专题05 因式分解（4个知识点+6个核心考点+复习提升）（寒假复习讲义）八年级数学新教材人教版

专题05 因式分解 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 【知识点1 因式分解】 1.定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式． 2.拓展：（1）因式分解是针对多项式而言的，一个单项式本身就是数与字母的积，不需要再分解因式； （2）因式分解的结果是整式的积的形式，积中几个相同因式的积要写成幂的形式； （3）因式分解必须分解到每一个因式都不能再分解为止； （4）因式分解与整式乘法是方向相反的变形，二者不是互为逆运算．因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算． 【知识点2 用提公因式法分解因式】 1.公因式的定义：一个多项式各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式． 2.怎样确定公因式（五看）： 一看系数：若各项系数都是整数，应提取各项系数的最大公因数； 二看字母：公因式的字母是各项相同的字母； 三看字母的指数：各相同字母的指数取指数最低的； 四看整体：如果多项式中含有相同的多项式，应将其看成整体，不要拆开； 五看首项符号：若多项式中首项符号是“-”，则公因式的符号一般为负． 3.提公因式法的定义： 一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法． 4.提公因式法分解因式的一般步骤： ①确定公因式：先确定系数，再确定字母和字母的指数； ②提公因式并确定另一个因式； ③把多项式写成这两个因式的积的形式． 拓展：（1）多项式的公因式提取要彻底，当一个多项式提取公因式后，剩下的另一个因式中不能再有公因式． （2）提公因式后括号内的项数应与原多项式的项数一样． （3）若多项式首项系数为负数时，通常要提出负因数． 【知识点3 用平方差公式分解因式】 1.平方差公式的等号两边互换位置，得()() 语言叙述：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积． 2.特点：①等号左边是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反； ②等号右边是两个数的和与这两个数的差的积． 【知识点4 用完全平方公式分解因式】 1.完全平方公式的等号两边互换位置，得, 语言叙述：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方． 2.特点：①等号左边是三项式，其中首末两项分别是两个数（或两个式子）的平方，且这两项的符号相同，中间一项是这两个数（或两个式子）的积的2倍，符号正负均可． ②等号右边是这两个数（或两个式子）的和（或差)的平方．当中间的乘积项与首末两项符号相同时，是和的平方；当中间的乘积项与首末两项的符号相反时，是差的平方． 3.公式法的定义： 如果把乘法公式的等号两边互换位置，就可以得到用于分解因式的公式，用来把某些具有特殊形式的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法． 考点一：因式分解的定义 例1．下列各式从左边到右边的变形是因式分解的为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解，因式分解是将多项式化为几个整式的积的形式，据此判断各选项． 【详解】∵因式分解需满足右边为整式的积， A：右边含分式 ，不是整式，不符合因式分解概念，不是因式分解； B：右边是差的形式，不是积，不符合因式分解概念，不是因式分解； C：该变形是整式乘法，是因式分解的逆运算，不符合因式分解的概念，不是因式分解； D：右边是整式的积，符合因式分解概念，是因式分解； ∴故选：D． 【变式1-1】下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了因式分解，解题的关键是掌握因式分解的定义． 因式分解是将多项式化为几个整式的积的形式．选项A是整式乘法，选项B右边不是积的形式，选项C等式不成立，选项D符合定义． 【详解】解：∵ 因式分解要求左边是多项式，右边是整式的积， 选项A: 是从积到多项式，是乘法运算，不是因式分解； 选项B: 右边不是积的形式； 选项C: 但左边 ，右边 ，两者不相等，故错误； 选项D: 右边是积的形式，且等式成立； 故选：D． 【变式1-2】下列从左到右的变形，是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解的意义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，结合选项进行判断即可． 【详解】解：A．，是整式的乘法，不是因式分解，不符合题意； B．，等式右边不是乘积形式，不是因式分解，不符合题意； C．，右边不是整式，不是因式分解，不符合题意； D．，右边是整式的积，是因式分解，符合题意； 故选：D． 【变式1-3】下列由左边到右边的变形，是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】本题考查了因式分解，根据因式分解的定义，即把一个多项式分解为几个整式的积的形式，判断各选项是否符合题意即可． 【分析】解：A、左边是整式的积，右边是多项式的形式，是整式乘法，故不是因式分解； B、左边为多项式，右边为积的形式，且等式成立，故是因式分解； C、左边，右边，等式不成立，不是因式分解； D、右边为和的形式，不是积的形式，故不是因式分解． 故选：B． 考点二：综合提公因式和公式法分解因式 例2.分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)； 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查因式分解的方法，观察多项式特征，确保因式分解“彻底”是解题关键． （1）先找出多项式各项的公因式，再用提公因式法分解； （2）先提公因式，再利用完全平方公式继续分解； （3）将式子看作两个平方数的差，利用平方差公式分解； （4）先将原式看作完全平方式进行分解，再对所得因式利用平方差公式继续分解． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解：原式 ． 【变式2-1】分解因式： (1)： (2)． (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】此题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法． （1）利用平方差公式因式分解； （2）先提公因式，然后利用完全平方公式因式分解． （3）综合利用公式法分解因式即可； （4）综合利用公式法分解因式即可． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 【变式2-2】分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)； 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了因式分解，灵活运用提取公因式、完全平方公式、平方差公式分解因式是解题的关键． （1）先提取公因式a，然后再运用完全平方公式分解即可； （2）先运用完全平方公式分解，再运用平方差公式分解即可； （3）先凑出公因式，然后再提取公因式，最后运用平方差公式分解即可； （4）先提取公因式，再运用完全平方公式分解即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 【变式2-3】因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了因式分解． （1）提公因式即可求解； （2）先提公因式，再根据平方差公式因式分解即可求解； （3）原式变形为，提公因式，再利用平方差公式分解即可； （4）提公因式，再利用完全平方公式分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 考点三：分组分解法分解因式 例3.因式分解：． 【答案】 【分析】本题考查分组分解法进行因式分解，掌握相关知识是解决问题的关键．首先前两项一组，后三项一组，第一组提公因式，第二组用完全平方公式进行因式分解，然后两组再提公因式即可． 【详解】解：原式 ． 【变式3-1】分解因式：． 【答案】 【分析】本题考查分组分解法因式分解，掌握相关知识是解决问题的关键．前三项用完全平方公式因式分解；中间两项提公因式；最后再用完全平方公式因式分解即可． 【详解】解： ． 【变式3-2】因式分解： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解； （1）先分组，再根据提公因式法和十字相乘法因式分解，最后再提公因式法因式分解即可求解； （2）先分组，再根据平方差公式和提公因式法因式分解，最后再提公因式法因式分解即可求解． 【详解】（1）解：. . （2）解： 【变式3-3】因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分组分解法，公式法进行分解因式，十字相乘法分解因式．正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先把原式整理得，再运用平方差公式进行因式分解，即可作答． （2）先把原式整理得，再运用十字相乘法进行因式分解，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 考点四：十字相乘法分解因式 例4. 材料：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成．例如，具体做法是先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数，这种方法称为“十字相乘法”． 这样，我们可以得到：． 材料：分解因式： 解：将“”看成一个整体，令，则原式，再将“”还原，得：原式 上述解题用到“整体思想”和“换元思想”，整体思想和换元思想是数学解题中常见的两种思想方法． 迁移运用】 (1)利用上述的十字相乘法，将下列多项式分解因式： ； (2)结合材料和材料，对下面小题进行因式分解：． 【答案】(1) ； (2) 【分析】本题考查了因式分解-十字相乘法． （1）利用十字相乘法分解因式即可； （2）材料的方法分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：将“”看成一个整体，令，则原式， 再将“”还原，得：原式 【变式4-1】阅读思考：将式子分解因式，这个式子的常数项，一次项系数，这个过程，可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数（如图）．这样我们可以得到． 请仿照上面的方法，解答下列问题： (1)分解因式： ①； ②； (2)若可分解为两个一次因式的积，则整数的所有可能值为___________． 【答案】(1)①；② (2)， 【分析】本题考查了十字相乘法因式分解，理解并运用题中的分解因式方法是解题的关键． （1）①仿照题中十字相乘法将原式分解即可；②先根据平方差公式分解因式，再利用十字相乘法分解因式得出答案； （2）把8分为两个整数相乘，其和即为整数的值，写出即可． 【详解】（1）解：①； ② ； （2）∵，，，， ∴整数的可能值为：，，，， ∴整数的所有可能值为：，． 故答案为：，． 【变式4-2】阅读下列材料： 材料1：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且则可以把因式分解成，这种方法称为“十字相乘法”． 如：（1）； （2）． 材料2：因式分解：． 解：将“看成一个整体，令，则原式，再将“”还原得：原式 上述解题用到“整体思想”和“换元思想”，整体思想和换元思想是数学解题中常见的两种思想方法． 【迁移运用】 (1)利用上述的十字相乘法，将下列多项式分解因式： ①________                          ②________ (2)结合材料1和材料2，对下面小题进行因式分解： ①；               ②． 【答案】(1)①，② (2)①，② 【分析】本题主要考查了用十字相乘法分解因式、换元法分解因式，阅读材料中提供的解题思路，仿照材料中提供的思路分解因式是解题的关键． （1）①设实数m，n，根据题意列方程，即可求解；②先提取2，设实数m，n，根据题意列方程，即可求解． （2）①令，再用十字相乘法因式分解，再将A代入即可求解；②令，再用十字相乘法因式分解，再将B代入，再用十字相乘法对因式进行一次因式分解，即可求解． 【详解】（1）①设存在实数m，n，使得，解得， 则； ②， 设存在实数m，n，使得，解得， 则． （2）①令， 故， 将代入得． ②， 令， 则， 将代入，得． 【变式4-3】阅读下列材料，回答问题：形如型的二次三项式，有以下特点：①二次项系数是1；②常数项是两个数之积；③一次项系数是常数项的两个因数之和．把这个二次三项式进行因式分解，可以这样来解： ． 因此，可以得． 利用上面的结论，可以直接将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式； (1)________； (2)________； (3)分解因式：； (4)分解因式：． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了分解因式，正确理解题意是解题的关键． （1）仿照题意根据，，进行分解因式即可； （2）仿照题意根据，，进行分解因式即可； （3）仿照题意根据，，进行分解因式即可； （4）把看做一个整体，仿照题意根据，，进行分解因式即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴, 故答案为； （2）解：∵，， ∴， 故答案为； （3）解：∵，， 所以 （4）解：∵，， 所以 考点五：配方法的应用 例5. 先阅读材料，再解答问题： 材料：若，求的值． 解：，即：， ∴，，∴ 根据你的观察，用本材料中的方法解决下列问题： (1)若，求的值 (2)已知，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查对于配完全平方公式的理解，偶次方的非负性，对已知式子进行正确的变形，根据题中给出的例子理解配完全平方公式要先找到平方项和中间项，是本题的解题关键，然后根据平方的非负性，得出几个非负数或者式子的和为0，那么这几个数或者式子分别为0． （1）先将原式进行变形可得，然后解得和，代入即可得出答案； （2）由可得，然后代入，再将等式左边整理成两个整式的平方和，然后根据偶次方的非负性求出b，c的值，然后可得a的值，再代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，； 即：； （2）解：∵， ∴， 把代入得：， 整理得：， ∵ ， ∴，， ∴，， ∴， 则． 【变式5-1】多项式及通过因式分解写成和的形式之后，可以解决较复杂多项式的因式分解及一些实际问题．我们把多项式和称为完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法． 例如：分解因式； 原式 ； (1)用配方法将分解因式； (2)用配方法将分解因式； (3)已知分别为等腰三角形的腰和底，且满足，求该等腰三角形的周长． 【答案】(1) (2) (3)5 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，因式分解，解答的关键是正确理解题意． （1）根据配方法分解因式的方法进行求解即可； （2）根据配方法分解因式的方法进行求解即可； （3）利用配方法分解因式的方法可得，再根据偶次方的非负性求解即可得． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：， ， ， ，， ，， ，， 则三边为2，2，1，满足，可构成三角形， 此时等腰三角形的周长为． 【变式5-2】【阅读材料】对于多项式，虽然不能写成完全平方形式，但是可以写成；又如，．将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和，这就是一个配方的过程．这种配方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．根据以上内容回答下列问题： (1)代数式经配方可化为______． (2)求的最小值和此时a、b的值． (3)已知，，试比较P与Q的大小． 【答案】(1) (2)最小值为4，此时， (3)，理由见解析 【分析】本题考查了配方法的应用，灵活运用完全平方公式，会利用平方式的非负性求解是解题的关键． （1）直接根据完全平方公式对二次三项式配方； （2）将表达式配方后利用非负性求最小值； （3）通过计算并配方，利用非负性比较大小． 【详解】（1） （2） ， ∴ 最小值为4，当且时取得，即， （3） ∵ ， ∴ ∴ ∴ 【变式5-3】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值、比较大小、最值问题等都有着广泛的应用． 例如：求代数式的最小值时，利用公式，对式子作如下变形：． 因为， 所以， 因此有最小值为1，即的最小值为1． 通过阅读，解下列问题： (1)代数式的最小值为________； (2)请比较多项式与的大小，并说明理由； (3)已知，，，求代数式的值． 【答案】(1)5 (2)，理由见解析 (3)3 【分析】本题主要考查配方法的运用，一个数或整数的平方具有非负性和因式分解法计算与运用，合理利用配方法是解决本题的关键． （1）将变形为，即可求解； （2）先求与的差为，再将变形为，即可求解； （3）由，，得，，，将变形为，即可求解． 【详解】（1）解：， ， ． ∴代数式的最小值为5． （2） ， ， ． ． ． （3），， ，，． ． 考点六：因式分解的应用 例6. 仔细阅读下面例题： 已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得，则，解得：，．∴另一个因式为，． 类比上面方法解答： (1)若二次三项式可分解为，则______． (2)若二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及b的值． 【答案】(1)4 (2)另一个因式为，b值为1 【分析】本题主要考查了多项式乘法与因式分解的关系： （1）由题意得，，据此把等式右边展开即可得到答案； （2）设另一个因式为，则，据此仿照题意求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴， ∴， ∴； （2）解：设另一个因式为， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴另一个因式为，b值为1． 【变式6-1】由 可知多项式有一个因式为，我们把代入多项式，发现使多项式 的值为0． (1)若是多项式的一个因式，求k的值． (2)若和是多项式的两个因式，试求m，n的值，并将该多项式因式分解． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查因式分解的特殊方法，阅读相关材料能够举一反三是解题的关键． （1）根据材料把代入多项式中使多项式值为零，解方程即可求出k值； （2）把和分别代入式子中使原式值为零，解方程组即可求出m，n值，再提取，接着因式分解即可． 【详解】（1）解：∵是多项式的一个因式， ∴时，， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵和是多项式的两个因式， ∴和时，， ， 解得， ． 【变式6-2】【自主学习】 范例：已知二次三项式分解因式后，有一个因式是，求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为，则 解得： 另一个因式为，的值为． 【类比探究】 （1）若二次三项式，可分解为，则 ， ； （2）若二次三项式分解因式后，有一个因式是，求另一个因式以及的值； 【创新应用】 （3）若多项式（，是常数）分解因式后，有一个因式是，则代数式的值为 ． 【答案】（1）；；（2）另一个因式为，的值为3；（3）81 【分析】本题考查的是利用待定系数法分解因式，同底数幂的除法，掌握待定系数法解题是关键． （1）先计算，再比较即可得到答案； （2）设另一个因式为，可得，再建立方程组解题即可； （3）设另一个因式为，可得，再利用待定系数法可得，再结合同底数幂的除法运算可得答案． 【详解】解：（1）； ， 故答案为：；； （2）设另一个因式为，得 ， 则， 解得：， 故另一个因式为，的值为3， 故答案为：，3； （3）设另一个因式为， 则 ， ，由①得：③， 把③代入②得：， ， ． 故答案为：． 【变式6-3】因为，这说明多项式有一个因式为，我们把代入此多项式发现能使多项式的值为0，利用上述阅读材料求解： (1)若是多项式的一个因式，求k的值； (2)若和是多项式的两个因式，试求m，n的值； (3)在（2）的条件下，直接写出多项式因式分解的结果． 【答案】(1) (2)的值为，的值为 (3) 【分析】本题考查因式分解的创新应用、解一元一次方程、解二元一次方程组等知识，熟练掌握因式分解的原理是解题的关键． （1）将代入多项式并使多项式等于0，求解即可得答案； （2）将和分别代入多项式并使多项式等于0，解二元一次方程组，即可获得答案； （3）将（2）中解得的的值代入多项式，然后设，利用待定系数法求出k即可． 【详解】（1）解：∵是多项式的一个因式， ∴当时，得， 解得：； （2）解：∵和是多项式的两个因式， ∴可有，整理可得， 解得， 即的值为，的值为； （3）解：由（2）可知，的值为，的值为， ∴多项式为， ∵和是多项式的两个因式，的次数最高项的次数为3，次数最高项的系数为1， ∴设， 右边展开式的常数项为，左边的常数项为， ∴， 解得：， ∴． 1．下列从左到右的变形属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．根据因式分解的定义，判断各选项是否将多项式化为整式的积的形式． 【详解】解：A、右边含分式，不是整式； B、左边是单项式，不是多项式； C、满足定义； D、是整式乘法； 故选：C． 2．把下列各式分解因式： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1)； (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】（1）先提取公因式，再运用平方差公式解答即可； （2）先提取公因式，再运用完全平方公式解答即可； （3）先提取公因式，化简后再提取公因式即可； （4）先运用平方差公式，再运用完全平方公式解答即可； （5）运用平方差公式法解答即可； （6）连续运用两次平方差公式解答即可． 本题考查了因式分解，灵活选择方法是解题的关键． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． （5）解： ． （6）解： ． 3．分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是∶ （1）根据十字相乘法进行因式分解即可； （2）先提取公因式，然后根据完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ． 4．（1）已知，求的值； （2）已知问多项式A、B、C是否有公因式？若有，求出其公因式；若没有，请说明理由． 【答案】（1）；（2）有公因式，公因式为 【分析】本题主要考查公因式的确定，代数式求值，因式分解； （1）先利用提公因式法和公式法分解因式，再代入计算即可； （2）先利用提公因式法和公式法分解因式，然后再确定公因式． 【详解】解：（1）∵， （2）多项式A、B、C有公因式． ∴多项式A、B、C的公因式是． 5．整式乘法与因式分解是相反的变形，如整式乘法，反过来为，恰好是因式分解．基于上述原理，将式子分解因式如下： ，一次项①分解二次项和常数项；②交叉相乘再相加验证一次项：；③横向写出两因式：． 请仔细阅读材料，回答下列问题： (1)填空：______； (2)若可分解为（a，b均为整数），则整数p的所有可能值有哪些？ 【答案】(1) (2)或或或或或 【分析】本题考查了十字相乘法因式分解，解题关键是掌握“将二次项、常数项拆分后交叉相乘验证一次项”的十字相乘方法． （1）将的二次项拆为，常数项拆为，交叉相乘匹配一次项，横向写出因式． （2）把展开，得出，，找出的所有整数拆分方式，即可得到整数的所有可能值． 【详解】（1）解： 故答案为． （2）解：∵可分解为， ∴， ∴，， ∵、为整数， ∴ ， ∵，，，，，，， ，，，，， ∴整数p的所有可能值为或或或或或． 6．对于二次三项式不能直接用公式分解，但可用以下方式分解因式： ，像这样分解因式的方法叫做添（拆）项法．请用以上方法分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查特殊方法的因式分解，读懂题意，理解添（拆）项法进行因式分解是解题的关键． （1）仿照题意，原式变形为，应用完全平方公式与平方差公式进行因式分解即可； （2）仿照题意，原式变形为，应用完全平方公式与平方差公式进行因式分解即可． 【详解】（1）解： （2）解：． 7．因为，这说明多项式有一个因式为，我们把代入多项式，发现能使多项式的值为0． 那么反过来，在因式分解只含有字母x的整式时，当我们发现一个数a可以使该整式的值为0，那么这个整式一定有一个因式为，进而求出其他因式，我们把这种方法称为试根法因式分解．例如因式分解，当时，原式的值为0，因此一定有因式，设， 因为 解得， 所以， 利用上述规律，回答下列问题： (1)若是多项式的一个因式，求k的值． (2)若和是多项式的两个因式，试求m、n的值，并将该多项式因式分解． (3)分解因式：． 【答案】(1) (2)m、n的值分别为和0； (3) 【分析】本题主要考查了因式分解，解二元一次方程组： （1）根据题意当时，，则，据此求解即可； （2）根据题意可得当或时，，则可得关于m、n的方程组，解方程组求出m、n的值，进而把原多项式分解因式即可； （3）先试根和，再由待定系数法求解即可． 【详解】（1）解：当时，， ∵是多项式的一个因式， ∴当时，， ∴， ∴； （2）解：∵和是多项式的两个因式， ∴当或时，， ∴或时，， ∴， 解得， ∴原多项式为； （3）解： 当时，， 当时， ∴，是多项式的一个因式， 设， ∴， ∴， ∴， ∴． 8．通过课堂的学习知道，我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法． 配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式； 再例如求代数式的最小值，． 可知当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)代数式有最____（填“大”或“小”）值，值为____ (2)若与，判断、的大小关系，并说明理由； (3)当，为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值． 【答案】(1)大， (2)，理由见解析 (3)时，有最小值为16． 【分析】本题考查了因式分解的应用、非负数的性质、完全平方公式的应用，解题时要注意配方法的步骤，注意在变形的过程中不要改变式子的值． （1）先配方，然后根据完全平方式的非负性求最大值即可； （2）先表示出，然后由完全平方式的非负性可得，由此即可得解； （3）先变形，然后根据，，求出最小值即可． 【详解】（1）解：， 当时，有最大值，为， 代数式的最大值为， 故答案为：大，； （2）解：，理由如下： ，， ， ，， ， ； （3）解：∵ ， 又∵，， ∴当，原式有最小值， 即时，有最小值为16． 9．先阅读下面的内容，再解决问题． 材料一：若，求和的值． 解：∵， ∴，∴， ∴，且， ∴， 材料二：方程就可以这样来解： 解：原方程可化为， ∴或，∴原方程的解为或， 请根据上述材料解决下列问题： (1)若，求和的值． (2)已知：、、为的三边长，且，试判断的形状，并说明理由． (3)若， 则__________，__________，__________． 【答案】(1)， (2)为等腰三角形，理由见解析 (3)，， 【分析】（）根据材料一方法解答即可； （）根据材料二方法解答即可； （）由已知可得，即得，得到，进而得到，再根据非负数的性质解答即可求解； 本题考查了因式分解的应用，等腰三角形的定义，完全平方公式的变形运算，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴且， ∴，； （2）解：为等腰三角形，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴, ∵、、为的三边长， ∴， ∴，即， ∴为等腰三角形； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴且， ∴，， 把代入，得， ∴， ∴， 综上，，，， 故答案为：，，． 10．求解下列问题： (1)试确定和，使能被整除． (2)已知关于、的二次式可分解为两个一次因式的乘积，求． (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了整式乘法，因式分解，解二元一次方程组，完全平方公式，立方和公式等知识点，熟练掌握整式乘法的恒等变形及立方和与完全平方公式的灵活变形是解决此题的关键． （1）由整除知可设商式为，与 相乘得出一个多项式，与原多项式形成恒等式即可得解； （2）可设两个一次式分别为和，利用多项式的乘法展开形成一个多项式，与原多项式形成恒等式即可得解； （3）由得出和的值，再由得出的表达式，从而求出它的值． 【详解】（1）解：∵能被整除， ∴可设商式为 ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴时，能被 整除； （2）解：∵关于的二次式可分解为两个一次因式的乘积， 又∵ ∴可设两个一次式分别为和， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴ ∴a的值为6； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ， ∴的值为． 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 因式分解 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 【知识点1 因式分解】 1.定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式． 2.拓展：（1）因式分解是针对多项式而言的，一个单项式本身就是数与字母的积，不需要再分解因式； （2）因式分解的结果是整式的积的形式，积中几个相同因式的积要写成幂的形式； （3）因式分解必须分解到每一个因式都不能再分解为止； （4）因式分解与整式乘法是方向相反的变形，二者不是互为逆运算．因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算． 【知识点2 用提公因式法分解因式】 1.公因式的定义：一个多项式各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式． 2.怎样确定公因式（五看）： 一看系数：若各项系数都是整数，应提取各项系数的最大公因数； 二看字母：公因式的字母是各项相同的字母； 三看字母的指数：各相同字母的指数取指数最低的； 四看整体：如果多项式中含有相同的多项式，应将其看成整体，不要拆开； 五看首项符号：若多项式中首项符号是“-”，则公因式的符号一般为负． 3.提公因式法的定义： 一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法． 4.提公因式法分解因式的一般步骤： ①确定公因式：先确定系数，再确定字母和字母的指数； ②提公因式并确定另一个因式； ③把多项式写成这两个因式的积的形式． 拓展：（1）多项式的公因式提取要彻底，当一个多项式提取公因式后，剩下的另一个因式中不能再有公因式． （2）提公因式后括号内的项数应与原多项式的项数一样． （3）若多项式首项系数为负数时，通常要提出负因数． 【知识点3 用平方差公式分解因式】 1.平方差公式的等号两边互换位置，得()() 语言叙述：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积． 2.特点：①等号左边是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反； ②等号右边是两个数的和与这两个数的差的积． 【知识点4 用完全平方公式分解因式】 1.完全平方公式的等号两边互换位置，得, 语言叙述：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方． 2.特点：①等号左边是三项式，其中首末两项分别是两个数（或两个式子）的平方，且这两项的符号相同，中间一项是这两个数（或两个式子）的积的2倍，符号正负均可． ②等号右边是这两个数（或两个式子）的和（或差)的平方．当中间的乘积项与首末两项符号相同时，是和的平方；当中间的乘积项与首末两项的符号相反时，是差的平方． 3.公式法的定义： 如果把乘法公式的等号两边互换位置，就可以得到用于分解因式的公式，用来把某些具有特殊形式的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法． 考点一：因式分解的定义 例1．下列各式从左边到右边的变形是因式分解的为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（  ） A． B． C． D． 【变式1-2】下列从左到右的变形，是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】下列由左边到右边的变形，是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 考点二：综合提公因式和公式法分解因式 例2.分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)； 【变式2-1】分解因式： (1)： (2)． (3)； (4)． 【变式2-2】分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)； 【变式2-3】因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 考点三：分组分解法分解因式 例3.因式分解：． 【变式3-1】分解因式：． 【变式3-2】因式分解： (1)． (2)． 【变式3-3】因式分解： (1) (2) 考点四：十字相乘法分解因式 例4. 材料：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成．例如，具体做法是先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数，这种方法称为“十字相乘法”． 这样，我们可以得到：． 材料：分解因式： 解：将“”看成一个整体，令，则原式，再将“”还原，得：原式 上述解题用到“整体思想”和“换元思想”，整体思想和换元思想是数学解题中常见的两种思想方法． 迁移运用】 (1)利用上述的十字相乘法，将下列多项式分解因式： ； (2)结合材料和材料，对下面小题进行因式分解：． 【变式4-1】阅读思考：将式子分解因式，这个式子的常数项，一次项系数，这个过程，可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数（如图）．这样我们可以得到． 请仿照上面的方法，解答下列问题： (1)分解因式： ①； ②； (2)若可分解为两个一次因式的积，则整数的所有可能值为___________． 【变式4-2】阅读下列材料： 材料1：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且则可以把因式分解成，这种方法称为“十字相乘法”． 如：（1）； （2）． 材料2：因式分解：． 解：将“看成一个整体，令，则原式，再将“”还原得：原式 上述解题用到“整体思想”和“换元思想”，整体思想和换元思想是数学解题中常见的两种思想方法． 【迁移运用】 (1)利用上述的十字相乘法，将下列多项式分解因式： ①________                          ②________ (2)结合材料1和材料2，对下面小题进行因式分解： ①；               ②． 【变式4-3】阅读下列材料，回答问题：形如型的二次三项式，有以下特点：①二次项系数是1；②常数项是两个数之积；③一次项系数是常数项的两个因数之和．把这个二次三项式进行因式分解，可以这样来解： ． 因此，可以得． 利用上面的结论，可以直接将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式； (1)________； (2)________； (3)分解因式：； (4)分解因式：． 考点五：配方法的应用 例5. 先阅读材料，再解答问题： 材料：若，求的值． 解：，即：， ∴，，∴ 根据你的观察，用本材料中的方法解决下列问题： (1)若，求的值 (2)已知，，求的值． 【变式5-1】多项式及通过因式分解写成和的形式之后，可以解决较复杂多项式的因式分解及一些实际问题．我们把多项式和称为完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法． 例如：分解因式； 原式 ； (1)用配方法将分解因式； (2)用配方法将分解因式； (3)已知分别为等腰三角形的腰和底，且满足，求该等腰三角形的周长． 【变式5-2】【阅读材料】对于多项式，虽然不能写成完全平方形式，但是可以写成；又如，．将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和，这就是一个配方的过程．这种配方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．根据以上内容回答下列问题： (1)代数式经配方可化为______． (2)求的最小值和此时a、b的值． (3)已知，，试比较P与Q的大小． 【变式5-3】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值、比较大小、最值问题等都有着广泛的应用． 例如：求代数式的最小值时，利用公式，对式子作如下变形：． 因为， 所以， 因此有最小值为1，即的最小值为1． 通过阅读，解下列问题： (1)代数式的最小值为________； (2)请比较多项式与的大小，并说明理由； (3)已知，，，求代数式的值． 考点六：因式分解的应用 例6. 仔细阅读下面例题： 已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得，则，解得：，．∴另一个因式为，． 类比上面方法解答： (1)若二次三项式可分解为，则______． (2)若二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及b的值． 【变式6-1】由 可知多项式有一个因式为，我们把代入多项式，发现使多项式 的值为0． (1)若是多项式的一个因式，求k的值． (2)若和是多项式的两个因式，试求m，n的值，并将该多项式因式分解． 【变式6-2】【自主学习】 范例：已知二次三项式分解因式后，有一个因式是，求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为，则 解得： 另一个因式为，的值为． 【类比探究】 （1）若二次三项式，可分解为，则 ， ； （2）若二次三项式分解因式后，有一个因式是，求另一个因式以及的值； 【创新应用】 （3）若多项式（，是常数）分解因式后，有一个因式是，则代数式的值为 ． 【变式6-3】因为，这说明多项式有一个因式为，我们把代入此多项式发现能使多项式的值为0，利用上述阅读材料求解： (1)若是多项式的一个因式，求k的值； (2)若和是多项式的两个因式，试求m，n的值； (3)在（2）的条件下，直接写出多项式因式分解的结果． 1．下列从左到右的变形属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 2．把下列各式分解因式： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 3．分解因式： (1)； (2)． 4．（1）已知，求的值； （2）已知问多项式A、B、C是否有公因式？若有，求出其公因式；若没有，请说明理由． 5．整式乘法与因式分解是相反的变形，如整式乘法，反过来为，恰好是因式分解．基于上述原理，将式子分解因式如下： ，一次项①分解二次项和常数项；②交叉相乘再相加验证一次项：；③横向写出两因式：． 请仔细阅读材料，回答下列问题： (1)填空：______； (2)若可分解为（a，b均为整数），则整数p的所有可能值有哪些？ 6．对于二次三项式不能直接用公式分解，但可用以下方式分解因式： ，像这样分解因式的方法叫做添（拆）项法．请用以上方法分解因式： (1)； (2)． 7．因为，这说明多项式有一个因式为，我们把代入多项式，发现能使多项式的值为0． 那么反过来，在因式分解只含有字母x的整式时，当我们发现一个数a可以使该整式的值为0，那么这个整式一定有一个因式为，进而求出其他因式，我们把这种方法称为试根法因式分解．例如因式分解，当时，原式的值为0，因此一定有因式，设， 因为 解得， 所以， 利用上述规律，回答下列问题： (1)若是多项式的一个因式，求k的值． (2)若和是多项式的两个因式，试求m、n的值，并将该多项式因式分解． (3)分解因式：． 8．通过课堂的学习知道，我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法． 配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式； 再例如求代数式的最小值，． 可知当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)代数式有最____（填“大”或“小”）值，值为____ (2)若与，判断、的大小关系，并说明理由； (3)当，为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值． 9．先阅读下面的内容，再解决问题． 材料一：若，求和的值． 解：∵， ∴，∴， ∴，且， ∴， 材料二：方程就可以这样来解： 解：原方程可化为， ∴或，∴原方程的解为或， 请根据上述材料解决下列问题： (1)若，求和的值． (2)已知：、、为的三边长，且，试判断的形状，并说明理由． (3)若， 则__________，__________，__________． 10．求解下列问题： (1)试确定和，使能被整除． (2)已知关于、的二次式可分解为两个一次因式的乘积，求． (3)已知，求的值． 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $