专题05 抛物线（13个题型）（高效培优期末专项训练）数学苏教版2019高二选择性必修第一册

专题05 抛物线方程及其性质（13个题型） 考点01 抛物线定义及轨迹方程 考点02 抛物线的标准方程 考点03 抛物线中距离最值问题 考点04 抛物线中的焦半径公式及应用 考点05 抛物线中的中点弦问题 考点06 抛物线中的焦点弦问题 考点07 直线与抛物线的位置关系 考点08 抛物线中的面积问题 考点09 抛物线的最值与范围问题 考点10 抛物线中的定点问题 考点11 抛物线中的定值问题 考点12 抛物线中的定直线问题 考点13 抛物线中的探究性、存在性问题 考点01 抛物线定义及轨迹方程 1．已知抛物线上的点的横坐标为4，抛物线的焦点为．若，则的值为（  ） A．18 B．9 C．4 D．2 2.已知动点到点的距离比它到直线的距离大1，则动点的轨迹方程为（  ） A． B． C． D． 3.已知圆心在轴上移动的圆经过，且与轴，轴分别交于两个动点，过分别作轴，轴的垂线，两条垂线的交点记为，则点的轨迹为（  ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 4.已知动圆M与直线y=2相切，且与定圆 外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（  ） A． B． C． D． 5．已知平面直角坐标系中不同的三点，，，圆心在轴上的圆经过三点，设点的坐标为，则点的轨迹方程为 ． 6.已知点到定点的距离比它到轴的距离大，则 ，点的轨迹点的方程为 ． 7.如图，设抛物线的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在该抛物线上，点C在y轴上，若，，则__________ 考点02 抛物线的标准方程 8．若抛物线上一点到其焦点的距离为9，则该抛物线的方程为（  ） A． B． C． D． 9.点到抛物线的准线的距离为6，那么该抛物线的标准方程是（  ） A． B．或 C． D．或 10．已知O为坐标原点，F为抛物线的焦点，点在C上，且，则C的方程为（  ） A． B． C． D． 11.请写出一条与直线无公共点的抛物线的标准方程： .（写出一个即可） 12.求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程： (1)焦点在轴上，，； (2)焦点在轴上，，的双曲线的标准方程； (3)经过点的抛物线的标准方程. 考点03 抛物线中距离最值问题 13．已知抛物线，点在抛物线上，点，若P点是抛物线上的动点，则的最小值为（  ） A．8 B． C．9 D．3 14．（多选）已知点，点在曲线上运动，点在圆上运动，则的值可能是（  ） A．1 B．3 C．4 D．5 15.已知直线，点，点，动点到点的距离比到直线的距离小2，则的最小值为（  ） A．4 B．6 C．7 D．8 16.已知点是抛物线上的动点，定点，则到点的距离与到轴的距离之和的最小值为（  ） A． B． C． D． 17．（多选）已知为抛物线上一点，为的焦点，直线的方程为，则下列说法正确的有（  ） A．若，则 B．点到直线的距离的最小值为 C．点到直线与到直线的距离之和的最小值为2 D．若存在点，使得过点可作两条垂直的直线与圆相切，则的取值范围为 18.(多选)抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出.反之，平行于抛物线对称轴的光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线为坐标原点，一束平行于轴的光线从点射入，经上的点反射后，再经上另一点反射后，沿直线射出，经过点，则（  ） A．平分 B． C．直线，直线与抛物线的准线相交于同一点 D．点是轴上一动点，当最小时，点的坐标为 19．已知是抛物线上一动点，若点到轴的距离为，到圆上的动点的距离为，则的最小值为_______________ 20.已知抛物线的焦点为，点为该抛物线上的动点，点，则的最大值为 ． 21.已知为抛物线上的动点，，为两个定点，若周长的最小值为18，则的值为 . 22.已知抛物线的焦点为，定点，若对抛物线上任一动点，都有恒成立，则的最小值为__________ 23.已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是___________ 考点04 抛物线中的焦半径公式及应用 24.已知点在曲线上，，其中点的坐标为，则（  ） A．2 B． C． D．3 25．在抛物线上有三点A，B，C，F为其焦点，且F为ABC的重心，则（  ） A．6 B．8 C．9 D．12 26.已知抛物线C：（）的焦点为，点是C上一点，点是其准线上一点，若，，，则的值为（  ） A． B．1 C． D．2 27.设抛物线的焦点为F，过C上一点A作其准线的垂线，设垂足为B，若，则（  ） A．2 B．3 C．4 D．5 28.知抛物线：（）的焦点为，过点且垂直于轴的直线与交于两点，，点在上，则（  ） A．4 B．5 C．6 D．7 29.已知抛物线的焦点为，点为上的不同两点，若线段的中点到轴的距离为2，则的最大值为（  ） A．3 B．6 C．9 D．36 30.(多选)已知抛物线的焦点为F，A，B是抛物线上两动点，且的最小值为1，M是线段AB的中点，是平面内一定点，则（  ） A． B．若，则M到x轴距离为4 C．若，则 D．的最小值为4 31．若过抛物线的焦点F的直线l交抛物线于A、B两点，且直线l的倾斜角，点A在x轴上方，则的取值范围是______． 考点05 抛物线中的中点弦问题 32．已知斜率为2的直线与曲线交于两点，则线段的中点的轨迹方程为（  ） A． B． C． D． 33．已知动点P到定点的距离比它到直线的距离大1，直线与动点的轨迹交于A， B两点，且线段AB的中点为，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 34．过点的直线与抛物线相交于两点，若恰为的中点，则线段的长为 . 35．已知动点到点的距离比它到直线的距离小2，记动点的轨迹为. (1)求的方程； (2)直线与相交于，两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程. 36.已知直线与抛物线C：交于M，N两点，，O为坐标原点． (1)求p； (2)过点作直线l交抛物线于A，B两点，且点P是线段AB的中点，求三角形OAB的面积． 考点06 抛物线中的焦点弦问题 37．已知抛物线的焦点为，过且斜率为的直线交抛物线于，两点，若，则（  ） A． B．1 C． D．2 38.（多选）（24-25高二上·江苏·期末）已知A，B是抛物线：上两动点，为抛物线的焦点，则（ ） A．直线AB过焦点F时，最小值为4 B．直线AB过焦点F且倾斜角为时， C．若AB中点M的横坐标为2，则最大值为5 D． 39.（多选）已知抛物线，准线为，过焦点的直线交抛物线于两点，过分别作的垂线，垂足分别为，则（  ） A． B．若，则直线的斜率为 C．三点共线（其中为坐标原点） D． 40.(多选)已知为平面直角坐标系的原点，抛物线的焦点到准线距离为2，过抛物线的焦点的直线与抛物线交于两点，则（  ） A．当与轴垂直时， B．是钝角 C．设点的横坐标为，点的横坐标为，则 D．延长与准线交于，则 41.(多选)已知抛物线的焦点为F，其准线l与x轴交于点A，O为坐标原点，过F的直线与C交于B，D两点，过B，D作l的垂线，垂足分别为E，G，则（  ） A．若直线BD的斜率为1，则 B．以BD为直径的圆与y轴相切 C． D．B，O，G三点共线 42．过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，若，那么 ． 考点07 直线与抛物线的位置关系 43．“”是“直线与抛物线只有一个公共点”的（　 ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 44．（多选）已知抛物线过点，则（  ） A．拋物线的标准方程可能为 B．抛物线的标准方程可能为 C．过点与抛物线只有一个公共点的直线有一条 D．过点与抛物线只有一个公共点的直线有两条 45．（多选）若直线被圆所截的弦长不小于2，则下列曲线中，与直线一定有公共点的是（  ） A． B． C． D． 46.（多选）已知直线l：，抛物线C：，则下列结论正确的是（   ） A．直线l过定点 B．当时，直线l与抛物线C相切 C．当时，直线l与抛物线C有两个公共点 D．当直线l与抛物线C无公共点时，或 47．已知抛物线方程，过点的直线与抛物线只有一个交点，这样的直线有______条 48.设抛物线的准线与轴交于点，若过点的直线与抛物线有公共点，则直线的斜率的取值范围是________________ 考点08 抛物线中的面积问题 49.已知抛物线的焦点为，点是抛物线上位于第一象限的点，若，则的面积为（  ） A．1 B． C．2 D． 50.设O为坐标原点，直线与抛物线交于A，B两点，与C的准线交于点M．若，点F为C的焦点，则与的面积之比为（  ） A． B． C． D． 51.已知 是抛物线的焦点，， 是经过点的弦且，的斜率为，且，， 两点在 轴上方，则下列结论中成立的是（  ） A． B．若，则 C． D．四边形 面积的最小值为 52.已知抛物线，从抛物线内一点发出平行于轴的光线经过扡物线上点反射后交抛物线于点，则的面积为 . 53．已知抛物线的焦点为，为抛物线上一点，延长交抛物线于点．抛物线的准线与轴的交点为，． (1)求抛物线的方程； (2)求△的面积． 54.已知直线l与椭圆交于两点，的中点坐标为． (1)求l的方程； (2)若l与抛物线交于M，N两点，求的面积（O为坐标原点）． 55.已知抛物线的焦点为F，过F的直线l交C于A，B两点，过F与l垂直的直线交C于D，E两点，其中B，D在x轴上方，M，N分别为AB，DE的中点．    (1)证明：直线MN过定点； (2)设G为直线AE与直线BD的交点，求面积的最小值． 56.已知抛物线（）过点，其焦点为，若. (1)求的值以及抛物线的方程； (2)过点斜率为的直线交抛物线于，两点，求面积的取值范围. 考点09 抛物线的最值与范围问题 57.已知抛物线 的焦点是圆 的圆心，过点的直线与相交，交点自上而下分别为，则的取值范围为（  ） A． B． C． D． 58.已知抛物线的弦的中点横坐标为5，则的最大值为（  ） A．12 B．11 C．10 D．9 59.已知点，是抛物线上上不同的两点，为抛物线的焦点，且满足，弦的中点到直线的距离记为，若不等式恒成立，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 60.(多选)已知抛物线的焦点为，准线为，过点作斜率为的直线与相交于两点，为弦的中点，于点，为与的交点，则（  ） A． B． C． D．若，且，则的取值范围为 61.抛物线的焦点为，准线为，，是抛物线上的两个动点，且满足．设线段的中点在准线上的投影为，则的最大值是 ． 62．已知为抛物线的焦点，为上的一点，且，过点的直线与交于两点． (1)求抛物线的方程； (2)求的最大值． 63.平面直角坐标系中，已知曲线上任意一点到点的距离比到直线的距离大1． (1)求曲线的方程； (2)过点作两条互相垂直的直线、，直线与曲线交于、两点，直线与曲线交于、两点，求的最小值． 考点10 抛物线中的定点问题 64.已知抛物线C：内有一点，过点A作直线l与该抛物线交于P、Q两点，经过点和点Q的直线与该抛物线交于另一点T，则直线PT过定点的坐标为（　 ） A． B． C． D． 65.已知点，是平面上一动点，以为直径的圆与轴相切，设动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的轨迹方程； (2)已知点，为不过点的直线与曲线的交点，直线的斜率记为，直线的斜率记为，若，求证：直线过定点，并求出定点坐标． 66．在平面直角坐标系中，过原点直线交抛物线于另一点，且. (1)求抛物线方程； (2)已知为抛物线上两动点，且关于轴对称，，连接交抛物线于点，直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标. 67.已知抛物线的焦点为，点在拋物线上，且的面积为（为坐标原点）． (1)求抛物线的标准方程； (2)点、是抛物线上异于原点的两点，直线、的斜率分别为、，若，求证：直线恒过定点． 68.已知直线与抛物线交于两点，且分别在第一、二象限，为线段的中点．设在点处的切线交于点，为曲线段（不含端点）上一点，在点处的切线与直线分别交于点． (1)证明：直线轴； (2)设的外接圆为圆，问：圆是否过定点（点除外）？若过定点，求出定点坐标；不过定点，请说明理由． 69．在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为上有两个不同动点. (1)若直线过点，求证：； (2)已知定点，若线段的长度依次成等差数列；求证：线段的垂直平分线经过一个定点； 考点11 抛物线中的定值问题 70.已知点是抛物线：上的一点，点，是上异于点的不同的两点． (1)求的标准方程； (2)若直线，的斜率互为相反数，求证：直线的斜率为定值，并求出此定值． 71.已知抛物线的焦点为． (1)求的方程； (2)若过点的直线与抛物线交于，两点．是否为定值？若为定值，求出此定值；若不为定值，请说明理由． 72.已知抛物线的焦点为F，点在C上，且，其中O为坐标原点，过点的直线l与C相交. (1)求C的方程； (2)若l与C仅有一个公共点且斜率存在，求l的斜率； (3)若l与C交于M，N两点，记直线OM与直线ON的斜率分别为，，证明：为定值，并求出该定值. 73.已知直线与抛物线交于两点，且分别在第一、二象限，为线段的中点．设在点处的切线交于点，为曲线段（不含端点）上一点，在点处的切线与直线分别交于点． （1）证明：直线轴； （2）四边形的面积为定值； 74.已知直线与抛物线交于，两点，且，过椭圆的右顶点的直线交于抛物线于，两点. (1)求抛物线的方程； (2)若P为上一点，PA，PB与x轴相交于M，N两点，问M，N两点的横坐标的乘积是否为定值？如果是定值，求出该定值，否则说明理由； 考点12 抛物线中的定直线问题 75.已知抛物线：. (1)过抛物线的焦点，且斜率为的直线交抛物线于，两点，求； (2)直线过点且与抛物线交于，两点，过，分别作抛物线的切线，这两条切线交于点.证明：点在定直线上. 76.已知抛物线的焦点为，设动点的坐标为． (1)若，求过点与抛物线有且只有一个公共点的直线方程； (2)设过动点的两条直线均与相切，且的斜率分别为，满足．证明：动点在一条定直线上． 77.抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于，两点，在处的切线与在处的切线交于点. (1)求抛物线的方程； (2)证明：点在定直线上 78.已知抛物线，过点的直线与交于不同的两点.当直线的倾斜角为时，. (1)求的方程； (2)在线段上取异于点的点，且满足，试问是否存在一条定直线，使得点恒在这条定直线上？若存在，求出该直线；若不存在，请说明理由. 考点13 抛物线中的探究性、存在性问题 79.已知抛物线的焦点为F，直线l与抛物线C交于，两点，，点O为坐标原点，. (1)求抛物线C的方程; (2)证明：直线l过定点，并求出该定点坐标; (3)若点，直线AQ，BQ分别与抛物线C相交于M，N两点异于A，B两点，记的面积为，记的面积为，试判断是否为定值，若为定值，则求出此定值;若不为定值，请说明理由． 80.已知直线与抛物线交于，两点，且，过椭圆的右顶点的直线交于抛物线于，两点. (1)求抛物线的方程； (2)若射线OA，OB分别与椭圆C交于点D，E，点O为原点，，的面积分别为，，问是否存在直线l使？若存在求出直线l的方程，若不存在，请说明理由. 81．如图，已知抛物线的方程为，焦点为，过抛物线内一点作抛物线准线的垂线，垂足为，与抛物线交于点，已知，，. (1)求的值； (2)斜率为的直线过点，且与曲线交于不同的两点，，若存在，使得，求实数的取值范围. 82．如图所示，已知开口方向向上、顶点在原点的抛物线上的纵坐标为1的点到焦点的距离为2． (1)求抛物线的方程． (2)已知是直线上的动点，为抛物线的两条切线，为切点． ①求证：直线过定点； ②抛物线上是否存在定点使得以为直径的圆恰过定点？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 抛物线方程及其性质（13个题型） 考点01 抛物线定义及轨迹方程 考点02 抛物线的标准方程 考点03 抛物线中距离最值问题 考点04 抛物线中的焦半径公式及应用 考点05 抛物线中的中点弦问题 考点06 抛物线中的焦点弦问题 考点07 直线与抛物线的位置关系 考点08 抛物线中的面积问题 考点09 抛物线的最值与范围问题 考点10 抛物线中的定点问题 考点11 抛物线中的定值问题 考点12 抛物线中的定直线问题 考点13 抛物线中的探究性、存在性问题 考点01 抛物线定义及轨迹方程 1．已知抛物线上的点的横坐标为4，抛物线的焦点为．若，则的值为（  ） A．18 B．9 C．4 D．2 【答案】D 【分析】由抛物线的焦半径公式，可直接得到答案. 【解析】由抛物线定义得， 又，解得． 故选：D 2.已知动点到点的距离比它到直线的距离大1，则动点的轨迹方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用抛物线的定义求解即可. 【解析】由题意可知，动点P到点的距离等于它到直线的距离， 由抛物线的定义可知，点P在以为焦点，为准线的抛物线上，其轨迹方程为， 故选：D. 3.已知圆心在轴上移动的圆经过，且与轴，轴分别交于两个动点，过分别作轴，轴的垂线，两条垂线的交点记为，则点的轨迹为（  ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】D 【分析】设圆心坐标为，得到圆的方程为，再分别令和求得点P的坐标求解. 【解析】设圆心坐标为，则圆的方程为， 令，得或，则， 令，得，则， 所以， 所以， 所以点的轨迹为抛物线， 故选：D 4.已知动圆M与直线y=2相切，且与定圆 外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据动圆M与直线y=2相切，且与定圆外切，可得动点M到C（0，-3）的距离与到直线y=3的距离相等，由抛物线的定义知，点M的轨迹是抛物线，由此易得轨迹方程． 【解析】设动圆圆心为M(x，y)，半径为r，由题意可得M到C(0，－3)的距离与到直线y＝3的距离相等, 由抛物线的定义可知，动圆圆心的轨迹是以C(0，-3)为焦点，以y＝3为准线的一条抛物线， 所以，其方程为， 故选：A. 5．已知平面直角坐标系中不同的三点，，，圆心在轴上的圆经过三点，设点的坐标为，则点的轨迹方程为 ． 【答案】 【分析】结合题意得到，再利用平面向量数量积的坐标表示求解轨迹方程即可. 【解析】由题意得圆心在轴上的圆经过点，，三点， 可得线段为圆的直径，而点在圆上，则，得到， 又，，则，而不重合，得到， 故点的轨迹方程为． 故答案为： 6.已知点到定点的距离比它到轴的距离大，则 ，点的轨迹点的方程为 ． 【答案】 或 【分析】利用抛物线轨迹方程的概念求解. 【解析】依题意，得，即①，则，两边平方得，则②，两边平方得，整理得，即，可得或．当时，②转化为，所以，此时①转化为，所以，所以点的轨迹的方程为或． 故答案为: 或． 7.如图，设抛物线的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在该抛物线上，点C在y轴上，若，，则__________ 【答案】 【分析】根据抛物线方程，求出准线方程，根据抛物线上的点到焦点距离求出点的横坐标，在根据相似三角形求出边长的比值即可. 【解析】 如图所示，设，由，， 由可知准线方程为， 根据抛物线定义可得，，故，， 过A，B分别作y轴的垂线垂足为，过B作的垂线，垂足为E， 明显，所以， 故答案为：． 考点02 抛物线的标准方程 8．若抛物线上一点到其焦点的距离为9，则该抛物线的方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将抛物线上点到焦点的距离转化为到准线的距离求解. 【解析】抛物线的准线方程为， 所以点P到焦点的距离为， 所以，抛物线的方程为. 故选：B. 9.点到抛物线的准线的距离为6，那么该抛物线的标准方程是（  ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】将转化为，分类讨论和两种情况，利用抛物线性质，列出关于a的方程求解即可. 【解析】将转化为, 当时，抛物线开口向上，准线方程， 点到准线的距离为，解得， 所以抛物线方程为，即； 当时，抛物线开口向下，准线方程， 点到准线的距离为，解得或（舍去）， 所以抛物线方程为，即. 所以抛物线的方程为或 故选：D. 10．已知O为坐标原点，F为抛物线的焦点，点在C上，且，则C的方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抛物线的定义得，结合得，将代入抛物线的方程即可解得的值，进而得C的方程. 【解析】 由抛物线的定义，得， 又，，则，即， 因此，由点在C上，得，结合，解得， 所以C的方程为． 故选：B． 11.请写出一条与直线无公共点的抛物线的标准方程： .（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】分析出抛物线的开口方向，即可得出满足题意的抛物线的标准方程. 【解析】由题意， 抛物线与直线无公共点， ∴抛物线开口向左，满足的抛物线的标准方程可以为：， 故答案为：.（答案不唯一） 12.求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程： (1)焦点在轴上，，； (2)焦点在轴上，，的双曲线的标准方程； (3)经过点的抛物线的标准方程. 【答案】(1);(2);(3)或 【分析】（1）根据题意求出的值，结合椭圆的焦点位置可得出椭圆的标准方程； （2）根据双曲线的焦点位置可直接得出双曲线的标准方程； （3）对抛物线的焦点位置进行分类讨论，设出抛物线的标准方程，将点的坐标代入抛物线的标准方程，求出参数的值，即可得出抛物线的标准方程. 【解析】（1）由题意可得，解得， 又因为椭圆的焦点在轴上，因此，所求椭圆的标准方程为. （2）焦点在轴上，，的双曲线的标准方程为. （3）若抛物线的焦点在轴上，设抛物线的标准方程为， 将点的坐标代入抛物线方程可得，解得， 此时，抛物线的标准方程为； 若抛物线的焦点在轴上，设抛物线的标准方程为， 将点的坐标代入抛物线的标准方程为，解得， 此时，抛物线的标准方程为. 综上所述，所求抛物线的标准方程为或. 考点03 抛物线中距离最值问题 13．已知抛物线，点在抛物线上，点，若P点是抛物线上的动点，则的最小值为（  ） A．8 B． C．9 D．3 【答案】B 【分析】把点代入抛物线中求出，再设利用两点间距离计算根据二次函数求最值即可. 【解析】因为点在抛物线上，所以，解得， 所以抛物线方程为，设， 则， 所以的最小值为. 故选：B. 14．（多选）已知点，点在曲线上运动，点在圆上运动，则的值可能是（  ）. A．1 B．3 C．4 D．5 【答案】CD 【分析】根据抛物线的定义及圆的性质求出的最小值即可. 【解析】抛物线的焦点，准线，圆的圆心为，半径为1， 过点作于，设点，，， ， 当且仅当三点共线，点位于之间时等号成立， ， 因此， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为4，AB不可能，CD可能. 故选：CD 15.已知直线，点，点，动点到点的距离比到直线的距离小2，则的最小值为（  ） A．4 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】利用定义法可求抛物线方程，也可以利用几何关系代入坐标公式求出抛物线方程，再利用抛物线的几何性质转化线段可求和的最小值. 【解析】方法一：设点，直线， 动点到点的距离比到直线的距离小2， ，化简得， 即点的轨迹是以为焦点，以直线为准线的抛物线． 方法二：设点，直线， 动点到点的距离比到直线的距离小 动点到点的距离等于到直线的距离， 点的轨迹是以为焦点，以直线为准线的抛物线， 即抛物线方程为． 如图，过点作准线的垂线，垂足为，由抛物线的定义，得， 则，当三点共线时， 取得最小值，最小值为． 故选：C． 16.已知点是抛物线上的动点，定点，则到点的距离与到轴的距离之和的最小值为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由抛物线焦半径公式可得，，当且仅当三点共线时，等号成立，从而求出距离之和的最小值. 【解析】抛物线，焦点坐标为，准线方程为， 设到轴的距离为，过点作⊥准线于点， 由抛物线焦半径公式可得，，    则，当且仅当三点共线时，等号成立， 其中，所以到点的距离与到轴的距离之和最小值为. 故选：A. 17．（多选）已知为抛物线上一点，为的焦点，直线的方程为，则下列说法正确的有（  ） A．若，则 B．点到直线的距离的最小值为 C．点到直线与到直线的距离之和的最小值为2 D．若存在点，使得过点可作两条垂直的直线与圆相切，则的取值范围为 【答案】ABD 【分析】对于A，利用定义转化长度，即可利用几何法求出最小值；对于B，利用点到直线的距离公式，消去纵坐标，即得二次函数求其最小值即得；对于C，利用定义转化长度，也可利用几何法求出最小值；对于D，把存在点，使得过点可作两条垂直的直线与圆相切问题转化为圆心距的范围问题，即可求解. 【解析】对于A，抛物线，焦点，准线，， 过点作准线的垂线，垂足为， 再过点作准线的垂线，垂足为， 由抛物线定义可知：，故A正确； 对于B，设点，则， 由点到直线：的距离公式可得： ，故B正确； 对于C，过点作准线的垂线，垂足为， 过点作直线的垂线，垂足为， 过点作直线的垂线，垂足为， 过点作直线的垂线，垂足为， 由点到直线：的距离公式可得：， 则点到直线与到直线的距离之和为： ，故C错误； 对于D， 根据过点可作两条垂直的直线与圆相切，可知， 由于两条切线垂直，可知，即，所以有， 从而把问题转化为抛物线上存在点到圆心的距离为， 先求抛物线上点到圆心的距离： ， 当时，取到最小值， 即，解得，故D正确. 故选：ABD. 18.(多选)抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出.反之，平行于抛物线对称轴的光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线为坐标原点，一束平行于轴的光线从点射入，经上的点反射后，再经上另一点反射后，沿直线射出，经过点，则（  ） A．平分 B． C．直线，直线与抛物线的准线相交于同一点 D．点是轴上一动点，当最小时，点的坐标为 【答案】ACD 【分析】由抛物线的光学性质得轴，直线过点轴，结合点坐标可求出点的坐标，对于A，求出，再结合抛物线的光学性质分析判断，对于B，根据的坐标求解判断，对于C，分别求出直线，直线与抛物线的准线的交点判断，对于D，求出点关于轴的对称点，则，当直线与轴的并点为时，最小，从而可求出点的坐标. 【解析】如图，由抛物线，得其焦点为，准线方程为. 由抛物线的光学性质得轴，直线过点轴. 因为，所以，即，代入，得，则， 所以直线的斜率，故直线的方程为，即. 由，解得，或，所以. 对于A，，故，所以. 又因为轴，轴，所以，故， 所以，即平分，故A正确. 对于B，因为，所以，故B错误. 对于C，因为，所以直线的方程为，由得直线与抛物线的准线的交点为， 又轴，，所以直线与抛物线的准线的交点为，即点， 则直线，直线与抛物线的准线相交于同一点，故C正确. 对于D，点关于轴的对称点为，所以， 当最小时，点在直线上， 因为，所以直线为，即， 当时，，所以点的坐标为.故D正确. 故选：ACD. 19．已知是抛物线上一动点，若点到轴的距离为，到圆上的动点的距离为，则的最小值为_______________ 【答案】 【分析】根据给定条件，利用抛物线的定义，结合圆的性质求出最小值. 【解析】抛物线的焦点，准线方程为，由抛物线定义得， 圆的圆心，半径，则， 因此， 当且仅当分别是线段与抛物线和圆的交点时取等号， 所以的最小值为. 故答案为: 20.已知抛物线的焦点为，点为该抛物线上的动点，点，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】设，则由两点间距离公式及抛物线定义可得关于y的表达式，后由基本不等式可得答案. 【解析】设，由抛物线方程，得焦点，准线， 点为准线与轴的交点，作于点， 则．， 则 ，当且仅当，即时取等号.则的最大值为. 故答案为：. 21.已知为抛物线上的动点，，为两个定点，若周长的最小值为18，则的值为 . 【答案】6 【分析】分析抛物线的焦点和准线，确定点为焦点，利用抛物线定义，将转化为到准线的距离，分析的最小值，结合的定值，得到周长的最小值表达式，即可得解. 【解析】根据题意，则，所以抛物线的焦点坐标为，即定点，准线为，如图所示. 故的周长为，其中为定值，又根据抛物线的定义， 所以当三点共线时取得最小值， 此时，解得. 故答案为：6. 22.已知抛物线的焦点为，定点，若对抛物线上任一动点，都有恒成立，则的最小值为__________ 【答案】1 【分析】利用抛物线的定义及三角形性质可得答案. 【解析】抛物线的焦点为，准线方程是． 如图，过点作准线的垂线，垂足为，连接． 因为点在抛物线上，所以根据抛物线的定义得， 所以，当且仅当三点共线时取等号， 当时，取最小值，即，所以的最小值为1． 故答案为：1． 23.已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是___________ 【答案】3 【分析】求出焦点，准线，设动点到直线的距离分别为，求出点到直线的距离为，由抛物线定义得到，进而得到． 【解析】由题意可得：拋物线的焦点，准线， 设动点直线的距离分别为， 点到直线的距离分别为， 则，可得， 当且仅当点在点到直线的垂线上且在与之间时，等号成立， 动点到直线直线的距离之和的最小值是3. 故答案为：3. 考点04 抛物线中的焦半径公式及应用 24.已知点在曲线上，，其中点的坐标为，则（  ） A．2 B． C． D．3 【答案】C 【分析】根据题意可知为抛物线的焦点，再由焦半径等于，列等式即可得到的值，进而确定曲线方程，再讲点的横坐标代入，即可得到纵坐标的绝对值. 【解析】因为，所以为抛物线的焦点，且，则，得， 则抛物线方程为.点在曲线上，所以，则. 故选：C. 25．在抛物线上有三点A，B，C，F为其焦点，且F为ABC的重心，则（  ） A．6 B．8 C．9 D．12 【答案】D 【分析】根据重心的性质可得，然后根据抛物线的定义可知即可求解. 【解析】解：由题意得：F为ABC的重心。故 设点A，B，C的坐标分别为，，抛物线 ，F为其焦点 故选：D 26.已知抛物线C：（）的焦点为，点是C上一点，点是其准线上一点，若，，，则的值为（  ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】过作垂直于的准线，垂足为，过作轴，垂足为D.通过，得到，进而求得，即可求解. 【解析】如图， 过作垂直于的准线，垂足为， 由抛物线的定义可知，，,所以， 所以. 设，则.所以. 因为轴，所以，过作轴，垂足为. 因为，又， 解得：，， 又， 所以.所以，解得. 故选：B. 27.设抛物线的焦点为F，过C上一点A作其准线的垂线，设垂足为B，若，则（  ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据抛物线的定义得，由余弦定理可得，则，在中，由勾股定理即可求解. 【解析】由题意可知：抛物线的焦点，准线为，且， 因为， 所以由余弦定理得， 即； 由，所以，； 设为准线与轴的交点，， 则，则. 故选：C. 28.知抛物线：（）的焦点为，过点且垂直于轴的直线与交于两点，，点在上，则（  ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】由已知先求出点的坐标，由即可求得，利用抛物线的定义即可求解. 【解析】由题意有：当时，，所以， 所以，解得，又因为，所以. 故选：B. 29.已知抛物线的焦点为，点为上的不同两点，若线段的中点到轴的距离为2，则的最大值为（  ） A．3 B．6 C．9 D．36 【答案】C 【分析】首先根据中点求出点的横坐标的关系，然后利用抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，可将的表达式写出来，最后根据基本不等式的性质可求出 最大值. 【解析】因为点在抛物线上， 所以设，可得，， 因为线段的中点到轴的距离为2， 所以. 因为焦点，准线方程为，所以 由抛物线的定义：抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离可得 ，所以 因为的横坐标均大于0，所以， 所以的最大值为4. 所以当时，即时，取最大值为9. 故选：C. 30.(多选)已知抛物线的焦点为F，A，B是抛物线上两动点，且的最小值为1，M是线段AB的中点，是平面内一定点，则（  ） A． B．若，则M到x轴距离为4 C．若，则 D．的最小值为4 【答案】ACD 【分析】根据的最小值即为，求得p，判断A；利用抛物线的焦半径公式可判断B；根据求出的纵坐标，结合焦半径公式判断C；判断P点位置，利用的几何意义，几何作图分析，可求得其最小值，判断D. 【解析】抛物线上的点A到抛物线焦点F距离的最小值为1， 则有，解得，A正确； 抛物线的方程为，焦点，准线，设，， 对于B，点，由抛物线的定义知，， 有，所以M到x轴距离，B不正确； 对于C，，， 由得：，即， 又，即，则，解得，， 于是得，C正确； 对于D，抛物线中，当时，， 因此点在抛物线上方， 过点P作于，交抛物线于点Q，连接， 过A作于，连AF，AP，，如图， 显然， 当且仅当点A与Q重合时取等号， 所以，D正确． 故选：ACD. 31．若过抛物线的焦点F的直线l交抛物线于A、B两点，且直线l的倾斜角，点A在x轴上方，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用点A的横坐标及表示，再利用抛物线定义结合的范围求解作答. 【解析】抛物线的焦点，准线方程为，，如图， 设点A的横坐标是，则有，由抛物线定义知， 于是得，而函数在上单调递减，即， 因此，即有，所以的取值范围是. 故答案为： 考点05 抛物线中的中点弦问题 32．已知斜率为2的直线与曲线交于两点，则线段的中点的轨迹方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用点差法，即可求得，设直线的方程，与抛物线方程联立，运用韦达定理求解取值范围. 【解析】设,则， 两式相减得：， 即， 因为直线的斜率为2，所以，所以， 因为，所以. 设直线的方程为，由, 可得：，，解得：. 在直线上，则，，所以. 所以. 故选：C 33．已知动点P到定点的距离比它到直线的距离大1，直线与动点的轨迹交于A， B两点，且线段AB的中点为，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意确定P点的轨迹求出其方程，利用点差法求出直线AB的斜率，即可求得答案. 【解析】由题意动点P到定点的距离比它到直线的距离大1， 则动点P到定点的距离与它到直线的距离相等， 故动点P的轨迹为以F为焦点的抛物线，其方程为， 设，则， 则，则, 由于线段AB的中点为且在抛物线含焦点的一侧区域内，则直线AB的斜率存在，， 故， 故直线的方程为，即， 故选：D 34．过点的直线与抛物线相交于两点，若恰为的中点，则线段的长为 . 【答案】16 【分析】用点差法求出直线斜率，得直线方程，联立方程组，利用韦达定理，由弦长公式计算可得． 【解析】设， 则，两式相减得， ∴， ∵的中点是，∴． ∴直线方程为，即， 由，得， 则， ∴． 故答案为：16. 35．已知动点到点的距离比它到直线的距离小2，记动点的轨迹为. (1)求的方程； (2)直线与相交于，两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程. 【答案】(1);(2) 【分析】（1）根据题意以及抛物线的定义，可得答案； （2）利用点差法，求得直线斜率，根据点斜式方程，可得答案. 【解析】（1）由题意知动点到点的距离等于到直线的距离， 则动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， 所以的方程为. （2）设，，则， 两式相减得，整理可得. 因为线段的中点坐标为，所以， 所以直线的斜率， 故直线的方程为，即. 36.已知直线与抛物线C：交于M，N两点，，O为坐标原点． (1)求p； (2)过点作直线l交抛物线于A，B两点，且点P是线段AB的中点，求三角形OAB的面积． 【答案】(1);(2)． 【分析】（1）联立直线和抛物线方程，得到两根之和，两根之积，由弦长公式得到方程，求出答案； （2）设，，点差法得到直线的斜率，从而得到直线的方程，由焦点弦弦长公式得到，结合点到直线距离，得到三角形面积. 【解析】（1）设，，联立直线与抛物线得：， 消去x得到，∴，， ∴． 解得或－3（舍去）．∴． （2）设，， ∵A，B在抛物线C上，∴，， 两式作差得． ∵AB中点坐标为，∴，， ∴， ∴， ∴l：，整理得l：． 故l过的焦点，弦长． 又O到l的距离为． ∴． 考点06 抛物线中的焦点弦问题 37．已知抛物线的焦点为，过且斜率为的直线交抛物线于，两点，若，则（  ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【解析】由题意知，，设， 联立直线与抛物线得，消去，得， 所以. 由抛物线的定义知. 而，故，解得. 故选：D. 38.（多选）（24-25高二上·江苏·期末）已知A，B是抛物线：上两动点，为抛物线的焦点，则（ ） A．直线AB过焦点F时，最小值为4 B．直线AB过焦点F且倾斜角为时， C．若AB中点M的横坐标为2，则最大值为5 D． 【答案】BC 【解析】对于A项，过点分别作准线的垂线，垂足分别为， 过点分别作轴的垂线，垂足分别为，准线与轴的交点为， 设直线的倾斜角为，画图为： 根据抛物线的定义：，从图可知，， ，在中，， 所以，同理， 则 ，故当时， 故最小值为，此时垂直于轴，所以A不正确； 对于B项，由A可知，，故B正确； 对于C项，， 当且仅当直线过焦点时等号成立，所以最大值为5，故C正确； 当直线过焦点时，， 当直线不过焦点时，不是定值， 举例当时，此时，， 即，，，故D错误； 故选：BC. 39.（多选）已知抛物线，准线为，过焦点的直线交抛物线于两点，过分别作的垂线，垂足分别为，则（  ） A． B．若，则直线的斜率为 C．三点共线（其中为坐标原点） D． 【答案】ACD 【分析】由抛物线的定义可得，，再利用角的关系即可得出；根据定义可得，即可得出角，进而得出直线的斜率为；设，则，证明即可；由题可得，结合焦半径公式即可证明. 【解析】 连接，根据抛物线定义可知，所以， 又由于轴，所以， 所以，同理可证， 所以， 即，故正确； 过作于，设，则，， 所以， 所以，由对称性可知直线的斜率为，故B错误； 设，则， 由于，由于三点共线， 则， 又由于，则，由于， 则，所以，， 所以， 即，所以三点共线，故C正确； 由于，则，即，所以， 所以，故D正确． 故选：ACD． 40.(多选)已知为平面直角坐标系的原点，抛物线的焦点到准线距离为2，过抛物线的焦点的直线与抛物线交于两点，则（  ） A．当与轴垂直时， B．是钝角 C．设点的横坐标为，点的横坐标为，则 D．延长与准线交于，则 【答案】BCD 【分析】利用抛物线的定义可得方程可判断A，利用韦达定理可判断C，结合数量积小于0可判断B，利用求直线与准线的交点坐标可判断D． 【解析】由抛物线的焦点到准线距离为2可得：， 过抛物线的焦点的直线与抛物线交于两点，当与轴垂直时， 由焦点坐标为，把代入抛物线方程得， 此时，所以，故A错误； 当斜率存在时，设过抛物线的焦点的直线方程为，与抛物线， 联立消得：， 又设交点，则，当直线斜率不存在时，， 而，故C正确， 再由， 又因为点不在直线上，所以是钝角，故B正确； 由直线方程为：，与准线的交点纵坐标为：， 又因为，所以纵坐标为：， 又因为，所以纵坐标为：， 即,故D正确； 故选：BCD. 41.(多选)已知抛物线的焦点为F，其准线l与x轴交于点A，O为坐标原点，过F的直线与C交于B，D两点，过B，D作l的垂线，垂足分别为E，G，则（  ） A．若直线BD的斜率为1，则 B．以BD为直径的圆与y轴相切 C． D．B，O，G三点共线 【答案】ACD 【分析】对于A，联立直线方程与抛物线方程，结合焦点弦长公式以及韦达定理即可判断；对于B，由抛物线的性质即可判断；对于C，结合内错角相等即可得证；对于D，设直线OB与准线l交于，只需说明重合即可. 【解析】抛物线的焦点，准线，点，设， 对于A，直线，由， 消去y得，所以，所以，故A正确： 对于B，，线段BD中点横坐标， 弦BD中点到准线的距离为，因此以BF为直径的圆与准线相切，故B错误； 对于C，由，得，同理， 则，故C正确． 对于D，设直线，联立，得，则， 直线，直线OB与准线l交于， 联立，解得， 又，所以，即H与G重合，所以B，O，G三点共线．故D正确． 故选：ACD 42．过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，若，那么 ． 【答案】10 【分析】由焦半径公式求得焦点弦长. 【解析】由题设抛物线焦点坐标为， 则由抛物线定义易知：， 故. 故答案为：10 考点07 直线与抛物线的位置关系 43．“”是“直线与抛物线只有一个公共点”的（　 ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】联立直线与抛物线的方程，可得，分和，讨论方程只有一个解可得或，再由充分条件和必要条件的定义即可得出答案. 【解析】若直线与抛物线只有一个公共点， 则方程只有一个解， 即方程只有一个解， 当时，恒有一个解； 当时，，得，此时方程只有一个解． 即直线与抛物线只有一个公共点，可得或， 故“”是“直线与抛物线只有一个公共点”的充分不必要条件， 故选：A． 44．（多选）已知抛物线过点，则（  ） A．拋物线的标准方程可能为 B．抛物线的标准方程可能为 C．过点与抛物线只有一个公共点的直线有一条 D．过点与抛物线只有一个公共点的直线有两条 【答案】ABD 【分析】根据题意设出抛物线的方程，利用点在抛物线上及直线与抛物线的位置关系即可求解. 【解析】对于选项A，当抛物线开口向右时，设抛物线的方程为，将代入抛物线中得，则拋物线的方程为，故A正确； 对于选项B，当抛物线开口向下时，设抛物线的方程为，将代入拋物线中得，则抛物线为，故B正确； 对于C、D选项，过点与对称轴平行的直线，以及抛物线在点处的切线都与抛物线只有一个公共点，故C错误，D正确. 故选：ABD. 45．（多选）若直线被圆所截的弦长不小于2，则下列曲线中，与直线一定有公共点的是（  ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据给定条件，结合圆的弦长公式求出原点到直线的距离范围，确定直线必过的区域，再逐项判断即可得解. 【解析】圆的圆心为原点，半径为，设点到直线的距离为， 由，得， 平面内到原点距离不大于的点的集合是以原点为圆心，为半径的圆及内部区域， 因此直线必过区域，以原点为圆心，为半径的圆方程为， 对于A，圆上的点到点的距离，显然，    因此圆内含于圆，则圆与直线一定有公共点，A是； 对于B，点在抛物线内，由消去得， 显然方程无解，即圆与抛物线无公共点，    因此圆在抛物线内，抛物线与直线一定有公共点，B是； 对于C，圆上的点在椭圆外，    直线与椭圆无公共点，而直线过区域，C不是； 对于D，圆上只有两点在双曲线上，其余点都在双曲线外，    直线与双曲线无公共点，而直线过区域，D不是. 故选：AB 46.（多选）已知直线l：，抛物线C：，则下列结论正确的是（   ） A．直线l过定点 B．当时，直线l与抛物线C相切 C．当时，直线l与抛物线C有两个公共点 D．当直线l与抛物线C无公共点时，或 【答案】BD 【分析】直接代入点的坐标到直线方程验证后判断A；利用特例判断C；由直线方程与抛物线方程组成方程组，由方程组的解的情况判断BD． 【解析】选项A，因为，因此不是直线所过定点，A错； 选项B，时，直线方程为，代入抛物线方程得，解得，从而， 又直线与抛物线的对称轴不平行，所以直线与抛物线相切，切点为，B正确； 选项C，时，直线方程为，它与抛物线的对称轴平行，直线与抛物线只有一个公共点，C错； 选项D，由得，， 由，得或，D正确． 故选：BD． 47．已知抛物线方程，过点的直线与抛物线只有一个交点，这样的直线有______条 【答案】3 【分析】考虑直线斜率存在：，和不存在三种情况，讨论即可得解. 【解析】因为点不在抛物线上，易知当直线斜率不存在时，直线方程为，满足题意； 当直线斜率时，易知满足条件； 当直线斜率存在且时，设直线方程为， 由，整理得到， 由，解得. 综上所述：满足条件的直线有条. 故答案为：3 48.设抛物线的准线与轴交于点，若过点的直线与抛物线有公共点，则直线的斜率的取值范围是________________ 【答案】 【分析】联立直线与抛物线方程，根据方程有根，判别式大于等于0即可求解. 【解析】∵，∴， 根据题意可知过点的直线有斜率，故设过点的直线l方程为. ∵l与抛物线有公共点，，∴方程组 有解， 即有解．∴即1. ∴或， 当 时，显然符合题意，故 故答案为： 考点08 抛物线中的面积问题 49.已知抛物线的焦点为，点是抛物线上位于第一象限的点，若，则的面积为（  ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】由抛物线的定义得出的坐标，即可求出面积. 【解析】根据题意，可知， 因为，所以由抛物线的定义可得点的横坐标为，故， 所以的面积为， 故选：B. 50.设O为坐标原点，直线与抛物线交于A，B两点，与C的准线交于点M．若，点F为C的焦点，则与的面积之比为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别过点作抛物线的准线的垂线，垂足分别为，则，由此即可得解. 【解析】 如图，分别过点作抛物线准线的垂线，垂足分别为， 则，， 抛物线的焦点， 直线过定点， 因为，， 所以， 所以. 故选：B. 51.已知 是抛物线的焦点，， 是经过点的弦且，的斜率为，且，， 两点在 轴上方，则下列结论中成立的是（  ） A． B．若，则 C． D．四边形 面积的最小值为 【答案】AC 【分析】将直线方程与抛物线方程联立，根据直线方程的点斜式，求出直线、的方程，利用弦长公式求出、，可判断A；根据抛物线定义可表示、，利用根于系数的关系求出求出值，可判断B；利用向量的数量积，利用根与系数的关系求,可判断C；四边形 面积利用基本不等式可判断D. 【解析】设 ，，的方程为， 由 可得， 则  ， 所以， 同理可得， 则有，所以A正确； 若，由， 得， 即， 解得 ，故B错误； 与 无关，同理, 故，故C正确； 因为，所以四边形 的面积 ， 当且仅当 ，即 时，等号成立，故D错误． 故选：AC. 52.已知抛物线，从抛物线内一点发出平行于轴的光线经过扡物线上点反射后交抛物线于点，则的面积为 . 【答案】 【分析】根据抛物线求出交点横坐标，再结合面积公式与抛物线的焦点弦的性质求解即可. 【解析】由抛物线的光学性质知，直线与轴的交点为抛物线的焦点， 的焦点为，故与轴的交点横坐标为， 根据题意，画出草图，如下图所示， 令得，解得，又过焦点， 所以方程为：， 即，联立， 得，解得或，所以 ∴的边上的高为， 又， 所以， 故答案为：. 53．已知抛物线的焦点为，为抛物线上一点，延长交抛物线于点．抛物线的准线与轴的交点为，． (1)求抛物线的方程； (2)求△的面积． 【答案】(1);(2) 【分析】（1）根据焦半径公式结合的横坐标可求解出的值，由此可求抛物线的方程； （2）先求解出，再计算出到的距离，结合三角形面积公式可求结果. 【解析】（1）因为，所以， 所以抛物线的方程为. （2）因为，代入抛物线方程可得，且，所以， 又因为，所以，所以， 联立可得，所以， 所以， 又因为，所以到直线的距离为， 所以. 54.已知直线l与椭圆交于两点，的中点坐标为． (1)求l的方程； (2)若l与抛物线交于M，N两点，求的面积（O为坐标原点）． 【答案】(1)；(2). 【分析】（1）利用点差法及点斜式计算即可； （2）联立直线与抛物线方程，利用韦达定理结合三角形面积公式计算即可. 【解析】（1）设，的中点为D，则， 所以， 又的中点坐标为，所以， 则， 所以l的方程为，即； （2） 设l交横轴于E点，由上可知，， 设， 联立，可得， 则， 所以. 55.已知抛物线的焦点为F，过F的直线l交C于A，B两点，过F与l垂直的直线交C于D，E两点，其中B，D在x轴上方，M，N分别为AB，DE的中点．    (1)证明：直线MN过定点； (2)设G为直线AE与直线BD的交点，求面积的最小值． 【答案】(1)证明见解析;(2)8 【分析】（1）分析可得两直线斜率都存在且不为0，设出各点坐标，根据斜率公式，可得，同时满足，，且同时满足，根据两直线垂直，斜率关系，可得，代入直线MN的方程，化简整理，即可得证. （2）由（1）知，可得直线AB方程，根据直线AB过点，可得，同理可得，求出直线AE和直线BD的方程，联立得：，即为G点横坐标，由于，化简计算，可得MN轨迹方程，过点G作轴，交直线MN于点Q，可得面积的表达式，结合基本不等式，可得，根据抛物线的性质，证明，综合即可得答案. 【解析】（1）证明：由，故，由直线AB与直线CD垂直， 故两直线斜率都存在且不为0， 设、、、、、， 则，且同时满足， 同理，且同时满足， 所以，则， 所以， 又直线MN方程为， 所以 ， 所以直线MN过定点. （2）由（1）知，直线AB的方程为， 即， 又直线AB过点，所以， 同理，，又直线DE过点，所以， 直线AE的方程为①， 直线BD的方程为②， 将直线AE的方程转化为，即， 和直线BD的方程，联立得：． 所以点G的横坐标为，即直线AE与BD的交点在定直线上． 由于，故，且， 同理，所以MN轨迹方程为， 过点G作轴，交直线MN于点Q，    则， 故，当且仅当时等号成立， 此时，，， 下证，即证，， 由抛物线的对称性，不妨设，则， 当时，有，则点G在x轴上方，点Q亦在x轴上方，有， 由直线MN过定点，此时， 同理，当时，有点G在x轴下方，点Q亦在x轴下方，有， 故此时， 当且仅当时，，故恒成立， 故， 56.已知抛物线（）过点，其焦点为，若. (1)求的值以及抛物线的方程； (2)过点斜率为的直线交抛物线于，两点，求面积的取值范围. 【答案】(1)的值为，抛物线的方程为;(2) 【分析】（1）根据题意结合抛物线的方程和定义列式求，即可得结果； （2）设直线，，联立方程可得韦达定理，进而可求和面积，结合函数的单调性求值域即可. 【解析】（1）由题意可知：抛物线的焦点为，准线为， 则， 且点在抛物线（）上，则，即， 联立方程，解得，即， 所以的值为，抛物线的方程为. （2）由（1）可知：，，抛物线的方程为， 由题意可设：直线，，，且， 联立方程，消去x可得， 则，可得，， 则， 又因为点到直线的距离， 则面积， 构造函数， 显然在内单调递增，且，， 可知在内的值域为， 所以面积的取值范围为. 考点09 抛物线的最值与范围问题 57.已知抛物线 的焦点是圆 的圆心，过点的直线与相交，交点自上而下分别为，则的取值范围为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆心求得，设出直线的方程，利用弦长公式求的表达式，进而求得其取值范围. 【解析】圆的圆心为半径为， 所以，抛物线方程为， 设直线的方程为， 由，消去并化简得， 所以，所以 所以 所以的取值范围为 故选：C. 58.已知抛物线的弦的中点横坐标为5，则的最大值为（  ） A．12 B．11 C．10 D．9 【答案】A 【分析】根据抛物线定义，可得，数形结合可得，得解. 【解析】设抛物线的焦点为，，的横坐标分别为，，则， 抛物线的准线为，则，， ， （当且仅当，，共线时取等号）如图所示， 即的最大值为12. 故选：A.    59.已知点，是抛物线上上不同的两点，为抛物线的焦点，且满足，弦的中点到直线的距离记为，若不等式恒成立，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用抛物线定义，将距离转化为，由余弦定理得到，，之间的关系，化简整理代入不等式，再分离参数求最值即可. 【解析】抛物线，方程可化为，则焦点，准线， 由点为弦的中点，如图过作， 由抛物线定义可知，， 点到直线的距离， 在中，，由余弦定理得， 由不等式得，设 则由得， ， 当且仅当，即时，等号成立，即取最小值. 故要使不等式恒成立，则，则的取值范围为. 故选：D. 60.(多选)已知抛物线的焦点为，准线为，过点作斜率为的直线与相交于两点，为弦的中点，于点，为与的交点，则（  ） A． B． C． D．若，且，则的取值范围为 【答案】ABD 【分析】对A，由抛物线的定义，可得，得；对B，证明，可得，得解；对C，在中，可证结合抛物线定义得，得解；对D，设直线交准线于点，直线的倾斜角为，由抛物线定义结合相似三角形可得，进而求出得范围，得解. 【解析】如图，作于点于点．    对于A，由抛物线的定义得，，所以， 所以是以为斜边的直角三角形，即，故A正确； 对于B，由，，得，所以， 因为，所以，又， 所以，所以，所以，故B正确； 对于C，在中，由，可知，所以， 所以，所以，故C错误； 对于D，设直线交准线于点，直线的倾斜角为，， 则，则，由，可得， 所以，因为是关于的减函数， 又，所以，所以， 又．所以的取值范围是，故D正确． 故选：ABD． 61.抛物线的焦点为，准线为，，是抛物线上的两个动点，且满足．设线段的中点在准线上的投影为，则的最大值是 ． 【答案】/ 【分析】由抛物线定义对线段进行转化，再由中位线得到线段，解三角形得到线段，由基本不等式得到取值范围，从而得到最值. 【解析】设、，作分别于，则，， 在梯形中，有， 在中，， 又，则，即， 当且仅当时取等号，因此，所以的最大值是. 故答案为： 62．已知为抛物线的焦点，为上的一点，且，过点的直线与交于两点． (1)求抛物线的方程； (2)求的最大值． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）结合题中条件和抛物线的定义计算参数，进而得到抛物线方程； （2）设过点的直线的方程为，，联立方程组，消元，化简，结合韦达定理得到，再根据向量数量积的坐标公式结合二次函数性质解得最大值. 【解析】（1）抛物线的焦点为，准线方程为， 已知为上的一点，代入抛物线方程得， 因为抛物线的定义，，将代入得，解得， 因此抛物线的方程为 （2）由上分析可知，则，即, 设过点的直线的方程为，， 联立消元得，由韦达定理得， ，， 将代入： 这是关于的二次函数，开口向下，对称轴 将代入得最大值 63.平面直角坐标系中，已知曲线上任意一点到点的距离比到直线的距离大1． (1)求曲线的方程； (2)过点作两条互相垂直的直线、，直线与曲线交于、两点，直线与曲线交于、两点，求的最小值． 【答案】(1);(2) 【分析】（1）先判断曲线的类型，再确定其解析式. （2）设直线，，根据焦点弦公式分别求弦长和，再结合基本不等式和换元法求的最小值. 【解析】（1）因为曲线上任意一点到点的距离比到直线的距离大1． 所以曲线上任意一点到点的距离与到直线的距离相等， 所以曲线为抛物线，且为焦点，为准线， 所以，所以曲线的方程为：. （2）如图： 设直线，， 代入抛物线得：，得， 整理得：. 由韦达定理：. 所以. 用代替，可得. 所以. 设，则，当且仅当时取等号. 则. 考点10 抛物线中的定点问题 64.已知抛物线C：内有一点，过点A作直线l与该抛物线交于P、Q两点，经过点和点Q的直线与该抛物线交于另一点T，则直线PT过定点的坐标为（　 ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用两个已知点在直线上，代入直线方程得出，然后简化直线PT的直线方程为，从而得解. 【解析】由题意，斜率都存在， 设，，， 直线l的斜率， 直线l方程：，化简得 同理直线QT方程：，直线PT的方程：， 点，分别代入直线QP，QT方程， 即，消除，得， 代入直线PT方程：，得， 直线PT过定点. 故选：C. 65.已知点，是平面上一动点，以为直径的圆与轴相切，设动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的轨迹方程； (2)已知点，为不过点的直线与曲线的交点，直线的斜率记为，直线的斜率记为，若，求证：直线过定点，并求出定点坐标． 【答案】(1);(2)证明见解析， 【解析】（1）设，则中点， 以为直径的圆半径为：， 因为以为直径的圆与轴相切， 所以， 化简可得：， 即曲线的轨迹方程是； （2）设点,,直线的方程为：, 联立,得,所以,所以 因为, 即, 即 所以, 所以或 当时,直线的方程：过定点,舍去； 当时,直线的方程：过定点, 所以直线过定点． 66．在平面直角坐标系中，过原点直线交抛物线于另一点，且. (1)求抛物线方程； (2)已知为抛物线上两动点，且关于轴对称，，连接交抛物线于点，直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标. 【答案】(1);(2)过定点 【分析】（1）联立直线方程与抛物线方程，求出，再代入抛物线方程即可求解； （2）设则，求出直线的方程，可得其与抛物线的交点的坐标，表示出直线的方程，结合点在抛物线上化简方程，即可求出直线所过定点坐标. 【解析】（1）由题意得，解得， ，解得， 抛物线方程； （2）设，则， 直线的方程为， 与，联立得， ， 直线的方程为， ，所以 直线的方程化简得， 直线过定点. 67.已知抛物线的焦点为，点在拋物线上，且的面积为（为坐标原点）． (1)求抛物线的标准方程； (2)点、是抛物线上异于原点的两点，直线、的斜率分别为、，若，求证：直线恒过定点． 【答案】(1);(2)证明见解析 【分析】（1）由题意可得出关于实数、的方程组，解出的值，即可得出抛物线的标准方程； （2）设点、，由斜率公式结合抛物线方程推导出，设直线的方程为，将该直线方程与抛物线方程联立，列出韦达定理，可求得的值，化简直线的方程，即可得出直线所过定点的坐标. 【解析】（1）由题意得，解得， 所以，抛物线的方程为. （2）设点、，则， 即， 显然，所以，， 若直线垂直于轴，则直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意， 设直线的方程为， 联立，消去得， 则，且，又， 则，解得，满足， 所以，直线的方程为，故该直线过定点. 68.已知直线与抛物线交于两点，且分别在第一、二象限，为线段的中点．设在点处的切线交于点，为曲线段（不含端点）上一点，在点处的切线与直线分别交于点． (1)证明：直线轴； (2)设的外接圆为圆，问：圆是否过定点（点除外）？若过定点，求出定点坐标；不过定点，请说明理由． 【答案】(1)①证明见解析；②证明见解析;(2)过定点， 【分析】（1）①联立方程可求出的坐标，再求出的坐标，即可证明结论；②利用切线方程可求表示出的坐标，从而可求出四边形的面积，即可证明结论； （2）表示出直线的方程，可求出点E所在的直线方程，结合三角形外接圆性质，即可得出结论. 【解析】（1）证明：①依题意，联立直线方程和得， 解得或4，所以，则. 由得，所以直线的斜率为， 则的方程为，同理可得的方程为， 联立，从而可得，而，因此轴. （2）由（1）得， 线段的垂直平分线的斜率为，则其方程为，即； 同理可得线段的垂直平分线的方程为， 联立，消去，得， 所以点在直线上. 设关于直线的对称点为，则， 解得，即关于直线的对称点为， 由于在圆上，故圆也过点，因此圆过定点. 69．在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为上有两个不同动点. (1)若直线过点，求证：； (2)已知定点，若线段的长度依次成等差数列；求证：线段的垂直平分线经过一个定点； 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【分析】（1）设直线，与抛物线方程联立，再利用韦达定理求解； （2）设，利用抛物线定义结合已知得到，写出的垂直平分线方程求解； 【解析】（1）显然直线AB的斜率不为，又，所以可设直线的方程为， 联立，消去x得，由韦达定理得. （2）如图所示：    证明：设， 则由已知及抛物线定义得，，即， 当时，的垂直平分线方程为， 令，得， 所以的垂直平分线经过一个定点， 当时，由对称性知的垂直平分线为轴，也经过点， 综上，的垂直平分线经过一个定点； 考点11 抛物线中的定值问题 70.已知点是抛物线：上的一点，点，是上异于点的不同的两点． (1)求的标准方程； (2)若直线，的斜率互为相反数，求证：直线的斜率为定值，并求出此定值． 【答案】(1);(2)证明见解析，定值为 【分析】（1）点代入抛物线方程求出即可； （2）设出直线，的方程，与抛物线方程联立，求出，，结合抛物线方程，利用斜率公式求出直线的斜率即可． 【解析】（1）因为点是抛物线：上的一点， 所以，解得， 所以的标准方程为； （2）显然直线、的斜率存在且， 设直线的方程为，则直线的方程为， 由，得，， 所以，解得， 同理可得， 所以， 即直线的斜率为定值，该定值为． 71.已知抛物线的焦点为． (1)求的方程； (2)若过点的直线与抛物线交于，两点．是否为定值？若为定值，求出此定值；若不为定值，请说明理由． 【答案】(1)；;(2)为定值. 【分析】（1）根据抛物线焦点写出抛物线方程即可； （2）设直线的方程为，，，联立抛物线，应用韦达定理及两点距离公式化简目标式，即可证结论. 【解析】（1）抛物线的焦点为，依题意，解得， 所以抛物线． （2）由题意，直线斜率不为0，设直线的方程为，，， 联立抛物线有，消去得，则， ∴，，又，， ∴ ，为定值. 72.已知抛物线的焦点为F，点在C上，且，其中O为坐标原点，过点的直线l与C相交. (1)求C的方程； (2)若l与C仅有一个公共点且斜率存在，求l的斜率； (3)若l与C交于M，N两点，记直线OM与直线ON的斜率分别为，，证明：为定值，并求出该定值. 【答案】(1);(2)0或;(3)证明见解析， 【分析】（1）由抛物线的定义可得，再将点的坐标代入抛物线方程，即可得到结果； （2）联立直线与抛物线方程，分与讨论，即可得到结果； （3）联立直线与抛物线方程，结合韦达定理代入计算，即可得到结果. 【解析】（1）由抛物线的定义可知， 又，则. 即.所以. 又在抛物线上. 所以.且. 解得.则C的方程为. （2）设直线l的斜率为k，则. 联立， 可得， 当时，，符合题意； 当时，则有，解得. 综上，直线l的斜率为0或. （3）由题得l的斜率存在且不为零. 设l的方程为.，， 联立，可得， .即. 可得，. 故，. 则， 所以为定值. 73.已知直线与抛物线交于两点，且分别在第一、二象限，为线段的中点．设在点处的切线交于点，为曲线段（不含端点）上一点，在点处的切线与直线分别交于点． （1）证明：直线轴； （2）四边形的面积为定值； 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【分析】（1）联立方程可求出的坐标，再求出的坐标，即可证明结论；②利用切线方程可求表示出的坐标，从而可求出四边形的面积，即可证明结论； （2）表示出直线的方程，可求出点E所在的直线方程，结合三角形外接圆性质，即可得出结论. 【解析】（1）证明：①依题意，联立直线方程和得， 解得或4，所以，则. 由得，所以直线的斜率为， 则的方程为，同理可得的方程为， 联立，从而可得，而，因此轴. （2）设，可得直线的方程为， 即， 联立，可得， 同理联立，，可得， 而， 故四边形的面积为，为定值. 74.已知直线与抛物线交于，两点，且，过椭圆的右顶点的直线交于抛物线于，两点. (1)求抛物线的方程； (2)若P为上一点，PA，PB与x轴相交于M，N两点，问M，N两点的横坐标的乘积是否为定值？如果是定值，求出该定值，否则说明理由； 【答案】(1);(2)定值，4; 【分析】（1）联立直线与抛物线方程，利用两点间距离公式列式求出即可. （2）设出直线的方程，与抛物线方程联立，设，借助直线的点斜式方程求出，再利用韦达定理计算推理得证. 【解析】（1）由，得，设，， 解得，即，，则，而，解得， 所以抛物线的方程为. （2）椭圆的右顶点为，设直线，， 由，得，则，， 设， 直线，则 ，同理得，， 因此 ， 所以是定值，且定值为4. 考点12 抛物线中的定直线问题 75.已知抛物线：. (1)过抛物线的焦点，且斜率为的直线交抛物线于，两点，求； (2)直线过点且与抛物线交于，两点，过，分别作抛物线的切线，这两条切线交于点.证明：点在定直线上. 【答案】(1);(2)证明见解析 【分析】（1）由已知直线：，联立抛物线方程，结合韦达定理、焦点弦公式即可得解. （2）设，，首先将过点的两条切线方程求出来（分别用它们的坐标表示），然后联立两条切线方程可得的横坐标表达式为，由三点共线可得为定值，由此即可得证. 【解析】（1） 设，，由题意可得抛物线焦点，准线，直线：， 联立，得，所以， 所以. （2） 设，， 由题意，过点且与抛物线相切的直线斜率存在且不为0，不妨设为， 则过点且与抛物线相切的直线方程为，① 联立，得， 所以，代入，得， 解得，带入①式即得， 即过点且与抛物线相切的直线方程为， 同理可得过点且与抛物线相切的直线方程为， 联立，可得， 由题意，直线斜率可能不存在但是一定不为0，设直线方程为， 联立，得，所以，即得， 所以点在定直线上. 76.已知抛物线的焦点为，设动点的坐标为． (1)若，求过点与抛物线有且只有一个公共点的直线方程； (2)设过动点的两条直线均与相切，且的斜率分别为，满足．证明：动点在一条定直线上． 【答案】(1)或；(2)证明见解析 【分析】（1）分别讨论直线斜率是否存在，利用判别式为0即可得直线方程； （2）设出直线方程并利用韦达定理可得，结合即可求出动点在直线上. 【解析】（1）当经过点P的直线不存在斜率时，直线方程即为， 与抛物线抛物线C：有且只有一个公共点，符合题意， 当经过点P的直线存在斜率时，不妨设直线方程为， 代入抛物线方程化简得：， ，即，直线方程即为 因此所求直线方程为或； （2）证明：设过点P与抛物线C的相切的切线方程为， 由，消去整理得， 因为与抛物线C相切，所以， 即． 又因为，是方程的两根，则有， 由 ，可得，即 从而动点在直线上. 77.抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于，两点，在处的切线与在处的切线交于点. (1)求抛物线的方程； (2)证明：点在定直线上 【答案】(1)；(2)证明见解析. 【分析】（1）利用给定的焦点坐标求出抛物线方程. （2）利用导数的几何意义求出抛物线在点处的切线方程，进而得直线方程即可推理得证. 【解析】（1）抛物线的焦点坐标为，则，解得， 所以抛物线的方程为. （2）设，直线的方程为，由，求导得， 抛物线在处的切线方程为，即， 依题意，直线过，则， 同理在处的切线过，则， 显然点在上，即直线与是同一直线， 因此，则，所以点在定直线上. 78.已知抛物线，过点的直线与交于不同的两点.当直线的倾斜角为时，. (1)求的方程； (2)在线段上取异于点的点，且满足，试问是否存在一条定直线，使得点恒在这条定直线上？若存在，求出该直线；若不存在，请说明理由. 【答案】(1);(2)点恒在直线上. 【分析】（1）先求直线的方程，再与抛物线联立组成方程组，利用韦达定理及两点距离公式，求弦的长即可； （2）设直线方程，再与抛物线联立组成方程组，利用韦达定理及相似三角形求解即可. 【解析】（1）设. 若直线的倾斜角为，则直线的方程为. 联立得， 则， 且， 所以 . 因为，所以，故的方程为. （2）存在，定直线为. 由题意知直线的斜率存在， 设直线的方程为，. 联立得. 由，得且， . 不妨设，则， 过点向轴作垂线，垂足分别为点，如图所示， 则，. 因为，所以， 整理得，所以. 代入直线的方程得. 因为，所以点恒在直线上. 考点13 抛物线中的探究性、存在性问题 79.已知抛物线的焦点为F，直线l与抛物线C交于，两点，，点O为坐标原点，. (1)求抛物线C的方程; (2)证明：直线l过定点，并求出该定点坐标; (3)若点，直线AQ，BQ分别与抛物线C相交于M，N两点异于A，B两点，记的面积为，记的面积为，试判断是否为定值，若为定值，则求出此定值;若不为定值，请说明理由． 【答案】(1)；(2)证明见解析；定点；(3)为定值，定值为4 . 【解析】（1）由题设； （2）设直线l方程为，且，， 联立直线l与抛物线，消去x，得，故， 因为，且，， 所以，则直线l方程为，过定点； （3）由题设，Q在直线AM上， 设直线AM的方程为，与抛物线方程联立为， 设，所以，即， 设，同理得，即， ，因为，所以， 因为，，所以，而，，， 所以， 因此为定值，定值为4. 80.已知直线与抛物线交于，两点，且，过椭圆的右顶点的直线交于抛物线于，两点. (1)求抛物线的方程； (2)若射线OA，OB分别与椭圆C交于点D，E，点O为原点，，的面积分别为，，问是否存在直线l使？若存在求出直线l的方程，若不存在，请说明理由. 【答案】(1);(2)不存在，理由见解析 【分析】（1）联立直线与抛物线方程，利用两点间距离公式列式求出即可. （2）结合三角形面积公式求出的范围即可判断. 【解析】（1）由，得，设，， 解得，即，，则，而，解得， 所以抛物线的方程为. （2）不存在. 椭圆的右顶点为，设直线，， 由，得，则，， 假设存在，设，射线， 由，得，同理得， 由，，得， 因此 ， 则，所以不存在直线，使. 81．如图，已知抛物线的方程为，焦点为，过抛物线内一点作抛物线准线的垂线，垂足为，与抛物线交于点，已知，，. (1)求的值； (2)斜率为的直线过点，且与曲线交于不同的两点，，若存在，使得，求实数的取值范围. 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）先得到，由抛物线定义得到方程，求出，设，则，作出辅助线，得到，从而得到方程，求出答案； （2）设出直线方程，联立抛物线，得到两根之和，两根之积，由得，求出，转化为对有解，而，所以，求出解集，因为，所以. 【解析】（1）因为，，则在中，， 由抛物线的定义得，， 故，则，即， 设，则，解得， 过点作⊥于点， 因为，所以， 因为，所以， 故，， 所以，解得； （2）由（1）可知抛物线方程为：，设，， 设，联立，整理得：， 因为，所以， 由韦达定理得，， 因为，则，故， 故， 将代入（*）式得， 因为存在，使得， 所以有对有解， 而，所以， 解得，或， 因为，所以. 82．如图所示，已知开口方向向上、顶点在原点的抛物线上的纵坐标为1的点到焦点的距离为2． (1)求抛物线的方程． (2)已知是直线上的动点，为抛物线的两条切线，为切点． ①求证：直线过定点； ②抛物线上是否存在定点使得以为直径的圆恰过定点？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①证明见解析；②存在， 【分析】（1）由抛物线的性质求得抛物线方程． （2）①设，设过点的切线，与抛物线方程联立，由判别式等于，得，设的斜率分别为，由韦达定理及中点坐标公式求出的中点为，由点斜式写出直线的方程即可求解； ②设，得到直线与的斜率，由斜率乘积为,得，再将①问中的韦达定理代入上式化简得，即可求解. 【解析】（1）设抛物线方程为，由抛物线定义知，， 抛物线的方程． （2）①设，由于切线斜率一定存在， 故设过点的切线， 代入中，得：， ，． 设的斜率分别为， 则 ，，， 得 ， 的中点为． 又，直线的方程：， 即：，过定点． ②设，则．同理：． ，． 把代入中得：， 所以由， ， ，解得． 存在定点，使得以为直径的圆恰过点． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $