2026年九年级数学中考一轮复习：锐角三角函数及其性质

锐角三角函数及其性质

一、核心知识点梳理

（一）锐角三角函数的定义（中考基础考点）

在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，∠A、∠B 为锐角，以 ∠A 为例，定义对边、邻边、斜边：

∠A 的对边：与 ∠A 相对的边 BC，记为 a；

∠A 的邻边：与 ∠A 相邻且非斜边的边 AC，记为 b；

斜边：最长边 AB，记为 c（与直角 ∠C 相对）。

∠A 的三个锐角三角函数定义：

正弦：sin∠A=；

余弦：cos∠A=；

正切：cos∠A=。

补充：∠B 的三角函数可同理推导，因 ∠A+∠B=90∘，其三角函数与 ∠A 存在互余关系

（二）特殊锐角的三角函数值（中考必考点）

30°、45°、60° 为中考高频特殊角，三角函数值需熟练记忆，具体如下表：

记忆技巧：

正弦值随锐角增大而增大

余弦值随锐角增大而减小（与正弦值变化趋势相反）；

正切值随锐角增大而增大

（三）锐角三角函数的性质（中考核心考点）

取值范围：对任意锐角 α（0∘<α<90∘），有：

0<sinα<1，0<cosα<1（对边 / 邻边小于斜边，比值小于 1）；

tanα>0（对边、邻边均为正，比值为正）。

 

 

互余角的三角函数关系（高频应用）：若 α+β=90∘，则：

sinα=cosβ，cosα=sinβ（如 sin30=cos60）；

tanα⋅tanβ=1（如 tan30⋅tan60=1）。

同角三角函数关系（计算、证明常用）：

平方关系：sin2α+cos2α=1（如 sin245∘+cos245∘=1）；

（四）核心解题思路

求锐角三角函数值：先确定直角三角形的对边、邻边、斜边，再代入定义式计算；无直角三角形时，作垂线构造直角三角形。

利用特殊值求角度：根据三角函数值反推锐角。

化简计算：结合特殊值、同角 / 互余角性质，简化含三角函数的代数式，注意根号运算和零指数、绝对值的结合。

二、易错点辨析（中考高频丢分点）

对边、邻边混淆：以非目标锐角为基准区分边，导致定义式代入错误（关键：始终以所求三角函数对应的锐角为基准）。

特殊角三角函数值记错，需结合记忆技巧强化。

互余角性质误用：误将 sinα=sin(90∘−α)，忽略 “正弦与余弦互换” 的核心。

取值范围忽略：判断三角函数值合理性时，忘记锐角三角函数的取值边界

三、同步练习

1．如图为人行天桥的示意图，若高长为，斜道长为，则的值为(  )

A.  B. 3 C.  D.

2．如图，一艘渔船由南向北航行，上午8时，发现灯塔在渔船的北偏西方向，上午10时，却发现灯塔在渔船的南偏西方向．已知渔船的速度是28海里／小时，渔船上午8时和10时的位置分别用点，表示，则的距离为(  )

A. 28海里 B. 42海里 C. 56海里 D. 70海里

3．无人机警戒在高速公路场景中的应用，是我国低空经济高质量发展的重要实践方向．如图，在高速公路上，交警在处操控无人机巡查，无人机从点处飞行到点处悬停，探测到它的正下方公路上点处有汽车发生故障．测得处到处的距离为，从点观测点

的仰角为，，则处到处的距离为         ．

 

4．如图，小明想测量山坡上信号塔的高度(与水平地面垂直)，他先在水平地面上的点处测得信号塔底端的仰角为，信号塔顶端的仰角为，然后测得山坡的坡度，坡底到信号塔底端的距离为。(注：图中各点都在同一平面内，参考数据：，，，，，)

(1) 求的长；

(2) 求信号塔的高度。

 

 

 

 

 

 

 

5．2025年春晚重庆分会场的主舞台位于两江交汇处的南岸区弹子石广场，对面就是朝天门，小明同学想把“半城烟水半城山，一城灯火若星河”的春晚无人机表演尽收眼底，决定在江北嘴的点或者弹子石的点观看演出。小明根据所学知识画了如图所示的方位图，为朝天门，为春晚主舞台所在地弹子石广场，在的北偏东方向，在的东南方向的处，在的北偏东方向，在的北偏西方向的处，且在的正北方向，与交于点。(参考数据：，，)