拓展寒假作业 计算题专项训练（巩固提升13大题型+能力培优+创新题型）（巩固培优）七年级数学新教材北师大版

限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 拓展寒假作业 计算题专项训练 一、有理数的运算 1 ．法则： （1）加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．③一个数同0相加，仍得这个数． （2）减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数．即a-b=a+(-b) ． （3）乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．②任何数同0相乘，都得0． （4）除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即a÷b=a·(b≠0) ． （5）乘方运算的符号法则：①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；②正数的任何次幂都是正数，0的任何非零次幂都是0． (6)有理数的混合运算顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行； ③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 2．运算律： （1）交换律: ① 加法交换律:a+b=b+a；②乘法交换律:ab=ba； （2）结合律: ①加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)； ②乘法结合律：（ab）c=a(bc) （3）分配律：a(b+c)=ab+ac 二、整式的加减 1．同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项．所有的常数项都是同类项． 要点诠释：辨别同类项要把准“两相同，两无关”： （1）“两相同”是指：①所含字母相同；②相同字母的指数相同； （2）“两无关”是指：①与系数无关；②与字母的排列顺序无关． 2．合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项． 要点诠释：合并同类项时，只是系数相加减，所得结果作为系数，字母及字母的指数保持不变． 3．去括号法则：括号前面是“+”，把括号和它前面的“+”去掉后，原括号里各项的符号都不改变；括号前面是“-”，把括号和它前面的“-”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变． 4．添括号法则：添括号后，括号前面是“+”，括号内各项的符号都不改变；添括号后，括号前面是“-”，括号内各项的符号都要改变． 5．整式的加减运算法则：几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加、减号连接，然后去括号，合并同类项． 三、一元一次方程的解法 解一元一次方程的一般步骤： (1)去分母：在方程两边同乘以各分母的最小公倍数． (2)去括号：依据乘法分配律和去括号法则，先去小括号，再去中括号，最后去大括号． (3)移项：把含有未知数的项移到方程一边，常数项移到方程另一边． (4)合并：逆用乘法分配律，分别合并含有未知数的项及常数项，把方程化为ax＝b(a≠0)的形式． (5)系数化为1：方程两边同除以未知数的系数得到方程的解(a≠0)． (6)检验：把方程的解代入原方程，若方程左右两边的值相等，则是方程的解；若方程左右两边的值不相等，则不是方程的解． 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 有理数的四则混合运算 1．计算下列各小题． (1)； (2)． 【答案】(1) (2)30 【分析】本题考查了有理数的混合运算． （1）利用加法交换律和结合律合并同类项，再分别计算带分数部分，最后相加即可； （2）按照先算乘方、绝对值，再算乘除，最后加减的顺序计算． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 2．计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的加减乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解决本题的关键． （1）先将小数转为分数，然后按照有理数混合运算法则计算即可； （2）根据有理数混合运算法则计算即可解答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 3．计算： 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，理清运算顺序是解决问题的关键；先算乘除后算加减，按顺序计算即可． 【详解】解： 4．计算下列各题： (1) (2)； (3)； (4)． (5)． 【答案】(1)9 (2)27 (3)11 (4) (5)7 【分析】本题考查了有理数四则运算，掌握其运算方法是解题关键． （1）原式利用乘法分配律计算即可得到结果； （2）原式化为假分数再计算即可得到结果； （3）原式利用乘法分配律计算即可得到结果； （4）原式利用乘法分配律计算即可得到结果； （5）原式化为假分数再利用乘法分配律，计算即可得到结果． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式， ， ， ． （5）解：原式 ． 5．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 9 【分析】本题考查有理数的混合运算． （1）把小数化为分数，按照运算法则计算即可； （2）先计算各部分，再进行加减计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 6．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则和运算顺序是解答本题的关键． （1）先根据乘法分配律计算，再算加减法即可； （2）先算乘方，再算乘除法，最后算加减法即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2） 7．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数的四则运算、运算律（加法交换律与结合律、乘法分配律）的应用，熟练掌握有理数的运算规则和运算律的使用方法是解题的关键． （1）按照有理数加减运算的顺序，从左到右依次计算． （2）利用加法交换律和结合律，将同分母分数、小数分别结合后再计算． （3）运用乘法分配律，将括号内的每一项分别与相乘，再进行加减运算． （4）先将带分数化为假分数，再将除法转化为乘法，最后按照有理数乘法法则计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： 题型二 有理数的简便运算 8．简便运算： (1) (2) 【答案】(1)7 (2) 【分析】本题考查有理数四则混合计算． （1）先将括号内通分，再除以括号外的数即可； （2）先将括号内带分数整理成两个数相加的形式，再去括号，让整数和整数合并计算，分数和分数合并在一起计算等． 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ， ， ． 9．利用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握乘法运算律是解此题的关键． （1）先将原式中的除法运算转化为乘法运算，再利用乘法分配律提取公因数，合并括号内的项后进行计算即可； （2）先将式子变形为，再利用乘法运算律进行计算即可得到答案． 【详解】（1）解： （2） 10．阅读第①小题的计算方法，再计算第②小题． ①． 解：原式 ． 上述这种方法叫作拆项法． ②仿照上面的方法计算：． 【答案】 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．利用拆项法将原式变形，然后利用加法的交换律与结合律计算即可． 【详解】解：原式 ． 11．阅读下列的计算方法，解决问题： (1)． 解：原式． 上面这种方法叫拆项法．按这种方法，可将拆为_____，拆为______． (2)类比上述计算方法，请计算：． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了有理数的加减运算，正确理解题意、掌握解答的方法是关键； （1）根据有理数的加法作答即可； （2）按照题干中的拆项法结合有理数的加减混合运算法则求解即可． 【详解】（1）解：可将拆为，拆为； 故答案为：，； （2）解： ． 12．阅读下面的材料，并完成相应任务． 计算：． 解：因为，，____①____，， 所以原式 ． 上面这种计算方法叫拆项法． 任务： (1)上述材料中，序号①的内容为________． (2)试用上述方法计算： ①________； ②． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查有理数的加法运算，解题的关键是掌握拆项法，将带分数拆成整数和分数两部分，再分别相加． （1）根据拆项法的规则，将带分数拆分为整数17和分数； （2）①利用拆项法把带分数拆成整数和分数，然后分别对整数部分和分数部分进行计算； ②运用拆项法拆分带分数，再分别结合整数与整数、分数与分数进行计算。 【详解】（1）解：由拆项法可知，． （2）解：① ② ． 13．项目式学习 项目背景 在有理数除法运算中，当除数是一个复杂的有理数的和差形式时，直接计算比较繁琐，可先求原式的倒数，再利用乘法分配律简化计算，最后取倒数得到结果． 学习目标 理解“倒数法”在有理数除法中的原理；熟练运用乘法分配律进行有理数乘法运算． 材料阅读 计算：． 解：原式的倒数： ， 故原式． 任务解决 用倒数法计算：． 【答案】 【分析】本题考查了倒数、有理数的除法、乘法分配律，理解“倒数法”是解题的关键． 仿照题意的“倒数法”进行计算即可． 【详解】解：原式的倒数： ， 故原式． 14．阅读理解： 计算时，若把与分别各看作一个整体，再利用分配律进行运算，可以大大简化难度．过程如下： 解：设为，为， 则原式． 请用上面的方法计算： 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘法，熟练掌握阅读理解中的解题方法是解本题的关键． 根据题意设为A，为B，原式变形后计算即可求出值． 【详解】解：设为A，为B， 则原式 ． 题型三 有理数的新定义运算 15．定义新运算“”：，例如：． (1)计算：； (2)若，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了新定义运算的应用，解题的关键是根据新运算规则将式子转化为常规运算． （1）代入新运算公式，计算乘法与加减法； （2）根据新运算列方程，再解一元一次方程． 【详解】（1）解： （2）解：由题意得：， 即， ， ． 答：的值为． 16．对于有理数、，定义运算：． (1)计算的值； (2)求的值； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查新定义运算，有理数的混合运算，按照给定的运算规则代入数值计算即可． （1）根据新定义直接计算； （2）先计算内层运算，再计算外层运算． 【详解】（1）解：∵ ， ∴ ． （2）解：∵ ， ∴ ． ． 17．【新定义】有理数的“加乘”运算，记作 有理数“加乘”法则 同号两数“加乘”，取相同的符号，并把绝对值相乘． 异号两数相“加乘”，绝对值相等时结果为0；绝对值不相等时，取绝对值较大数的符号，并把绝对值相乘． 一个数同0“加乘”，仍得0． 例如：；；；． 【观察入微】 （1）_____；_____； （2）计算：； 【见微知著】 （3）若，求的值； （4）若整数满足，求、的值． 【答案】（1）0，；（2）；（3）；（4）或， 【分析】本题考查有理数的混合运算，代数式求值，理解题意并列出正确的算式是解题的关键． （1）根据定义的运算法则计算各式即可； （2）根据定义的运算法则计算即可； （3）根据定义的运算法则列得算式并整理，然后将原式变形后代入数值计算即可； （4）根据定义的运算法则列得算式并整理，然后确定a，b的值即可． 【详解】解：（1），， 故答案为：0；； （2） ． （3）， ， ． （4）整数、满足， 当与同号时， ，， ，， ，． 当与异号时， ，， ， ，， ，． 综上，或，． 18．对于实数，，定义关于“”的一种运算：．例如：． (1)求的值． (2)求的值． 【答案】(1) (2)26 【分析】本题考查了新定义计算问题，主要考查有理数的四则混合运算，掌握有理数四则混合运算法则为解题关键． （1）根据定义计算即可求解； （2）根据定义先计算，再计算即得． 【详解】（1）解：； （2）解： ． 19．对有理数，定义了一种新的运算，叫“乘加法”，记作“”．并按照此运算写出了一些式子： ，，， ，，， ，，… (1)根据以上式子特点将“乘加法”法则补充完整： 两个数相乘加，同号得______，异号得______，并把绝对值______；一个数与0相“乘加”等于______； (2)根据法则计算：______；______； (3)若括号的作用与它在有理数运算中的作用相同，请计算： ①；②． 【答案】(1)正；负；相加；这个数的绝对值 (2)； (3)； 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，根据题中给出的例子归纳法则是解题的关键． （1）根据题中给出的例子归纳出结论即可； （2）根据（1）中的“乘加法”进行计算即可； （3）根据（1）中的“乘加法”进行计算即可． 【详解】（1）解：两个数相乘加，同号得正，异号得负，并把绝对值相加；一个数与0相“乘加”等于这个数的绝对值； 故答案为：正；负；相加；这个数的绝对值； （2）解：； ； 故答案为：；； （3）解：① ； ② ． 20．定义一种新的运算“※”：规定有理数a※，如：2※ (1)分别求4※和※的值，并猜想运算“※”是否具有交换律，请说明理由； (2)求※※的值． 【答案】(1)，，“※”不具有交换律，理由是见解析 (2) 【分析】（1）根据定义的新运算列式计算，然后猜想是否具有交换律并说明理由即可； （2）根据定义的新运算列式计算即可． 本题考查有理数的混合运算，理解题意并列得正确的算式是解题的关键． 【详解】（1）解：※ ， ※ ， 则“※”不具有交换律，理由是4※※； （2）解：※※ ※ ※ ※ 21．定义一种新运算：对于任意有理数都满足，例如：， (1)求的值： (2)计算：．（有括号先算括号） 【答案】(1)5 (2)2 【分析】本题考查了新定义，有理数的混合运算，理解新定义掌握运算法则是解题的关键． （1）原式利用题中的新定义计算即可求出值； （2）原式利用题中的新定义计算即可求出值． 【详解】（1） ； （2） ． 题型四 整式的加减运算 22．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（）合并同类项即可； （）先去括号，再合并同类项即可； 本题考查了整式的加减，掌握去括号和合并同类项法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 23．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减运算，熟练掌握整式加减的运算法则是解题的关键． （1）先去括号，再合并同类项即可； （2）先去括号，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 24．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的加减； （1）去括号后合并同类项即可； （2）去括号后合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 25．化简： (1) (2) 【答案】(1)； (2)． 【分析】此题主要考查整式的加减，解题的关键是熟知整式的加减运算法则． （1）先去括号，再合并同类项即可求解； （2）按照先去小括号，再去中括号，最后合并同类项即可． 【详解】（1）解： （2）解： ． 26．（1）化简：； （2）化简：． 【答案】（1） （2） 【分析】本题考查了整式的加减运算，去括号，合并同类项等知识点，解题关键是掌握去括号法则． （1）先去括号，再合并同类项； （2）先去括号，再合并同类项． 【详解】（1）解： （2） ． 27．化简． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的加减，熟练掌握整式加减的混合运算法则是解题的关键． （1）先去括号，再合并同类项，即可求解； （2）先去括号，合并同类项，即可求解． 【详解】（1）， ， ， ． （2）， ， ， ． 28．计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查整式的加减运算，掌握相关知识是解决问题的关键． (1) 合并同类项即可； (2) 先去小括号，再去中括号，然后合并同类项； (3) 合并同类项即可； (4) 先去括号，再合并同类项． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型五 整式加减中的化简求值 29．先化简，再求值：，其中． 【答案】，2 【分析】本题考查了整式的加减—化简求值，熟练掌握整式的加法、减法运算法则，掌握绝对值的性质、偶次方的性质，正确化简并求出、的值是解题的关键．先去括号合并同类项，再根据非负数的和为0确定、的值，最后代入求值． 【详解】解：原式， ，，， ，， ，， 原式． 30．先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 【分析】本题考查了整式的加减，代数求值等知识点，去括号，合并同类项，再代入求值即可． 【详解】解： ， 当，时， 原式． 31．先化简，再求值： (1)，其中，． (2)，其中，满足． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查整式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先去括号，再合并同类项得到化简结果，最后将x、y的值代入计算即可； （2）先去括号，再合并同类项得到化简结果，利用绝对值及平方的非负性得出，，最后将a、b的值代入计算即可． 【详解】（1）解： ， 当，时， 原式． （2） 由题意，得，， 解得，． 原式． 32．先化简，再求值：，其中，． 【答案】，3 【分析】根据去括号，合并同类项，正确化简，后转化为代数式的值计算即可． 本题考查了整式的加减的化简求值，正确化简是解题的关键． 【详解】解： ， 当时， 原式． 33．先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题主要考查整式的化简求值，将整式化简是解题的关键． 首先利用去括号、合并同类项将整式进行化简，再将x，y的值代入求值即可． 【详解】解： ， ∵，， ∴原式． 34．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了整式加减中的化简求值，熟练掌握运算法则是解题关键．先去括号，再计算整式的加减，然后将代入计算即可得． 【详解】解：原式 ． 将代入得：原式． 35．先化简，再求值：．其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先去括号，然后合并同类项化简，再根据非负数的性质求出x和y的值，代入化简后的式子求值即可． 【详解】解：原式 ， ， ，， ，， 原式 ． 题型六 整式加减中的无关型计算 36．若多项式化简后不含的三次项和一次项． (1)求、的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查整式加减中的无关问题与代数式求值，掌握整式的加减运算法则是解题关键． （1）将该多项式以x为主元，合并同类项后，不含某一项就意味着该项的系数为0，据此进行计算即可． （2）将m、n的值代入，按照有理数的乘方法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ， ， ∵化简后不含的三次项和一次项， ∴， 解得． （2）解：∵， ∴． 37．已知． (1)化简； (2)若的值与的值无关，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减． （1）将代入计算即可； （2）将原式化为，根据“值与的值无关”求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ∵的值与的值无关， ∴， 解得． 38．已知关于x的多项式，其中，若的结果与x的取值无关，求的值． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的加减运算的无关型问题，先理解题意，列式化简得，再结合的结果与x的取值无关，故解得，，即可作答． 【详解】解：∵， ∴ ， 的结果与x的取值无关， ． 39．已知，且． (1)求多项式； (2)若多项式的值与b的取值无关，求的值； (3)若a，b满足，且，求（1）中多项式的值． 【答案】(1) (2) (3)或41 【分析】本题考查了整式加减中的化简求值、以及无关型问题，熟练掌握整式加减的运算法则是解题关键． （1）将代入，先去括号，再计算整式的加减即可得； （2）根据多项式中含项的系数等于0求解即可得； （3）先求出或，再分别代入计算即可得． 【详解】（1）解：∵，且， ∴ ． （2）解：由（1）得：， ∵多项式的值与的取值无关， ∴， ∴． （3）解：∵， ∴，， ∵， ∴或， 由（1）得：， ∴将代入得：； 将代入得：； 综上，（1）中多项式的值为或41． 40．已知． (1)求； (2)若的值与的取值无关，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减，整式的加减中无关型问题，熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）先去括号，再合并同类项即可； （2）将A+mB进行去括号，合并为，代数式的值与y的取值无关，则，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）解：∵， ∴ ， ∵的值与的取值无关， ∴， ∴． 41．已知：． (1)计算：； (2)当时，求的值； (3)若的值与 y无关，求 x的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了整式的加减—化简求值，整式加减无关型，掌握去括号法则，合并同类项法则把整式正确化简是解决问题的关键． （1）把，代入，通过去括号、合并同类项化简即可求解； （2）再把，代入（1）中结果计算即可； （3）由（1）知，结合题意得出关于x的等式，即可求出x的值． 【详解】（1）解： ； （2）解：当，时， ； （3）解：由（1）知， 因为的值与y无关， 所以中，， 所以． 42．已知，． (1)化简代数式． (2)当，时，求代数式的值． (3)若的值与的取值无关，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查整式的化简求值． （1）先计算，再将，代入计算即可； （2）将，代入（1）中结果计算即可； （3）将原式化为，根据值与的取值无关计算即可． 【详解】（1）解： （2）解：当，时， （3）解： ∵值与的取值无关， ∴， ∴ 题型七 带有字母的绝对值化简计算 43．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示． (1)用“”“ ”或“”填： 0， 0； (2)求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了数轴、绝对值的性质、整式的加减，根据点在数轴上的位置判断代数式的正负性并能正确去掉绝对值符号是解题的关键． （1）根据数轴得出，，即可判断出各式的答案； （2）根据点在数轴的位置判断各代数式的正负，再利用绝对值的性质去掉绝对值符号，合并同类项即可． 【详解】（1）解：观察数轴得：， ∴， ∴，； 故答案为：，； （2）解：∵， ∴，，， ∴ ． 44．有理数，，在数轴上的位置如图所示． (1) 0； 0； 0；（填“”“”或“”） (2)化简：． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了数轴、绝对值的意义，合并同类项，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据有理数在数轴上的位置，确定它们的正负，进而判断它们的和与差的正负； （）先确定绝对值内式子的正负，根据绝对值的意义去绝对值，然后化简即可． 【详解】（1）解：由数轴可知，， ∴，，， 故答案为：，，； （2）解：由（）得，，，， ∴ ． 45．已知a，b，c在数轴上的位置如下图所示，则化简代数式． 【答案】 【分析】本题考查了数轴，绝对值的化简，整式的jiajian解题的关键是根据数轴确定、、的符号及绝对值内式子的正负，再利用绝对值的性质去符号化简． 由数轴得，且，判断出、、，再根据绝对值的性质去符号，合并同类项化简． 【详解】解：由数轴知，，且， ∴，，， 原式 ． 46．有理数，，在数轴上的位置如图． (1)比较大小（填“”或“”）： ______，______0，______0； (2)化简：． 【答案】(1)；；． (2) 【分析】本题考查了数轴上有理数的大小比较及绝对值的化简，解题的关键是根据数轴确定有理数的符号与绝对值的大小关系． （1）根据数轴上数的位置确定、、的符号与绝对值大小，进而比较（1）中各式的大小； （2）依据各式的符号去掉绝对值符号后合并同类项． 【详解】（1）解：由数轴得，且， ∴；；． 故答案为：；；． （2）解：由数轴知，，， ∴ 47．已知有理数，，，且 (1)如图，在数轴上将，，三个数填在相应的括号中； (2)化简：． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了整式的加减，数轴以及绝对值． （1）根据、、的范围，即可解答； （2）根据、、的取值范围，，，，根据绝对值的性质，即可解答． 【详解】（1）解：如图，有理数，，， ； （2）由（1）数轴图可知，，， ． 48．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示． (1)______0；______0；______（填“>”或“<”号）； (2)化简： 【答案】(1)<，>，< (2) 【分析】本题考查数轴表示数的意义和方法、绝对值、有理数的加减法，根据有理数在数轴上的位置，判断其符号和绝对值，以及相关代数式的符号是得出正确答案的关键． （1）根据有理数a，b，c在数轴上的位置，判断a、b、c的符号和绝对值，进而得到答案； （2）判断，，的符号，再化简即可． 【详解】（1）解：由有理数a，b，c在数轴上的位置，可得，，，， ，，， 故答案为：<，>，<； （2）解：由（1）可知，，，，， ． 49．学习了绝对值的概念后，我们可以认为：一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，即当时，，当时，．根据以上阅读回答下面的问题： (1)______； (2)______； (3)若有理数，则______； (4)请利用你探究的结论计算下面式子：． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】 此题考查了有理数减法，相反数，以及绝对值，熟练掌握运算法则是解本题的关键. （1）原式利用绝对值的代数意义计算即可求出值; （2）原式利用绝对值的代数意义计算即可求出值; （3）判断的正负，利用绝对值的代数意义计算即可求出值； （4）原式利用绝对值的代数意义化简，计算即可求出值. 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）， 故答案为：； （3） ∵, 即, ∴， 故答案为：； （4） 原式． 题型八 角度四则运算 50．计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角度的四则运算，熟练掌握运算法则和正确进行度、分、秒之间的换算是解题的关键． （1）根据度分秒的减法法则计算即可求解； （2）根据度分秒的乘法和加法法则计算即可求解； 【详解】（1）解： （2）解：． 51．计算：（结果用度、分、秒表示） (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题是考查了角度制中的度分秒计算，解题关键是掌握度分秒是六十进制． （1）（2）根据度分秒的计算方法进行计算即可． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． 52．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角度的和差计算，度分秒的换算． （1）根据度分秒的计算方法进行计算即可； （2）根据度分秒的计算方法进行计算即可． 【详解】（1）解：， （2）解：． 53．计算 (1)； (2)； (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了度分秒的加、减、乘、除运算，解题的关键在于要注意度分秒是60进制． （1）先借化为分和秒，然后同一单位分别相减即可得解； （2）每一个单位分别乘以4，分、秒超出60的部分向上一个单位进1即可； （3）从度开始计算，余数乘以60继续除以3进行计算即可得解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： 余 ， 所以，． 54．计算题： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了角的计算． （1）根据题意用度、分、秒分别相减，注意度、分、秒之间的进制都是60进制，小单位不够减，需要向上一级单位借1，即可求解； （2）由题意先算乘除，再算加减，注意度、分、秒之间的进制都是60进制，小单位满60需要向上一级单位进1，即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：． 55．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查角的四则运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）根据角的四则运算法则求解即可； （2）根据角的四则运算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 56．计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了度分秒的四则运算，掌握度、分、秒之间的进制关系，按照运算顺序进行计算是解题的关键． （1）根据角的四则运算法则求解即可； （2）根据角的四则运算法则求解即可； （3）根据角的四则运算法则求解即可； （4）根据角的四则运算法则求解即可； 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式． （4）解：原式． 题型九 解一元一次方程 57．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，熟知解一元一次方程的步骤是解题的关键． （1）按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可； （2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可． 【详解】（1）解： 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得； （2）解： 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得． 58．解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的基本步骤，先去分母，再去括号，然后移项合并同类项，最后未知数系数化为1即可． （1）先移项，再合并同类项，最后未知数系数化为1即可； （2）先去括号，然后移项合并同类项，最后未知数系数化为1即可； （3）先去分母，再去括号，然后移项合并同类项，最后未知数系数化为1即可； （4）先去分母，再去括号，然后移项合并同类项，最后未知数系数化为1即可． 【详解】（1）解：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； （2）解：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：； （3）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：； （4）解：， 原方程可变为：， 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：． 59．解方程：． 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次方程，掌握一元一次方程的解法和步骤是解题关键．依次去分母、去括号、移项、合并同类项，即可解方程． 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 解得：． 60．解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元一次方程，熟记一元一次方程的解法步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1是解决问题的关键． （1）先移项、再合并同类项，最后系数化为1即可得到答案； （2）通过去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可得到答案． 【详解】（1）解：， 移项得， 合并同类项得， ； （2）解：， 去分母得， 去括号得， 化简得， 移项得， 合并同类项得， ． 61．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． （1）先去括号，再移项、合并同类项，最后将系数化为1即可； （2）先去分母计算，再去括号，然后移项、合并同类项，最后将系数化为1即可． 【详解】（1）解： 去括号得 移项得 合并同类项得 系数化为1得； （2）解： 去分母得 去括号得 移项得 合并同类项得 系数化为1得． 62．解方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的步骤． （1）按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可； （2）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可． 【详解】（1）解： 解得； （2）解： 解得． 63．解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先将原方程去分母变形，然后再根据解一元一次方程的方法：移项，合并同类项，将系数化为1求解即可； （2）先将原方程去分母变形，然后再根据解一元一次方程的方法：去括号，移项，合并同类项，将系数化为1求解即可． 本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的方法是解题的关键． 【详解】（1）解：， 整理，得，即， 移项、合并同类项，得， 将系数化为1，得； （2）解：， 整理，得， 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 将系数化为1，得． 题型十 一元一次方程的含参计算 64．两个关于的方程，方程的解比方程的解小4，求的值． 【答案】2 【分析】本题主要考查的是方程的解的定义，解一元一次方程，理解方程解的含义并列出关于a的一元一次方程是解题的关键． 先分别解出两个方程的解，然后根据题意列出关于a的一元一次方程并解答即可． 【详解】解：解方程得，， 解方程得，， ∵方程的解比方程的解小4， ∴， 解得． 65．若关于x的方程与均无解，求代数式的值． 【答案】9 【分析】本题考查了一元一次方程的解的情况求参数，代数式求值，先根据方程与均无解，求出m，n的值，再将m，n代入式子求解即可 【详解】解： 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 因为方程无解， 所以， 所以，． 解方程， 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 因为方程无解， 所以， 所以， 所以 66．已知关于x的多项式，(m，n为常数)． (1)若代数式的值与x无关，求的值． (2)若为关于x的一元一次方程，当方程的解为时，求m，n的值． 【答案】(1)6 (2)， 【分析】本题考查了已知字母的值求代数式的值，整式加减中的无关型问题，已知一元一次方程的解求参数等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）先化简，根据代数式的值与x无关，得到关于m，n的方程求解，再代入求值； （2）先化简，根据为关于x的一元一次方程，得到且，得到方程为，再当方程的解为时，求得n即可． 【详解】（1）解：∵，(m，n为常数) ∴ ∵代数式的值与x无关， ∴，， ∴，， ∴； （2）∵， ∴， 整理得， ∵为关于x的一元一次方程， ∴且， ∴且， 于是方程为， 当方程的解为时，， 解得：， 此时，满足一元一次方程． 综上，，． 67．已知代数式的值比代数式的值大1． (1)求的值； (2)小轩在解关于的一元一次方程去分母时，等号右边的没有乘3，因此求得方程的解为，求原方程正确的解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，方程的解的含义，熟练地解方程是解本题的关键． （1）根据题意，列出方程求解即可； （2）根据小轩的作法，将代入方程求出，然后再解一元一次方程即可． 【详解】（1）解：由题意可得方程：， 解得：； （2）解：小轩去分母时，方程变为， 把代入得：， 解得． 则原方程为， 解得：． 68．已知是关于x的一元一次方程． (1)求a的值，并求解上述一元一次方程； (2)若上述方程的解是关于x的方程的解2倍，求k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元一次方程的解，一元一次方程的定义和绝对值等知识点，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键． （1）根据一元一次方程的定义得出，，求出，得出方程为，再根据等式的性质求出方程的解即可； （2）先解出，代入即可解答． 【详解】（1）解：由题意得：，， 且， ， 将代入方程，得 ， 解得 ， 答：a的值是，方程的解是； （2）由题意得：， 将代入方程．得 ， 解得：， 答：k的值是2． 69．已知关于x的方程的解与关于x的方程的解互为相反数．求m的值． 【答案】 【分析】先分别求出两个方程的解，第一个方程直接求解，第二个方程去分母后求解，再根据解互为相反数列出关于m的方程求解． 本题考查了解一元一次方程，方程的解，相反数，熟练掌握解方程，相反数的定义是解题的关键． 【详解】解：∵ 方程 ， ∴, 整理，得 故， 解得． 由， 去分母，得， 移项得：， 整理，得 解得． ∵ 两方程的解互为相反数， ∴， ∴， ∴． 故． 70．小明在解关于x的方程 去分母时，方程右边的“”没有乘6，从而求得的解为 ． (1)请求出a的值； (2)求出原方程正确的解． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了解一元一次方程，正确移项合并同类项是解题关键． （1）根据题意把x的值代入进而得出答案a的值； （2）再把a的值代入解方程即可． 【详解】（1）解：根据小明错误的解法，方程两边同乘6（右边未乘）得： ， 将代入得：， 解得 ； （2）解：原方程为， 去分母（两边同乘6）得：， 去括号得： 移项合并得：． 题型十一 一元一次方程的整数解计算 71．已知关于x的一元一次方程（其中m为常数）， (1)佳佳同学在解这个方程时，去分母时忘记给左边的乘以6，最终解的，求这个方程正确的解． (2)若该方程的解为整数，且m为整数，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，熟练掌握解方程的步骤是解题的关键． （1）先将代入，求出m的值，然后代入求解即可； （2）根据解一元一次方程的步骤求出，再根据已知得的值可能为，，1，2，进而即可得出m的值． 【详解】（1）解：根据题意，将代入， 得， 解得， 将代入， 得， 解得； （2） 去分母：， 去括号：， 移项、合并同类项：， 系数化为1：， 该方程的解为整数，且m为整数， 的值可能为，，1，2， m的值可能为：0，1，3，4． 72．若关于的方程的解为大于4的整数 ，求整数的值 【答案】3或5 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，已知方程的解求参数，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键． 先解方程得到，再根据方程的解大于4且为整数即可求解． 【详解】解：， 解得， ∵都是整数， ∴为15的因数． ∴， 又∵， ∴=1或3， ∴或5． 73．已知关于x的一元一次方程的解为正整数，且满足条件的所有整数a的和为m，求m的值． 【答案】3 【分析】本题考查一元一次方程的解及其整数解条件下的参数分析．首先需要将方程化为标准形式，解出x关于a的表达式；然后根据解为正整数的条件，分析参数a的取值范围，并找出所有满足条件的整数a，最后求这些整数的和m． 【详解】解：， ∴， 解为正整数，即为正整数， ∴为的正因数， ∴，得出，，得出， 所有整数a的和为m， ∴． 74．【程序】有一种整式处理器，能将“二次多项式”处理成“一次多项式”．处理方法是：将二次多项式的二次项系数与一次项系数的和作为一次多项式的一次项系数，将二次多项式的常数项作为一次多项式的常数项，例如多项式经过处理器得到，如图所示． 【应用】若关于的二次多项式经过处理器得到，根据以上方法，解决下列问题： (1)填空：若，则___________； (2)若，求关于的方程的解； (3)若，且方程的解是负整数，求整数的值． 【答案】(1) (2) (3)整数的值为或 【分析】本题考查了新定义运算，整式的加减运算，一元一次方程，根据题意列出一次多项式是解题的关键． （1）根据题意进行计算即可求解； （2）根据题意，得出，进而解方程即可求解； （3）根据，求出，联立求出，最后根据是关于的二次多项式，得出，进而即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，， 故答案为：； （2）解：由题意得，， 当时， ， 解得； （3）解：由题意得，， ∵， ∴ ， 解得， ∵是负整数， ∴是7的负因数（7的负因数为、)， 当时，， 此时（符合负整数)； 当时，， 此时（符合负整数)， 同时，A是二次多项式，故，上述m值均满足． 综上所述，整数的值为或． 75．已知关于的整式，整式，若是常数，且的值与无关． (1)求的值； (2)若为整数，关于的一元一次方程的解是正整数，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的加减、代数式求值、解一元一次方程等知识点，熟练掌握去括号与合并同类项法则是解本题的关键． （1）将M和N代入，然后利用整式的加减运算法则化简，然后让x的系数为0，得到关于a的方程求解即可； （2）解一元一次方程可得，由方程的解是正整数，即也是正整数，再结合为整数可得，最后将、代入代数式求值即可． 【详解】（1）解：，， 的值与无关， ，解得：． （2）解：∵ ∴， ， 方程的解是正整数， 是正整数，即， 为整数， ， ． 76．已知关于x的方程． (1)若，求该方程的解； (2)某同学在解该方程时，误将“”看成了“”，得到方程的解为，求m的值； (3)若该方程有正整数解，求整数m的最小值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查同解方程、一元一次方程的解法、求代数式的值，解题时要能读懂题意并列出方程是解题的关键． （1）依据题意得，当时，方程为，求解即可； （2）依据题意，由误将“”看成了“”，得到方程的解为，可得，再解关于的方程即可； （3）依据题意，由，可得，再结合取正整数，从而为的正因数，又取最小值，进而得解； 【详解】（1）解：当时，方程为， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵误将“”看成了“”，得到方程的解为， ∴是方程的解， ∴， 解得：， ∴的值为； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵取正整数， ∴为的正整数倍数． 又∵取最小值， ∴， ∴， ∴的值为． 77．已知关于的方程，其中．求所有整数的值，使得该方程的解为正整数，并求此时方程的解． 【答案】当时，方程的解为或当时，方程的解为 【分析】本题考查解一元一次方程，先求得原方程的解为：，再利用要使为整数，且该方程的解为正整数，得出或，求得，再取值求解即可． 【详解】解：方程， 解得：， 要使为整数，且该方程的解为正整数， 则或， 则或， 当时，方程的解为，符合题意； 当时，方程的解为，符合题意； 综上所述，当时，方程的解为或当时，方程的解为． 题型十二 一元一次方程解的关系 78．若关于的方程和的解相同，求和的值． 【答案】， 【分析】本题考查一元一次方程的解，解一元一次方程，绝对值和偶次方的非负性，熟练掌握以上知识点是关键． 解第二个方程，求出的值，代入第一个方程，得到相关等式，再根据绝对值和偶次方的非负性求解即可． 【详解】解： ， 把代入， 可得， ， 解得，． 79．已知关于的方程与方程的解相同，求的值． 【答案】2 【分析】本题考查了同解方程，掌握同解方程的定义是关键．求出方程的解，代入方程即可求得的值． 【详解】解：， ， ， 因为关于的方程与方程的解相同， 所以把代入得， ， 解得， 的值为2． 80．已知关于x的方程的解与的解相同，求的值． 【答案】3 【分析】本题考查了同解方程的定义，掌握同解方程的定义，得出的值是解题的关键． 先解不含参数的一元一次方程，将解代入含参数的一元一次方程，即可求出的值． 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项、合并同类项得：． 将代入得： ， ， ． 81．关于x的方程与的解互为相反数，求的值． 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次方程，相反数的定义，根据题意得出关于的一元一次方程的是解题关键．先解关于x的方程，再根据两个方程的解互为相反数，得到关于的一元一次方程，求解即可． 【详解】解：解方程得：， 与的解互为相反数， ， 解得． 82．已知关于x的方程与方程的解互为相反数，求m的值． 【答案】4 【分析】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，分别求出两个方程的解，再根据两个方程的解互为相反数，得到关于m的方程，即可求解． 【详解】解：解方程，得， 解方程，得， ∵关于x的方程与方程的解互为相反数， ∴， 解得， ∴m的值为4． 83．已知方程和方程的解相同，求m的值． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次方程；先求出的解，再将解代入即可求出m的值. 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵方程和方程的解相同， ∴把代入得：， ∴， ∴. 84．关于的方程与的解互为相反数，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查一元一次方程解的综合应用；先把两个方程的解表示出来，再根据相反数的定义，让两个解相加等于0，计算求解即可． 【详解】解： ， ， ， ， ∵解互为相反数， ∴ ， ， ． 题型十三 一元一次方程的新定义运算 85．对于任意有理数，定义新运算：．例如：． (1)求的值； (2)若（x为有理数），求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元一次方程，有理数的混合运算，利用新定义法则将待求项转化为一元一次方程是解题的关键． （1）利用新定义法则进行计算即可； （2）利用新定义法则将待求项转化为一元一次方程，再利用解一元一次方程的一般步骤进行求解即可． 【详解】（1）根据题意可知，． （2）因为 ． 因为，即， 整理，得， 解得． 86．定义：如果两个一元一次方程的解相同，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)若关于的方程与方程是“美好方程”，求的值； (2)若无论取任何有理数，关于的方程（、为常数）与方程为“美好方程”，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法，理解“美好方程”的定义是解题的关键． （1）表示出和的解，再根据“美好方程”的定义列式即可． （2）先求出两个方程的解，再根据“美好方程”的定义得到，根据题意可得，可求出，进而求出，即可求解． 【详解】（1）解： 解得， 解得， 关于的方程与方程是“美好方程”， ， 解得； （2） 解得， 解得， 关于的方程（、为常数）与方程为“美好方程”， ，即， 无论取任何有理数，关于的方程（、为常数）与方程为“美好方程”， ， 解得， ， 解得， ． 87．定义：两数之和等于两数之积的两个数称为“友好数”．例如：有理数与3， 因为，所以与3互为“友好数”． (1)①判断与2是否互为“友好数”，并说明理由：②4与___________互为“友好数”； (2)若有理数与互为“友好数”，与互为相反数，求代数式的值． 【答案】(1)①不是，理由见解析；② (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算，根据式子的值求代数式值； （1）①根据友好数的定义判断即可；②根据友好数的定义，建立方程求解即可； （2）由题意可得，代入，化简后即可得出结果. 【详解】（1）解：（1）①与2不是互为“友好数”，理由如下： ∵，， ∵， ∴与2不互为“友好数”. ②设4与x互为“友好数” 由题意得 解得：， 故答案为：； （2）解：∵有理数m与n互为“友好数”， ∴， 又∵n与p互为相反数， ∴，即， ∴ 将，代入上式得： ． 88．新定义：若关于x的一元一次方程的解是，一个关于y的方程有解满足，则称关于y的方程为这个一元一次方程的“景元方程”．例如：一元一次方程的解是，方程的所有解是或，当时，，以为一元一次方程的“景元方程”． (1)已知关于y的方程：①，②，以上哪个方程是一元一次方程的“景元方程”？请直接写出正确的序号______． (2)若关于y的方程是关于x的一元一次方程的“景元方程”，请求出a的值； (3)如关于y的方程是关于x的一元一次方程的“景元方程”，请直接写出的值． 【答案】(1)② (2)95或97 (3)16 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是理解题目中定义的“景元方程”，通过解一元一次方程的方法求解． （1）先求出一元一次方程的解，再解方程和，根据“景元方程”的定义去判断； （2）解出方程的解，一元一次方程的解是，分类讨论，令，求出a的值； （3）解一元一次方程，得，由，得到，把它代入关于y的方程即可求出结果． 【详解】（1）解：一元一次方程的解是， 方程的解是， ， ①不是“景元方程”，不符合题意； 方程的解是或， 当时，， ②是“景元方程”，符合题意， 故答案为：②； （2）解：∵方程， 即或， 解得或， 方程的解为或， 一元一次方程的解为， 若，， 则， 解得， 若，， 则， 解得， 综上，a的值是95或97； （3）解：方程， 解得， ， ， ， ， ， ， 分母m不能为0， ， 即， ， ∴． 89．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程互为“阳光方程”．例如：的解为的解为，所以这两个方程互为“阳光方程”． (1)若关于的一元一次方程与是“阳光方程”，则_____． (2)已知两个一元一次方程互为“阳光方程”，且这两个“阳光方程”的解的差为5．若其中一个方程的解为，求的值． (3)已知关于的一元一次方程的解是，请写出解是的关于的一元一次方程：．（只需要补充含有的代数式）． 【答案】(1) (2)3或 (3)，（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，利用同解方程的意义解答是解题的关键，本题是新定义型，理解并熟练应用新定义解答也是解题的关键． （1）首先求出两个方程的解，然后根据题意列方程求解即可； （2）根据题意得到或，进而求解即可； （3）根据题意得到的解是，，进而求解即可． 【详解】（1）解：解，得； 解，得； ∵关于x的一元一次方程与是“阳光方程”， ∴ 解得； （2）∵“阳光方程”的一个解为，则另一个解为， ∵这两个“阳光方程”的解的差为5， 则或， 解得或． 故k的值为3或； （3）∵关于x的一元一次方程的解是， ∴的解是， ∵，则， 则的解是， 即：的解是， 故答案为：，． 90．定义：关于x的方程与方程（a，b均为不等于0的常数）称为互为“反对方程”，例如：方程与方程互为“反对方程”． (1)若关于x的方程与方程互为“反对方程”，则_______． (2)若关于x的方程与方程互为“反对方程”，求的值． (3)若关于x的方程与其“反对方程”的解都是整数，求整数c的值． 【答案】(1)6 (2) (3) 【分析】本题考查一元一次方程，理解新定义是解题的关键． （1）根据“反对方程”的定义求解； （2）根据“反对方程”的定义求出m和n的值，进而求积即可； （3）根据“反对方程”的定义写出方程的“反对方程”，求出两个方程的解，根据它们的解均为整数， 可得答案． 【详解】（1）解：∵方程与方程互为“反对方程”， 根据定义，的“反对方程”应为， ∴， 故答案为：6； （2）解：∵方程与方程互为“反对方程”， 即方程与方程互为“反对方程”， ∴，， ∴，， ∴； （3）解：方程的“反对方程”为， 解得：， 解得：， 方程与其“反对方程”的解都是整数， ∴是5的倍数，也是5的因数， ∴． 91．定义：如果两个一元一次方程的解之和为2，我们就称这两个方程为“和谐方程”．例如，方程的解为，方程的解为，两个解之和为2，所以它们是“和谐方程”． (1)请判断方程与方程是否为“和谐方程”； (2)若关于x的方程与方程为“和谐方程”，求m的值． (3)若关于x的方程与为“和谐方程”，请直接写出关于y的方程的解． 【答案】(1)方程与方程不是“和谐方程” (2) (3) 【分析】本题考查解一元一次方程，根据方程的解求参数的值，熟练掌握新定义是解题的关键： （1）求出两个方程的解，根据新定义进行判断即可； （2）求出两个方程的解，根据新定义，得到关于m的方程，进行求解即可； （3）根据新定义求出的解，换元法求出的值即可． 【详解】（1）解：由，得； 由，得：， ∵； ∴方程与方程不是“和谐方程”； （2）由，得， 由，得， 由题意，，解得； （3）由，得， ∵关于x的方程与为“和谐方程”， ∴方程的解为， ∴关于y的方程的解， ∴． 1．（24-25七年级上·安徽·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的化简求值． 先合并同类项，再将，代入化简结果计算即可． 【详解】解：， ∵，， ∴原式． 2．（24-25七年级上·安徽芜湖·期末）计算 【答案】 【分析】本题主要考查了度分秒的加法运算，熟练掌握度分秒的进制（，）是解题的关键．将度、分、秒分别相加，若秒的和满，则向分进；若分的和满，则向度进． 【详解】解： ． 3．（24-25七年级上·安徽滁州·期末）解方程： 【答案】 【分析】本题主要考查一元一次方程的解法，熟练掌握一元一次方程的解法是解题关键． 先去分母，然后去括号，再进行求解方程即可． 【详解】解∶将原方程去分母得∶， 去括号，得∶， 移项，合并同类项得∶， 系数化为1得： ． 4．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】本题考查了整式的化简求值，正确化简并代值计算是解决本题的关键． 先去括号再合并同类项化简整式，再将代入求解即可． 【详解】解： ， 当时， 原式． 5．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）已知代数式．． (1)化简：； (2)若的值与的取值无关，求的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查了整式的运算． （1）先化简表达式，得到，再代入和的表达式计算； （2）先计算，得到，由于其值与无关，令的系数为零，即，求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ∵的值与的取值无关， ∴， ∴． 6．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）已知：，． (1)求（结果要求化为最简）； (2)如果，求的值是多少？ 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）把与代入中，去括号合并即可得到结果； （）利用非负数的性质求出与的值，代入计算即可求出结论； 本题考查了整式的加减﹣化简求值，以及非负数的性质，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，． ∴ ； （2）解：∵， ∴，， ∴，， ∴原式 ． 7．（24-25七年级上·安徽六安·期末）已知：． (1)计算：； (2)若满足，求（1）中代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减运算中的化简求值，掌握“去括号，合并同类项的法则”是解题的关键． （）先去括号，再合并同类项即可得到答案； （）先由，求出，，然后代入即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵ ∴， ∴， ∴ ． 8．（23-24七年级上·安徽芜湖·期中）对于有理数a、b，定义新运算：“”，． (1)计算：________；________； ________（填“>”或“=”或“<”）； (2)我们知道：有理数的加法运算和乘法运算满足交换律，那么，由（1）计算的结果，你认为这种运算：“”是否满足交换律？若满足，请说明理由；若不满足，请举例说明． 【答案】(1)，， (2)满足交换律，理由见解析 【分析】本题考查有理数的混合运算，新定义，理解新定义是关键． （1）按照题中新定义的运算进行计算即可作出判断； （2）就一般情况根据新定义进行计算即可． 【详解】（1）解：∵，； ∴； ∵，， ∴； ∵，； ∴； 故答案：，， （2）解：运算：“”满足交换律 理由如下： 由新定义知：，， ∴， 表明运算“”满足交换律． 9．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）定义：对于确定位置的三个数：a，b，c，计算，，，将这三个数的最小值称为a，b，c的“分差”，例如，对于1，，3，因为，，，所以1，，3的“分差”为． (1)，1的“分差”为______； (2)调整“，1”这三个数的位置，得到不同的“分差”，那么这些不同“分差”中的最大值是______； (3)调整，6，x这三个数的位置，得到不同的“分差”，若其中的一个“分差”为2，求x的值． 【答案】(1) (2) (3)或8 【分析】（1）根据题中意思分别求出三个数，然后比较大小即可得出答案； （2）先给这三个数进行排序，分别求出其中的分差，然后比大小即可得出答案． （3）根据题意可得三个数的顺序不能是，6，x和，x，6和x，，6，然后分类讨论，即可得出答案． 【详解】（1）解：根据题意可得：，，， ， ，，的“分差”为， 故答案为：； （2）①这三个数的位置为：，，时，根据（1）中所求“分差”为； ②这三个数的位置为：，，时， 则，，， ， ，，的“分差”为； ③这三个数的位置为：，，时， 则，，， ， ，，的“分差”为； ④这三个数的位置为：，，时， 则，，， ， ，，的“分差”为； ⑤这三个数的位置为：，，时， 则，，， ， ，，的“分差”为； ⑥这三个数的位置为：，，时， 则，，， ， ，，的“分差”为； ， 这些不同“分差”中的最大值为． （3）∵“分差”为2，， ∴三个数的顺序不能是，6，x和，x，6和x，，6 ①， ∴，，， 若，得，，不符合题意； 若，得，不符合题意； ②， ∴，，， 若，得，，不符合题意； 若，得，，符合题意； ③， ∴，，， 若，得，，符合题意； 若，得，，不符合题意； 综上所述，x的值为或8． 【点睛】本题考查了新定义以及有理数的混合运算，有理数的大小比较，解题关键是理解什么叫做“分差”． 10．（25-26七年级上·安徽亳州·月考）定义一种新的运算，观察下列各式： ；；；． (1)根据你观察到的规律，计算：__________； (2)若，请计算的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了新定义理解，观察式子总结出规律是解决本题的关键；本题规律为：“第1个数”加“第2个数的3倍”，根据规律求解即可． （1）根据规律计算即可； （2）先根据可得，再代入计算即可． 【详解】（1）解：； 故答案为：； （2）观察新运算的规律，得， 因为， 所以， 化简，得， 所以． 11．（24-25七年级上·安徽芜湖·期末）解方程： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键： （1）去括号，移项，合并，系数化为1，进行求解即可； （2）去括号，移项，合并，系数化为1，进行求解即可； （3）去分母，去括号，移项，合并，系数化为1，进行求解即可； （4）将原方程化为，再去括号，移项，合并，系数化为1，进行求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2） ， ， ， ； （3）， ， ， ， ， ； （4）， ， ， ， ， ． 12．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期末）一般情况下不成立，但有些数可以使得它成立，例如：．我们称使得成立的一对数a，b为“相伴数对”，记为． (1)若是“相伴数对”，求b的值； (2)写出一个“相伴数对”，其中，且； (3)若是“相伴数对”，求代数式的值． 【答案】(1) (2)（答案不唯一） (3) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，整式的化简求值，等式的性质，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题意可得方程，解方程即可得到答案； （2）根据可推出，据此求解即可； （3）由（2）可得，再把所求式子去括号，然后合并同类项化简，再把代入化简结果中计算求解即可． 【详解】（1）解：∵是“相伴数对”， ∴，即， 解得； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴当时，， ∴满足题意的“相伴数对”可以为； （3）解：∵是“相伴数对”， ∴由（2）可知， ∴ ． 1．（24-25七年级上·安徽芜湖·期末）综合与实践 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制．也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数．例如：就是二进制数的简单写法，十进制数一般不标注基数．表示这个进制数从右起，第一位上的数字为，第二位上的数字为，第三位上的数字为．一个数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式．例如十进制数当．同理，二进制数转换为十进制数为．一个十进制数转换为进制数时，把十进制数表示成与基数的幂的乘积之和的形式．例如，将十进制数转换为八进制数，因为，所以，所以转换为八进制数为． 根据上述材料，解答下列问题． (1)将二进制数转换为十进制数； (2)将十进制数转换为七进制数； (3)一个四进制数转换为十进制数为，其中为整数，且3，若能被整除，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，理解题目的意思是解题的关键． （1）根据题意理解二进制转换十进制数的方法，进行有理数运算即可得到答案； （2）根据十进制转换为七进制的方法列式计算即可； （3）先将四进制数转十进制得到的表达式，再利用“能被 3 整除”的数的性质求解． 【详解】（1）解： ； 将二进制数转换为十进制数为； （2）解：∵， ∴， ∴将十进制数转换为七进制数为； （3）解：由题意得，， ∵，为整数， ∴能被整除， ∴能被整除， ∵为整数，且， ∴， ∴． 2．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）阅读材料，回答问题． 类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．阅读感知：在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如： ，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项．类似地，对于可以用裂项的方法变形为：．类比上述方法，解决以下问题． 【类比探究】（）计算：______； 【理解运用】（）类比裂项的方法，计算：； 【迁移应用】（）探究并计算：． 【答案】（）；（）；（） 【分析】（）利用裂项法解答即可求解； （）把算式转化为，再利用裂项法解答即可求解； （）用裂项的方法变形为，进而计算即可求解； 本题考查了有理数的混合运算，掌握裂项法是解题的关键． 【详解】解：（）， 故答案为：； （） ； （） ． 3．（24-25七年级上·安徽六安·期末）【阅读与理解】 整体思想是数学的一种思想方法．例如的值为，求代数式的值．嘉琪同学采用的方法如下： 由题意得，则有． ∴． 【学以致用】 （1）若，则______． （2）若代数式的值为，求代数式的值． 【拓展与提高】 （3）若，，求代数式的值． 【答案】（1）5；（2）；（3） 【分析】本题考查了整式的加减、代数式求值，解决本题的关键是运用整体代入法． （1）将代入到即可求解； （2）由，得，将其代入中即可求解； （3）由题意得，进而即可求解． 【详解】解（1）：， ， 故答案为：5； （2）由题意得：， ∴原式 ， 则代数式的值为； （3）由题意得： ， ∴代数式的值为． 4．（24-25七年级上·安徽池州·期末）【阅读中思考】 设是不为0和1的有理数，我们把1与的倒数的差，即称为的倒数差，如：2的倒数差是，的倒数差是． 【探索中理解】 若，是的倒数差，是的倒数差，是的倒数差，…，以此类推． （1）先写出计算，，的算式，在求出它们的值． （2）求的值为____________．（直接写出答案） 【应用拓展】 设，，都是不为0和1的有理数，将一个数组中的数分别按照材料中“倒数差”的定义作变换，第1次变换后得到数组，第2次变换后得数组，…，第次变换后得到数组． （3）若数组确定为． 则的值为_____________．（直接写出答案） 【答案】（1）；；；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算、数字规律等知识点，正确运用有理数的混合运算法则计算并发现规律成为解题的关键． （1）根据“倒数差”的定义列式计算即可； （2）先根据“倒数差”的定义列式计算，，，然后求和即可； （3）先根据“倒数差”的定义列式计算发现规律，然后运规律解答即可． 【详解】解：（1）；；． （2）；；； 所以． 故答案为：． （3）∵数组确定为， ∴第1次变换后，，，即第1次变换后得到数组， 第2次变换后，，，即第1次变换后得到数组； 第3次变换后，，，即第1次变换后得到数组； 同理可得：，，…… ∴， ； ； ∴ ． 5．（24-25七年级上·安徽黄山·期末）【定义】若关于的一元一次方程的解满足，则称该方程为“友好方程”，例如，方程的解为，因为，所以有：，即，则方程为“友好方程”． 【运用】 (1)①，②，③三个方程中，为“友好方程”的是 （填写序号）； (2)若关于的一元一次方程是“友好方程”，求的值； (3)若关于的一元一次方程是“友好方程”，且它的解为，求与的值． 【答案】(1)① (2) (3)， 【分析】本题考查了一元一次方程的解，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键． （1）先根据等式的性质求出每个方程的解，再根据“友好方程”的定义逐个判断即可； （2）先根据等式的性质求出方程的解，再根据“友好方程”的定义得出，再求出即可； （3）先把代入方程，求出，求出，依题意得出，再求出答案即可． 【详解】（1）解：①， ， ， ①为“友好方程”； ②， ， ， ②不是“友好方程”； ③， ， ， ③不是“友好方程”． 故答案为：①； （2）解：， 解得：， 关于的一元一次方程是“友好方程”， ， ， ， ， ； （3）解：是关于的一元一次方程的解， ， 解得：， 依题意得：，， ， ， ． 6．（24-25七年级上·安徽芜湖·期末）定义：如果两个一元一次方程的解之和为0，我们就称这两个方程为“互补方程”．例如：方程和为“互补方程”． (1)方程与方程______“互补方程”（填“是”或“不是”）． (2)若关于的方程与方程是“互补方程”，求的值． (3)若关于的方程与是“互补方程”，求的值． 【答案】(1)是 (2) (3) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程， （1）分别求得两个方程的解，再利用“互补方程”的定义进行判断即可； （2）分别求得两个方程的解，利用“互补方程”的定义列出关于 的方程解答即可； （3）分别求得两个方程的解，利用“互补方程”的定义列出关于的方程，求得的值即可． 【详解】（1）由，解得； 由，解得． ， 方程与方程是“互补方程”． 故答案为：是； （2）由，解得； 由解得． 关于的方程与方程是“互补方程”， ， 解得． （3）由，解得； 由，解得； 关于的方程与是“互补方程”， ， 解得． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 完成时间： 月 日 天气： 拓展寒假作业 计算题专项训练 一、有理数的运算 1 ．法则： （1）加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．③一个数同0相加，仍得这个数． （2）减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数．即a-b=a+(-b) ． （3）乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．②任何数同0相乘，都得0． （4）除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即a÷b=a·(b≠0) ． （5）乘方运算的符号法则：①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；②正数的任何次幂都是正数，0的任何非零次幂都是0． (6)有理数的混合运算顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行； ③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 2．运算律： （1）交换律: ① 加法交换律:a+b=b+a；②乘法交换律:ab=ba； （2）结合律: ①加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)； ②乘法结合律：（ab）c=a(bc) （3）分配律：a(b+c)=ab+ac 二、整式的加减 1．同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项．所有的常数项都是同类项． 要点诠释：辨别同类项要把准“两相同，两无关”： （1）“两相同”是指：①所含字母相同；②相同字母的指数相同； （2）“两无关”是指：①与系数无关；②与字母的排列顺序无关． 2．合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项． 要点诠释：合并同类项时，只是系数相加减，所得结果作为系数，字母及字母的指数保持不变． 3．去括号法则：括号前面是“+”，把括号和它前面的“+”去掉后，原括号里各项的符号都不改变；括号前面是“-”，把括号和它前面的“-”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变． 4．添括号法则：添括号后，括号前面是“+”，括号内各项的符号都不改变；添括号后，括号前面是“-”，括号内各项的符号都要改变． 5．整式的加减运算法则：几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加、减号连接，然后去括号，合并同类项． 三、一元一次方程的解法 解一元一次方程的一般步骤： (1)去分母：在方程两边同乘以各分母的最小公倍数． (2)去括号：依据乘法分配律和去括号法则，先去小括号，再去中括号，最后去大括号． (3)移项：把含有未知数的项移到方程一边，常数项移到方程另一边． (4)合并：逆用乘法分配律，分别合并含有未知数的项及常数项，把方程化为ax＝b(a≠0)的形式． (5)系数化为1：方程两边同除以未知数的系数得到方程的解(a≠0)． (6)检验：把方程的解代入原方程，若方程左右两边的值相等，则是方程的解；若方程左右两边的值不相等，则不是方程的解． 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 有理数的四则混合运算 1．计算下列各小题． (1)； (2)． 2．计算： (1)； (2) 3．计算： 4．计算下列各题： (1) (2)； (3)； (4)． (5)． 5．计算： (1) (2) 6．计算： (1)； (2)． 7．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型二 有理数的简便运算 8．简便运算： (1) (2) 9．利用简便方法计算： (1)； (2)． 10．阅读第①小题的计算方法，再计算第②小题． ①． 解：原式 ． 上述这种方法叫作拆项法． ②仿照上面的方法计算：． 11．阅读下列的计算方法，解决问题： (1)． 解：原式． 上面这种方法叫拆项法．按这种方法，可将拆为_____，拆为______． (2)类比上述计算方法，请计算：． 12．阅读下面的材料，并完成相应任务． 计算：． 解：因为，，____①____，， 所以原式 ． 上面这种计算方法叫拆项法． 任务： (1)上述材料中，序号①的内容为________． (2)试用上述方法计算： ①________； ②． 13．项目式学习 项目背景 在有理数除法运算中，当除数是一个复杂的有理数的和差形式时，直接计算比较繁琐，可先求原式的倒数，再利用乘法分配律简化计算，最后取倒数得到结果． 学习目标 理解“倒数法”在有理数除法中的原理；熟练运用乘法分配律进行有理数乘法运算． 材料阅读 计算：． 解：原式的倒数： ， 故原式． 任务解决 用倒数法计算：． 14．阅读理解： 计算时，若把与分别各看作一个整体，再利用分配律进行运算，可以大大简化难度．过程如下： 解：设为，为， 则原式． 请用上面的方法计算： 题型三 有理数的新定义运算 15．定义新运算“”：，例如：． (1)计算：； (2)若，求x的值． 16．对于有理数、，定义运算：． (1)计算的值； (2)求的值； 17．【新定义】有理数的“加乘”运算，记作 有理数“加乘”法则 同号两数“加乘”，取相同的符号，并把绝对值相乘． 异号两数相“加乘”，绝对值相等时结果为0；绝对值不相等时，取绝对值较大数的符号，并把绝对值相乘． 一个数同0“加乘”，仍得0． 例如：；；；． 【观察入微】 （1）_____；_____； （2）计算：； 【见微知著】 （3）若，求的值； （4）若整数满足，求、的值． 18．对于实数，，定义关于“”的一种运算：．例如：． (1)求的值． (2)求的值． 19．对有理数，定义了一种新的运算，叫“乘加法”，记作“”．并按照此运算写出了一些式子： ，，， ，，， ，，… (1)根据以上式子特点将“乘加法”法则补充完整： 两个数相乘加，同号得______，异号得______，并把绝对值______；一个数与0相“乘加”等于______； (2)根据法则计算：______；______； (3)若括号的作用与它在有理数运算中的作用相同，请计算： ①；②． 20．定义一种新的运算“※”：规定有理数a※，如：2※ (1)分别求4※和※的值，并猜想运算“※”是否具有交换律，请说明理由； (2)求※※的值． 21．定义一种新运算：对于任意有理数都满足，例如：， (1)求的值： (2)计算：．（有括号先算括号） 题型四 整式的加减运算 22．计算： (1)； (2)． 23．计算： (1)； (2)． 24．计算： (1)； (2)． 25．化简： (1) (2) 26．（1）化简：； （2）化简：． 27．化简． (1)； (2)． 28．计算 (1) (2) (3) (4) 题型五 整式加减中的化简求值 29．先化简，再求值：，其中． 30．先化简，再求值：，其中，． 31．先化简，再求值： (1)，其中，． (2)，其中，满足． 32．先化简，再求值：，其中，． 33．先化简，再求值：，其中，． 34．先化简，再求值：，其中． 35．先化简，再求值：．其中． 题型六 整式加减中的无关型计算 36．若多项式化简后不含的三次项和一次项． (1)求、的值； (2)求的值． 37．已知． (1)化简； (2)若的值与的值无关，求的值． 38．已知关于x的多项式，其中，若的结果与x的取值无关，求的值． 39．已知，且． (1)求多项式； (2)若多项式的值与b的取值无关，求的值； (3)若a，b满足，且，求（1）中多项式的值． 40．已知． (1)求； (2)若的值与的取值无关，求的值． 41．已知：． (1)计算：； (2)当时，求的值； (3)若的值与 y无关，求 x的值． 42．已知，． (1)化简代数式． (2)当，时，求代数式的值． (3)若的值与的取值无关，求的值． 题型七 带有字母的绝对值化简计算 43．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示． (1)用“”“ ”或“”填： 0， 0； (2)求的值． 44．有理数，，在数轴上的位置如图所示． (1) 0； 0； 0；（填“”“”或“”） (2)化简：． 45．已知a，b，c在数轴上的位置如下图所示，则化简代数式． 46．有理数，，在数轴上的位置如图． (1)比较大小（填“”或“”）： ______，______0，______0； (2)化简：． 47．已知有理数，，，且 (1)如图，在数轴上将，，三个数填在相应的括号中； (2)化简：． 48．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示． (1)______0；______0；______（填“>”或“<”号）； (2)化简： 49．学习了绝对值的概念后，我们可以认为：一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，即当时，，当时，．根据以上阅读回答下面的问题： (1)______； (2)______； (3)若有理数，则______； (4)请利用你探究的结论计算下面式子：． 题型八 角度四则运算 50．计算： (1)； (2) 51．计算：（结果用度、分、秒表示） (1)； (2)． 52．计算： (1)； (2)． 53．计算 (1)； (2)； (3) 54．计算题： (1)； (2)． 55．计算： (1) (2) 56．计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 题型九 解一元一次方程 57．解方程： (1)； (2)． 58．解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 59．解方程：． 60．解下列方程： (1)； (2)． 61．解方程： (1)； (2)． 62．解方程 (1) (2) 63．解下列方程： (1)； (2)． 题型十 一元一次方程的含参计算 64．两个关于的方程，方程的解比方程的解小4，求的值． 65．若关于x的方程与均无解，求代数式的值． 66．已知关于x的多项式，(m，n为常数)． (1)若代数式的值与x无关，求的值． (2)若为关于x的一元一次方程，当方程的解为时，求m，n的值． 67．已知代数式的值比代数式的值大1． (1)求的值； (2)小轩在解关于的一元一次方程去分母时，等号右边的没有乘3，因此求得方程的解为，求原方程正确的解． 68．已知是关于x的一元一次方程． (1)求a的值，并求解上述一元一次方程； (2)若上述方程的解是关于x的方程的解2倍，求k的值． 69．已知关于x的方程的解与关于x的方程的解互为相反数．求m的值． 70．小明在解关于x的方程 去分母时，方程右边的“”没有乘6，从而求得的解为 ． (1)请求出a的值； (2)求出原方程正确的解． 题型十一 一元一次方程的整数解计算 71．已知关于x的一元一次方程（其中m为常数）， (1)佳佳同学在解这个方程时，去分母时忘记给左边的乘以6，最终解的，求这个方程正确的解． (2)若该方程的解为整数，且m为整数，求m的值． 72．若关于的方程的解为大于4的整数 ，求整数的值 73．已知关于x的一元一次方程的解为正整数，且满足条件的所有整数a的和为m，求m的值． 74．【程序】有一种整式处理器，能将“二次多项式”处理成“一次多项式”．处理方法是：将二次多项式的二次项系数与一次项系数的和作为一次多项式的一次项系数，将二次多项式的常数项作为一次多项式的常数项，例如多项式经过处理器得到，如图所示． 【应用】若关于的二次多项式经过处理器得到，根据以上方法，解决下列问题： (1)填空：若，则___________； (2)若，求关于的方程的解； (3)若，且方程的解是负整数，求整数的值． 75．已知关于的整式，整式，若是常数，且的值与无关． (1)求的值； (2)若为整数，关于的一元一次方程的解是正整数，求的值． 76．已知关于x的方程． (1)若，求该方程的解； (2)某同学在解该方程时，误将“”看成了“”，得到方程的解为，求m的值； (3)若该方程有正整数解，求整数m的最小值． 77．已知关于的方程，其中．求所有整数的值，使得该方程的解为正整数，并求此时方程的解． 题型十二 一元一次方程解的关系 78．若关于的方程和的解相同，求和的值． 79．已知关于的方程与方程的解相同，求的值． 80．已知关于x的方程的解与的解相同，求的值． 81．关于x的方程与的解互为相反数，求的值． 82．已知关于x的方程与方程的解互为相反数，求m的值． 83．已知方程和方程的解相同，求m的值． 84．关于的方程与的解互为相反数，求的值． 题型十三 一元一次方程的新定义运算 85．对于任意有理数，定义新运算：．例如：． (1)求的值； (2)若（x为有理数），求的值． 86．定义：如果两个一元一次方程的解相同，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)若关于的方程与方程是“美好方程”，求的值； (2)若无论取任何有理数，关于的方程（、为常数）与方程为“美好方程”，求的值． 87．定义：两数之和等于两数之积的两个数称为“友好数”．例如：有理数与3， 因为，所以与3互为“友好数”． (1)①判断与2是否互为“友好数”，并说明理由：②4与___________互为“友好数”； (2)若有理数与互为“友好数”，与互为相反数，求代数式的值． 88．新定义：若关于x的一元一次方程的解是，一个关于y的方程有解满足，则称关于y的方程为这个一元一次方程的“景元方程”．例如：一元一次方程的解是，方程的所有解是或，当时，，以为一元一次方程的“景元方程”． (1)已知关于y的方程：①，②，以上哪个方程是一元一次方程的“景元方程”？请直接写出正确的序号______． (2)若关于y的方程是关于x的一元一次方程的“景元方程”，请求出a的值； (3)如关于y的方程是关于x的一元一次方程的“景元方程”，请直接写出的值． 89．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程互为“阳光方程”．例如：的解为的解为，所以这两个方程互为“阳光方程”． (1)若关于的一元一次方程与是“阳光方程”，则_____． (2)已知两个一元一次方程互为“阳光方程”，且这两个“阳光方程”的解的差为5．若其中一个方程的解为，求的值． (3)已知关于的一元一次方程的解是，请写出解是的关于的一元一次方程：．（只需要补充含有的代数式）． 90．定义：关于x的方程与方程（a，b均为不等于0的常数）称为互为“反对方程”，例如：方程与方程互为“反对方程”． (1)若关于x的方程与方程互为“反对方程”，则_______． (2)若关于x的方程与方程互为“反对方程”，求的值． (3)若关于x的方程与其“反对方程”的解都是整数，求整数c的值． 91．定义：如果两个一元一次方程的解之和为2，我们就称这两个方程为“和谐方程”．例如，方程的解为，方程的解为，两个解之和为2，所以它们是“和谐方程”． (1)请判断方程与方程是否为“和谐方程”； (2)若关于x的方程与方程为“和谐方程”，求m的值． (3)若关于x的方程与为“和谐方程”，请直接写出关于y的方程的解． 1．（24-25七年级上·安徽·期末）先化简，再求值：，其中，． 2．（24-25七年级上·安徽芜湖·期末）计算 3．（24-25七年级上·安徽滁州·期末）解方程： 4．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）先化简，再求值：，其中． 5．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）已知代数式．． (1)化简：； (2)若的值与的取值无关，求的值． 6．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）已知：，． (1)求（结果要求化为最简）； (2)如果，求的值是多少？ 7．（24-25七年级上·安徽六安·期末）已知：． (1)计算：； (2)若满足，求（1）中代数式的值． 8．（23-24七年级上·安徽芜湖·期中）对于有理数a、b，定义新运算：“”，． (1)计算：________；________； ________（填“>”或“=”或“<”）； (2)我们知道：有理数的加法运算和乘法运算满足交换律，那么，由（1）计算的结果，你认为这种运算：“”是否满足交换律？若满足，请说明理由；若不满足，请举例说明． 9．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）定义：对于确定位置的三个数：a，b，c，计算，，，将这三个数的最小值称为a，b，c的“分差”，例如，对于1，，3，因为，，，所以1，，3的“分差”为． (1)，1的“分差”为______； (2)调整“，1”这三个数的位置，得到不同的“分差”，那么这些不同“分差”中的最大值是______； (3)调整，6，x这三个数的位置，得到不同的“分差”，若其中的一个“分差”为2，求x的值． 10．（25-26七年级上·安徽亳州·月考）定义一种新的运算，观察下列各式： ；；；． (1)根据你观察到的规律，计算：__________； (2)若，请计算的值． 11．（24-25七年级上·安徽芜湖·期末）解方程： (1) (2) (3) (4) 12．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期末）一般情况下不成立，但有些数可以使得它成立，例如：．我们称使得成立的一对数a，b为“相伴数对”，记为． (1)若是“相伴数对”，求b的值； (2)写出一个“相伴数对”，其中，且； (3)若是“相伴数对”，求代数式的值． 1．（24-25七年级上·安徽芜湖·期末）综合与实践 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制．也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数．例如：就是二进制数的简单写法，十进制数一般不标注基数．表示这个进制数从右起，第一位上的数字为，第二位上的数字为，第三位上的数字为．一个数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式．例如十进制数当．同理，二进制数转换为十进制数为．一个十进制数转换为进制数时，把十进制数表示成与基数的幂的乘积之和的形式．例如，将十进制数转换为八进制数，因为，所以，所以转换为八进制数为． 根据上述材料，解答下列问题． (1)将二进制数转换为十进制数； (2)将十进制数转换为七进制数； (3)一个四进制数转换为十进制数为，其中为整数，且3，若能被整除，求的值． 2．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）阅读材料，回答问题． 类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．阅读感知：在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如： ，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项．类似地，对于可以用裂项的方法变形为：．类比上述方法，解决以下问题． 【类比探究】（）计算：______； 【理解运用】（）类比裂项的方法，计算：； 【迁移应用】（）探究并计算：． 3．（24-25七年级上·安徽六安·期末）【阅读与理解】 整体思想是数学的一种思想方法．例如的值为，求代数式的值．嘉琪同学采用的方法如下： 由题意得，则有． ∴． 【学以致用】 （1）若，则______． （2）若代数式的值为，求代数式的值． 【拓展与提高】 （3）若，，求代数式的值． 4．（24-25七年级上·安徽池州·期末）【阅读中思考】 设是不为0和1的有理数，我们把1与的倒数的差，即称为的倒数差，如：2的倒数差是，的倒数差是． 【探索中理解】 若，是的倒数差，是的倒数差，是的倒数差，…，以此类推． （1）先写出计算，，的算式，在求出它们的值． （2）求的值为____________．（直接写出答案） 【应用拓展】 设，，都是不为0和1的有理数，将一个数组中的数分别按照材料中“倒数差”的定义作变换，第1次变换后得到数组，第2次变换后得数组，…，第次变换后得到数组． （3）若数组确定为． 则的值为_____________．（直接写出答案） 5．（24-25七年级上·安徽黄山·期末）【定义】若关于的一元一次方程的解满足，则称该方程为“友好方程”，例如，方程的解为，因为，所以有：，即，则方程为“友好方程”． 【运用】 (1)①，②，③三个方程中，为“友好方程”的是 （填写序号）； (2)若关于的一元一次方程是“友好方程”，求的值； (3)若关于的一元一次方程是“友好方程”，且它的解为，求与的值． 6．（24-25七年级上·安徽芜湖·期末）定义：如果两个一元一次方程的解之和为0，我们就称这两个方程为“互补方程”．例如：方程和为“互补方程”． (1)方程与方程______“互补方程”（填“是”或“不是”）． (2)若关于的方程与方程是“互补方程”，求的值． (3)若关于的方程与是“互补方程”，求的值． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $