专题06 分式（3个知识点+8个核心考点+复习提升）（寒假复习讲义）八年级数学新教材人教版

专题06 分式 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 【知识点1 分式】 【分式的概念】 （1）分式的定义： 一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式．分式中，A叫做分子，B叫做分母． （2）一个式子是分式需满足的三个条件： ①是形如的式子； ②A，B为整式； ③分母B中含有字母．三个条件缺一不可． 【注意】 （1）分式的概念可类比分数得出，分式的形式和分数类似，分数的分子与分母都是整数，而分式的分子与分母都是整式，并且分母中含有字母，这也是分式的一个重要标志． （2）分式的分数线相当于除号，同时也有括号的作用．例如也可以表示为（a-1）÷（a+1），但（a-1）÷（a+1）不是分式，因为它不符合的形式． 【分式有意义、无意义的条件】 （1）分式有意义的条件：分式的分母不等于0． （2）分式无意义的条件：分式的分母等于0． 【注意】 （1）分式有无意义与分母有关，与分子无关． （2）分式中分母是含字母的式子，它的值随着字母取值的不同而变化，当字母的取值使分母等于0时，分式就没有意义了． 【分式的值为0的条件】 分式的值为0的条件：当分式的分子等于0且分母不等于0时，分式的值为0． 分式的值是在分式有意义的前提下才可考虑的，所以使分式的值为0的条件是A=0且B≠0，两者缺一不可． 【拓展】对于分式， （1） 若的值为正数，则或； （2） 若的值为负数，则或； （3） 若的值为1，则A=B且B≠0； （4）若的值为-1，则A+B=0且B≠0． 【分式的基本性质】 （1）分式的基本性质：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变． 用式子表示为：=（C≠0），其中A，B，C是整式． 分式的基本性质是分式变形的理论依据． 【注意】 ①基本性质中的A，B，C表示的都是整式，其中B≠0是已知条件中隐含着的条件，一般在解题过程中不另强调；C≠0是在解题过程中另外附加的条件，在运用分式的基本性质时，必须重点强调C≠0这个前提条件． ②应用分式的基本性质时，要深刻理解“同”的含义：一是要同时做“乘法”或“除法”运算（不是做“加法”或“减法”运算）；二是“乘”（或“除以”）的对象必须是同一个不等于0的整式． ③若分式的分子或分母是多项式，运用分式的基本性质时，要先用括号把分子或分母括上，再乘或除以同一个整式C． （2）分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，同时改变其中两个，分式的值不变． 用式子表示为： 或 【约分、最简分式】 （1）约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分． （1）最简分式：分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式． 【归纳】 （1）约分的依据是分式的基本性质：，其中A，B，C都是整式． （2）约分的关键是找出分式中分子和分母的公因式． （3）约分时需注意分式的分子、分母都是乘积形式时才能进行约分；分子、分母是多项式时，通常先将分子、分母分解因式，再约分． （4）约分的结果是整式或最简分式． （5）分式的约分是恒等变形，约分前后分式的值不变． 【通分】 通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分． 约分与通分的联系与区别： （1）约分与通分恰好是相反的两种变形，约分与通分都是根据分式的基本性质对分式进行恒等变形，即每个分式变形之后都不改变原分式的值． （2）约分是对一个分式而言，而通分则是针对多个分式而言． （3）约分是将一个分式化简，通分则可能将一个分式化繁，使异分母分式化为同分母分式． 最简公分母：几个分式通分时，通常取各分母的所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母叫做最简公分母． 【注意】 （1）通分的关键是确定几个分式的最简公分母． （2）分式的通分是恒等变形，通分前后分式的值不变． 确定最简公分母的方法： （1）当各分母都是单项式时，取各分母系数的最小公倍数与相同字母的最高次幂的乘积，凡单独出现的字母，连同它的指数作为最简公分母的一个因式； （2）当各分母都是多项式时，要先把它们分解因式，再按照各分母都是单项式求最简公分母的方法来确定． 通分的步骤： （1）求各分式的最简公分母； （2）用这个最简公分母除以分式的分母； （3）用所得的商去乘原各分式的分子、分母． 【知识点2 分式的运算】 【分式的乘除】 （1）分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母． （2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘． 用式子表示为 【归纳】分式的乘法与分数的乘法类似，可类比分数的乘法学习． （1）分式与分式相乘时，①若分子、分母是单项式，可先将分子、分母分别相乘，然后约去公因式，化为最简分式；②若分子、分母是多项式，先分解因式，看能否约分，然后再相乘． （2）当整式与分式相乘时，要把整式（看作是分母为1的式子）与分式的分子相乘作为积的分子，分式的分母作为积的分母．当整式是多项式时，同样要先分解因式，看能否约分，然后再相乘． （3）分式除以分式，可以先确定商的符号，再转化为分式的乘法．也可先转化为分式的乘法后，再确定符号，这与实数的除法运算法则是一致的．当除式（或被除式）是整式时，可以看作是分母是“1”的式子，然后依照分式除法法则计算． （4）分式的乘除运算结果要通过约分化为最简分式（分式的分子、分母没有公因式）或整式的形式． （5）分式的乘除混合运算，如果没有其他附加条件（如括号等），则应按照由左到右的顺序进行计算． 【分式的乘方】 分式乘方的法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方． 【注意】 （1）进行分式的乘方运算时，一定要把分子、分母分别乘方，不要把写成． （2）分式乘方时，先确定乘方结果的符号，它和实数乘方确定符号的方法相同：正数的任何次方都是正数；负数的偶次方为正数，负数的奇次方为负数． （3）分式乘方时，应把分子、分母分别看作一个整体． 【分式的加减】 （1）同分母分式相加减法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减． 用式子表示为． （2）异分母分式相加减法则：异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减． 用式子表示为． 【注意】 （1）分式加减运算的结果要化成最简分式或整式． （2）同分母分式相加减时要注意：“把分子相加减”就是把各个分式的分子“整体”相加减，“分母不支”就是加减后所得分母是原分式中的分母． （3）异分母分式相加减的一般步骤： ①通分：将异分母分式转化成同分母分式； ②加减：写成分母不变，分子相加减的形式； ③合并：分子去括号，合并同类项； ④约分：分子、分母约分，将结果化成最简分式或整式．因此，异分母分式加减运算的关键是通分． 【分式的混合运算】 （1）分式的混合运算，关键是弄清运算顺序，与分数的加、减、乘、除及乘方的混合运算一样，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的，在运算过程中要注意正确地运用运算法则，灵活地运用运算律，使运算尽量简便． （2）分式的混合运算中要注意各分式中分子、分母符号的处理，结果中分子或分母的系数是负数时，要把“-”号提到分式的前边． 【整数指数幂与科学记数法】 （1）整数指数幂： 若m，n为正整数，a≠0，则． 又因为，所以． 一般地，当n是正整数时，，这就是说，是的倒数． 整数指数幂的运算性质 ①；②；③； ④；⑤． 上述式子中，m，n均为任意整数． （2）科学记数法 用科学记数法表示小于1的正数时，可表示为a×10-n的形式，其中n为原数左起第1个不为0的数字前面所有0的个数（包括小数点前的那个0），1≤a<10． 【知识点3 分式方程】 【分式方程的定义】 分母中含未知数的方程叫做分式方程． 【归纳】 （1）分式方程的重要特征：①含有分母；②分母中含有未知数；③是方程． （2）方程的分母中是否含有未知数是分式方程与整式方程的根本区别． （3）分母中含有字母的方程未必是分式方程． 【分式方程的解法】 （1）解分式方程的基本思想： 把分式方程转化为整式方程，解这个整式方程，然后验根，从而确定分式方程的解． （2）解分式方程的一般方法和步骤： ①去分母：方程两边同乘最简公分母，把分式方程化为整式方程； ②解整式方程：去括号、移项、合并同类项等等； ③检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解． 简称为一化，二解，三检验． （3）解分式方程产生不适合原方程解的原因： 在将分式方程化为整式方程时，未知数的取值范围被增大了，对于整式方程来说，求出的解成立，而对于原分式方程来说，当分母为零时，分式无意义，所以这个解不是原分式方程的解，即原分式方程无解． 【分式方程的应用】 分式方程的应用基本思路和方法： 一审：审清题意，弄清已知量和未知量； 二找：找出等量关系； 三设：设未知数； 四列：列出分式方程； 五解：解这个方程； 六验：检验，既要检验所求得的解是不是所列分式方程的解，又要检验所求得的解是否符合实际问题的要求； 七答：写出答案． 在上述过程中，关键步骤是根据题意寻找“等量关系”，进而列出分式方程，求解时注意必须检验求出的值是不是所列分式方程的解，且是否符合实际意义． 考点一：分式有无意义、分式值为零的条件 例1．对于分式． (1)当取什么值时，分式有意义？ (2)当取什么值时，分式的值为零？ 【答案】(1)当时，分式有意义 (2)当时，分式的值为零 【分析】本题考查分式有意义的条件，分式的值为零的条件，掌握知识点是解题的关键． （1）根据分式有意义的条件，即分母不为0，列式求解即可； （2）根据分式的值为零的条件，即分子为0，且分母不为0，列式求解即可． 【详解】（1）解：∵分式有意义， ∴， 解得， 答：当时，分式有意义； （2）∵分式的值为零， ∴且， 即且， ∴， 答：当时，分式的值为零． 【变式1-1】已知当时，分式无意义；当时，此分式的值为0． (1)直接写出的值． (2)在（1）的条件下，当分式的值为正整数时，求整数的值． 【答案】(1)， (2)，， 【分析】本题考查分式有意义的条件以及分式的值，熟练掌握知识点是解题关键； （1）根据分式有意义的条件“分母不为0”列出方程解方程即可得到d的值，再通过分式的值为0时，分子为0，列出方程即可得到c的值； （2）把的值代入分式，然后利用分式的值为正整数进行分情况讨论即可． 【详解】（1）解：当时，分式无意义， ， 解得， 当时，此分式的值为0， ， 解得， （2）把，代入得 因为分式的值为正整数，所以是的正因数，的正因数有、、．当时，；当时，；当时，． 整数的值可能为，，． 【变式1-2】（1）若分式的值为0，分式无意义，求的值； （2）对于分式，当时，分式无意义；当时，分式的值为0．求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了分式无意义的条件和分式值为0的条件，熟练掌握掌握分式无意义的条件：分母为0；分式值为0的条件：分母不为0，分子等于0是解题的关键． （1）根据分式无意义的条件和分式值为0的条件得到得且，，解之得到、，再代入求解即可； （2）根据分式无意义的条件和分式值为0的条件得到得，，解之得到、，再代入求解即可． 【详解】解：（1）由题意，得且，， ∴且，， 解得，， 则． （2）当时，分式无意义， ，解得． 当时，分式的值为0， ，解得， ． 【变式1-3】对于分式： (1)如果，那么y取何值时，分式无意义？ (2)如果，那么x取何值时，分式无意义？ (3)使分式无意义的x，y有多少对？ (4)要使得分式有意义，x，y应有什么关系？ (5)如果，那么y取什么值时，分式的值为零？ 【答案】(1) (2) (3)无数对 (4) (5) 【分析】（1）根据分式无意义的条件可得，再把代入可得的值； （2）根据分式无意义的条件可得，再把代入可得的值； （3）根据分式值为零的条件可得当； （4）时，即时，分式有意义； （5）且，即时，分式的值为零． 【详解】（1）解：当时，分式无意义，把代入可得，分式无意义； （2）当时，分式无意义，把代入可得当，即时，分式无意义； （3）当，即时，分式无意义，分式无意义的，有无数对； （4）当时，即时，分式有意义； （5）且时，分式值为0，把代入，当且，即时，分式的值为零． 考点二：分式的基本性质 例2.如果分式中的，都扩大为原来的倍，那么分式的值（    ） A．不变 B．扩大为原来的倍 C．缩小为原来的 D．缩小为原来的 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的性质是解题的关键． 当和都扩大为原来的2倍时，代入新值计算分式，化简后比较与原分式的关系． 【详解】解：原分式为，当和都扩大为原来的2倍时，新分式为： ∴ 新分式是原分式的2倍，即分式的值扩大为原来的2倍． 故选：B． 【变式2-1】已知，则分式的值是 ． 【答案】1 【分析】本题考查了分式求值，解题关键是掌握整体代入的思想． 将整体代入求值即可． 【详解】解：， ∵， ∴原式， 故答案为：． 【变式2-2】当时，的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的基本性质—通分和约分，由，得，然后整体代入即可求解，掌握分式基本性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式2-3】不改变分式的值，把下列分式的分子和分母中各项的系数化为整数： （1） ； （2） ． 【答案】 【分析】本题考查分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质，是解题的关键： （1）分式的分子和分母同时乘以6，进行计算即可； （2）分式的分子和分母同时乘以100，进行计算即可． 【详解】解：（1）； 故答案为：； （2）； 故答案为：． 考点三：分式的相关计算 例3.解答下列各题． (1)计算：； (2)先化简，然后从，0，1，3中选一个合适的数作为的值代入求值． 【答案】(1) (2)，当时，原式；当时，原式（选一个即可） 【分析】本题考查了分式的运算及化简求值，分式有意义的条件，熟练掌握相关运算法则并准确计算是解题的关键． （1）先将括号内的分式通分，计算减法，再把除法化为乘法，化简约分即可解答； （2）小括号内进行通分，对多项式进行因式分解，除法转化为乘法，化简约分即可得到化简的结果，根据分式有意义的条件得到a的取值，代入求值即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； ∵当或3时，原分式无意义， ∴只能取1或0， 当时，原式； 当时，原式． （写一种情况即可） 【变式3-1】计算： (1) (2)． (3)化简求值．先化简：，然后从0，1，2，3中选择你喜欢的值． 【答案】(1) (2) (3)；当时，原式 【分析】本题考查了分式的混合运算，分式的化简求值． （1）先计算乘方，再计算乘除即可； （2）先计算括号里的加减，再计算除法，最后合并同类项即可； （3）先计算除法，再计算加法，最后选取符合要求的的值代入计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ， 可知，即， 当时，原式． 【变式3-2】求值： (1)计算： (2)先化简，再求值：，其中． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题主要考查了分式的混合运算、分式的化简求值等知识点，掌握分式的混合运算法则是解题的关键． （1）直接运用分式的混合运算法则计算即可； （2）先运用分式的混合运算法则化简，然后将代入求值即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ， 当时，原式． 【变式3-3】（1）计算：． （2）先化简，再求值：，从中选一个合适的代入求值． 【答案】（1）（2）， 【分析】本题考查了分式的混合运算及化简求值，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，注意运算顺序和分母不能为零的限制条件． 1、先对括号内分式因式分解、约分，再通分计算，最后将除法转乘法约分得出结果． 2、先通分计算括号内，再将除法转乘法，因式分解约分得到最简式，结合分母不为零选a代入求值． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 且， 当时，原式． 考点四：分式中的新定义问题 例4. 我们定义：若两个分式与的和为一个分式，且分式的分子为常数，分母为关于的一次整式，则称与是“合分式”，这个常数称为与关于的“合值”．例如：分式，，，则与是“合分式”，与关于的“合值”为3． 解决下列问题： (1)已知分式，是“合分式”．求与关于的“合值”为_____； (2)已知分式（其中是常数，且），，与是“合分式”，且与关于的“合值”为1，求常数的值； (3)已知分式，，与是“合分式”，且与关于的“合值”为1，若分式的值为正整数，且为整数，求满足条件的的值． 【答案】(1)3 (2) (3)4或10或 【分析】本题考查分式的混合运算，理解题意并列得正确的算式是解题的关键． （1）将两式相加并计算即可； （2）将两式相加并计算，根据E与F关于C的“合值”为1求得a的值即可． （3）根据与是“合分式”，且与关于的“合值”为1，可得，从而得到，再由分式的值为正整数，可得取1或7或，即可求解． 【详解】（1）解：∵分式，是“合分式”， ∴， ∴与关于的“合值”为3； 故答案为：3 （2）解： ∵与是“合分式”，且与关于的“合值”为1， （3）解：， ∵与是“合分式”，且与关于的“合值”为1， ∴， ∴， ∴， ∵分式的值为正整数，为整数， ∴7是的整数倍， ∴取1或7或， 此时x的值为4或10或． 【变式4-1】我们定义：如果两个分式与的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“雅中式”，这个常数称为关于的“雅中值”．如分式，，，则是的“雅中式”，关于的“雅中值”为． (1)已知分式，，判断是否为的“雅中式”，若不是，请说明理由；若是，请证明并求出关于的“雅中值”； (2)已知分式，，是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是，为整数，且“雅中式”的值也为整数，求所代表的代数式及所有符合条件的的值之和； (3)已知分式，（，，为整数），是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是，求的值． 【答案】(1)C是D的“雅中式”，C关于D的“雅中值”为1 (2)，5 (3)11或3 【分析】本题考查的是新定义情境下的分式的运算，分式的化简，分式的值，解分式方程，因式分解的应用，方程的整数解问题，代数式的值，掌握以上知识是解题的关键． （1）先化简，再计算，再根据“雅中值”的定义可得答案； （2）由定义可得：，整理可得：的表达式，再化简 根据为整数，且“雅中式”的值也为整数，得到：是2的因数，而可得答案； （3）由定义可得：，整理可得：，从而可得：，再消去，结合因式分解可得，结合、、为整数，分类讨论后可得答案． 【详解】（1）解：C是D的“雅中式”，理由如下： ，， ， 是的“雅中式”，关于的“雅中值”为1； （2）解： 关于的“雅中值”是， ， ， ； ， 为整数，且“雅中式”的值也为整数， 是2的因数， 可能是：，， 的值为：，0，2，3， ， 的值为：0，2，3， ； （3）解： 是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是1， ， 整理得：， 由上式恒成立： ， 消去可得：，即， ， 、、为整数， 为整数， 当时， ， 此时：， ； 当时， ， 此时：， ， 综上：的值为11或3． 【变式4-2】给出定义：如果两个分式与的和为一个常数，则称与是“和常分式”，这个常数称为与的“和常值”．例如：分式，则与是“和常分式”，与的“和常值”为4．解决下面的问题： (1)已知分式，判断与是不是“和常分式”，若不是，请说明理由：若是，求出与的“和常值”； (2)已知分式，其中与是“和常分式”，与的“和常值”为2，求的值； (3)已知分式，其中与是“和常分式”，与的“和常值”为．若为整数，且的值也为整数，直接写出满足条件的的值． 【答案】(1)与是“和常分式”，且与的“和常值”为 (2)3 (3)0或2 【分析】本题主要考查了分式的加法计算，正确理解“和常分式”的定义是解题的关键． （1）根据分式的加法计算法则求出的结果即可得到结论； （2）根据“和常分式”的定义得到，则可推出，据此可得答案； （3）根据“和常分式”的定义得到，则；再由的值也为整数，可以得到，其中k为整数，则可推出，进而得到为整数，则，即可求出或． 【详解】（1）解：∵， ∴ ， ∴与是“和常分式”，且与的“和常值”为； （2）解：∵，且与是“和常分式”，与的“和常值”为2， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵，其中与是“和常分式”，与的“和常值”为， ∴， ∴； ∵的值也为整数， ∴是整数， ∴，其中k为整数， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵k为整数， ∴为整数， ∴为整数， ∴， ∴或． 【变式4-3】我们给出定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”．例如：，则称分式是“巧分式”，4x为它的“巧整式”．根据上述定义，解决下列问题． (1)下列分式中是“巧分式”的有__________（填序号）； ①；②；③． (2)若分式（m、n为常数）是一个“巧分式”，它的“巧整式”为，求m、n的值； (3)若分式的“巧整式”为，请判断是否是“巧分式”，并说明理由． 【答案】(1)①③； (2)，； (3)是，理由见解析． 【分析】题考查了分式的化简、因式分解．二元一次方程组的解法，解决本题的关键是弄清楚“巧分式”的定义． （1）根据“巧分式”的定义，逐个判断得结论； （2）根据“巧分式”的定义，得到关于的恒等式，求解即可； （3）根据给出的“巧分式”的定义可得；将A代入，约分后看是否是一个整式，即可得出结论． 【详解】（1）解：，是整式， ①是“巧分式”； ，不是整式， ②不是“巧分式”； ，是整式， ③是“巧分式”； （2）解：分式（m，为常数）是一个“巧分式”， 它的“巧整式”为， ， ， ∴， 解得：； （3）解：分式的“巧整式”为． ， ； ， 又是整式， 是“巧分式”． 考点五：解分式方程 例5. 解方程： (1) (2) 【答案】(1)无解 (2) 【分析】本题考查了解分式方程． （1）方程两边同时乘，化为整式方程，求出结果检验即可； （2）方程两边同时乘，化为整式方程，求出结果检验即可． 【详解】（1）解：方程两边同时乘，得， 解得， 检验：将代入得， 是原方程的增根， 原方程无解； （2）解：方程两边同时乘，得， 解得， 检验：将代入得， 所以，是原方程的根． 【变式5-1】解方程 (1) (2)． 【答案】(1) (2)无解 【分析】本题考查了解分式方程，根据解分式方程的步骤计算即可． 【详解】（1）解; ， ， ， ， ， ， ， 经检验，是原方程的解； （2）解; ， ， ， ， ， ， 经检验，是原方程的增根， 所以原方程无解． 【变式5-2】解方程 (1)； (2)． 【答案】(1) (2)原方程无解 【分析】此题考查解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键， （1）去分母得整式方程，解整式方程再检验即可； （2）去分母得整式方程，解整式方程再检验即可 【详解】（1）解：两边同时乘，得： ， 解得， 经检验，是原方程的根， 原方程的解为． （2）解：两边同时乘得， ， 解得， 经检验是原方程的增根，原方程无解． 【变式5-3】已知关于x的方程：． (1)当m为何值时，方程无解． (2)当m为何值时，方程的解为负数． 【答案】(1)或4 (2)且 【分析】（1）分式方程无解，即化成整式方程时无解，或者求得的x能令最简公分母为0，据此进行解答； （2）通过解分式方程得到x的值，然后根据已知条件列出关于m的不等式，通过解不等式可以求得m的值． 本题考查了分式方程的解法，以及分式方程无解的问题，理解分式方程无解的条件是解题的关键． 【详解】（1）由原方程，得， ①整理，得， 当即时，原方程无解； ②当分母即时，原方程无解， 故， 解得， 综上所述，或4； （2）由（1）得到， 当时．， 解得， 由（1）知：时，原方程无解； 所以综上所述，且． 考点六：根据分式方程的解的情况求值 例6. 当 时，关于的方程会产生增根． 【答案】或 【分析】本题考查了分式方程的增根，增根是分式方程化为整式方程后产生的使分母为0的根； 本题中，最简公分母为，因此增根可能为或，将方程两边乘以最简公分母化为整式方程，然后分别将增根代入整式方程求解即可． 【详解】解：原方程：， 最简公分母为， 两边乘以最简公分母得：， 整理得：， 即：， 若增根为，代入整式方程：，解得， 若增根为，代入整式方程：，解得， 故当或时，方程会产生增根． 【变式6-1】关于分式方程无解，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了解分式方程，分式方程的解，熟练掌握分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于是解决此题的关键，先根据解分式方程的方法求出，当，即时，方程无解，再由分式方程无解可得：，即，求出的值，进而得出答案． 【详解】解： 方程去分母得：， 去括号得：， 移项、合并同类项得：， 解得：， 当，即时，方程无解， ∵分式方程无解， ∴，即， ∴， 解得：， 综上所述，分式方程无解，的值为或． 故答案为：或． 【变式6-2】若关于x的不等式组有解且至多有3个整数解，关于y的分式方程的解为整数，则所有满足条件的整数m的和为 ． 【答案】2 【分析】本题考查根据不等式组的解集求参数，根据分式方程的解求参数， 首先解不等式组，得到解集为，由解集非空且至多有3个整数解，可得的取值范围为，再解分式方程，得到，由解为整数且，求出满足条件的整数的值，求和即可． 【详解】解：解不等式组 ，得， ∵不等式组有解且至多有3个整数解， ∴不等式组的解集为，且至多有3个整数解， ∴， ∴， 解，得， ∵关于y的分式方程的解为整数， ∴能被3整除，且，即， ∵，且为整数， ∴， 即符合题意的整数的值为2， 因此所有满足条件的整数的和为； 故答案为：2． 【变式6-3】若数使关于的不等式组有且只有四个整数解，且使关于的方程的解为非负数，则符合条件的所有整数的和为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，根据分式方程解的情况求参数，熟练掌握解不等式组和分式方程的方法是解题的关键．首先解不等式组，得到解集为，要求有且只有四个整数解，即，从而得到；再解分式方程，得到，要求解为非负数且，从而得到且；综合两者，整数 为，求和即可． 【详解】解：第一个不等式， 两边乘6得：， 化简得：， 第二个不等式， 化简得：， 因此不等式组的解集为：， 要求不等式组有且只有四个整数解，即，需满足， 解得：； 解分式方程， 方程化为， 即， 解得：（其中，故)， 要求解为非负数，即，故， 综合不等式组和分式方程的条件得：且， 整数为， 则和为：． 故答案为：1． 考点七：分式方程的应用 例7. 武汉某快递仓库使用机器人分拣货物，已知一台机器人每小时的工作效率相当于一名工人每小时工作效率的倍，若用一台机器人分拣件货物，比原先名工人分拣这些货物只多用小时． (1)求一台机器人每小时可分拣多少件货物？ (2)此仓库“双十二”前夕收到货物万件，为了在小时内分拣完所有货物，公司调配了台机器人和名工人，工作小时后，又调配了台机器人进行增援，该公司能否在规定的时间内完成任务？请说明理由． (3)公司技术部为了提速，对机器人“东东”的程序进行优化．若该仓库有万件货物待分拣，用相同的时间分拣，提速后的“东东”可比提速前多分拣万件，则机器人“东东”平均提速______件/小时（用含的式子表示） 【答案】(1)一台机器人每小时可以分拣件货物 (2)该公司能在规定的时间内完成任务，详见解析 (3) 【分析】本题考查了分式方程的应用以及列代数式，找准等量关系，正确列出分式方程是解答本题的关键． （1）设一名工人每小时可分拣件货物，则一台机器人每小时可分拣件货物，利用工作时间工作总量工作效率，结合“用一台机器人分拣件货物，比原先名工人分拣这些货物只多用小时”可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出的值，再将其代入中，即可求出结论； （2）利用工作总量工作效率工作时间，可求出小时内分拣货物的总件数，再将其与万件比较后，即可得出结论； （3）设机器人“东东”平均提速件/小时，利用工作时间工作总量工作效率，可列出关于的分式方程，解之经检验后，即可得出结论． 【详解】（1）解：设一名工人每小时可分拣件货物，则一台机器人每小时可分拣件货物， 根据题意得：，         解得：，             经检验：是原分式方程的解，且符合题意，         ， 答：一台机器人每小时可以分拣件货物； （2）解：该公司能在规定的时间内完成任务，理由如下： ， ， 该公司能在规定的时间内完成任务； （3）解：设机器人“东东”平均提速件/小时， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， 机器人“东东”平均提速件/小时， 故答案为：． 【变式7-1】人工智能在物流行业有广泛的应用，其中自主移动机器人可以实现高效的搬运和拣货作业，某物流园区利用，两种自主移动机器人搬运化工原料． (1)若有化工原料，型机器人小时搬运完成，则每小时搬运______化工原料，型机器人小时搬运完成，则每小时搬运______化工原料，两种机器人合作需______小时搬运完成． (2)若型机器人比型机器人每小时多搬运，型机器人搬运所用时间与型机器人搬运所用时间相等，两种机器人每小时分别搬运多少化工原料？ (3)若型机器人比型机器人每小时多搬运，用相同的时间，型机器人搬运化工原料，型机器人多搬运，则型机器人每小时搬运______化工原料． 【答案】(1)，， (2)型机器人每小时搬运化工原料，型机器人每小时搬运化工原料 (3) 【分析】本题考查分式方程的应用，准确的表示 A，B 两种自主移动机器人搬运化工原料的工作时间是解本题的关键． （1）根据题意列式即可； （2）设型机器人每小时搬运化工原料，则型机器人每小时搬运化工原料，根据题意列出方程解答即可； （3）设型机器人每小时搬运化工原料，则型机器人每小时搬运化工原料，根据题意列出方程解答即可． 【详解】（1）解：根据题意可得型机器人每小时搬运化工原料， B型机器人每小时搬运化工原料， 两种机器人合作搬运完成需要的时间为小时， 故答案为：，，． （2）解：设型机器人每小时搬运化工原料，则型机器人每小时搬运化工原料， 根据题意可得， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 所以型机器人每小时搬运化工原料，型机器人每小时搬运化工原料． （3）解：设型机器人每小时搬运化工原料，则型机器人每小时搬运化工原料， 根据题意可得， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 所以型机器人每小时搬运化工原料． 故答案为：． 【变式7-2】小美和小聪家住水果湖，周末相约到东湖绿道游玩，小美乘坐地铁，小聪乘坐公交车，同时出发到梨园公交车站汇合． (1)已知乘坐地铁和公交车的路程都是5千米，地铁的平均速度是公交车的两倍，虽然小美进站和出站比小聪上下公交车多花了5分钟，但还是比小聪早到两分半钟．求地铁的平均速度． (2)游玩途经东湖绿道有一家酥饼店，酥饼标价元/斤，小美买了两斤，小聪买了20元钱的酥饼．两人游玩结束返回时，发现酥饼标价变成了元/斤，小美又买了两斤，小聪又买了20元钱的酥饼． 用，表示小美购买酥饼的平均价格_________，小聪购买酥饼的平均价格_________； 小美和小聪谁的平均价格低？说明理由． 【答案】(1)地铁的平均速度为40千米/小时； (2)①（元/斤）；（元/斤）；②小聪的平均价格低 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，代数式的构建与比较大小，熟练掌握代数式构建是解题的关键； （1）根据题目，分别表示小美和小聪两次各购买酥饼的总价格和总数量，然后用总价格除以总数量，化简代数式即可； （2）计算出两人平均价格之差，根据平方的非负性，判断即可． 【详解】（1）（1）设公交的平均速度为x千米/小时，则地铁的平均速度为千米/小时， ， 解得， 经检验，是原分式方程的解， ， 答：地铁的平均速度为40千米/小时． （2）①（元/斤） （元/斤） 故答案为：（元/斤）；（元/斤） ②小聪的平均价格低，理由如下： ， ， 小聪的平均价格低． 【变式7-3】一辆汽车开往距离出发地的目的地，出发的第一小时按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来速度的1.2倍匀速行驶，比原计划提前到达目的地． (1)求原计划的行驶速度； (2)汽车按原路返回，若司机准备一半路程以的速度行驶，另一半路程以的速度行驶（），共用时小时；若司机准备用一半时间以的速度行驶，另一半时间以的速度行驶，共用时小时． ①直接写出用含a，b的式子分别表示和； ②试比较，的大小，并说明理由 【答案】(1)原计划的行驶速度为 (2)①；② 【分析】本题考查分式方程的应用、列代数式、分式的化简，理解题意是解答的关键． （1）设原计划的行驶速度为，根据题意，利用一小时后的时间差为列方程求解即可； （2）①根据时间、路程、速度关系分别求得，；②作差，根据分式的混合运算法则化简，然后与0比较即可求解． 【详解】（1）解：设原计划的行驶速度为，则 ， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴原分式方程的解为． 答：原计划的行驶速度为． （2）解：①根据题意， ，； ②，理由如下： ∵， 为正数，且， ． ． 考点八：分式中的规律问题 例8. 《见微知著》中说到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂；从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法． 请观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； … 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第7个等式： ； (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示），并加以证明； (3)应用运算规律，计算： ． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3)1 【分析】本题主要考查了数字变化的规律及列代数式，能根据题意得出第n个等式可表示为是解题的关键． （1）根据所给等式，观察各部分的变化，发现规律即可解决问题． （2）根据（1）中发现的规律即可解决问题． （3）根据（2）中的结论进行计算即可． 【详解】（1）解：由题知， 因为第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； …， 所以第n个等式可表示为：． 当时， 第7个等式为：． 故答案为：； （2）解：由（1）知， 第n个等式可表示为：． 证明如下： 左边右边， 所以此等式成立； （3）解：由（2）知， 当时， ， 所以， 则原式． 故答案为：1． 【变式8-1】观察下列等式： 第1个等式；； 第2个等式：； 第3个等式；； … 按照以上规律，解决下列问题： (1)请计算的值； (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示），并说明理由； (3)若，求n的值． 【答案】(1) (2)，理由见解析； (3)n的值为 【分析】本题主要考查了数字变化的规律及列代数式及解分式方程，能根据题意发现第n个等式可表示为是解题的关键． （1）观察所给等式，发现各部分的变化规律即可解决问题． （2）根据（1）中发现的规律即可解决问题． （3）根据（1）中发现的规律进行计算即可． 【详解】（1）解：由题知， 因为第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； …， 所以第n个等式可表示为：， 当时， ； （2）解：由（1）知， 猜想第n个等式为：， 理由如下： 左边 右边，故此等式成立． （3）解：由题知， ， ， ， ， 则， 因为， 所以， 解得 当时，， 所以是原分式方程的解， 故n的值为． 【变式8-2】观察以下等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， 第5个等式：， …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第6个等式：____________； (2)写出你猜想的第n个等式：____________（用含n的等式表示）； (3)证明（2）中的等式． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题考查了规律型：数字的变化类、列代数式，分式加法运算，解决本题的关键是观察数字的变化寻找规律． （1）观察前几个等式即可写出第7个等式； （2）结合（1）观察数字的变化规律即可写出第个等式； （3）计算等式右边，验证其结果等于左边即可． 【详解】（1）解：第1个等式：，即：， 第2个等式：，即：， 第3个等式：，即：， 第4个等式：，即：， 第5个等式：，即：， …… 按照以上规律， 第6个等式：，即：； 故答案为：； （2）解：根据（1）可知，第个等式：， 故答案为：； （3）证明：∵等式右边 ； ∴左边右边． 即：． 【变式8-3】阅读下列材料，并回答问题： 我们把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数叫“单位分数”，单位分数又叫埃及分数，在很早以前，埃及人就研究如何把一个单位分数表示成两个或几个单位分数的和或差，今天我们来研究如何拆分一个单位分数．请观察下列各式：，． (1)由此可推测______；请你猜想出拆分一个单位分数的一般规律，并用含字母的等式表示出来（表示正整数）______； (2)请用简便方法计算：； (3)请用观察到的规律解方程． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据题中所给式子，对照可得结果； （2）首先把分数裂项，然后进行抵消即可算出结果； （3）首先提取，再把分数裂项，然后进行抵消即可得到最简分式方程，解之即可． 本题考查了裂项法解规律计算的问题，涉及了解分式方程，掌握裂项法是解决本类问题的前提． 【详解】（1）根据已知条件可得：， 则一般规律为：； （2） ； （3）， ， ， 解得：， 经检验：是原方程的解． 1．下列各式：①；②；③；④；⑤，是分式的有 ．（只填序号） 【答案】①④ 【分析】本题考查了分式的定义，解题的关键是紧扣分式定义中“分母含有字母"这一核心特征（注意是常数，不属于字母）．明确分式定义（分母含字母）；逐个分析式子分母是否含字母（排除等常数）；确定符合分式定义的序号． 【详解】分式的定义是形如 （、 是整式， 中含有字母且 ）的式子， ① ：分母含有字母，是分式； ② ：分母是常数，不是字母，不是分式； ③ ：是整式的和，不是分式； ④ ：分母 含有字母，是分式； ⑤ ：是单项式，不是分式． 故答案为：①④． 2．在分式，，，中，最简分式有 个 【答案】2 【分析】本题考查最简最简分式，最简分式是分式的分子、分母没有非零的公因式，即不能再约分，据此判断即可解答． 【详解】解：，故不是最简分式； ，故不是最简分式； ，不能继续化简，是最简分式． ∴最简分式有2个． 故答案为：2． 3．已知分式，当时，分式没有意义；当时，分式的值为零．则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查分式的性质，熟练掌握分式有意义和分式的值为零的条件是解题的关键，根据分式没有意义，可得，再由分式的值为零，可得从而得到的值，代入即可得到答案． 【详解】解：时，分式没有意义， 时，分式的值为零， ． 4．已知，且，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查分式的求值，先将分式化简，再将整体代入，求值即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 5．若分式的值为6，当x、y都扩大2倍后，所得分式的值是 ． 【答案】12 【分析】将原分式中的x、y用、代替，化简，再与原分式进行比较即可． 【详解】将分式中x、y都扩大2倍后所得式子为 ， 若分式的值为6， 则所得分式的值是． 故答案为：12． 6．若关于的方程无解，则的取值为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了解分式方程，通过去分母将分式方程化为整式方程，根据方程无解的条件（整式方程无解或解为增根）求解． 【详解】解：方程两边同时乘以， 可得：， 整理可得：， 移项、合并同类项得：， 当即时，方程无解； 当时， 解得， 若解为增根则：， 可得：， 解得：； ， ； 当或时方程无解． 故答案为或． 7．若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解为负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是 ． 【答案】 【分析】此题考查解一元一次不等式组，解分式方程，由一元一次不等式组的解集为 ，可求出 ；解分式方程得 ，根据分式方程的解为负整数且 ，即可得出整数 的值，再求它们的和． 【详解】解不等式组： 第一个不等式 ，两边乘 2 得 ，即 ，解得 ， 第二个不等式 ，解得 ， ∵ 不等式组的解集为 ， ∴ ， 解得 ； 解分式方程 ： 两边乘 （）得 ，即 ，整理得 ，故 ， ∵ 分式方程的解为负整数且 ， ∴ 且 为负整数，且 ， 结合 且 为整数，得 或 ， 所有满足条件的整数 的值之和为 ， 故答案为： ． 8．（1）解方程：； （2）先化简，然后再从的范围内取一个合适的整数作为的值代入求值． 【答案】（1）无解；（2）， 【分析】本题考查了分式的化简求值，解分式方程． （1）方程两边都乘以，变形为一元一次方程，再解这个整式方程，然后验根，即可得出原方程的解； （2）先把小括号内的通分，按照分式的减法和分式除法法则进行化简，再把字母的值代入运算即可． 【详解】（1）解：， 去分母， 解得， 经检验是原方程的增根， ∴原方程无解； （2）解： ， ∵，且且， ∴整数， 当时，原式． 9．阅读：如果两个分式A与B的和为常数k，且k为正整数，则称A与B互为“关联分式”，常数k称为“关联值”．如分式，，，则A与B互为“关联分式”，“关联值”． (1)若分式，，判断A与B是否互为“关联分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“关联值”； (2)已知分式，，C与D互为“关联分式”，且“关联值”． ①_______（用含x的式子表示）； ②若x为正整数，且分式D的值为正整数，则x的值等于_______； 【答案】(1)是， (2)①，② 【分析】本题考查的是新定义运算的理解，分式的加减运算，理解新定义是解本题的关键． （1）先计算，再求出结果即可； （2）①先求解，结合新定义可得，从而可得答案；②由，且分式D的值为正整数．x为正整数，可得或，从而可得答案． 【详解】解：（1）A与B是互为“关联分式”，理由如下： ∵， ∴ ． ∴A与B是互为“关联分式”， “关联值”； （2）①∵，， ∴， ∵C与D互为“关联分式”，且“关联值”， ∴， ∴； ②∵，且分式D的值为正整数，x为正整数， ∴或， ∴（舍去）． 10．我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或两个式子的大小，解决问题的策略一般要进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．“作差法”就是通过作差、变形，利用差的符号确定它们的大小，如要比较式子，的大小，只要求出的值即可．若，则；若，则；若，则． (1)若，试判断： （填“”“”或“”）． (2)已知，，当时，比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查分式的基本性质，解题关键是掌握分式的基本性质，通过题干方法作差求解． （1）计算两式之差 ，根据差值的符号进行判断； （2）化简 ，由 可得 ，进而求解． 【详解】（1）解： ， ， ， 则， ∴， ， 故答案为：； （2）解：，理由如下： ， ， ∴， ． 11．观察下列式子，并探索它们的规律： ； ． (1)根据以上式子填空： ① ． ② ． (2)求分式的最小值． (3)已知为整数，求能使分式的值为整数的所有值的和． 【答案】(1)①；② (2) (3) 【分析】（1）根据所给的规律对①②进行运算即可； （2）结合所给的规律进行求解即可； （3）结合所给的规律进行求解即可． 【详解】（1）解：① ， 故答案为：； ② ， 故答案为：； （2） ， 要求原式的最小值，则的值最大， 当时，， ∴ 的最小值为：； （3） ， 要使结果为整数， 则为整数， 的值为：或或或， 其和为：． 12．在抗击新冠肺炎疫情期间，某志愿者筹集了24000元购买A、B两种不同型号的口罩共13000个，由快递公司寄往武汉，已知A型口罩的单价是B型口罩单价的1.6倍，且用于购买A型口罩和B型口罩的费用相同． (1)求A、B两种型号口罩的单价各是多少？ (2)快递公司有甲、乙、丙三个机器人分配快递，甲单独完成的时间是乙丙合作完成时间的a倍，乙单独完成的时间是甲丙合作完成时间的b倍，丙单独完成的时间是甲乙合作完成时间的c倍，求的值． 【答案】(1)A型口罩的单价为元，B型口罩的单价为元 (2)1 【分析】本题考查了分式方程和差倍分问题，分式方程的工程问题，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． （1）（元）．设B型口罩的单价为m元，则A型口罩的单价为元，根据题意列出分式方程求解，从而可求得A型口罩的单价； （2）设甲单独完成的效率为x，乙单独完成的效率为y，丙单独完成的效率为z， 依题意得：，从而可得，同理可得，，从而可求得． 【详解】（1）解：（元）． 设B型口罩的单价为m元，则A型口罩的单价为元， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴． 答：A型口罩的单价为元，B型口罩的单价为元． （2）设甲单独完成的效率为x，乙单独完成的效率为y，丙单独完成的效率为z， 依题意得：， ∴， ∴，即． 同理，， ∴． 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 分式 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 【知识点1 分式】 【分式的概念】 （1）分式的定义： 一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式．分式中，A叫做分子，B叫做分母． （2）一个式子是分式需满足的三个条件： ①是形如的式子； ②A，B为整式； ③分母B中含有字母．三个条件缺一不可． 【注意】 （1）分式的概念可类比分数得出，分式的形式和分数类似，分数的分子与分母都是整数，而分式的分子与分母都是整式，并且分母中含有字母，这也是分式的一个重要标志． （2）分式的分数线相当于除号，同时也有括号的作用．例如也可以表示为（a-1）÷（a+1），但（a-1）÷（a+1）不是分式，因为它不符合的形式． 【分式有意义、无意义的条件】 （1）分式有意义的条件：分式的分母不等于0． （2）分式无意义的条件：分式的分母等于0． 【注意】 （1）分式有无意义与分母有关，与分子无关． （2）分式中分母是含字母的式子，它的值随着字母取值的不同而变化，当字母的取值使分母等于0时，分式就没有意义了． 【分式的值为0的条件】 分式的值为0的条件：当分式的分子等于0且分母不等于0时，分式的值为0． 分式的值是在分式有意义的前提下才可考虑的，所以使分式的值为0的条件是A=0且B≠0，两者缺一不可． 【拓展】对于分式， （1） 若的值为正数，则或； （2） 若的值为负数，则或； （3） 若的值为1，则A=B且B≠0； （4）若的值为-1，则A+B=0且B≠0． 【分式的基本性质】 （1）分式的基本性质：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变． 用式子表示为：=（C≠0），其中A，B，C是整式． 分式的基本性质是分式变形的理论依据． 【注意】 ①基本性质中的A，B，C表示的都是整式，其中B≠0是已知条件中隐含着的条件，一般在解题过程中不另强调；C≠0是在解题过程中另外附加的条件，在运用分式的基本性质时，必须重点强调C≠0这个前提条件． ②应用分式的基本性质时，要深刻理解“同”的含义：一是要同时做“乘法”或“除法”运算（不是做“加法”或“减法”运算）；二是“乘”（或“除以”）的对象必须是同一个不等于0的整式． ③若分式的分子或分母是多项式，运用分式的基本性质时，要先用括号把分子或分母括上，再乘或除以同一个整式C． （2）分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，同时改变其中两个，分式的值不变． 用式子表示为： 或 【约分、最简分式】 （1）约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分． （1）最简分式：分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式． 【归纳】 （1）约分的依据是分式的基本性质：，其中A，B，C都是整式． （2）约分的关键是找出分式中分子和分母的公因式． （3）约分时需注意分式的分子、分母都是乘积形式时才能进行约分；分子、分母是多项式时，通常先将分子、分母分解因式，再约分． （4）约分的结果是整式或最简分式． （5）分式的约分是恒等变形，约分前后分式的值不变． 【通分】 通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分． 约分与通分的联系与区别： （1）约分与通分恰好是相反的两种变形，约分与通分都是根据分式的基本性质对分式进行恒等变形，即每个分式变形之后都不改变原分式的值． （2）约分是对一个分式而言，而通分则是针对多个分式而言． （3）约分是将一个分式化简，通分则可能将一个分式化繁，使异分母分式化为同分母分式． 最简公分母：几个分式通分时，通常取各分母的所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母叫做最简公分母． 【注意】 （1）通分的关键是确定几个分式的最简公分母． （2）分式的通分是恒等变形，通分前后分式的值不变． 确定最简公分母的方法： （1）当各分母都是单项式时，取各分母系数的最小公倍数与相同字母的最高次幂的乘积，凡单独出现的字母，连同它的指数作为最简公分母的一个因式； （2）当各分母都是多项式时，要先把它们分解因式，再按照各分母都是单项式求最简公分母的方法来确定． 通分的步骤： （1）求各分式的最简公分母； （2）用这个最简公分母除以分式的分母； （3）用所得的商去乘原各分式的分子、分母． 【知识点2 分式的运算】 【分式的乘除】 （1）分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母． （2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘． 用式子表示为 【归纳】分式的乘法与分数的乘法类似，可类比分数的乘法学习． （1）分式与分式相乘时，①若分子、分母是单项式，可先将分子、分母分别相乘，然后约去公因式，化为最简分式；②若分子、分母是多项式，先分解因式，看能否约分，然后再相乘． （2）当整式与分式相乘时，要把整式（看作是分母为1的式子）与分式的分子相乘作为积的分子，分式的分母作为积的分母．当整式是多项式时，同样要先分解因式，看能否约分，然后再相乘． （3）分式除以分式，可以先确定商的符号，再转化为分式的乘法．也可先转化为分式的乘法后，再确定符号，这与实数的除法运算法则是一致的．当除式（或被除式）是整式时，可以看作是分母是“1”的式子，然后依照分式除法法则计算． （4）分式的乘除运算结果要通过约分化为最简分式（分式的分子、分母没有公因式）或整式的形式． （5）分式的乘除混合运算，如果没有其他附加条件（如括号等），则应按照由左到右的顺序进行计算． 【分式的乘方】 分式乘方的法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方． 【注意】 （1）进行分式的乘方运算时，一定要把分子、分母分别乘方，不要把写成． （2）分式乘方时，先确定乘方结果的符号，它和实数乘方确定符号的方法相同：正数的任何次方都是正数；负数的偶次方为正数，负数的奇次方为负数． （3）分式乘方时，应把分子、分母分别看作一个整体． 【分式的加减】 （1）同分母分式相加减法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减． 用式子表示为． （2）异分母分式相加减法则：异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减． 用式子表示为． 【注意】 （1）分式加减运算的结果要化成最简分式或整式． （2）同分母分式相加减时要注意：“把分子相加减”就是把各个分式的分子“整体”相加减，“分母不支”就是加减后所得分母是原分式中的分母． （3）异分母分式相加减的一般步骤： ①通分：将异分母分式转化成同分母分式； ②加减：写成分母不变，分子相加减的形式； ③合并：分子去括号，合并同类项； ④约分：分子、分母约分，将结果化成最简分式或整式．因此，异分母分式加减运算的关键是通分． 【分式的混合运算】 （1）分式的混合运算，关键是弄清运算顺序，与分数的加、减、乘、除及乘方的混合运算一样，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的，在运算过程中要注意正确地运用运算法则，灵活地运用运算律，使运算尽量简便． （2）分式的混合运算中要注意各分式中分子、分母符号的处理，结果中分子或分母的系数是负数时，要把“-”号提到分式的前边． 【整数指数幂与科学记数法】 （1）整数指数幂： 若m，n为正整数，a≠0，则． 又因为，所以． 一般地，当n是正整数时，，这就是说，是的倒数． 整数指数幂的运算性质 ①；②；③； ④；⑤． 上述式子中，m，n均为任意整数． （2）科学记数法 用科学记数法表示小于1的正数时，可表示为a×10-n的形式，其中n为原数左起第1个不为0的数字前面所有0的个数（包括小数点前的那个0），1≤a<10． 【知识点3 分式方程】 【分式方程的定义】 分母中含未知数的方程叫做分式方程． 【归纳】 （1）分式方程的重要特征：①含有分母；②分母中含有未知数；③是方程． （2）方程的分母中是否含有未知数是分式方程与整式方程的根本区别． （3）分母中含有字母的方程未必是分式方程． 【分式方程的解法】 （1）解分式方程的基本思想： 把分式方程转化为整式方程，解这个整式方程，然后验根，从而确定分式方程的解． （2）解分式方程的一般方法和步骤： ①去分母：方程两边同乘最简公分母，把分式方程化为整式方程； ②解整式方程：去括号、移项、合并同类项等等； ③检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解． 简称为一化，二解，三检验． （3）解分式方程产生不适合原方程解的原因： 在将分式方程化为整式方程时，未知数的取值范围被增大了，对于整式方程来说，求出的解成立，而对于原分式方程来说，当分母为零时，分式无意义，所以这个解不是原分式方程的解，即原分式方程无解． 【分式方程的应用】 分式方程的应用基本思路和方法： 一审：审清题意，弄清已知量和未知量； 二找：找出等量关系； 三设：设未知数； 四列：列出分式方程； 五解：解这个方程； 六验：检验，既要检验所求得的解是不是所列分式方程的解，又要检验所求得的解是否符合实际问题的要求； 七答：写出答案． 在上述过程中，关键步骤是根据题意寻找“等量关系”，进而列出分式方程，求解时注意必须检验求出的值是不是所列分式方程的解，且是否符合实际意义． 考点一：分式有无意义、分式值为零的条件 例1．对于分式． (1)当取什么值时，分式有意义？ (2)当取什么值时，分式的值为零？ 【变式1-1】已知当时，分式无意义；当时，此分式的值为0． (1)直接写出的值． (2)在（1）的条件下，当分式的值为正整数时，求整数的值． 【变式1-2】（1）若分式的值为0，分式无意义，求的值； （2）对于分式，当时，分式无意义；当时，分式的值为0．求的值． 【变式1-3】对于分式： (1)如果，那么y取何值时，分式无意义？ (2)如果，那么x取何值时，分式无意义？ (3)使分式无意义的x，y有多少对？ (4)要使得分式有意义，x，y应有什么关系？ (5)如果，那么y取什么值时，分式的值为零？ 考点二：分式的基本性质 例2.如果分式中的，都扩大为原来的倍，那么分式的值（    ） A．不变 B．扩大为原来的倍 C．缩小为原来的 D．缩小为原来的 【变式2-1】已知，则分式的值是 ． 【变式2-2】当时，的值是 ． 【变式2-3】不改变分式的值，把下列分式的分子和分母中各项的系数化为整数： （1） ； （2） ． 考点三：分式的相关计算 例3.解答下列各题． (1)计算：； (2)先化简，然后从，0，1，3中选一个合适的数作为的值代入求值． 【变式3-1】计算： (1) (2)． (3)化简求值．先化简：，然后从0，1，2，3中选择你喜欢的值． 【变式3-2】求值： (1)计算： (2)先化简，再求值：，其中． 【变式3-3】（1）计算：． （2）先化简，再求值：，从中选一个合适的代入求值． 考点四：分式中的新定义问题 例4. 我们定义：若两个分式与的和为一个分式，且分式的分子为常数，分母为关于的一次整式，则称与是“合分式”，这个常数称为与关于的“合值”．例如：分式，，，则与是“合分式”，与关于的“合值”为3． 解决下列问题： (1)已知分式，是“合分式”．求与关于的“合值”为_____； (2)已知分式（其中是常数，且），，与是“合分式”，且与关于的“合值”为1，求常数的值； (3)已知分式，，与是“合分式”，且与关于的“合值”为1，若分式的值为正整数，且为整数，求满足条件的的值． 【变式4-1】我们定义：如果两个分式与的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“雅中式”，这个常数称为关于的“雅中值”．如分式，，，则是的“雅中式”，关于的“雅中值”为． (1)已知分式，，判断是否为的“雅中式”，若不是，请说明理由；若是，请证明并求出关于的“雅中值”； (2)已知分式，，是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是，为整数，且“雅中式”的值也为整数，求所代表的代数式及所有符合条件的的值之和； (3)已知分式，（，，为整数），是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是，求的值． 【变式4-2】给出定义：如果两个分式与的和为一个常数，则称与是“和常分式”，这个常数称为与的“和常值”．例如：分式，则与是“和常分式”，与的“和常值”为4．解决下面的问题： (1)已知分式，判断与是不是“和常分式”，若不是，请说明理由：若是，求出与的“和常值”； (2)已知分式，其中与是“和常分式”，与的“和常值”为2，求的值； (3)已知分式，其中与是“和常分式”，与的“和常值”为．若为整数，且的值也为整数，直接写出满足条件的的值． 【变式4-3】我们给出定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”．例如：，则称分式是“巧分式”，4x为它的“巧整式”．根据上述定义，解决下列问题． (1)下列分式中是“巧分式”的有__________（填序号）； ①；②；③． (2)若分式（m、n为常数）是一个“巧分式”，它的“巧整式”为，求m、n的值； (3)若分式的“巧整式”为，请判断是否是“巧分式”，并说明理由． 考点五：解分式方程 例5. 解方程： (1) (2) 【变式5-1】解方程 (1) (2)． 【变式5-2】解方程 (1)； (2)． 【变式5-3】已知关于x的方程：． (1)当m为何值时，方程无解． (2)当m为何值时，方程的解为负数． 考点六：根据分式方程的解的情况求值 例6. 当 时，关于的方程会产生增根． 【变式6-1】关于分式方程无解，则的值为 ． 【变式6-2】若关于x的不等式组有解且至多有3个整数解，关于y的分式方程的解为整数，则所有满足条件的整数m的和为 ． 【变式6-3】若数使关于的不等式组有且只有四个整数解，且使关于的方程的解为非负数，则符合条件的所有整数的和为 ． 考点七：分式方程的应用 例7. 武汉某快递仓库使用机器人分拣货物，已知一台机器人每小时的工作效率相当于一名工人每小时工作效率的倍，若用一台机器人分拣件货物，比原先名工人分拣这些货物只多用小时． (1)求一台机器人每小时可分拣多少件货物？ (2)此仓库“双十二”前夕收到货物万件，为了在小时内分拣完所有货物，公司调配了台机器人和名工人，工作小时后，又调配了台机器人进行增援，该公司能否在规定的时间内完成任务？请说明理由． (3)公司技术部为了提速，对机器人“东东”的程序进行优化．若该仓库有万件货物待分拣，用相同的时间分拣，提速后的“东东”可比提速前多分拣万件，则机器人“东东”平均提速______件/小时（用含的式子表示） 【变式7-1】人工智能在物流行业有广泛的应用，其中自主移动机器人可以实现高效的搬运和拣货作业，某物流园区利用，两种自主移动机器人搬运化工原料． (1)若有化工原料，型机器人小时搬运完成，则每小时搬运______化工原料，型机器人小时搬运完成，则每小时搬运______化工原料，两种机器人合作需______小时搬运完成． (2)若型机器人比型机器人每小时多搬运，型机器人搬运所用时间与型机器人搬运所用时间相等，两种机器人每小时分别搬运多少化工原料？ (3)若型机器人比型机器人每小时多搬运，用相同的时间，型机器人搬运化工原料，型机器人多搬运，则型机器人每小时搬运______化工原料． 【变式7-2】小美和小聪家住水果湖，周末相约到东湖绿道游玩，小美乘坐地铁，小聪乘坐公交车，同时出发到梨园公交车站汇合． (1)已知乘坐地铁和公交车的路程都是5千米，地铁的平均速度是公交车的两倍，虽然小美进站和出站比小聪上下公交车多花了5分钟，但还是比小聪早到两分半钟．求地铁的平均速度． (2)游玩途经东湖绿道有一家酥饼店，酥饼标价元/斤，小美买了两斤，小聪买了20元钱的酥饼．两人游玩结束返回时，发现酥饼标价变成了元/斤，小美又买了两斤，小聪又买了20元钱的酥饼． 用，表示小美购买酥饼的平均价格_________，小聪购买酥饼的平均价格_________； 小美和小聪谁的平均价格低？说明理由． 【变式7-3】一辆汽车开往距离出发地的目的地，出发的第一小时按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来速度的1.2倍匀速行驶，比原计划提前到达目的地． (1)求原计划的行驶速度； (2)汽车按原路返回，若司机准备一半路程以的速度行驶，另一半路程以的速度行驶（），共用时小时；若司机准备用一半时间以的速度行驶，另一半时间以的速度行驶，共用时小时． ①直接写出用含a，b的式子分别表示和； ②试比较，的大小，并说明理由 考点八：分式中的规律问题 例8. 《见微知著》中说到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂；从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法． 请观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； … 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第7个等式： ； (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示），并加以证明； (3)应用运算规律，计算： ． 【变式8-1】观察下列等式： 第1个等式；； 第2个等式：； 第3个等式；； … 按照以上规律，解决下列问题： (1)请计算的值； (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示），并说明理由； (3)若，求n的值． 【变式8-2】观察以下等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， 第5个等式：， …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第6个等式：____________； (2)写出你猜想的第n个等式：____________（用含n的等式表示）； (3)证明（2）中的等式． 【变式8-3】阅读下列材料，并回答问题： 我们把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数叫“单位分数”，单位分数又叫埃及分数，在很早以前，埃及人就研究如何把一个单位分数表示成两个或几个单位分数的和或差，今天我们来研究如何拆分一个单位分数．请观察下列各式：，． (1)由此可推测______；请你猜想出拆分一个单位分数的一般规律，并用含字母的等式表示出来（表示正整数）______； (2)请用简便方法计算：； (3)请用观察到的规律解方程． 1．下列各式：①；②；③；④；⑤，是分式的有 ．（只填序号） 2．在分式，，，中，最简分式有 个 3．已知分式，当时，分式没有意义；当时，分式的值为零．则的值为 ． 4．已知，且，则的值为 ． 5．若分式的值为6，当x、y都扩大2倍后，所得分式的值是 ． 6．若关于的方程无解，则的取值为 ． 7．若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解为负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是 ． 8．（1）解方程：； （2）先化简，然后再从的范围内取一个合适的整数作为的值代入求值． 9．阅读：如果两个分式A与B的和为常数k，且k为正整数，则称A与B互为“关联分式”，常数k称为“关联值”．如分式，，，则A与B互为“关联分式”，“关联值”． (1)若分式，，判断A与B是否互为“关联分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“关联值”； (2)已知分式，，C与D互为“关联分式”，且“关联值”． ①_______（用含x的式子表示）； ②若x为正整数，且分式D的值为正整数，则x的值等于_______； 10．我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或两个式子的大小，解决问题的策略一般要进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．“作差法”就是通过作差、变形，利用差的符号确定它们的大小，如要比较式子，的大小，只要求出的值即可．若，则；若，则；若，则． (1)若，试判断： （填“”“”或“”）． (2)已知，，当时，比较与的大小，并说明理由． 11．观察下列式子，并探索它们的规律： ； ． (1)根据以上式子填空： ① ． ② ． (2)求分式的最小值． (3)已知为整数，求能使分式的值为整数的所有值的和． 12．在抗击新冠肺炎疫情期间，某志愿者筹集了24000元购买A、B两种不同型号的口罩共13000个，由快递公司寄往武汉，已知A型口罩的单价是B型口罩单价的1.6倍，且用于购买A型口罩和B型口罩的费用相同． (1)求A、B两种型号口罩的单价各是多少？ (2)快递公司有甲、乙、丙三个机器人分配快递，甲单独完成的时间是乙丙合作完成时间的a倍，乙单独完成的时间是甲丙合作完成时间的b倍，丙单独完成的时间是甲乙合作完成时间的c倍，求的值． 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $