拓展寒假作业 勾股定理中几何模型问题（含将军饮马）（9大题型）（巩固培优）八年级数学新教材北师大版

限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 拓展寒假作业 勾股定理中几何模型问题（含将军饮马） 一、圆柱中的最短路径模型 条件：如图，圆柱的底面圆的周长是c厘米，高是h厘米，现在要从圆柱上点A沿表面把一条彩带绕到点B。 结论：彩带最短需要厘米． 证明：如图所示：沿过A点和过B点的母线剪开，展成平面，连接， 根据两点之间线段最短得这条丝线的最短长度是的长度， 由勾股定理得，，则这条丝线的最短长度是厘米， 注意：1）运用勾股定理计算最短路径时，按照展开—定点—连线—勾股定理的步骤进行计算； 2） 缠绕类题型可以求出一圈的最短长度后乘以圈数。 二、长方体中的最短路径模型 条件：如图，一只蚂蚁从长是a，宽是b，高是h的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，（其中：h＞a＞b）。 结论：蚂蚁爬行的最短路程是 证明：如图，当长方体的侧面按图甲展开时，； 则； 如图，当长方体的侧面按图乙展开时，； 则； 如图，当长方体的侧面按图丙展开时，； 则； ∵h＞a＞b，∴ah＞bh＞ab，故＞＞ ∴蚂蚁所行的最短路线长为， 注意：1）长方体展开图分类讨论时可按照“前+右”、“前+上”和“左+上”三类情况进行讨论； 2）两个端点中有一个不在定点时讨论方法跟第一类相同。 三、将军饮马与空间最短路径模型        条件：如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为h厘米，底面周长为c厘米，在容器内壁离容器底部a厘米的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿a厘米的点A处， 结论：蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路程为：厘米。 证明：如图，将容器侧面展开，作A关于EC的对称点，过作交B的延长线于D， 则四边形是矩形，∴，，连接，则即为最短距离， ∵由题意得，（），=a（），（）， 在中，（）． 注意：立体图形中从外侧到内侧最短路径问题需要先作对称，再运用两点之间线段最短的原理结合勾股定理求解。 四、勾股定理中的翻折模型（三角形） 1）沿过点A的直线翻折使得点B的对应点为B’落在斜边AC上，折痕为AD； 2）沿过点C的直线翻折使得点B的对应点为B’落在斜边AC上，折痕为CD； 3）沿过点B的直线翻折使得点A的对应点为E落在BC边上，折痕为BD。 三角形翻折之过斜边中点所在直线翻折模型 1）沿直线MN（N为斜边中点）翻折使得点A与点C重合； 2）沿中线BE翻折，使得点A落在点F处，连结AF，FC，AF与BE交于点O. 3）沿中线BE翻折，使得点C落在点D处，连结AD，CD. 三角形翻折之过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型 1）沿直线MN翻折，使得点C落在直角边的点D处，连结CD. 2）沿直线DE翻折使得点C与斜边AB上的点F重合； 五、勾股定理中的翻折模型（长方形） 矩形翻折之折痕过对角线模型 矩形翻折之折痕过对角线模型:如图，沿着矩形的对角线所在直线进行翻折. 条件：已知矩形ABCD中，以对角线AC为折痕，折叠ABC，点B的对应点为B’. 结论：①≌；②折痕AC垂直平方BB’；③AEC是等腰三角形。 证明：根据翻折易证：≌；折痕AC垂直平方BB’；∠BAC=∠B’AC。 ∵四边形ABCD为矩形，∴AB//DC，∴∠BAC=∠DAC。 ∴∠B’AC=∠DAC，∴EA=EC，∴AEC是等腰三角形。 矩形翻折之折痕过一个顶点模型 沿着矩形的一个顶点和一边上的点的线段所在直线进行翻折。 条件：已知矩形ABCD中，以AE为折痕，点B的对应点为B’。 结论：①如图1，折在矩形内，①≌；②折痕AC垂直平方BB’。 ②如图2，折在矩形边上，①≌；②折痕AC垂直平方BB’。 ③如图3，折在矩形外，①四边形≌四边形；②折痕AC垂直平方BB’；③AEF是等腰。 证明：由翻折易得：①②成立。 由翻折得：∠BAE=∠B’AE。 ∵四边形ABCD为矩形，∴AB//DC，∴∠BAE=∠DAE。 ∴∠B’AE=∠DAE，∴FA=FE，∴AEF是等腰三角形。 矩形翻折之折痕过边上任意两点模型 沿着矩形边上的任意两点所在直线进行翻折。 条件：已知矩形ABCD中，以E，F为折痕，点B的对应点为B’，点C的对应点为C’. 结论：如图1，折在矩形内，①≌；②折痕EF垂直平方BB’。 如图2，折在矩形边上，①四边形≌四边形；②折痕EF垂直平方BB’。 如图3，折在矩形外，①四边形≌四边形；②折痕AC垂直平方BB’；③GC’F是。 证明：由翻折易得：①②成立。 ∵四边形ABCD为矩形，∴∠C=90°。由翻折得：∠C’=∠C=90°。∴GC’F是直角三角形。 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 圆柱中的最短路径模型 1．（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，圆柱的底面周长为，高为，是上底面的直径，一只蚂蚁从点出发，沿侧面爬行到点，则爬行的最短路程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆柱的侧面展开图，勾股定理等知识，将侧面展开，构造直角三角形是解题的关键．将圆柱体侧面展开，利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图为圆柱体的侧面展开图， 圆柱体的底面周长为， 半周长为， 又， ， 沿着圆柱的侧面爬行到点，蚂蚁爬行的最短路程是． 故选：C． 2．（25-26七年级上·山东威海·期末）蚂蚁在如图所示的圆柱表面爬行，从点爬到点．若圆柱的高与底面周长均为，点离上沿，则蚂蚁爬行的最短路程为 ． 【答案】5 【分析】此题考查了平面展开－最短路径问题．先将图形展开，根据两点之间，线段最短，根据勾股定理即可得出结论． 【详解】解：如图所示， ∵圆柱的高与底面周长均为，点离上沿， ∴，， 在中，由勾股定理得：， 故答案为：5． 3．（25-26八年级上·河南平顶山·期末）如图，圆柱的高为13cm，底面周长为20cm，点B距上底面1cm，在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到点B处的食物． (1)小萌思考后，先将曲面问题化为平面问题，将圆柱沿点A竖直剪开，然后得到其侧面展开图．请你画出该圆柱的展开图，并标出A，B两点的位置； (2)若蚂蚁沿圆柱侧面爬行，在展开图中画出表示蚂蚁爬行的最短路程的线段，并求它爬行的最短路程．（精确到0.1cm，参考数据：） 【答案】(1)见解析 (2)蚂蚁爬行的最短路程为15.6cm 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，最短路径问题等知识点熟练掌握以上知识点是做题的关键，（1）根据题意，画出圆柱的侧面展开图即可；（2）根据蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是指展开后线段的长，根据勾股定理即可求出答案． 【详解】（1）解：如图所示： 该圆柱的展开图为矩形，将圆柱沿点A竖直剪开，则点在与点所在的线段的对边中点正下方1cm处． （2）解：如图， 连接，则线段的长就是蚂蚁爬行的最短路程． 由题意知，，，， 根据勾股定理，得， ． 答：蚂蚁爬行的最短路程为15.6cm． 题型二 长方体中的最短路径模型 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，长方体礼品盒的长为，宽为，高为，．现要在礼品盒上从点到点贴上一条彩带，则这条彩带的长度最短为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据不同侧棱展开，分别求得对应的边，利用勾股定理求得对应路径，再结合实数大小比较即可． 【详解】解：将长方体展开成平面图形如图所示: ∵长方体的长为,宽为,高为,CB＝, ∴在图中的长为：， 在图中的长为：， 在图中的长为：， ， ∴这条彩带的长度最短为 故选：A． 【点睛】本题考查了平面展开图象的最短路径问题和勾股定理的应用，解题的关键是熟悉分类讨论思想的应用． 5．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图所示的正方体的棱长为，是正方体的一个顶点，是侧面正方形对角线的交点．一只蚂蚁在正方体的表面上爬行，从点爬到点的最短路程是 cm． 【答案】 【分析】过B作于，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：将正方体的正面和侧面展开如图，过点作于点，连接． 在中，，， ． 由勾股定理，得． 故从点爬到点的最短路程是． 故答案为： 【点睛】本题考查了平面展开−最短路线问题，勾股定理，解题的关键是正确的识别图形． 6．（2026八年级下·全国·专题练习）如下图，长方体的长为10，宽为8，高为6，点与点的距离为2，一只蚂蚁沿着长方体的表面从点爬到点．求蚂蚁需要爬行的最短距离． 【答案】 【分析】本题考查了最短路径问题，熟练掌握勾股定理的应用是解题的关键； 根据不同的切割方式可以有不同的路径，分别求出蚂蚁需要爬行的路程，最后比较大小即可． 【详解】解：将长方体的两个面展开，连接． 分三种情况： ①如图①，； ②如图②，； ③如图③，． ， 蚂蚁需要爬行的最短距离是． 题型三 将军饮马型最短路径问题 7．（25-26八年级上·湖北襄阳·月考）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平面展开-最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键 将容器侧面展开，作出关于的对称点，根据两点之间线段最短可知 的长度即为所求，在中，根据勾股定理即可求出的长度； 【详解】解：如图：将容器侧面展开，作A关于EC的对称点，过作交的延长线于D，    则四边形是矩形， ∴，， 连接，则即为最短距离， ∵高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点B处有一饭粒，此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿与饭粒相对的点A处， ∴，， 在中，． 故选B． 8．（25-26八年级上·四川成都·期中）有一个圆柱形玻璃杯高，底面周长为，有一只蚂蚁在一侧距下底的外侧A点，与点A正对的容器内侧距下底的B点处有一饭粒，蚂蚁想吃B处的饭粒，要从杯子的外侧爬到杯子的内侧，杯子的厚度忽略不计，则至少需要爬 ． 【答案】17 【分析】本题考查的是平面展开-最短路径问题，此类问题应先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题． 从点A处竖直向上剪开，此圆柱体的侧面展开图如图，其中为圆柱体的底面周长的一半，再由勾股定理进行解答即可． 【详解】解：如图：作沿上沿B点的对称点，作于C， ∵高，底面周长为，有一只蚂蚁在一侧距下底的外侧A点，与点A正对的容器内侧距下底的B点处有一饭粒， 此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿与饭粒相对的点B处， ∴依题意得：， ， 连接，则即为最短距离， 故答案为：17． 9．（25-26八年级上·贵州·期末）【问题情境】 贵安新区某学校八年级某班学生学习勾股定理后，该班数学兴趣小组开展了实践活动，测得该学校一个四级台阶每一级的长、宽、高分别为，如图1所示．和是这个四级台阶两个相对的端点，若点处有一只蚂蚁，它想到点处的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程是多少？ （1）数学兴趣小组经过思考得到如下解题方法：如图2，将这个四级台阶展开成平面图形，连接，经过计算得到长度即为最短路程，则______________． 【变式探究】 （2）如图3，一个圆柱形玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是，高是，一只蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到与点相对的点处，则该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？ 【拓展应用】 （3）如图4，在（2）的条件下，在杯子内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯子外壁，离杯子上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程是多少厘米？（杯壁厚度不计） 【答案】（1）25；（2）厘米；（3）； 【分析】本题考查了平面展开——最短路径问题，勾股定理，轴对称的性质，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键． （1）先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答； （2）将圆柱体展开，利用勾股定理求解即可； （3）将杯平面展开，作点纵向的对称点，点与对称点的连线，即为蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程，再根据勾股定理计算长度即可． 【详解】解：（1）台阶平面展开图为长方形，长，宽， 则蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程是此长方形的对角线长． 可设蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程为， 由勾股定理得：， 解得：． 故答案为：25； （2）将圆柱体侧面展开，如图： 由题意得：，， ， 该蚂蚁爬行的最短路程厘米； （3）如图，将杯平面展开，作点纵向的对称点， 连接，即为蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程， ，，，， 根据勾股定理有： ， 蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程为． 题型四 勾股定理中的翻折模型（三角形） 10．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，有一张直角三角形纸片，，，．将三角形纸片沿翻折，使点落在直角边延长线上的点处，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了折叠的性质与勾股定理，解题的关键是利用折叠的“对应边相等”，结合勾股定理求出线段长度． 利用折叠的性质得到对应边相等，结合已知边长计算的长度． 【详解】解：由折叠的性质可知，折叠后． 在中，，，， ∴． ∴． ∵， ∴． 故选：A． 11．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，，点E、F在边上，将边沿翻折，使点A落在上的点D处，再将边沿翻折，使点B落在的延长线上的点处．若，，则线段的长为 ，的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查折叠的性质及勾股定理的应用，掌握折叠的性质及勾股定理是解题的关键． 由折叠可得，，，再根据，得出，在中，根据勾股定理可得；设，则，根据勾股定理可得，即，求得，即可得出． 【详解】解：由折叠可得，，， 又∵， ∴， ∴， ∴， 由折叠可得，，， ∴， ∴， ∴， ∴在中，； 设，则， ∵在中，， 在中，， ∴， 即， 解得 ∴ ∴． 故答案为：，． 12．（25-26八年级上·山西运城·期中）综合与实践 (1)如图1，在中，，，． ①求的长； ②是上一点，将沿着对折，点恰好落在上的点处，求的长． (2)如图2，在中，是边上的高，求的长． 【答案】(1)①10；② (2)12 【分析】本题主要考查了勾股定理、折叠的性质等知识点，灵活运用勾股定理列出方程是解题的关键． （1）①直接运用勾股定理求解即可；②由折叠的性质以及线段的和差可得，再根据勾股定理列方程求解即可； （2）设，则．由勾股定理可得、，然后列出关于x的方程求解即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴． ②由折叠得：， ∴， ∴． 在中，， ∴，解得：， ∴的长为． （2）解：设，则． ∵是边上的高， ∴． 在中，， 在中，， ∴，解得：， ∴． 题型五 勾股定理中的翻折模型（长方形） 13．（25-26八年级上·山东济南·期末）如图，在长方形中，，，点为射线上一动点（不与点重合），将沿所在直线折叠，点落在点处，连接，当为直角三角形时，的长为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了翻折变换的性质、长方形的性质、勾股定理等知识；由长方形的性质得出，，，由折叠的性质得，，证、、三点共线，设，①点在线段上时，由勾股定理得出，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可；②点在线段的延长线上时，由勾股定理得出，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】解：四边形是长方形， ，，， 由折叠的性质得：，，， 设， 当为直角三角形时，则， ， 、、三点共线， 分两种情况： ①点在线段上时，如图1所示： 则， ， ， 在中，，， 由勾股定理得：， 解得：， ； ②点在线段的延长线上时，如图2所示： 则， ， 在中，，， 由勾股定理得：， 解得：， ； 综上所述，当为直角三角形时，的长为或； 故选：D． 14．（25-26八年级上·四川成都·月考）长方形中，，点E是边上一点，将沿翻折，点B恰好落在对角线上的点F处，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了长方形的性质、折叠的性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 由长方形的性质以及勾股定理可得，，根据折叠的性质可得，即，最后根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴， 又∵， ∴，， ∵将沿翻折，点B恰好落在对角线上的点F处， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为3． 15．（25-26八年级上·福建漳州·月考）如图，在长方形中，． (1)如图①，将长方形沿翻折，使点A与点C重合，点D落在点处，求BF的长； (2)如图②，将沿翻折，若交于点E，求的面积； (3)如图③，，P为边上的一点，将沿翻折得到，，分别交边于点E，F，且，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查勾股定理，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，正确理解题意确定三角形的三边由勾股定理建立方程是解题的关键． （1）设，在中，根据，构建方程即可解决问题； （2）首先证明，设，在中，利用勾股定理构建方程，求出，再代入数值到进行计算，即可解决问题； （3）设，首先证明，推出，，由，推出，，，在中，可得，解方程即可解决问题； 【详解】（1）解：根据折叠的性质，得． ∵四边形是长方形， ∴． 设， 则， 在Rt中， ， ∴， 解得， ∴． （2）解：∵四边形是长方形， ∴． 根据折叠的性质，得． 又∵， ∴． ∵交于点， ∴， ∴， ∴． 设， 则． 在Rt中， ， ∴， 解得， ∴． ∴， ∴． （3）解：∵四边形是长方形， ∴． 由折叠的性质， 得， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴． 又∵， 设， 则， ∴． 在Rt中，， 解得， ∴． 题型六 勾股定理中的线段的平方和模型 16．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）在中，，． (1)如图1，当点、为边上不同两点，且，求证：； (2)如图2，当点、在边上，，求证：； (3)点、在直线上，，其中，，直接写出长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)或或 【分析】（1）如图所示，过点C作于F，利用三线合一定理得到，由此即可证明； （2）如图所示，将绕点C沿逆时针方向旋转得到，连接，则，证明，得，再证明，则，即可证得； （3）点、在直线上，，共有三种情况，分别画图，同理（2）可得与其他线段的平方关系，再利用方程求解即可． 【详解】（1）证明：如图所示，过点C作于F， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图所示，将绕点C沿逆时针方向旋转得到，连接， ∵， ∴， 由旋转得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）解：∵，，， ∴，， 设， ①当点、都在边上，如图2， 则，， 由（2）可得：， ∴， 解得：， ②当点在边上，点在左侧时，如图3： ∴，， 将绕点C沿顺时针方向旋转得到，连接， 同理可得：， ∴，解得：， ②当点在边上，点在右侧时，如图4： ∴，， 将绕点C沿顺时针方向旋转得到，连接， 同理可得：， ∴，解得：， 综上所述：或或. 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，旋转的性质，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理等等，正确利用旋转构造全等三角形是解题的关键． 17．（25-26八年级上·安徽宿州·月考）我们把对角线互相垂直的四边形定义为垂美四边形．     (1)如图1，四边形为垂美四边形，若，，，，求证：． (2)如图2，在长方形中，，分别交，于点F，E，，求的长． (3)在（2）的条件下，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)5 (3) 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理即可证明； （2）连接，设，则，，由（1）的结论建立方程即可求得x的值，从而求得； （3）在中由勾股定理求得，利用面积相等即可求得． 【详解】（1）证明：∵四边形为垂美四边形， ∴， 由勾股定理得：， ∴； 同理：， ∴； （2）解：如图，连接， 由于四边形是长方形，则， 设， ∵， ∴，， ∵， ∴四边形是垂美四边形， ∴， ∵， ∴， 解得：（舍去负值） 即； （3）解：∵， ∴， 在中，由勾股定理得， ∵， ∴． 18．（25-26八年级下·河南商丘·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，如图，在“垂美”四边形中，对角线交于点O，若，则 ． 【答案】625 【分析】本题考查的是垂直的定义，勾股定理的应用，正确理解“垂美”四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．根据垂直的定义和勾股定理解答即可． 【详解】解：由题意得：， 由勾股定理得， 故答案为：625． 题型七 勾股定理中的最值问题 19．（25-26八年级上·上海·月考）如图，设，A为上一点，，D为上一点，，C为上任意一点，B是上任意一点，那么折线的长度最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称-最短路径问题，此题要考虑两个点的对称点，将折线转化为线段的问题，并转化到直角三角形内利用勾股定理解答是解题的关键．作A关于的对称点，D关于的对称点，作，连接，，求出，再求出，从而求出，最后利用勾股定理解答即可． 【详解】解：如图，作A关于的对称点，D关于的对称点，作， 连接，，则，， ，，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 在直角中，， 故答案为：． 20．（24-25八年级上·江苏苏州·月考）已知，从勾股定理的学习中可以将该式看成直角三角形的两直角边长度分别为3、4，计算结果为斜边长度5，同理计算可以看成直角边长度分别为a、8，结果为斜边长度，利用此原理并结合图形解决问题：已知（，），计算的最小值为 ． 【答案】17 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的应用，最短路径，理解勾股定理的意义是解题的关键．通过勾股定理构造几何图形，将代数问题转化为几何问题，利用三点共线时路径最短的原理求解最小值． 【详解】解：如图，取线段，在上取一点，设，，则． 构造和，使，，且，，其中垂直于向上，垂直于向下． 则，， 故． 当点，，三点共线时，的值最小，最小值等于的长． 点坐标为，点坐标为， 计算． 故答案为17． 21．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）【模型建立】 “数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题． 例：求代数式的最小值． 分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是和的直角三角形的斜边，是直角边分别是和的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上（图），向右平移直角使点和重合（图），这时，，，问题就变成“点在线段的何处时，最短？”根据两点间线段最短，得到线段就是它们的最小值． （1）代数式的最小值为______； （2）变式训练：求代数式的最小值； 【模型拓展】 （3）已知正数满足，则______． （4）的最大值是______； 【答案】（）；（）；（）（）． 【分析】本题考查了勾股定理的应用，两点之间线段最短，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据题目所给的方法直接建立模型进行求解即可； （）根据题目所给的方法直接建立模型进行求解即可； （）以和对应直角三角形斜边，通过构造直角三角形，结合勾股定理解方程求解即可； （）根据题目所给的方法直接建立模型进行求解即可． 【详解】解：（）如图，过点作，交延长线于点，连接， 设，，点在的上方，且，，点在的下方，且，， 则，， ∴表示， ∵， ∴的最小值为的长， 即代数式的最小值为的长， 在中，由勾股定理得，， ∴的最小值为， 故答案为：； （）如图，过点作，交延长线于点，连接， 设，，点在的上方，且，，点在的下方，且，， 则，， ∴表示， ∵， ∴的最小值为的长， 即代数式的最小值为的长， 在中，由勾股定理得，， ∴的最小值为； （）如图，构造，于点，，， 设， ∴，， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴方程的解是， 故答案为：； （）构造，，，，，，，如图所示， 过点作，交延长线于点， 则，，， 设，则，，， ∴代数式表示， ∵， ∴的最大值为的长， 即代数式的最大值为的长， 在中,由勾股定理得：， ∴的最大值为， 故答案为：． 题型八 勾股定理中的旋转模型 22．（25-26九年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图，和都是等腰直角三角形，．， ，将绕着顶点C旋转，连接． (1)求证：； (2)在的旋转过程中，探求：点A，D，E在同一直线上时，的长． 【答案】(1)见解析 (2)或3 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． （1）由“”可证； （2）分两种情况讨论，由勾股定理可求解. 【详解】（1）证明：∵和都是等腰直角三角形， ∴， ∴, 在和中， ∴； （2）解：如图2， ∵和都是等腰直角三角形，， ∴， 在中， ∴ （负值舍去）， ； 如图3， 同理可得： ∴, ∴ （负值舍去）， 综上所述：或3 23．（24-25九年级上·山东临沂·期中）如图1，在中，分别为的中点． (1)将绕点逆时针方向旋转得到（如图2），使直线恰好过点，连接． ①判断与的数量关系和位置关系，并说明理由； ②求的长； (2)如图3，若将绕点逆时针方向旋转一周，分别取的中点的中点，连接，则长度的最大值为____________，最小值为____________． 【答案】(1)①与的数量关系为，位置关系为．理由见解析；② (2)， 【分析】（1）①根据证明解题即可； ②设 在中，由勾股定理得解方程即可； （2）连接，，根据三角形的三边关系解题即可． 【详解】（1）解：①，，理由为： ∵， ， 分别为的中点， ∴， 即 ∵， 即， ∴， ∴， ，， ∵， ， ， ∴， ∴ ∴， 即：； ②中， ， ， 同理可求 ∵， ， 设 在中，由勾股定理得： 解得： (舍负) ， ； （2）连接，， ∵点M，N是和的中点， ∴，， 根据三角形的三边关系的应用可得：， 即， 即最大值为，最小值为． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等的应用，三角形三边关系的应用，正确熟练掌握知识点是解题的关键． 24．（25-26九年级下·吉林·月考）旋转是几何图形中最基本的图形变换之一，利用旋转可将分散的条件相对集中，以达到解决问题的目的． 【发现问题】如图①，在等边三角形内部有一点，，，，求的度数． 解：如图①，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，． ，， 是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ， 即． 请你补充完整解答过程． 【应用问题】如图②，在正方形内有一点，若，，，则 ． 【拓展问题】如图③，在正方形中，对角线，相交于点，在直线上方（包括直线）有一点，，，连接，则线段的最大值为 ． 【答案】发现问题：，应用问题：，拓展问题： 【分析】发现问题∶由可判定，由全等三角形的性质得，，由勾股定理的逆定理得是直角三角形，即可求解； 应用问题：将逆时针旋转，连接、，由勾股定理得，同理可证是直角三角形，即可求解； 拓展问题：将顺时针旋转得，连接、，同理可证，由全等三角形的性质得，即可求解． 【详解】发现问题∶ 证明：补充如下：如图， 在和中 ， ()， ，， ， ， 是直角三角形， ， ， ； 应用问题： 解：如图，将逆时针旋转，连接、， ，， ，， 四边形是正方形， ，， ， ， 在和中 ， ()， ，， ， ， 是直角三角形， ， ， ； 故答案：； 拓展问题： 解：如图，将顺时针旋转得，连接、， ，， ， 四边形是正方形， ，， ， ， 在和中 ， ()， ， ， ， ， 的最大值为， 故答案：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理及其逆定理，等边三角形的判定及性质，正方形的性质等，能利用旋转的性质构建全等三角形是解题的关键． 题型九 勾股定理中的模型综合 25．（25-26八年级上·江苏·月考）我们知道，两边及一条中线对应相等的两个三角形全等．已知，是边上中线． (1)若，，，则 ． (2)如图①，若，，，求的长度． (3)如图②，若，，，求的长度． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）延长至，使得，连接，证明，得出，，再由勾股定理逆定理得出是直角三角形，即，即可得出结果； （2）延长至，使，连接，过点作于点，则，、和都是直角三角形，设，求出，，同（1）证明，得出，由勾股定理可得，则，，，再由中线的性质即可得出结果； （3）延长到，使得，连接，过点作于点，则，，和都是直角三角形，设，则，，同（1）证明，得出，由勾股定理可得 ，则，，求出，再结合中线的性质即可得出结果． 【详解】（1）解：延长至，使得，连接，如图所示： ∴， ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 在中，，，， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，即， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图，延长至，使，连接，过点作于点，如图： ∴，、和都是直角三角形， 设， ∴，， 同（1）证明：， ∴， 在中，由勾股定理可得：， 在中，由勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴，， ∴， ∵是边上的中线， ∴， 即的长度为； （3）解：延长到，使得，连接，过点作于点，如图： ∴，，和都是直角三角形， 设， ∴，， 同（1）证明：， ∴， 在中，由勾股定理可得：， 在中，由勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴，， 在中，由勾股定理可得：， ∵是边上的中线， ∴， 即的长度为． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，勾股定理逆定理，三角形中线的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 26．（25-26八年级上·上海普陀·期末）用基本图形的运动把分散信息集中起来，是突破几何难题的一个好办法． 已知在中，，，，为的中点，点、分别在射线、上，． (1)当点、分别在边、上时， ①如图1，求证：； ②如图2，，请用的代数式表示； (2)当时，求的长． 【答案】(1)①见详解② (2)或 【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）①运用倍长中线法证明，再证明，得，即； ②运用勾股定理得出在中，，，即． （2）理解题意，再进行分类讨论，逐个情况作图，运用倍长中线法和勾股定理，进行分析列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：①延长至点，使得，连接，，如图所示： ∵为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即； ②∵，， ∴， 由①得， ∵， ∴， ∵， 则在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 整理得， 即． （2）解：依题意，当在上时，如图所示： 与（1）①同理，证明，，得 设，与（1）的②同理，得， ∵， ∴ 解得， ∵点、分别在射线、上， ∴当点在的延长线上，如图所示： 与（1）①同理，证明，，得， 即， 设， ∴， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∴， 整理得， 解得． 综上：当时，则的长为或． 27．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）【思维启迪】 （1）如图1，是的中线，延长到点．使，连接，则与的数量关系为_______，位置关系为________． 【思维应用】 （2）如图2，在中，点D是的中点，于点D，交于点E，交于点F，连接，判断与的大小关系并证明； 【思维探索】 （3）如图3，在中，，，点为中点，点在射线上（点不与点，点重合），连接，过点作，垂足为点，连接．若，，请直接写出的长． 【答案】（1）相等，平行；（2），见解析；（3）的长为或 【分析】（1）直接利用即可求证全等，继而得到，故； （2）延长至点M，使，连接，可得，得出，由线段垂直平分线的性质得出，在中，由三角形的三边关系得出即可得出结论； （3）当点在线段上时，延长至点H，使得，连接并延长交于点G，同上可得：，可证明，则，故，在中，由勾股定理求得，那么，中，由勾股定理求得，则；当点在延长线上时，构造上述辅助线，同理可求． 【详解】（1）解：由题意得， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：相等，平行； （2）解：，理由如下： 延长至点M，使，连接，如图所示． 同（1）得：， ∴， ∵， ∴， 在中，由三角形的三边关系得：， ∴； （3）解：当点在线段上时，延长至点H，使得，连接并延长交于点G， 同上可得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中， 由勾股定理求得， ∴， ∴， ∴； 当点在延长线上时，构造上述辅助线， 同上可得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定与性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握知识点，正确构造全等三角形是解决本题的关键． 1．（25-26八年级上·广东广州·期末）如图，和相交于点O，，且，连接，．设，，若，和的面积和等于68，则下列结论正确的有（   ）． ①②③④． A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题主要考查全等三角形、勾股定理和完全平方公式，逐一判断选项的正误是解题的关键．对于①，首先根据证明，即可证明；对于②，根据面积得到，，再结合和的面积和等于68，即可得到；对于③，首先根据得到即可求出，进而得到；对于④，由③得出即可． 【详解】解：对于①：∵，， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在与中， ∴， ∴①正确； 对于②：∵，， ∴，， ∵和的面积和等于68， ∴，即， ∴②正确； 对于③：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴③正确； 对于④：由③得：， ∴④不正确； 故选：B． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，将长方形沿折叠，使顶点恰好落在边的中点上．若，，则的长为（   ） A．4 B． C．4.5 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了折叠问题及勾股定理的应用，综合能力要求较高．同时也考查了列方程求解的能力．解题的关键是找出线段的关系． 先求出BC′，再由图形折叠特性知，，在中，运用勾股定理求解． 【详解】解：∵点是AB边的中点，， ∴， 由图形折叠特性知，， 在中，， ∴， 解得，， 故选：A． 3．（25-26八年级上·福建福州·期末）数形结合是解决数学问题非常好用的一种方法，根据形的直观性可知代数式的最小值是（   ） A．4 B． C． D．5 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，根据勾股定理把加法算式中的两部分转化成线段是解题的关键． 如图，作线段，在上截取，过D作且，则．过B作且，过E作于F，则，， ．易得当A、E、C三点共线，则的值最小为，然后在中运用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，作线段，在上截取，过D作且，则．过B作且，过E作于F，则，， ． ∴， ∴当A、E、C三点共线，则的值最小为， 如图：在中，，， ∴． 故选D． 4．（25-26八年级上·江苏常州·期中）如图，三角形纸片中，，，．沿过点的直线将纸片折叠，使点落在边上的点处；再折叠纸片，使点与点重合，若折痕与的交点为，则的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 由得，由折叠得，，，，代换得，即可得，设，则，根据勾股定理列方程解答即可． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠可得，，，， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， 即． 故选：． 5．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，一大楼的外墙面与地面垂直，点在墙面上．若，点到的距离为6m，现要从点处靠墙和地面铺设管道至点处，则管道的长度最短为 m． 【答案】 【分析】可将墙面与地面展开，连接，根据两点之间线段最短，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：将墙面与地面展开如图， 过点作于点，连接，管道沿铺设长度最短． 在中，，， ． 在中，，， ． 故管道的长度最短为． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了平面展开−最短路径问题，解题关键是立体图形中的最短距离，通常要转换为平面图形的两点间的线段长来进行解决． 6．（25-26八年级上·江西景德镇·期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，过点分别作轴于点，轴于点，点在射线上．将沿直线翻折，使点恰好落在坐标轴上，则点的坐标为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了作图以及利用折叠的性质和勾股定理解直角三角形，掌握相关性质是解答此题的关键．分别当翻折之后的A落在x的正半轴上和落在y轴上以及落在x轴负半轴时，三种情况讨论，利用勾股定理列出方程，然后解方程求出m即可得到点D的坐标． 【详解】解：①如图，设翻折之后的A落点为E，作． 设，由题意可得，，， 与关于直线对称， ，， 在中，， ． 在中，， ， 即， 解得， 点D的坐标是． ②如图2：翻折之后A点落在y轴上时，即图中点E，则， 这时，， ； ③如图3，当翻折之后A点落在x轴负半轴时，， 在中，，则， 中，设， 利用勾股定理得到， 解得， D点坐标为， 故D的坐标为或或． 故答案为：或或． 7．（25-26九年级上·黑龙江大庆·开学考试）如图，圆柱形玻璃容器高，底面周长为．在容器外壁距下底的点A处有一只蚂蚁，在蚂蚁正对面容器外壁距上底的点B处有一滴蜂蜜，则蚂蚁要吃到蜂蜜所爬行的最短距离为 ． 【答案】15 【分析】本题考查了最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理是解题的关键． 根据题意得到圆柱体的侧面展开图，确定A，B的位置，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：圆柱体侧面展开图如下： 由题意知：， 过点A作， ∴， ∴， ∵底面周长为， ∴， 在中，，得：， ∴， ∴， ∴蚂蚁要吃到蜂蜜所爬行的最短距离为． 故答案为：15． 8．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在等腰直角三角形中，，O是内一点，，，，为外一点，且，则四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，勾股定理与逆定理，根据全等三角形的性质得出，， ，根据等式的性质得出，在中，根据勾股定理求出，在中，根据勾股定理的逆定理得出，然后根据求解即可． 【详解】解：连接． ， ，， ， ，即， 在中，， ，，， ， ， ． 故答案为：． 9．（25-26八年级上·上海黄浦·期末）“数形结合”是数学中重要思想方法，在遇到一些具备一定特征的代数问题时，有时会将其转化为更直观的几何问题解决．先阅读以下材料，然后解答后面的问题． 例：求代数式的最小值． 分析：代数式和中出现了两数平方和的形式，容易联想到直角三角形中三边之间的关系，可将看作是直角边分别是和3的直角三角形的斜边，看作是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，于是，我们构造两个和（如图1），如图2，当直角边和在同一直线上且点与点重合． 这时，，，问题就变成“点在线段的何处时，最短？” (1)在图3中，代数式的最小值可用线段______的长表示，该线段的长为______． (2)若将原问题中“”改成“”，能否利用（1）的结论解决？（即求代数式的最小值）若能，请写出解答过程并求解；若不能，请说明理由． (3)请使用与（1）中类似的方法求的最大值．（请画出示意图并求解） 【答案】(1)；13 (2)能利用（1）的结论解决；的最小值为13 (3)的最大值为 【分析】本题主要考查了数形结合思想、勾股定理的几何应用以及三角形三边关系，将代数式转化为几何图形中的线段长度（直角三角形斜边），利用三角形三边关系变形规则是解题的关键． （1）由三角形三边关系可知，当，，三点共线时，，则的最小值可用线段的长来表示；过点作交的延长线于，则四边形为矩形，可得，的长，从而可得的长，再利用勾股定理可得的长，即可得结论； （2）在直角坐标系中构造和，，，，则，，，，，∴，，连接，过点作交延长线于点，则四边形是矩形，可得，的长，从而可得，再利用勾股定理可得，根据三角形的两边之和大于第三边可得，当，，三点共线时，即可得结论； （3）构造和，，，， 设，则， ，，连接，过点作于点，则四边形是矩形，可得，的长，从而可得，再利用勾股定理可得，根据三角形的两边之和大于第三边可得，当，，三点共线时，即可得结论； 【详解】（1）解：由三角形三边关系可知，当，，三点共线时，，则的最小值可用线段的长来表示； 过点作交的延长线于，则四边形为矩形， ∴，， ∴， 在中，， 故答案为：；13． （2）解：能利用（1）的结论解决． 过程如下： 如图，在直角坐标系中构造和，，，，则，，，，， ∴，， 过点作交延长线于点，则四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵，即，当，，三点共线时，， ∴的最小值为13． （3）解：如图，构造和，，，， 设，则， ，， 连接，过点作于点，则四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，， ∵，即，当，，三点共线时，， ∴的最大值为． 10．（25-26八年级下·全国·周测）如图，在长方形纸片中，为的中点，连接，将沿折叠得到，连接．若，，求的长． 【答案】 【分析】连接交于点，由折叠可知：，，可得垂直平分，再证，得到，在中，利用等面积法求出的长，最后在中，利用勾股定理即可求出答案． 【详解】解：如图，连接交于点． 将沿折叠得到， ，，垂直平分． 为的中点， ， ． ， ， ， ． 在中，由勾股定理，得， ， ． 在中，由勾股定理，得． 【点睛】本题主要考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，平行线的判定和性质等内容，熟练掌握翻折变换和勾股定理的应用是解题的关键． 11．（25-26八年级上·浙江温州·月考）【问题发现】（1）如图1，与中，，，B、C、E三点在同一直线上，，则 ___________． 【问题提出】（2）如图2，在中，，过点作，且，求． 【问题解决】（3）如图3，四边形中，面积为12且的长为6，求的长． 【答案】（1）7；（2）；（3） 【分析】（1）由，得，可证明，即得，，再根据求解； （2）过D作交延长线于E，由，，得，即得，可证明，得，，则，再由勾股定理求即可； （3）过A作于E，过B作交延长线于F，由面积为12且的长为6，得，又，，得是等腰直角三角形，即得，，根据，可得，，即有，即可证明，从而，，则，再由勾股定理求即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴； 故答案为：7； （2）过D作交延长线于E，如图： ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴在中，； （3）过A作于E，过B作交延长线于F，如图： ∵面积为12且的长为6， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴在中，． 【点睛】本题考查全等三角形的判定、性质及应用，涉及等腰直角三角形、四边形、勾股定理等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形（K型全等）． 12．（25-26八年级上·四川成都·期中）如图，在中，，． (1)如图，点D是边上一点，作，． ①求证：； ②连接，若，，求边的长； (2)如图3，O是内部一点，，连接，若，，求点O到的距离． 【答案】(1)①证明见解析，② (2) 【分析】（1）①证明，得出； ②由全等三角形的性质得出，，证出，设，则，由勾股定理得出，解方程可得出答案； （2）过点C作，交的延长线于点E，求出，由勾股定理得出，，由面积法可得出答案． 本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，三角形的面积，勾股定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】（1）①证明：， ， 又，， ， ； ②解：， ，， ，， ， ， 设，则， ， ， ， ； （2）解：过点C作，交的延长线于点E， 由（1）知， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，，， 设点O到的距离为h， ， ， ， 即点O到的距离为． 13．（2026八年级上·山东青岛·专题练习）课本再现： 方法探究：（1）对于立体图形中求最短路程问题，应把立体图形展开成平面图形，再确定两点的位置，依据“两点之间线段最短”，结合勾股定理，解决相应的问题．如图2，在圆柱的侧面展开图中，点对应的位置如图所示，利用勾股定理求出蚂蚁爬行的最短路程是___________． 方法应用：（2）如图3，直四棱柱的上下底面是正方形，底面边长为，高为．在其侧面从点A开始，绕侧面两周，嵌入装饰彩条至点B停止．彩条的最短长度为___________． （3）如图4，一个底面为正六边形的直六棱柱，从顶点A到顶点B沿六棱柱的侧面镶有一圈金属丝，已知此六棱柱的高为，底面边长为，则这圈金属丝的长度至少为___________． （4）如图5，一个无盖的半圆柱形容器，它的高为，底面半圆直径为，点A处有一只蚂蚁沿如图所示路线爬行，它想吃到上底面圆心B处的食物，则爬行的最短路程是___________（取3） 【答案】（1），（2）26（3）（4） 【分析】本题考查立体图形中的最短路径问题，解题的关键是将立体图形展开为平面图形，利用“两点之间线段最短”确定路径，再结合勾股定理计算长度．需针对每个小问的立体结构特点，分析展开后对应边的长度，进而构建直角三角形求解． 【详解】解：（1）展开后、、C构成直角三角形，两直角边分别为和． 根据勾股定理，最短路径为： （2）底面是正方形，周长为，垂直方向为直四棱柱的高，绕一周高为， 根据勾股定理，， 绕两周彩条最短长度为：； （3）底面是正六边形的直六棱柱，周长为，绕一周垂直长度为； 根据勾股定理，金属丝最短长度为： （4）底面是半圆长加一个半径，，高为6， 根据勾股定理，爬行最短长度为． 1．（25-26八年级下·山东聊城·期中）【问题情境】数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为20、3、2，A和是一个台阶两个相对的端点．老师让同学们探究：如图①，若A点处有一只蚂蚁要到点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶A爬到点的最短路程是多少？ 【探究】 （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，可得到长为20，宽为15的长方形，连结，经过计算可得蚂蚁沿着台阶点A爬到点的最短路程的长为______． 【应用】 （2）如图③，是一只圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是，高是，若蚂蚁从点A出发沿着玻璃杯的侧面到点，求蚂蚁爬行的最短距离． 【拓展】 （3）如图④，圆柱形玻璃杯高，底面周长为，在杯内壁离杯底的点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁外壁处到内壁A处所爬行的最短路程是______．（杯壁厚度不计） 【答案】（1）；（2）蚂蚁爬行的最短距离为；（3） 【分析】本题考查了平面展开图—最短路径问题，解答本题的关键是熟练运用数形结合的思想解决问题． （1）直接利用勾股定理进行求解即可； （2）将圆柱体展开，利用勾股定理求解即可； （3）从玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）由题意得， 故答案为：； （2）将圆柱体展开，由题意得 ， 蚂蚁爬行的最短距离为； （3）如图， 从玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作交延长线于点，连接交于点， ，， ， ， ， 蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是． 故答案为：． 2．（25-26八年级上·浙江金华·期中）如图，在长方形中，． (1)如图①，将长方形沿EF翻折，使点A与点C重合，点D落在点处，求的长； (2)如图②，将沿翻折，若交于点E，求的面积； (3)如图③，P为边上的一点，将沿翻折得到，，分别交边于点E，F，且，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查勾股定理，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，正确理解题意确定三角形的三边由勾股定理建立方程是解题的关键． （1）设，在中，根据，构建方程即可解决问题； （2）首先证明，设，在中，利用勾股定理构建方程，求出，再代入数值到进行计算，即可解决问题； （3）设，首先证明，推出，，由，推出，，，在中，可得，解方程即可解决问题； 【详解】（1）解：根据折叠的性质，得． ∵四边形是长方形， ∴． 设， 则， 在Rt中， ， ∴， 解得， ∴． （2）解：∵四边形是长方形， ∴． 根据折叠的性质，得． 又∵， ∴． ∵交于点， ∴， ∴， ∴． 设， 则． 在Rt中， ， ∴， 解得， ∴． ∴， ∴． （3）解：∵四边形是长方形， ∴． 由折叠的性质， 得， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴． 又∵， 设， 则， ∴． 在Rt中，， 解得， ∴． 3．（25-26八年级上·广东梅州·期中）通过学习，同学们发现在正方形网格中（设每个小正方形的边长都为1），构造某些图形可以发现和解决一些数学问题． 【阅读材料】 例如，比较与的大小． 解：在正方形网格中，如图1，构造（点，，都为小正方形的顶点）． （构造图形）， （三角形任意两边之和大于第三边）． ，（勾股定理）． (1)在上面解决问题的过程中，体现了初中数学的一种重要的基本思想是 （填写正确选项的字母代号）． A．类比思想 B．整体思想 C．分类讨论思想 D．数形结合思想 (2)参考“例子”中的方法，在图2中，构造图形，比较与的大小，并说明理由． 【拓展探究】 (3)问题：求的最小值．（在图3中，画出所构造的图形） 【答案】(1)D (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查了实数大小比较、三角形三边关系、两点之间线段最短、勾股定理，解题时要熟练掌握并能灵活运用数形结合是关键． （1）依据题意，上面解决问题的过程中，体现了初中数学的一种重要的基本思想是数形结合思想，故可得解； （2）依据题意，在正方形网格中，构造线段、、、，再利用两点之间，线段最短，从而可以判断得解； （3）依据题意，构造，，，点是上一点，是关于的对称点，与交于点，设，则，从而，，，又是关于的对称点，故，再根据两点之间，线段最短，，可得当与重合时，取最小值为，进而即可得解． 【详解】（1）解：由题意，上面解决问题的过程中，体现了数形结合思想． 故答案为：D． （2）解：如图2，在正方形网格中，构造线段、、、， 两点之间，线段最短， ． ，，， ． ． （3）解：如图3，构造，，，点是上一点，是关于的对称点，与交于点， 设，则， ，，． 是关于的对称点， ． 两点之间，线段最短， ． 当与重合时，取最小值为， 的最小值． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 完成时间： 月 日 天气： 拓展寒假作业 勾股定理中几何模型问题（含将军饮马） 一、圆柱中的最短路径模型 条件：如图，圆柱的底面圆的周长是c厘米，高是h厘米，现在要从圆柱上点A沿表面把一条彩带绕到点B。 结论：彩带最短需要厘米． 证明：如图所示：沿过A点和过B点的母线剪开，展成平面，连接， 根据两点之间线段最短得这条丝线的最短长度是的长度， 由勾股定理得，，则这条丝线的最短长度是厘米， 注意：1）运用勾股定理计算最短路径时，按照展开—定点—连线—勾股定理的步骤进行计算； 2） 缠绕类题型可以求出一圈的最短长度后乘以圈数。 二、长方体中的最短路径模型 条件：如图，一只蚂蚁从长是a，宽是b，高是h的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，（其中：h＞a＞b）。 结论：蚂蚁爬行的最短路程是 证明：如图，当长方体的侧面按图甲展开时，； 则； 如图，当长方体的侧面按图乙展开时，； 则； 如图，当长方体的侧面按图丙展开时，； 则； ∵h＞a＞b，∴ah＞bh＞ab，故＞＞ ∴蚂蚁所行的最短路线长为， 注意：1）长方体展开图分类讨论时可按照“前+右”、“前+上”和“左+上”三类情况进行讨论； 2）两个端点中有一个不在定点时讨论方法跟第一类相同。 三、将军饮马与空间最短路径模型     条件：如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为h厘米，底面周长为c厘米，在容器内壁离容器底部a厘米的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿a厘米的点A处， 结论：蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路程为：厘米。 证明：如图，将容器侧面展开，作A关于EC的对称点，过作交B的延长线于D， 则四边形是矩形，∴，，连接，则即为最短距离， ∵由题意得，（），=a（），（）， 在中，（）． 注意：立体图形中从外侧到内侧最短路径问题需要先作对称，再运用两点之间线段最短的原理结合勾股定理求解。 四、勾股定理中的翻折模型（三角形） 1）沿过点A的直线翻折使得点B的对应点为B’落在斜边AC上，折痕为AD； 2）沿过点C的直线翻折使得点B的对应点为B’落在斜边AC上，折痕为CD； 3）沿过点B的直线翻折使得点A的对应点为E落在BC边上，折痕为BD。 三角形翻折之过斜边中点所在直线翻折模型 1）沿直线MN（N为斜边中点）翻折使得点A与点C重合； 2）沿中线BE翻折，使得点A落在点F处，连结AF，FC，AF与BE交于点O. 3）沿中线BE翻折，使得点C落在点D处，连结AD，CD. 三角形翻折之过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型 1）沿直线MN翻折，使得点C落在直角边的点D处，连结CD. 2）沿直线DE翻折使得点C与斜边AB上的点F重合； 五、勾股定理中的翻折模型（长方形） 矩形翻折之折痕过对角线模型 矩形翻折之折痕过对角线模型:如图，沿着矩形的对角线所在直线进行翻折. 条件：已知矩形ABCD中，以对角线AC为折痕，折叠ABC，点B的对应点为B’. 结论：①≌；②折痕AC垂直平方BB’；③AEC是等腰三角形。 证明：根据翻折易证：≌；折痕AC垂直平方BB’；∠BAC=∠B’AC。 ∵四边形ABCD为矩形，∴AB//DC，∴∠BAC=∠DAC。 ∴∠B’AC=∠DAC，∴EA=EC，∴AEC是等腰三角形。 矩形翻折之折痕过一个顶点模型 沿着矩形的一个顶点和一边上的点的线段所在直线进行翻折。 条件：已知矩形ABCD中，以AE为折痕，点B的对应点为B’。 结论：①如图1，折在矩形内，①≌；②折痕AC垂直平方BB’。 ②如图2，折在矩形边上，①≌；②折痕AC垂直平方BB’。 ③如图3，折在矩形外，①四边形≌四边形；②折痕AC垂直平方BB’；③AEF是等腰。 证明：由翻折易得：①②成立。 由翻折得：∠BAE=∠B’AE。 ∵四边形ABCD为矩形，∴AB//DC，∴∠BAE=∠DAE。 ∴∠B’AE=∠DAE，∴FA=FE，∴AEF是等腰三角形。 矩形翻折之折痕过边上任意两点模型 沿着矩形边上的任意两点所在直线进行翻折。 条件：已知矩形ABCD中，以E，F为折痕，点B的对应点为B’，点C的对应点为C’. 结论：如图1，折在矩形内，①≌；②折痕EF垂直平方BB’。 如图2，折在矩形边上，①四边形≌四边形；②折痕EF垂直平方BB’。 如图3，折在矩形外，①四边形≌四边形；②折痕AC垂直平方BB’；③GC’F是。 证明：由翻折易得：①②成立。 ∵四边形ABCD为矩形，∴∠C=90°。由翻折得：∠C’=∠C=90°。∴GC’F是直角三角形。 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 圆柱中的最短路径模型 1．（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，圆柱的底面周长为，高为，是上底面的直径，一只蚂蚁从点出发，沿侧面爬行到点，则爬行的最短路程为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·山东威海·期末）蚂蚁在如图所示的圆柱表面爬行，从点爬到点．若圆柱的高与底面周长均为，点离上沿，则蚂蚁爬行的最短路程为 ． 3．（25-26八年级上·河南平顶山·期末）如图，圆柱的高为13cm，底面周长为20cm，点B距上底面1cm，在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到点B处的食物． (1)小萌思考后，先将曲面问题化为平面问题，将圆柱沿点A竖直剪开，然后得到其侧面展开图．请你画出该圆柱的展开图，并标出A，B两点的位置； (2)若蚂蚁沿圆柱侧面爬行，在展开图中画出表示蚂蚁爬行的最短路程的线段，并求它爬行的最短路程．（精确到0.1cm，参考数据：） 题型二 长方体中的最短路径模型 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，长方体礼品盒的长为，宽为，高为，．现要在礼品盒上从点到点贴上一条彩带，则这条彩带的长度最短为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图所示的正方体的棱长为，是正方体的一个顶点，是侧面正方形对角线的交点．一只蚂蚁在正方体的表面上爬行，从点爬到点的最短路程是 cm． 6．（2026八年级下·全国·专题练习）如下图，长方体的长为10，宽为8，高为6，点与点的距离为2，一只蚂蚁沿着长方体的表面从点爬到点．求蚂蚁需要爬行的最短距离． 题型三 将军饮马型最短路径问题 7．（25-26八年级上·湖北襄阳·月考）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（   ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级上·四川成都·期中）有一个圆柱形玻璃杯高，底面周长为，有一只蚂蚁在一侧距下底的外侧A点，与点A正对的容器内侧距下底的B点处有一饭粒，蚂蚁想吃B处的饭粒，要从杯子的外侧爬到杯子的内侧，杯子的厚度忽略不计，则至少需要爬 ． 9．（25-26八年级上·贵州·期末）【问题情境】 贵安新区某学校八年级某班学生学习勾股定理后，该班数学兴趣小组开展了实践活动，测得该学校一个四级台阶每一级的长、宽、高分别为，如图1所示．和是这个四级台阶两个相对的端点，若点处有一只蚂蚁，它想到点处的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程是多少？ （1）数学兴趣小组经过思考得到如下解题方法：如图2，将这个四级台阶展开成平面图形，连接，经过计算得到长度即为最短路程，则______________． 【变式探究】 （2）如图3，一个圆柱形玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是，高是，一只蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到与点相对的点处，则该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？ 【拓展应用】 （3）如图4，在（2）的条件下，在杯子内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯子外壁，离杯子上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程是多少厘米？（杯壁厚度不计） 题型四 勾股定理中的翻折模型（三角形） 10．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，有一张直角三角形纸片，，，．将三角形纸片沿翻折，使点落在直角边延长线上的点处，则的长为（   ） A． B． C． D． 11．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，，点E、F在边上，将边沿翻折，使点A落在上的点D处，再将边沿翻折，使点B落在的延长线上的点处．若，，则线段的长为 ，的面积为 ． 12．（25-26八年级上·山西运城·期中）综合与实践 (1)如图1，在中，，，． ①求的长； ②是上一点，将沿着对折，点恰好落在上的点处，求的长． (2)如图2，在中，是边上的高，求的长． 题型五 勾股定理中的翻折模型（长方形） 13．（25-26八年级上·山东济南·期末）如图，在长方形中，，，点为射线上一动点（不与点重合），将沿所在直线折叠，点落在点处，连接，当为直角三角形时，的长为（   ） A． B． C．或 D．或 14．（25-26八年级上·四川成都·月考）长方形中，，点E是边上一点，将沿翻折，点B恰好落在对角线上的点F处，则的长为 ． 15．（25-26八年级上·福建漳州·月考）如图，在长方形中，． (1)如图①，将长方形沿翻折，使点A与点C重合，点D落在点处，求BF的长； (2)如图②，将沿翻折，若交于点E，求的面积； (3)如图③，，P为边上的一点，将沿翻折得到，，分别交边于点E，F，且，求的长． 题型六 勾股定理中的线段的平方和模型 16．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）在中，，． (1)如图1，当点、为边上不同两点，且，求证：； (2)如图2，当点、在边上，，求证：； (3)点、在直线上，，其中，，直接写出长． 17．（25-26八年级上·安徽宿州·月考）我们把对角线互相垂直的四边形定义为垂美四边形．     (1)如图1，四边形为垂美四边形，若，，，，求证：． (2)如图2，在长方形中，，分别交，于点F，E，，求的长． (3)在（2）的条件下，求的长． 18．（25-26八年级下·河南商丘·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，如图，在“垂美”四边形中，对角线交于点O，若，则 ． 题型七 勾股定理中的最值问题 19．（25-26八年级上·上海·月考）如图，设，A为上一点，，D为上一点，，C为上任意一点，B是上任意一点，那么折线的长度最小值为 ． 20．（24-25八年级上·江苏苏州·月考）已知，从勾股定理的学习中可以将该式看成直角三角形的两直角边长度分别为3、4，计算结果为斜边长度5，同理计算可以看成直角边长度分别为a、8，结果为斜边长度，利用此原理并结合图形解决问题：已知（，），计算的最小值为 ． 21．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）【模型建立】 “数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题． 例：求代数式的最小值． 分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是和的直角三角形的斜边，是直角边分别是和的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上（图），向右平移直角使点和重合（图），这时，，，问题就变成“点在线段的何处时，最短？”根据两点间线段最短，得到线段就是它们的最小值． （1）代数式的最小值为______； （2）变式训练：求代数式的最小值； 【模型拓展】 （3）已知正数满足，则______． （4）的最大值是______； 题型八 勾股定理中的旋转模型 22．（25-26九年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图，和都是等腰直角三角形，．， ，将绕着顶点C旋转，连接． (1)求证：； (2)在的旋转过程中，探求：点A，D，E在同一直线上时，的长． 23．（24-25九年级上·山东临沂·期中）如图1，在中，分别为的中点． (1)将绕点逆时针方向旋转得到（如图2），使直线恰好过点，连接． ①判断与的数量关系和位置关系，并说明理由； ②求的长； (2)如图3，若将绕点逆时针方向旋转一周，分别取的中点的中点，连接，则长度的最大值为____________，最小值为____________． 24．（25-26九年级下·吉林·月考）旋转是几何图形中最基本的图形变换之一，利用旋转可将分散的条件相对集中，以达到解决问题的目的． 【发现问题】如图①，在等边三角形内部有一点，，，，求的度数． 解：如图①，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，． ，， 是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ， 即． 请你补充完整解答过程． 【应用问题】如图②，在正方形内有一点，若，，，则 ． 【拓展问题】如图③，在正方形中，对角线，相交于点，在直线上方（包括直线）有一点，，，连接，则线段的最大值为 ． 题型九 勾股定理中的模型综合 25．（25-26八年级上·江苏·月考）我们知道，两边及一条中线对应相等的两个三角形全等．已知，是边上中线． (1)若，，，则 ． (2)如图①，若，，，求的长度． (3)如图②，若，，，求的长度． 26．（25-26八年级上·上海普陀·期末）用基本图形的运动把分散信息集中起来，是突破几何难题的一个好办法． 已知在中，，，，为的中点，点、分别在射线、上，． (1)当点、分别在边、上时， ①如图1，求证：； ②如图2，，请用的代数式表示； (2)当时，求的长． 27．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）【思维启迪】 （1）如图1，是的中线，延长到点．使，连接，则与的数量关系为_______，位置关系为________． 【思维应用】 （2）如图2，在中，点D是的中点，于点D，交于点E，交于点F，连接，判断与的大小关系并证明； 【思维探索】 （3）如图3，在中，，，点为中点，点在射线上（点不与点，点重合），连接，过点作，垂足为点，连接．若，，请直接写出的长． 1．（25-26八年级上·广东广州·期末）如图，和相交于点O，，且，连接，．设，，若，和的面积和等于68，则下列结论正确的有（   ）． ①②③④． A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．②③④ 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，将长方形沿折叠，使顶点恰好落在边的中点上．若，，则的长为（   ） A．4 B． C．4.5 D．5 3．（25-26八年级上·福建福州·期末）数形结合是解决数学问题非常好用的一种方法，根据形的直观性可知代数式的最小值是（   ） A．4 B． C． D．5 4．（25-26八年级上·江苏常州·期中）如图，三角形纸片中，，，．沿过点的直线将纸片折叠，使点落在边上的点处；再折叠纸片，使点与点重合，若折痕与的交点为，则的长是（　　） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，一大楼的外墙面与地面垂直，点在墙面上．若，点到的距离为6m，现要从点处靠墙和地面铺设管道至点处，则管道的长度最短为 m． 6．（25-26八年级上·江西景德镇·期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，过点分别作轴于点，轴于点，点在射线上．将沿直线翻折，使点恰好落在坐标轴上，则点的坐标为 ． 7．（25-26九年级上·黑龙江大庆·开学考试）如图，圆柱形玻璃容器高，底面周长为．在容器外壁距下底的点A处有一只蚂蚁，在蚂蚁正对面容器外壁距上底的点B处有一滴蜂蜜，则蚂蚁要吃到蜂蜜所爬行的最短距离为 ． 8．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在等腰直角三角形中，，O是内一点，，，，为外一点，且，则四边形的面积为 ． 9．（25-26八年级上·上海黄浦·期末）“数形结合”是数学中重要思想方法，在遇到一些具备一定特征的代数问题时，有时会将其转化为更直观的几何问题解决．先阅读以下材料，然后解答后面的问题． 例：求代数式的最小值． 分析：代数式和中出现了两数平方和的形式，容易联想到直角三角形中三边之间的关系，可将看作是直角边分别是和3的直角三角形的斜边，看作是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，于是，我们构造两个和（如图1），如图2，当直角边和在同一直线上且点与点重合． 这时，，，问题就变成“点在线段的何处时，最短？” (1)在图3中，代数式的最小值可用线段______的长表示，该线段的长为______． (2)若将原问题中“”改成“”，能否利用（1）的结论解决？（即求代数式的最小值）若能，请写出解答过程并求解；若不能，请说明理由． (3)请使用与（1）中类似的方法求的最大值．（请画出示意图并求解） 10．（25-26八年级下·全国·周测）如图，在长方形纸片中，为的中点，连接，将沿折叠得到，连接．若，，求的长． 11．（25-26八年级上·浙江温州·月考）【问题发现】（1）如图1，与中，，，B、C、E三点在同一直线上，，则 ___________． 【问题提出】（2）如图2，在中，，过点作，且，求． 【问题解决】（3）如图3，四边形中，面积为12且的长为6，求的长． 12．（25-26八年级上·四川成都·期中）如图，在中，，． (1)如图，点D是边上一点，作，． ①求证：； ②连接，若，，求边的长； (2)如图3，O是内部一点，，连接，若，，求点O到的距离． 13．（2026八年级上·山东青岛·专题练习）课本再现： 方法探究：（1）对于立体图形中求最短路程问题，应把立体图形展开成平面图形，再确定两点的位置，依据“两点之间线段最短”，结合勾股定理，解决相应的问题．如图2，在圆柱的侧面展开图中，点对应的位置如图所示，利用勾股定理求出蚂蚁爬行的最短路程是___________． 方法应用：（2）如图3，直四棱柱的上下底面是正方形，底面边长为，高为．在其侧面从点A开始，绕侧面两周，嵌入装饰彩条至点B停止．彩条的最短长度为___________． （3）如图4，一个底面为正六边形的直六棱柱，从顶点A到顶点B沿六棱柱的侧面镶有一圈金属丝，已知此六棱柱的高为，底面边长为，则这圈金属丝的长度至少为___________． （4）如图5，一个无盖的半圆柱形容器，它的高为，底面半圆直径为，点A处有一只蚂蚁沿如图所示路线爬行，它想吃到上底面圆心B处的食物，则爬行的最短路程是___________（取3） 1．（25-26八年级下·山东聊城·期中）【问题情境】数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为20、3、2，A和是一个台阶两个相对的端点．老师让同学们探究：如图①，若A点处有一只蚂蚁要到点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶A爬到点的最短路程是多少？ 【探究】 （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，可得到长为20，宽为15的长方形，连结，经过计算可得蚂蚁沿着台阶点A爬到点的最短路程的长为______． 【应用】 （2）如图③，是一只圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是，高是，若蚂蚁从点A出发沿着玻璃杯的侧面到点，求蚂蚁爬行的最短距离． 【拓展】 （3）如图④，圆柱形玻璃杯高，底面周长为，在杯内壁离杯底的点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁外壁处到内壁A处所爬行的最短路程是______．（杯壁厚度不计） 2．（25-26八年级上·浙江金华·期中）如图，在长方形中，． (1)如图①，将长方形沿EF翻折，使点A与点C重合，点D落在点处，求的长； (2)如图②，将沿翻折，若交于点E，求的面积； (3)如图③，P为边上的一点，将沿翻折得到，，分别交边于点E，F，且，求的长． 3．（25-26八年级上·广东梅州·期中）通过学习，同学们发现在正方形网格中（设每个小正方形的边长都为1），构造某些图形可以发现和解决一些数学问题． 【阅读材料】 例如，比较与的大小． 解：在正方形网格中，如图1，构造（点，，都为小正方形的顶点）． （构造图形）， （三角形任意两边之和大于第三边）． ，（勾股定理）． (1)在上面解决问题的过程中，体现了初中数学的一种重要的基本思想是 （填写正确选项的字母代号）． A．类比思想 B．整体思想 C．分类讨论思想 D．数形结合思想 (2)参考“例子”中的方法，在图2中，构造图形，比较与的大小，并说明理由． 【拓展探究】 (3)问题：求的最小值．（在图3中，画出所构造的图形） 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $