山东省泰安第一中学新校区2025-2026学年高一上学期1月学情诊断数学试题

泰安一中新校区2025-2026学年2025级高一上学期1月学情诊断 数学试卷参考答案 一、单选题： 1.C2.A 3.C4.A5.D6.B 7.C 8.B 7【详解】根据愿总可知Z-25C,1。-8C,T-Z-(但（亿，-） 因为茶水降至75℃大约用时一分钟，即t=1,T=75C, h=-I 所以75-25 10 80-25解特方o3西16g,则7 所以要使得该茶降至55C,即T=55℃，则有55-25 e (80-25) 30 =1o8155 得 6 e 1og111’ e 6 6 文g62H303+05I6 故1=1o81o8i 6 10 。101g10-lg111-g11 1-1.04 所以大约需要等待6分钟 8.【详解】因为f(2-x)+f(x)=0,所以f(2-x)=-f(x), 又因为f(x)为R上的奇函数，所以f(-x)=-f(x), 所以f(2-x)=f(-x),所以f(2+x)=f(x),所以f(x)是周期为2的周期函数 F(x)在[-1，ml上的零点个数台函数y=f(x),y=sinx图象在[-1，ml上的交点个数， 且y=smπx是最小正周期为2的周期函数， =f(x 而f sin7=1,f(0)=smn=0, 4 51 =sinπx 在同一平面直角坐标系中作出y=f(x),y=sinx的图象， 如图所示：因为f(0)=f(2)=0,且sin0=sin2π=0， 第1页共6页 由图象可知： 当x∈[-1,3]时，y=f(x),y=sinx的图象共有9个交点，且第9个交点的横坐标为3， 又因为f(3.5)=f(1.5)=f(-0.5)=-f(0.5)=lg20.5=-1,sin(3.5m)=sim 2m+2 所以f(3.5)=sn(3.5m),所以第10个交点的横坐标为3.5，所以m的取值范围是[3,3.5) 二、多选题： 9.BC 10.ACD 11.BCD 11.【详解】作出函数f(x)= r+x+4x≤0 y=f(x) 的图象如下： nx-1,x>0 对于A:关于x的方程f(x)=k(k∈R)有四个不同的根， 即函数y=f(x)与y=k的图象有4个交点，由图象可得0<k≤4A错误： 对于B:由图可知0<1-ny≤子，解得。≤名，<e,B正确： 对计C山图象知号分，所以5+名=山，且〔号 2 所以-(1比=号-名0》 又由lnx,-l1=lnx,-l→lnx-l+lnx,-1=0→nx,x,=2→xx,=e2, e 所以0≤x<4,C正确： 对于D:对于函数函数(x)=(/(》-令f()=t,则g(=f)-40, 可得4=0，=-5e,= 3 当f(x)=t=0时，由图可得，有2个根，当f(x)=t=-1时，由图可得，有0个根， 当f(x)=1,=e时，由图可得，有3个根，当f(x)=t,=e时，由图可得，有3个根， 综合得函数g(x)=(f(x》有8个零点，D正确， 第2页共6页 三、填空题： 12.4π 13.12 13.【详解】因为cosa&+6cos(a+2B)=2sin(a+B)sinB,所以 cos(a+B-B)+6cos(a+B+B) cos(a+B)cos B+sin(a+B)sin B+cos(a+B)cosB-sin(a+B)sin B] =7 cos(a+B)cosB-5sin(a+B)sin B=2sin(a+B)sinB, 所以7cos(a+B)cosB=7sin(a+B)sinB,于是有tan(a+B)tanB=1. 又 sin(a+2B)sin(a+B+B) cos(a+B)cos B cos(a+B)cos B _sin(+B)cosB+cos(+B)sin B cos(a+B)cos B =tan(a+p)+tan B=-1 +tanB≥2 1 ×tanB=2, tan B Vtan B 1 当且仅当anB =tanB,即tamB=1时取等号， sin(a+2B) 所以cos+P)csp的最小值是2. l4.【详解】由题意知e+1-a)x=lna+nx,得e+x=ax+lnax, 即e+x=ear+lnax,设f(x)=e+x,x∈R,则f()=ex+x在R上单调递增， 则由。+x=e"+lhx可得x=lnce=,所以e=,故-。三匹-」 axo eaxo eaoe 四、解答题： 15.【小问1】：P在单位圆上，且在第二象限，横坐标为-号，可求得纵坐标为 所以sim6-4。 。,cosB=-=,tan2s、4 …………………3 5 3 则c0s29=2c0820-1=-7 ………………6 25 【小问2】由题知a=8+ 2,则sina=sin(0+）=cos6=-3 2 4 sina 3 cosa=cos0+约=-sim9-5,则ama2 …10 cosa 4 sin'a-sinacosa-cos'a sin'a-sinacosa-cos'a tan'a-tan a-1 sin'a+cos'a tan'a+1 第3页共6页 19 …13 +1 25 16【小间】因为"=a:在[后]上单洱诺减， …2 所以当x=G时y有最大值，且最大值为12；1G 4 当x=2,y有最小值，且最小值为1g2=-1 所以A={x|-1≤x≤4 …7 【小问2】 由1-1≥0，得+a-1s0,解得-a<x≤-a+1, x+a x+a 所以B={xl-a<x≤-a+l}, 10 因为BGA,… 12 -a≥-1 所以 -a+1s4' 解得-3≤a≤1. 故实数a的取值范围[-3，…15 17.【小问1】函数f(x)=2W3 sin @x+2 =2v3sin @x+2cos@x+3=4sin @x+ +3, ……………4 6 则f(x)。=-4+3=-1, 因为A,B是函数f(x)的图象与直线y=-1的两个相邻交点，且AB=π， 所以函数f(y)的最小正周期为T=元，则0=2红=2红=2，…5 Tπ 可得f(x)=4sin 2x+6+3. 第4页共6页 所以，fs-4(》3=1,故离数f国在片上的最小信为1.9 【小问2】设t=f(x),因为-1≤sm 2x别s1,所以-1s)s7.…10 6 因为不等式f(x)-(3+2)f(x)-m-13≤0恒成立， 设p(t)=t-(3+2)t-m-13, 所以p(t)=t-（3m+2)t--13≤0在t∈-1,7上恒成立.…11 p(-1)≤0an1+3+2-m-13=2m-10≤0 (7j0,即{49-21-14m-13=22ms0' 则 解得1≤m≤5，故m的取值范围为1≤m≤5.…15 18.【小问1】因为f()=1og,（4+1+ar,易知f(x)定义域为R, 又f(x)是偶函数，所以f(x)=f(),得到log,（4+1)-a=log,(4+1)+ax恒成立， 4+=1og:4.+0 避行到吧计2a,又g 44+少-og 1=-2x, 所以a=-1.… ………6 【小问2】由(1)知，f(x)=log2(4+1)-x, 所以g(x)=22+22x+m-2lg2(4+x=22x+22x+m 4+1=22+22+m(2+2), 2 令t=2+2,因为2>0，所以f≥2√22=2，当且仅当2*=2，即x=0时取等号， 故y=f+f-21≥2)，对称轴t=- 2’ …12 雪-号≤2，即m2-4时，m=4+2-2=-4,得到m=3 当受2，即m<4时，儿所g2-4,符到m=12反（含去. 42 故l=-3,…17 19.【小问1】由题意得f(x)=血x- 1 2*+1 +k, 第5页共6页 1 2 f(k)=Ink- 2+1 十k= 3, …2 1 由于y=lnk- +k在k∈(0，+∞)上单调递增， ……………3 2+1 观察得lnk- 2十+k3的解为k1产 ……………4 【小问2】由于x)在定义域内单调，所以f(x)+ 1一-lnx为常数， 2+1 由(1)得f()=血x 1 +1,，f(x)在(0，+0)上单调递增， …6 2+1 =i91-n(er 2* 故原不等式可化为f(7+2x)>f(-x),… ……………8 2x+7>0 由>0得 3r<0, 2x+7>-x 改原不等式的解架为（名0）1 +1s、2 小问3】0=-2+27 ->0 g)2mg(2x)可化为m≤24+1-4-142对L2]恒成立，…13 2*+1445+2 4+2 设t=-2+1∈[-3，-1]， -2+1 t t 1 则4+20-0+1-1f+2-37+2-3,te3,-川， 2 由基本不等式得1+？≤-22，当且仅当1：-5时等号成立， 放当12时，2=223 -3 故m≤2√2-2，当且仅当x=log2(W2+1)时等号成立. …17 第6页共6页泰安一中新校区2025-2026学年2025级高一上学期1月学情诊断 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项 是符合题目要求的， 1.命题x≥0，x3+x≥0的否定是（) A.x≥0，x3+x<0 B.x<0,x3+x≥0 C.3x≥0，x3+x<0 D.3x≥0，x3+x≥0 2.设集合A={x∈N≤2}，B=x∈R1-x≥0}，则AnB=() A.{0,1 B.{L,2} C.{-2≤x≤1} D.{-2,-1,0,1 A.c<b<a B.b<a<c C.a<b<c D.b<c<a 4若ma引则a+）(） A B. 3 C.-2V2 D.2V2 3 3 5.函数fx) tan 2x- 的最小正周期为() A.π B. π 8 4 D. 6.“a≤2”是“函数f(x)=log2(x2-ax)在区间(1，+oo）上单调递增的() A.充要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 7.牛顿冷却定律描述一个物体在常温环境下的温度变化：如果物体初始温度为T。,则经 过一定时间t(单位：分钟)后的温度T满足T-T (T。-T),其中T是环境温度， h为常数.现有一杯80℃的热水用来泡茶，研究表明，此茶的最佳饮用口感会出现在55℃ 第1页共4页 经测量室温为25℃，茶水降至75℃大约用时一分钟，那么为了获得最佳饮用口感，从泡 茶开始大约需要等待()（参考数据：1g2≈0.30,1g3≈0.50,1g5≈0.70,1g11≈1.04） A.4分钟 B.5分钟 C.6分钟 D.7分钟 8.已知R上的奇函数f(x)满足f(2-x)+f(x)=0,且当x∈(0,1]时，f(x)=-log2x. 若函数F(x)=f(x)-sinx在区间[-l,m]上有9个零点，则实数m的取值范围是() A.(3,3.5] B.3,3.5) c.(4.5,5] D.4.5,5) 二、多选题：本题共3小题，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.若实数ab满足2<2<1，则下列不等式恒成立的是( A.ac2<bc2 B.c+1、c2+1 a b C.logo2(a2+1)<10g2(b2+1) D.atb>yab 2 10.已知f(x)=Acos(ox+p)(A>0,⊙>0,0<p<元)的部分图象如图所示，则（ A.f(x)=2cos 2x+ 3 B.f(x)在 π2π 63 上单调递增 5元 π7π C若名212)，≠，且)=f),则f(+龙)=l D.把(x)的图象向右平移2π个单位长度，然后再把所得曲线上各点的横坐标变为 原来的2倍（纵坐标不变），得到函数g(x)的图象，则函数y=g 3 +2π为偶函数 11.已知函数f(x) r+x+4x≤0 ,若关于x的方程f(x)=k(k∈R)有四个不同的根， nx-1,x>0 它们从小到大依次记为x,x2,x,x4,则（ ) 第2页共4页 1 A.0<k< 3 B.e4≤x3<e C. e2 0≤x1X2x34< D.函数g()=f(f(x》子有8个零点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知扇形的半径为2W3cm,圆心角∠AOB=120°，则扇形的面积为cm2. 13.已知B∈0， cosa+6cos(a+2B)=2sin(a+B)sin B,tan(a+B)tan B= 2 sin(a+28) 的最小值是 cos(a+B)cos B 14设a为实数，若实数戈是关于x的方程e+0-or=na+n的解，则 AXo 四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15.(13分)在平面直角坐标系xOy中，角0的始边为x轴的非负半轴，终边在第二象限与 3 单位圆交于点P,点P的横坐标为一5 (1)求cos20的值； (2)若将射线OP绕点O逆时针旋转无，得到角a,求sin'a--sinacosa&-cos'a的值. 2 1605分》两数y36路值装为4a 1-I(aeR)的定义域为B. (1)求A: (2)若B⌒CA=☑，求实数a的取值范围 第3页共4页 17.(I5分)已知函数f(x)=4W5sin0co 0+4cos:+1(o>0),4B是fx)的图象 2 与直线y=-1的两个相邻交点，且AB=π. (1)求0的值及函数f(✉在0吗 上的最小值： (2)若关于x的不等式∫(x)-(3+2)f(x)--13≤0恒成立，求实数m的取值范围. 18.(17分)已知函数f(x)=1og24+1)+x是偶函数 (1)求实数a的值； (2)若函数g(x)=22x+22x+2)的最小值为-4，求实数m的值. 197分》已知在定义域肉单调的函数/倒满足/+2一如r 2恒成立 (1)设f()+2+ -lnx=k,求实数k的值： 2 +n(-ex): 2)解不等式f7+2x)>2+ (3)设g(x)=f(x)-nx,若g(x)≥g(2x)对于任意的x∈[1,2]恒成立，求实数m的取 值范围，并指出取等时x的值. 第4页共4页