长相差________分钟． 12．12月4日为全国法制宣传日，学校组织4名学生参加法制知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，答错或不答均扣分，下表记录了其中2名参赛学生的得分情况． 参赛者 答对题数 答错或不答题数 得分 小王 20 0 100 小李 16 4 72 根据以上信息，请你解答下列问题： (1)答对一题得___________分，答错一题或不答得___________分； (2)若参赛学生小刘得了65分，他答对了几道题？ 13．某公司为筹备团建活动，计划为员工购置60件文化衫．经市场调研，某制衣厂男士文化衫每件80元，女士文化衫每件100元，若按原价购买该公司需花费5400元．为促进销售，制衣厂给出两种优惠方案： 方案一：所有文化衫均打九折出售； 方案二：一次性购买50件文化衫（男女款不限）及以上，免费赠送10件男士文化衫，其余的按原价销售． (1)该公司计划购买男士文化衫和女士文化衫各多少件？ (2)请通过计算说明该公司选择哪种优惠方案更划算． 14．某市为了缓解交通压力决定建高架桥，甲、乙两个公司都希望承接这项工程．已知甲公司每个月可建160米高架桥，乙公司每个月可建240米高架桥，而且完成这项工程甲公司比乙公司要多用20个月．该城市政府需付给甲公司建筑费每月240万元，乙公司建筑费每月360万元． (1)求该城市要建多长的高架桥？ (2)该城市政府设计方案时，考虑可由每个公司单独做，也可以由两个公司合作建成，在建设过程中，政府需要派5名工程师到建筑工地里进行指导，建筑公司负担每人每月3000元的生活补贴费．你帮助该城市政府选择一种既省时又省钱的建设方案，并说明理由．（用方程解决问题） 15．某校为了丰富学生的课余生活，计划购买10副乒乓球拍和若干盒乒乓球（大于10盒），已知甲乙两家体育用品商店的标价相同，一副乒乓球拍的标价为60元，一盒乒乓球的标价是20元，现了解到两家体育用品商店都在做促销活动：甲店：买一副乒乓球拍送一盒乒乓球；乙店：所有商品均打八折 (1)若学校购买乒乓球x盒（），则在甲店购买球拍和球的总费用为______元，在乙店购买球拍和球的总费用为______元（结果用含x的式子表示）； (2)学校经过测算，去甲店购买与去乙店购买所付的总费用相同，求学校计划购买乒乓球多少盒？ (3)若学校打算购买10副乒乓球拍和30盒乒乓球，请你设计一种最省钱的购买方案． 16．在利用一元一次方程解决问题时，借助表格和示意图可以直观分析问题，使问题中的数量关系更加清晰，实际上，借助图表直观分析数量关系，往往是解决问题的一种重要策略． 【题目】我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》（1299年）一书中有一道题目是：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何日追及之．” 译文是：快马每天走240里，慢马每天走150里，慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？ 【直观分析】（1）设快马天可以追上慢马，请你将如下的线段图补充完整： 【解决问题】（2）根据（1）中线段图所反映的数量关系，列方程解决问题． 【突破四：能力提升突破】 1．克拉玛依市准噶尔商场经销的两种商品，种商品每件售价60元，利润为20元；种商品每件进价50元，售价80元．（利润=售价-进价，利润率） 打折前一次性购物总金额 优惠措施 少于等于450元 不优惠 超过450元，但不超过600元 按总售价打九折 超过600元 其中600元部分八折优惠，超过600元的部分打七折优惠 (1)种商品每件进价为___________元，每件种商品利润率为___________； (2)若准噶尔商场同时购进两种商品共50件，恰好总进价为2100元，求购进种商品多少件？ (3)在“元旦”期间，准噶尔商场对两种商品进行如下的优惠促销活动：按上述优惠条件，若小华一次性购买商品实际付款522元，求小华在该商场打折前一次性购物总金额？ 2．某书店为促销经典名著，按购买数量分三部分制定阶梯售价，如下表： 购买数量 单价 不超过200本的部分 12元/本 超过200本但不超过500本的部分 9元/本 超过500本的部分 6元/本 (1)若购买350本这种经典名著，需花费___________元；若购买650本这种经典名著，需花费___________元； (2)某学校为丰富图书馆藏书，花了2517元从该书店购买这种经典名著，则该校购买了多少本经典名著？ (3)该校教务处先为初一学生购买一批经典名著作为课外读物，后来又为初二学生追加购买了一批，两次共购买了900本，其中第一次购买的数量超过450本，且小于700本，两次共花费9150元，求第一次购买的数量． 3．如图1是2022年1月的月历 (1)带阴影的方框是相邻三行里同一列的三个数，不改变带阴影的方框的大小，将方框移动几个位置试试，三个数之和能否为36？请运用方程的知识说明理由： (2)如图2，带阴影的框是“7”字型框，设框中的四个数之和为，则： ①能否等于92，请说明理由． ②是否存在最大值，若存在，请求出．若不存在，请说明理由． 4．某车间生产的一套产品由3个A型部件和4个B型部件组成，该车间现有40个工人，每个工人每天能加工3个A型部件或6个B型部件．工厂将所有工人分成两组同时开始加工，每组分别加工一种部件，并要求每天加工的A、B型部件数量正好组成若干套该产品． (1)按照这样的生产方式，该车间每天有多少人生产A型部件？ (2)春节后工厂补充20名新工人，这些新工人只能独立进行B型部件的加工，且每人每天只能加工4个B型部件，则补充新工人后每天能配套生产多少套该产品？ 5．如图，甲、乙两台搬运机器人分别固定在数轴型仓库的8号货架（甲初始位置）和13号货架（乙初始位置），货架编号沿数轴正方向递增，机器人仅沿数轴正/负方向移动，每次移动以“货架间距”为单位（1个单位对应1个货架间距）．系统每次下达1条运输指令，指令类型分为三类，各类指令对应的机器人移动规则唯一且固定： ①协同搬运指令：甲向正方向移动2个单位，乙向负方向移动2个单位； ②甲优先搬运指令：甲向正方向移动2个单位，乙向正方向移动1个单位； ③乙优先搬运指令：甲向负方向移动2个单位，乙向负方向移动1个单位． (1)从初始位置出发，仅执行1条“协同搬运指令”后，甲、乙两台机器人之间的货架间距为 个单位长度； (2)从初始位置出发，累计执行k条运输指令 ①若，且两台机器人只执行“优先搬运指令”，设“甲优先搬运指令”执行次数为n，甲最终停留的货架编号为 （用n的代数式表示）； ②若“协同搬运指令”次数与“优先搬运类指令”总次数的比为，设“甲优先搬运指令”执行次数为n，最终停留的货架编号为 （用k、n的代数式表示）；若此时甲、乙的位置间距为3个货架单位，求所有符合条件的k值及对应的各类指令执行次数． 6．“告别百年隐患，守护城市安全”初冬的哈尔滨中央大街，地下管网改造一片繁忙．现有甲乙两个工程队，需要对一小区进行改造，甲工程队单独完成这一项工程需要20天，乙工程队单独完成这项工程所需的时间比甲工程队多． (1)求乙队单独完成这项工程需要多少天？ (2)现在若甲工程队先做5天，剩余部分再由甲乙两队合作，还需要多少天才能完成？ (3)原计划由乙工程队单独完成这项工程，乙工程队工作几天后接到通知要缩短工期，后期工程由甲、乙两工程队合作完成，若甲工程队工作的总天数是乙工程队工作的总天数的，乙工程队每天施工费是甲工程队每天施工费的，最后甲、乙两队施工费共计7万元，求甲、乙工程队每天施工费多少万元？ 7．某超市新购草莓的进价为20元．为合理定价，前五天试行调价，以28元为标准售价，超出与不足的部分分别用正、负数表示．售价与销量记录如下表： 时间 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 售价与标准售价的差/(元) 销量 10 40 20 30 65 (1)这五天中，该超市第 天售出的草莓价格最高，为 元． (2)该超市这五天售出此种草莓共获利多少元? (3)超市最终将草莓的售价定为30元，同时为了避免草莓腐烂，推出以下两种促销方式： 方式一：当购买草莓不超过时，无优惠;当超过时，超出部分按售价的八折销售． 方式二：按售价的九折销售． 当购买多少千克草莓时，两种方式所花钱数相同? 8．某食品加工厂计划到草莓种植基地购买一批草莓，种植基地对购买量在1200千克（含1200千克）以上的有两种销售方案，方案一：每千克25元，由基地送货上门；方案二：每千克22元，由食品加工厂自己运回，已知该食品加工厂租车从基地到工厂的运输费为4200元． (1)食品加工厂购买多少千克草莓时，选择两种购买方案所需的费用相同？ (2)如果食品加工厂计划购买2500千克草莓，选择哪种方案省钱？为什么？ 9．如图1，有一长，宽的科幻空间站长方形实验舱，动点P以每秒4个单位从A向B运动，同时点Q以每秒a个单位从B向C，运动，设点P运动时间为t秒，连接、．求： (1)_____（用t表示）； (2)当a为何值时，四边形的面积不会随运动时间t的变化而改变； (3)如图2，若点P每运动1秒实验舱的M区显示结果就会自动加上4，同时N区会自动将整个代数式乘以2且均显示化简后的结果．已知M，N两区初始显示的分别是和（为正整数），若，试用作差法比较M区、N区显示结果哪个大． 第2页 学科网（北京）股份有限公司 $