专题04 双曲线方程及其性质（15个题型）（高效培优期末专项训练）数学苏教版2019高二选择性必修第一册

专题04 双曲线方程及其性质（15个题型） 考点01 双曲线定义及双曲线的标准方程 考点02 轨迹问题——双曲线 考点03 利用方程表示双曲线求参数范围 考点04 双曲线中和、差最值问题 考点05 双曲线渐近线问题 考点06 双曲线中焦点三角形问题 考点07 双曲线离心率问题 考点08 双曲线中的中点弦问题 考点09 双曲线中的面积问题 考点10 双曲线的最值与范围问题 考点11 双曲线中的面积问题 考点12 双曲线中的定点问题 考点13 双曲线中的定值问题 考点14 双曲线中的定直线问题 考点15 双曲线中的探究性、存在性问题 考点01 双曲线定义及双曲线的标准方程 1．已知点为双曲线左支上的一点，分别为的左､右焦点，则（  ） A．2 B．4 C．6 D．8 2．过点且与椭圆有相同焦点的双曲线方程为（  ） A． B． C． D． 3．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”提出直角三角形的三边边长分别称为“勾”“股”“弦”．如图一直角三角形ABC的“勾”“股”分别为6，8，以AB所在的直线为轴，AB的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，则以A，B为焦点，且过点C的双曲线方程为（  ） A． B． C． D． 4.已知双曲线的左，右焦点分别为，左，右顶点分别为，点的坐标为在双曲线上，是的中垂线，若的周长与的周长之差为，则双曲线的方程为（  ） A． B． C． D． 5．已知双曲线的右焦点为，实轴长为8，则该双曲线的标准方程为 . 6.根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)半焦距为，经过点，且焦点在轴上； (2)两个焦点的坐标分别为，，双曲线上一点到，的距离之差的绝对值等于6； (3)与双曲线有公共焦点，且过点． 考点02 轨迹问题——双曲线 7．已知动圆与圆及圆都外切，那么动圆圆心轨迹方程是（  ） A． B． C． D． 8．如图，定圆的半径为定长，是圆外一个定点，是圆上任意一点.线段的垂直平分线与直线相交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹是（  ） A．射线 B．椭圆 C．双曲线 D．圆 9．已知圆，，点在圆上运动，设线段的垂直平分线和直线的交点为，则点的轨迹方程为（  ） A． B． C． D． 10．已知，若动点满足直线与直线的斜率之积为，则动点的轨迹方程为（  ） A． B． C． D． 11.动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是，则动点M的轨迹方程为（  ） A． B． C． D． 12.已知，，为坐标原点，点是圆上任意一点，点是圆外一点，若，，则点的轨迹方程为____________ 13.如图，在纸上画一个半径为2的圆，再取一定点，，将纸片折起，使圆周通过，然后展开纸片，得到一条折痕（为了看清楚，可把直线画出来）.这样继续下去，得到若干折痕，这些折痕围成的轮廓构成曲线.若点在曲线上，且，则的面积为 . 考点03 利用方程表示双曲线求参数范围 14．已知方程表示焦点在x轴上的双曲线，则实数m的取值范围是（  ） A． B． C． D． 15．设为实数，若方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 16．已知方程表示双曲线，则的取值范围是（  ） A． B． C． D．或 17．已知曲线表示双曲线，则的取值范围是 ． 考点04 双曲线中和、差最值问题 18．已知，双曲线的左焦点为是双曲线的右支上的动点，则的最大值是（  ） A． B．2 C．3 D．1 19．已知双曲线:的右焦点为，点P在C的右支上，且，则的最小值为（  ） A． B． C． D． 20．已知双曲线的下焦点为，，是双曲线上支上的动点，则的最大值是（  ） A．不存在 B．8 C．7 D．6 21．已知为双曲线的右支上一点，分别是圆和上的点，则的最大值（  ） A．11 B．9 C．7 D．6 22.已知是双曲线的左焦点，，是双曲线右支上的动点，则的最小值为 ． 考点05 双曲线渐近线问题 23．已知双曲线E的实轴长为6，且与椭圆有公共焦点，则双曲线E的渐近线方程为（  ） A． B． C． D． 24．双曲线的两焦点分别为，过的直线与其一支交于，两点，点在第四象限.以为圆心，的实轴长为半径的圆与线段分别交于M，N两点，且，则的渐近线方程是（  ） A． B． C． D． 25．已知双曲线：（，）的右焦点为，左、右顶点分别为，，点在上且轴，直线，与轴分别交于点，，若（为坐标原点），则的渐近线方程为（  ） A． B． C． D． 26．已知双曲线的左、右焦点分别为，. 点A在双曲线上，点在轴上，，，则双曲线的渐近线方程为 . 27.已知双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则双曲线的离心率为 . 考点06 双曲线中焦点三角形问题 28．已知双曲线的左、右焦点分别为、，点是双曲线左支上一点，点，则周长的最小值为（  ） A． B． C． D． 29．设O为坐标原点，，为双曲线的两个焦点，点P在C上，，则（   ） A． B．3 C． D． 30．已知双曲线的左、右焦点分别为，过点且倾斜角为的直线与双曲线交于第一象限的点，延长至使得，若的面积为，则的值为（   ） A． B． C． D． 31.（多选）已知点在双曲线上，分别是左、右焦点，若的面积为20，则下列判断正确的有（  ） A．点到轴的距离为 B． C．为钝角三角形 D． 32.（多选）已知双曲线的左、右焦点分别为，过点且斜率为的直线与双曲线的左支交于两个不同的点，为的右支上一点（异于右顶点），的内切圆圆心为，则以下结论正确的是（　　） A．直线的斜率 B．若，则 C．以为直径的圆与圆相切 D．若，则点坐标为 33．已知分别为双曲线的左、右焦点．过点作直线与的左、右两支分别相交于两点，直线与相交于点．若，则 ． 34．已知双曲线的左右焦点为，点为双曲线上一点，若，则的周长是 ． 35．双曲线的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与C在第一象限相交于点若直线的斜率为，的面积为8，则双曲线C的方程为 . 考点07 双曲线离心率问题 36．已知双曲线C：的上、下焦点分别为，，P是C上支上的一点（不在y轴上），与x轴交于点A，的内切圆在边上的切点为B，若，则C的离心率的取值范围是（  ） A． B． C． D． 37．已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线的右支上，且，则双曲线的离心率的最大值为（  ） A． B． C． D． 38.已知椭圆和双曲线有相同的焦点为两曲线在第一象限的交点，分别为曲线的离心率.若，则的最小值为（  ） A． B． C． D． 39.在平面直角坐标系中，已知双曲线的左、右顶点为、，若该双曲线上存在点，使得直线、的斜率之和为，则该双曲线离心率的取值范围为__________． 40．若双曲线C：的渐近线与圆没有公共点，则双曲线C的离心率的取值范围为______________ 41.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与的一条渐近线平行，交另一条渐近线于点，若，则的离心率为 . 42.，分别为双曲线（，）左、右焦点，P为双曲线左支上的任意一点，若的最小值为，则双曲线的离心率e的最大值是 ． 考点08 双曲线中的中点弦问题 43．斜率为1的直线与双曲线交于，两点，若线段的中点为，则（   ） A． B． C． D． 44．已知双曲线：，过点的直线与双曲线交于，两点.若点为线段的中点，则直线的方程是（　　） A． B． C． D． 45．已知直线过双曲线的左焦点，且与的左､右两支分别交于两点，设为坐标原点，为的中点，若是以为底边的等腰三角形，则直线的斜率为（　　） A． B． C． D． 46．已知直线与双曲线交于A，B两点，点是弦的中点，则双曲线C的离心率为 ． 47.已知双曲线的实轴长为2，点 到双曲线的渐近线的距离为． (1)求双曲线的方程； (2)过点的动直线交双曲线于两点，设线段的中点为，求点 M 的轨迹方程． 48.双曲线：的渐近线方程为，一个焦点到该渐近线的距离为1. (1)求的方程； (2)是否存在直线，经过点且与双曲线于A，两点，为线段的中点，若存在，求的方程；若不存在，说明理由. 考点09 双曲线的最值与范围问题 49．直线过圆的圆心，且与圆相交于，两点，为双曲线右支上一个动点，则的最小值为（  ） A．0 B．1 C．2 D．3 50．已知点是双曲线上的动点，，分别为其左，右焦点，为坐标原点.则的最大值是（  ） A．7 B．6 C．5 D．4 51．（多选）已知曲线，则（  ） A．不经过第二象限 B．当，时，上任一点到坐标原点的距离均相等 C．上点的横坐标的取值范围是 D．上任一点到直线的距离的取值范围是 52.已知双曲线，为左焦点，若，则双曲线离心率为 ；若对于双曲线上任意一点，线段长度的最小值为，则实数的值为 . 53．已知点是双曲线上任意一点． (1)求证：点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数； (2)已知点，求的最小值． 54.我们把等轴双曲线的一部分与半圆合成的曲线称作“羽毛球型”曲线，其中是焦距为8的等轴双曲线的一部分，如图所示. (1)求与的方程； (2)已知为“羽毛球型”曲线上的动点，求线段长度的最小值； 55.已知曲线． (1)若，求曲线的离心率； (2)若曲线的左，右顶点为，是上第一象限上动点，． （ⅰ）若，求点的坐标； （ⅱ）设直线与定直线的交点为，直线与曲线的另一个交点为，求的最小值． 考点10 双曲线中的面积问题 56.双曲线的左､右焦点分别为，过的直线l与双曲线的左､右两支分别交于A，B两点，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 57.已知直线与双曲线交于两点,若，且，过弦的中点分别作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足为，则四边形的面积的最大值为___________． 58．已知双曲线的一条渐近线为，且右焦点F到这条渐近线的距离为． (1)求双曲线的方程； (2)O为坐标原点，过点F的直线l与双曲线的右支交于A、B两点，与渐近线交于C、D两点，A与C在x轴的上方，B与D在x轴的下方．设、分别为的面积和的面积，求的最大值． 59.线的右支交于两点，与双曲线的渐近线交于两点. (1)求的取值范围； (2)记的面积为的面积为，求取值范围. 60.已知双曲线：的实轴长为2，右焦点F到双曲线的渐近线距离为. (1)求双曲线的方程； (2)过点作直线交双曲线的右支于A，B两点，连接并延长交双曲线左支于点P（O为坐标原点），求的面积的最小值； 考点11 双曲线中的定点问题 61.已知点在离心率为的双曲线上． (1)求的方程； (2)过点的直线与相交于两点，关于轴的对称点为，求证：直线过轴上的定点，并求出该定点坐标． 62.已知双曲线：的一条渐近线为l：，且右焦点到直线的距离为2． (1)求双曲线的方程； (2)已知是的右顶点，、是上与不重合的两点，且，证明：直线过定点，并求出定点的坐标． 63.已知点，分别为双曲线E：的左、右焦点，点到双曲线E的渐近线的距离为，点A为双曲线E的右顶点，且． (1)求双曲线E的标准方程； (2)若四边形为矩形，其中点B，D在双曲线E上，求证：直线过定点． 64．如图，已知双曲线的渐近线方程为，点在双曲线上，为双曲线的左、右顶点，为双曲线右支上的动点，直线和直线交于点，直线交双曲线的右支于点.    (1)求双曲线的方程； (2)若点在第一象限，且满足，求直线的方程； (3)探究直线是否过定点，若过定点，求出该定点坐标，并说明理由. 65.已知双曲线的离心率为，上焦点到其中一条渐近线的距离为2． (1)求双曲线的标准方程； (2)过的直线交双曲线上支于，两点．在轴上是否存在定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 66.在平面直角坐标系中，已知点及曲线，过点向右上、左上方作斜率分别为的两条射线，与曲线的交点分别为.当变化时，如果直线的斜率为定值或直线经过定点，那么称是曲线的“优点”. 已知曲线. (1)判断是否为曲线的“优点”； (2)在中任选一个判断是否为曲线的“优点”，并说明理由； (3)给出满足的条件，使得是曲线的“优点”，且__________，并求出对应的定值或定点. ①直线的斜率为定值；②直线经过定点. 请在①②中任选一个填在横线上并作答，不必证明. 考点12 双曲线中的定值问题 67．已知双曲线：的虚轴长为4，直线为双曲线的一条渐近线. (1)求双曲线的标准方程； (2)记双曲线的左、右顶点分别为，，过点的直线交双曲线于点，（点在第一象限），记直线MA斜率为，直线NB斜率为，求证：为定值. 68．已知双曲线：过点，离心率为. (1)求的方程； (2)过点且斜率为的直线交双曲线左支于点，平行于的直线交双曲线的渐近线于A，B两点，点A在第一象限，直线的斜率为.若四边形为平行四边形，证明：为定值. 69．已知D为双曲线E:的左顶点，点在E上，且E的离心率为2. (1)求双曲线E的方程. (2)过点且斜率为的直线l交E的右支于A，B两点，△ABD的外心为M，O为坐标原点，线段OM所在直线斜率为. ①求证:直线AD和直线BD的斜率之积为定值; ②试探求和的关系，并说明理由. 70．已知双曲线：的离心率为，点在双曲线上．过的左焦点F作直线交的左支于A、B两点． (1)求双曲线的方程． (2)点，直线交直线于点．设直线、的斜率分别、，求证：为定值． 71.已知双曲线的离心率为，且过点． (1)求双曲线C的标准方程； (2)已知直线l经过点， ①若直线l与双曲线C的左支相切，求直线l的方程； ②若双曲线C的右顶点为P，直线l与双曲线C交于A，B两点，直线PA的斜率为，直线PB的斜率为，证明：为定值． 72.已知为坐标原点，双曲线过点，渐近线方程为. (1)求双曲线的方程； (2)直线过点，与双曲线交于两点. ①若直线，求的面积； ②在轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 考点13 双曲线中的定直线问题 73.已知双曲线的中心为坐标原点，左、右顶点分别为，，虚轴长为6．    (1)求双曲线的方程； (2)过点的直线与的右支交于，两点，若直线与交于点．证明：点在定直线上； 74.已知，分别是双曲线：的左、右顶点，，分别为其左、右焦点，实轴长为4，M，N为双曲线上异于顶点的任意两点，当经过原点时，直线与直线斜率之积为定值4. (1)求双曲线C的方程； (2)已知直线：，交双曲线的左、右两支于D，E两点. ①求m的取值范围； ②设直线与直线交于点Q，求证：点Q在定直线上. 75.已知双曲线的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为．记的左、右顶点分别为、. (1)求双曲线的方程； (2)双曲线上任意一点（不与、重合），求证：为定值； (3)过点的直线与的左支交于、两点，直线与交于点．证明：点在定直线上． 76.已知双曲线的离心率和焦距分别为和，设点的坐标分别为. (1)求双曲线的方程； (2)已知是双曲线的左支上异于点的一个动点，直线交的右支于点是坐标原点. （i）记和的面积分别为，且，求直线的方程； （ii）设直线与直线的交点为，证明：点在一条定直线上. 77.在平面直角坐标系中，已知点，，，点P的轨迹为曲线C，过点的直线l与曲线C交于A，B两点（A，B两点均在y轴左侧）. (1)求曲线C的方程； (2)若点A在x轴上方，且，求直线l的方程； (3)过点A作x轴的平行线m，直线m与直线交于点M，线段的中点为N，若直线l与直线交于点Q，求证：点Q恒在一条定直线上. 考点15 双曲线中的探究性、存在性问题 78.已知双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为，焦点到渐近线的距离为1. (1)求双曲线的标准方程； (2)过点的直线与双曲线的右支相切于点，与平行的直线与双曲线交于，两点，与直线交于点.是否存在实数，使得？若存在，求实数的值；若不存在，请说明理由. 79.我们约定，如果一个椭圆的长轴和短轴分别是另一条双曲线的实轴和虚轴，则称它们互为“姊妺”圆锥曲线.已知椭圆，双曲线是椭圆的“姊妺”圆锥曲线，分别为的离心率，且，点分别为椭圆的左､右顶点. (1)求双曲线的方程； (2)设过点的动直线交双曲线右支于两点，若直线的斜率分别为. （i）试探究与的比值是否为定值.若是定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由； （ii）求的取值范围. 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 双曲线方程及其性质（15个题型） 考点01 双曲线定义及双曲线的标准方程 考点02 轨迹问题——双曲线 考点03 利用方程表示双曲线求参数范围 考点04 双曲线中和、差最值问题 考点05 双曲线渐近线问题 考点06 双曲线中焦点三角形问题 考点07 双曲线离心率问题 考点08 双曲线中的中点弦问题 考点09 双曲线中的面积问题 考点10 双曲线的最值与范围问题 考点11 双曲线中的面积问题 考点12 双曲线中的定点问题 考点13 双曲线中的定值问题 考点14 双曲线中的定直线问题 考点15 双曲线中的探究性、存在性问题 考点01 双曲线定义及双曲线的标准方程 1．已知点为双曲线左支上的一点，分别为的左､右焦点，则（  ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】由双曲线的定义即可求解. 【解析】因为为双曲线左支上的一点，分别为的左､右焦点， 所以，故， 由于， 所以. 故选：B. 2．过点且与椭圆有相同焦点的双曲线方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先判断椭圆的焦点位置，求出其半焦距，设出双曲线方程，依题意列出方程组，解之即得. 【解析】由可知椭圆焦点在轴上，且， 故可设所求双曲线方程为：，依题得：， 解得：，故所求的双曲线方程为：. 故选：D. 3．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”提出直角三角形的三边边长分别称为“勾”“股”“弦”．如图一直角三角形ABC的“勾”“股”分别为6，8，以AB所在的直线为轴，AB的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，则以A，B为焦点，且过点C的双曲线方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，求出双曲线的实半轴长、半焦距即可求解. 【解析】依题意，双曲线焦点在x轴上，焦距，即， 实轴长，即，于是虚半轴长， 所以所求双曲线方程为. 故选：A 4.已知双曲线的左，右焦点分别为，左，右顶点分别为，点的坐标为在双曲线上，是的中垂线，若的周长与的周长之差为，则双曲线的方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据是的中垂线、的周长与的周长之差为及双曲线定义可得关于的方程组可得答案. 【解析】因为是的中垂线，所以，， 若的周长与的周长之差为， 则， 即，① 又，所以，② 且，③ 解①②③组成的方程组可得， 则双曲线的方程为. 故选：B. 5．已知双曲线的右焦点为，实轴长为8，则该双曲线的标准方程为 . 【答案】 【分析】由题意可得条件，，从而得到双曲线标准方程.. 【解析】由题可得双曲线焦点在轴上，且，，所以，，则双曲线的标准方程为. 故答案为： 6.根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)半焦距为，经过点，且焦点在轴上； (2)两个焦点的坐标分别为，，双曲线上一点到，的距离之差的绝对值等于6； (3)与双曲线有公共焦点，且过点． 【答案】(1)；(2)；(3) 【分析】（1）可设双曲线的标准方程为，将点代入，求得，即可得出答案； （2）设标准方程为，根据题意可得，求得，即可得解； （2）方法一：设双曲线的标准方程为，利用待定系数法求得，即可得解； 方法二：设双曲线的标准方程为（，且），将点代入方程，求得，即可得解. 【解析】（1）因为半焦距为，且焦点在轴上， 所以可设双曲线的标准方程为， 因为双曲线经过点，所以， 解得或（舍去）． 于是双曲线的标准方程为； （2）因为双曲线的焦点在轴上， 所以设它的标准方程为， 因为，，所以，． 于是双曲线的标准方程为； （3）方法一：设双曲线的标准方程为， 点在双曲线上，故． 又，所以，， 则双曲线的标准方程为． 方法二：设双曲线的标准方程为（，且）， 将点代入方程，解得或（舍去），则双曲线的标准方程为． 考点02 轨迹问题——双曲线 7．已知动圆与圆及圆都外切，那么动圆圆心轨迹方程是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，半径为，根据给定条件可得，从而得到的轨迹为以为焦点，的双曲线左支，再求轨迹方程即可. 【解析】圆：，圆心，半径 ， 圆：，圆心，半径 ， 设动圆圆心，半径为，由动圆与圆，都外切， 得，则， 因此圆心的轨迹是以为焦点，实轴长的双曲线左支， 即，半焦距，虚半轴长， 所以动圆圆心的轨迹方程是. 故选：B 8．如图，定圆的半径为定长，是圆外一个定点，是圆上任意一点.线段的垂直平分线与直线相交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹是（  ） A．射线 B．椭圆 C．双曲线 D．圆 【答案】C 【分析】根据双曲线的定义即可求解. 【解析】连接、，如图所示： 因为为的垂直平分线，所以， 所以为定值， 又因为点在圆外，所以， 根据双曲线定义，点的轨迹是以、为焦点，为实轴长的双曲线. 故选：C. 9．已知圆，，点在圆上运动，设线段的垂直平分线和直线的交点为，则点的轨迹方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合双曲线的定义求得正确答案. 【解析】 圆的圆心为，半径为，由中垂线的性质可得, 所以, 所以点的轨迹方程是双曲线，且，，，， 所以点的轨迹方程为. 故选：A. 10．已知，若动点满足直线与直线的斜率之积为，则动点的轨迹方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】运用直接法求得轨迹方程. 【解析】设，由题意可得，整理可得， 即动点的轨迹方程为， 故选：A 11.动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是，则动点M的轨迹方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用直接法求解. 【解析】由题意可得， 化简得． 故选：B. 12.已知，，为坐标原点，点是圆上任意一点，点是圆外一点，若，，则点的轨迹方程为____________ 【答案】 【分析】延长交直线于点，连接，由条件判断且为中点，利用中位线性质得且，从而利用双曲线的定义得点在以，为焦点的双曲线上，进而利用双曲线的标准方程求解轨迹方程即可. 【解析】由题意知，圆的半径，延长交直线于点，连接， 因为，且，所以，且为中点， 所以，且， 因此，， 所以点在以，为焦点的双曲线上， 设的方程为，可知，所以， 又，则，所以的方程为，即， 又点是圆外一点， 所以，即，故所求轨迹方程为. 故答案为： 13.如图，在纸上画一个半径为2的圆，再取一定点，，将纸片折起，使圆周通过，然后展开纸片，得到一条折痕（为了看清楚，可把直线画出来）.这样继续下去，得到若干折痕，这些折痕围成的轮廓构成曲线.若点在曲线上，且，则的面积为 . 【答案】3 【分析】设点关于直线的对称点为点，延长交直线于点，根据对称性分可知，进而结合勾股定理求面积. 【解析】解：设点关于直线的对称点为点，延长交直线于点， 由题意可知，点在圆上，直线为线段的垂直平分线，则， 可得， 可知点的轨迹是以点、为焦点的双曲线，靠近点的一支， 因为， 若，则，可得， 即，可得， 所以的面积为. 故答案为：3. 考点03 利用方程表示双曲线求参数范围 14．已知方程表示焦点在x轴上的双曲线，则实数m的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用双曲线方程的特征列式求解即得. 【解析】方程表示焦点在x轴上的双曲线，则，解得， 所以实数m的取值范围是 故选：C. 15．设为实数，若方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据方程表示焦点在轴上的双曲线列式计算求解. 【解析】方程表示焦点在轴上的双曲线， 由题意可得 解得， 故选：B． 16．已知方程表示双曲线，则的取值范围是（  ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】根据双曲线的性质，根据题意建立不等式进行求解即可． 【解析】因为方程表示双曲线 ，所以即 故选：A． 17．已知曲线表示双曲线，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据双曲线方程的特征得到不等式，求出答案. 【解析】又题意可知，，解得， 故的取值范围是． 故答案为： 考点04 双曲线中和、差最值问题 18．已知，双曲线的左焦点为是双曲线的右支上的动点，则的最大值是（  ） A． B．2 C．3 D．1 【答案】D 【分析】由双曲线的定义得，由三角不等式得出，即可求解． 【解析】如图，设双曲线的右焦点为，连接，则， 因为， 而，所以， 当三点共线且在之间时等号成立，故的最大值是1． 故选：D． 19．已知双曲线:的右焦点为，点P在C的右支上，且，则的最小值为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用双曲线的定义将的最小值转化为的最小值即可. 【解析】 由题知，，，所以， 设双曲线的左焦点为，则，，因为点P在C的右支上， 由双曲线的定义知， 所以, 当三点共线时取等号， 所以的最小值为. 故选：D. 20．已知双曲线的下焦点为，，是双曲线上支上的动点，则的最大值是（  ） A．不存在 B．8 C．7 D．6 【答案】A 【分析】根据双曲线的定义以及三点共线来确定正确答案.. 【解析】依题意，下焦点，设上焦点， 双曲线的渐近线方程为，直线的斜率为， 所以延长时，与双曲线没有交点，， 设延长，交双曲线上支于， 依题意，是双曲线上支上的动点， 根据双曲线的定义可知， ，当在点时等号成立，则， 所以，所以， 所以，所以的最大值不存在. 故选：A. 21．已知为双曲线的右支上一点，分别是圆和上的点，则的最大值（  ） A．11 B．9 C．7 D．6 【答案】B 【分析】先由已知条件得双曲线的两个焦点为两个圆的圆心，再利用圆的几何性质和双曲线的定义即可求的最大值. 【解析】 由，得，，则， 则双曲线的两个焦点，， 又，分别是两个圆的圆心，两圆的半径， 所以，， 则 ， 即的最大值为． 故选：B. 22.已知是双曲线的左焦点，，是双曲线右支上的动点，则的最小值为 ． 【答案】9 【分析】根据双曲线的定义转化为可求解. 【解析】设右焦点为，则，则， 依题意有， ，（当在线段与双曲线的交点时，取等号）． 故的最小值为9.    故答案为：9. 考点05 双曲线渐近线问题 23．已知双曲线E的实轴长为6，且与椭圆有公共焦点，则双曲线E的渐近线方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，求出椭圆的焦点坐标，再求出双曲线方程即可求得渐近线方程. 【解析】椭圆的焦点坐标为，因此双曲线E的焦点为， 而其实半轴长为3，则虚半轴长为，双曲线E的方程为, 所以双曲线E的渐近线方程为. 故选：A 24．双曲线的两焦点分别为，过的直线与其一支交于，两点，点在第四象限.以为圆心，的实轴长为半径的圆与线段分别交于M，N两点，且，则的渐近线方程是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图，由题意得：， 设，则， 所以，， 由双曲线的定义得：， 所以，，则， 因为，在中，， 即，解得， 所以，， 在中，， 即， 可得， 所以， 所以，即， 故双曲线的渐近线方程为． 故选：C． 25．已知双曲线：（，）的右焦点为，左、右顶点分别为，，点在上且轴，直线，与轴分别交于点，，若（为坐标原点），则的渐近线方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意知，因为轴， 所以令，可得，解得：，设， 直线的斜率为：， 所以直线的方程为：， 令可得，所以， 直线的斜率为： 所以直线的方程为：， 令可得，所以， 由可得，解得：, 所以，解得：，即 所以的渐近线方程为， 故选：C. 26．已知双曲线的左、右焦点分别为，. 点A在双曲线上，点在轴上，，，则双曲线的渐近线方程为 . 【答案】 【分析】利用双曲线的性质结合三角形余弦定理求解即可. 【解析】因为，所以三点共线， 又，所以为直角三角形， 记，则， 由双曲线定义和对称性可得， 则有，即， 解得或（舍去）. 记，则， 在中，由余弦定理得， 整理得，得 所以双曲线的渐近线方程为. 故答案为： 27.已知双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则双曲线的离心率为 . 【答案】或2 【分析】利用双曲线的性质结合弦长公式求解即可. 【解析】由题设，圆的标准方程为，即圆心，半径为， 若双曲线为时，渐近线为且， 所以圆心到双曲线渐近线的距离为， 由弦长、弦心距、半径的关系知：，故，得：，又， 所以，故. 若双曲线为时，渐近线为且， 所以圆心到双曲线渐近线的距离为， 由弦长、弦心距、半径的关系知：，故，得：，又， 所以，故. 综上，双曲线的离心率为或2. 故答案为：或2. 考点06 双曲线中焦点三角形问题 28．已知双曲线的左、右焦点分别为、，点是双曲线左支上一点，点，则周长的最小值为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由双曲线的定义得出，即得出的周长为，由点为线段与双曲线的交点时，周长取最小值，即可求解. 【解析】如下图所示：    在双曲线中，，，则，则、， 由双曲线的定义可得，所以， 所以的周长为 ， 当且仅当点为线段与双曲线的交点时，等号成立， 故周长的最小值为. 故选：C. 29．设O为坐标原点，，为双曲线的两个焦点，点P在C上，，则（   ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【分析】结合双曲线的定义和余弦定理得，在和中，由余弦定理得，求解即可. 【解析】由题意得，，所以①， 在中，由余弦定理得， 即②，联立①②，解得， 因为， 所以在和中，由余弦定理，得， 结合，可得， 所以， 所以， 所以，得， 所以， 所以，解得． 故选：A 30．已知双曲线的左、右焦点分别为，过点且倾斜角为的直线与双曲线交于第一象限的点，延长至使得，若的面积为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，求得，得到直线的方程为，设，根据的面积为，列出方程，求得，得到，由，结合双曲线的定义，即可求解. 【解析】由双曲线，可得，所以， 过点且倾斜角为的直线的方程为， 设，因为的面积为，所以， 因为点在第一象限，所以，可得， 又由，可得，所以， 又因为，所以， 可得. 故选：A.    31.（多选）已知点在双曲线上，分别是左、右焦点，若的面积为20，则下列判断正确的有（  ） A．点到轴的距离为 B． C．为钝角三角形 D． 【答案】BC 【分析】设点，根据求得判断A；求出点的坐标，利用两点距离求出，根据双曲线定义求出，即可判断B；结合B选项，利用余弦定理求得，则为钝角，即可判断C；由得，即可判断D． 【解析】设点． 因为双曲线，所以，，，． 对于A，，所以， 所以点到轴的距离为4，错误． 对于B，将代入得，则． 由双曲线的对称性，不妨取点的坐标为，得． 由双曲线的定义得，所以，正确． 对于C，结合B选项，在中，， 且，则为钝角， 所以为钝角三角形，正确． 对于D，由，得，且， 所以，所以，错误． 故选：BC 32.（多选）已知双曲线的左、右焦点分别为，过点且斜率为的直线与双曲线的左支交于两个不同的点，为的右支上一点（异于右顶点），的内切圆圆心为，则以下结论正确的是（　　） A．直线的斜率 B．若，则 C．以为直径的圆与圆相切 D．若，则点坐标为 【答案】ABC 【分析】A根据渐近线方程并结合图形；B利用双曲线的定义以及余弦定理即可；C根据双曲线的定义计算圆心距和半径之差的绝对值，即可判断两圆的位置关系；D根据圆的切线段性质以及双曲线的定义可得出点的横坐标，再根据勾股定理计算，再利用等面积得出半径即可. 【解析】因渐近线方程为，故结合图形可知A正确； 因，则， 在中由余弦定理可得， 即， 由于，，则，得， 由于，故，故B正确； 设以为直径的圆圆心为，则， 是线段的中点，则圆与圆的圆心距， 又，则， 则两圆半径之差的绝对值为，故圆心距等于两圆的半径之差的绝对值， 则以线段为直径的圆与圆的位置关系是内切，故C正确； 如图，设圆与三边相切于，则， 则， 因，则， 则，故点的横坐标为， 记，则， 因，则，则，解得（负值舍去）， 则， 则 的面积为， 设的内切圆半径为，则，所以， 故或，D错误. 故选：ABC． 33．已知分别为双曲线的左、右焦点．过点作直线与的左、右两支分别相交于两点，直线与相交于点．若，则 ． 【答案】/ 【分析】根据，得，设，则，利用双曲线定义得，再利用求出可得答案. 【解析】由已知得，所以，， 因为，所以，， 因为，所以， 设，则， 由，得， 又， 所以， 可得， 所以. 故答案为：. 34．已知双曲线的左右焦点为，点为双曲线上一点，若，则的周长是 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用双曲线定义，结合勾股定理求出三角形周长. 【解析】双曲线的实半轴长，焦点，， 由点在双曲线上，得，由，得， ， 因此，所以的周长是. 故答案为： 35．双曲线的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与C在第一象限相交于点若直线的斜率为，的面积为8，则双曲线C的方程为 . 【答案】 【分析】由、直线的斜率为得，再由的面积为8，解得、，由双曲线的定义求出、勾股定理求出可得答案. 【解析】因为以为直径的圆与C在第一象限相交于点P， 所以 在中，由直线的斜率为， 得，即 由的面积为8， 根据三角形面积公式， 将代入上式，可得， 即，解得， 由双曲线的定义知，故 在中，， 即， 故，即 所以， 所以双曲线C的方程为 故答案为： 考点07 双曲线离心率问题 36．已知双曲线C：的上、下焦点分别为，，P是C上支上的一点（不在y轴上），与x轴交于点A，的内切圆在边上的切点为B，若，则C的离心率的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设该内切圆在上的切点分别为D，E，则有，，， 又，，则，即，解得， 由，即，得，所以． 故选：A 37．已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线的右支上，且，则双曲线的离心率的最大值为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为在双曲线的右支上， 所以由双曲线的定义可得：， 又因为， 所以，. 则，即. 故选：B. 38.已知椭圆和双曲线有相同的焦点为两曲线在第一象限的交点，分别为曲线的离心率.若，则的最小值为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据椭圆、双曲线的定义，结合三角形的相似，探索的关系，再利用基本不等式求的最小值. 【解析】如图： 根据椭圆和双曲线的定义，可得. 又，，所以∽. 所以. 又，， 所以， 当且仅当，即时取“”. 故选：C 39.在平面直角坐标系中，已知双曲线的左、右顶点为、，若该双曲线上存在点，使得直线、的斜率之和为，则该双曲线离心率的取值范围为__________． 【答案】 【解析】设点，其中，易知点、，且有，则， ， 当点在第一象限时，，，则，，且， 由基本不等式可得， 因为存在点，使得直线、的斜率之和为，则，即， . 故答案为：. 40．若双曲线C：的渐近线与圆没有公共点，则双曲线C的离心率的取值范围为______________ 【答案】 【解析】双曲线渐近线为，且与圆没有公共点， 所以圆心到渐近线的距离大于半径，即，，，． 故答案为：． 41.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与的一条渐近线平行，交另一条渐近线于点，若，则的离心率为 . 【答案】 【分析】先求出点的坐标，再利用建立等式，最后通过双曲线的性质求出离心率. 【解析】对于双曲线，其渐近线方程为. 设，过的直线与一条渐近线平行，则该直线方程为. 与另一条渐近线联立，可得， ，，. 将代入，可得，所以. 已知，则. 因为，所以. 又因为双曲线的离心率，且， 把代入可得，即. 所以离心率. 故答案为：. 42.，分别为双曲线（，）左、右焦点，P为双曲线左支上的任意一点，若的最小值为，则双曲线的离心率e的最大值是 ． 【答案】3 【分析】根据双曲线的定义，代入结合基本不等式可得，当且仅当时取最小值为，再根据求解即可. 【解析】，是左、右焦点，P为双曲线左支上的任意一点，所以， 代入得， 当且仅当时取等号，即， 又点P是双曲线左支上任意一点，所以，即，即. 故答案为：3 考点08 双曲线中的中点弦问题 43．斜率为1的直线与双曲线交于，两点，若线段的中点为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用点差法来求得正确答案. 【解析】设， 则， 两式相减并化简得， （负根舍去）. 故选：B 44．已知双曲线：，过点的直线与双曲线交于，两点.若点为线段的中点，则直线的方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】运用点差法，设，代入双曲线方程，作差变形，由是线段AB的中点，求得直线的斜率，再用点斜式可得直线方程. 【解析】设，代入双曲线方程， 可得，作差， 因为点为线段的中点，所以 所以，即， 所以直线的方程是，即， 经检验，直线满足题意. 故选：A. 45．已知直线过双曲线的左焦点，且与的左､右两支分别交于两点，设为坐标原点，为的中点，若是以为底边的等腰三角形，则直线的斜率为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由点差法得，由条件知直线的倾斜角为倾斜角的两倍，代入两直线的斜率关系式即可求得的斜率. 【解析】设, 由均在上，为的中点， 得，则， ∴， ∴， 设直线的倾斜角为，则，不妨设为锐角， ∵是以为底边的等腰三角形，∴直线的倾斜角为，则. ∴， ∴，解得， ∴由对称性知直线的斜率为. 故选：D 46．已知直线与双曲线交于A，B两点，点是弦的中点，则双曲线C的离心率为 ． 【答案】 【分析】设，利用点差法结合中点坐标公式和离心率的定义求解即可. 【解析】设，可得，两式相减可得，点是弦的中点，且直线， 可得，即有， 即， 故双曲线C的离心率为． 故答案为：. 47.已知双曲线的实轴长为2，点 到双曲线的渐近线的距离为． (1)求双曲线的方程； (2)过点的动直线交双曲线于两点，设线段的中点为，求点 M 的轨迹方程． 【答案】(1)；(2)，其中或． 【分析】（1）根据双曲线实轴长、渐近线方程，结合点到直线的距离公式进行求解即可； （2）利用点差法进行求解即可. 【解析】（1）双曲线的实轴长为，由已知，，则． 因为双曲线的一条渐近线为． 点到双曲线的渐近线的距离为， 所以， 所以，所以， 所以双曲线的方程为； （2）设，中点，则：， 因为在双曲线，故， 两式相减（点差法）：， 因式分解得：， 两边除以（直线斜率显然存在），代入： ， 又直线过和，故斜率，因此：， 整理得轨迹方程（将换为）：， 所以点的轨迹方程为，其中或． 48.双曲线：的渐近线方程为，一个焦点到该渐近线的距离为1. (1)求的方程； (2)是否存在直线，经过点且与双曲线于A，两点，为线段的中点，若存在，求的方程；若不存在，说明理由. 【答案】(1)(2)存在，. 【分析】（1）利用双曲线的性质及点到直线距离公式计算即可； （2）利用点差法计算即可. 【解析】（1）令，所以， 又由题意可知双曲线的焦点到渐近线的距离， 所以双曲线的标准方程为：； （2）假设存在， 由题意知：该直线的斜率存在，设，，直线的斜率为， 则，， 又有，， 两式相减得，即 即，所以，解得， 所以直线的方程为，即， 联立直线与双曲线方程得： ， 即直线与双曲线有两个交点，满足条件， 所以存在直线，其方程为. 考点09 双曲线的最值与范围问题 49．直线过圆的圆心，且与圆相交于，两点，为双曲线右支上一个动点，则的最小值为（  ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】 求出圆的圆心，根据题意可得、，利用平面向量的线性运算可得，即可求解. 【解析】圆，圆心，半径， 因为直线过圆的圆心，且与圆相交于，两点， 所以，又双曲线，则，，右焦点为， 所以 ， 又，即，所以，当点在右顶点时取等号， 即， 所以的最小值为， 故选：D.      50．已知点是双曲线上的动点，，分别为其左，右焦点，为坐标原点.则的最大值是（  ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】D 【分析】设在右支上，根据双曲线的性质求得、且，由已知双曲线有，结合的范围求范围，即可得结果. 【解析】由双曲线的对称性，假设在右支上，即， 由到的距离为，而， 所以 ， 综上，，同理，则， 对于双曲线，有且， 所以，而，即. 故选：D. 51．（多选）已知曲线，则（  ） A．不经过第二象限 B．当，时，上任一点到坐标原点的距离均相等 C．上点的横坐标的取值范围是 D．上任一点到直线的距离的取值范围是 【答案】ABD 【分析】对于A，由化简方程即可判断；对于B，由化简的方程即可判断；对于C，结合，与时曲线的方程可求出的取值范围，即可判断C项的正误；对于D，结合3个象限内曲线的性质即可判断曲线上任一点到直线的距离的取值范围. 【解析】对于A，当时，的方程为，方程无解， 所以曲线不经过第二象限，故A正确； 对于B，当时，的方程为，即， 此时方程表示圆心在坐标原点，半径为2的四分之一圆， 所以当时，上任一点到坐标原点的距离均为2，故B正确； 对于C，当时，为双曲线在第一象限的部分， 当时，为双曲线在第三象限的部分， 所以曲线的图象，如图所示，则上点的横坐标的取值范围是，故C错误； 对于D，因为直线是双曲线与双曲线的公共渐近线， 所以上任一点到直线的距离都大于0， 又上任一点到直线的距离的最大值即四分之一圆上的点到直线的距离的最大值为2，故D正确． 故选：ABD 52.已知双曲线，为左焦点，若，则双曲线离心率为 ；若对于双曲线上任意一点，线段长度的最小值为，则实数的值为 . 【答案】 【解析】由，根据双曲线的性质，求出半焦距，即可得出离心率；根据双曲线的性质，由线段长度的最小值为，得出，即可求出结果.因为双曲线， 若，则，所以，因此双曲线的离心率为； 因为为左焦点，所以，其中， 若对于双曲线上任意一点，为使线段的长度最小，则点必在该双曲线的左支上，设，则，， 所以 ，因此，解得. 故答案为：；. 53．已知点是双曲线上任意一点． (1)求证：点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数； (2)已知点，求的最小值． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【分析】（1）根据点到直线的距离公式即可化简求解. （2）根据两点间的距离公式，结合二次函数的性质即可求解. 【解析】（1）双曲线的渐近线方程为，由在双曲线上，得， 点到直线的距离， 点到直线的距离， 因此点到双曲线的两条渐近线的距离的乘积为， 而，所以，即点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数. （2）由（1）知，，则，解得或， 因此， ，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 54.我们把等轴双曲线的一部分与半圆合成的曲线称作“羽毛球型”曲线，其中是焦距为8的等轴双曲线的一部分，如图所示. (1)求与的方程； (2)已知为“羽毛球型”曲线上的动点，求线段长度的最小值； 【答案】(1)，;(2) 【解析】（1）因为是焦距为8的等轴双曲线的一部分， 所以，解得 所以的方程为的方程为. （2）设，当时，， 因为，所以当时，； 当时，， 当时，. 又，所以， 即线段长度的最小值为. 55.已知曲线． (1)若，求曲线的离心率； (2)若曲线的左，右顶点为，是上第一象限上动点，． （ⅰ）若，求点的坐标； （ⅱ）设直线与定直线的交点为，直线与曲线的另一个交点为，求的最小值． 【答案】(1)；(2)（ⅰ）（ⅱ） 【分析】（1）代入可知曲线为双曲线，根据双曲线标准方程即可求离心率； （2）（ⅰ）由，结合即可求，然后建立方程组求得点的坐标； （ⅱ）先考虑直线斜率不存在时，斜率存在时可得直线过定点，再求得弦长，建立函数求最值可得斜率不存在时取得最小值. 【解析】（1）若，则曲线，所以曲线为双曲线， 离心率. （2）设，则， 又，，解得， 即曲线， （ⅰ）设直线倾斜角分别为，则， 由题可知，， ，联立， 解得或（舍去），即， 所以点的坐标为. （ⅱ）设，， 则由，得 ，即. 且， 由题意知，直线不与轴垂直. 设直线， 联立方程，消去x可得， 则，解得， 且， 则， 整理可得， 则， 因为，则， 化简得，则直线， 所以直线过定点. 故直线斜率存在时， ， 代入得， ， 令，则， 则，其中， 故当且仅当，即时，即， 故当直线斜率不存在时，取最小值，最小值为. 考点10 双曲线中的面积问题 56.双曲线的左､右焦点分别为，过的直线l与双曲线的左､右两支分别交于A，B两点，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出双曲线的焦点坐标及渐近线的方程，设出直线并与双曲线方程联立，求出的纵坐标比值即可得解. 【解析】在双曲线中，，渐近线方程为， 由对称性，不妨令点在第一象限，设直线的方程为，， 由消去得，设，， 则，令，联立消去得， 整理得，而，即，解得， 因此，所以的取值范围是. 故选：B.      57.已知直线与双曲线交于两点,若，且，过弦的中点分别作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足为，则四边形的面积的最大值为___________． 【答案】 【分析】通过直线斜率存在和不存在两种情况讨论，结合四边形是矩形，求得到渐近线的距离，代入面积公式化简求解即可. 【解析】时，双曲线方程为：，渐近线，垂直， 易知四边形为矩形， 若的斜率不存在，由，可设， 代入，可得：，不妨取， 则，渐近线的距离为， 所以， 若的斜率存在， 设直线AB的方程为， 联立方程得， 整理为： ① 故 ② ③ 由， 平方得 将式②、③代入得 ④ 设，于是， ⑤ . ⑥ 因为双曲线的两条渐近线相互垂直，所以四边形是矩形， 其面积S等于点P到渐近线距离的乘积， 于是： 将式⑤、⑥代入上式得 由式④代入化简得，因为， 所以且， 所以 综上四边形的面积的最大值为. 故答案为: 58．已知双曲线的一条渐近线为，且右焦点F到这条渐近线的距离为． (1)求双曲线的方程； (2)O为坐标原点，过点F的直线l与双曲线的右支交于A、B两点，与渐近线交于C、D两点，A与C在x轴的上方，B与D在x轴的下方．设、分别为的面积和的面积，求的最大值． 【答案】(1)；(2)． 【分析】（1）由题意建立的方程组，求解即得双曲线方程； （2）设直线的方程为，将其分别与双曲线方程和渐近线方程联立，消元后，利用韦达定理，求得弦长,以及原点O到直线的距离，结合图形，根据求出表达式，换元后根据函数的单调性即可求得的最大值. 【解析】（1）设双曲线的焦距为2c， 点到渐近线的距离为， 因，代入解得， 又双曲线的一条渐近线为， 故双曲线的方程为：； （2） 如图，设，，设直线的方程为， 联立直线与双曲线的方程，消去可得：， ， 直线与双曲线右支交于两点，故，解得， 则， 原点O到直线的距离， 设，，联立消去可得：， 则，，，， 则 而，， 令，则， 当，即时取到等号． 综上所述，的最大值为． 59.线的右支交于两点，与双曲线的渐近线交于两点. (1)求的取值范围； (2)记的面积为的面积为，求取值范围. 【答案】(1).；(2). 【分析】（1）根据题意，联立方程组，消去可得，进而利用韦达定理即可求解. （2）记的面积为，由面积为面积的两倍可得，由直线与双曲线的渐近线交于两点，联立方程组消去可得，而利用韦达定理和弦长公式求得值，最后利用的取值范围求得取值范围. 【解析】（1）由题设，联立方程组，可得，消去可得. 因为直线与双曲线的右支交于两点， 所以满足，解得或. 故实数的取值范围. （2）由题设可知，面积为面积的两倍， 记的面积为，所以. 又因为 和的高相同，所以. 由直线与双曲线的渐近线交于两点， 联立方程组，可得，消去可得， 而，则. 由韦达定理可得， 从而有，. 由（1）问可知，，则，所以. 60.已知双曲线：的实轴长为2，右焦点F到双曲线的渐近线距离为. (1)求双曲线的方程； (2)过点作直线交双曲线的右支于A，B两点，连接并延长交双曲线左支于点P（O为坐标原点），求的面积的最小值； 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据实轴长可求，根据焦点到渐近线的距离可求，故可得双曲线方程； （2）设：，，，联立直线方程和双曲线方程消去后结合韦达定理可得面积的解析式（用表示），再结合换元法可求其面积的最大值. 【解析】（1）因为双曲线的实轴长为2，故， 而双曲线的渐近线为， 故右焦点到渐近线的距离为， 故双曲线的方程为：. （2）显然直线与轴不垂直，设：，，， 由双曲线的对称性知的中点为，故，    联立 故，， 由于A，均在双曲线右支，故，故， 而， 代入韦达定理得， 令，则， 易知在上为减函数，则当时，， 综上：的面积的最小值为12. 考点11 双曲线中的定点问题 61.已知点在离心率为的双曲线上． (1)求的方程； (2)过点的直线与相交于两点，关于轴的对称点为，求证：直线过轴上的定点，并求出该定点坐标． 【答案】(1)；(2)证明见解析，定点坐标为. 【分析】（1）根据给定条件，利用离心率及双曲线所过点求出即可. （2）设出直线的方程，与双曲线方程联立，结合韦达定理，求出直线与轴交点横坐标即可推理得证. 【解析】（1）由双曲线的离心率为，得，解得， 又点在双曲线上，则，解得， 所以的方程为. （2）显然直线的斜率存在，设其方程为，，则， 由消去并整理得， ，解得且，， 当直线与轴不重合时，，直线：， 令，得 ，此时直线过定点， 当直线与轴重合时，直线为轴，也过点， 所以直线过轴上的定点，该定点坐标为. 62.已知双曲线：的一条渐近线为l：，且右焦点到直线的距离为2． (1)求双曲线的方程； (2)已知是的右顶点，、是上与不重合的两点，且，证明：直线过定点，并求出定点的坐标． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据点到直线的距离可求，再根据的关系及可求的值，得双曲线标准方程. （2）先讨论直线无斜率时，求出直线过点，当直线有斜率时，设直线：，与双曲线方程联立，消去，得到关于的一元二次方程，根据韦达定理可得，，，再根据，可求的关系，进而可得直线经过的定点，排除不合题意的即可得问题答案. 【解析】（1）双曲线的右焦点，到直线的距离为2， 所以，又. 所以双曲线：. （2）如图： 易知. 当直线的斜率不存在时，设直线：. 不防取，， 由，所以. 所以或（舍去）. 所以直线过点. 当直线的斜率存在时，设直线：. 由，消去得：（）. 由. 设，， 则，， 所以, 由，所以， 即， 所以， 所以或. 由得，所以直线过定点，舍去； 由得，所以直线过定点. 综上可得：直线过定点. 63.已知点，分别为双曲线E：的左、右焦点，点到双曲线E的渐近线的距离为，点A为双曲线E的右顶点，且． (1)求双曲线E的标准方程； (2)若四边形为矩形，其中点B，D在双曲线E上，求证：直线过定点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）先根据点到直线距离计算得出，再应用得出，计算得出进而得出标准方程； （2）分直线的斜率不存在和直线的斜率存在两种情况，联立方程组结合向量的数量积计算得出或，结合题意即可证明定点. 【解析】（1）设焦距为2c，则， 故点到双曲线E的渐近线的距离为． 由，知，得． 又因为，所以，解得． 所以双曲线E的标准方程为． （2）①当直线的斜率不存在时， 由，设直线的方程为， 当时，则在双曲线，可得,所以， 当时，则在双曲线，可得,所以不合题意舍， 可得直线的方程为， ②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，， 联立得， 当时，，， 因为四边形为矩形，所以， 所以， 所以， 所以 所以， 所以，所以或， 当时，直线的方程为，恒过定点，不合题意，舍去． 当时，直线的方程为，恒过定点． 综上①②，直线恒过定点． 64．如图，已知双曲线的渐近线方程为，点在双曲线上，为双曲线的左、右顶点，为双曲线右支上的动点，直线和直线交于点，直线交双曲线的右支于点.    (1)求双曲线的方程； (2)若点在第一象限，且满足，求直线的方程； (3)探究直线是否过定点，若过定点，求出该定点坐标，并说明理由. 【答案】(1)；(2)；(3)过定点，理由见解析 【分析】（1）根据题意列出方程组，解出，即得双曲线方程； （2）设点,由题设条件依次求得点，，再求直线的方程； （3）设，直线PQ的方程为，联立双曲线的方程，结合韦达定理可得，写出直线AP的方程，进而可得N点的坐标，又N，B，Q三点共线，则，解得，即可求得定点． 【解析】（1）依题意，可得，解得， 故双曲线C的方程为； （2）    如图，设点，由可得点是的中点， 又，，则， 依题意，点在直线上，则，解得， 将其代入，解得，因点P在第一象限，故. 于是直线的方程为：， 代入，整理得，解得或，故得， 所以直线的方程为 （3）直线经过点，理由如下： 易知直线斜率不为0，设直线的方程为：， 代入，整理得：， 由可得. 设，则 故有.（*） 直线的方程为：，令，代入解得，即, 因三点共线，故,又， 则得，即， 将代入，化简得：， 由（*），可得， 代入整理得：， 即得：，也即， 因点是双曲线右支上的动点，故不能恒为0，故. 此时直线的方程为：，故直线必过定点. 65.已知双曲线的离心率为，上焦点到其中一条渐近线的距离为2． (1)求双曲线的标准方程； (2)过的直线交双曲线上支于，两点．在轴上是否存在定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在点 【分析】（1）根据离心率、双曲线的渐近线以及点到直线的距离公式，建立方程，可得答案； （2）根据题意，设出直线方程与交点坐标，联立方程写出韦达定理，进而建立方程，可得答案. 【解析】（1）因为离心率为且双曲线，则①， 上焦点到其中一条渐近线的距离为2，渐近线方程， ②，联立①②，解得， 则双曲线的标准方程为； （2） 易知直线的斜率存在，不妨设直线的方程为，，， 联立，消去并整理得， 显然，且， 由韦达定理得，， 假设在轴上存在定点，使得恒成立， 不妨设，此时， 即 ， 解得，则点的坐标为． 综上，轴上存在点，使恒成立． 66.在平面直角坐标系中，已知点及曲线，过点向右上、左上方作斜率分别为的两条射线，与曲线的交点分别为.当变化时，如果直线的斜率为定值或直线经过定点，那么称是曲线的“优点”. 已知曲线. (1)判断是否为曲线的“优点”； (2)在中任选一个判断是否为曲线的“优点”，并说明理由； (3)给出满足的条件，使得是曲线的“优点”，且__________，并求出对应的定值或定点. ①直线的斜率为定值；②直线经过定点. 请在①②中任选一个填在横线上并作答，不必证明. 【答案】(1)是；理由见解析 (2)都是曲线的“优点”，理由见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）由点在轴上，由对称性可得； （2）设直线的方程，联立直线与双曲线方程.由点在双曲线上，利用韦达定理知求点坐标，同理可得点坐标，进而表示出斜率化简得定值；由点在轴上，作点关于轴的对称点，直线与双曲线交点，利用韦达定理得到关系，表示出直线方程，令化简得定点. （3）结合（1）（2）分析，得出条件，同理可证. 【解析】（1）由，直线斜率分别为，可知两直线关于轴对称， 结合双曲线对称性可知，关于轴对称， 故直线的斜率，即斜率为定值， 所以是曲线的“优点”； （2）①是曲线的“优点”，原因如下： 设直线的方程为，令， 则直线的方程为，令，且. 则. 由，可知在双曲线的下支上， 设， 联立，得， 由题意或. 由和是方程的两不等根，则由韦达定理知， 解得； 同理，将换成，换成，可得. 又， 则直线的斜率 . 故是曲线的“优点”. ②是曲线的“优点”，原因如下： 设直线的方程为，直线的方程为， 其中，， 作点关于轴的对称点，则. 由对称性可知，点在直线上，且在双曲线下支上. 直线与双曲线相交，即分别在上、下支的两个交点. 联立，得， 由题意或，即且. 由上分析可知是方程的两根， 则由韦达定理知，， 即，，且，， 由直线的方程为， 令，得 ， 故直线过定点， 所以是曲线的“优点”. （3）若满足条件或， 则是曲线的“优点”，且①直线的斜率为定值. 当，即点在轴上时，直线的斜率为定值； 当，即点在双曲线上时，直线的斜率为定值； 若满足条件，即点在轴上（且不为原点）时， 则是曲线的“优点”，且②直线经过定点，定点为. 理由如下： 若，即点在轴上，由对称性可知，直线的斜率为定值； 若，即点在双曲线上时， 设直线， 联立得，， 题意或. ，则，， 以代得，，， ； 若满足条件，即点在轴上时，， 设直线的方程为，直线的方程为， 其中，， 作点关于轴的对称点，则. 由对称性可知，点在直线上，且在双曲线下支上. 直线与双曲线相交，即分别在上、下支的两个交点. 联立，得， 题意或，即且. 由上分析可知是方程的两根， 则由韦达定理知，， 即，，且，， 由直线的方程为， 令，得 . 故直线过定点. 考点12 双曲线中的定值问题 67．已知双曲线：的虚轴长为4，直线为双曲线的一条渐近线. (1)求双曲线的标准方程； (2)记双曲线的左、右顶点分别为，，过点的直线交双曲线于点，（点在第一象限），记直线MA斜率为，直线NB斜率为，求证：为定值. 【答案】(1)；(2)证明见解析. 【分析】（1）由虚轴长和渐近线方程求得和的值即可. （2）设直线的方程为，将其与双曲线的方程联立，得到关于的一元二次方程，再结合韦达定理和直线的斜率公式，计算的值即可得证. 【解析】（1）由双曲线：虚轴长为4，得， 双曲线的渐近线方程为，由直线为双曲线C的一条渐近线，得，则， 所以双曲线C的标准方程为. （2）由（1）知，，， 显然直线不垂直于轴，设直线的方程为，设， 由消去得， ，，， 直线的斜率，直线的斜率， 所以，为定值． 68．已知双曲线：过点，离心率为. (1)求的方程； (2)过点且斜率为的直线交双曲线左支于点，平行于的直线交双曲线的渐近线于A，B两点，点A在第一象限，直线的斜率为.若四边形为平行四边形，证明：为定值. 【答案】(1)；(2)证明见解析 【分析】（1）根据双曲线离心率公式，结合代入法进行求解即可； （2）设直线的方程为，直线的方程为，，将代入直线可得，联立直线与椭圆方程得关于的一元二次方程，由韦达定理得；联立方程和渐近线方程求出，得到，由题易得，即，联立求出的关系式，再由定义表示出，将所有未知量全部代换成即可求证. 【解析】（1）因为双曲线：过点，离心率为， 所以有； （2）设直线的方程为， 直线的方程为，， 将代入直线得，即， 联立，得， 得，即，， 因为在第一象限，双曲线渐近线方程为， 联立，得，即， 联立，得.即， 所以， 因为，所以，所以①， 又②， ①②得，， 所以， 所以， 因为 所以，为定值. 69．已知D为双曲线E:的左顶点，点在E上，且E的离心率为2. (1)求双曲线E的方程. (2)过点且斜率为的直线l交E的右支于A，B两点，△ABD的外心为M，O为坐标原点，线段OM所在直线斜率为. ①求证:直线AD和直线BD的斜率之积为定值; ②试探求和的关系，并说明理由. 【答案】(1)；(2)①证明见解析；②，理由见解析 【分析】（1）由已知可得的关系式，求解即可得双曲线E的方程； （2）①设，直线AB的方程为且，与双曲线联立方程组，可得，，设直线AD的方程为，直线BD的方程为，计算可得为定值，进而可得结论；②方法一：联立，可求得，进而求得，求得线段AD的中垂线方程，线段BD的中垂线方程，求得的坐标，计算可得结论. 方法二：设，直线AB的方程为且，设出外接圆的方程，分别与直线方程联立方程组，利用消去后的方程的根均是，计算可求解. 【解析】（1）由点在E上，且E的离心率为2，得， 解得，故双曲线E的方程为. （2）①易得直线AD和直线BD斜率存在且不为零，且不为.    设直线AD的方程为，直线BD的方程为，则均不为零且不为. 设，直线AB的方程为且， 联立，消去x得， ， ，， 从而. 故直线AD和直线BD的斜率之积为定值； ②方法一：联立，消去x得， 解得.同理可得. 线段AD的中点，线段BD的中点， 线段AD的中垂线方程为，线段BD的中垂线方程为. 联立两直线方程得=， 即， 化简得.联立和， 得，从而点， ， =， . 由①知，所以， 故和的关系为. 方法二：设，直线AB的方程为且， 设的外接圆的方程为， 因为点在该圆上，所以1，即， 联立，消去x得①， ， 联立， 消去x得②， 因为方程①和②的两个不同的根均是， 所以==， 代入得==， 即，即，. 又点，所以. 又，所以. 70．已知双曲线：的离心率为，点在双曲线上．过的左焦点F作直线交的左支于A、B两点． (1)求双曲线的方程． (2)点，直线交直线于点．设直线、的斜率分别、，求证：为定值． 【答案】(1)；(2)证明见解析 【分析】（1）根据题意列式求，进而可得双曲线方程； （2）用两点坐标表示出直线，得点坐标，表示出，结合韦达定理，证明为定值． 【解析】（1）由双曲线的离心率为，且在双曲线上， 可得，解得，所以双曲线的方程为． （2）由直线，得， 则，又， 于是 ， 而，即有，且， 所以，即为定值． 71.已知双曲线的离心率为，且过点． (1)求双曲线C的标准方程； (2)已知直线l经过点， ①若直线l与双曲线C的左支相切，求直线l的方程； ②若双曲线C的右顶点为P，直线l与双曲线C交于A，B两点，直线PA的斜率为，直线PB的斜率为，证明：为定值． 【答案】(1)；(2)①②证明见解析 【分析】（1）根据离心率得出关系，再代入点的坐标即可求出，写出标准方程； （2）①点斜式设出直线方程，联立双曲线方程，利用判别式为0求解； ②根据直线与方程联立后根与系数的关系、斜率公式，求和后化简即可得证. 【解析】（1）由，可得，即， 所以双曲线方程为，代入点， 可得， 所以双曲线方程为. （2）如图， ①由题意，直线斜率存在，设直线l的方程为， 联立，消元可得： ， 由直线与双曲线相切，则， 即，解得, 所以直线l的方程为，即. ②由题意知，， 设，直线l的方程为， 联立双曲线方程，化简可得， ， 由①知， 所以， ， 所以 ， 即为定值. 72.已知为坐标原点，双曲线过点，渐近线方程为. (1)求双曲线的方程； (2)直线过点，与双曲线交于两点. ①若直线，求的面积； ②在轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)；(2)①；②存在， 【分析】（1）根据题意列出方程组，求解即可； （2）①写出直线的方程，与双曲线方程联立，求出弦长和点到的距离即可；②设，，当直线斜率不为0时，设，与双曲线方程联立，表示并化简得，根据为常数得出时；再验证当直线斜率时也满足即可. 【解析】（1）因为点在双曲线上，得 又因为渐近线方程为，所以， 解得，所以双曲线的方程为. （2）①直线斜率为，故直线的方程为， 代入双曲线得， ， 所以， 又点到的距离为， 故的面积为. ②设，， 当直线斜率不为0时，设，代入双曲线得， ，， 所以 ， 若为常数，则为常数，设为常数，则对任意的实数恒成立，，所以， 所以，此时. 当直线斜率时为，对于 所以，解得或（舍），所以在轴上存在定点，使得为定值. 考点13 双曲线中的定直线问题 73.已知双曲线的中心为坐标原点，左、右顶点分别为，，虚轴长为6．    (1)求双曲线的方程； (2)过点的直线与的右支交于，两点，若直线与交于点．证明：点在定直线上； 【答案】(1)；(2)证明见解析 【分析】（1）由直接求出双曲线方程即可； （2）设直线方程和设，直曲联立表示出韦达定理，利用点在双曲线上代入化简表示出直线方程，联立两方程化简即可； 【解析】（1）设双曲线的标准方程为， 依题意有， 所以双曲线方程为. （2）    (i)证明:设直线方程为:，设， 联立方程，消去得:， ， ， 是双曲线上的点， ， 直线，同理直线， 联立方程得 ， 解得，故点在定直线上. 74.已知，分别是双曲线：的左、右顶点，，分别为其左、右焦点，实轴长为4，M，N为双曲线上异于顶点的任意两点，当经过原点时，直线与直线斜率之积为定值4. (1)求双曲线C的方程； (2)已知直线：，交双曲线的左、右两支于D，E两点. ①求m的取值范围； ②设直线与直线交于点Q，求证：点Q在定直线上. 【答案】(1)；(2)①或；②证明见解析 【分析】（1）由实轴长可得参数的值，根据双曲线的对称性与斜率公式建立方程，可得答案； （2）①由双曲线方程可得渐近线方程，结合题意建立不等式，可得答案； ②联立直线与双曲线方程并写出韦达定理，利用两点式表示直线与直线的方程，联立化简，可得答案. 【解析】（1）由题意可得，则， 设，则，且， 由直线的斜率，直线的斜率， 则，可得， 由，则，解得， 所以. （2） ①由，则渐近线方程为，显然直线，斜率存在，为， 易得，解得或； ②设，， 联立可得，消去可得， 由①可得，， 则，，两式相除可得，即， 由，，则直线的方程为，则， 直线的方程为，则， 联立可得，则，即， 所以，解得. 综上可得直线与直线的交点在定直线上. 75.已知双曲线的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为．记的左、右顶点分别为、. (1)求双曲线的方程； (2)双曲线上任意一点（不与、重合），求证：为定值； (3)过点的直线与的左支交于、两点，直线与交于点．证明：点在定直线上． 【答案】(1)；(2)证明见解析；(3)证明见解析 【分析】（1）由题意可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出双曲线的方程； （2）设，可得出，利用直线的斜率公式可证得为定值； （3）分析可知，直线与轴不重合，设直线的方程为，设点、，将该直线方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理，求出直线、的方程，联立这两直线的方程，求出点的横坐标，即可证得结论成立. 【解析】（1）设双曲线的方程为， 由题意可得，解得，所以，双曲线的方程为． （2）由（1）可得、，设，则，可得， 因为，，所以，为定值. （3）设点、， 若直线与轴重合，此时，直线与双曲线的交点为双曲线的左、右顶点，不合乎题意， 设直线的方程为， 联立可得， 由于直线与双曲线的左支有两个不同的交点， 则，解得， 由韦达定理可得，， 直线的方程为，直线的方程为， 联立直线与直线的方程可得： ， 由可得，即，据此可得点在定直线上运动． 76.已知双曲线的离心率和焦距分别为和，设点的坐标分别为. (1)求双曲线的方程； (2)已知是双曲线的左支上异于点的一个动点，直线交的右支于点是坐标原点. （i）记和的面积分别为，且，求直线的方程； （ii）设直线与直线的交点为，证明：点在一条定直线上. 【答案】(1)；(2)（i）；（ii）证明见解析 【分析】（1）由双曲线的离心率、焦距以及的关系式，建立方程组，可得答案； （2）（i）设出直线方程，联立写出韦达定理，根据三角形面积公式，结合题意可知三角形等底，面积之差等于纵坐标之差，根据整式化简，可得答案；（ii）由（i）所得韦达定理，整理等量关系，设出直线方程求得交点建立方程，化简整理，可得答案. 【解析】（1）由题意：，解得， 所以双曲线的方程为：. （2） （i）因为与A不重合，所以直线的斜率不为0，故可设直线的方程为， 联立得，设， 因为点在双曲线的左支上，所以，解得， 又，则， 即有，则，解得， 满足，所以，于是直线的方程为. （ii）由（i），则，故. ，则，所以直线的方程为， 同理，所以直线的方程为：， 故点的横坐标满足：， 显然，由题意得：， 则， 则，故点在定直线上. 77.在平面直角坐标系中，已知点，，，点P的轨迹为曲线C，过点的直线l与曲线C交于A，B两点（A，B两点均在y轴左侧）. (1)求曲线C的方程； (2)若点A在x轴上方，且，求直线l的方程； (3)过点A作x轴的平行线m，直线m与直线交于点M，线段的中点为N，若直线l与直线交于点Q，求证：点Q恒在一条定直线上. 【答案】(1)；(2)；(3)证明见解析 【分析】（1）根据双曲线的定义，以及题中条件，即可得出双曲线的方程； （2）设，，先由题中条件，得到直线斜率为正，设直线的方程为：，联立直线与双曲线方程，利用韦达定理，以及，列出方程组求解即可； （3）同（2）设，，直线的方程为：，得，；直线的方程为；写出直线的方程，进而求出点横坐标，得出点坐标，求出直线的方程与联立，即可求出点横坐标，从而证明结论成立. 【解析】（1）因为， 所以点P的轨迹是以,为焦点的双曲线，且焦距为，实轴长为， 所以，，则， 因此双曲线C的方程为； （2）设，，则，， 因为点A在x轴上方，且，所以易知直线的斜率存在，且斜率大于零， 因此可设直线的方程为：， 由得，即， 所以①，②，， 又，所以③ 由①③得代入②可得，即，解得(负值舍去)， 因此直线的方程为：，即； （3）同（2）设，，直线的方程为：， 则，； 因为直线m过点A与x轴平行，所以直线的方程为； 又，则直线的方程为， 由得， 则，所以， 即, 所以， 因此直线的方程为：， 因为点Q是直线l与直线的交点， 由得，解得， 所以点Q的横坐标是，因此点Q恒在定直线上. 考点15 双曲线中的探究性、存在性问题 78.已知双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为，焦点到渐近线的距离为1. (1)求双曲线的标准方程； (2)过点的直线与双曲线的右支相切于点，与平行的直线与双曲线交于，两点，与直线交于点.是否存在实数，使得？若存在，求实数的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)；(2)存在， 【分析】（1）根据已知列出关于方程组，求解即可得出答案； （2）假设存在.设，有.由双曲线方程求得，求导根据导数的几何意义得出直线的斜率为，结合斜率的定义以及已知构造方程组，得出及其斜率，进而设出的方程为，，.联立直线的方程，求出坐标，表示出.联立直线与双曲线的方程，结合韦达定理，表示出，再根据假设，化简运算，求解即可得出答案. 【解析】（1）由已知可得，双曲线的渐近线方程为，右焦点， 右焦点到其中一条渐近线，即的距离. 则由已知可得，解得， 所以，双曲线的方程为. （2）假设存在实数，使得. 由题意知点在第一象限，其坐标为， 则①. 因为双曲线的右支，所以， 由可得，， 求导可得，， 根据导数的几何意义可知，直线的斜率为. 又直线经过点以及点，所以， 所以有②. 由①②可解得，，，点，， 所以，直线的方程为，即，直线的斜率为. 设直线的方程为，，， 联立可得， 即，， 所以，. 联立可得，， 恒成立. 由韦达定理可得，. 因为都在直线上， 所以， 所以，， 所以， ， 所以，. 因为， 所以，假设成立. 所以，存在实数，使得，且.    79.我们约定，如果一个椭圆的长轴和短轴分别是另一条双曲线的实轴和虚轴，则称它们互为“姊妺”圆锥曲线.已知椭圆，双曲线是椭圆的“姊妺”圆锥曲线，分别为的离心率，且，点分别为椭圆的左､右顶点. (1)求双曲线的方程； (2)设过点的动直线交双曲线右支于两点，若直线的斜率分别为. （i）试探究与的比值是否为定值.若是定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由； （ii）求的取值范围. 【答案】(1) (2)（i）为定值，（ii） 【分析】（1）设出双曲线方程，根据离心率的乘积得到方程，求出，得到答案； （2）（i）设，直线的方程为，联立双曲线方程，得到两根之和，两根之积，得到； （ii）方法一：设直线，代入双曲线方程，由两根之积得到，结合点A在双曲线的右支上，得到，同理得到，结合确定，由和函数单调性得到答案； 方法二：求出双曲线的渐近线方程，由于点A在双曲线的右支上，与渐近线的斜率比较得到，同理可得，结合求出，由和函数单调性得到答案. 【解析】（1）由题意可设双曲线，则，解得， 所以双曲线的方程为. （2）（i）设，直线的方程为， 由，消元得. 则，且， ，    或由韦达定理可得，即, ， 即与的比值为定值. （ii）方法一：设直线， 代入双曲线方程并整理得， 由于点为双曲线的左顶点，所以此方程有一根为，. 由韦达定理得：，解得. 因为点A在双曲线的右支上，所以，解得， 即，同理可得， 由（i）中结论可知， 得，所以， 故， 设，其图象对称轴为， 则在上单调递减，故， 故的取值范围为； 方法二：由于双曲线的渐近线方程为， 如图，过点作两渐近线的平行线，由于点A在双曲线的右支上， 所以直线介于直线之间（含轴，不含直线），    所以. 同理，过点作两渐近线的平行线， 由于点在双曲线的右支上， 所以直线介于直线之间（不含轴，不含直线），    所以. 由（i）中结论可知， 得，所以, 故. 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $