精品解析：福建省福州金山中学2025—2026学年上学期九年级12月月考数学科试题

福州金山中学2025-2026学年第一学期九年级 12月限时训练数学试卷 （考试时间：120分钟；满分：150分；考试形式：闭卷） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个正确的选项，请在答题卡的相应位置填涂） 1. 纹样是我国古代艺术中的瑰宝，下列纹样图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 把抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，以为旋转中心，将顺时针旋转得到，边，相交于点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 若和是对应边，且，则与的面积比是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知，则点A的坐标可能是（ ） A. B. C. D. 6. 用反证法证明：中，，则，第一步应假设（ ） A. B. C. D. 7. 如图，某汽车车门的底边长为，车门侧开后的最大角度为．若将一扇车门侧开，则这扇车门底边扫过区域的最大面积是（ ） A. B. C. D. 8. 2025年春节档动画电影《哪吒之魔童闹海》票房记录一再刷新，据网络平台数据显示，截至3月1日0时26分票房突破140亿，位居全球动漫电影票房榜首．2025年清明档（4月4日—4月6日）以总票房亿元收官，4月4日的单日票房达到亿，假设平均每天的票房增长率为x，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，点为反比例函数图像上的一点，连接，过点作，交反比例函数图像于点，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 二次函数的图像经过，，三点，且，，则，，的大小关系是( ) A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 二、填空题（本大题共6小题，每空4分，共24分．将答案填入答题卡的相应位置） 11. 已知反比例函数y＝，当x＜0时，y随x的增大而减小，那么k的取值范围是______________． 12. 关于x的一元二次方程的一个根是，则另一个根为________． 13. 如图，在中，点分别在上，，，则________． 14. 如图，小华同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边，，得边离地面的高度，，则树高是_______ ． 15. 如图，是的切线，切点分别是点A和B，是的直径．若，则的长为______． 16. 如图，A，B为圆O上两点，，C为圆O上一动点（不与A、B重合），D为的中点．若圆O的半径为2，则线段的长的最大值为_______． 三、解答题（本大题共9小题，共86分．解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤，在答题卡的相应位置作答） 17. 解方程： （1）． （2）． 18. 如图，E是正方形中边上的一点，将射线绕点A逆时针旋转，交的延长线于点F，连接． （1）补全图形，并证明线段； （2）若，求的值． 19. 已知二次函数；求证：不论取何值，该二次函数图象与x轴始终有2个交点． 20. 如图，是的直径，C是上除外的一点，点D是弧的中点，于点E． （1）求证：是的切线； （2）若，求长． 21. 某校理科社团决定采用抽卡片的方式对招募来的学生进行分组，制作了除图片内容不同外，其他完全相同的四张卡片：A．积土成山，B．蜡炬成灰，C．物腐虫生，D．木已成舟．每个同学从这四张卡片中随机抽取一张，抽到表示化学变化的卡片，加入化学魔法社；抽到表示物理变化的卡片，就加入物理小天团．（物理变化和化学变化的区别在于是否有新物质生成） （1）从四张卡片中随机抽取一张，抽到B卡片的概率是________； （2）有同学说抽到每种卡片的可能性不一样，于是老师组织同学进行了大量重复试验． 试验次数n 100 300 500 1000 2000 抽到B卡片次数m 30 70 126 251 500 抽到B卡片频率 0.300 0.233 0.252 0.251 0.250 根据以上数据，抽到B卡片的频率越来越稳定于________（精确到0.01），所以该同学的说法________（选填“正确”或“错误”）； （3）若小娜和小菲两人同时抽取了卡片，请用列表法或画树状图法求她们恰好被分在同一个社团的概率． 22. 如图在中，． （1）在的延长线上，求作点D，使得（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，若，求的长． 23. 工匠师傅准备从六边形的铁皮中，裁出一块矩形铁皮制作工件，如图所示．经测量，，与之间的距离为2米，米，米，，．，，是工匠师傅画出的裁剪虚线．当的长度为多少时，矩形铁皮的面积最大，最大面积是多少？ 24. 如图，过点P作的两条切线，切点分别为A，B，连接，，，取的中点C，连接并延长，交于点D，连接． （1）求证：； （2）延长交的延长线于点E．若，，求的长． 25. 抛物线与x轴交于，B两点，N是抛物线顶点． （1）求抛物线的解析式及点B的坐标． （2）如图1，抛物线上两点，，若，求m的值． （3）如图2，点，如果不垂直于y轴的直线l与抛物线交于点G，H，满足．探究直线l是否过定点？若直线l过定点，求定点坐标；若不过定点，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福州金山中学2025-2026学年第一学期九年级 12月限时训练数学试卷 （考试时间：120分钟；满分：150分；考试形式：闭卷） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个正确的选项，请在答题卡的相应位置填涂） 1. 纹样是我国古代艺术中的瑰宝，下列纹样图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心；在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，根据这些概念逐一判断即可． 【详解】解：A：既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故A错误； B：是中心对称图形，也是轴对称图形，故B错误； C：不是中心对称图形，是轴对称图形，故C正确； D：是中心对称图形，不是轴对称图形，故D错误． 故选：C． 2. 把抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线平移规则“左加右减，上加下减”进行变换．本题考查抛物线平移的规律，掌握“左加右减，上加下减”是关键． 【详解】解：原抛物线为． ∵向左平移2个单位， ∴，得． ∵向上平移3个单位， ∴整体加3，得． ∴得到的抛物线是． 故选：C． 3. 如图，在中，以为旋转中心，将顺时针旋转得到，边，相交于点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质以及三角形的外角性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．由旋转的性质得出，，，由三角形的外角性质即可得出答案． 【详解】解：∵将顺时针旋转得到， ∴，， ∴， 故选：B． 4. 若和是对应边，且，则与的面积比是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，据此解答即可． 【详解】解：∵和是对应边，且， ∴相似比为， ∴面积比为． 故选：D． 5. 如图，已知，则点A的坐标可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角函数的应用：过点A作轴于B，设，利用求出，再根据勾股定理求出即可得到点A的坐标． 【详解】过点A作轴于B，设． ∵点在第二象限， ∴点A的坐标是． 故选：B． 6. 用反证法证明：中，，则，第一步应假设（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反证法：反证法的第一步是假设结论的否定． 【详解】解：∵结论是， ∴反证法第一步应假设． 故选：C． 7. 如图，某汽车车门的底边长为，车门侧开后的最大角度为．若将一扇车门侧开，则这扇车门底边扫过区域的最大面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查扇形的面积．根据这扇车门底边扫过的区域是扇形，求出扇形的半径和圆心角，然后由扇形的面积公式计算即可． 【详解】解：根据题意这扇车门底边扫过的区域是扇形， 其中扇形的半径为，圆心角最大角度为， ∴扇形的最大面积为：， 故选：B． 8. 2025年春节档动画电影《哪吒之魔童闹海》票房记录一再刷新，据网络平台数据显示，截至3月1日0时26分票房突破140亿，位居全球动漫电影票房榜首．2025年清明档（4月4日—4月6日）以总票房亿元收官，4月4日的单日票房达到亿，假设平均每天的票房增长率为x，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，审清题意、根据等量关系列出方程是解题的关键． 设平均每天的票房增长率为x，然后根据题意列出一元二次方程即可． 【详解】解：设平均每天的票房增长率为x， 根据题意，得． 故选B． 9. 如图，点为反比例函数图像上的一点，连接，过点作，交反比例函数图像于点，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数，相似三角形的判定与性质等知识，过A作轴于M，过B作轴于N，设，证明，求出，，则，然后根据待定系数法求解即可． 【详解】解：过A作轴于M，过B作轴于N， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则，，， ∴，， ∴， ∴， 故选：B． 10. 二次函数的图像经过，，三点，且，，则，，的大小关系是( ) A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的增减性，对称轴和开口方向的问题，熟练掌握相关知识是解决问题的关键．由题可知，对称轴为，进而分两种情况讨论：①；②，根据抛物线的增减性得出结论． 【详解】解：对称轴为， 当时， ，，， 与互为相反数， ，故A，B不正确，不符合题意； 同理当时，，故D不正确，不符合题意． 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每空4分，共24分．将答案填入答题卡的相应位置） 11. 已知反比例函数y＝，当x＜0时，y随x的增大而减小，那么k的取值范围是______________． 【答案】k>2##2＜k 【解析】 【分析】由x＜0时，y随x的增大而减小，可知反比例函数图象在一、三象限，由此确定反比例函数的系数（k−2）的符号． 【详解】解：∵当x＜0时，y随x的增大而减小， ∴k-2>0， ∴k>2， 故答案为：k>2． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质．对于反比例函数y＝（k≠0），①k＞0，反比例函数图象在一、三象限；②k＜0，反比例函数图象在第二、四象限内． 12. 关于x的一元二次方程的一个根是，则另一个根为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，若一元二次方程的两个根为，则，据此即可求解． 【详解】解：设方程的另一根为， ∵一元二次方程的一个根是， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 如图，在中，点分别在上，，，则________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质与相似三角形的判定及性质，解题的关键是由得到相似三角形，结合线段比例求出的长度，进而得到． 由得出的比例；利用判定，根据相似比得到与的关系，求出；再由平行四边形对边相等得． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，解得， 在平行四边形中，， ∴． 故答案为：． 14. 如图，小华同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边，，得边离地面的高度，，则树高是_______ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定及性质，熟练掌握其判定及性质是解题的关键． 根据相似三角形的判定及性质可得，进而可求解． 【详解】解：，且， ， ，即：， 解得：， （）， 树高是， 故答案为：． 15. 如图，是的切线，切点分别是点A和B，是的直径．若，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据切线长定理，结合已知条件，可得为等边三角形，继而求得的长度，结合切线的性质定理与圆周角定理，利用解直角三角形即可求解． 【详解】 解：如图，连接， 是的切线， ， ， 为等边三角形， ， 是的切线， ， ， 是的直径， ， 在中， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了切线长定理，切线性质定理，圆周角定理，等边三角形性质，解直角三角形的知识点，熟练掌握这些性质和定理是解题的关键． 16. 如图，A，B为圆O上两点，，C为圆O上一动点（不与A、B重合），D为的中点．若圆O的半径为2，则线段的长的最大值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】取的中点E，连接，得到，即D是以点E为圆心，1为半径的圆上的一点，进一步再求最值即可． 【详解】解：如图，取的中点E，连接，则， ∵D为线段的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴，即D是以点E为圆心，1为半径的圆上的一点， ∴线段长度的最大值即是点B与上的点的最大距离， 如图，当点D在线段的延长线上时，即在的直径上，线段的长度取得最大值， 连接， ∵，， ∴为等边三角形， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴线段长度的最大值为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查圆的定义及性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理的应用，三角形的中位线的性质，能够通过性质得出点的轨迹是解题关键． 三、解答题（本大题共9小题，共86分．解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤，在答题卡的相应位置作答） 17. 解方程： （1）． （2）． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解一元二次方程的常用方法有直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，解题的关键是根据方程的特点选择合适、简便的方法求解． （1）利用开平方法解答即可； （2）利用公式法解答即可． 【小问1详解】 解： ∴ ∴； 【小问2详解】 解： 其中，，， ∴ ∴， ∴，． 18. 如图，E是正方形中边上的一点，将射线绕点A逆时针旋转，交的延长线于点F，连接． （1）补全图形，并证明线段； （2）若，求的值． 【答案】（1） 如图： 证明线段： 由题可知， ∴， 在中， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查三角形全等判定与性质、正切的应用、勾股定理、正方形的性质． （1）补全图形，再证明即可； （2）根据设，利用正方形的性质和勾股定理求出、即可． 【小问1详解】 解：略． 【小问2详解】 解：在中，∵， 故可设， 则，， 由知， 则， 在中，， ∴． 19. 已知二次函数；求证：不论取何值，该二次函数图象与x轴始终有2个交点． 【答案】 证明：令，那么， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴不论取何值，有两个不相等的实数根， ∴不论取何值，该二次函数图象与x轴始终有2个交点． 【解析】 【分析】本题考查二次函数与坐标轴的交点问题，一元二次方程根的判别式，令，那么，然后根据一元二次方程根的判别式大于0即可证明． 【详解】略 20. 如图，是的直径，C是上除外的一点，点D是弧的中点，于点E． （1）求证：是的切线； （2）若，求长． 【答案】（1） 证明：连接． ∵点为弧的中点， ， ， ∴是的切线； （2）6 【解析】 【分析】本题考查圆的切线的判定、矩形的判定与性质、垂径定理的应用： （1）连接，证明得到即可； （2）过点作于，证明四边形是矩形，求出，用勾股定理求出，利用垂径定理即可求得答案． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解：过点作于： ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴， ∵，是圆的弦， ∴， ∴． 21. 某校理科社团决定采用抽卡片的方式对招募来的学生进行分组，制作了除图片内容不同外，其他完全相同的四张卡片：A．积土成山，B．蜡炬成灰，C．物腐虫生，D．木已成舟．每个同学从这四张卡片中随机抽取一张，抽到表示化学变化的卡片，加入化学魔法社；抽到表示物理变化的卡片，就加入物理小天团．（物理变化和化学变化的区别在于是否有新物质生成） （1）从四张卡片中随机抽取一张，抽到B卡片的概率是________； （2）有同学说抽到每种卡片的可能性不一样，于是老师组织同学进行了大量重复试验． 试验次数n 100 300 500 1000 2000 抽到B卡片次数m 30 70 126 251 500 抽到B卡片频率 0.300 0.233 0.252 0.251 0.250 根据以上数据，抽到B卡片的频率越来越稳定于________（精确到0.01），所以该同学的说法________（选填“正确”或“错误”）； （3）若小娜和小菲两人同时抽取了卡片，请用列表法或画树状图法求她们恰好被分在同一个社团的概率． 【答案】（1） （2）；错误 （3） 【解析】 【分析】本题考查了概率公式，利用频率估计概率，列表法或树状图法求概率，熟练掌握列表法或树状图法是解题关键． （1）根据概率公式直接求解即可； （2）根据大量重复试验的结果可知，抽到B卡片的频率越来越稳定于，即抽到B卡片的频率近似为，即可作答； （3）根据列表法，得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可知，从四张卡片中随机抽取一张，共有4种情况， 其中，抽到B卡片的情况有1种， 即抽到B卡片的概率是； 【小问2详解】 解：观察发现，抽到B卡片的频率越来越稳定于，即抽到B卡片的频率近似为， 所以该同学的说法错误， 故答案为：，错误； 【小问3详解】 解：由题意可知，A和D为物理变化，B和C为化学变化． 列表如下： 小娜 小菲 由表可得，共有12种等可能的情况，其中小娜和小菲恰好被分在同一个社团的情况有4种， 即她们恰好被分在同一个社团的概率为． 22. 如图在中，． （1）在的延长线上，求作点D，使得（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，若，求的长． 【答案】（1） 作即可： 根据：∵， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查作图—作一个角与已知角相等、勾股定理、三角形相似的判定与性质： （1）作即可； （2）根据勾股定理求出，再根据写出比例关系求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在中，， ∴． ∵， ∴， 设， 则， 则， 则，解得， 即的长为． 23. 工匠师傅准备从六边形的铁皮中，裁出一块矩形铁皮制作工件，如图所示．经测量，，与之间的距离为2米，米，米，，．，，是工匠师傅画出的裁剪虚线．当的长度为多少时，矩形铁皮的面积最大，最大面积是多少？ 【答案】当的长度为米时，矩形铁皮的面积最大，最大面积是平方米 【解析】 【分析】连接，分别交于点，交于点，先判断出四边形是矩形，从而可得，再判断出四边形和四边形都是矩形，从而可得米，，然后设矩形的面积为平方米，米，则米，米，利用矩形的面积公式可得关于的二次函数，最后利用二次函数的性质求解即可得． 【详解】解：如图，连接，分别交于点，交于点， ， ， 米， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是矩形， ，， ， ， 四边形是矩形， ， 四边形和四边形都是矩形， 米，， 和都是等腰直角三角形， ， ， 设矩形的面积为平方米，米，则米，米， 米， 米， ， 又，与之间的距离为2米，米， ， 由二次函数的性质可知，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小， 则当时，取得最大值，最大值为， 答：当的长度为米时，矩形铁皮的面积最大，最大面积是平方米． 【点睛】本题考查了二次函数的几何应用、矩形的判定与性质等知识点，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． 24. 如图，过点P作的两条切线，切点分别为A，B，连接，，，取的中点C，连接并延长，交于点D，连接． （1）求证：； （2）延长交的延长线于点E．若，，求的长． 【答案】（1） 证明：，分别切于A点，B点， 平分， ， 又， ， ． （2）长为44． 【解析】 【分析】（1）利用切线长定理得平分，利用圆周角定理得，等量代换即可证明； （2）延长交于点F，连接，利用条件求出线段长，再利用角度转换证明三角形相似，最后根据相似求得长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 延长交于点F，连接，则， ，分别切于A点，B点， C为的中点， ， ， 又，， ， ， ，， ， ， 又， ， ，， ，， ， ， ． 【点睛】本题主要考查切线长定理，圆周角定理及推论，勾股定理，三角函数，相似三角形的判定与性质等知识点，熟记切线长定理，圆周角定理，并且能根据题意作出合适的辅助线是解题的关键． 25. 抛物线与x轴交于，B两点，N是抛物线顶点． （1）求抛物线的解析式及点B的坐标． （2）如图1，抛物线上两点，，若，求m的值． （3）如图2，点，如果不垂直于y轴的直线l与抛物线交于点G，H，满足．探究直线l是否过定点？若直线l过定点，求定点坐标；若不过定点，请说明理由． 【答案】（1）， （2） （3）存在定点 【解析】 【分析】（1）把代入，求出抛物线的解析式，令，即可求解； （2）设直线为，设点，，可得且，即可求解； （3）设直线解析式，直线与抛物线相交于点，，与抛物线解析式联立可得，，．作，，，，，．根据，可得，从而得到，进而得到，继而得到，再由直线不垂直于轴，可得，从而得到直线解析式，即可求解． 【小问1详解】 解：把代入， ． 抛物线的解析式为， 令，则， 解得，， ； 【小问2详解】 解：∵，N是抛物线顶点， ∴， 设直线的解析式为， ，， ∴，解得：， 直线的解析式为， ， 可设直线为， 设点，， 且． 解得：． 【小问3详解】 解：存在定点满足条件． 设直线解析式，直线与抛物线相交于点，， ， ． ，，． 作，，，，，． ， ． 即， ， ， ． ． ． ， 直线不垂直于轴， ， ， ， 直线解析式， 无论为何值，，， ∴过定点，故存在定点． 【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质、一次函数和二次函数交点问题等知识．利用数形结合思想解答是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $