拓展寒假作业 数轴与绝对值的综合（11大题型）（巩固培优）七年级数学新教材北师大版

限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 拓展寒假作业 数轴与绝对值的综合 一、两个绝对值和的最值问题 目的是在数轴上找一点x，使x到a和b的距离和的最小值： 分类情况（的取值范围） 图示 取值情况 当时 无法确定 当时 的值为定值，即为 当 无法确定 结论：式子在时，取得最小值为. 二、两个绝对值差的最值问题 目的是在数轴上找一点x，使x到a和b的距离差的最大值和最小值： 分类情况（的取值范围） 图示 取值情况 当时 的值为定值，即为— 当时 当 的值为定值，即为 结论：式子在时，取得最小值为；在时，取得最大值. 三、n个绝对值和的最值问题 最小值规律： ①当有两个绝对值相加： 若已知，的最小值为，且数的点在数，的点的中间； ②当有三个绝对值相加： 若已知，的最小值为，且数的点与数的点重合； ③当有（奇数）个绝对值相加： ，且，则取中间数，即当时，取得最小值为； ④当有（偶数）个绝对值相加： ，且，则取中间段， 即当时，取得最小值为. 四、已知范围的绝对值化简 ①判断绝对值符号里式子的正负； 两数相减：大的数-小的数＞0，转化到数轴上：右-左＞0；小的数-大的数＜0，转化到数轴上：左-右＜0. 两数相加：正数＋正数＞0，转化到数轴上：原点右侧两数相加＞0； 负数＋负数＜，转化到数轴上：原点左侧两数相加＜0； 正数＋负数：取绝对值较大数的符号，转化到数轴上：原点两侧两数相加，取离原点远的符号. ②将绝对值符号改为小括号： 若正数，绝对值前的正负号不变（即本身）；若负数，绝对值前的正负号改变（即相反数）. ③去括号：括号前是“＋”，去括号，括号内不变；括号前是“－”，去括号，括号内各项要变号. ④化简. 五、绝对值的性质 绝对值的性质：①正数的绝对值是它本身，即； ②0的绝对值是0，即；③负数的绝对值是它的相反数，即；④绝对值具有非负性，即. 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 两个绝对值的和的最值 1．（25-26七年级上·江苏·假期作业）（1）数轴上点A，B对应的数分别是a，b，则，若点A在数轴上表示3，点B在数轴上表示1，那么 ； （2）在数轴上表示x的点与的距离是3，那么 ； （3）在数轴上表示a的点位于和3之间（包含两端），求的值； （4）对于任意有理数x，则的最小值是 ． 【答案】（1）2（2）或2；（3）7；（4）3 【分析】本题考查了数轴上两点间距离公式，绝对值的几何意义，理解绝对值的几何意义是解题的关键． （1）根据数轴上两点间距离公式计算即可； （2）根据数轴上两点间距离公式解答即可； （3）由绝对值的几何意义可知式子表示a对应的点分别到、3对应的点的距离之和，进而利用数轴上两点间距离公式解答即可求解； （4）由绝对值的几何意义可知式子表示x对应的点分别到3、6对应的点的距离之和，当表示x的点位于3和6之间（包含两端），距离之和最小，据此解答即可求解． 【详解】解：（1）数轴上点A，B对应的数分别是a，b，则， 由题意得，， 故答案为：2； （2）由题意得，， 即， 解得或， 故答案为：或2； （3）在数轴上表示a的点位于和3之间（包含两端）， ∵， ∴式子表示a对应的点分别到、3对应的点的距离之和， 当表示a的点位于和3之间（包含两端）时，距离之和为， 即的值为7； （4）式子表示x对应的点分别到3、6对应的点的距离之和， 当表示x的点位于3和6之间（包含两端）时，距离之和最小， 此时最小值为， 故答案为：3． 2．（24-25七年级上·海南省直辖县级单位·期中）已知、在数轴上分别表示，． (1)可以利用数轴填写下表： 5 3 2 0 、两点的距离 (2)若、两点间的距离记为，试问：和有何数量关系？ (3)在数轴上标出所有符合条件的整数点，使它到3和的距离之和为6，并写出这些点对应的整数； (4)若点C表示的数为，当点C什么位置时，取得的值最小？最小值为多少？ 【答案】(1)3，4，4，5，0 (2) (3)数轴表示见解析，，，，0，1，2，3 (4)在点和3之间时（包括点和3），取得的值最小，最小值为4 【分析】此题主要考查数轴的性质以及绝对值的应用，有理数的减法运算，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据数轴上的两点，求两点距离即可； （2）数轴上两点间的距离即为差的绝对值； （3）由得到3到距离为6，推出p点一定在3和之间，进而求解即可； （4）表示x到的距离，表示x到3的距离，，该题及转化为数轴上一点到和2的距离和最小，进而求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，，，，，， ∴填表如下： 5 3 2 0 、两点的距离 3 4 4 5 0 （2）解：由题意，得； （3）解：∵ ∴3到距离为6 ∴p点一定在3和之间 ∴这样的整数点有，，，，1，2，3 数轴表示如下： ； （4）解：由题意，得表示x到的距离，表示x到3的距离， ∴当点C在和3之间时，取得最小值，最小值为． 3．（24-25七年级上·河南漯河·月考）我们知道一个数的绝对值的几何意义是：在数轴上表示这个数的点离原点（表示数0）的距离，的绝对值表示为，也可以写成，比如； 在数轴上表示两个数，的点之间的距离可以表示为，比如，表示的点与的点之间的距离表示为； 可以表示点与点1之间的距离跟点与之间的距离的和，根据图示易知：当点的位置在点和点之间（包含点和点）时，点与点的距离跟点与点的距离之和最小，且最小值为，即的最小值是，且此时的值为． 请根据以上阅读，解答下列问题： (1)表示的点与的点之间的距离表示为__________； (2)的最小值是__________，此时的取值范围为__________； 【答案】(1) (2)3； 【分析】本题考查了绝对值的应用． （1）根据绝对值的几何意义，即可求解． （2）结合图形可得，当点的位置在点和点之间（包含点和点）时，点与点的距离跟点与点的距离之和最小，即可求解． 【详解】（1）解：依题意，表示的点与的点之间的距离表示为， 故答案为：． （2）解：可以表示的点与表示1的点的距离，跟表示的点与表示的点之间的距离的和，如图所 当点的位置在点和点之间（包含点和点）时，点与点的距离跟点与点的距离之和最小，且最小值为， 即的最小值是，且此时的值为． 故答案为：，． 题型二 两个绝对值的差的最值 【变式1】（2022秋·全国·七年级专题练习）学习了绝对值我们知道，，用这一结论可化简含有绝对值的代数式．如化简代数式时，可令和，分别求得和，我们就称和分别为|和|的零点值在有理数范围内，零点值，可将全体有理数分成不重复、不遗漏的五个部分，可在演草本上画出数轴，找到对应的部分然后进行分类讨论如下： ①当时，原式； ②当时，原式； ③当时，原式； ④当时，原式； ⑤当时，原式． 综上所述，原式，以上这种分类讨论化简方法就叫零点分段法，其步骤是：求零点、分段、区段内化简、综合，根据以上材料解决下列问题： (1)化简代数式； (2)的最大值是 ．（请直接写出结果） 【答案】(1)原式 (2) 【分析】（1）根据零点分段法和绝对值的性质，分，，计算即可； （2）分别求出当，时式子的最值，即可得出结果； 【详解】（1）当时，原式； 当时，原式； 当时，原式； 综上所述：原式； （2）当时，原式的最大值； 当时，原式的最大值； ∴的最大值为． 故答案是． 【点睛】本题主要考查了绝对值的性质，熟练掌握绝对值的性质，分类讨论是解题的关键． 【变式2】（2022秋·北京朝阳·七年级校考期中）阅读下面材料并解决有关问题： 我们知道，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式， 现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式， 如化简代数式时，可令和，分别求得（称-1，2分别为与的零点值）．在次数范围内，零点值和可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情况： a.；b.；c.． 从而化同代数式可分以下3种情况： ①当对，原式； ②当时，原式； ③当时，原式． 综上讨论，原式， 通过以上阅读，请你解决以下问题： (1)化简代数式． (2)求的最大值． 【答案】(1) (2)2． 【分析】（1）零点值x=-2和x=4可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：、和．分该三种情况找出|x+2|+|x-4||的值即可； （2）分、、分别化简，结合x的取值范围确定代数式值的范围，从而求出代数式的最大值． 【详解】（1）分以下3种情况： ①当时，原式； ②当时，原式； ③当时，原式； 综上讨论，原式 ； （2）当时，原式， 当时，原式，， 当时，原式， 则的最大值为2． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了含绝对值的代数式化简问题，注意读懂题目的解答，以及分类思想的运用． 【变式3】（2022秋·贵州遵义·七年级校考阶段练习）已知在数轴上点，分别表示有理数，． (1)仔细阅读表格并对照数轴填空： 8 5 4 0 ，两点间的距离 4 8 4 (2)写出数轴到表示6和的点的距离之和为12的所有点所表示的整数（除6和外）； (3)若点表示的数为（除6和外），则在什么范围内时，的值总是一个固定值，并求出这个固定值； (4)若点表示的数为，直接写出的最大值；当点在什么位置时，的值最小？最小值多少？ 【答案】(1)填表见解析； (2)； (3)当，的值总是一个固定值，为； (4)的最大值为，当时，的值最小，最小值为3． 【分析】（1）用较大的数减较小的数或作差加绝对值即可； （2）根据数轴上两点之间的距离为两点所表示的数的差的绝对值即可得到答案； （3）读懂表示到和的距离之和，该问需要进行分类讨论； （4）根据可表示为到表示和1的点的距离之差最大，根据表示到和的距离之和最小，即可求解． 【详解】（1）解：填表如下： 8 5 4 0 ，两点间的距离 4 8 4 15 3.5 （2）解：到表示6和的点的距离之和为12的点所表示的整数在和之间的整数有；； （3）解：根据的几何意义是，到的距离之和， 如果值总是一个固定值，则， 这个固定值为：； （4）解：当时，， 当时，， 当时，， 故的最大值为； 根据可表示为到表示1和的点的距离之和，根据两点之间，线段最短， 即当时 得到的值最小为3． 【点睛】本题考查了数轴：数轴和绝对值的综合应用，数轴上两点之间的距离为两点所表示的数的差的绝对值． 题型三 多个绝对值的和的最值 7．（25-26七年级上·四川巴中·期末）【背景知识】数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作，数轴上表示数a的点与表示数b的点的距离记作，如数轴上表示数5的点与表示数7的点的距离为，表示数轴上表示数5的点与表示数的点的距离，表示数轴上表示数a的点与表示数5的点的距离．根据以上材料回答下列问题： 【初步应用】 （1）①数轴上表示数的点与表示数3的点的距离为______； ②若，则______； 【深入探究】 （2）求的最小值．以下是小明的解答过程： 解：记点P，A，B分别表示数x，，3，点P、点A的距离，点P、点B的距离． 当点P在点A的左边，即时，如图①，此时，． ∴，即． 当点P在线段上，即时，如图②，此时． 即， 当点P在点B的右边时，即时，如图③，此时，． ∴，即． ∴当时，有最小值，最小值为5． 请根据小明的解答过程，完成下列问题： 求式子的最小值． 【解决问题】 （3）某公司办公楼有6层，公司要召开会议，从1层到6层每层参会人数分别为1，2，1，2，3，3．由于电梯出了故障，要使所有参会人员到会议地点走楼梯的距离和最短，请你直接写出会议地点应设在第几层？ 【答案】（1）①5；②2或8；（2）5；（3）会议地点应设在第4或5层 【分析】本题主要考查有理数与数轴，熟练掌握数轴上点的特征，两点间距离的求法，绝对值的几何意义是解题的关键． （1）①直接利用A、B两点间的距离公式进行计算即可得到答案； ②根据绝对值几何意义解答即可； （2）根据绝对值几何意义分类讨论即可； （3）将所有参会人员到会议地点走楼梯的距离和转化为绝对值的表示形式，再利用绝对值的几何意义解答即可． 【详解】解：（1）①由条件可知距离是． 故答案为：5． ②表示数轴上表示a的点到5的距离为3， ∴或， 解得：或， 故答案为：8或2． （2）记点P，A，B，C分别表示数x，，，2，点P、点A的距离，点P、点B的距离，点P、点C的距离． 当点P在点A的左边，即时，此时，，． ∴，即； 当点P与点A重合时，，即； 当点P在线段上，即时，此时，． ∴，即； 当点P与点B重合时，，即； 当点P在线段上，即时，此时，． ∴，即； 当点P与点C重合时，，即； 当点P在点C的右边时，即时，此时，，． ∴，即． ∴当时，有最小值，最小值为5． 故答案为：5． （3）设会议地点应设在第x层， 由题意可得所有参会人员到会议地点走楼梯的距离和为， 可以拆分为，即x到这个数的距离和最小，这个数正中间的两个数为4和5， ∴当时，有最小， 又∵x为正整数， ∴当或时有最小． 故答案为：会议地点应设在第4或5层． 8．（25-26七年级上·河南郑州·期中）点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间距离表示为．回答下列问题： (1)若x表示一个有理数，则的最小值为______；当取最小值时，x的值为______； (2)已知，则的最大值为______． 【答案】(1)1，2 (2)9 【分析】本题考查绝对值的几何意义，数轴上两点间的距离，熟练掌握绝对值的几何意义是解题的关键： （1）根据绝对值的几何意义，得到当时，的值最小为数轴上数表示的点到数2025表示的点的距离，当时，取得最小值； （2）根据绝对值的几何意义得到时，的值最小为3，时，的值最小为3，时，的值最小为4，根据，得到的最大值为，的最小值为时，的值最大，进行求解即可． 【详解】（1）解：表示数轴上表示数的点到数表示的点以及到数2025表示的点的距离和， ∴当时，的值最小为； 同理，当时，取得最小值为； 故答案为：1，2； （2）∵当时，的值最小为， 时，的值最小为， 时，的值最小为， 又∵， ∴，，， ∴当时，的值最大为． 9．（25-26七年级上·四川泸州·期中）如图，数轴上有，，三个点，，，对应的数分别是，，，且满足． （1）则______，______，______． 【阅读材料】在数轴上表示数的点到原点的距离叫做的绝对值，记为，数轴上表示数的点与表示数的点的距离记为（或），数轴上数表示的点到表示数的点与表示数的点的距离之和记为． 【初步运用】 （2）若式子，则______；若式子，则______． 【延伸探究】 （3）若式子取最小值时，最小值是______；当式子取最小值时，则______． 【拓展探究】 （4）若动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向左运动，当点运动多少秒时，动点到点、点的距离之和为． 【答案】（1），，；（2）或，；（3），；（4）秒或秒． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、数轴、绝对值的非负性以及偶次方的非负性，解题的关键是：（1）利用绝对值及偶次方的非负性，求出，，的值；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程． （1）利用绝对值及偶次方的非负性，即可得出，，的值； （2）【初步运用】解方程及，即可求出结论； （3）【延伸探究】利用“奇点偶段”，即可找出的最小值以及当式子取最小值时的值； （4）【拓展探究】当运动时间为秒时，点表示的数为，根据动点到点、点的距离之和为，可列出关于的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：（1）∵， ∴，，， ∴，， 故答案为：，，； （２）【初步运用】：， 即或， 解得： 或 ， 即或（不符合题意，舍去）， 解得：． 故答案为：或，； （3）【延伸探究】：根据题意得：若式子取最小值时，最小值是； 当式子取最小值时， 故答案为：，； （４）【拓展探究】：当运动时间为秒时，点表示的数为， 根据题意得： ， ①当点在右侧时： 即 ②当点在左侧时： ， ． 综上所述：当点运动或秒时，动点到点、点的距离之和为． 题型四 绝对值中最值问题的应用 10．（25-26七年级上·江西上饶·期中）【定义新知】 我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离．因为，所以的几何意义就是数轴上x所对应的点与－1所对应的点之间的距离． 回答下列问题： （1）数轴上表示x和2的两点A和B之间的距离是______．当，那么x为______． （2）当的最小值是______． （3）的最大值为______． （4）当______时，的值最小． 【解决问题】 （5）如图，一条笔直的公路边有四个居民区A、B、C、D和市民广场O，居民区A、B、C、D分别位于市民广场左侧5km、左侧1km、右侧1km、右侧3km．现需要在该公路边上建一个便民服务点P，那么这个便民服务点P建在______，能使服务点P到四个居民区A、B、C、D的总路程最短？最短路程是______km． 【答案】（1）；5或（2）1（3）4（4）2（5）、之间（含、）；10 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，解题的关键是利用数轴上点与点之间的距离表示绝对值，结合几何图形分析最值． （1）根据绝对值的几何意义表示两点距离再解方程； （2）利用数轴分析两个绝对值和的最小值； （3）分析绝对值差的最大值的取值范围； （4）利用“中间点”分析三个绝对值和的最小值； （5）结合数轴上点的位置确定总路程最短的点再计算路程． 【详解】解：（1）数轴上表示和2的两点距离为， 当即 则或 解得或 故答案为：；5或； （2）的几何意义是数轴上对应的点到1和0对应的点的距离之和 当在0和1之间（含端点）时距离和最小最小值为； 故答案为：1； （3）的几何意义是数轴上对应的点到的距离减去到3的距离 当时距离差最大，此时， 故答案为：4； （4）的几何意义是数轴上对应的点到、、对应的点的距离之和，当取中间点2时距离和最小， 故答案为：2； （5）居民区、、、对应的位置分别为、、、 总路程为 当在和1之间（含端点）时总路程最短， 最短路程为 故答案为：、之间（含、）；10． 11．（25-26七年级上·广东佛山·月考）综合与实践： 【问题情境】 数学活动课上，王老师出示了一个问题：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离利用数形结合思想回答下列问题： （1）数轴上表示2和9两点之间的距离是 ，数轴上表示5和的两点之间的距离是 ； 【独立思考】 （2）试用数轴探究：当时，m的值为 ； （3）利用数轴，求出当时x的值； 【实践探究】 （4）请你能借助“数轴”这个工具帮助小红解决下列问题：一天，小红去小明家做客，小明爷爷想考考小红，就说：“我若是小明现在这么大，小明还要34年才出生，小明若是我现在这么大，我已经98岁，是老寿星了，哈哈！”请求出小明爷爷和小明现在的年龄 【答案】（1）7，11；（2）7或；（3）4或；（4）小明爷爷现在年龄是54岁，小明现在的年龄是10岁 【分析】本题考查数轴，绝对值的意义，数轴上两点距离的表示方法：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离； （1）数轴上表示2和9两点之间的距离是，数轴上表示5和的两点之间的距离是； （2）表示m到2的距离为5，结合数轴即可得出结果； （3）表示x到3的距离与x到的距离之和为7，结合数轴即可得出结果； （4）利用爷爷和小明之间年龄差不变，结合数轴即可得出结果. 【详解】解：（1）∵， ∴数轴上表示2和9两点之间的距离是7， ∵， ∴数轴上表示5和的两点之间的距离是11. 故答案为：7，11. （2）表示m到2的距离为5，如图所示： ∵， ∴或， ∴或， ∴到2的距离为5的数是7或， 故m的值为7或. （3）表示x到3的距离与x到的距离之和为7，如图所示： ①当时，，即， 解得： ②当时，，即， ∵不成立， ∴当时不成立， ③当时，，即， 解得： 综上：x的值为4或. （4）画出数轴如图所示： 小明现在的年龄对应数轴上的点B，爷爷现在的年龄对应数轴上的点C则当点C移动到点B时，点B移动到了点A，当点B移动到点C时，点C移动到了点D， ∵爷爷和小明之间年龄差不变，即在数轴上两点之间距离不变， ∴， 又∵爷爷说：“我若是小明现在这么大，小明还要34年才出生，小明若是我现在这么大，我已经98岁” ∴点A表示，点D，表示98， ∴， ∴（岁），（岁）， 即小明爷爷现在年龄是54岁，小明现在的年龄是10岁. 12．（25-26七年级上·福建福州·期中）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上所对应的点与2所对应的点之间的距离．因为，所以的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离．回答下列问题： (1)①数轴上表示和2的两点和之间的距离是____________； ②在①的情况下，如果，那么为____________； (2)探究问题：代数式的最小值是多少？ 如图，点A、B、P分别表示数， 的几何意义是线段与的长度之和， ∴当点在线段上时，； 当点在点的左侧或点的右侧时，， 的最小值是3． 请你根据上述自学材料，探究解决下列问题： ①直接写出式子的最小值是____________； ②工厂加工车间工作流水线上依次间隔2米排着5个工作台，一只配件箱应该放在工作____________处，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短，最短路程是____________米； (3)若在数轴上点A、B表示的数分别是．动点从点出发，沿数轴以每秒3个单位长度的速度向终点匀速运动；同时，点从点出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向终点匀速运动，设点的运动时间为秒．当点与点之间的距离为9个单位长度时，求的值． 【答案】(1)①；②5或； (2)①2；②C，12； (3)1或4.6． 【分析】本题主要考查了数轴，数轴上两点之间的距离： （1）①根据两点间距离公式可得结论； ②数轴上表示和2的两点间相差3个单位长度，即或，即可求解； （2）①根据两点间的距离公式，仿照材料上的分析即可求得最小值； ②以C点为原点，2米为一个单位长度，A、B、C、D、E依次在数轴上排列，点P表示配件箱的位置，表示数x，根据绝对值的意义，几何数轴上点的特点可知当时，有最小值12； （3）表示出P、Q两点表示的数，根据两点间的距离公式表示，代入计算可得答案． 【详解】（1）解：①， 故答案为：； ②由于，则， 即或， 解得：或， 故答案为：5或； （2）解：①如图，设N、M点表示数1、2，点P表示数x，O表示原点， 则， 当点P与点N重合时，，则， 当点P在线段上且不与N重合时，， 则； 当点P在线段上且不与N重合时，， 则； 当点P在点M的右边或在点O的左边时，或， 则， ∴的最小值为2； 故答案为：2； ②如图，以C点为原点，2米为一个单位长度，A、B、C、D、E依次在数轴上排列，点P表示配件箱的位置，表示数x， 根据绝对值的意义，， 根据数轴上点的特点可知当点P与点C重合，即时，，，，此时取得最小值； 当点P在线段上（不与点C重合）时，， 则， 即； 同理，当点P在或（不与点C重合）或上或在点E的右边或在点A的左边时，均有； 综上，当点P与点C重合，即时，有最小值12； 故答案为：C；12； （3）解：由题意知，点P表示的数为，点Q表示的数为， ∵， ∴， 即或， 解得：或， 故t的值为1或4.6． 题型五 已知范围的绝对值化简 13．（25-26七年级上·江西南昌·期末）已知有理数a，b，c在数轴上的对应点如图所示， (1)用“＜”或“＞”填空：______0，______0，______0； (2)化简：． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题主要考查了数轴、绝对值的化简、整式的加减运算等知识点，正确的化简绝对值是解题的关键． （1）由数轴确定a、b、c的符号，进而确定相关代数式的符号； （2）利用（1）的结论，根据绝对值的性质化简绝对值，最后运用整式的加减运算法则计算即可． 【详解】（1）解：由数轴可得：，所以，，． 故答案为：，，； （2）解：∵，，，， ∴ ． 14．（25-26七年级上·四川凉山·期末）有理数在数轴上的位置如图，    (1)_______________0（填“”或“”）． (2)化简 【答案】(1)，，； (2)． 【分析】本题主要考查了数轴上有理数的大小比较、绝对值的化简及整式的加减运算，熟练掌握绝对值的性质是解题的关键． （1）根据数轴上点的位置关系，判断各代数式的符号； （2）根据（1）的符号结果，去掉绝对值符号，再合并同类项化简． 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵且， ∴； ∵， ∴； 故答案为：，，； （2）解：∵， ． 15．（25-26七年级上·四川凉山·期末）已知有理数a，b，c，满足a，b互为相反数，，． (1)若，，请画出数轴，并在数轴上表示出有理数a，b，c． (2)若，用“”或“”填空：______0；______0；______0． (3)若，化简式子：． 【答案】(1)画图见详解 (2)，，； (3) 【分析】本题主要考查相反数的概念，数轴上点的大小关系，有理数的加减运算，绝对值的化简，利用已知条件推导大小关系是解题的关键． （1）先根据相反数求得b，进而画出数轴表示a，b，c即可； （2）根据有理数的加减及正负数判断即可求解； （3）根据正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，结合（2）结论化简即可． 【详解】（1）解：∵，，a，b互为相反数， ∴， 如图，有理数a，b，c在数轴上表示， （2）解：∵a，b互为相反数， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴，，， 故答案为：，，； （3）解：若，由（2）得：，，， ∴， ∴． 题型六 未知范围的绝对值化简 16．（25-26七年级上·四川南充·期末）分类讨论是一种重要的数学方法，如在化简时，可以这样分类：当时，；当时，；当时，．用这种方法解决下列问题： (1)当时，求的值． (2)当时，求的值． (3)若有理数a、b均不等于零，试求的值． 【答案】(1)1 (2) (3)2或0或 【分析】本题主要考查了绝对值的化简求值，解题的关键是掌握绝对值的化简法则． （1）根据绝对值的化简法则进行计算即可； （2）根据绝对值的化简法则进行计算即可； （3）分四种情况进行讨论，然后根据绝对值的化简法则进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴； （3）解：当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 综上，的值为2或0或． 17．（25-26七年级上·安徽淮北·期末）我们在学习绝对值时知道了． (1)若，则________； (2)若，都不为0，求的值； (3)若，，求的值． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查了绝对值的化简求值，代数式求值，有理数的混合运算，分情况求出a，b的值是解题的关键． （1）根据绝对值的性质化简即可； （2）分三种情况：，都为正或，都为负或，一正一负，即可求解； （3）根据题意可得，，，，，两正一负，再化简即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴； 故答案为：； （2）解：因为，都不为0， 所以，都为正或，都为负或，一正一负， 当，都为正时，， 当，都为负时，， 当，一正一负时，， 综上，的值为0或； （3）解：因为，． 所以，，，，，两正一负， 不妨假设， 所以 . 18．（25-26七年级上·全国·假期作业）阅读材料：，即当时，；当时，．用这个结论解决下面的问题： (1)如果，那么的取值范围是 ． (2)是有理数，当时，的值为 ． (3)是三个非零的有理数，且，求的值． (4)为四个非零的有理数，求的值． 【答案】(1) (2)，， (3)或 (4)，，，， 【分析】本题考查绝对值的非负性以及有理数的运算等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键． （）根据绝对值性质，当时，判断为负； （）分为正负的四种情况，计算的值； （）由化简式子，结合判断符号组合求值； （）分析正负的组合，确定的可能值． 【详解】（1）解：根据绝对值的定义：当时，； 当时，． 题目中， ∴必须满足． 故答案为：； （2）解：∵ ∴和均不为，和的取值均为或，分四种情况讨论： ，：； ，：； ，：； ，：． 故答案为：，，； （3）解：化简表达式：由，得：代入原式：， 分析符号：由，得，即中有一个或三个负数． 若有三个负数，则，与矛盾，故恰有一个负数， 假设，则：， 假设，则：， 假设，则：， 最后化简的值均为或， 因此，原式值为或． （4）解： 当全为正，值为； 当三正一负，值为； 当两正两负，值为； 当一正三负，值为 当全为负，值为， 所以值为或或． 故答案为：，，，，． 题型七 数轴上的动点问题 19．（25-26七年级上·河北保定·期末）如图，数轴上点A表示的有理数为，点B表示的有理数为9，点P从点B出发，以每秒4个单位长度的速度在数轴上向左运动，当点P到达点A后立即返回，再以每秒2个单位长度的速度向右运动，回到点B后停止运动．设点P运动的时间为． (1)当点P返回到点B时，求t的值； (2)当时，求点P表示的数； (3)当点P表示的数是时，求t的值． 【答案】(1) (2)0 (3)t的值为3或 【分析】本题考查两点之间的距离，用点表示数轴上的数，分情况讨论是解题的关键； （1）先求出之间的距离，再分别计算点P到达A点和返回时用的时间，相加即可； （2）根据P到达A点时用的时间确定路径，再计算所走路程，即可解答； （3）分两种情况计算即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ∵点P从点B出发，以每秒4个单位长度的速度在数轴上向左运动， ∴（秒），故点P到达A点时用的时间为秒； ∵当点P到达点A后立即返回，再以每秒2个单位长度的速度向右运动， ∴， 故当点P返回到点B时，； （2）解：∵P到达A点时用的时间为（秒）， 当时，，即时，点P从A点返回； ； ∴当时，点P表示的有理数是：； （3）解：当点P第一次到达时，， 当点P运动到点A，然后向右运动到时， ， 综上所述，t的值为3或． 20．（25-26七年级上·河南商丘·月考）在数轴上，一只蚂蚁从原点出发，它先向右爬了个单位长度到达点，再向右爬了个单位长度到达点，然后又向左爬了个单位长度到达点． (1)画出数轴，标出三点在数轴上的位置； (2)根据点在数轴上的位置，点可以看作是蚂蚁从原点出发，向哪个方向爬了几个单位长度到达的？ (3)若蚂蚁从点出发，先向右爬了个单位长度，再向左爬了个单位长度，此时它恰好回到了原点，求点表示的数． 【答案】(1)见解析 (2)向左爬了4个单位长度 (3) 【分析】本题主要考查了数轴的表示及数轴上的点与数的对应关系、有理数的加减运算，熟练掌握数轴上点的移动规律（右移加、左移减）是解题的关键． （1）根据蚂蚁的移动方向和单位长度，确定、、三点对应的数，再在数轴上标出位置． （2）先计算点对应的数，再根据数的正负判断移动方向和单位长度． （3）逆向分析蚂蚁的移动过程，通过运算求出点表示的数． 【详解】（1）解：点三点在数轴上的位置如图所示， （2）解：点可以看作是蚂蚁从原点出发，向左爬了个单位长度到达的； （3）解：由题意可知蚂蚁先向右爬了个单位长度，再向左爬了个单位长度，即可以看作向右爬了个单位长度， 故点表示的数为． 21．（25-26七年级上·河北邢台·月考）综合与探究 【问题情境】 数学活动课上，老师展示了一个问题：如图，已知数轴上点O为原点，A、B两点所表示的数分别为和8． 【实践探究】 (1)线段的长为______； (2)动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为秒． ①当时，请用含t的代数式表示点表示的数，以及线段、的长； ②若点是线段的中点，点是线段的中点，说明线段的长度与点的运动时间无关． 【答案】(1)10 (2)①点表示的数为，，；②见解析 【分析】本题考查了数轴、整式的加减等知识，熟练掌握数轴的性质是解题关键． （1）利用点表示的数减去点表示的数即可得； （2）①根据数轴的性质即可得点表示的数，再判断出点在线段上，利用数轴的性质即可得线段、的长； ②先分别求出点所表示的数，再利用数轴的性质求出的长，据此即可得． 【详解】（1）解：∵、两点所表示的数分别为和8， ∴， 故答案为：10． （2）解：①由题意得：点表示的数为， 点从点运动到点所需时间为（秒）， ∴当时，点在线段上， ∵、两点所表示的数分别为和8， ∴，． ②∵、两点所表示的数分别为和8，点表示的数为，且点是线段的中点，点是线段的中点， ∴点表示的数为，点表示的数为， ∴， ∴线段的长度与点的运动时间无关． 题型八 数轴上多动点运动问题 22．（25-26七年级上·湖北孝感·期中）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离为． 【问题情境】如图，已知数轴上有A、B、C三个点，它们表示的数分别是、、8，A到C的距离用表示，由于，所以． 【综合运用】 (1)填空： ， ； (2)若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点B和点C分别以每秒4个单位长度和9个单位长度的速度向右运动，运动时间为t秒，试探索：的值是否随着时间t的变化而改变？请说明理由． (3)若动点P从C点出发，点P以每秒3个单位长度的速度向右移动，当点P移动2秒时，点Q才从原点O点出发，并以每秒2个单位长度的速度向右移动．设点P移动的时间为t秒，写出P、Q两点间的距离（用含t的代数式表示）． 【答案】(1)10；16 (2)的值不随着时间t的变化而改变，见解析 (3) 【分析】本题考查了列代数式，数轴上两点间距离，整式的加减的应用，掌握数轴上两点间距离公式并运用分类讨论思想解答是解题的关键． （1）根据数轴上两点间距离公式计算即可； （2）根据题意求出点，，移动后表示的数，然后根据数轴上两点间距离公式表示，的值，最后再进行计算即可； （3）分两种情况：当时，当时，根据两点间距离公式，分别求出P、Q两点间距离即可． 【详解】（1）解：∵数轴上有A、B、C三个点，它们表示的数分别是、、8， ∴， ； （2）解：的值不随着时间t的变化而改变，理由： 由题得：运动t秒后，点A表示的数为：，点B表示的数为：，点C表示的数为：， ∴，， ∴， ∴的值不随着时间t的变化而改变； （3）解：当时，点Q表示的数为：0，点P表示的数为：，； 当时，点Q表示的数为：，点P表示的数为：，； 综上，． 23．（25-26七年级上·浙江嘉兴·期中）【背景知识】 数轴是重要的数学学习工具，利用数轴可以将数与形完美结合．已知结论：数轴上点、表示的数分别为、，则、两点之间的距离；线段的中点表示的数为． 【知识运用】 （1）点、表示的数分别为、，若与互为倒数，与互为相反数．则、两点之间的距离为_________；线段的中点表示的数为_________． 【拓展迁移】 （2）在（1）的条件下，动点从点出发以每秒3个单位的速度沿数轴向左运动，动点从点出发以每秒5个单位的速度沿数轴向左运动，点是线段的中点． ①点表示的数是_________（用含的代数式表示）； ②线段、的长度随时间的变化而变化，当点在点左侧时，是否存在常数，使为定值？若存在，求常数及该定值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）12，1；（2）①；②存在，，定值为18 【分析】本题考查列代数式，整式加减中的无关型问题，有理数与数轴，熟练掌握两点间的距离公式，中点公式，是解题的关键： （1）根据倒数和相反数的定义求出，根据两点间的距离公式，中点公式，进行求解即可； （2）①表示出点表示的数，中点公式列出代数式即可； ②根据两点间的距离公式表示出，根据，得到的值与无关，进而得到含的项的系数为0，进行求解即可． 【详解】解：（1）由题意，， ∴，线段的中点表示的数为； （2）①由题意，点表示的数为，点表示的数为， ∴点表示的数为； ②存在， 当点在点左侧时，点在点的左侧， ∴，， ∴， ∵为定值， ∴， ∴， ∴． 24．（25-26七年级上·陕西渭南·期中）【问题背景】 在数轴上，点在原点的左侧，点在原点的右侧，点距离原点12个单位长度，点距离原点2个单位长度． 【初步探究】 （1）点表示的数是________，点表示的数为________； （2）若点是数轴上的点，且点到点的距离为6，求点表示的数及，两点之间的距离； 【深度拓展】 （3）若点是数轴上的点，点到点与点到点的距离相等．若点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左移动，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右移动，经过秒，求，两点之间的距离．（用含的代数式表示） 【答案】（1），2；（2）当点表示的数为时，，两点间的距离为8；当点表示的数为8时，，两点间的距离为20；（3） 【分析】本题主要考查了数轴上动点问题，两点间距离，有理数加减运算，整式加减运算，解题的关键是熟练掌握数轴上两点间距离公式． （1）根据点在原点的左侧，点在原点的右侧，点距离原点12个单位长度，点距离原点2个单位长度，得出答案即可； （2）分两种情况进行讨论：当点在点左侧时，当点在点右侧时，分别求出点表示的数，然后再求出点和点之间的距离即可； （3）先求出点表示的数，然后求出秒后点和点所表示的数，再用点表示的数减去点表示的数，即可得出答案． 【详解】解：（1）∵点在原点的左侧，点在原点的右侧，点距离原点12个单位长度，点距离原点2个单位长度， ∴点表示的数是，点表示的数为2； 故答案为：，2． （2）当点在点左侧时，点表示的数为， 此时，两点间的距离为； 当点在点右侧时，点表示的数为， 此时，两点间的距离为． 综上所述，当点表示的数为时，，两点间的距离为8；当点表示的数为8时，，两点间的距离为20． （3）因为点到，两点的距离相等， 所以点表示的数为． 因为点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左移动，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右移动， 所以经过秒后点表示的数为，点表示的数为． 所以，两点之间的距离为． 题型九 数轴上动点中定值不变问题 25．（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）【问题背景】 如图，A，B，C是数轴上的三个点，点A在点C的左侧，且点A，C到原点O的距离均为3，点B在数轴的负半轴上，且B，C两点间的距离为4． 【初步探究】 （1）点A表示的数为_______，点B表示的数为_______，点C表示的数为_______； 【拓展延伸】 （2）点A，B，C同时开始在数轴上运动，点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，点B和点C分别以每秒1个单位长度和每秒3个单位长度的速度向右运动．若运动时间为t秒． ①用含t的代数式分别表示点A，B，C移动后表示的数； ②若将B，C两点间的距离表示为m，A，B两点间的距离表示为n，判断的值是否是定值，并说明理由． 【答案】（1），，3；（2）①点A移动后表示的数为，点B移动后表示的数为，点C移动后表示的数为，②的值是定值，理由见解析 【分析】本题主要考查数轴上的动点问题及整式加减的应用，解题的关键是理解题意； （1）根据“点A，C到原点O的距离均为3”可得点A、C所表示的数，然后再根据“B，C两点间的距离为4”可进行求解； （2）①根据“路程=速度×时间”及数轴上有理数的表示可进行求解； ②由①可得，然后根据整式的加减运算可进行求解． 【详解】解：（1）由点A，C到原点O的距离均为3可知：点A表示的数为，点C表示的数为3， 因为B，C两点间的距离为4，且点B在数轴的负半轴上，所以点B表示的数为； 故答案为，，3． （2）①根据题意，得点A移动后表示的数为，点B移动后表示的数为，点C移动后表示的数为． ②的值是定值，理由如下： 由①可得． 所以． 所以的值是定值． 26．（25-26七年级上·重庆长寿·期中）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离，线段的中点表示的数为 【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒 【综合运用】 (1)填空： A、B两点间的距离 ，线段的中点C表示的数为 ； (2)求当t为何值时，； (3)若点M为的中点，点N为的中点，点P在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段的长． 【答案】(1)10，3 (2)1或3 (3)不会变化， 【分析】本题考查数轴上点的性质、列代数式、绝对值方程，熟练运用方程思想是解决本题的关键． 根据数轴上两点之间的距离公式和中点公式计算即可； 先表示出t秒后点P和点Q表示的数，再利用数轴上两点之间的距离公式计算即可； 根据中点公式，表示出点M和点N，再利用数轴上两点之间的距离公式计算即可． 【详解】（1）解：∵点A表示的数为，点B表示的数为8， ； 根据题意，C表示的数为 故答案为：10，3； （2）解：根据题意，t秒后点P表示的数为，点Q表示的数为， ， ， ， 当时，解得， 当时，解得， 的值为1或3； （3）解：∵点M为的中点，点N为的中点， 点M表示的数为，点N表示的数为， ， 点P在运动过程中，线段的长度不会变化， 27．（25-26七年级上·云南文山·期中）如图1，若数轴上点A、点B表示的数分别为a，b（），则线段的长（点A到点B的距离）可表示为，请用上面材料中的知识解答下面的问题： 如图，一个点从数轴上的原点开始，先向右移动6个单位长度到达点A，再向左移动2个单位长度到达点B，然后再向右移动3个单位长度到达点C． (1)请在图2中表示出A、B、C三点的位置： (2)若点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，同时点Q、R从点B、点C分别以每秒2个单位长度、每秒3个单位长度速度沿数轴向右匀速运动．设移动时间为t秒（）． ①两点间的距离______； ②用含t的代数式表示：t秒时，点P表示的数为______，点Q表示的数为______，点R表示的数为______； ③探究：在移动的过程中，的值是否随着时间t的变化而变化？若变化说明理由；若不变，请求其值． 【答案】(1)见详解 (2)不变，值为11 【分析】本题考查了数轴上点的运动，整式加减的应用等知识﹒ （1）先根据题意得到点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为，再在数轴上表示即可； （2）①根据题意即可得到两点间的距离； ②根据三个点的运动方向和速度，结合数轴特点即可求解； （3）先根据②结论求出，，进而求出，从而得到在移动的过程中，的值不随着时间t的变化而变化，其值为11﹒ 【详解】（1）解：由题意得点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为． A、B、C三点的位置如图所示： ； （2）解：①两点间的距离﹒ 故答案为：3； ②由题意得t秒时，点P表示的数为，点Q表示的数为，点R表示的数为﹒ 故答案为：，，； ③因为t秒时，点P表示的数为，点Q表示的数为，点R表示的数为， 所以， ， 所以， 所以在移动的过程中，的值不随着时间t的变化而变化，其值为11﹒ 题型十 数轴上的新定义动点问题 28．（25-26七年级上·湖南长沙·期末）定义： （I）若关于的方程的解与关于的方程的解满足（为非负数），则称方程与方程是“雅美方程”． （II）对于数轴上三个不同的点，给出如下定义：在线段中，若其中有两条线段相等，即或或，则称三点是“雅美点”． 根据上述定义回答下列问题： (1)点表示的数是，点表示的数是1，点表示的数是4，三点______（填“是”或“不是”）“雅美点”； 方程与是“雅美 方程”；（填写数字即可） (2)点表示的数是，点表示的数是1，点表示的数是4，且在，之间，若，，三点是“雅美点”，求的值； (3)若无论取任何有理数，关于的方程，（，为常数）与关于的方程是“雅美1方程”，求的值． 【答案】(1)①是；②2 (2) (3)或0 【分析】（1）①分别求出线段的长，然后根据定义进行判断； ②分别求出两个方程的解，计算，即可作出判断； （2）分别求出线段的长，然后根据定义进行判断； （3）求出方程的解为，根据两个方程是“雅美1方程”得到或，分别代入关于x的方程中，得到关于t的方程，根据无论t取任何有理数都成立进行求解即可． 【详解】（1）解：①∵点表示的数是，点表示的数是1，点表示的数是4， ∴，，， ∴， ∴三点是“雅美点”， 故答案为：是； ②解可得， ∴， ∴方程与是“雅美2方程”， 故答案为：2； （2）解：∵在，之间，且，，三点是“雅美点”， ∴， ∴，解得， 即的值为； （3）解：由得， ∵关于的方程，（，为常数）与关于的方程是“雅美1方程”， ∴， ∴或， ①当时，， ∴， ∵无论t取任何有理数都成立， ∴，， ∴，， ∴； ②当时，， ∴， ∵无论t取任何有理数都成立， ∴，， ∴，， ∴； 综上所述：的值为或0． 【点睛】本题考查新定义，两点间距离，解一元一次方程，求绝对值，理解题意准确列出方程是解题关键． 29．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）阅读理解，完成下列各题： 定义：已知、、为数轴上任意三点，若点到点的距离是它到点的距离的倍，则称点是的倍点．例如：如图，点是的倍点，点不是的倍点，但点是[，]的倍点，根据这个定义解决下面问题： (1)在图中，点A______的3倍点（填写“是”或“不是”）； (2)、为数轴上两点，点表示的数为，点表示的数为，且，若点是的倍点，则点表示的数为_________． (3)在（2）的条件下，数轴上一动点在、之间，表示的数为，且满足（为常数），若是的倍点，求和的值； 【答案】(1)是； (2)或． (3)，． 【分析】本题主要考查了数轴上的距离计算、绝对值的非负性、一元一次方程的应用，熟练掌握3倍点的定义和绝对值的性质是解题的关键． （1）根据3倍点的定义，计算点到点的距离和点到点的距离，判断是否满足3倍关系． （2）先根据绝对值的非负性求出、的值，再设点表示的数为，根据3倍点的定义列方程求解． （3）先根据（2）确定、的值，再根据是的3倍点列方程求出，进而求出的值． 【详解】（1）解：由图可知，点A表示的数是，点C表示的数是，点D表示的数是． 则，． ∵， ∴点A是的3倍点， 故答案为：是． （2）解：∵，且，， ∴，， 解得，． 设点E表示的数为， ∵点E是的3倍点， ∴，即． 当时，， 解得； 当时，， 解得； 当时，， 解得（不符合，舍去）． 综上，点E表示的数为或． 故答案为：或． （3）解：由（2）知，， ∴表示，表示． ∵是的3倍点，表示的数为， ∴，即， ∴， 解得或； ∵在之间， ∴（舍去）； ∴． 30．（25-26七年级上·河南周口·月考）定义：已知点，，为数轴上三点，我们规定：点到点的距离是点到点的距离的倍，则称是的“倍点”，记作：．例如：若点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，则是的“倍点”，记作：． 应用： 如图有一条数轴，、、为数轴上三点，分别对应，，． (1)①、两点之间的距离是__________； ②求的值； (2)若点在数轴上且，求点表示的数； (3)若点是数轴上一点，且，直接写出点表示的数． 【答案】(1)①8；②4； (2)2 (3)3或11 【分析】本题主要考查数轴上两点之间的距离，理解题中定义和分类讨论是解答的关键． （1）①根据两点之间的距离即可求解；②根据新定义，求得即可求解； （2）根据新定义得到点C为的中点，进而求解即可； （3）根据新定义分两种情况：点D在线段上和点D在线段的延长线上，分别求解即可． 【详解】（1）解：①∵、、为数轴上三点，分别对应，，． ∴、两点之间的距离是， 故答案为：8； ②由数轴知， ∴，则； （2）解：∵点C在数轴上且， ∴，则点C为的中点， ∴点C表示的数为； （3）解：因为D是数轴上一点，且，所以． 因为点A表示的数为，点B表示的数为5，所以． 当点D在点A，B之间时，点D表示的数为； 当点D在点B的右边时，点D表示的数为． 所以点D表示的数为3或11． 题型十一 数轴与绝对值综合 31．（25-26七年级上·四川凉山·期末）已知，且a、b、c满足，a、b、c所对应的点分别为A、B、C． (1)则 ， ． (2)若点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，若点B与点C之间的距离表示为，点A与点B之间的距离表示为．设运动时间为t秒，请问：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． (3)如图，若将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”．我们把在折线数轴上线段三段距离的和称为A、C两点间的路程，动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”向右运动，在上坡段运动期间速度变为原来的一半．点P从点A出发的同时，点Q从点C出发，以1个单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”向左运动，在下坡段运动期间速度变为原来的2倍，之后在段又以1个单位长度/秒的速度运动．当点P到达点B时，点P，Q均停止运动．设运动的时间为t秒．在某一时刻，P、Q两点在“折线数轴”上的路程为12个单位．求出此时t的值． 【答案】(1)10，18； (2)的值不会随着时间t的变化而改变，为； (3)当，15时，P、Q两点在“折线数轴”上的路程为12个单位 【分析】本题综合考查了列代数式，整式的加减，非负数的性质，数轴，一元一次方程的应用，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据非负数的性质即可求得b、c； （2）根据数轴表示数的意义，用含有t的代数式表示，再根据数轴上两点距离的计算方法进行计算即可； （3）设点P运动的路程为y，根据题意得：当时，，此时点P表示的数为，当时，，此时点P表示的数为，设点Q运动的路程为，根据题意得：当时，，此时点Q表示的数为，当时，，此时点Q表示的数为，当时，，此时点Q表示的数为，分情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：已知， ， ， ． 故答案为：10，18； （2）解：由（1）可知，， 设运动时间为t秒， 则， ， ∴的值不会随着时间t的变化而改变，为； （3）解：由（1）可知，，，， ， 设点P运动的路程为y， 当时，，此时点P表示的数为， 当时，，此时点P表示的数为， 设点Q运动的路程为， 当时，，此时点Q表示的数为， 当时，，此时点表示的数为， 当时，，此时点表示的数为， ∵P、Q两点在“折线数轴”上的路程为12个单位， 即， 情况1：，，， 则，即， ∴或， 解得，（舍去）； 情况2：，，， 则，即， 解得或， 即（符合），（舍去）； 情况3：，，， 则，即， 解得或， 即（舍去），（舍去）； 情况4：，，， 则，即， ∴或，即（舍去），（符合）， 综上，当，15时，P、Q两点在“折线数轴”上的路程为12个单位． 32．（25-26七年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，数轴上，，三点分别表示的数为、4、7，点表示的数为． 【阅读材料】：在数轴上表示数的点到原点的距离叫做的绝对值，记为，数轴上表示数的点与表示数的点的距离记（或），数轴上数表示的点到表示数的点与表示数的点的距离之和记为． 【初步运用】 （1）填空：若，则______；若，则______． 【延伸探究】 （2）若动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，当经过多少秒时，动点到点、点的距离之和为10； 【拓展探究】 （3）若点表示的数为，当取最小值时，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，、同时开始运动，当经过多少秒时，点、点之间的距离正好等于点N到点、点的距离和？（直接写出答案） 【答案】（1）3或1；； （2）或 （3）或 【分析】本题主要考查整式的加减运算，绝对值与数轴的综合应用，解决此题时，能够熟练掌握绝对值的性质是解决此题的关键． （1）根据绝对值的意义即可； （2）设点表示的数为，依题意，得再根据绝对值的意义分三种情况讨论即可； （3）若点表示的数为，当取最小值时，，设经过的时间为，再分情况讨论即可． 【详解】解：（1）∵， ∴或 解得或1； ∵即 ∴表示的数为1和的中点 ∴ （2）∵动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动， ∴设点表示的数为， ∵动点到点、点的距离之和为10， ∴ 当时，，， 解得； 当时，，， 此情况不成立，舍去 当时，，， 解得； ∴当经过或秒时，动点到点、点的距离之和为10， （3）若点表示的数为，当取最小值时，，设经过的时间为，则点表示的数为4， 点、表示的数分别为， 点、之间的距离为 点到点、点的距离和 当时，，， 即 解得在取值范围内，成立； 时，，， 即 解得 不在取值范围内，舍去； 当时，，， 即 解得在取值范围内，成立； 所以经过或秒时，点、点之间的距离正好等于点N到点、点的距离和． 33．（25-26七年级上·江西南昌·月考）数轴是重要的数学学习工具，利用数轴可以将数与形完美结合．如图1，数轴上的点表示数，点表示数，点在点的右侧．已知，满足 (1) ， ； (2)如图2，动点，分别从点，处同时向右移动，点的速度为4个单位长度/秒，点的速度为2个单位长度/秒，设运动时间为秒． ①当 ，点，重合； ②在运动过程中，当点是线段中点时，求运动时间； (3)如图3，点是中点，动点，分别从点，处同时向右移动，若点的速度为个单位长度/秒，点的速度为个单位长度/秒，设运动时间为秒．在运动过程中，试判断的值能否是定值？如果是定值，求此时，的数量关系． 【答案】(1)；16 (2) (3)是定值， 【分析】本题考查一元一次方程的应用，整式的加减运算，数轴，非负数的性质，绝对值和偶次方的非负性，掌握分类讨论的思想是解题的关键． （1）根据非负数的性质即可解答； （2）①由题意得：点表示的数为，点表示的数为，列方程求解即可； ②由题意得：点表示的数为，点表示的数为，当为中点时，则，据此列方程求解即可； （3）分情况讨论，①当点在的左侧时，②当点与重合时，③当点在的右侧时，表示出即可解答． 【详解】（1）解：、满足． ，， ，， 故答案为：；16． （2）解：①由题意得：点表示的数为，点表示的数为， 当点、重合时，即， 解得， 当，点、重合， 故答案为：12； ②由题意得：点表示的数为，点表示的数为， 当为中点时，，如图， 即， 解得； （3）解：，为中点， ， 点表示的数为：， ①当点在的左侧时，如图， ， ，， 代数式的值会随的增大而增大，不可能为定值； ②当点与重合时，，、的关系无法确定该代数式的值； ③当点在的右侧时，如图， ， 当时，代数式的值与无关， 综上，当点运动到点右侧且时，的值是定值48． 1．（25-26七年级上·河南郑州·期末）已知在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（    ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴与绝对值，整式的加减，掌握知识点是解题的关键． 由数轴判断出且，推导出，即可去绝对值进行化简． 【详解】解：由数轴，得 且， ∴， 则原式． 故选B． 2．（25-26七年级上·四川达州·期中）已知三个数，，的积为负数，和为正数，且，则的值为（） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】本题考查绝对值符号化简及代数式求值，由三个数的积为负数、和为正数，可知有两个正数和一个负数，据此可求出的值，再代入所求表达式计算即可，关键利用积和符号判断数的正负． 【详解】解：∵a、b、c的积为负数，和为正数， ∴三个数中有两个正数、一个负数． 设， 则，，，，，， ∴， ． ∴， ∴， 故选：A． 3．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）同一数轴上有点分别表示数，且满足等式，点表示的数是多项式的二次项系数，点在数轴上同时开始运动，点向左运动，速度为每秒3个单位长度，点均向右运动，速度分别为每秒3个单位长度和每秒4个单位长度，设运动时间为秒．若存在使得的值不随时间的变化而改变，则该定值为 ． 【答案】 【分析】根据平方和绝对值的非负性求出和的值，再根据多项式的系数确定点表示的数，进而表示运动后点表示的数，计算和的距离，代入表达式并整理，令的系数为0求出，最后得到定值． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∵多项式的二次项系数为2， ∴点B表示2， ∵点在数轴上同时开始运动，点向左运动，速度为每秒3个单位长度，点均向右运动，速度分别为每秒3个单位长度和每秒4个单位长度，设运动时间为秒， ∴运动秒后，点表示，点表示，点表示， ∴，， ∴， ∵使得的值不随时间的变化而改变， ∴， ∴， ∴此时， 故答案为：． 【点睛】本题考查了绝对值的非负性，平方的非负性，多项式的次数与系数，数轴上的动点问题，整式的加减法，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 4．（25-26七年级上·江苏无锡·月考）数形结合是解决数学问题的重要方法，我们可以从两个角度来看．从数的角度上看，可以对值的正负性进行分类讨论，从而去掉绝对值符号；从形的角度上看，可以看作是数轴上两点的距离，即点A、B在数轴上分别对应的数为a、b，则两点间的距离可表示为．请你利用以上方法解方程：得， ． 【答案】 0或 【分析】本题主要考查绝对值的几何意义，理解题意，掌握绝对值方程的计算是关键． 从数的角度，通过分类讨论绝对值内表达式的正负性求解；从形的角度，利用数轴上两点距离的意义理解方程． 【详解】解：方程为， 绝对值零点为和，将数轴分为三个区间讨论： 当时，，，方程化为， 整理得，解得，不符合题意，舍去； 当时，，，方程化为， 整理得，解得，符合题意； 当时，，，方程化为， 整理得，解得，符合题意； 故方程为或． 从形的角度，设数轴上点P对应x，点A对应，点B对应，，即点到点距离的2倍， ∴方程的几何意义为：， 当时，方程为，解得(舍去)； 当时，方程为，解得； 当时，方程为，解得； 故答案为：0或． 5．（25-26七年级上·广西崇左·月考）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： （1）数轴上表示和的两点之间的距离是 ；表示和两点之间的距离是 ；一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于，如果表示数和的两点之间的距离是，那么 ． （2）若数轴上表示数的点位于与之间，则的值为 ． （3）利用数轴找出所有符合条件的整数点，使得，这些点表示的数的和是 ． （4）当 时，的值最小，最小值是 ． 【答案】 或 【分析】本题考查数轴与绝对值的综合，解题关键在于根据数轴上点的位置化简绝对值，其次注意分类讨论问题，最后计算仔细即可． （1）本题根据数轴上两点距离运算规则直接求解即可． （2）本题首先根据已知判别与的正负，从而化简绝对值运算求解． （3）本题根据的范围分类讨论，化简绝对值后与比较大小，进一步确定的范围，最后在该范围内寻找符合条件的整数点． （4）本题首先在的不同范围下分类讨论，继而化简绝对值进行运算，进一步确定结果取值范围，最后比较不同情况下结果大小，取最小值． 【详解】（1）数轴上表示和的两点之间的距离是，； 表示和两点之间的距离是，； 一般地，数轴上表示和数的两点之间的距离等于， 如果表示数和的两点之间的距离是，则可记为：，那么或． 故答案为；；或． （2），． 故答案为． （3）当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 使得的所有整数为：，，，，，，，， ． 故答案为． （4）当时，， 当时，，则， 当时，，则， 当时，， 由上可得，当时，的值最小，最小值是. 故答案为；． 6．（25-26七年级上·四川绵阳·月考）已知有理数，，在数轴上的位置如图，且，化简： ． 【答案】 【分析】本题考查整式的加减、数轴、绝对值，明确整式的加减的计算方法，利用绝对值和数轴的相关知识是解答本题的关键． 根据数轴和，可以判断，，的正负和大小，可得到，，，，从而可以化简题目中所求的式子的值． 【详解】解：由数轴可知，，，，且， ∴，，，， ∴ ， ， ， ， 故答案为：． 7．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）已知数轴上三点M，N对应的数分别为，3，点P为数轴上任意一点，其对应的数为 (1)，N，P三点中，其中一个点是另外两个点连成的线段的中点把一条线段分成相等部分的点，那么x的值是 ． (2)数轴上是否存在点P，使点P到点M，点N的距离之和是6？若存在，请直接写出x的值；若不存在，请说明理由． (3)如果点P以每秒3个单位长度的速度从原点向右运动时，点M和点N都以每秒2个单位长度的速度也向右运动，且三点同时出发，那么几秒后，点P到点M，N的距离相等？ 【答案】(1)1或或7 (2)存在，或4 (3)经过1秒或7秒后，点P到点M，N的距离相等 【分析】本题主要考查数轴和一元一次方程的应用，解答本题的关键是根据数轴和路程问题，列出一元一次方程求解，注意分情况讨论，不要漏解． 对点P的位置进行分类讨论，利用数轴上两点之间的距离列出方程即可解答； 由题意得：，再对x的取值进行分类讨论即可解答； 表示出t秒后，点M，N，P表示的数，再对M，N，P三点的位置进行分类讨论，利用数轴上两点之间的距离列出方程即可解答． 【详解】（1）解：①若点P是线段的中点，则， 即， 解得． ②若点M是线段的中点，则， 即， 解得； ③若点N是线段的中点，则， 即， 解得， 故答案为：1或或． （2）解：存在，x的值为或4， 由题意得， ①当时，， 即， 解得； ②当时，， 即，方程无解； ③当时，， 即， 解得． 综上所述，x的值为或． （3）解：设时间为t秒，则t秒后，点M，N，P表示的数分别为，，， ①若点P是线段的中点，则， 则， 解得； ②若点M是线段的中点，则， 则， 解得舍去； ③若点N是线段的中点，则， 则， 解得； 综上所述，经过1秒或7秒后，点P到点M，N的距离相等． 8．（25-26七年级上·贵州贵阳·月考）探究与发现：表示a与b之差的绝对值，实际上也可理解为a与b两数在数轴上所对应的两点之间的距离．如的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数5的点之间的距离．已知a，b满足，a，b分别对应数轴上的A，B两点． (1)直接写出______，_______； (2)若点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度向数轴正方向运动，求运动时间为多少时，点P到点A的距离是点P到点B的距离的2倍？ (3)数轴上还有一点C对应的数为30．若点P和点Q同时从点A和点B出发，分别以每秒3个单位长度和每秒1个单位长度的速度向C点运动．P点到达C点后，再立刻以同样的速度返回，运动到终点．求点P和点Q运动多少秒时，P，Q两点之间的距离为4？并求此时点Q对应的数． 【答案】(1)4，16 (2)运动时间为或8秒 (3)点P和点Q运动4秒、8秒、9秒或11秒时，P、Q两点之间的距离为4，此时点Q对应的数为20、24、25或27 【分析】本题主要考查绝对值的非负性、数轴上两点距离及一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意； （1）根据绝对值的非负性可进行求解； （2）设t秒后，点P到点A的距离是点P到点B的距离的2倍，由题意易得t秒后，点P在数轴上所表示的数为，则有，然后问题可求解； （3）设点P和点Q运动m秒时，P，Q两点之间的距离为4，由题意可分当时，则有点P所表示的数为，点Q所表示的数为，当时，则有点P所表示的数为，点Q所表示的数为，当时，此时点Q所表示的数为，进而分类进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，且， ∴， ∴； 故答案为4，16； （2）解：设t秒后，点P到点A的距离是点P到点B的距离的2倍，由题意得： t秒后，点P在数轴上所表示的数为， ∴， ∴， 解得：或； 答：运动时间为或8秒时，点P到点A的距离是点P到点B的距离的2倍 （3）解：设点P和点Q运动m秒时，P，Q两点之间的距离为4，由题意得：点P到达点C的时间为，当点Q到达点C的时间为， ①当时，则有点P所表示的数为，点Q所表示的数为， ∴， 解得：或， 此时点Q所表示的数为或； ②当时，则有点P所表示的数为，点Q所表示的数为， ∴， 解得：或， 此时点Q所表示的数为或； ③当时，此时点Q所表示的数为， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）； 综上所述：点P和点Q运动4秒、8秒、9秒或11秒时，P、Q两点之间的距离为4，此时点Q对应的数为20、24、25或27． 9．（25-26七年级上·江苏徐州·月考）已知： b是最小的正整数， 且a、b满足， 请回答问题∶ (1)请直接写出a、b、c的值，_______，_____； (2)数轴上a、b、c三个数所对应的分别为A、B、C，点B与点C之间的距离表示为，点A 与点B之间的距离表示为，点A与点C之间的距离表示为，点A、B、C同时开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，点B 和点 C分别以每秒1 个单位长度和3 个单位长度的速度向右运动． ①经过2秒后，点A 与点 C之间的距离 ． ②经过t秒后，请问：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值、 【答案】(1) (2)①；②不变，理由见解析 【分析】本题考查最小正整数定义，绝对值和完全平方非负性，数轴上两点间距离，数轴上动点问题等． （1）根据题意可得，利用绝对值和完全平方非负性可知，； （2）①经过2秒后，可知点A 表示的数为，点C表示的数为，继而可求出本题答案；②经过t秒后，点A表示的数为，点表示的数为，点C表示的数为，继而可得，，继而得到，继而可知不会随着时间t的变化而改变． 【详解】（1）解：∵b是最小的正整数， ∴， ∵， ∴， ∴，， 故答案为：； （2）解：①∵点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，点C以3个单位长度的速度向右运动， ∵点A现在表示的数为，点C现在表示的数为， ∴经过2秒后，可知点A 表示的数为，点C表示的数为， ∴， 故答案为：14； ②不变，理由如下： ∵点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，点B和点C分别以每秒1个单位长度和3 个单位长度的速度向右运动， ∴经过t秒后，点A表示的数为，点表示的数为，点C表示的数为， ∴，， ∴， ∴的值不会随着时间t的变化而改变． 10．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）如图，已知点、、、在数轴上对应的数分别是、、、，其中、满足，点到原点距离是点到原点距离的倍． (1)填空： _____， _____， _____； (2)如图，若点、、分别同时以每秒个单位长度、个单位长度和个单位长度的速度匀速向左运动，假设经过秒后，点与点之间的距离表示为． ①为何值时，？ ②若的值始终保持不变，求的值： (3)如图，将数轴在原点、点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”．动点从点出发．以每秒个单位长度的速度沿“折线数轴”的正方向匀速运动至点，同时，动点从点出发以每秒个单位长度沿着“折线数轴”的负方向变速运动，该点在平地保持初始速度不变，上坡时速度变为初始速度的一半，下坡时速度变为初始速度的两倍，设运动时间为秒．若、两点在点处相遇，则点表示的数为_____． 【答案】(1)，， (2)①，② (3) 【分析】（1）由可得：，，从而可求出、，再根据点到原点距离是点到原点距离的倍，可求出； （2）①把，用含有的式子表达，根据列出关于的方程即可求解； ②先把、的长度分别用含有的式子表达，然后再用含有的式子表达出，由的值始终保持不变，可令，分别得出的值，最后列出关于的一元一次方程即可求解； （3）先由题意分别计算点运动到点、、三点时的值，再分类讨论在、、上相遇的值是否符合题意即可． 【详解】（1）解：， ，， 解得：，， 点到原点距离是点到原点距离的倍，， ， ， 故答案为：，，； （2）解：①由（1）可知，，，， ∴点向左平移对应的点的数是，点向左平移对应的点的数是，点向左平移对应的点的数是， ，， ， ， ； ②已知点以每秒个单位长度向左运动，以每秒个单位长度向左运动，以每秒个单位长度向左运动， ，， ， 第一种情况：当时，， 令时，；令时，； 的值始终保持不变， ， ； 第二种情况：当时，， 令时，；令时，； 的值始终保持不变， ∴， 解得，； ∵， ∴不符合题意，舍去， ∴． （3）解：点表示的数为，以每秒个单位长度的速度沿正方向运动至点， ∴移动后的数表示为：，当点移动至点时，， ∴， 根据题意可知、、， ∴当点运动到点时，；运动到点时，，运动到点时，， ①点、点在上相遇， 则，， ∵， ∴不符合题意； ②点、点在上相遇， 则， ， ∵， ∴不符合题意； ③点、点在上相遇， 则，， ∵，符合题意， ∴点表示的数为：， ∴点表示的数为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元一次方程，数轴上的动点问题，如何表示线段的长度，绝对值的非负性，解题的关键是读懂题意，找到等量关系并列出方程，分类讨论，还需注意运动过程中速度的变化． 11．（24-25七年级上·广东佛山·月考）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础，请同学们解决下面有关数轴的问题： (1)如图已知数轴上点A、B分别表示a、b，且与互为相反数，O为原点． ①______，______； ②将数轴沿某个点折叠，使得点A与表示的点重合，则此时与点B重合的点所表示的数为______； (2)m、n两数在数轴上所对的两点之间的距离可以表示为．例如，5与两数在数轴上所对的两点之间的距离可以表示为，从而很容易就得出在数轴上表示5与两点之间的距离是7． ①若x表示一个有理数，则的最小值______． ②若x表示一个有理数，且，则满足条件的所有整数x的和是______． ③当______时，取得最小值． (3)数轴上点C、D表示的数分别为4、． ①动点P从D出发，沿数轴正方向以每秒2个单位长度的速度运动．经过多少秒P与C的距离是2个单位长度． ②在①的条件下，动点P出发的同时，动点Q从C出发，沿着数轴负方向以每秒1个单位长度的速度运动，经过______秒，点Q到点D的距离是点P到点C距离的2倍？ 【答案】(1)①，② (2)①②③ (3)① 经过秒或秒 ②或 【分析】（1）①利用平方和绝对值的非负性求得的值；②折线与数轴的交点为重合两点的中点，利用数轴上两点间的距离找到中点所表示的数，进而可求得与B点重合的点所表示的数； （2）①利用绝对值的几何意义进行求解；②利用绝对值的几何意义进行求解；③利用绝对值的几何意义进行求解； （3）① 秒点表示的数为，根据P与C的距离是2个单位长度，列方程求解即可②运动秒后，点表示的数为，点表示的数为 ．依题意列方程，求得符合题意的解即可． 【详解】（1）解：①， 解得 ，， 故答案为：，； ②点与表示的点重合，则此两点间的距离为， ∵折线与数轴的交点为这两个点的中点， ∴中点与A的距离为， ∴中点表示的数为， 点B与中点的距离为， 则与B点重合的点表示的数为． 故答案为：5； （2）解：① 表示数轴上点到与的距离之和， 当 时，该和最小，为． 故答案为； ② 表示点到与的距离之和等于， ∵， ∴当时等式恒成立， 整数有 ， 和为 故答案为：； ③ 表示点到2，3，4三点的距离之和， 由绝对值几何意义，当 时该和最小． 故答案为：； （3）解：① 由题意，运动 秒点表示的数为， P与C的距离是2个单位长度， 则， 解得 或 ， 即 或 ． 答：经过秒或秒，P与C的距离是2个单位长度； ② 运动秒后，点表示的数为，点表示的数为 ．依题意： 当 时，， 得 ， ， ； 当 时， ， 得 ， ， ； 当 时， ， 得 ， ， （舍）． 故答案为：或． 【点睛】本题考查绝对值的非负性、数轴折叠对称点、绝对值的几何意义、解方程，掌握相关知识是解决问题的关键． 12．（25-26七年级上·福建龙岩·期中）阅读并理解下列材料： 数轴是初中数学学习的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，研究数轴我们发现了许多重要的规律．数轴上点、分别表示数、，则、两点之间的距离为，将数轴沿表示的点折叠，可使点、重合，例如点表示的数是2，点表示的数是6，则、两点之间的距离，将数轴沿表示的点折叠，可使点、重合． 请你解决以下问题： 数轴上点、、分别表示数、、，其中． (1)若、满足，则_________，_________，两点之间的距离为_________； (2)若沿该数轴上某点折叠，使点、点重合，求与点重合的点表示的数（用含、、的代数式表示）； (3)若，在数轴上点以每秒个单位长度的速度向左匀速运动，同时点以每秒4个单位长度的速度向右匀速运动，运动秒后，_________，_________，则若运动过程中，的值不变，求的值． 【答案】(1)，6，8 (2) (3)， 【分析】本题考查数轴上两点之间的距离，非负数的性质，用数轴上的点表示有理数，一元一次方程的应用，整式加减的应用．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键． （1）利用非负数的性质求得、的值，再利用两点之间的距离公式即可求解； （2）先求得折叠点的坐标为，设与点重合的点表示的数为，再列式计算即可求解； （3）设运动为秒，得到点表示的数为，点表示的数为，再利用两点之间的距离公式，整理得到，根据题意得到求解即可． 【详解】（1）解：， ，， ，， ， 则，两点之间的距离是8． 故答案为：，6，8； （2）解：使点、点重合的折叠点为， 设与点重合的点表示的数为， ， 解得， 所以与点重合的点表示的数； （3）解：由题意得点表示的数为，点表示的数为，， ，， ， ， 的值不变， ， ． 故答案为：． 1．（25-26七年级上·全国·假期作业）（1）数学实验室： 若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的距离表示为AB，即． 利用数轴回答下列问题： ①数轴上表示2和5两点之间的距离是　　， ②数轴上表示x和的两点之间的距离表示为______． ③若x表示一个有理数，且，则______． ④若x表示一个有理数，且，则有理数x的取值范围 　． （2）三个数a、b、c的积为负数，和为正数，且，则的值是　　． （3）定义一种对正整数n的“F运算”：①当n为奇数时，结果为；②当n为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如，取，则： 若，则第2016次“F运算”的结果是　　． 【答案】（1）①3；②；③4；④或；（2）；（3）1 【分析】（1）①②在数轴上A、B两点之间的距离，依此即可求解； ③根据绝对值的性质去掉绝对值号，然后计算即可得解； ④由于，可得有理数的取值范围是的左边，的右边； （2）由三个数a、b、c的积为负数，可知三数中只有一个是负数，或三个都是负数；又三数的和为正，故a、b、c中只有一个是负数，根据对称轮换式的性质，设三种情况，分别求的值即可； （3）由于是奇数，则第一次利用①进行计算，得到结果1352，此时是偶数，利用②进行计算，除以8，才能成为奇数，然后再利用①计算得到结果是512，接着利用②除以512才能成为奇数，结果为1，再利用①结果为8，以后的结果一直循环，利用这个规律即可求出结果． 【详解】解：（1）①数轴上表示2和5两点之间的距离是； ②数轴上表示和的两点之间的距离表示为； ③， ； ④， 有理数的取值范围或， 故答案为：，，，或； （2）， 中只有一个是负数，或三个都是负数，且都不为0， 又， 中只有一个是负数． 设或或， 则或或， ∴或或， ∴， ∴ ， 故答案为：； （3）第一次：， 第二次：， 根据题意得时结果为169； 第三次：， 第四次：∵512是2的9次方， ∴， ∴； 第五次：； 第六次：，∵8是2的3次方， ∴， ∴计算结果是1， 则此后计算结果8和1循环． ∵2016是偶数， ∴第2016次“运算”结果是1． 故答案为：． 【点睛】此题考查了数轴，绝对值的性质，数轴上两点间的距离，注意分类思想的运用，整式的运算和数字规律，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 2．（25-26七年级上·四川成都·期中）数轴上点A，点B表示的数分别为a，b，则A，B两点之间的距离．利用数轴解决以下问题： (1)若，则________； (2)的最小值为________； 的最小值为________； (3)10月26日，2025年成都马拉松鸣枪开跑！这场被誉为“最具烟火气”的城市赛事，以穿越宽窄巷子、锦里古街的人文赛道闻名全国．在某一段经过天府广场O的笔直跑道，跑道上有A、B、C三个补给站，分别位于天府广场左侧，右侧和右侧．为了能够减轻工作人员负担，组委会使用了无人机配合工作人员从赛道旁某物资存放处分别向A、B、C三个补给站进行货物配送．工作人员只配送A补给站，无人机配送B、C补给站．工作人员配送成本为2元/公里，无人机配送成本1元/公里，请问，物资存放处设在何处能使单次配送成本最低，并求出最低的配送成本费． 【答案】(1)5或1 (2)11；5 (3)物资存放处设在A、B之间时，能使单次配送成本最低，最低的配送成本费为20元 【分析】本题主要考查了数轴，绝对值的意义，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键． （1）利用绝对值的意义解答即可； （2）利用数轴上点的特征与绝对值的意义解答即可； （3）以天府广场O为原点，天府广场向右的方向为正方向，建立数轴，则A、B、C三个补给站对应的数字为，5，9，设物资存放处对应的数字为，配送成本费为元，利用绝对值的意义和分类讨论的思想方法解答即可． 【详解】（1）解：， 或， 或1． 故答案为：5或1． （2）解：表示数轴上到与到8的距离之和， 当在与8之间时，取最小值，最小值为； 表示数轴上到、到2与到的距离之和， 当时，，此时和最小． 故答案为：11；5． （3）解：以天府广场O为原点，天府广场向右的方向为正方向，建立数轴，则A、B、C三个补给站对应的数字为，5，9，如图， 设物资存放处对应的数字为，配送成本费为元， ， 当时，， ， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，（元），取得最小值， 物资存放处设在A、B之间时，能使单次配送成本最低，最低的配送成本费为20元． 3．（25-26七年级上·湖北武汉·月考）A，B在数轴上，分别表示数，，且． (1)直接写出的值是 ，的值是 ，线段的长度是 ； (2)如图1，是一条定长的线段（点在点的左侧），它在数轴上从左向右匀速运动，在运动过程中，线段完全经过点（即点在线段上的这段过程）所需的时间为3秒，线段完全经过线段（即线段与线段有公共点的这段过程）所需的时间为15秒． ①求线段的长； ②直接写出线段运动的速度为 个单位长度/秒； ③如图2，当动线段运动到点与点重合时，与此同时，点从点出发，在动线段上，以1个单位长度/秒的速度向点运动，遇到点后，点立即原速返回，向点运动，遇到点后也立即原速返回，向点运动．设动线段，以及点同时运动的时间为秒（），当时，求的值． 【答案】(1)，21，24 (2)①；②2；③的值是或 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，数轴动点问题． （1）根据题意，可知，，即可算出m与n的值，线段用两点间的距离公式即可解出； （2）①设的长度为m，根据题目，我们知道，解这个方程即可； ②根据题目直接计算即可； ③当时，点P对应的数是，点C从P到点Q需要秒，由此开始秒后，点P对应的数是，点Q表示的数是，再根据，，，分四种情况讨论即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 解得，， ∴， 故答案为：，21，24； （2）解：①设的长度为m， 则， 解得， ∴线段； ②∵线段完全经过点A所需的时间为3秒， ∴， 即运动的速度为2个单位长度/秒， 故答案为：2； ③当时，点P对应的数是，点C从P到点Q需要秒， 由此开始秒后，点P对应的数是，点Q表示的数是， 当点Q到达点时，，解得， 分三种情况讨论： 阶段1：当时，点未到达点，点从点出发，未到达点，此时点C对应的数是， ∴，， ∵， ∴， 解得； 阶段2：当时，点未到达点，点到达点，开始返回点，此时点C对应的数是， 当时，点C对应的数是9， ∴，， ∵， ∴， 解得（舍去）； 阶段3：当时，点已经超过点，点到达点，又返回向点运动，此时点C对应的数是， ∴，， ∵， ∴， 解得； 阶段4：当时，点已经超过点，点到达点，又返回向点运动，此时点C对应的数是， ∴，， ∵， ∴， 解得（舍去）； 综上，的值是或． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 完成时间： 月 日 天气： 拓展寒假作业 数轴与绝对值的综合 一、两个绝对值和的最值问题 目的是在数轴上找一点x，使x到a和b的距离和的最小值： 分类情况（的取值范围） 图示 取值情况 当时 无法确定 当时 的值为定值，即为 当 无法确定 结论：式子在时，取得最小值为. 二、两个绝对值差的最值问题 目的是在数轴上找一点x，使x到a和b的距离差的最大值和最小值： 分类情况（的取值范围） 图示 取值情况 当时 的值为定值，即为— 当时 当 的值为定值，即为 结论：式子在时，取得最小值为；在时，取得最大值. 三、n个绝对值和的最值问题 最小值规律： ①当有两个绝对值相加： 若已知，的最小值为，且数的点在数，的点的中间； ②当有三个绝对值相加： 若已知，的最小值为，且数的点与数的点重合； ③当有（奇数）个绝对值相加： ，且，则取中间数，即当时，取得最小值为； ④当有（偶数）个绝对值相加： ，且，则取中间段， 即当时，取得最小值为. 四、已知范围的绝对值化简 ①判断绝对值符号里式子的正负； 两数相减：大的数-小的数＞0，转化到数轴上：右-左＞0；小的数-大的数＜0，转化到数轴上：左-右＜0. 两数相加：正数＋正数＞0，转化到数轴上：原点右侧两数相加＞0； 负数＋负数＜，转化到数轴上：原点左侧两数相加＜0； 正数＋负数：取绝对值较大数的符号，转化到数轴上：原点两侧两数相加，取离原点远的符号. ②将绝对值符号改为小括号： 若正数，绝对值前的正负号不变（即本身）；若负数，绝对值前的正负号改变（即相反数）. ③去括号：括号前是“＋”，去括号，括号内不变；括号前是“－”，去括号，括号内各项要变号. ④化简. 五、绝对值的性质 绝对值的性质：①正数的绝对值是它本身，即； ②0的绝对值是0，即；③负数的绝对值是它的相反数，即；④绝对值具有非负性，即. 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 两个绝对值的和的最值 1．（25-26七年级上·江苏·假期作业）（1）数轴上点A，B对应的数分别是a，b，则，若点A在数轴上表示3，点B在数轴上表示1，那么 ； （2）在数轴上表示x的点与的距离是3，那么 ； （3）在数轴上表示a的点位于和3之间（包含两端），求的值； （4）对于任意有理数x，则的最小值是 ． 2．（24-25七年级上·海南省直辖县级单位·期中）已知、在数轴上分别表示，． (1)可以利用数轴填写下表： 5 3 2 0 、两点的距离 (2)若、两点间的距离记为，试问：和有何数量关系？ (3)在数轴上标出所有符合条件的整数点，使它到3和的距离之和为6，并写出这些点对应的整数； (4)若点C表示的数为，当点C什么位置时，取得的值最小？最小值为多少？ 3．（24-25七年级上·河南漯河·月考）我们知道一个数的绝对值的几何意义是：在数轴上表示这个数的点离原点（表示数0）的距离，的绝对值表示为，也可以写成，比如； 在数轴上表示两个数，的点之间的距离可以表示为，比如，表示的点与的点之间的距离表示为； 可以表示点与点1之间的距离跟点与之间的距离的和，根据图示易知：当点的位置在点和点之间（包含点和点）时，点与点的距离跟点与点的距离之和最小，且最小值为，即的最小值是，且此时的值为． 请根据以上阅读，解答下列问题： (1)表示的点与的点之间的距离表示为__________； (2)的最小值是__________，此时的取值范围为__________； 题型二 两个绝对值的差的最值 【变式1】（2022秋·全国·七年级专题练习）学习了绝对值我们知道，，用这一结论可化简含有绝对值的代数式．如化简代数式时，可令和，分别求得和，我们就称和分别为|和|的零点值在有理数范围内，零点值，可将全体有理数分成不重复、不遗漏的五个部分，可在演草本上画出数轴，找到对应的部分然后进行分类讨论如下： ①当时，原式； ②当时，原式； ③当时，原式； ④当时，原式； ⑤当时，原式． 综上所述，原式，以上这种分类讨论化简方法就叫零点分段法，其步骤是：求零点、分段、区段内化简、综合，根据以上材料解决下列问题： (1)化简代数式； (2)的最大值是 ．（请直接写出结果） 【变式2】（2022秋·北京朝阳·七年级校考期中）阅读下面材料并解决有关问题： 我们知道，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式， 现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式， 如化简代数式时，可令和，分别求得（称-1，2分别为与的零点值）．在次数范围内，零点值和可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情况： a.；b.；c.． 从而化同代数式可分以下3种情况： ①当对，原式； ②当时，原式； ③当时，原式． 综上讨论，原式， 通过以上阅读，请你解决以下问题： (1)化简代数式． (2)求的最大值． 【变式3】（2022秋·贵州遵义·七年级校考阶段练习）已知在数轴上点，分别表示有理数，． (1)仔细阅读表格并对照数轴填空： 8 5 4 0 ，两点间的距离 4 8 4 (2)写出数轴到表示6和的点的距离之和为12的所有点所表示的整数（除6和外）； (3)若点表示的数为（除6和外），则在什么范围内时，的值总是一个固定值，并求出这个固定值； (4)若点表示的数为，直接写出的最大值；当点在什么位置时，的值最小？最小值多少？ 题型三 多个绝对值的和的最值 7．（25-26七年级上·四川巴中·期末）【背景知识】数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作，数轴上表示数a的点与表示数b的点的距离记作，如数轴上表示数5的点与表示数7的点的距离为，表示数轴上表示数5的点与表示数的点的距离，表示数轴上表示数a的点与表示数5的点的距离．根据以上材料回答下列问题： 【初步应用】 （1）①数轴上表示数的点与表示数3的点的距离为______； ②若，则______； 【深入探究】 （2）求的最小值．以下是小明的解答过程： 解：记点P，A，B分别表示数x，，3，点P、点A的距离，点P、点B的距离． 当点P在点A的左边，即时，如图①，此时，． ∴，即． 当点P在线段上，即时，如图②，此时． 即， 当点P在点B的右边时，即时，如图③，此时，． ∴，即． ∴当时，有最小值，最小值为5． 请根据小明的解答过程，完成下列问题： 求式子的最小值． 【解决问题】 （3）某公司办公楼有6层，公司要召开会议，从1层到6层每层参会人数分别为1，2，1，2，3，3．由于电梯出了故障，要使所有参会人员到会议地点走楼梯的距离和最短，请你直接写出会议地点应设在第几层？ 8．（25-26七年级上·河南郑州·期中）点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间距离表示为．回答下列问题： (1)若x表示一个有理数，则的最小值为______；当取最小值时，x的值为______； (2)已知，则的最大值为______． 9．（25-26七年级上·四川泸州·期中）如图，数轴上有，，三个点，，，对应的数分别是，，，且满足． （1）则______，______，______． 【阅读材料】在数轴上表示数的点到原点的距离叫做的绝对值，记为，数轴上表示数的点与表示数的点的距离记为（或），数轴上数表示的点到表示数的点与表示数的点的距离之和记为． 【初步运用】 （2）若式子，则______；若式子，则______． 【延伸探究】 （3）若式子取最小值时，最小值是______；当式子取最小值时，则______． 【拓展探究】 （4）若动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向左运动，当点运动多少秒时，动点到点、点的距离之和为． 题型四 绝对值中最值问题的应用 10．（25-26七年级上·江西上饶·期中）【定义新知】 我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离．因为，所以的几何意义就是数轴上x所对应的点与－1所对应的点之间的距离． 回答下列问题： （1）数轴上表示x和2的两点A和B之间的距离是______．当，那么x为______． （2）当的最小值是______． （3）的最大值为______． （4）当______时，的值最小． 【解决问题】 （5）如图，一条笔直的公路边有四个居民区A、B、C、D和市民广场O，居民区A、B、C、D分别位于市民广场左侧5km、左侧1km、右侧1km、右侧3km．现需要在该公路边上建一个便民服务点P，那么这个便民服务点P建在______，能使服务点P到四个居民区A、B、C、D的总路程最短？最短路程是______km． 11．（25-26七年级上·广东佛山·月考）综合与实践： 【问题情境】 数学活动课上，王老师出示了一个问题：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离利用数形结合思想回答下列问题： （1）数轴上表示2和9两点之间的距离是 ，数轴上表示5和的两点之间的距离是 ； 【独立思考】 （2）试用数轴探究：当时，m的值为 ； （3）利用数轴，求出当时x的值； 【实践探究】 （4）请你能借助“数轴”这个工具帮助小红解决下列问题：一天，小红去小明家做客，小明爷爷想考考小红，就说：“我若是小明现在这么大，小明还要34年才出生，小明若是我现在这么大，我已经98岁，是老寿星了，哈哈！”请求出小明爷爷和小明现在的年龄 12．（25-26七年级上·福建福州·期中）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上所对应的点与2所对应的点之间的距离．因为，所以的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离．回答下列问题： (1)①数轴上表示和2的两点和之间的距离是____________； ②在①的情况下，如果，那么为____________； (2)探究问题：代数式的最小值是多少？ 如图，点A、B、P分别表示数， 的几何意义是线段与的长度之和， ∴当点在线段上时，； 当点在点的左侧或点的右侧时，， 的最小值是3． 请你根据上述自学材料，探究解决下列问题： ①直接写出式子的最小值是____________； ②工厂加工车间工作流水线上依次间隔2米排着5个工作台，一只配件箱应该放在工作____________处，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短，最短路程是____________米； (3)若在数轴上点A、B表示的数分别是．动点从点出发，沿数轴以每秒3个单位长度的速度向终点匀速运动；同时，点从点出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向终点匀速运动，设点的运动时间为秒．当点与点之间的距离为9个单位长度时，求的值． 题型五 已知范围的绝对值化简 13．（25-26七年级上·江西南昌·期末）已知有理数a，b，c在数轴上的对应点如图所示， (1)用“＜”或“＞”填空：______0，______0，______0； (2)化简：． 14．（25-26七年级上·四川凉山·期末）有理数在数轴上的位置如图，    (1)_______________0（填“”或“”）． (2)化简 15．（25-26七年级上·四川凉山·期末）已知有理数a，b，c，满足a，b互为相反数，，． (1)若，，请画出数轴，并在数轴上表示出有理数a，b，c． (2)若，用“”或“”填空：______0；______0；______0． (3)若，化简式子：． 题型六 未知范围的绝对值化简 16．（25-26七年级上·四川南充·期末）分类讨论是一种重要的数学方法，如在化简时，可以这样分类：当时，；当时，；当时，．用这种方法解决下列问题： (1)当时，求的值． (2)当时，求的值． (3)若有理数a、b均不等于零，试求的值． 17．（25-26七年级上·安徽淮北·期末）我们在学习绝对值时知道了． (1)若，则________； (2)若，都不为0，求的值； (3)若，，求的值． 18．（25-26七年级上·全国·假期作业）阅读材料：，即当时，；当时，．用这个结论解决下面的问题： (1)如果，那么的取值范围是 ． (2)是有理数，当时，的值为 ． (3)是三个非零的有理数，且，求的值． (4)为四个非零的有理数，求的值． 题型七 数轴上的动点问题 19．（25-26七年级上·河北保定·期末）如图，数轴上点A表示的有理数为，点B表示的有理数为9，点P从点B出发，以每秒4个单位长度的速度在数轴上向左运动，当点P到达点A后立即返回，再以每秒2个单位长度的速度向右运动，回到点B后停止运动．设点P运动的时间为． (1)当点P返回到点B时，求t的值； (2)当时，求点P表示的数； (3)当点P表示的数是时，求t的值． 20．（25-26七年级上·河南商丘·月考）在数轴上，一只蚂蚁从原点出发，它先向右爬了个单位长度到达点，再向右爬了个单位长度到达点，然后又向左爬了个单位长度到达点． (1)画出数轴，标出三点在数轴上的位置； (2)根据点在数轴上的位置，点可以看作是蚂蚁从原点出发，向哪个方向爬了几个单位长度到达的？ (3)若蚂蚁从点出发，先向右爬了个单位长度，再向左爬了个单位长度，此时它恰好回到了原点，求点表示的数． 21．（25-26七年级上·河北邢台·月考）综合与探究 【问题情境】 数学活动课上，老师展示了一个问题：如图，已知数轴上点O为原点，A、B两点所表示的数分别为和8． 【实践探究】 (1)线段的长为______； (2)动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为秒． ①当时，请用含t的代数式表示点表示的数，以及线段、的长； ②若点是线段的中点，点是线段的中点，说明线段的长度与点的运动时间无关． 题型八 数轴上多动点运动问题22．（25-26七年级上·湖北孝感·期中）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离为． 【问题情境】如图，已知数轴上有A、B、C三个点，它们表示的数分别是、、8，A到C的距离用表示，由于，所以． 【综合运用】 (1)填空： ， ； (2)若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点B和点C分别以每秒4个单位长度和9个单位长度的速度向右运动，运动时间为t秒，试探索：的值是否随着时间t的变化而改变？请说明理由． (3)若动点P从C点出发，点P以每秒3个单位长度的速度向右移动，当点P移动2秒时，点Q才从原点O点出发，并以每秒2个单位长度的速度向右移动．设点P移动的时间为t秒，写出P、Q两点间的距离（用含t的代数式表示）． 23．（25-26七年级上·浙江嘉兴·期中）【背景知识】 数轴是重要的数学学习工具，利用数轴可以将数与形完美结合．已知结论：数轴上点、表示的数分别为、，则、两点之间的距离；线段的中点表示的数为． 【知识运用】 （1）点、表示的数分别为、，若与互为倒数，与互为相反数．则、两点之间的距离为_________；线段的中点表示的数为_________． 【拓展迁移】 （2）在（1）的条件下，动点从点出发以每秒3个单位的速度沿数轴向左运动，动点从点出发以每秒5个单位的速度沿数轴向左运动，点是线段的中点． ①点表示的数是_________（用含的代数式表示）； ②线段、的长度随时间的变化而变化，当点在点左侧时，是否存在常数，使为定值？若存在，求常数及该定值；若不存在，请说明理由． 24．（25-26七年级上·陕西渭南·期中）【问题背景】 在数轴上，点在原点的左侧，点在原点的右侧，点距离原点12个单位长度，点距离原点2个单位长度． 【初步探究】 （1）点表示的数是________，点表示的数为________； （2）若点是数轴上的点，且点到点的距离为6，求点表示的数及，两点之间的距离； 【深度拓展】 （3）若点是数轴上的点，点到点与点到点的距离相等．若点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左移动，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右移动，经过秒，求，两点之间的距离．（用含的代数式表示） 题型九 数轴上动点中定值不变问题 25．（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）【问题背景】 如图，A，B，C是数轴上的三个点，点A在点C的左侧，且点A，C到原点O的距离均为3，点B在数轴的负半轴上，且B，C两点间的距离为4． 【初步探究】 （1）点A表示的数为_______，点B表示的数为_______，点C表示的数为_______； 【拓展延伸】 （2）点A，B，C同时开始在数轴上运动，点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，点B和点C分别以每秒1个单位长度和每秒3个单位长度的速度向右运动．若运动时间为t秒． ①用含t的代数式分别表示点A，B，C移动后表示的数； ②若将B，C两点间的距离表示为m，A，B两点间的距离表示为n，判断的值是否是定值，并说明理由． 26．（25-26七年级上·重庆长寿·期中）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离，线段的中点表示的数为 【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒 【综合运用】 (1)填空： A、B两点间的距离 ，线段的中点C表示的数为 ； (2)求当t为何值时，； (3)若点M为的中点，点N为的中点，点P在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段的长． 27．（25-26七年级上·云南文山·期中）如图1，若数轴上点A、点B表示的数分别为a，b（），则线段的长（点A到点B的距离）可表示为，请用上面材料中的知识解答下面的问题： 如图，一个点从数轴上的原点开始，先向右移动6个单位长度到达点A，再向左移动2个单位长度到达点B，然后再向右移动3个单位长度到达点C． (1)请在图2中表示出A、B、C三点的位置： (2)若点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，同时点Q、R从点B、点C分别以每秒2个单位长度、每秒3个单位长度速度沿数轴向右匀速运动．设移动时间为t秒（）． ①两点间的距离______； ②用含t的代数式表示：t秒时，点P表示的数为______，点Q表示的数为______，点R表示的数为______； ③探究：在移动的过程中，的值是否随着时间t的变化而变化？若变化说明理由；若不变，请求其值． 题型十 数轴上的新定义动点问题 28．（25-26七年级上·湖南长沙·期末）定义： （I）若关于的方程的解与关于的方程的解满足（为非负数），则称方程与方程是“雅美方程”． （II）对于数轴上三个不同的点，给出如下定义：在线段中，若其中有两条线段相等，即或或，则称三点是“雅美点”． 根据上述定义回答下列问题： (1)点表示的数是，点表示的数是1，点表示的数是4，三点______（填“是”或“不是”）“雅美点”； 方程与是“雅美 方程”；（填写数字即可） (2)点表示的数是，点表示的数是1，点表示的数是4，且在，之间，若，，三点是“雅美点”，求的值； (3)若无论取任何有理数，关于的方程，（，为常数）与关于的方程是“雅美1方程”，求的值． 29．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）阅读理解，完成下列各题： 定义：已知、、为数轴上任意三点，若点到点的距离是它到点的距离的倍，则称点是的倍点．例如：如图，点是的倍点，点不是的倍点，但点是[，]的倍点，根据这个定义解决下面问题： (1)在图中，点A______的3倍点（填写“是”或“不是”）； (2)、为数轴上两点，点表示的数为，点表示的数为，且，若点是的倍点，则点表示的数为_________． (3)在（2）的条件下，数轴上一动点在、之间，表示的数为，且满足（为常数），若是的倍点，求和的值； 30．（25-26七年级上·河南周口·月考）定义：已知点，，为数轴上三点，我们规定：点到点的距离是点到点的距离的倍，则称是的“倍点”，记作：．例如：若点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，则是的“倍点”，记作：． 应用： 如图有一条数轴，、、为数轴上三点，分别对应，，． (1)①、两点之间的距离是__________； ②求的值； (2)若点在数轴上且，求点表示的数； (3)若点是数轴上一点，且，直接写出点表示的数． 题型十一 数轴与绝对值综合 31．（25-26七年级上·四川凉山·期末）已知，且a、b、c满足，a、b、c所对应的点分别为A、B、C． (1)则 ， ． (2)若点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，若点B与点C之间的距离表示为，点A与点B之间的距离表示为．设运动时间为t秒，请问：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． (3)如图，若将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”．我们把在折线数轴上线段三段距离的和称为A、C两点间的路程，动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”向右运动，在上坡段运动期间速度变为原来的一半．点P从点A出发的同时，点Q从点C出发，以1个单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”向左运动，在下坡段运动期间速度变为原来的2倍，之后在段又以1个单位长度/秒的速度运动．当点P到达点B时，点P，Q均停止运动．设运动的时间为t秒．在某一时刻，P、Q两点在“折线数轴”上的路程为12个单位．求出此时t的值． 32．（25-26七年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，数轴上，，三点分别表示的数为、4、7，点表示的数为． 【阅读材料】：在数轴上表示数的点到原点的距离叫做的绝对值，记为，数轴上表示数的点与表示数的点的距离记（或），数轴上数表示的点到表示数的点与表示数的点的距离之和记为． 【初步运用】 （1）填空：若，则______；若，则______． 【延伸探究】 （2）若动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，当经过多少秒时，动点到点、点的距离之和为10； 【拓展探究】 （3）若点表示的数为，当取最小值时，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，、同时开始运动，当经过多少秒时，点、点之间的距离正好等于点N到点、点的距离和？（直接写出答案） 33．（25-26七年级上·江西南昌·月考）数轴是重要的数学学习工具，利用数轴可以将数与形完美结合．如图1，数轴上的点表示数，点表示数，点在点的右侧．已知，满足 (1) ， ； (2)如图2，动点，分别从点，处同时向右移动，点的速度为4个单位长度/秒，点的速度为2个单位长度/秒，设运动时间为秒． ①当 ，点，重合； ②在运动过程中，当点是线段中点时，求运动时间； (3)如图3，点是中点，动点，分别从点，处同时向右移动，若点的速度为个单位长度/秒，点的速度为个单位长度/秒，设运动时间为秒．在运动过程中，试判断的值能否是定值？如果是定值，求此时，的数量关系． 1．（25-26七年级上·河南郑州·期末）已知在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（    ） A．0 B． C． D． 2．（25-26七年级上·四川达州·期中）已知三个数，，的积为负数，和为正数，且，则的值为（） A． B．0 C．1 D．2 3．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）同一数轴上有点分别表示数，且满足等式，点表示的数是多项式的二次项系数，点在数轴上同时开始运动，点向左运动，速度为每秒3个单位长度，点均向右运动，速度分别为每秒3个单位长度和每秒4个单位长度，设运动时间为秒．若存在使得的值不随时间的变化而改变，则该定值为 ． 4．（25-26七年级上·江苏无锡·月考）数形结合是解决数学问题的重要方法，我们可以从两个角度来看．从数的角度上看，可以对值的正负性进行分类讨论，从而去掉绝对值符号；从形的角度上看，可以看作是数轴上两点的距离，即点A、B在数轴上分别对应的数为a、b，则两点间的距离可表示为．请你利用以上方法解方程：得， ． 5．（25-26七年级上·广西崇左·月考）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： （1）数轴上表示和的两点之间的距离是 ；表示和两点之间的距离是 ；一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于，如果表示数和的两点之间的距离是，那么 ． （2）若数轴上表示数的点位于与之间，则的值为 ． （3）利用数轴找出所有符合条件的整数点，使得，这些点表示的数的和是 ． （4）当 时，的值最小，最小值是 ． 6．（25-26七年级上·四川绵阳·月考）已知有理数，，在数轴上的位置如图，且，化简： ． 7．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）已知数轴上三点M，N对应的数分别为，3，点P为数轴上任意一点，其对应的数为 (1)，N，P三点中，其中一个点是另外两个点连成的线段的中点把一条线段分成相等部分的点，那么x的值是 ． (2)数轴上是否存在点P，使点P到点M，点N的距离之和是6？若存在，请直接写出x的值；若不存在，请说明理由． (3)如果点P以每秒3个单位长度的速度从原点向右运动时，点M和点N都以每秒2个单位长度的速度也向右运动，且三点同时出发，那么几秒后，点P到点M，N的距离相等？ 8．（25-26七年级上·贵州贵阳·月考）探究与发现：表示a与b之差的绝对值，实际上也可理解为a与b两数在数轴上所对应的两点之间的距离．如的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数5的点之间的距离．已知a，b满足，a，b分别对应数轴上的A，B两点． (1)直接写出______，_______； (2)若点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度向数轴正方向运动，求运动时间为多少时，点P到点A的距离是点P到点B的距离的2倍？ (3)数轴上还有一点C对应的数为30．若点P和点Q同时从点A和点B出发，分别以每秒3个单位长度和每秒1个单位长度的速度向C点运动．P点到达C点后，再立刻以同样的速度返回，运动到终点．求点P和点Q运动多少秒时，P，Q两点之间的距离为4？并求此时点Q对应的数． 9．（25-26七年级上·江苏徐州·月考）已知： b是最小的正整数， 且a、b满足， 请回答问题∶ (1)请直接写出a、b、c的值，_______，_____； (2)数轴上a、b、c三个数所对应的分别为A、B、C，点B与点C之间的距离表示为，点A 与点B之间的距离表示为，点A与点C之间的距离表示为，点A、B、C同时开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，点B 和点 C分别以每秒1 个单位长度和3 个单位长度的速度向右运动． ①经过2秒后，点A 与点 C之间的距离 ． ②经过t秒后，请问：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值、 10．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）如图，已知点、、、在数轴上对应的数分别是、、、，其中、满足，点到原点距离是点到原点距离的倍． (1)填空： _____， _____， _____； (2)如图，若点、、分别同时以每秒个单位长度、个单位长度和个单位长度的速度匀速向左运动，假设经过秒后，点与点之间的距离表示为． ①为何值时，？ ②若的值始终保持不变，求的值： (3)如图，将数轴在原点、点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”．动点从点出发．以每秒个单位长度的速度沿“折线数轴”的正方向匀速运动至点，同时，动点从点出发以每秒个单位长度沿着“折线数轴”的负方向变速运动，该点在平地保持初始速度不变，上坡时速度变为初始速度的一半，下坡时速度变为初始速度的两倍，设运动时间为秒．若、两点在点处相遇，则点表示的数为_____． 11．（24-25七年级上·广东佛山·月考）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础，请同学们解决下面有关数轴的问题： (1)如图已知数轴上点A、B分别表示a、b，且与互为相反数，O为原点． ①______，______； ②将数轴沿某个点折叠，使得点A与表示的点重合，则此时与点B重合的点所表示的数为______； (2)m、n两数在数轴上所对的两点之间的距离可以表示为．例如，5与两数在数轴上所对的两点之间的距离可以表示为，从而很容易就得出在数轴上表示5与两点之间的距离是7． ①若x表示一个有理数，则的最小值______． ②若x表示一个有理数，且，则满足条件的所有整数x的和是______． ③当______时，取得最小值． (3)数轴上点C、D表示的数分别为4、． ①动点P从D出发，沿数轴正方向以每秒2个单位长度的速度运动．经过多少秒P与C的距离是2个单位长度． ②在①的条件下，动点P出发的同时，动点Q从C出发，沿着数轴负方向以每秒1个单位长度的速度运动，经过______秒，点Q到点D的距离是点P到点C距离的2倍？ 12．（25-26七年级上·福建龙岩·期中）阅读并理解下列材料： 数轴是初中数学学习的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，研究数轴我们发现了许多重要的规律．数轴上点、分别表示数、，则、两点之间的距离为，将数轴沿表示的点折叠，可使点、重合，例如点表示的数是2，点表示的数是6，则、两点之间的距离，将数轴沿表示的点折叠，可使点、重合． 请你解决以下问题： 数轴上点、、分别表示数、、，其中． (1)若、满足，则_________，_________，两点之间的距离为_________； (2)若沿该数轴上某点折叠，使点、点重合，求与点重合的点表示的数（用含、、的代数式表示）； (3)若，在数轴上点以每秒个单位长度的速度向左匀速运动，同时点以每秒4个单位长度的速度向右匀速运动，运动秒后，_________，_________，则若运动过程中，的值不变，求的值． 1．（25-26七年级上·全国·假期作业）（1）数学实验室： 若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的距离表示为AB，即． 利用数轴回答下列问题： ①数轴上表示2和5两点之间的距离是　　， ②数轴上表示x和的两点之间的距离表示为______． ③若x表示一个有理数，且，则______． ④若x表示一个有理数，且，则有理数x的取值范围 　． （2）三个数a、b、c的积为负数，和为正数，且，则的值是　　． （3）定义一种对正整数n的“F运算”：①当n为奇数时，结果为；②当n为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如，取，则： 若，则第2016次“F运算”的结果是　　． 2．（25-26七年级上·四川成都·期中）数轴上点A，点B表示的数分别为a，b，则A，B两点之间的距离．利用数轴解决以下问题： (1)若，则________； (2)的最小值为________； 的最小值为________； (3)10月26日，2025年成都马拉松鸣枪开跑！这场被誉为“最具烟火气”的城市赛事，以穿越宽窄巷子、锦里古街的人文赛道闻名全国．在某一段经过天府广场O的笔直跑道，跑道上有A、B、C三个补给站，分别位于天府广场左侧，右侧和右侧．为了能够减轻工作人员负担，组委会使用了无人机配合工作人员从赛道旁某物资存放处分别向A、B、C三个补给站进行货物配送．工作人员只配送A补给站，无人机配送B、C补给站．工作人员配送成本为2元/公里，无人机配送成本1元/公里，请问，物资存放处设在何处能使单次配送成本最低，并求出最低的配送成本费． 3．（25-26七年级上·湖北武汉·月考）A，B在数轴上，分别表示数，，且． (1)直接写出的值是 ，的值是 ，线段的长度是 ； (2)如图1，是一条定长的线段（点在点的左侧），它在数轴上从左向右匀速运动，在运动过程中，线段完全经过点（即点在线段上的这段过程）所需的时间为3秒，线段完全经过线段（即线段与线段有公共点的这段过程）所需的时间为15秒． ①求线段的长； ②直接写出线段运动的速度为 个单位长度/秒； ③如图2，当动线段运动到点与点重合时，与此同时，点从点出发，在动线段上，以1个单位长度/秒的速度向点运动，遇到点后，点立即原速返回，向点运动，遇到点后也立即原速返回，向点运动．设动线段，以及点同时运动的时间为秒（），当时，求的值． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $