专题03 椭圆方程及其性质（12个题型）（高效培优期末专项训练）数学苏教版2019高二选择性必修第一册

专题03 椭圆方程及其性质（12个题型） 考点01 椭圆定义及椭圆的标准方程 考点02 轨迹问题——椭圆 考点03 利用方程表示椭圆求参数范围 考点04 椭圆中和、差最值问题 考点05 椭圆中焦点三角形问题 考点06 椭圆离心率问题 考点07 椭圆中的中点弦问题 考点08 椭圆的最值与范围问题 考点09 椭圆中的面积问题 考点10 椭圆中的定点问题 考点11 椭圆中的定值问题 考点12 椭圆中的定直线问题 考点01 椭圆定义及椭圆的标准方程 1．已知为椭圆上一点，分别为的左、右焦点，且，则（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由椭圆方程求出，利用椭圆的定义式，求得，代入计算即得. 【解析】由可得：，则， 因，则，故. 故选：C 2．已知椭圆的两个焦点坐标分别是，并且经过点，则它的标准方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为椭圆的焦点在轴上，所以设它的标准方程为， 所以，解得， 所以椭圆的标准方程为. 故选：B. 3.若椭圆焦点在轴上且椭圆经过点，，则该椭圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据过点得出，结合计算得出椭圆方程. 【解析】椭圆焦点在轴上且椭圆经过点，所以， 又，则， 所以椭圆方程为， 故选:B. 4.已知椭圆过点和点，则此椭圆的标准方程是（  ） A． B．或 C． D．以上都不对 【答案】A 【分析】根据给定条件设出椭圆方程，将给定点的坐标代入，列出方程组求解即得. 【解析】设椭圆方程为：，因椭圆过点和点， 于是得 ，解得， 所以所求椭圆方程为. 故选：A. 5.已知椭圆的离心率为，且过点，则的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用椭圆中的关系求解即可. 【解析】由题意可得解得， 所以椭圆的方程为. 故选：A. 6.阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积公式，设椭圆的长半轴长、短半轴长分别为，，则椭圆的面积公式为．若椭圆的离心率为，面积为，则椭圆的标准方程为（  ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】利用题中给出的已知条件结合面积公式，确定椭圆方程中的基本量，的值，即可得到答案． 【解析】因为离心率为，则有， 所以， 又椭圆的面积为， 所以， 又， 解得，， 故椭圆的方程为或． 故选：B． 7.直线与椭圆交于，两点，为椭圆左焦点.则周长最大值是__________ . 【答案】8 【分析】由椭圆方程求出，利用椭圆的定义即得. 【解析】    如图所示，设椭圆右焦点为，直线交轴于点，连接，. 则根据三角形三边关系可得，当且仅当，，三点共线时等号成立，即点与点重合. ∴周长. 根据椭圆的定义及椭圆的标准方程可知：， ∴，即周长最大值为. 故答案为：. 8.已知椭圆：，左、右焦点分别为，，求下列椭圆的标准方程： （1）长轴长为4，上顶点为A，其中直线的斜率为； （2）上顶点为，到直线的距离为，且； （3）左，右顶点分别为 ，上顶点M与左，右顶点连线 的斜率乘积为，焦距为； 【答案】(1) (2)（3） 【解析】（1）依题意，，联立解得，，，故椭圆C的方程为； （2）由题意得，直线的方程为，即， 则到直线的距离， 又由，且，可得， 所以椭圆的标准方程为. （3）由题意知，，，， ，∴， ∵，∴，，∴椭圆的方程为 考点02 轨迹问题——椭圆 9.已知曲线，从上任意一点向轴作垂线段，为垂足（若在轴上，即为），则线段的中点的轨迹方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用动点转移可求的轨迹方程. 【解析】设，则，因在曲线上， 故即， 故选：A. 10.已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上任意一点，则的中点的轨迹是（  ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆 【答案】A 【分析】设的中点为，则，把点代入椭圆方程、化简，判断轨迹形状； 利用圆锥曲线的定义和三角形中位线解得，可判断点的轨迹． 【解析】设的中点为，则， 又点在椭圆上，所以，化简得，即的中点的轨迹是椭圆． 11.在圆上任取一点P，过点P作x轴的垂线段，D为垂足，M是线段上的点，且，当点P在圆上运动时，则点M的轨迹方程是（ ） A．+=1(y) B．+=1(y) C．+=1(y) D．+=1(y) 【答案】A 【分析】设点，，则，因点在圆上 ，利用相关点法即可求得点M的轨迹方程. 【解析】    如图，设点，，则， 因点在圆上 ，则 （*）， 又因轴，且M是线段上的点，，则， 则得，即， 将其代入（*），即得是点M的轨迹方程. 故选：A. 12.已知，是圆：上一动点，线段的垂直平分线交线段于点，则动点的轨迹方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆的定义来求得正确答案. 【解析】由于线段的垂直平分线交线段于点， 所以， 所以点的轨迹是椭圆， 且，则， 所以的轨迹方程为. 故选：C 13.已知动圆P与圆：相切，且与圆：内切，记圆心P的轨迹为曲线C，则曲线C的方程为 ． 【答案】 【分析】依题意可得，所以圆心的轨迹是以为焦点，实轴长为8的椭圆，进而可求其方程； 【解析】由已知得，圆半径为9，圆半径为1， 设动圆圆心，半径为，易知圆在圆内， 由于动圆与圆相切，且与圆相内切， 所以动圆与圆只能内切，且动圆在圆内， 故，所以， 所以圆心的轨迹是以为焦点，实轴长为8的椭圆， 则，所以， 所以曲线的方程为. 故答案为： 考点03 利用方程表示椭圆求参数范围 14．方程表示椭圆的充要条件是（  ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】借助椭圆定义与充要条件的定义计算即可得. 【解析】若表示椭圆，则有， 解得或. 故选：D. 15.若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据方程表示焦点在轴上的椭圆建立不等式，并解出不等式即可 【解析】由题意可知：方程表示焦点在轴上的椭圆 则有： 解得： 故选：A. 16.若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由焦点在轴上的椭圆方程的特征求解即可． 【解析】，解得. 故选：D. 17.“”是“方程 表示椭圆”的（      ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】列出表示椭圆的关于m的不等式组求解，再结合必要不充分条件的定义即可得解. 【解析】方程表示椭圆，则，解得且， 所以“”是“方程 表示椭圆”的必要不充分条件， 故选：B. 18.（多选）若方程表示椭圆，则实数的取值可能是（  ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】ABD 【分析】根据椭圆的标准方程的特征可得，进而求解即可得到答案． 【解析】由方程表示椭圆， 即方程表示椭圆， 则，解得且， 所以结合选项可得实数的取值可能是3，4，6． 故选：ABD． 19.方程所表示的曲线是椭圆，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据椭圆的标准方程的特征，列出不等式组，即可求解. 【解析】因为方程所表示的曲线是椭圆， 所以满足，解得或, 因此的取值范围为. 故答案为：. 考点04 椭圆中和、差最值问题 20．为椭圆上任意一点，，，则的最大值为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由条件可知，当且仅当，，三点共线且点在第二象限时，为最大值. 【解析】由椭圆，可得，，，所以可知为椭圆的下焦点， 设为椭圆上焦点，又因为为椭圆上任意一点，所以由椭圆定义可知：， 即，因为当，，三点共线且点在第二象限时有最大值， 即，又因为， 所以. 故选：D. 21.已知点，且是椭圆的左焦点，是椭圆上任意一点，则的最小值是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义，结合三点共线，即可求解. 【解析】取椭圆的右焦点为，故, 由于,故， 因此， 故的最小值为5，当且仅当三点共线，且在上半椭圆时取到最小值， 故选：B. 22.已知点，，分别是椭圆：的左，右焦点，P是椭圆C上的一动点，则的最小值是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用椭圆的定义结合三角形三边关系计算即可. 【解析】由椭圆方程可知，椭圆长轴长， 则， 当且仅当P是线段与椭圆的交点时取得最小值.    故选：A. 23.已知点是椭圆上一动点，是圆上一动点，点，则的最大值为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意得圆的圆心是椭圆的左焦点，，利用椭圆的定义，结合图象得到，然后由即可求出的最大值. 【解析】如图,    由，得，，则， 则圆的圆心是椭圆的左焦点，椭圆的右焦点为， 由椭圆的定义得， 所以， 又， 所以， 当且仅当为线段与椭圆的交点，且为射线与圆的交点且、方向相同时， 上述不等式中的两个等号同时成立， 故的最大值为. 故选：B. 24.设为椭圆上一动点，分别为椭圆的左､右焦点，已知点，则的最小值为（  ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】利用椭圆定义转化为，即求的最大值，根据三角形性质，当三点共线时最大可得答案. 【解析】，所以，所以轴， 因为，所以在椭圆内部，且， 所以， 即求的最大值， 由于，当三点共线时最大， 此时，， 所以. 故选：B. 25.已知椭圆的左、右焦点分别为，，为上任意一点，为圆上任意一点，则的最小值为 . 【答案】5 【分析】根据圆上的点到定点的距离范围可知，即， 结合椭圆的定义可转化为，即可得解. 【解析】 由椭圆可知椭圆的实轴长，，， 圆的圆心，半径， 由已知圆上任意一点到得距离， 所以， 又根据椭圆定义， 则， 当且仅当，都在线段上时，等号成立， 故答案为：5. 26.已知为椭圆的右焦点，是椭圆上一动点，点为圆上一动点，则的最大值是 . 【答案】10 【分析】利用点与圆的位置关系，结合椭圆的定义，转化，利用数形结合，即可求的最大值. 【解析】设点为椭圆的左焦点，点为圆的圆心， 点为圆外的点，的最大值为,,即， 的最大值为， 如图，当四点共线时,“=”成立， ，,, 所以的最大值为. 故答案为：10. 27.设为椭圆上一动点，分别为椭圆的左､右焦点，已知点，则的最小值为____________ 【答案】3 【分析】利用椭圆定义转化为，即求的最大值，根据三角形性质，当三点共线时最大可得答案. 【解析】，所以，所以轴， 因为，所以在椭圆内部，且， 所以， 即求的最大值， 由于，当三点共线时最大， 此时，， 所以. 故答案为：3 考点05 椭圆中焦点三角形问题 28．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，则的周长为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用椭圆定义以及标准方程即可得出结果. 【解析】由题知，椭圆， 则长轴，焦距， 的周长为. 故选：D 29.椭圆：的上、下顶点分别为，，椭圆：与的一个交点为M，则的周长为（  ） A．4 B． C． D．6 【答案】D 【分析】根据椭圆的方程，可得，就是椭圆的焦点，再根据椭圆的定义，即可求的周长. 【解析】椭圆：的上、下顶点分别为，， 则，， 又椭圆：， 则椭圆的焦点为，， 则的周长为 故选：D 30.已知椭圆的方程为，过椭圆中心的直线交椭圆于A、B两点，是椭圆的右焦点，则的周长的最小值为（  ） A．8 B． C．10 D． 【答案】C 【解析】椭圆的方程为，则，，， 连接，， 则由椭圆的中心对称性可知， 可知为平行四边形，则， 可得的周长为， 当AB位于短轴的端点时，取最小值，最小值为， 所以周长为． 故选：C. 31.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上.若，则的面积为（  ） A．2 B．4 C．8 D．9 【答案】B 【分析】根据题意，由椭圆的定义，得到，再由勾股定理得，联立方程组，求得，结合三角形的面积公式，即可求解. 【解析】如图所示，椭圆，可得，则， 因为点在椭圆上，可得， 又由，可得, 联立方程组，可得， 所以的面积为. 故选：B. 32.已知是椭圆的两个焦点，点在上，且，则的面积为（  ） A．3 B．4 C．6 D．10 【答案】C 【分析】由椭圆定义和得到，结合，由余弦定理得，进而得到正弦值，利用三角形面积公式求出答案. 【解析】由椭圆定义可得， 故， 又， 则由余弦定理得， 故， 故. 故选：C 33.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P在椭圆上，当的面积为1时，等于（  ） A．0 B．1 C．2 D． 【答案】A 【解析】由题意可得：， 则， 设， 由题意可得：，解得， 代入方程可得，则， 又因为， 则. 故选：A. 34．设分别是离心率为的椭圆的左、右焦点，过点的直线交椭圆于两点，且，则（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以．设，则． 在中，． 在中，， 所以，整理得，． 于是． 故选：D 35.点P是椭圆上一点，，是椭圆的两个焦点，且的内切圆半径为1，当点P在第一象限时，P点的纵坐标为（ ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【解析】由，得， 所以， 所以， 设的内切圆半径为， 因为 所以，得. 故选：B 36.（多选）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，M为椭圆C上任意一点，则下列说法正确的是（  ） A．的周长为6 B．面积的最大值为 C．的取值范围为 D．的最小值为 【答案】ABC 【分析】求出椭圆的长短半轴长及半焦距，再结合椭圆的定义逐项判断即可. 【解析】椭圆：的长半轴长，短半轴长，半焦距， 对于A，的周长为，A正确； 对于B，点到直线距离的最大值为，则面积的最大值为，B正确； 对于C，，解得，C正确； 对于D，由，得，D错误. 故选：D 37.（多选）已知是椭圆上一点，、为其左、右焦点，且的面积为，则下列说法正确的是（  ） A．点纵坐标为 B．的周长为 C． D．的内切圆半径为 【答案】BCD 【解析】对于A选项，在椭圆中，，，， ，则、， 设点，，，故选项A错误； 对于B选项，由椭圆的定义可知， 的周长为，故选项B正确； 对于C选项，设，，可得， 由余弦定理可得 ， 所以， 所以，解得，故选项C正确， 对于D选项，设的内切圆半径为， 则， ，故选项D正确. 故选：BCD. 38.（多选）（24-25高二上·四川自贡·期末）已知椭圆 为左，右焦点. O为原点，P为椭圆上一点， 下列说法正确的是 （  ） A．满足条件的P点总共有4个 B．=4 C．|PO|=3 D． 【答案】ABD 【分析】由题设求出，设 再在焦点中，运用余弦定理结合椭圆的定义得到求得即可判断B；设P（x₀，y₀），由=4得代入椭圆方程得从而，故P点共有4个，可判断A、C，求得即可判断D, 【解析】 由题意得，，设 则 在中，由余弦定理得，， 即 ，即 ，解得 故B项正确； 设P（x₀，y₀）， 代入椭圆方程得， 解得 则 故C项错误； 由故P点共有4个，故A项正确； 对于D， 故D项正确. 故选：ABD. 39.设，为椭圆的两个焦点，为上一点且在第一象限，若为等腰三角形，则的面积为____________ 【答案】 【分析】由椭圆标准方程可得，，，根据题意得或，结合图形，利用椭圆的定义求出的三边长，即可求得其面积 【解析】由椭圆：可得，， ， 因为上一点且在第一象限，则 由为等腰三角形，则可得或， 当时，， 此时的面积为：； 当时，，不合题意，舍去. 综上，可得的面积为. 故答案为：．    40.已知分别为椭圆的左、右焦点，点关于直线的对称点Q在椭圆上，若P是椭圆上的一点，且，则 ． 【答案】/ 【解析】由椭圆，知，∴， ∴点关于直线的对称点， 由题意得：，∴， ∵，， ，∴， ∴在中， ， ∵，∴， ∴. 故答案为：. 41.已知椭圆的左右焦点分别为，，点在椭圆上且在轴上方，若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则的面积为 . 【答案】 【分析】根据题意结合椭圆定义可知，，再结合等腰三角形求高和面积. 【解析】由椭圆方程可知：， 因为分别为的中点，则，可得， 因为，则，且， 所以的面积为. 故答案为：. 42.设、是椭圆的两个焦点，若椭圆上点满足，记的外接圆和内切圆半径分别是、，则的值为 . 【答案】2 【分析】化标准，得到，，然后根据正弦定理求出.进而根据余弦定理推出的面积.根据等面积法，可知，即可求出，即可得解. 【解析】 将椭圆化为标准方程可得，. 所以，，，. 所以，，，所以，. 根据正弦定理可得，，所以. 设，则. 由余弦定理可得，， 所以，， 整理可得，，显然、是方程的两个解， 所以， 所以的面积. 又， 所以，所以，. 故答案为：2. 43.已知F1，F2分别为椭圆C：的左、右焦点，C上存在一点A，使，点B满足，∠F1AF2的平分线交直线OB于点D，，则椭圆C的标准方程为 ． 【答案】 【解析】 如图所示，不妨设在第一象限，则，因，则， 在中，因，且由，可知点B是的中点， 则得，且， 因为，平分，故， 故为等腰直角三角形，， 由题意知，则，即， 根据椭圆的定义可得， 联立，解得， 在直角中，即， 化简得，又因，两者联立解得， 故椭圆标准方程为. 故答案为：. 考点06 椭圆离心率问题 44．已知椭圆的左、右焦点分别为线段上有一点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于B,C两点，且则椭圆C的离心率为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】连接由椭圆对称性知 故选：D 45.已知椭圆：的左、右焦点分别为、，以为圆心的圆与轴交于，两点，与轴正半轴交于点，线段与交于点.若与的焦距的比值为，则的离心率为（  ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 设椭圆的半焦距为，因为以为圆心的圆过，故该圆的半径为， 故其方程为：， 令，则，结合在轴正半轴上，故， 令，则或，故. 故，故直线. 设， 因为在轴的正半轴上，在轴的负半轴上，故， 而， 故，整理得到：， 故，故， 所以，故， 整理得到：，故， 故选：D. 46.已知直线与椭圆交于两点，椭圆的左、右焦点分别为、，四边形为矩形，若，则椭圆的离心率是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据矩形的边角关系，结合椭圆的定义和性质，可直接求其离心率. 【解析】如图：    设，则，因为四边形为矩形，所以. 所以，. 所以. 故选：C 47.设分别是椭圆的左右焦点，若椭圆C上存在点P，使线段的垂直平分线过点，则椭圆离心率的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可得以为圆心，以为半径的圆与椭圆有交点，由此列出满足的不等式关系，即可求得答案. 【解析】由题意椭圆C上存在点P，使线段的垂直平分线过点， 则, 且需满足以为圆心，以为半径的圆与椭圆有交点，    即，即，又， 故椭圆离心率的取值范围是， 故选：C 48.记椭圆的离心率为，若，则实数的取值范围为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据离心率公式可得出关于实数的不等式，即可解得实数的取值范围. 【解析】因为， 所以，，，则，可得， ，则， 因为，即，可得，解得， 因此，实数的取值范围是. 故选：B. 49.已知椭圆的左､右焦点分别为，且椭圆上存在点P，使得，则该椭圆的离心率的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由椭圆的定义可得，进而可得，可求椭圆的离心率的取值范围. 【解析】由椭圆的定义得，又，所以， 又，当且仅当点在椭圆下顶点时等号成立， 所以，即，则，即， 即椭圆的离心率的取值范围是. 故选：C. 50.已知、是椭圆长轴的两顶点，是椭圆上的一点，直线与斜率之积，则此椭圆的离心率取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设点，则，且，可得， 易知、， 所以，， 所以，，可得， 故. 故选：D 51.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的右焦点为F，右顶点为A，上、下顶点分别为，，点D在线段上，且．若，则C的离心率为（  ）． A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题可得，点，，， ∴，∵，则点为的三等分点， 故，，， 由得：，化简得． 故选：B． 52.加斯帕尔·蒙日是18~19世纪法国著名的几何学家，他在研究时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”.已知椭圆：，若直线：上存在点P，过P可作C的两条互相垂直的切线，则椭圆离心率的取值范围是 . 【答案】 【分析】首先通过椭圆的四条特殊切线可知道蒙日圆的半径，问题转化为直线与蒙日圆有交点问题，根据直线与圆的位置关系列式即可求解。 【解析】由题可知，点在椭圆的蒙日圆上，又因为点在直线上，所以，问题转化为直线和蒙日圆有公共点. 由椭圆方程， 如图当长方形的边与椭圆的轴平行时，长方形的边长分别为和， 其对角线长为，因此蒙日圆半径为，所以蒙日圆方程为，因此，需满足圆心到直线的距离不大于半径， 即，所以，所以椭圆离心率，所以. 故答案为： 53.椭圆的左、右焦点分别为，P是椭圆上一点，直线的斜率为2，，则椭圆的离心率为 ． 【答案】/ 【分析】由题意可知，设，有，由和，消去得，可求椭圆离心率. 【解析】设，由椭圆的定义可得， 直线的斜率为2，则， 又，中，， 设，有， 由，得， 又，消去得， 即，所以椭圆的离心率. 故答案为： 54.法国著名数学家蒙日发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，且方程为，这个圆被称为“蒙日圆”．已知椭圆的焦点在轴上，A，B为椭圆上任意两点，动点在直线上．若恒为锐角，则椭圆的离心率的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由已知分析可知，直线与圆相离，利用直线与圆的位置关系可求出的取值范围，再结合椭圆离心率公式可求得椭圆的离心率的范围. 【解析】由题意知，圆为椭圆的“蒙日圆”， 如图，因为A，B为椭圆上任意两点，动点满足恒为锐角， 则点在圆外，又动点在直线上， 则直线与圆相离， 所以，得，所以， 则，又椭圆的离心率大于零， 则椭圆的离心率的取值范围是．    55.已知、分别为椭圆的左、右焦点，为右顶点，、为上、下顶点，若在线段上存在（不含端点），使得，则椭圆的离心率的取值范围为_____________ 【答案】 【解析】由已知，点，，，，， 则线段的方程为，则， 在线段上取一点， ，， 所以 ， 由，得， 因为，所以， 从而，整理得，即， 即，即， 结合，解得． 故答案为：． 考点07 椭圆中的中点弦问题 56．已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于，两点，若的中点坐标为，则的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】运用点差法联立方程组，求出的值，即得椭圆方程. 【解析】设，代入椭圆方程可得：， 两式作差可得：(*)， 又的中点坐标为，所以，， 由(*)式可得， 又直线的斜率即直线的斜率，， 所以，而， 联立解得，，故椭圆的方程为：. 故选：A．    57．已知椭圆，过点的直线交椭圆于A，B两点，且P为线段的中点，则直线的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】判断点在椭圆内，利用点差法求出直线的斜率即可得其方程． 【解析】椭圆，由，得点在椭圆内， 设，则， 两式相减得，而， 因此，即直线的斜率为， 所以直线的方程为，即． 故选：A 58.过点作斜率为的直线与椭圆相交于，，若是线段的中点，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】通过设椭圆上两点坐标，运用点差法，结合中点坐标和直线斜率，推导出与的比值. 【解析】设，，则，. 两式相减得. 因为是中点，所以，，且直线的斜率. 将其代入上式，得，两边除以，得， 整理得，故. 故选：B 60.直线经过椭圆的左焦点，且与椭圆交于两点，若为线段中点，，则椭圆的离心率为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由得到，结合点差法计算得，进而求出离心率. 【解析】直线的斜率，如图，    由，得，则直线的斜率， 设，则，两式相减得， 于是，而， 因此，解得， 所以椭圆的离心率. 故选：C 61.（多选）已知点，若斜率为1的直线l与椭圆C：（）交于A，B两点，且线段AB的中点坐标为，点P在椭圆C上，则的值可能为（  ） A． B． C．1 D．3 【答案】BCD 【分析】首先利用点差法求出，然后设，写出的表达式，利用二次函数的性质即可求解. 【解析】设，因为直线的斜率为1，的中点坐标为， 所以，，， 把代入椭圆方程得，两式相减得， 整理得，即，所以， 所以椭圆方程为， 设， 则， 由二次函数性质可知当时，，当时，， 所以的取值范围为，适合题意的有BCD中的数值， 故选：BCD 62．已知原点为，椭圆与直线交于两点，线段的中点为，若直线的斜率为，则椭圆的离心率为__________ 【答案】 【分析】利用点差法,结合斜率公式即可求解. 【解析】设,则且， 故，故, 故，即， 因此， 故答案为： 63.在平面直角坐标系中，已知点，点，直线相交于点，且它们的斜率之积是. (1)求动点的轨迹方程； (2)若直线与点的轨迹交于两点，线段的中点为.若直线的斜率为1，求线段的长. 【答案】(1),(2) 【分析】（1）设点，根据题意建立等式求解即可； （2）先利用点差法求得，然后联立方程组利用弦长公式求弦长即可. 【解析】（1）设点， 因为直线的斜率之积是， ，化简得：， 即动点的轨迹方程为：. （2）设， 线段的中点为， ，则， 由题可得，， 两式求差化简得：，即， 直线的方程为， 联立，消去得， ，且， . 考点08 椭圆的最值与范围问题 64．已知椭圆，则椭圆上的点到点的距离的最大值是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点点距离公式即可结合二次函数的性质求解. 【解析】设是椭圆上的一个动点，则，， 由于，故当时，取最大值， 故选：C 65.(多选)已知定点为椭圆上一动点，满足：当取得最小值时点恰为椭圆的右顶点，则的值可以是（  ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】首先利用两点间的距离表示，根据二次函数的性质，即可求解. 【解析】记， ， ， 对称轴为，由于时取到最小值，则. 故选：BCD. 66.已知为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为，点在上，，且为上一个动点，则（   ） A． B．的长轴长为4 C．的最小值为 D．的最大值是 【答案】ABD 【分析】根据数量积的坐标运算求得，然后由求得判断A，将点B的坐标代入椭圆方程，结合列式求解判断B，根据焦半径的性质判断C，结合椭圆的定义利用三点共线最短求解判断D. 【解析】设，因为，所以， 因为，所以，解得，A正确． 因为点在上，所以解得则的长轴长为，B正确． 的最小值为，C错误． 因为， 当且仅当共线时等号成立，所以的最大值为，D正确． 故选：ABD 67.平面内到两定点距离之积为常数此常数不为的点的轨迹称为卡西尼卵形线.已知在平面直角坐标系xOy中，，，动点P满足，其轨迹为一条连续的封闭曲线C，如图所示，则下列结论正确的是（  ） A．曲线C与x轴交点的坐标为， B．周长的最小值为8 C．若直线与曲线C只有一个交点，则k的取值范围是 D．面积的最大值为2 【答案】ACD 【分析】设，应用两点间距离公式化简得出轨迹整理求出点的坐标判断A，应用基本不等式化简求解判断B,联立方程组应用判别式化简求参判断C，换元结合二次函数的值域判断D. 【解析】设，则由可得，整理得， 令，则有，即，整理得，解得或， 即曲线C与x轴交点的坐标为，，A正确； 对于B，因为，所以， 当且仅当时，等号成立，此时P点坐标为，，三点共线， 所以周长，B错误； 联立，消去y可得， 即，整理得， 要使直线与曲线C只有一个交点，则方程只有一个解， 故，解得或， 则实数k的取值范围是，C正确； 设，则， 故，故面积的最大值为，D正确. 故选: 68.已知是椭圆的左焦点，过椭圆上一点P作直线与圆相切，切点为Q，则的最大值是____________ 【答案】 【分析】设为的圆心，利用椭圆定义和勾股定理得到，设，得到单调递增，从而求出最值，得到取值范围. 【解析】设为椭圆的右焦点，由题知， 故，显然为的圆心， 则， 由椭圆定义得， 故， 令，理由如下： 设，，则，， 故 ， 因为，所以， ， 函数均单调递增，故在上单调递增， 所以. 故答案为：． 69．已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，上、下顶点分别为，且四边形的面积为．若为椭圆上的两点，直线斜率存在且（其中为坐标原点，分别为直线的斜率），为中点，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】由离心率，四边形的面积为求得椭圆方程，再根据，设直线的方程为，求得的轨迹方程，最后根据两点之间距离公式即可求解． 【解析】由题知，解得， 所以椭圆， 因为，所以， 又直线的斜率存在， 设直线的方程为，则的中点， 联立，整理可得， ，即， ， 所以 ， 所以， 可得，符合， 可得的轨迹方程为整理可得， 两式平方相加可得， 即的轨迹方程为，表示焦点在轴上的椭圆，即， 所以，当为该椭圆的右顶点时，取等号； 综上所述，的最小值为， 故答案为：． 70.已知椭圆过点，且离心率为.直线经过点 (1)求椭圆的方程； (2)当直线与椭圆相切时，求两切点所在的直线方程 (3)若直线与交于不同两点，动直线与直线分别交于点和为线段的中点，求的最小值. 【答案】(1) (2)或. (3) 【分析】（1）根据顶点坐标及离心率列方程组求解即可； （2）易知是椭圆的一条切线，设另一条切线为，切点为.且有：，与椭圆方程联立，由判别式得，得，即可求出另一条切线，得解； （3）设直线的方程为，.韦达定理得，求出的总坐标，利用是中点得，进而，可得点的轨迹方程为：，最后利用点线距离求解最小值即可. 【解析】（1）由题可知：，解得； 所以椭圆的方程为：. （2）由题易知：是椭圆的切线，切点为. 设另一条切线为，切点为.且有：. 联立，消去，得： ，即， 联立：；解得：； 所以，解得：. 所以直线的斜率.故切点所在直线方程为：. 综上所述：两切点所在的直线方程为或. （3）设直线的方程为.且有：.其中. 由（2）可知：. 直线的方程为：.得. 同理，可得. 因为是中点， 所以. 因为. 所以.点的轨迹方程为： 所以. 71.已知椭圆：的离心率，点在上. (1)求椭圆的方程； (2)已知椭圆的左顶点为A，过点A作斜率为的直线交椭圆于点P，交y轴于点D，若过原点作直线的平行线交椭圆于点E，求的最小值. 【答案】(1);(2) 【分析】（1）根据离心率可得，将点代入椭圆方程，结合，可求解得的值，进而得标准方程； （2）设直线的方程，与椭圆方程联立，可得点的横坐标；根据平行关系，设直线的方程，与椭圆方程联立，可得点的横坐标，根据直线平行可用四个点的横坐标表示，再利用基本不等式求最值即可. 【解析】（1）因为椭圆的离心率，且在上 所以，解得，， 所以椭圆的标准方程为. （2） 设直线的方程为，， 联立，消去，得， 所以，因为，所以直线的方程可设为， 联立，消去，得， 所以点的横坐标为， 由，得 . 当且仅当，即时，等号成立， 由此，当时，有最小值，且最小值为. 72.已知椭圆的离心率为，且过点，分别为椭圆的左右顶点，点是椭圆上异于的动点，直线与直线分别交于两点． (1)求椭圆的方程 (2)求线段的长度的最小值 【答案】(1);(2) 【分析】（1）根据条件得到的方程组，由此求解出的值，则椭圆的方程可求； （2）根据条件先分析出的关系，然后设出的方程，从而可求出的纵坐标，根据以及基本不等式求解出的最小值. 【解析】（1）由条件可知：，解得， 所以椭圆的方程为， （2）设点，则， 则，所以， 不妨设直线的方程为，其中， 则直线的方程为， 设点， 由可得， 由可得， 所以， 当且仅当时，即当时等号成立， 所以的最小值为． 考点09 椭圆中的面积问题 73．已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于点A，B两点，若面积是的2倍，则（  ） A． B．或 C． D． 【答案】C 【分析】根据面积公式结合定义计算求解得出或，再联立方程结合判别式计算求解. 【解析】设直线与x轴的交点为M，则． 所以，． 因为，所以． 由得，即，，． 所以，解得或． 因为与C有两个交点，联立消y得， 则，解得．所以 故选：C. 74．（多选）平面内到两定点的距离之积为定值的点的轨迹叫做卡西尼卵形线，卡西尼卵形线是天文学家卡西尼在研究卫星运行规律时发现的.已知曲线上的点到与的距离之积为2，则下列结论正确的是（  ） A．曲线的方程为 B．曲线关于轴对称 C．曲线围成的图形面积不超过 D．面积的最大值为1 【答案】BCD 【分析】设，根据，即可求出曲线方程，即可判断A；将点代入曲线的方程即可判断B；求出的范围即可判断CD. 【解析】设，由题意，， 即，化简得， 即曲线的方程为，故A错误； 对于B，将点代入曲线的方程得： ，即， 所以曲线关于轴对称，故B正确； 对于C，由， 得，解得， 又因为，所以， 所以， 又因为，所以， 所以曲线围成的图形面积不超过，故C正确； 对于D，由C选项知，面积的最大值为，故D正确. 故选：BCD. 75.已知椭圆的左右焦点分别为，，离心率，点分别是椭圆的右顶点和上顶点，且,直线，均过右焦点，且它们的斜率乘积为，设，分别与椭圆交于点和若分别是线段和的中点，则面积的最大值为________________. 【答案】 【分析】根据两点距离可得，结合离心率即可求解的值即可求解，联立直线与椭圆的方程，得到韦达定理，进而根据，，即可根据三角形面积公式，结合基本不等式求解. 【解析】由题意，因为，， 所以 又，， 所以，， 所以椭圆的标准方程为 ，直线的斜率存在. 设直线的方程为，，， 则直线的方程可设为，， 联立，消去y得， 所以， 所以， 所以 同理联立，可得 则的中点， 所以 ， 当且仅当，即时取等号. 所以面积的最大值为 故答案为: 76．已知椭圆． (1)若M是椭圆C的焦点，求b的值； (2)若P为椭圆在第一象限上的点，A，B分别为椭圆的上顶点和右顶点，直线PA，PB分别与x轴和y轴交于点S和T．记，面积分别为，若为定值，求椭圆C的标准方程． 【答案】(1);(2) 【分析】（1）由给定方程及焦点坐标求出. （2）设出点的坐标，由直线的点斜式方程求出点的坐标，进而求出三角形面积差得解. 【解析】（1）由M是椭圆C的焦点，得半焦距，所以. （2）设点，由为椭圆在第一象限上的点，得， 依题意，，直线，直线 ， 于是， ，解得， 所以椭圆C的标准方程为. 77．知椭圆的离心率为，椭圆的左，右焦点与短轴两个端点构成的四边形面积为. (1)求椭圆的方程； (2)若直线与轴交于点，与椭圆交于两点，过点作轴的垂线交椭圆交于另一点，求面积的最大值. 【答案】(1)；(2). 【分析】（1）根据给定条件，结合离心率及四边形面积列式求出，即可求出椭圆的方程. （2）联立直线l与椭圆的方程得到，再利用切割法得到，化简得到，进而利用基本不等式求得面积的最大值. 【解析】（1）设椭圆的焦距为，则，即，则，， 由的左，右焦点与短轴的两个端点构成的四边形的面积为，得， 即，解得， 所以椭圆的方程为. （2）显然，设，则， 由消去得，， 则， 又，而与同号， 因此 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以面积的最大值为.    78.已知椭圆：左顶点离心率B为第一象限内椭圆上一点，过B作椭圆的切线交直线于点 (1)求椭圆的标准方程； (2)过点A且平行于BP的直线与椭圆的另一个交点为C，直线AC交BO延长线于点M，记的面积分别为 （i）证明：； （ii）当时，求直线AC的方程． 【答案】(1);(2)（i）证明见解析（ii） 【分析】（1）根据椭圆的顶点坐标和离心率求出，进而得到椭圆的标准方程. （2）（i）利用直线与椭圆的位置关系、直曲联立求出直线联立求出根据切线性质求出最后根据中点性质证明即可.（i i）根据中点性质得到面积关系，根据切线求出再根据面积条件列方程计算. 【解析】（1）由题意得离心率则椭圆的标准方程为 （2）（i）设直线代入到椭圆方程，化简得故 设联立直线AC，BO的方程 切线又则故 所以：即M为线段AC中点.由与中点M，则 （ii）由中点M得将代入直线可得 则即则 故则 79.已知椭圆的长轴为，椭圆的离心率，左右焦点分别记作、，且，过、分别作直线、交椭圆于、（在轴上方），且； (1)求此椭圆方程． (2)当直线的斜率与直线的斜率都存在时，求证：为定值． (3)求四边形面积的最大值． 【答案】(1);(2)证明见解析;(3) 【分析】（1）与转换成关于，，的方程，解方程即可. （2）设，代入椭圆方程中，作差即可得到结论. （3）利用四边形为平行四边形，把四边形面积转化成面积的2倍，然后设直线的方程为，联立椭圆方程，设而不求，把的面积表示成关于的函数，换元，利用基本不等式求出函数最值. 【解析】（1）设，， ，得到； 又因为，所以，，． 即椭圆方程为． （2）设，，根据对称性，有，因为，都在椭圆上， 所以，，二式相减得，， 所以为定值． （3）由题意得，直线的倾斜角不为，由对称性得四边形为平行四边形， ， ，设直线的方程为，代入， 得．显然，，． 所以 ， 设，所以，． 所以． 当且仅当即时等号成立，所以． 所以平行四边形面积的最大值为．    考点10 椭圆中的定点问题 80．已知椭圆四个顶点的四边形为菱形，它的边长为，面积为，过椭圆左焦点与椭圆相交于M，N两点（M，N两点不在轴上），直线的方程为：，过点作垂直于直线并交于点. (1)求椭圆的标准方程； (2)求证：直线过轴上一定点，并求出此定点坐标； (3)点为坐标原点，求面积的最大值. 【答案】(1);(2)证明见解析； 【分析】（1）根据题意列式求解即可； （2）根据题意设直线及交点坐标，联立方程结合韦达定理，表示出直线方程，再另求出即可； 【解析】（1）由题意可得：，解得， 椭圆C的标准方程为． （2） 由（1）可得：，即， 由题意可设直线，则， 联立方程，消去x可得：， ∴，则， ∴直线的斜率，则直线的方程为． 令，则可得， 即直线过定点． 81.已知椭圆的离心率为，长轴长为，直线与轴，轴分别交于点（均不与坐标原点O重合），与椭圆相交于两点. （1）求的方程； （2）直线的斜率为时，求与的面积之比； （3）椭圆右顶点为，当时，直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由. 【答案】（1） （2）1 （3）过定点， 【分析】（1）根据条件，确定的值，得椭圆的标准方程. （2）设直线，得到点的坐标，再与椭圆方程联立，借助韦达定理，得到点坐标的关系，表示出与的面积，可求它们的比. （3）分斜率是否存在进行讨论.当直线斜率存在时，设直线，与椭圆方程联立，根据韦达定理，结合，可探索的关系，得到直线过定点. 【解析】（1）由题知，，所以， 又离心率，得， 则有 所以椭圆的方程为. （2）如图： 设直线，所以， 联立直线与椭圆方程得 ，整理得，，得， 设，则，即， . 所以与的面积之比为1. （3）当直线斜率存在，设直线，联立直线与椭圆方程得 ，整理得，， 整理得，即， 所以或，均满足 当时，直线过点，不满足题意. 当时，直线过定点. 当直线斜率不存在时，直线的方程为，过点. 综上可知，直线过定点. 82.已知椭圆四个顶点的四边形为菱形，它的边长为，面积为，过椭圆左焦点与椭圆相交于M，N两点（M，N两点不在轴上），直线的方程为：，过点作垂直于直线并交于点. （1）求椭圆的标准方程； （2）求证：直线过轴上一定点，并求出此定点坐标； 【答案】（1） （2）证明见解析； 【分析】（1）根据题意列式求解即可； （2）根据题意设直线及交点坐标，联立方程结合韦达定理，表示出直线方程，再另求出即可； 【解析】（1）由题意可得：，解得， 椭圆C的标准方程为． （2） 由（1）可得：，即， 由题意可设直线，则， 联立方程，消去x可得：， ∴，则， ∴直线的斜率，则直线的方程为． 令，则可得， 即直线过定点． 考点11 椭圆中的定值问题 83．已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为椭圆上一动点，面积的最大值为2．    (1)求椭圆的方程； (2)若分别是椭圆长轴的左、右端点，动点满足：，连接交椭圆于点为坐标原点，证明：为定值； 【答案】(1);(2)证明见解析 【分析】（1）由离心率公式、平方关系以及三角形面积公式列方程即可求解. （2）由题意设直线的方程为，联立椭圆方程求得点的坐标，然后由数量积的坐标公式求解即可. 【解析】（1）由题意离心率为椭圆上一动点，面积的最大值为2． 所以， 又， 所以解得， 所以椭圆的方程为. （2）由（1）椭圆的方程为.    由题意，因为，所以设， 则直线的方程为，将其与椭圆方程联立得， 消去并整理得，，当时，， 所以解得，即， 所以， 所以. 84.已知椭圆的任意两条相互垂直的切线交点的轨迹是圆，称为椭圆的蒙日圆，其方程为．已知椭圆的两个焦点分别为，为坐标原点，点在椭圆上． (1)求的标准方程； (2)已知直线与交于两点，且，求面积的取值范围； (3)过的蒙日圆上一点，作的一条切线，与蒙日圆交于另一点，若直线，的斜率存在，设与的斜率分别为，证明：为定值． 【答案】(1)；(2)；(3)证明见解析. 【解析】（1）依题意，，解得， 所以的标准方程是. （2）当点不是椭圆的顶点时，由，得点不是椭圆的顶点， 设直线方程为，点，则直线方程为， 由得，，同理， 面积， 而，因此，当且仅当时取等号， 点是椭圆的顶点时，点也是椭圆的顶点，， 所以面积的取值范围是. （3）依题意，蒙日圆的方程为：， 当直线斜率不存在时，直线的方程为：或， 直线与的交点为或，则； 当直线斜率存在时，设直线的方程为：， 由消去并整理得：， 则，即，设， 由消去并整理得：， ，， 则 ， 所以为定值. 85.已知椭圆，平行四边形的四个顶点在椭圆上，直线的斜率分别为． （1）求直线在y轴上的截距之和； （2）若四边形为菱形，证明：直线之间的距离为定值； 【答案】（1）0； （2）证明见解析； 【分析】（1）设两条平行线的方程分别为，，联立椭圆并应用韦达定理及弦长公式得，进而可得，即得结果； （2）根据已知有，由（1）知点A与点C、点B与点D关于原点对称，结合韦达公式得，进而有，再应用平行线的距离公式证明结论； 【解析】（1）设两条平行线的方程分别为，， 由，得， 所以，即， 又． 所以 ， 同理，． 由平行四边形得，所以， 因为，所以，即， 所以两条平行线在y轴上的截距之和为0． （2）由四边形为菱形得，所以， 由（1）知关于原点对称， 由椭圆的对称性知点A与点C，点B与点D均关于原点对称， 所以 ． 整理得，所以直线之间的距离， 所以直线之间的距离为定值． 86.已知离心率为的椭圆的左，右焦点分别为，点在椭圆上，且的周长为. （1）求椭圆的方程； （2）设椭圆的左，右顶点分别为，过点的直线与椭圆交于两点（不同于左，右顶点），记直线的斜率为，直线的斜率为，证明：为定值. 【答案】（1） （2）证明见解析 【分析】（1）利用椭圆的定义列出关于的方程求解即可， （2）设直线的方程为联立直线和椭圆的方程得到韦达定理，将用韦达定理代入，同时将得到的式子转化成关于的韦达定理进行约分化简得到最后的结果. 【解析】（1）设椭圆的方程，由题意可知 ，解之得， 所以椭圆的方程为. （2）由题意知直线的斜率不为0， 设直线的方程为， 联立方程组，得 ①②得，，所以， 所以为定值. 87.已知椭圆的右顶点为，离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）过点作斜率为的直线与椭圆交于不同的两点.在轴上是否存在点使得直线与直线的斜率之和为0？若存在，求出点的坐标：若不存在.说明理由. 【答案】（1） （2）存在，. 【分析】（1）由右顶点及离心率可得a，c，然后可得椭圆方程. （2）设直线l，，，将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理可化简直线与直线的斜率之和的表达式，即可得答案. 【解析】（1）因椭圆右顶点为，离心率为， 则，故椭圆方程为：； （2）由题，设直线方程为，将直线方程与椭圆方程联立， 可得 因直线与椭圆交于不同的两点，则. 设，由韦达定理. 又设，则，又， 则 . 则. 故轴上存在点使得直线与直线的斜率之和为0. 88.已知椭圆的短轴长为2，离心率为，左、右焦点分别为，点P为直线上且不在x轴上的任意一点，直线，与椭圆的交点分别为A，B和C，D，O为坐标原点. （1）求椭圆E的标准方程; （2）设直线，的斜率分别为， ①求的值; ②若直线OA，OB，OC，OD的斜率之和为0，求点P的坐标. 【答案】（1） （2）①；②，， 【分析】（1）根据椭圆的短轴长为2，离心率为列方程组，求出的值，即可求椭圆E的标准方程; （2）①设，则，利用斜率公式可求的值; ②联立直线与椭圆E的方程，利用斜率公式、结合韦达定理分别求出直线OA，OB的斜率之和，以及若直线OC，OD的斜率之和，根据斜率之和为零求出斜率，再根据直线交点坐标可求点P的坐标. 【解析】（1）由，解得， 所以椭圆E的标准方程为 （2）①设，则， 因为，， 所以，， 则 ； ②联立直线与椭圆E的方程，得， 消去x，得， 设，，，， 则， 因为直线OA，OB的斜率存在，所以，， 又因为点P不在x轴上，所以，， 所以直线OA，OB的斜率之和 ， 同理，直线OC，OD的斜率之和， 所以， 因为直线OA，OB，OC，OD的斜率之和为0， 所以或 当时，结合，解得 联立，解得， 所以点P的坐标为 当时，结合，解得或， 联立， 解得，所以点P的坐标为 联立，解得 所以点P的坐标为 综上，点P的坐标为，， 89.已知椭圆过点，且离心率为． （1）求椭圆的标准方程； （2）已知动圆与椭圆相交于、、、四个不同的点，直线、相交于点，记直线、的斜率分别为、． ①比较与的大小（不要给出证明）； ②试问是否为定值，如果为定值，求出定值；如果不为定值，请说明理由． 【答案】（1） （2）①；②是，定值 【分析】（1）根据题意可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可求得椭圆的方程； （2）①由题意可知，点在圆外，证明出，结合三角形可得结论； ②设点、，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，求出，同理可得出，再由化简得出的值. 【解析】（1）由题意可得，解得，故椭圆的标准方程为. （2）①由题意可知，点在圆外， 因为、、、四点共圆，则，， 所以，，则，故； ②设点、，直线的方程为， 由题意可知，直线、均与椭圆相交， 联立，可得， 可得， 所以，、为方程两根， 令，二次方程可化为， 则、为关于的二次方程的两根， 由韦达定理可得， 由弦长公式可得， 同理可得， 因为，则， 即，整理可得，即， 显然，故. 考点12 椭圆中的定直线问题 90.已知为椭圆的右焦点，分别为椭圆C的左、右顶点，且椭圆C过点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点F作直线l与椭圆C交于两点（不同于），设直线与直线交于点D，证明：点D在定直线上． 【答案】(1)；(2)证明见解析 【分析】（1）由椭圆定义得到，求出，结合焦点坐标，得到，得到椭圆方程； （2）设直线l的方程为，联立椭圆方程，设，得到两根之和，两根之积，表达出直线和直线的方程，联立求出，解得，故点D在定直线上. 【解析】（1），由椭圆定义知 ， 所以，又， 所以椭圆C的标准方程为 （2）若直线l的斜率为0，此时两点与重合，不合题意，舍去， ，设直线l的方程为， 由，得．    显然恒成立，设， 所以有① 直线的方程为，直线的方程为， 联立两方程可得，所以， ， 由①式可得， 代入上式可得， 即，解得，故点D在定直线上. 91.已知、是椭圆的左、右顶点，椭圆的长轴长是短轴长的倍，点与椭圆上的点的距离的最小值为． (1)求椭圆的离心率和标准方程； (2)求点的坐标； (3)过点作直线交椭圆于、两点（与、不重合），连接、交于点．证明：点在定直线上； 【答案】(1)离心率为，标准方程为；(2)；(3)证明见解析 【分析】（1）根据椭圆的几何性质可求出的值，进而可求得的值，由此可得出椭圆的离心率及其标准方程； （2）设，利用两点间距离公式得，然后根据、分类讨论求解即可； （3）设直线的方程为，、，与椭圆方程联立方程，结合韦达定理得，写出直线、的方程，进而求解即可； 【解析】（1）由题意可知，椭圆的长轴长为，短轴长为， 由题意可得，则， 因此，椭圆的离心率为，其标准方程为. （2）设是椭圆上一点，则， 因为 若时，则，，解得（舍去）， 若时，则，则，解得（舍去）或， 所以点的坐标为. （3）设直线的方程为，、， 由，得，所以，， 所以，① 由，得或， 易知直线的方程为，② 直线的方程为，③ 联立②③，消去，得，④ 联立①④，消去，则， 解得，即点在直线上. 92.已知动点P与两定点，连线的斜率之积为，记P的轨迹为曲线 (1)求点P的轨迹E的方程; (2)设点，点，求的最大值; (3)过点作直线l交曲线E于C、D两点，连接AC、BD交于点证明：点G在定直线上. 【答案】(1)；(2)；(3)证明见解析. 【分析】（1）应用斜率两点式及，求轨迹方程； （2）根据椭圆的定义有求最值； （3）设直线l的方程为，、，联立轨迹方程，得到韦达公式，写出直线AC、BD的方程，进而整理化简得到，即可证结论. 【解析】（1）设，则，， 由，得，整理得， 故点P的轨迹方程E为. （2）由（1）知，点P的轨迹为除去长轴端点的椭圆，其中，，， 故点为椭圆的左焦点，设椭圆的右焦点为， 因为，所以点N在椭圆内， 由椭圆的定义得， 当P，N，三点共线(在线段PN上)时取等号， 所以的最大值为； （3）设直线l的方程为，、， 由，得， 所以，，所以①， 由，得或 易知直线AC的方程为②，直线BD的方程为③， 联立②③，消去y，得，④， 联立①④，消去，则，解得， 即点G在定直线上，得证. 93.椭圆的焦距为，且经过点.如图，椭圆的右顶点为，上顶点为，直线与直线平行且交椭圆于点两点，连接交于点. （1）求椭圆的方程； （2）若直线的斜率分别为，证明为定值； （3）证明：点在一条定直线上. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）证明见解析 【分析】（1）由题可得，再将已知点代入椭圆方程，联立可求出和的值，从而得到椭圆方程； （2）运用点差法，借助三点共线可解；或利用韦达定理法结合条件即得； （3）由（2）中求出P点横纵坐标关系直接可得. 【解析】（1）因为椭圆的焦距， 所以，则，即. 椭圆经过点，将其代入椭圆方程得到. 联立解得， 故椭圆的方程为. （2）法1.，取中点， 设中点， ，即， 即，故在直线上，即， 由平面几何易知：共线，故可设， 则定值； 法2. ， 设， ， （3）法1.由（2）法1知：在定直线上. 法2.由（2）法2知:， 故点P在定直线上. 94.已知椭圆上的点到其右焦点的最大距离为3． (1)求椭圆的方程； (2)设椭圆的左、右顶点分别为，过点的直线与椭圆交于两点（异于）． ①若的面积为，求直线的方程； ②若直线与直线交于点，证明：点在一条定直线上． 【答案】(1);(2)① ；②证明见解析 【分析】（1）由题意可得，求出即可求解； （2）①设直线的方程和，联立椭圆方程，利用韦达定理，表示出弦长，结合点到直线的距离公式和三角形面积公式建立方程，解之即可求解； ②联立直线可得，由①知，化简计算即可求解. 【解析】（1）由题意可知，，所以． 又， 所以椭圆的方程为； （2）①设过点的直线方程为，点， 联立，得， 则， 则． 又因为点到直线的距离． 令，解得， 所以直线的方程为． ②由①知， 则直线，直线， 由，整理得． 由①知，得， 所以， 即，解得， 所以点在直线上．    1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 椭圆方程及其性质（12个题型） 考点01 椭圆定义及椭圆的标准方程 考点02 轨迹问题——椭圆 考点03 利用方程表示椭圆求参数范围 考点04 椭圆中和、差最值问题 考点05 椭圆中焦点三角形问题 考点06 椭圆离心率问题 考点07 椭圆中的中点弦问题 考点08 椭圆的最值与范围问题 考点09 椭圆中的面积问题 考点10 椭圆中的定点问题 考点11 椭圆中的定值问题 考点12 椭圆中的定直线问题 考点01 椭圆定义及椭圆的标准方程 1．已知为椭圆上一点，分别为的左、右焦点，且，则（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．已知椭圆的两个焦点坐标分别是，并且经过点，则它的标准方程为（  ） A． B． C． D． 3.若椭圆焦点在轴上且椭圆经过点，，则该椭圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 4.已知椭圆过点和点，则此椭圆的标准方程是（  ） A． B．或 C．D．以上都不对 5.已知椭圆的离心率为，且过点，则的方程为（   ） A． B． C． D． 6.阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积公式，设椭圆的长半轴长、短半轴长分别为，，则椭圆的面积公式为．若椭圆的离心率为，面积为，则椭圆的标准方程为（  ） A．或 B．或 C．或 D．或 7.直线与椭圆交于，两点，为椭圆左焦点.则周长最大值是__________ . 8.已知椭圆：，左、右焦点分别为，，求下列椭圆的标准方程： （1）长轴长为4，上顶点为A，其中直线的斜率为； （2）上顶点为，到直线的距离为，且； （3）左，右顶点分别为 ，上顶点M与左，右顶点连线 的斜率乘积为，焦距为； 考点02 轨迹问题——椭圆 9.已知曲线，从上任意一点向轴作垂线段，为垂足（若在轴上，即为），则线段的中点的轨迹方程为（  ） A． B． C． D． 10.已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上任意一点，则的中点的轨迹是（  ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆 11.在圆上任取一点P，过点P作x轴的垂线段，D为垂足，M是线段上的点，且，当点P在圆上运动时，则点M的轨迹方程是（ ） A．+=1(y) B．+=1(y) C．+=1(y) D．+=1(y) 12.已知，是圆：上一动点，线段的垂直平分线交线段于点，则动点的轨迹方程为（  ） A． B． C． D． 13.已知动圆P与圆：相切，且与圆：内切，记圆心P的轨迹为曲线C，则曲线C的方程为 ． 考点03 利用方程表示椭圆求参数范围 14．方程表示椭圆的充要条件是（  ） A． B． C． D．或 15.若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围是（  ） A． B． C． D． 16.若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 17.“”是“方程 表示椭圆”的（      ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 18.（多选）若方程表示椭圆，则实数的取值可能是（  ） A．3 B．4 C．5 D．6 19.方程所表示的曲线是椭圆，则的取值范围是 . 考点04 椭圆中和、差最值问题 20．为椭圆上任意一点，，，则的最大值为（  ） A． B． C． D． 21.已知点，且是椭圆的左焦点，是椭圆上任意一点，则的最小值是（  ） A． B． C． D． 22.已知点，，分别是椭圆：的左，右焦点，P是椭圆C上的一动点，则的最小值是（  ） A． B． C． D． 23.已知点是椭圆上一动点，是圆上一动点，点，则的最大值为（  ） A． B． C． D． 24.设为椭圆上一动点，分别为椭圆的左､右焦点，已知点，则的最小值为（  ） A．2 B．3 C．4 D．5 25.已知椭圆的左、右焦点分别为，，为上任意一点，为圆上任意一点，则的最小值为 . 26.已知为椭圆的右焦点，是椭圆上一动点，点为圆上一动点，则的最大值是 . 27.设为椭圆上一动点，分别为椭圆的左､右焦点，已知点，则的最小值为____________ 考点05 椭圆中焦点三角形问题 28．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，则的周长为（  ） A． B． C． D． 29.椭圆：的上、下顶点分别为，，椭圆：与的一个交点为M，则的周长为（  ） A．4 B． C． D．6 30.已知椭圆的方程为，过椭圆中心的直线交椭圆于A、B两点，是椭圆的右焦点，则的周长的最小值为（  ） A．8 B． C．10 D． 31.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上.若，则的面积为（  ） A．2 B．4 C．8 D．9 32.已知是椭圆的两个焦点，点在上，且，则的面积为（  ） A．3 B．4 C．6 D．10 33.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P在椭圆上，当的面积为1时，等于（  ） A．0 B．1 C．2 D． 34．设分别是离心率为的椭圆的左、右焦点，过点的直线交椭圆于两点，且，则（  ） A． B． C． D． 35.点P是椭圆上一点，，是椭圆的两个焦点，且的内切圆半径为1，当点P在第一象限时，P点的纵坐标为（ ） A．2 B． C． D． 36.（多选）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，M为椭圆C上任意一点，则下列说法正确的是（  ） A．的周长为6 B．面积的最大值为 C．的取值范围为 D．的最小值为 37.（多选）已知是椭圆上一点，、为其左、右焦点，且的面积为，则下列说法正确的是（  ） A．点纵坐标为 B．的周长为 C． D．的内切圆半径为 38.（多选）（24-25高二上·四川自贡·期末）已知椭圆 为左，右焦点. O为原点，P为椭圆上一点， 下列说法正确的是 （  ） A．满足条件的P点总共有4个 B．=4 C．|PO|=3 D． 39.设，为椭圆的两个焦点，为上一点且在第一象限，若为等腰三角形，则的面积为____________ 40.已知分别为椭圆的左、右焦点，点关于直线的对称点Q在椭圆上，若P是椭圆上的一点，且，则 ． 41.已知椭圆的左右焦点分别为，，点在椭圆上且在轴上方，若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则的面积为 . 42.设、是椭圆的两个焦点，若椭圆上点满足，记的外接圆和内切圆半径分别是、，则的值为 . 43.已知F1，F2分别为椭圆C：的左、右焦点，C上存在一点A，使，点B满足，∠F1AF2的平分线交直线OB于点D，，则椭圆C的标准方程为 ． 考点06 椭圆离心率问题 44．已知椭圆的左、右焦点分别为线段上有一点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于B,C两点，且则椭圆C的离心率为（  ） A． B． C． D． 45.已知椭圆：的左、右焦点分别为、，以为圆心的圆与轴交于，两点，与轴正半轴交于点，线段与交于点.若与的焦距的比值为，则的离心率为（  ） A. B. C. D. 46.已知直线与椭圆交于两点，椭圆的左、右焦点分别为、，四边形为矩形，若，则椭圆的离心率是（  ） A． B． C． D． 47.设分别是椭圆的左右焦点，若椭圆C上存在点P，使线段的垂直平分线过点，则椭圆离心率的取值范围是（  ） A． B． C． D． 48.记椭圆的离心率为，若，则实数的取值范围为（  ） A． B． C． D． 49.已知椭圆的左､右焦点分别为，且椭圆上存在点P，使得，则该椭圆的离心率的取值范围是（  ） A． B． C． D． 50.已知、是椭圆长轴的两顶点，是椭圆上的一点，直线与斜率之积，则此椭圆的离心率取值范围是（  ） A． B． C． D． 51.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的右焦点为F，右顶点为A，上、下顶点分别为，，点D在线段上，且．若，则C的离心率为（  ）． A． B． C． D． 52.加斯帕尔·蒙日是18~19世纪法国著名的几何学家，他在研究时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”.已知椭圆：，若直线：上存在点P，过P可作C的两条互相垂直的切线，则椭圆离心率的取值范围是 . 53.椭圆的左、右焦点分别为，P是椭圆上一点，直线的斜率为2，，则椭圆的离心率为 ． 54.法国著名数学家蒙日发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，且方程为，这个圆被称为“蒙日圆”．已知椭圆的焦点在轴上，A，B为椭圆上任意两点，动点在直线上．若恒为锐角，则椭圆的离心率的取值范围为 ． 55.已知、分别为椭圆的左、右焦点，为右顶点，、为上、下顶点，若在线段上存在（不含端点），使得，则椭圆的离心率的取值范围为_____________ 考点07 椭圆中的中点弦问题 56．已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于，两点，若的中点坐标为，则的方程为（   ） A． B． C． D．   57．已知椭圆，过点的直线交椭圆于A，B两点，且P为线段的中点，则直线的方程为（ ） A． B． C． D． 58.过点作斜率为的直线与椭圆相交于，，若是线段的中点，则（   ） A． B． C． D．2 60.直线经过椭圆的左焦点，且与椭圆交于两点，若为线段中点，，则椭圆的离心率为（  ） A． B． C． D． 61.（多选）已知点，若斜率为1的直线l与椭圆C：（）交于A，B两点，且线段AB的中点坐标为，点P在椭圆C上，则的值可能为（  ） A． B． C．1 D．3 62．已知原点为，椭圆与直线交于两点，线段的中点为，若直线的斜率为，则椭圆的离心率为__________ 63.在平面直角坐标系中，已知点，点，直线相交于点，且它们的斜率之积是. (1)求动点的轨迹方程； (2)若直线与点的轨迹交于两点，线段的中点为.若直线的斜率为1，求线段的长. 考点08 椭圆的最值与范围问题 64．已知椭圆，则椭圆上的点到点的距离的最大值是（  ） A． B． C． D． 65.(多选)已知定点为椭圆上一动点，满足：当取得最小值时点恰为椭圆的右顶点，则的值可以是（  ） A． B． C． D． 66.已知为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为，点在上，，且为上一个动点，则（   ） A． B．的长轴长为4 C．的最小值为 D．的最大值是 67.平面内到两定点距离之积为常数此常数不为的点的轨迹称为卡西尼卵形线.已知在平面直角坐标系xOy中，，，动点P满足，其轨迹为一条连续的封闭曲线C，如图所示，则下列结论正确的是（  ） A．曲线C与x轴交点的坐标为， B．周长的最小值为8 C．若直线与曲线C只有一个交点，则k的取值范围是 D．面积的最大值为2 68.已知是椭圆的左焦点，过椭圆上一点P作直线与圆相切，切点为Q，则的最大值是____________ 69．已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，上、下顶点分别为，且四边形的面积为．若为椭圆上的两点，直线斜率存在且（其中为坐标原点，分别为直线的斜率），为中点，则的最小值为 ． 70.已知椭圆过点，且离心率为.直线经过点 (1)求椭圆的方程； (2)当直线与椭圆相切时，求两切点所在的直线方程 (3)若直线与交于不同两点，动直线与直线分别交于点和为线段的中点，求的最小值. 71.已知椭圆：的离心率，点在上. (1)求椭圆的方程； (2)已知椭圆的左顶点为A，过点A作斜率为的直线交椭圆于点P，交y轴于点D，若过原点作直线的平行线交椭圆于点E，求的最小值. 72.已知椭圆的离心率为，且过点，分别为椭圆的左右顶点，点是椭圆上异于的动点，直线与直线分别交于两点． (1)求椭圆的方程 (2)求线段的长度的最小值 考点09 椭圆中的面积问题 73．已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于点A，B两点，若面积是的2倍，则（  ） A． B．或 C． D． 74．（多选）平面内到两定点的距离之积为定值的点的轨迹叫做卡西尼卵形线，卡西尼卵形线是天文学家卡西尼在研究卫星运行规律时发现的.已知曲线上的点到与的距离之积为2，则下列结论正确的是（  ） A．曲线的方程为 B．曲线关于轴对称 C．曲线围成的图形面积不超过 D．面积的最大值为1 75.已知椭圆的左右焦点分别为，，离心率，点分别是椭圆的右顶点和上顶点，且,直线，均过右焦点，且它们的斜率乘积为，设，分别与椭圆交于点和若分别是线段和的中点，则面积的最大值为________________. 76．已知椭圆． (1)若M是椭圆C的焦点，求b的值； (2)若P为椭圆在第一象限上的点，A，B分别为椭圆的上顶点和右顶点，直线PA，PB分别与x轴和y轴交于点S和T．记，面积分别为，若为定值，求椭圆C的标准方程． 77．知椭圆的离心率为，椭圆的左，右焦点与短轴两个端点构成的四边形面积为. (1)求椭圆的方程； (2)若直线与轴交于点，与椭圆交于两点，过点作轴的垂线交椭圆交于另一点，求面积的最大值. 78.已知椭圆：左顶点离心率B为第一象限内椭圆上一点，过B作椭圆的切线交直线于点 (1)求椭圆的标准方程； (2)过点A且平行于BP的直线与椭圆的另一个交点为C，直线AC交BO延长线于点M，记的面积分别为 （i）证明：； （ii）当时，求直线AC的方程． 79.已知椭圆的长轴为，椭圆的离心率，左右焦点分别记作、，且，过、分别作直线、交椭圆于、（在轴上方），且； (1)求此椭圆方程． (2)当直线的斜率与直线的斜率都存在时，求证：为定值． (3)求四边形面积的最大值． 考点10 椭圆中的定点问题 80．已知椭圆四个顶点的四边形为菱形，它的边长为，面积为，过椭圆左焦点与椭圆相交于M，N两点（M，N两点不在轴上），直线的方程为：，过点作垂直于直线并交于点. (1)求椭圆的标准方程； (2)求证：直线过轴上一定点，并求出此定点坐标； (3)点为坐标原点，求面积的最大值. 81.已知椭圆的离心率为，长轴长为，直线与轴，轴分别交于点（均不与坐标原点O重合），与椭圆相交于两点. （1）求的方程； （2）直线的斜率为时，求与的面积之比； （3）椭圆右顶点为，当时，直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由. 82.已知椭圆四个顶点的四边形为菱形，它的边长为，面积为，过椭圆左焦点与椭圆相交于M，N两点（M，N两点不在轴上），直线的方程为：，过点作垂直于直线并交于点. （1）求椭圆的标准方程； （2）求证：直线过轴上一定点，并求出此定点坐标； 考点11 椭圆中的定值问题 83．已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为椭圆上一动点，面积的最大值为2．    (1)求椭圆的方程； (2)若分别是椭圆长轴的左、右端点，动点满足：，连接交椭圆于点为坐标原点，证明：为定值； 84.已知椭圆的任意两条相互垂直的切线交点的轨迹是圆，称为椭圆的蒙日圆，其方程为．已知椭圆的两个焦点分别为，为坐标原点，点在椭圆上． (1)求的标准方程； (2)已知直线与交于两点，且，求面积的取值范围； (3)过的蒙日圆上一点，作的一条切线，与蒙日圆交于另一点，若直线，的斜率存在，设与的斜率分别为，证明：为定值． 85.已知椭圆，平行四边形的四个顶点在椭圆上，直线的斜率分别为． （1）求直线在y轴上的截距之和； （2）若四边形为菱形，证明：直线之间的距离为定值； 86.已知离心率为的椭圆的左，右焦点分别为，点在椭圆上，且的周长为. （1）求椭圆的方程； （2）设椭圆的左，右顶点分别为，过点的直线与椭圆交于两点（不同于左，右顶点），记直线的斜率为，直线的斜率为，证明：为定值. 87.已知椭圆的右顶点为，离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）过点作斜率为的直线与椭圆交于不同的两点.在轴上是否存在点使得直线与直线的斜率之和为0？若存在，求出点的坐标：若不存在.说明理由. 88.已知椭圆的短轴长为2，离心率为，左、右焦点分别为，点P为直线上且不在x轴上的任意一点，直线，与椭圆的交点分别为A，B和C，D，O为坐标原点. （1）求椭圆E的标准方程; （2）设直线，的斜率分别为， ①求的值; ②若直线OA，OB，OC，OD的斜率之和为0，求点P的坐标. 89.已知椭圆过点，且离心率为． （1）求椭圆的标准方程； （2）已知动圆与椭圆相交于、、、四个不同的点，直线、相交于点，记直线、的斜率分别为、． ①比较与的大小（不要给出证明）； ②试问是否为定值，如果为定值，求出定值；如果不为定值，请说明理由． 考点12 椭圆中的定直线问题 90.已知为椭圆的右焦点，分别为椭圆C的左、右顶点，且椭圆C过点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点F作直线l与椭圆C交于两点（不同于），设直线与直线交于点D，证明：点D在定直线上． 91.已知、是椭圆的左、右顶点，椭圆的长轴长是短轴长的倍，点与椭圆上的点的距离的最小值为． (1)求椭圆的离心率和标准方程； (2)求点的坐标； (3)过点作直线交椭圆于、两点（与、不重合），连接、交于点．证明：点在定直线上； 92.已知动点P与两定点，连线的斜率之积为，记P的轨迹为曲线 (1)求点P的轨迹E的方程; (2)设点，点，求的最大值; (3)过点作直线l交曲线E于C、D两点，连接AC、BD交于点证明：点G在定直线上. 93.椭圆的焦距为，且经过点.如图，椭圆的右顶点为，上顶点为，直线与直线平行且交椭圆于点两点，连接交于点. （1）求椭圆的方程； （2）若直线的斜率分别为，证明为定值； （3）证明：点在一条定直线上. 94.已知椭圆上的点到其右焦点的最大距离为3． (1)求椭圆的方程； (2)设椭圆的左、右顶点分别为，过点的直线与椭圆交于两点（异于）． ①若的面积为，求直线的方程； ②若直线与直线交于点，证明：点在一条定直线上． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $