拓展寒假作业 计算题专项训练（巩固提升15大题型+能力培优+创新题型）（巩固培优）八年级数学新教材北师大版

完成时间： 月 日 天气： 拓展寒假作业 计算题专项训练 一、平方根与算术平方根的区别与联系 平方根 算术平方根 区别 个数 一个正数的平方根有两个，它们互为相反数 一个正数的算术平方根只有一个 表示方法 非负数a的平方根表示为 非负数a的算术平方根表示为 取值范围 正数的平方根是一正一负 正数的算术平方根一定是正数 联系 包含条件 平方根包含算术平方根，算术平方根是正的平方根（0除外）0. 存在条件 平方根和算术平方根都是只有非负数才有，0的平方根和算术平方根都是0. 二、二次根式 二次根式的性质 （1），（双重非负性）． （2）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）． 应用：在实数范围内分解因式：（3） （4）=·（a≥0，b≥0） （5）=（a≥0，b>0） 三、二次根式混合运算 二次根式的乘法 二次根式的乘法 ·＝．（a≥0，b≥0） 文字语言：二次根式与二次根式相乘，等于各个被开数的积的算术平方根. 推广： 二次根式的除法 二次根式的除法：=（a≥0，b>0） 文字语言：二次根式与二次根式相乘，等于各个被开数的商的算术平方根. 二次根式的加减 1. 二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。 2. 二次根式加减运算的步骤： ①化：将各个二次根式化成最简二次根式； ②找：找出化简后被开方数相同的二次根式； ③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。 二次根式的混合运算 二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号） 四、二元一次方程组的解法 1.代入消元法 定义：把二元一次方程组中的一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法. 用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤： 1）变形.从方程组中选一个未知数的系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来； 2）代入.将变形后的方程代入没变形的方程，得到一个一元一次方程； 3）解元.解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； 4）求值.将求得的未知数的值代入变形后的方程，求出另一个未知数的值，从而得到方程组的解. 2.加减消元法 定义：当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法. 用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤： 1）变形.先观察系数特点，将同一个未知数的系数化成互为相反数或相等的数； 2）加减.把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程； 3）解元.解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； 4）求值.将求得的未知数的值代入原方程组中任意一个方程，求出另一个未知数的值，并把求得的两个未知数的值用“大括号”联立起来，就是方程组的解． 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 实数的混合运算 1．计算 (1)． (2)． 2．计算： (1)． (2)． (3)． 3．计算： (1)； (2)． 4．计算： (1) (2)． 5．计算： (1)； (2)． 6．计算： (1)； (2)． 7．计算 (1)； (2)． 题型二 解平方根、立方根方程 8．求下列各式中的值： (1)； (2)． 9．求下列各式中x值： (1) (2) 10．求的值： (1)； (2)． 11．求下列各式中的． (1)； (2)． 12．解方程： (1)； (2)． 13．解方程： (1)； (2)． 14．求下列各式中的： (1)； (2)． 题型三 算术平方根的非负性计算 15．若，求的值． 16．已知实数、满足，则的值是多少？ 17．先化简，再求值：，其中． 18．先化简，再求值：，其中 19．已知实数a，b满足． (1)求a、b的值． (2)求的平方根． 20．先化简，再求值：，其中． 21．先化简，再求值：，其中若． 题型四 无理数整数部分的计算 22．已知的平方根为，的立方根为． (1)求． (2)若是的整数部分，求的平方根． 23．已知3是的平方根，是的立方根，是的整数部分， (1)求，，的值； (2)求的平方根． 24．已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． 25．已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分， (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． 26．观察：∵，即，∴的整数部分为2，小数部分为.请你观察上述的规律后解答下面的问题： (1)如果的整数部分为a，小数部分为b，求a﹣b的值； (2)已知a是的整数部分，b是的小数部分，求的平方根． 27．根据下表回答下列问题： x 17 18 289 324 (1)的平方根是______，______， ______； (2)若这个数的整数部分为，求的值． 28．阅读理解：我们知道是无理数，无理数是无限不循环小数，因此的小数部分不可能全部写出来，小乐同学用来表示的小数部分，并给出了理由：因为，所以，则的整数部分为1，小数部分为，事实上，小乐同学的方法是正确的，请解答： (1)的整数部分是_____，小数部分是______． (2)若的整数部分是，小数部分是，求的值． 题型五 平方根、立方根的规律计算 29．通过观察后再回答问题． 200 (1)从表格中探究a与数位的规律，并利用这个规律解决问题： 已知，，则______； (2)已知，，用含m的代数式表示n（请写出解答过程）． 30．先观察下列等式，再解答问题： ①； ②； ③． (1)根据上面三个等式提供的信息，请猜想的结果，并进行验证； (2)根据上面的规律，可得______； (3)请按照上面各等式反映的规律，试写出第个等式（为正整数），并加以验证． 31．观察下表： 0.0001 0.01 1 100 10000 0.01 0.1 1 10 100 (1)由上表你发现了什么规律？请用语言叙述这个规律：__________________； (2)根据你发现的规律填空：已知． 则___________，___________； 若，则___________； (3)拓展提升： ①已知，则___________； ②已知，则___________． 32．先填写表，通过观察后再回答问题． (1)表格中______，______． (2)从表格中探究a与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题： ①已知，，则______； ②已知，，用含m的代数式表示n，则______． 33．观察下表，并用所得的规律解决问题： (1)发现规律：被开方数的小数点向右（或左）移动___________位，其立方根的小数点向右（或左）移动___________位； (2)应用：①已知，则___________； ②已知，则___________； (3)拓展：根据上述探究过程类比研究一个数的平方根．已知：，计算的值． 34．观察如表，并解答下列问题． a 1 1000 1000000 ______ ______ 100 【规律总结】 （1）①请补全如表； ②根据如表，可以得到被开方数和它的立方根之间小数点的变化规律：若被开方数的小数点向右（或向左）移动三位，则它的立方根的小数点就相应地向右（或向左）移动______位； 【规律应用】 （2）已知，，． ①______； ②用铁皮制作一个封闭的正方体，使它的体积为3000立方米，则需要多大面积的铁皮？（保留整数） 35．观察下表： 0．0001 1 100 10000 1 10 100 (1)由上表发现的结论：被开方数的小数点向左或向右每移动____位，它的_______________的小数点就相应的向左或向右移动____位； (2)根据你发现的规律填空：①已知． 则___________，___________； ②若，则___________； (3)拓展提升：被开方数的小数点向左或向右每移动____位，它的立方根的小数点就相应的向左或向右移动____位； ①已知，则___________； ②已知，则___________． 题型六 二次根式的混合运算 36．计算： (1) (2) 37．计算： (1) (2)． 38．计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 39．计算： (1)； (2) 40．计算： (1)； (2)． 41．计算 (1)； (2) 42．计算： (1)； (2)． 题型七 分母有理化 43．已知． (1)计算________；________；________． (2)求的值． 44．已知；，求：的值 45．观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； …… (1)第个等式：______． (2)根据以上规律，计算的值． 46．阅读下列运算过程，并完成各小题： ；．数学上把这种将分母中的根号去掉的过程称作“分母有理化”．如果分母不是一个无理数，而是两个无理数的和或差，此时也可以进行分母有理化，如： ； ； 模仿上例完成下列各小题： (1)____________； (2)____________； (3)请根据你得到的规律计算：． 47．阅读下列解题过程：， ，请回答下列问题： (1)观察上面的解答过程，请写出_____； (2)利用上面的解法，请化简： 48．先阅读，再解答．由可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如：，请完成下列问题： (1)的有理化因式是______；化简______； (2)计算：______； (3)比较与的大小，并说明理由． 49．阅读材料：在二次根式中，当分母为无理数的二次根式时，我们通过运算，把该分母化为有理数的过程，称其为分母有理化或有理化分母． 例：①； ②； (1)分母有理化：； (2)观察上面运算过程，对下列式子进行分母有理化：； (3)请尝试对下列式子进行分母有理化：． 题型八 二次根式的化简 50．计算： (1)． (2)． 51．计算：； 52．已知x为奇数，且，求. 53．计算下列各式： (1)； (2)． 54．计算： (1) (2)． 55．计算： (1)； (2)． 56．当时，化简： 题型九 解二元一次方程组 57．解方程组： (1) (2) 58．解方程组： (1)； (2)． 59．解方程组． 60．解方程组： (1) (2) 61．解下列方程组： (1) (2) 62．解方程组： (1)； (2) 63．已知二元一次方程：（1）；（2）；（3）．请从这三个方程中选择两个你喜欢的方程，组成一个方程组，并求出方程组的解． 题型十 二元一次方程组的特殊解法 64．阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代入”的思想． 解：由①，得，③ 把③代入②，得，即， 把代入③，得， 所以方程组的解为 请你运用小军的“整体代入”法，解方程组 65．先阅读材料，然后解方程组． 材料：解方程组 由①得，③ 把③代入②，得，解得， 把代入③得，所以这个方程组的解为． 这种方法称为“整体代入法”．你若留心观察，有很多方程组可以采用此方法解答，请用这种方法解方程组：． 66．阅读下面的解题过程，再回答问题： 解方程组： 解：原方程组可化为 由③-①，得，即．④ 把④代入②，得，解得． 把代入④，得，所以方程组的解是 以上解方程组的方法叫做“消常数项法”，请用上面的方法解方程组： 67．阅读材料：解方程组时，可由得，然后再把代入，得，求得，再把代入，求得，从而求得原方程组的解为，这种方法被称为“整体代入法”. 请用上述方法解方程组： 68．阅读下列解方程组的方法，然后回答问题． 解方程组 解：由，得，即．③ ，得．④ ，得，从而可得． 所以原方程组的解是 请你仿照上面的解法，解方程组： 69．观察发现： 材料：解方程组． 将①整体代入②，得．解得． 把代入①得，所以． 这种解法称为“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答， (1)请直接写出方程组的解为_______． (2)实践运用：请用“整体代入法”解方程组． 70．解方程组：；甲、乙同学的部分解题过程如下： 甲：将②①，得． 乙：由②得③，把①代入③． (1)老师评价以上两种解题的方法都是正确的．但有一个同学的计算过程出现错误，其中过程出现错误的同学是_____（填“甲”或“乙”）； (2)请你参照乙的解题思路，解下面的方程组． 题型十一 二元一次方程组的错解复原问题 71．用消元法解方程组时，两位同学的解法如下： 解法一：由①-②，得…… 解法二：由②，得．③ 把①代入③，得…… (1)上述两个解法中有一个计算有误，请指出计算有误的解法并进行改正． (2)请选择一种你喜欢的解法解方程组． 72．甲、乙两人同时解方程组甲看错了b，求得的解为乙看错了a，求得的解为你能求出原题中正确的a，b吗？ 73．小明和小文解一个关于x，y的二元一次方程组小明正确解得，小文因看错了c，解得．已知小文除看错了c外没有出现其他错误，求的值． 74．已知关于的方程组，小明在解方程组时看错a，解得，小红在解方程组时看错，解得．求的值． 75．在解方程组时，甲看错了方程组中的，得到的解为，乙看错了方程组中的，得到的解是． (1)求原方程组中、的值各是多少？ (2)求出原方程组中的正确解 76．甲、乙两人共同解方程组由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为，求原方程组的解． 77．下面是两位同学解方程组的做法， 芊芊的做法如下： 由方程①得③ 将方程③代入②得 解得 把代入③ ∴方程组的解为 浩浩的做法如下： 由①×2得③ 由②＋③得 解得 把代入①得 ∴方程组的解为 请认真阅读并完成下面的问题． (1)芊芊的消元方法是 ；浩浩的消元方法是 ． (2)判断 （选填“芊芊”或“浩浩”）的解答过程有误，并运用该同学的消元方法进行正确解答． 题型十二 已知二元一次方程组的解的情况求参数 78．已知关于，的二元一次方程组的解满足，求的值． 79．已知关于，的方程组的解满足，求的值及方程组的解． 80．已知关于的方程组． (1)若，求这个方程组的解； (2)若这个方程组的解满足，求的值． 81．已知关于，的方程组的解满足． (1)求的值； (2)试判断该方程组的解是否也是方程组的解． 82．已知关于，的二元一次方程组的解满足，求的值． 83．已知关于x，y的方程组． (1)请直接写出方程的所有正整数解； (2)若方程组的解满足，求m的值． 84．已知关于x，y的二元一次方程组，根据下列条件，求的值． (1)方程组的解为． (2)方程组的解和互为相反数． 题型十三 方程组的同解计算 85．若方程组的解满足方程组，求a，b的值． 86．若关于，的方程组与方程组的解相同，求： (1)两个方程组的相同解； (2)的值． 87．已知方程组和方程组的解相同，求的值． 88．已知关于x、y的方程组和的解相同，求a和b的值． 89．若关于的方程组和方程组有相同的解． (1)求关于的方程组正确的解． (2)求的值． 90．已知方程组的解和方程组的解相同，求的值 91．已知关于x，y的二元一次方程组与方程组有相同的解． (1)求这两个方程组的相同解； (2)求的值． 题型十四 解三元一次方程组 92．解方程组． 93．解三元一次方程组： 94．数学活动：探究不定方程 小川，小渝两位同学在学习方程过程中发现，三元一次方程组，虽然解不出具体数值，但可以解出，的值. (1)小川的方法：整理可得：； 整理可得：；∴ 小渝的方法：：______________________；∴. (2)已知，试求解的值. 95．已知方程组的解也是方程的解，求的值． 题型十五 二元一次方程组的新定义运算 96．定义：我们把关于的两个二元一次方程与（为常数，且）叫作互为共轭二元一次方程，二元一次方程组，叫做共轭二元一次方程组． (1)的共轭二元一次方程是______．（填选项字母） A．　B．　C．　D． (2)若关于的方程组是共轭二元一次方程组，求的平方根． 97．定义：在解方程组时，由，易得，由，易得，再重新组成方程组再用加减法就容易得到方程组的解了，这种二元一次方程组的解法称为二元一次方程组的轮换对称解法．请用轮换对称解法解方程组． 98．阅读下面文字，然后回答问题 给出定义：对于关于x，y的二元一次方程（其中），若将其x的系数a与常数c互换，得到的新方程称为原方程的“镜像方程”．例如方程的“镜像方程”为． (1)写出的“镜像方程”______，以及它们组成的方程组的解为______； (2)若关于x，y的二元一次方程与其“镜像方程”组成的方程组的解为，求的平方根； (3)若关于x，y的二元一次方程的系数满足，且与它的“镜像方程”组成的方程组的解恰是关于x，y的二元一次方程的一个解，请直接写出代数式的值． 99．对于有理数，，定义新运算：，，其中，是常数．已知，． (1)求，的值； (2)若关于，的方程组的解也满足方程，求的值； 100．定义：关于，的二元一次方程（其中为互不相等的常数，且）中的常数项与未知数系数互换，得到的方程叫“变更方程”，例如：“变更方程”为． (1)求方程与它的“变更方程”组成的方程组的解； (2)已知关于，的二元一次方程的系数满足，且与它的"变更方程"组成的方程组的解恰好是关于，的二元一次方程的一个解，求代数式的值． 1．（25-26七年级上·安徽合肥·月考）解下列方程（组）： (1) (2) 2．（24-25八年级上·安徽淮南·期末）我们规定，关于x，y的二元一次方程，若满足，则称这个方程为“最佳”方程．例如：方程，其中，，，满足，则方程是“最佳”方程，把两个“最佳”方程合在一起叫“最佳”方程组． 根据上述规定，回答下列问题： (1)方程________“最佳”方程；（填“是”或“不是”） (2)若关于x，y的二元一次方程是“最佳”方程，求k的值； (3)若是关于x，y的“最佳”方程组的解，求p，q的值． 3．（25-26七年级上·安徽淮南·月考）【方法引入】 已知关于两个未知数组成的方程组，求关于这两个字母的代数式的值，常见有两种方法： 方法一（通法）：解方程组求出这两个未知数的值，再代入代数式求值； 方法二（整体思想）：仔细观察两个方程中未知数的系数之间的关系，通过适当变形整体求代数式的值． 【例】已知实数m、n满足，求和的值． 方法一：解方程组，分别求出m，n的值，代入代数式求值； 方法二：仔细观察两个方程中未知数的系数之间的关系，通过适当变形整体求代数式的值． 解法如下：①－②，得；①+②，得． 比较： 方法一运算量较大，是常规思路； 方法二运算较为简单，这种解题思想就是通常所说的“整体思想”． 【方法应用】 (1)已知二元一次方程组，则______； (2)若有理数a，b满足，求的值； (3)对于有理数x，y，定义新运算：，其中a，b，c是常数，等式右边是通常的加减法和乘法运算．已知，，求的值． 4．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）归纳与探究： （1）计算：_____，_____，，_____； （2）猜想：对于任意实数，一定等于吗？利用（1）中的计算，你发现的值等于多少呢？ （3）应用：已知实数，在数轴上的位置如图所示，计算： 5．（24-25八年级下·安徽亳州·期中）观察下列等式： ①； ②； ③； … 利用你观察到的规律： (1)化简：①的值；②的值； (2)计算：． 6．（25-26八年级上·安徽宿州·月考）观察发现： 解方程组： 将①整体代入②得． 解得． 把代入①，． 故原方程组的解为． 这种解法称为“整体代入法”，你细心观察，有很多方程组均可采用此方法解答． (1)实践运用： 请用“整体代入法”解方程组． (2)拓展提升： 请你仿照上面的解法解方程组，．（提示，将看作一个整体） 7．（24-25八年级上·安徽芜湖·期末）已知关于、的方程组． (1)请写出方程的所有正整数解． (2)若方程组的解满足，求的值． (3)当每取一个值时，就对应一个方程，而这些方程有一个公共解，求出这个公共解． 8．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）【问题呈现】已知实数x，y满足，且，求k的值． 【方法对比】 甲、乙、丙三名同学分别提出了三种不同的解题思路如下： （1）甲同学：先解关于x，y的方程组，再求k的值． （2）乙同学：先将方程组中的两个方程相减，再求k的值． （3）丙同学：先解方程组，再求k的值． 【解答问题】 你欣赏哪名同学的解题思路？请根据你所选的思路解答此题． 1．（24-25八年级上·安徽芜湖·期末）计算：． 2．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）计算： (1)； (2)． 3．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）已知，． (1)已知x的算术平方根为3，求a的值； (2)如果x，y都是同一个正数的两个平方根，求这个数． 4．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）已知和是m的两个平方根，是的立方根． (1)求m，x，y的值； (2)求的平方根和算术平方根． 5．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）小明在解决问题：已知，求的值．他是这样解的： 因为， 所以，所以，所以， 所以． 请你根据小明的解答过程，解决下列问题： (1)计算：； (2)若． ①求的值； ②求的值． 6．（25-26八年级上·安徽宿州·月考）（1）计算： （2）解二元一次方程组：． 7．（25-26七年级上·安徽阜阳·月考）已知关于，的方程组． (1)若，求这个方程组的解； (2)若这个方程组的解满足，求的值． 8．（25-26七年级上·安徽淮北·月考）若方程组的解互为相反数，求的值和方程组的解． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 拓展寒假作业 计算题专项训练 一、平方根与算术平方根的区别与联系 平方根 算术平方根 区别 个数 一个正数的平方根有两个，它们互为相反数 一个正数的算术平方根只有一个 表示方法 非负数a的平方根表示为 非负数a的算术平方根表示为 取值范围 正数的平方根是一正一负 正数的算术平方根一定是正数 联系 包含条件 平方根包含算术平方根，算术平方根是正的平方根（0除外）0. 存在条件 平方根和算术平方根都是只有非负数才有，0的平方根和算术平方根都是0. 二、二次根式 二次根式的性质 （1），（双重非负性）． （2）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）． 应用：在实数范围内分解因式： （3） （4）=·（a≥0，b≥0） （5）=（a≥0，b>0） 三、二次根式混合运算 二次根式的乘法 二次根式的乘法 ·＝．（a≥0，b≥0） 文字语言：二次根式与二次根式相乘，等于各个被开数的积的算术平方根. 推广： 二次根式的除法 二次根式的除法：=（a≥0，b>0） 文字语言：二次根式与二次根式相乘，等于各个被开数的商的算术平方根. 二次根式的加减 1. 二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。 2. 二次根式加减运算的步骤： ①化：将各个二次根式化成最简二次根式； ②找：找出化简后被开方数相同的二次根式； ③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。 二次根式的混合运算 二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号） 四、二元一次方程组的解法 1.代入消元法 定义：把二元一次方程组中的一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法. 用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤： 1）变形.从方程组中选一个未知数的系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来； 2）代入.将变形后的方程代入没变形的方程，得到一个一元一次方程； 3）解元.解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； 4）求值.将求得的未知数的值代入变形后的方程，求出另一个未知数的值，从而得到方程组的解. 2.加减消元法 定义：当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法. 用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤： 1）变形.先观察系数特点，将同一个未知数的系数化成互为相反数或相等的数； 2）加减.把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程； 3）解元.解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； 4）求值.将求得的未知数的值代入原方程组中任意一个方程，求出另一个未知数的值，并把求得的两个未知数的值用“大括号”联立起来，就是方程组的解． 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 实数的混合运算 1．计算 (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了算术平方根、立方根、绝对值、有理数的乘方，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）先化简绝对值，再计算加减即可得出结果； （2）先计算乘方、算术平方根、立方根，再计算乘法，最后计算加减即可得出结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．计算： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1)5 (2) (3) 【分析】（1）先计算绝对值、算术平方根、乘法，再将结果进行加减运算； （2）先去掉括号，再化简即可； （3）先分别计算立方根、算术平方根，再依次进行加减运算． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 【点睛】本题考查实数的混合运算，掌握先算开方、绝对值，再算乘除，最后算加减是解题的关键． 3．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算（算术平方根、立方根、绝对值、乘方），解题的关键是准确计算各部分的实数运算结果． （1）分别计算算术平方根、立方根、绝对值，再进行加减运算； （2）分别计算乘方、绝对值、立方根、算术平方根，再进行加减运算． 【详解】（1）解： （2） 4．计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算，正确计算是解题的关键． （1）先进行开立方、开算术平方根、计算绝对值，然后进行加减运算； （2）先进行乘方、开算术平方根，计算绝对值，再进行除法运算，最后进行加减法运算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 5．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)0 (2) 【分析】此题主要考查了实数及二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． （1）根据绝对值的性质、零指数幂的性质以及二次根式的混合运算法则计算得出答案； （2）根据二次根式的乘方、算术平方根、立方根进行计算，再加减即可得出答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 6．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据解答即可； （2）根据解答即可． 本题考查了完全平方公式，负整数指数幂，零指数幂，立方根，绝对值，二次根式的化简，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 7．计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了实数的运算，熟知实数的运算法则是解题的关键． （1）先计算立方根、零次幂、负整数次幂，最后计算加减法即可得到答案； （2）先计算去绝对值、乘方、立方根，最后计算加减法即可得到答案． 【详解】（1）解： （2） 题型二 解平方根、立方根方程 8．求下列各式中的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平方根、立方根，熟练掌握这两个定义是解题的关键． （1）根据平方根的定义解方程即可； （2）根据立方根的定义解方程即可． 【详解】（1）解：， ， 则， 解得； （2）解：， ， 则， 解得． 9．求下列各式中x值： (1) (2) 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查利用平方根和立方根解方程，掌握平方根和立方根的定义是解题的关键． （1）将原方程整理得，再等号两边同时开立方，得到一个一元一次方程，即可求解． （2）将原方程整理得，再等号两边同时开平方，得到两个一元一次方程，即可求解． 【详解】（1）解： 两边同时开立方，得 解得． （2）解： 两边同时开平方，得或 解得，． 10．求的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平方根的定义和立方根的定义，能熟记平方根和立方根的定义是解此题的关键． （1）根据立方根的定义进行解方程，即可得到答案； （2）先移项，再根据平方根的定义进行计算，即可得到答案． 【详解】（1）解： 解得； （2）解： 解得． 11．求下列各式中的． (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查了利用平方根和立方根解方程，熟练掌握平方根、立方根的定义是解决本题的关键． （1）将常数项移到等式右边，再将系数化为，开平方求解即可． （2）将系数化为，开立方求解即可． 【详解】（1）解：， ， 或； （2）解：， ， ， ． 12．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了平方根和立方根的知识，熟练掌握这两个定义是解题的关键． （1）根据立方根的定义解方程即可； （2）根据平方根的定义解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， 或， 或． 13．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查利用平方根和立方根解方程，熟练掌握平方根和立方根的定义，是解题的关键： （1）利用平方根解方程即可； （2）利用立方根解方程即可． 【详解】（1）解：， ， 解得或； （2）， ， ， ， 解得． 14．求下列各式中的： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了利用平方根和立方根的定义解方程，掌握平方根和立方根的定义是解题的关键． （）把常数移到右边，两边同时乘以，再根据平方根的定义解答即可； （）两边同时乘以，再根据立方根的定义解答即可． 【详解】（1）解：， ， ， 解得； （2）解：， ， ， ． 题型三 算术平方根的非负性计算 15．若，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质，求代数式的值，理解非负数的性质是解题的关键．因为算术平方根，平方数，且它们的和为0，所以且 【详解】解：由得，即；由得，即， 所以. 16．已知实数、满足，则的值是多少？ 【答案】 【分析】本题主要考查非负数的性质，解题的关键是掌握偶次方与算术平方根的非负性．先根据非负数的性质得出、的值，再代入计算即可． 【详解】解：由题意得，，即 ，， 得，， ． 17．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的混合运算，化简求值，算术平方根的非负性，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先运算括号内，再合并括号内的同类项，结合多项式除以单项式，得，因为，得出，再代入计算，即可作答． 【详解】解： ∵， ∴， 解得， 故 18．先化简，再求值：，其中 【答案】，； 【分析】本题考查整式的化简求值，完全平方公式，平方差公式，单项式乘以多项式，多项式除以单项式，算术平方根与平方的非负性，掌握知识点是解题的关键． 根据完全平方公式，平方差公式，单项式乘以多项式，将括号内的式子进行化简，再根据多项式除以单项式进行化简，由算术平方根与平方的非负性，求出，最后代值计算即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， 即， ， 解得， ∴原式． 19．已知实数a，b满足． (1)求a、b的值． (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查算术平方根的非负性，平方根及实数的定义，熟练掌握算术平方根的非负性，平方根及实数的定义是解题的关键； （1）根据算术平方根的非负性可进行求解； （2）由（1）可得的值，然后问题可求解． 【详解】（1）解：∵，且， ∴， ∴； （2）解：把代入得：， ∵的平方根是， ∴的平方根是． 20．先化简，再求值：，其中． 【答案】，42 【分析】本题主要考查整式的混合运算，熟练掌握整式的运算是解题的关键；因此此题可根据乘法公式及单项式乘以多项式进行化简，然后再代值求解即可． 【详解】解：原式 ； ∵，且， ∴， ∴， ∴原式． 21．先化简，再求值：，其中若． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的混合运算—化简求值，非负数的性质，先根据整式的混合运算法则进行化简，再根据非负数的性质求出，，代入化简后的式子计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ， ∵，，， ∴，， ∴，， ∴原式． 题型四 无理数整数部分的计算 22．已知的平方根为，的立方根为． (1)求． (2)若是的整数部分，求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平方根、立方根、无理数的估算，关键是熟练应用知识点准确计算； （1）根据平方根、立方根的定义列方程求解； （2）根据无理数估值得到的值，代入求得代数式的值，再求其平方根． 【详解】（1）解：由题意得， 解得：，               由题意得， 把代入得：， 解得：，           ∴； （2）解：∵是的整数部分， ∴， ∴，                  ∴的平方根为． 23．已知3是的平方根，是的立方根，是的整数部分， (1)求，，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)；；； (2)． 【分析】本题考查了平方根、立方根及无理数的估算，掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据平方根、立方根的定义和无理数的估算方法解答即可； （2）把（1）所得x，y，z的值代入代数式，求出代数式的值，再根据平方根的定义即可求解. 【详解】（1）解：因为3是的平方根， 所以， 解得； 因为是的立方根， 所以； 因为，是的整数部分， 所以； （2）解：因为， 所以的平方根为． 24．已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查的是算术平方根以及立方根的定义，无理数的估算，掌握其基本定义是解题的关键． （1）利用算术平方根以及立方根的定义可以求出a、b，根据的估值可以求出c； （2）将（1）求出的值代入计算即可． 【详解】（1）解：因为的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分， 所以，解得； ，解得； ，； ； （2）解：， 所以的平方根为． 25．已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分， (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了平方根，立方根，算术平方根，估算无理数的大小等知识点，能灵活运用知识点进行计算是解此题的关键． （1）根据立方根、算术平方根、估算无理数的大小得出，，，即可得出答案； （2）将a，b，c的值代入中计算，再根据平方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵的立方根是3，的算术平方根是4， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵c是的整数部分， ∴； （2）解：∵，，， ∴， ∴的平方根是． 26．观察：∵，即，∴的整数部分为2，小数部分为.请你观察上述的规律后解答下面的问题： (1)如果的整数部分为a，小数部分为b，求a﹣b的值； (2)已知a是的整数部分，b是的小数部分，求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了无理数的估算，熟练掌握数的平方根是解题的关键． （1）按照例题仿写即可得出小数部分和整数部分，代入即可； （2）按照例题仿写即可得出小数部分和整数部分，代入即可． 【详解】（1）， 的整数部分为，小数部分为， ； （2）， ， 的整数部分，的小数部分， ， 的平方根为． 27．根据下表回答下列问题： x 17 18 289 324 (1)的平方根是______，______， ______； (2)若这个数的整数部分为，求的值． 【答案】(1)；； (2) 【分析】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义以及表格中数据的对应值是正确解答的关键． （1）根据平方根、算术平方根的定义以及表格中数据的对应值进行解答即可； （2）根据表格中数据的对应值，估算无理数的大小，确定的值，再代入计算即可． 【详解】（1）解：由表可得，所以316.84的平方根是； ； ； 故答案为：；；； （2）由表格中数据的对应值可知，，且，可得， ∴， ∴的整数部分为， ∴． 28．阅读理解：我们知道是无理数，无理数是无限不循环小数，因此的小数部分不可能全部写出来，小乐同学用来表示的小数部分，并给出了理由：因为，所以，则的整数部分为1，小数部分为，事实上，小乐同学的方法是正确的，请解答： (1)的整数部分是_____，小数部分是______． (2)若的整数部分是，小数部分是，求的值． 【答案】(1)4； (2) 【分析】本题考查了无理数的估算，掌握估算的方法是解题的关键； （1）根据夹逼法可得，进而求解； （2）结合（1）题可得，进而可得x、y的值，进而求解． 【详解】（1）解：因为，即， 所以， 所以的整数部分是4，小数部分是； （2）解：因为， 所以， 所以的整数部分，小数部分， 所以． 题型五 平方根、立方根的规律计算 29．通过观察后再回答问题． 200 (1)从表格中探究a与数位的规律，并利用这个规律解决问题： 已知，，则______； (2)已知，，用含m的代数式表示n（请写出解答过程）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了算术平方根的理解和规律的应用，熟练掌握算术平方根定义，是解题的关键． （1）从表格中可发现当的值扩大到原来的倍时，的值扩大到原来的倍，从到被开方数扩大到原来的倍，结果扩大到原来的倍，即可得到答案； （2）根据题意可得：，可得到，进而得到答案． 【详解】（1）解：从表格中可发现当的值扩大到原来的倍时，的值扩大到原来的倍， ∴从到被开方数扩大到原来的倍， ∵， ∴； 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴． 30．先观察下列等式，再解答问题： ①； ②； ③． (1)根据上面三个等式提供的信息，请猜想的结果，并进行验证； (2)根据上面的规律，可得______； (3)请按照上面各等式反映的规律，试写出第个等式（为正整数），并加以验证． 【答案】(1)，见解析 (2) (3)，见解析 【分析】本题考查了与算术平方根有关的规律探究问题，根据例子找出其中的数字变化的规律是解题的关键． （1）由已知的等式可以发现：等式的左边被开方数都是加连续两个自然数平方的倒数和的形式，中间的算式都是第一个加数是，第二个加数是两个连续自然数中第一个数的倒数，第三个加数是两个连续自然数中第二个数的负倒数，右边的结果都为整数部分是，分数部分的分子为，分母为两个连续自然数的积，据此可得答案； （2）根据（1）的分析写出等式即可； （3）用字母表示第一个自然数，然后根据（1）的分析写出反映规律的等式，再验证即可． 【详解】（1）解：∵； ； ， ， ∴， 左边 右边； （2）解：， 故答案为：； （3）解：按照上面各等式反映的规律：． 左边 右边． 31．观察下表： 0.0001 0.01 1 100 10000 0.01 0.1 1 10 100 (1)由上表你发现了什么规律？请用语言叙述这个规律：__________________； (2)根据你发现的规律填空：已知． 则___________，___________； 若，则___________； (3)拓展提升： ①已知，则___________； ②已知，则___________． 【答案】(1)被开方数的小数点向左或向右移动两位，它的算术平方根的小数点就向左或向右移动一位 (2)，， (3)①；② 【分析】本题考查算术平方根、立方根定义和性质，掌握其性质是解题的关键． （1）由于被开方数的小数点每移动两位，相应的算术平方根的小数点相应移动一位，由此即可解决问题； （2）利用（1）中发现的规律进而分别得出各数据答案； （3）①、②被开方数每移动三位，立方根就相应移动一位．利用此规律即可求解． 【详解】（1）解： 由表格可以发现：被开方数的小数点向左或向右移动两位，它的算术平方根的小数点就向左或向右移动一位．或者：被开方数扩大或缩小百倍，它的算术平方根就扩大或缩小十倍． 故答案为：被开方数的小数点向左或向右移动两位，它的算术平方根的小数点就向左或向右移动一位； （2）解：∵． ∴，； 若，则， 故答案为：，，； （3）解：①∵知， ∴， 故答案为：； ②∵， ∴， 故答案为：． 32．先填写表，通过观察后再回答问题． (1)表格中______，______． (2)从表格中探究a与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题： ①已知，，则______； ②已知，，用含m的代数式表示n，则______． 【答案】(1)，； (2)①；②； 【分析】本题主要考查算术平方根的理解和规律的应用． （1）填写表格，通过计算，即可得到答案； （2）观察规律，从表格中可发现当的值扩大到原来倍时，的值扩大到原来倍，①从到被开方数扩大到原来倍，结果扩大到原来倍，即可得到答案；②根据题意可得：，可得到，进而得到答案． 【详解】（1）解：根据表格可得：∵，， ∴； ∵，， ， 故答案为：；． （2）解：①从表格中可发现当的值扩大到原来倍时，的值扩大到原来倍， ∴从到被开方数扩大到原来倍， ∵， ∴； ②∵，， ∴， ∴， ∴． 33．观察下表，并用所得的规律解决问题： (1)发现规律：被开方数的小数点向右（或左）移动___________位，其立方根的小数点向右（或左）移动___________位； (2)应用：①已知，则___________； ②已知，则___________； (3)拓展：根据上述探究过程类比研究一个数的平方根．已知：，计算的值． 【答案】(1)三；一 (2)①；②； (3)． 【分析】本题考查的知识点是算术平方根、立方根有关的规律探索问题，解题关键是由题意总结出规律． （1）根据题干中的例子总结规律即可； （2）根据总结的规律即可求得答案； （3）将原式变形后根据规律计算即可． 【详解】（1）解：结合表格内容得，被开方数的小数点向右（或左）移动三位，其立方根的小数点向右（或左）移动一位， 故答案为：三；一； （2）解：根据总结的规律可得：， ， 故答案为：①；②； （3）解：类比可得，被开方数的小数点移动两位，其平方根的小数点移动一位， ，， ． 34．观察如表，并解答下列问题． a 1 1000 1000000 ______ ______ 100 【规律总结】 （1）①请补全如表； ②根据如表，可以得到被开方数和它的立方根之间小数点的变化规律：若被开方数的小数点向右（或向左）移动三位，则它的立方根的小数点就相应地向右（或向左）移动______位； 【规律应用】 （2）已知，，． ①______； ②用铁皮制作一个封闭的正方体，使它的体积为3000立方米，则需要多大面积的铁皮？（保留整数） 【答案】（1）①见解析；②1；（2）①；②1248平方米． 【分析】本题考查立方根，理解立方根的定义是正确解答的关键． （1）根据立方根的定义求出1，1000的立方根即可，； （2）①根据规律得到即可；②根据规律求出的值，再根据正方体表面积的计算方法求出表面积即可． 【详解】解：（1）①，， 补全表格如下： a 1 1000 1000000 1 10 100 ②根据如表，可以得到被开方数和它的立方根之间小数点的变化规律：若被开方数的小数点向右或向左移动三位，则它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动1位， 故答案为：1； （2）①， 故答案为：； ②正方体的体积为3000立方米， 正方体的棱长为：米 需要铁皮的面积为平方米 35．观察下表： 0．0001 1 100 10000 1 10 100 (1)由上表发现的结论：被开方数的小数点向左或向右每移动____位，它的_______________的小数点就相应的向左或向右移动____位； (2)根据你发现的规律填空：①已知． 则___________，___________； ②若，则___________； (3)拓展提升：被开方数的小数点向左或向右每移动____位，它的立方根的小数点就相应的向左或向右移动____位； ①已知，则___________； ②已知，则___________． 【答案】(1)2，算术平方根，1 (2)①；；② (3)3，1；①；② 【分析】本题考查算术平方根、立方根定义和性质，掌握其性质是解题的关键． （1）由于被开方数的小数点每移动两位，相应的算术平方根的小数点相应移动一位，由此即可解决问题； （2）①利用（1）中发现的规律进而分别得出各数据答案；②利用（1）中发现的规律进而分别得出各数据答案； （3）①被开方数每移动三位，立方根就相应移动一位．利用此规律即可求解；②被开方数每移动三位，立方根就相应移动一位．利用此规律即可求解． 【详解】（1）解：由上表发现的结论：被开方数的小数点向左或向右每移动2位，它的算术平方根的小数点就相应的向左或向右移动1位； 故答案为：2，算术平方根，1 （2）解：①∵． ∴，； 故答案为：； ②∵， ∴； 故答案为： （3）解：被开方数的小数点向左或向右每移动3位，它的立方根的小数点就相应的向左或向右移动1位； 故答案为：3；1 ①∵， ∴； 故答案为： ②∵， ∴． 故答案为： 题型六 二次根式的混合运算 36．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查实数的混合运算，二次根式的混合运算，立方根、绝对值、平方根和算术平方根的计算，以及完全平方公式和平方差公式的应用； （1）根据立方根，化简绝对值，二次根式的性质化简，再进行加减计算即可求解； （2）根据完全平方公式以及平方差公式进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： 37．计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）直接使用二次根式运算性质计算，化简结果即可； （2）综合运用平方差公式和二次根式性质计算即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 38．计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1)10 (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）分别计算绝对值，有理数乘方，算术平方根，再计算加减； （2）先化简二次根式，再计算加减； （3）先计算括号内二次根式的加法，再计算乘除； （4）先计算二次根式的乘法，再进行加减计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 39．计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的乘除运算和加减运算，将二次根式化为“最简二次根式”是解题关键． （1）先通过二次根式乘法法则化简，再将化为最简二次根式，最后合并同类二次根式． （2）先将各二次根式化为最简二次根式，再进行乘除运算，最后合并同类二次根式． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 40．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键． （）先进行乘法运算，再利用二次根式的性质化简，最后进行减法运算即可； （）先进行乘除运算，再进行加减运算即可； 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 41．计算 (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】题目主要考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）根据平方差公式及二次根式的乘法运算求解即可； （2）根据二次根式的混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 42．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）根据二次根式的加减运算法则计算即可； （2）根据二次根式的混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型七 分母有理化 43．已知． (1)计算________；________；________． (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先分母有理化可得，，再代入计算即可求解； （2）由（1）得：，，然后根据完全平方公式变形，再代入计算即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ， ， 故答案为：，6，； （2）解：由（1）得：，， ∴． 44．已知；，求：的值 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式混合运算，分母有理数化，根据二次根式的运算法则计算即可． 【详解】解： ． 45．观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； …… (1)第个等式：______． (2)根据以上规律，计算的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了数字类规律探索，分母有理化，二次根式的混合运算，掌握相关知识是解题的关键． （1）找出规律后，根据运算法则进行运算即可； （2）根据（1）中的规律把原式变形为，即可求解． 【详解】（1）解：第个等式：； 故答案为： （2）解： 46．阅读下列运算过程，并完成各小题： ；．数学上把这种将分母中的根号去掉的过程称作“分母有理化”．如果分母不是一个无理数，而是两个无理数的和或差，此时也可以进行分母有理化，如： ； ； 模仿上例完成下列各小题： (1)____________； (2)____________； (3)请根据你得到的规律计算：． 【答案】(1) (2) (3)8 【分析】本题考查的是分母有理化，二次根式的加减运算，掌握分母有理化的法则是解本题的关键． （1）分子分母都乘以，即可得到答案； （2）分子，分母都乘以，即可得到答案； （3）根据题干提示的规律，把每个分母中的二次根号去掉，化为有理数，再合并即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ． （3）解： ． 47．阅读下列解题过程：， ，请回答下列问题： (1)观察上面的解答过程，请写出_____； (2)利用上面的解法，请化简： 【答案】(1) (2)9 【分析】本题考查了分母有理化的规律，熟练掌握根式的分母有理化的化简方法是解题的关键． （1）观察解题过程，发现分母有理化的规律，进行化简求解即可； （2）仿照题干中的解题过程得到的规律化简序列，再将每个分数按照规律化简计算即可． 【详解】（1）解：根据题意得，根据分母有理化的方法，分子、分母同时乘以得： ， 故答案为：； （2）解：由（1）知，对于每个正整数，都有， 则 ． 48．先阅读，再解答．由可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如：，请完成下列问题： (1)的有理化因式是______；化简______； (2)计算：______； (3)比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)，理由见解析 【分析】本题考查二次根式的有理化因式、化简计算以及大小比较，熟练掌握有理化因式是解题的关键． （1）利用平方差公式求有理化因式和分母有理化即可； （2）通过有理化将每个项转化为差的形式，利用望远镜求和计算即可； （3）通过有理化将差值转化为倒数形式，比较分母大小得出结论即可． 【详解】（1）解：， 则的有理化因式是， ， 故答案为：，； （2）解：根据题意得：对于任意的正整数，有， 则 故答案为：； （3）解：设、， 则， ， 由于， 则，即， 因此． 49．阅读材料：在二次根式中，当分母为无理数的二次根式时，我们通过运算，把该分母化为有理数的过程，称其为分母有理化或有理化分母． 例：①； ②； (1)分母有理化：； (2)观察上面运算过程，对下列式子进行分母有理化：； (3)请尝试对下列式子进行分母有理化：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的分母有理化，解题的关键是掌握分母有理化的法则． （1）利用平方差公式进行分母有理化即可； （2）利用平方差公式进行分母有理化即可； （3）利用平方差公式进行分母有理化即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 题型八 二次根式的化简 50．计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的化简与运算规则． （1）先将各二次根式化为最简形式，再按乘除、加减的顺序逐步计算； （2）先化简括号内的二次根式，再去括号、合并同类二次根式． 【详解】（1）解： ； （2） ． 51．计算：； 【答案】 【分析】本题考查了混合运算，利用二次根式的性质化简，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质． 先计算二次根式的乘法并化简二次根式，再计算加法． 【详解】解： 52．已知x为奇数，且，求. 【答案】8 【分析】本题主要考查二次根式的性质及有意义的条件，熟练掌握二次根式的性质及有意义的条件是解题的关键；根据二次根式有意义的条件可知且，解得；又x为奇数，因此；代入所求表达式计算即可． 【详解】解：∵， ∴且， 解得， 又∵x为奇数， ∴， ∴． 53．计算下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据二次根式的性质进行化简，再运算乘法，最后运算加减法，即可作答． （2）先根据二次根式的性质进行化简，再去括号，最后运算加减法，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 54．计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运算二次根式的乘除，再运用二次根式的性质进行化简，最后运算加减法，即可作答． （2）先整理原式，再运算乘法，最后运算减法，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 55．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质，平方差公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据二次根式的性质进行化简，再运算乘法，最后运算加减，即可作答． （2）先根据二次根式的性质进行化简，以及运用平方差公式展开，再运算分子上的加法，然后运算除法，最后运算加减，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 56．当时，化简： 【答案】3 【分析】本题主要考查了二次根式性质，熟练掌握二次根式性质，是解题的关键．根据，然后再根据二次根式性质，进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 题型九 解二元一次方程组 57．解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是二元一次方程组的解法，掌握解方程组的方法与步骤是解本题的关键． （1）根据加减消元法解方程组即可． （2）先将方程组整理变形，再利用加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解：， ，得． ∴． 把代入①，得， 解得． ∴原方程组的解是； （2）解：∵， ∴方程组整理为， 得． ∴． 把代入②，解得． ∴原方程组的解是 58．解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，能利用消元的思想把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键． （1）根据加减消元法解方程； （2）根据加减消元法解方程 【详解】（1）解： 由得，，解得； 将代入①得，，解得， ∴原方程组的解为； （2）解：原方程组化为 由得，，解得； 将代入①得，，解得， ∴原方程组的解为． 59．解方程组． 【答案】 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，解题的关键是利用代入消元法或加减消元法消去一个未知数．方程组利用加减消元法求解即可． 【详解】解：， 得：， 解得， 将代入①得：， 解得， ∴方程组的解为：． 60．解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了解二元一次方程组，解二元一次方程组的基本思想是“消元”，方法有代入消元法和加减消元法． （1）运用加减消元法求解即可； （2）将方程组整理后运用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解： 由得：， 解得， 把代入得：， 解得， ∴原方程组的解为； （2）解： 整理得：， 由得：， 解得， 把代入得：， 解得， ∴原方程组的解为． 61．解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组，正确掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． （1）根据加减消元法即可求解； （2）根据代入消元法即可求解． 【详解】（1）解： ，得， 解得， 把代入①，得， 所以方程组的解为； （2）解： 把②代入①，得， 解得， 把代入②，得， 所以方程组的解为． 62．解方程组： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解题关键是要掌握加减消元法、代入消元法解二元一次方程组． （1）利用代入消元法解方程即可； （2）整理方程①得方程，然后利用加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解：， 将①代入②可得，解得：， 将代入①可得， 故方程组的解为：． （2）解：， 整理①得：③， 得：，解得：， 把代入②得，， ∴方程组的解为． 63．已知二元一次方程：（1）；（2）；（3）．请从这三个方程中选择两个你喜欢的方程，组成一个方程组，并求出方程组的解． 【答案】选（1）和（2）（答案不唯一）， 【分析】本题考查了解二元一次方程组． 先选取两个二元一次方程，组成一个方程组，再求解即可． 【详解】解：选（1）和（2）组成方程组 ，得， 解得， 把代入方程①，得， 解得， 因此，； 选（1）和（3）组成方程组 ，得， 解得， 把代入方程①，得， 解得， 因此，； 选（2）和（3）组成方程组 ，得， 解得， 把代入方程①，得， 解得， 因此，． 题型十 二元一次方程组的特殊解法 64．阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代入”的思想． 解：由①，得，③ 把③代入②，得，即， 把代入③，得， 所以方程组的解为 请你运用小军的“整体代入”法，解方程组 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，其基本思路是消元，消元的方法有：加减消元法和代入消元法两种，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． 将①代入②，利用整体代入法消元求解即可． 【详解】解： 将①代入②，得 ， 即， 解得：， 将代入①，得， 解得． ∴原方程组的解为． 65．先阅读材料，然后解方程组． 材料：解方程组 由①得，③ 把③代入②，得，解得， 把代入③得，所以这个方程组的解为． 这种方法称为“整体代入法”．你若留心观察，有很多方程组可以采用此方法解答，请用这种方法解方程组：． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 由第一个方程求出的值，代入第二个方程求出y的值，进而求出x的值，即可确定出方程组的解． 【详解】解： 由①，得：．③ 把③代入②，得：，解得：． 把代入③，得，解得：． ∴原方程组的解为． 66．阅读下面的解题过程，再回答问题： 解方程组： 解：原方程组可化为 由③-①，得，即．④ 把④代入②，得，解得． 把代入④，得，所以方程组的解是 以上解方程组的方法叫做“消常数项法”，请用上面的方法解方程组： 【答案】 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 根据题干要求，采用“消常数项法”解答即可． 【详解】解：由②①，得，即．③ 将③代入①，得， 解得． 把代入③，得， 所以方程组的解为 67．阅读材料：解方程组时，可由得，然后再把代入，得，求得，再把代入，求得，从而求得原方程组的解为，这种方法被称为“整体代入法”. 请用上述方法解方程组： 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程组，解题的关键是正确理解“整体代入法”． 由整体代入法和代入消元法，解方程组即可． 【详解】解： 由得， 把代入，得， 解得，， 把代入，得， 解得，， 所以，原方程组的解为． 68．阅读下列解方程组的方法，然后回答问题． 解方程组 解：由，得，即．③ ，得．④ ，得，从而可得． 所以原方程组的解是 请你仿照上面的解法，解方程组： 【答案】 【分析】本题考查通过观察方程组系数特点，利用加减消元法解二元一次方程组，需严格按照题干示例的方法进行求解． 两个方程相减，再乘以2，结合题干给出的方法求解即可． 【详解】解法一： ，得， 即．③ ，得 ． 把代入③，得 ． 所以原方程组的解为 解法二： ，得，即 ， 所以．③ 把③代入②，得 ， 解得． 把代入③，得 ． 所以原方程组的解为 69．观察发现： 材料：解方程组． 将①整体代入②，得．解得． 把代入①得，所以． 这种解法称为“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答， (1)请直接写出方程组的解为_______． (2)实践运用：请用“整体代入法”解方程组． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组．理解并掌握整体代入法解方程组，是解题的关键． （1）利用整体代入法解方程组即可； （2）利用整体代入法解方程组即可． 【详解】（1）解： 将①代入②得， 解得：， 将代入①得：， 解得：， ∴方程组的解为： 故答案为：， （2）解： 由①得：， 将③代入得：， 解得：， 将代入③得：， 解得， ∴方程组的解：. 70．解方程组：；甲、乙同学的部分解题过程如下： 甲：将②①，得． 乙：由②得③，把①代入③． (1)老师评价以上两种解题的方法都是正确的．但有一个同学的计算过程出现错误，其中过程出现错误的同学是_____（填“甲”或“乙”）； (2)请你参照乙的解题思路，解下面的方程组． 【答案】(1)甲 (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握消元法解方程组是解题的关键． （1）结合题意即可求解； （2）参照乙的解题思路解方程组即可． 【详解】（1）解：②①得，， ∴过程出现错误的同学是甲， 故答案为：甲； （2）解： 将方程②变形，得③． 把方程①代入③，得， 解得：． 把代入①，得， 解得：， ∴方程组的解为． 题型十一 二元一次方程组的错解复原问题 71．用消元法解方程组时，两位同学的解法如下： 解法一：由①-②，得…… 解法二：由②，得．③ 把①代入③，得…… (1)上述两个解法中有一个计算有误，请指出计算有误的解法并进行改正． (2)请选择一种你喜欢的解法解方程组． 【答案】(1)见解析； (2)解法见解析，． 【分析】（1）解法一是错误的； （2）利用加减消元法和代入消元法进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：解法一计算有误，应改正为由①-②，得． （2）（任选一种解法解方程组即可）解法一：由①-②，得，解得． 把代入①，得，解得． 故原方程组的解是 解法二：由②，得．③ 把①代入③，得，解得． 把代入①，得，解得． 故原方程组的解是 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，准确熟练地进行计算是解题的关键． 72．甲、乙两人同时解方程组甲看错了b，求得的解为乙看错了a，求得的解为你能求出原题中正确的a，b吗？ 【答案】能，，． 【分析】此题考查了二元一次方程组的解．根据题意，把甲求得的解代入①，求出，把乙求得的解代入②，求出，即可得到答案． 【详解】解：能． 甲看错了b，把甲求得的解代入①，得， 得， 乙看错了a，把乙求得的解代入②，得， 得， 即，． 73．小明和小文解一个关于x，y的二元一次方程组小明正确解得，小文因看错了c，解得．已知小文除看错了c外没有出现其他错误，求的值． 【答案】 【分析】此题考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值． 把代入方程组第一个方程求出c的值，将x与y的两对值代入第二个方程求出的值，即可求出的值． 【详解】解：把代入， 得， 解得． 把代入， 得， 即， 所以． 74．已知关于的方程组，小明在解方程组时看错a，解得，小红在解方程组时看错，解得．求的值． 【答案】， 【分析】本题考查了二元一次方程组的解及解一元一次方程，解题的关键是掌握方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值． 首先根据题意列出关于a，b的方程，再进行求解即可求得a，b的值． 【详解】解：将代入得，， 解得， 将代入得，， 解得， ∴，． 75．在解方程组时，甲看错了方程组中的，得到的解为，乙看错了方程组中的，得到的解是． (1)求原方程组中、的值各是多少？ (2)求出原方程组中的正确解 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的求解，解题的关键是利用甲、乙看错的条件分别求出、的值，再求解原方程组． （1）利用甲看错但正确，将甲的解代入含的方程求；利用乙看错但正确，将乙的解代入含的方程求； （2）将、代入原方程组求解正确解． 【详解】（1）解：将代入②得， 将代入①得； （2）解：原方程组为， ①②得：， 解得：， ①②得：， 解得：， 即原方程组的解为：． 76．甲、乙两人共同解方程组由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为，求原方程组的解． 【答案】原方程组的解为． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．由题意得，甲看错了方程①中的a，则把代入方程②得出，乙看错了方程②中的，则把代入方程①中得出a，再求解原方程组即可． 【详解】解：把代入方程②中得：， 解得：， 把代入方程①中得：， 解得：， 原方程组为， ，得：， 解得：， 把代入，得：， 所以原方程组的解为． 77．下面是两位同学解方程组的做法， 芊芊的做法如下： 由方程①得③ 将方程③代入②得 解得 把代入③ ∴方程组的解为 浩浩的做法如下： 由①×2得③ 由②＋③得 解得 把代入①得 ∴方程组的解为 请认真阅读并完成下面的问题． (1)芊芊的消元方法是 ；浩浩的消元方法是 ． (2)判断 （选填“芊芊”或“浩浩”）的解答过程有误，并运用该同学的消元方法进行正确解答． 【答案】(1)代入消元法；加减消元法 (2)浩浩；，见解析 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法和代入消元法是解题的关键． （1）由加减消元法和代入消元法的步骤判断即可； （2）浩浩的做法中，由①2得③，错了．由加减消元法和代入消元法的步骤分别求解即可． 【详解】（1）解：芊芊的消元方法是代入消元法；浩浩的消元方法是加减消元法． 故答案为：代入消元法，加减消元法． （2）解：浩浩. 正确解答如下： 由①2得③． 由②③得． 解得． 把代入①得． 方程组的解为． 题型十二 已知二元一次方程组的解的情况求参数 78．已知关于，的二元一次方程组的解满足，求的值． 【答案】2 【分析】本题考查了解二元一次方程组和解一元一次方程，能得出关于m的一元一次方程是解此题的关键．利用已知条件 与方程组中的方程 组成新的方程组，直接求解出 和 的值，再代入方程 求得 的值． 【详解】解：依题意得：， 解得： 将 ， 代入 ，得， ∴． 79．已知关于，的方程组的解满足，求的值及方程组的解． 【答案】，方程组的解为 【分析】本题考查解含参数的二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法是解决问题的关键． 先将恒等变形为，代入原方程组得，解得，求出，从而得到原方程组的解． 【详解】解：由得，，代入原方程组， 得， ， 将②代入①得， 解得； 则；； 综上所述，，方程组的解为． 80．已知关于的方程组． (1)若，求这个方程组的解； (2)若这个方程组的解满足，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，根据方程组解的情况求参数，解题的关键是熟练掌握加减消元法． （1）把代入原方程组得，用加减消元法解二元一次方程组即可； （2）原方程组中两个方程相加得出，再根据得出关于k的方程，解关于k的方程即可． 【详解】（1）解：当时，原方程组变为： ， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴方程组的解为：； （2）解：， 得：， ∵， ∴， 解得：． 81．已知关于，的方程组的解满足． (1)求的值； (2)试判断该方程组的解是否也是方程组的解． 【答案】(1) (2)不是 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法． （1）先解方程组得：，再根据得，求出k的值即可； （2）根据方程组中，由得：，从而得出原方程组的解不是方程组的解． 【详解】（1）解：由方程组，得， 代入，得：， 解得：． （2）解：由得， 由，得， ∴该方程组的解不是原方程组的解． 82．已知关于，的二元一次方程组的解满足，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握方程组的解法是解题关键．将方程组中的方程②减去方程①可得，则可得，再根据这个方程组的解满足可得，解方程即可得． 【详解】解：， 由②①得：， ∴， ∵这个方程组的解满足， ∴， 解得． 83．已知关于x，y的方程组． (1)请直接写出方程的所有正整数解； (2)若方程组的解满足，求m的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查的是二元一次方程的正整数解问题，二元一次方程组的解法，同解方程组的含义，掌握“二元一次方程组的解法” 是解本题的关键． （1）由x，y为正整数，从而可得方程的正整数解； （2）先构建新的方程组，再解方程组求解x，y的值，再把x，y的值代入，再求解m的值即可． 【详解】（1）解：方程的所有正整数解：或； （2）解：由题意得：， 解得， 把 代入， 得： ， 解得． 84．已知关于x，y的二元一次方程组，根据下列条件，求的值． (1)方程组的解为． (2)方程组的解和互为相反数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组． （1）先将代入②求出，再将代入①即可求解； （2）先解方程组，求出，然后代入①求解即可． 【详解】（1）解：将代入②， 得，解得． 将代入①， 得，解得． （2）解：由题意，得， 解得， 将代入①， 得，解得． 题型十三 方程组的同解计算 85．若方程组的解满足方程组，求a，b的值． 【答案】， 【分析】本题考查了解二元一次方程组，同解方程，正确解方程组是解题的关键．先解方程组，然后再将求得的值代入到方程组中，将其转化为只含有的二元一次方程组求解即可． 【详解】解：解方程组， ，得，解得， ，得，解得：， 此方程的解为； 将代入得： ，解得：． ． 86．若关于，的方程组与方程组的解相同，求： (1)两个方程组的相同解； (2)的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是解二元一次方程组，代数式求值，熟练掌握解二元一次方程组方法是解题关键． （1）由题意得出并解出即可； （2）把代入方程组求出，代入计算即可． 【详解】（1）解：与的解相同， ， 解得， 两个方程组的相同解为． （2）解：把代入方程组， 得， 解得， ． 87．已知方程组和方程组的解相同，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．根据方程组和方程组的解相同，由得到，把的值分别代入，求得的值． 【详解】解：由解得， 将，代入中，得，即； 将，代入中，得，即； 所以，． 88．已知关于x、y的方程组和的解相同，求a和b的值． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的求解，熟练掌握两个方程组的解相同的含义是解决本题的关键． 根据题意，可先求解的解，再将求出的x和y的值代入即可求解． 【详解】解：由题意得：的解即为的解， 对于， 将等号两边同乘3，可得， 两式相加，可得， 解得， 将代回中，即， 解得， 的解为， 将代入中， 即， 两式相加，可得， 解得， 将代回中，即， 解得， ∴． 89．若关于的方程组和方程组有相同的解． (1)求关于的方程组正确的解． (2)求的值． 【答案】(1)； (2)，． 【分析】本题考查了二元一次方程组： （1）利用加减法求解比较简便； （2）把的值代入方程组得关于的方程组，求解即可． 【详解】（1）解：， ①+②，得 把代入②，得 原方程组的解为 （2）解：把代入方程组， 得， 把代入，得， 把代入，得． 90．已知方程组的解和方程组的解相同，求的值 【答案】1 【分析】此题考查了二元一次方程组的解．联立两方程组中不含a与b的方程组成新方程组，求出新方程组的解得到a与b的值，再代入求解即可． 【详解】解：联立得： ， 得：，即， 把代入①得：， 把，代入得： ， 解得：，， 则． 91．已知关于x，y的二元一次方程组与方程组有相同的解． (1)求这两个方程组的相同解； (2)求的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查了二元一次方程组的同解问题，解题关键是重新组合方程构成新的方程组并求解． （1）解即可求解； （2）将（1）中求得的解代入求出后即可求解． 【详解】（1）解：关于x，y的二元一次方程组与方程组有相同的解． ∴二元一次方程组①与方程组②有相同的解． 由①得：， ∴这两个方程组的相同解为； （2）将代入②得 解得： ∴． 题型十四 解三元一次方程组 92．解方程组． 【答案】 【分析】本题考查解三元一次方程组，利用加减消元法解方程组即可． 【详解】解：， ，得， ，得，解得； 把代入，得，解得； 把代入，得，解得； ∴方程组的解为． 93．解三元一次方程组： 【答案】 【分析】本题考查了解三元一次方程组，熟练掌握消元法是解题关键． 利用加减消元法解三元一次方程组即可得． 【详解】解：， 由②③得：，即④， 由①④得：， 解得， 将代入①得：， 解得， 将，代入②得：， 解得， 则方程组的解为． 94．数学活动：探究不定方程 小川，小渝两位同学在学习方程过程中发现，三元一次方程组，虽然解不出具体数值，但可以解出，的值. (1)小川的方法：整理可得：； 整理可得：；∴ 小渝的方法：：______________________；∴. (2)已知，试求解的值. 【答案】(1)；； (2)3 【分析】本题考查了解三元一次方程组，熟练掌握方程组的解法和应用是解题关键． （1）根据等式的性质求解即可得； （2）参照小川的方法，利用等式的性质和消元法求解即可得； 【详解】（1）解：依题意，小川的方法：，得：， 整理得：， ，得：， 整理得：， ． 小渝的方法：，得：， ， 故答案为：；；． （2）解：， 由得：， 整理得：， 由得：， 整理得：， 则． 95．已知方程组的解也是方程的解，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了三元一次方程组，掌握代入消元法和加减消元法的解题步骤是解决此类题的关键． 把、、用含有的式子表示出来，然后再代入即可解出的值． 【详解】，得④ ，得， 把分别代入②和③，得，． ∴． 把，，代入得． 解得． 题型十五 二元一次方程组的新定义运算 96．定义：我们把关于的两个二元一次方程与（为常数，且）叫作互为共轭二元一次方程，二元一次方程组，叫做共轭二元一次方程组． (1)的共轭二元一次方程是______．（填选项字母） A．　B．　C．　D． (2)若关于的方程组是共轭二元一次方程组，求的平方根． 【答案】(1)C； (2)的平方根是 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，平方根 ． （1）由定义直接可求； （2）根据定义得到计算得到，再求平方根即可 【详解】（1）解：的共轭二元一次方程是， 故答案为：C． （2）解：由题意可得整理得， ②－①，得，即． 的平方根是， 的平方根是． 97．定义：在解方程组时，由，易得，由，易得，再重新组成方程组再用加减法就容易得到方程组的解了，这种二元一次方程组的解法称为二元一次方程组的轮换对称解法．请用轮换对称解法解方程组． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，理解题意是解题的关键．根据题意得出新方程组，用加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】解： 由得， 由得， 组成新方程组， 解得：． 98．阅读下面文字，然后回答问题 给出定义：对于关于x，y的二元一次方程（其中），若将其x的系数a与常数c互换，得到的新方程称为原方程的“镜像方程”．例如方程的“镜像方程”为． (1)写出的“镜像方程”______，以及它们组成的方程组的解为______； (2)若关于x，y的二元一次方程与其“镜像方程”组成的方程组的解为，求的平方根； (3)若关于x，y的二元一次方程的系数满足，且与它的“镜像方程”组成的方程组的解恰是关于x，y的二元一次方程的一个解，请直接写出代数式的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查二元一次方程（组）的新定义，加减消元法，代入消元法解二元一次方程组的方法，理解“镜像方程”的定义，掌握解二元一次方程（组）的方法是解题的关键． （1）根据“镜像方程”的定义可得方程，联立方程组求解即可； （2）根据“镜像方程”的定义可得方程，联立方程组求解即可； （3）根据题意，先联立方程组，求出x，y的值，代入方程得到，代入代数式化简求值即可． 【详解】（1）解：根据定义可得：的“镜像方程”． 则；由得： 则：，带入得； ∴ （2）由题意可知，的镜像方程为， 联立方程组得， ∵方程组的解为， ∴． 解得． ∴． 故的平方根为． （3）， ． 与其镜像方程所组成的方程组为， 解得． 将代入方程中，得． 99．对于有理数，，定义新运算：，，其中，是常数．已知，． (1)求，的值； (2)若关于，的方程组的解也满足方程，求的值； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，根据新定义列出二元一次方程组，利用方程组的解列出二元一次方程组是解题的关键． （1）根据定义新运算得出关于a、b的二元一次方程组，再解方程组即可； （2）根据题意得出关于x、y的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， 解得：； （2）解：依题意得， 解得：， ∵， ∴， 解得：． 100．定义：关于，的二元一次方程（其中为互不相等的常数，且）中的常数项与未知数系数互换，得到的方程叫“变更方程”，例如：“变更方程”为． (1)求方程与它的“变更方程”组成的方程组的解； (2)已知关于，的二元一次方程的系数满足，且与它的"变更方程"组成的方程组的解恰好是关于，的二元一次方程的一个解，求代数式的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解法（加减消元法、代入消元法）、新定义的理解与应用、代数式的化简求值，熟练掌握“变更方程”的定义、二元一次方程组的解法是解题的关键． （1）先根据“变更方程”定义写出原方程的变更方程，再联立方程组，用加减消元法求解． （2）先利用条件得出，联立原方程与变更方程求出解，将解代入新方程得到代数式关系，最后化简求值． 【详解】（1）解：方程的“变更方程”为， ， 得，， 将代入①得，， 解得， 方程组的解为； （2）解∵， ∴， 方程与它的“变更方程”组成的方程组为， 解得， ∴把代入可得 ，即， ， ∴． 1．（25-26七年级上·安徽合肥·月考）解下列方程（组）： (1) (2) 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查解一元一次方程，解二元一次方程组． （1）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1即可； （2）整理后，利用加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ； （2）解：将方程组整理得：， ，得， 解得， 将代入，得， 解得：， ∴方程组的解为． 2．（24-25八年级上·安徽淮南·期末）我们规定，关于x，y的二元一次方程，若满足，则称这个方程为“最佳”方程．例如：方程，其中，，，满足，则方程是“最佳”方程，把两个“最佳”方程合在一起叫“最佳”方程组． 根据上述规定，回答下列问题： (1)方程________“最佳”方程；（填“是”或“不是”） (2)若关于x，y的二元一次方程是“最佳”方程，求k的值； (3)若是关于x，y的“最佳”方程组的解，求p，q的值． 【答案】(1)是 (2) (3) 【分析】本题考查二元一次方程和二元一次方程组的新定义，解二元一次方程组，熟练掌握新定义是解题的关键： （1）根据新定义进行判断即可； （2）根据新定义，得到关于的一元一次方程，进行求解即可； （3）根据新定义，得到关于的二元一次方程组，求出的值，代入原方程组，再进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴是“最佳”方程； （2）∵关于x，y的二元一次方程是“最佳”方程， ∴，解得． （3）由题意可得，解得， 所以原方程组为， 因为是关于x，y的“最佳”方程组的解， 所以，解得． 3．（25-26七年级上·安徽淮南·月考）【方法引入】 已知关于两个未知数组成的方程组，求关于这两个字母的代数式的值，常见有两种方法： 方法一（通法）：解方程组求出这两个未知数的值，再代入代数式求值； 方法二（整体思想）：仔细观察两个方程中未知数的系数之间的关系，通过适当变形整体求代数式的值． 【例】已知实数m、n满足，求和的值． 方法一：解方程组，分别求出m，n的值，代入代数式求值； 方法二：仔细观察两个方程中未知数的系数之间的关系，通过适当变形整体求代数式的值． 解法如下：①－②，得；①+②，得． 比较： 方法一运算量较大，是常规思路； 方法二运算较为简单，这种解题思想就是通常所说的“整体思想”． 【方法应用】 (1)已知二元一次方程组，则______； (2)若有理数a，b满足，求的值； (3)对于有理数x，y，定义新运算：，其中a，b，c是常数，等式右边是通常的加减法和乘法运算．已知，，求的值． 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】本题主要考查二元一次方程组的特殊解法、代数式求值、新运用法则、非负数的性质等知识点，掌握整体思想是解题的关键． （1）根据材料提示运用整体思想求解即可； （2）根据非负数的性质可得，再运用整体思想求解即可； （3）根据新定义的计算方法可得，设可得，即，进而得到，解得：，最后运用整体思想求解即可． 【详解】（1）解：， 得：． 故答案为：1． （2）解：∵， ∴，， ∴， ∴①+②得， ∴，即． （3）解：根据题意得∶， 设， ∴，即， ∴， 解得， ∴， ∴． 4．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）归纳与探究： （1）计算：_____，_____，，_____； （2）猜想：对于任意实数，一定等于吗？利用（1）中的计算，你发现的值等于多少呢？ （3）应用：已知实数，在数轴上的位置如图所示，计算： 【答案】（1）3，5，，；（2）对于任意实数a，不一定等于a，；（3） 【分析】此题主要考查了二次根式的性质，根据已知能准确归纳探究结果并能运用其正确化简是解题的关键． （1）分别计算各式的值即可； （2）根据（1）中各式运算结果，归纳出探究结果即可； （3）根据字母a、b在数轴上的位置得出，然后根据（2）的结论化简即可． 【详解】解：（1），，，． 故答案为：3，5，，； （2）由（1）各式计算结果可以发现：对于任意实数a，不一定等于a，； （3）由数轴得，， ∴， ∴ ． 5．（24-25八年级下·安徽亳州·期中）观察下列等式： ①； ②； ③； … 利用你观察到的规律： (1)化简：①的值；②的值； (2)计算：． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题考查了分母有理化、二次根式的加减，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）①分子分母同乘以，根据二次根式的分母有理化计算即可得； ②分子分母同乘以，根据二次根式的分母有理化计算即可得； （2）将每一项都进行分母有理化，再计算二次根式的加减法即可得． 【详解】（1）解：①． ②． （2）解： ． 6．（25-26八年级上·安徽宿州·月考）观察发现： 解方程组： 将①整体代入②得． 解得． 把代入①，． 故原方程组的解为． 这种解法称为“整体代入法”，你细心观察，有很多方程组均可采用此方法解答． (1)实践运用： 请用“整体代入法”解方程组． (2)拓展提升： 请你仿照上面的解法解方程组，．（提示，将看作一个整体） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组．理解并掌握整体代入法解方程组是解题的关键． （1）利用整体代入法解方程组即可； （2）利用整体代入法解方程组即可． 【详解】（1）解：， 由得， 将代入得， 解得， 将代入得， 解得， 原方程组的解为； （2）解：， 得， 即， 将变形为 将代入得， 解得， 将代入得， 解得， 原方程组的解为． 7．（24-25八年级上·安徽芜湖·期末）已知关于、的方程组． (1)请写出方程的所有正整数解． (2)若方程组的解满足，求的值． (3)当每取一个值时，就对应一个方程，而这些方程有一个公共解，求出这个公共解． 【答案】(1)，； (2) (3) 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，同解方程，二元一次方程，解二元一次方程组，解题的关键是熟练应用加减消元法． （1）确定出方程的正整数解即可； （2）已知方程与方程组第一个方程联立求出x与y的值，进而求出m的值； （3）方程变形后，确定出公共解即可． 【详解】（1）解：方程整理得， ∴当时，；当时，； ∴方程的正整数解有：，； （2）解： 联立和得，， 得，， 将代入得，， 解得， 将和代入得，， 解得； （3）解：变形得：， 令，得， ∴无论m取何值，都是方程的解， ∴公共解为． 8．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）【问题呈现】已知实数x，y满足，且，求k的值． 【方法对比】 甲、乙、丙三名同学分别提出了三种不同的解题思路如下： （1）甲同学：先解关于x，y的方程组，再求k的值． （2）乙同学：先将方程组中的两个方程相减，再求k的值． （3）丙同学：先解方程组，再求k的值． 【解答问题】 你欣赏哪名同学的解题思路？请根据你所选的思路解答此题． 【答案】见解析， 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的方法是解题的关键． 第一种思路：利用加减消元法解方程组，可用含k的式子表示出方程组的解，再根据建立关于k的一元一次方程，解方程即可得到答案； 第二种思路：利用加减消元法用含k的式子表示出的结果，再根据建立关于k的一元一次方程，解方程即可得到答案； 第三种思路：可建立方程组，解方程组后根据建立关于k的一元一次方程，解方程即可得到答案． 【详解】解： 第一种：我欣赏甲同学的思路， 得：，解得， 把代入①得：，解得， ∴原方程组的解为， ∵， ∴， 解得； 第二种：我欣赏乙同学的思路， 得， ∵， ∴， 解得 第三种：我欣赏丙同学的思路， 由题意得， 得：，解得， 把代入③得：，解得 ∴原方程组的解为， ∵， ∴， 解得． 1．（24-25八年级上·安徽芜湖·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算、二次根式的性质、负整数次幂、绝对值等知识点，灵活运用 运算法则是解题的关键． 先运用乘方、二次根式的性质、负整数次幂、绝对值化简，然后再计算即可． 【详解】解： ． 2．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)0 (2) 【分析】本题主要考查实数的混合运算、求一个数的算术平方根和立方根，以及二次根式的乘法和除法，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）原式分别计算算术平方根和立方根，然后再进行加减运算即可； （2）原式自左向右依次进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 3．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）已知，． (1)已知x的算术平方根为3，求a的值； (2)如果x，y都是同一个正数的两个平方根，求这个数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查算术平方根，平方根，解一元一次方程，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据算术平方根的定义求出，即得关于的方程，求解即可； （2）一个正数的两个平方根互为相反数，据此列方程求出，再求即可． 【详解】（1）解：∵x的算术平方根为3， ∴， 即 ； （2）解：∵x，y都是同一个正数的两个平方根， 解得， ∴． 答：这个数是． 4．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）已知和是m的两个平方根，是的立方根． (1)求m，x，y的值； (2)求的平方根和算术平方根． 【答案】(1)81，2，2 (2)，3 【分析】本题主要考查了求一个数的平方根，立方根和算术平方根，平方根的定义，熟知立方根，算术平方根和平方根的相关知识是解题的关键． （1）一个数的两个平方根互为相反数，据此列出方程求出x的值，进而根据平方根的定义求出m的值，再根据立方根的定义可求出y的值； （2）根据（1）所求求出的值，再根据平方根和算术平方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵和是m的两个平方根， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的立方根， ∴， ∴； （2）解：∵ ∴， ∴的平方根为，算术平方根为3． 5．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）小明在解决问题：已知，求的值．他是这样解的： 因为， 所以，所以，所以， 所以． 请你根据小明的解答过程，解决下列问题： (1)计算：； (2)若． ①求的值； ②求的值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式化简的方法是解题的关键． （1）根据题意可得，、，据此进行化简即可； （2）先化简，求出， ①提取公因数化简整式，再利用计算即可； ②利用提取公因式法化简整式，再利用计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：因为，所以， 所以，即，所以， ① ； ② ． 6．（25-26八年级上·安徽宿州·月考）（1）计算： （2）解二元一次方程组：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解二元一次方程组． （1）先计算乘法，再化简各二次根式，最后合并同类二次根式； （2）先消去分母，再利用加减消元法求解． 【详解】（1）解： ； （2）解：， 方程②两边乘以8，得， ，得， 即， 解得：； 将代入①，得， 解得：； ∴原方程组的解为． 7．（25-26七年级上·安徽阜阳·月考）已知关于，的方程组． (1)若，求这个方程组的解； (2)若这个方程组的解满足，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（）把代入方程组得，再利用加减法解答即可求解； （）利用加减法可得，即得，再解方程即可求解； 本题考查了解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，原方程组为， ①②，得， 解得， 把代入①，得， 解得， ∴方程组的解为； （2）解：， ①②，得， ， ， 解得． 8．（25-26七年级上·安徽淮北·月考）若方程组的解互为相反数，求的值和方程组的解． 【答案】原方程组的解为，的值为 【分析】本题考查了相反数的定义，解二元一次方程组． 根据相反数的定义得到，得，求解后将x的值代入计算即可． 【详解】解：由方程组的解互为相反数， 得，将代入原方程组，得， 解得 ． ∴原方程组的解为，的值为． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $