寒假作业03 基本不等式（巩固培优）高一数学人教A版

西学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 限时练习：40min 完成时间：月日 天气： 作业03基本不等式 积累运用 1.基本不等式：√ab≤a+b 2 (1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0. (2)等号成立的条件：当且仅当a=b时取等号. (③)其中a+b称为正数a,b的算术平均数，√b称为正数a,b的几何平均数 2.两个重要的不等式 (1)a2+b2≥2ab(a,b∈R),当且仅当a=b时取等号 (2)ab≤ a+b (a,b∈R),当且仅当a=b时取等号. 2 3.利用基本不等式求最值 已知x≥0，y≥0，则 (1)如果积xy是定值p,那么当且仅当=卫时，x十y有最小值是2√p(简记：积定和最小). ②)如果和x十y是定值s,那么当且仅当三y时，灯有最太值是（简记：和定积最大）。 4 注意： 1.b+≥2(a,6同号》，当且仅当a=b时取等号. a b 2.ab≤a+b a2+b2 (2 2 3.T-Isvabsatbsva+b (a>0,b>0) 2 a b 培优训练 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 1 巩固提升练 1/9 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型一比较大小 一、单选题 1.汽车现在已经是我们出行不可分离的工具，小明由于经常出差，每次出差需要加油两次，两次加油单价 不同现有两种方案，第一种方案：第一次加油200元，第二次加油200元；第二种方案：第一次加油30升， 第二次加油30升；请你比较下这两种方案，哪种方案更经济实惠() A.第一种 B.第二种 C.不确定 D.一样实惠 2.己知a>0,b>0,则() A.a2+b2>2ab B.1+1 a b ab C.a+bxab +s2 D.atbab 3.设a、b为正数，且a+2b=1,比较b的值与6的大小(） Ab对 B C.a D.ab 8 题型二证明不等关系 一、多选题 1.对于a>0,b>0,下列不等式中正确的是() A.ab≤a+b2 2 B.vab≥a+b C.as(a 二、解答题 2.己知a>0,b>0,c>0 (1)比较a3+b3与ab+ab2大小： ②证明：上++会2+2+2 a b c a+bb+cc+a 3.己知a>0,b>0. 若a+2b=2,证明：ab≤2 1 (2)若0<a<2,求二+ +4的最小值 `a'2-a 题型三求最值 一、多选题 1.已知实数a,b都是正数，且满足a+b=1,则下列说法正确的是() 2/9 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 Ab的最大值为号 B.心+2亦的最小值为 C. +之的最小值为号 D.√a+2√b的最大值为√5 a ab 2.已知a>0,b>0,且b=8-0 则下列说法正确的有() a+1 A.(a+1)b+1)=9 B.ab的取值范围为(0,2] 1 1 C. 的设小值为号 D.a+2b的最小值为6√2-3 a+1b+ 二、填空题 3.己知正实数a,b满足a+}=1,则b+1的最小值为 b 4.已知x+0且y≠0，则+2g的最大值为一 2x2+y2 题型四恒成立问题 一、填空题 1.已知x>0,y>0,且2+-1，若2x+y≥m恒成立，则实数m的最大值是 x y 2.设x>y>z,neN,且 1+1之 vy-2之x一2恒成立，则n的最大值为 3.已知x>0,y>0,且x+y=1,若4+1≥m +二≥一m+4恒成立，则实数m的取值范围是 x+1y2 题型五基本不等式的应用 一、填空题 1.设矩形ABCD(AB>AD)的周长为16cm,把ABC沿AC向△ADC折叠，AB折过去后交DC于点P, 则△ADP面积的最大值为 -cm2, 二、解答题 2.某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面 积为12平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室.由于此保管员室的后背靠墙，无须建造费用，因此甲 工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米150 元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元.设屋子的左右两侧墙的长度均为x米(2≤x≤6). ()当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队的报价最低？最低为多少？ ②现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为00(1+y元（a>0,若无论左右两 3/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围. 3.某学校为了更好地美化校园，计划修建一个如图所示的总面积为120m2的花园.图中阴影部分是宽度为 1的小路，中间A,B,C三个矩形区域将种植牡丹、郁金香、月季（图中B,C区域的形状、大小完全相同）. 设矩形花园的一条边长为xm,鲜花种植的总面积为Sm2. 227777777777 B C 7777777777 7777777777777 (1)用含有x的代数式表示a: (②)当x的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？最大面积为多少？ 题型六“1”的妙用 一、单选题 1一+ 1.已知x>0,y>0,且x+y=1,则2x+y+x+3 的最小值为() A.1 B.2 C.3+22 D. 6+4√2 5 5 二、多选题 2.设正实数x,y满足x+2y=4,则以下说法正确的有() A.+y的最小值为 B.√x+√y的最大值为√ C.x+y的最大值为4 D.上+的最小值为3+22 x y 三、填空题 3.已知a>0,b>0,且a+4h=1, +的最小值为 a b 能力培优练 一、 单选题 1.已知a>0,b>0,a+b=2ab,下列选项错误的是() A.a>且b> B.ab≥1 C61 026>1 D.a+2b≥3 2已知函数- ,正数ab满足a+b-=0,则上+2的最小值为《) a b A.4 B.3 C.2 D.22 3.己知m>0,n>0,则“m+n≤是“16mn≤1的( 2 4/9 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.己知a>b>0,则6a2+ 1 (a-的最小值为() A.6 B.6 C.26 D.46 二、多选题 5.已知a>0,b>0,且a+b=1,则() A.b的最大值为} B.a2+b的最小值为) C.- +4的最小值为9 D.√2a+1+√2b+1的最小值为8 a b 6.若正实数x,y满足2x+y=1,则下列说法正确的是() A.9有最大值为日 B.+4有最小值为6+4N5 C.4x2+y2有最小值为 D.xy+有最大值为) 7.已知a、b均为正实数，且a+b=1,则下列说法正确的是() A.ab的最大值为} B.+2的最小值为5 a b C+心+的最小为 8 D.。,+欢不小于月 a+2b+1 8.己知正实数m,n满足m+n=2,则下列结论正确的是() A.m的最大值为2 B.+的最小值为号 m n C.m2+3n2的最小值为3 D. 2m+m-1的最小值为1+5 mn 9.己知正实数a,b满足ab=a+b+3,则() A.ab≥9 B.a+b≥6 c.1t1225 a-1b-1 D.2a+b≥3+4W2 三、填空题 10.已知a,6,c均为正实数，且ab+c=1,则上+1+4的最小值为 a b+c a+b+c 川，已知2山2-2，具中十v十24，则2x+y的取值范馏为一 四、解答题 5/9 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 12.已知a,b为正实数，且ab+(2a+b)=16, (I)求ab的最大值. (2)求2a+b的最小值； 3)求1 1的最小值： a+1b+ 3 创新题型练 一、单选题 1.中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的 三条边长分别为a、bc,则三角形的面积S可由公式S=√p(p-a)(p-b)(p-c求得，其中p为三角形周长 的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足a=3,b+℃=5，则此三角形面积 的最大值为() B.3 C.万 D.311 2.南开是中国北方话剧的摇篮，今年是话剧《一元钱》在南开首演的一百一十周年，为纪念这一历史，刚 刚从我校毕业并仍心系母校的欧阳南德与上官琐艾同学为学校设计了一座“和静庄舞台”，希望新剧的火焰、 进步的思潮仍在今日的南开闪耀.下图为“和静庄舞台”的平面示意图，它的设计灵感来自南开中学的校徽， 四边形ABCD与EFGH为两个共中心但不一定等大的正方形，位于中间的八边形区域（即两个正方形的公 共部分)为舞台，阴影部分的五个等腰直角三角形为贵宾席，其余三个等腰直角三角形区域组成后台区域. 试问：当贵宾席面积（即五个阴影等腰直角三角形面积总和）为定值P时，舞台面积的最大值为(). A. 8+82p B.4P C.（2+2W2)P D.42P 3.柯西不等式(Caulhy-Schwarz Lnequality)是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在 数学分所中有广泛的应用现给出一个三维柯西不等式：a+bc2+d)2@c+hd,当且仅当。-？时等 号成立根据柯西不等式，已知x>0,y∈R,且x2+y-x+5y=30,则V2-x+√30-3y的最大值为() A.5 B.√6 C.26 D.32 4.我国古代著名数学巨著《周髀算经》记载着周朝时期的商高与周公的对话，商高提出了“勾三股四弦五” 特例.后来古希腊的毕达哥拉斯学派用演绎法证明了直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方之和若一 6/9 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 个直角三角形的斜边长等于5，则这个直角三角形周长的最大值为() A.12 B.5V2+5 C.55+5 D.15 5.中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即己知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的 三条边长分别为a、b、c,则三角形的面积S可由公式S=√p(p-a)(p-b)(p-c)求得，其中p为三角形周 长的一半，这个公式也被称为海伦一秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足a=6,b+c=10,则此三角 形面积的最大值为() A.6 B.12 C.47 D.411 6.《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据， 运用这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明现有如图所示图形， 点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB,设AC=a,BC=b,则该图形可以完成的无字证明为() B A.a2+b2≥2ab(a>0,b>0) B.0+b、 ab(a>0,b>0) c.Vab≥2ab a>0,b>0) a+b D. a2+b2 ≥a 2a>0,b>0) 7.如图所示的“大方图称为“赵爽弦图”，它是由中国数学家赵爽于公元3世纪在给《周髀算经》"勾股网方 图"作注时给出的一种几何平面图，记载于赵爽“负薪余日，聊观《周》”一书之中，他用数学符号语言将其表 示为"若直角三角形两直角边为a、b,斜边为c(a、b、c均为正数).则(a+b)2=4ab+(a-b)2, (a+b)2=2c2-(b-a)2.某同学读到此书中的“赵爽弦图时，出于好奇，想用软钢丝制作此图，他用一段长 8cm的软钢丝作为a+b的长度（制作其它边长的软钢丝足够用），请你给他算一算，他能制作出来的“赵爽 弦图的最小面积为()cm A.24 B.30 C.32 D.36 8.数学里有一种证明方法叫Proofs without words,也称为无字证明，一般是指仅用图形语言而无需文字解 7/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 释就能不证自明的数学命题.由于这种证明方法的特殊性，无字证明被认为比严格的数学证明更为优雅与 有条理.如图，在等腰直角ABC中，O为斜边AB的中点，D是斜边AB上异于A、B的一个动点，设 AD=a,BD=b,则该图形可以完成的无字证明是() D A.a+b a2+b2 B.2ab sab 2 a+b C.a+b ≥vab D.atbza 2 2 二、多选题 9.《九章算术》中“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在其 《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图(1)，用对角线将长和宽分别为b 和α的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱、 青).将三种颜色的图形进行重组，得到如图(2)所示的矩形，该矩形长为+b,宽为内接正方形的边长 d.由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图(3)，设D为斜边BC的中点，作直角三角形ABC的 内接正方形的对角线AE,过点A作AF⊥BC于点F,下列推理正确的是() 黄 朱 朱 朱 黄 黄 d 朱 青 黄 a (1) (2) (3) A.由题图(1)和题图(2)面积相等得d=ab a+b a2+b、2 B.由AE≥AF可得V2≥11 a b C.由AD≥AE可得 a2+b2 a+b 2 2 D.由AD≥AF可得a2+b2≥2ab 三、填空题 10.阿基米德有句名言：“给我一个支点，我就能撬起整个地球！”这句话说的便是杠杆原理，即“动力×动力臂 =阻力×阻力臂”.现有一商店使用两臂不等长的天平称黄金，一位顾客到店里预购买20g黄金，售货员先将 8/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 10g的砝码放在天平左盘中，取出xg黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将10g的砝码放在天平右盘中， 取yg黄金放在天平左盘中使天平平衡，最后将称得的xg和yg黄金交给顾客，则顾客购得的黄金重量 20g（填“大于“小于”或“等于”) 9/9 限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业03 基本不等式 1.基本不等式：≤ (1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0. (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号. (3)其中称为正数a，b的算术平均数，称为正数a，b的几何平均数. 2.两个重要的不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号. (2)ab≤ (a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号. 3.利用基本不等式求最值 已知x≥0，y≥0，则 (1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2 (简记：积定和最小). (2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是(简记：和定积最大). 注意： 1.≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号. 2.ab≤≤. 3. (a>0，b>0). 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 比较大小 一、单选题 1．汽车现在已经是我们出行不可分离的工具，小明由于经常出差，每次出差需要加油两次，两次加油单价不同.现有两种方案，第一种方案：第一次加油元，第二次加油元；第二种方案：第一次加油升，第二次加油升；请你比较下这两种方案，哪种方案更经济实惠（ ） A．第一种 B．第二种 C．不确定 D．一样实惠 【答案】A 【分析】分别设两次加油的单价，计算全程的均价，结合基本不等式比较大小即可判断. 【详解】设第一次加油的单价为元/升，第二次加油的油单价为元/升， 则方案一的均价：，当且仅当时等号成立； 方案二的均价：，当且仅当时等号成立； 又两次加油单价不同， 则方案一的均价，方案二的均价， 所以， 故选：A. 2．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由基本不等式结合特例即可判断. 【详解】对于A,当时，，故A错误； 对于BD，取，此时， ，故BD错误； 对于C，由基本不等式可得，故C正确. 故选：C. 3．设a、b为正数，且，比较ab的值与的大小（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据基本不等式结合已知条件分析判断即可. 【详解】因为，所以， 当且仅当且，即且时，取等号． 故选：A． 题型二 证明不等关系 一、多选题 1．对于，，下列不等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据，整理变形，可判断A的正误；根据基本不等式可判断B、C的正误；利用作差法，可判断D的正误. 【详解】选项A：因为，所以， 所以，当且仅当时取等号，故A正确； 选项B：因为，，所以，即， 当且仅当时取等号，故B错误； 选项C：因为，，所以，即， 当且仅当时取等号，故C正确； 选项D：， 当且仅当时取等号，所以，故D正确. 故选：ACD 二、解答题 2．已知，， (1)比较与大小； (2)证明： 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用作差法，化简表达式，然后根据其符号判断该表达式的正负即可比较大小. （2）根据基本不等式的性质，将化简成，同理可得，从而证之. 【详解】（1） 由知，因此. （2）证明：由题设，及基本不等式知， . 同理，， ，即. 即：. 3．已知，． (1)若，证明：； (2)若，求的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由基本不等式得，化简即可证明； （2），展开再由基本不等式即可求出答案. 【详解】（1）因为，， 所以， 所以，当且仅当，即时，等号成立. （2）因为， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 题型三 求最值 一、多选题 1．已知实数a，b都是正数，且满足，则下列说法正确的是（   ） A．ab的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最大值为 【答案】AD 【分析】利用基本不等式及“1”的妙用求出最小值判断AC；利用二次函数求出最小值判断B；利用一元二次方程判别式求出最大值判断D. 【详解】对于A，由，得，当且仅当时取等号，A正确； 对于B，由，得， 则，当且仅当时取等号，B错误； 对于C，因为， 则， 当且仅当，即时取等号，C错误； 对于D，令，则，而，于是， 由关于的一元二次方程有解，得， 解得，则， 即取得最大值，此时，D正确. 故选：AD 2．已知，，且，则下列说法正确的有（   ） A． B．的取值范围为 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】ACD 【分析】对于A，将代入后即可验证得解；对于B，利用换元法，最终将表示为，再利用对勾函数的性质求值域即可；对于C，直接应用基本不等式即可；对于D，利用消元法及基本不等式，即可得解. 【详解】对于A：因为，故， 因此，故A正确； 对于B：因为，，故，. 令，则，且， 则， 由对勾函数的性质，易知在上单调递减，在上单调递增， 又因为，故在上的值域为， 故当时，，即，即的值域为，故B错误； 对于C：由A可知，，， 当且仅当，即时，等号成立， 即的最小值为，故C正确； 对于D：由A可知，，则， 故， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为，故D正确. 故选：ACD. 二、填空题 3．已知正实数a，b满足，则的最小值为 . 【答案】4 【分析】由题意，再利用基本不等式求解即可． 【详解】由题意正实数a，b满足， 可得， 当且仅当，即时取等号， 联立，解得，，满足题意，所以的最小值为4. 故答案为：4. 4．已知且，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】利用基本不等式计算可得. 【详解】因为，当且仅当时取等号， 所以，当且仅当时取等号， 所以的最大值为. 故答案为： 题型四 恒成立问题 一、填空题 1．已知，且，若恒成立，则实数的最大值是 . 【答案】9 【分析】将与相乘，展开后利用基本不等式求出的最小值，即可得出实数的最大值. 【详解】因为，，且， 所以，， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为. 因为恒成立，所以， 所以实数的最大值是9. 故答案为：9 2．设，，且恒成立，则n的最大值为 . 【答案】 【分析】恒成立，等价于恒成立，又，结合基本不等式即可求解. 【详解】因为，所以，，， 则恒成立，等价于恒成立， 因为， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以要使恒成立，则需，所以的最大值为. 故答案为：. 3．已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用乘“1”法及基本不等式求出的最小值，即可得到，即可求出参数的取值范围. 【详解】因为，，且，则， 所以 ， 当且仅当时，即当，时，所以的最小值为， 因为恒成立，所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 题型五 基本不等式的应用 一、填空题 1．设矩形的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点，则面积的最大值为 ． 【答案】 【分析】设，根据条件先分析出的取值范围，然后根据与全等表示出，结合三角形面积公式以及基本不等式可求解出面积的最大值. 【详解】设，点翻折后的位置为点， 因为矩形周长为，所以，所以， 又因为，所以，解得，所以， 因为， 所以与全等，所以， 设，则， 在中，，所以，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号，满足， 所以， 故答案为：. 二、解答题 2．某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面积为12平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室.由于此保管员室的后背靠墙，无须建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元.设屋子的左右两侧墙的长度均为x米（）. (1)当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队的报价最低？最低为多少？ (2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元（），若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围. 【答案】(1)米，元 (2) 【分析】（1）先求得总报价的表达式，然后利用基本不等式求得最低报价. （2）根据整体报价列不等式，然后分离参数，利用基本不等式求得的取值范围. 【详解】（1）设甲工程队的总报价为y元， 则， 又， 当且仅当，即时等号成立. 即当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为元. （2）由题意可得，对任意的恒成立， 即， 所以， 又， 当且仅当，即时等号成立. 所以，所以的取值范围为. 3．某学校为了更好地美化校园，计划修建一个如图所示的总面积为的花园．图中阴影部分是宽度为的小路，中间三个矩形区域将种植牡丹、郁金香、月季（图中区域的形状、大小完全相同）．设矩形花园的一条边长为，鲜花种植的总面积为．    (1)用含有的代数式表示； (2)当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？最大面积为多少？ 【答案】(1)， (2)当时，才能使鲜花种植的总面积最大，最大面积为. 【分析】（1）设矩形花园的长为，结合，进而求得关于的关系式； （2）由（1）知，得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】（1）设矩形花园的长为，因为矩形花园的总面积为， 所以，可得，又，则， 又因为阴影部分是宽度为1m的小路，可得， 可得，即关于的关系式为. （2）由（1）知，，， 则 ， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以当时，才能使鲜花种植的总面积最大，最大面积为. 题型六 “1”的妙用 一、单选题 1．已知，且，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】将用表示出，再利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】依题意，，而， 则 ， 当且仅当，时取等号， 由，解得， 所以当时，的最小值为. 故选：C 二、多选题 2．设正实数满足，则以下说法正确的有（   ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最大值为4 D．的最小值为 【答案】AB 【分析】对于A：利用消元法及配方法，即可得解；对于B：利用柯西不等式进行求解即可；对于C：利用消元法即可解决；对于D：利用基本不等式中“1的妙用”即可解决. 【详解】对于A：，， 所以当时，取得最小值，故A正确； 对于B： 即， 当且仅当时，等号成立， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为，故B正确； 对于C：，，故C错误； 对于D：， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为，故D错误. 故选：AB. 三、填空题 3．已知，，且，的最小值为 ． 【答案】5 【分析】将利用“1”的代换变形为，再利用基本不等式求解. 【详解】将变形为，由基本不等式， 故，当且仅当时取等号． 故答案为：. 一、单选题 1．已知，下列选项错误的是（   ） A．且 B． C． D． 【答案】D 【分析】由，得到，所以，即，同理可得，则利用不等式的性质和基本不等式依次分析选项即可求解. 【详解】由可得，所以，即， 同理可得，则，故A正确； 因为，故，当且仅当时，等号成立， 所以，即，故B正确； 由A可知：，可得，不等式两边同时加上，可得， 又，所以，故C正确； 由可得， 当且仅当时，即时等号成立，所以，故D错误， 故选：D． 2．已知函数，正数满足，则的最小值为（   ） A．4 B．3 C．2 D． 【答案】A 【分析】根据题目条件得到函数定义域为，代入，得到函数为奇函数，判断函数为定义域上增函数，再结合题目条件正数满足得到，代入目标函数使用基本不等式求出最小值. 【详解】已知，定义域为， ，故是奇函数， 令，则，因随增大而增大， 且随增大而增大，故在上单调递增， 由条件得：，利用奇函数性质，于是， 由于单调递增，必有，即， 已知，求的最小值： 由基本不等式，，当且仅当时等号成立，故， 当时，，符合条件，故最小值为. 故选：A 3．已知，则“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】本题考查充分条件和必要条件的判断.此题判断充分性时，需结合均值不等式；判断必要性时，用特殊值即可. 【详解】当时，，则当时，有，解得，充分性成立； 当时，满足，但此时，必要性不成立． 综上所述，“”是“”的充分不必要条件． 故选：A． 4．已知，则的最小值为（    ） A．6 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用，结合基本不等式可求得的最小值. 【详解】因为， 所以， 当且仅当时，等号成立. 故的最小值为. 故选：D. 二、多选题 5．已知，且，则（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为9 D．的最小值为8 【答案】ABC 【分析】A选项，由基本不等式直接求出的最大值；B选项，由得到B正确；C选项，利用基本不等式“1”的代换求出最小值；D选项，平方后，由基本不等式进行求解. 【详解】A选项，因为，且，所以， 当且仅当时取等号，A正确； B选项，，当且仅当时取等号， 所以的最小值为，B正确； C选项，， 当且仅当，即时取等号，C正确； D选项， ， 所以，即，当且仅当时取等号， 所以的最大值为，故最小值不可能为8，D错误. 故选：ABC. 6．若正实数满足，则下列说法正确的是（    ） A．有最大值为 B．有最小值为 C．有最小值为 D．有最大值为 【答案】ABC 【分析】利用基本不等式和基本不等式等号成立的条件判断ACD，利用乘“1”法判断B. 【详解】选项A：因为，所以，当且仅当，即，时取等号， 所以有最大值为，A说法正确； 选项B：， 当且仅当，即，时取等号， 所以有最小值为，B说法正确； 选项C：因为，所以， 结合A中结论可得，当且仅当，时取等号， 所以有最小值为，C说法正确； 选项D：因为，当且仅当，即，时取等号， 与是正实数矛盾，D说法错误； 故选：ABC 7．已知均为正实数，且，则下列说法正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为5 C．的最小值为 D．不小于 【答案】ACD 【分析】对于A，根据基本不等式，可得其正误；对于B，利用基本不等式“1”的妙用，可得其正误；对于C，利用多项式乘法以及配方法，可得其正误；对于D，利用放缩，再根据完全平方公式以及基本不等式，可得其正误. 【详解】对于A，由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立，所以的最大值为，故A正确； 对于B，， 当且仅当时，即当时，等号成立，所以的最小值为，故B错误； 对于C， ， 当且仅当时，即当或时，等号成立， 所以的最小值为，故C正确； 对于D选项，由，则， ， 设，可得， 则上式， 当且仅当时，即当时，即当时，等号成立， 所以的最小值为，故D正确. 故选：ACD. 8．已知正实数满足，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为2 B．的最小值为 C．的最小值为3 D．的最小值为 【答案】BCD 【分析】对于A，利用基本不等式求解即可；对于B，将变换为，再利用基本不等式求解即可；对于C，将代入，结合一元二次函数即可求解；对于D，将变换为，再利用基本不等式即可求解． 【详解】对于A，由基本不等式可得，当且仅当时取等号，故A错误； 对于B，， 由基本不等式，当且仅当时取等号， 联立可得，所以，故B正确； 对于C，由（），代入得， 为开口向上的二次函数，对称轴为， 代入得最小值， 此时，故C正确； 对于D， ， 又，当且仅当成立， 联立可得， 所以，故D正确． 故选：BCD． 9．已知正实数满足，则（　　） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用基本不等式判断AB；特殊值法计算判断C；变形给定等式，利用基本不等式求解判断D. 【详解】正实数满足， A，，则，解得，即，当且仅当时取等号，A正确； B，，则，即，解得，当且仅当时取等号，B正确； C，由，得，而，则，当时，，C错误； D，由，得，而，则， ，当且仅当时取等号， 由，解得，所以当时，取得最小值，D正确. 故选：ABD 三、填空题 10．已知均为正实数，且，则的最小值为 ． 【答案】4 【分析】由可得，所以原式可化为①，令，利用基本不等式求出的范围，则①式可化为，再次利用基本不等式求出的范围即可得解.（注意两次应用基本不等式，等号成立的条件必须相同） 【详解】由可得，所以原式①. 令，当时，， 当且仅当，即时等号成立，所以. 所以①式可化为原式. 令，则， 当且仅当，即，即时等号成立，所以， 所以的最小值为4. 故答案为：4 11．已知，且，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】方法一：将题设条件化成关于和的方程，利用基本不等式将放大得到关于的一元二次不等式，求解即得；方法二：先将所求式整理成，利用“乘1”法和基本不等式即可求得的取值范围. 【详解】方法一：由去分母，可得，整理得（*）， 因，，即，当且仅当时等号成立， 由（*）可得，即，解得或（不合题意舍去）， 故的取值范围为； 方法二：因为，所以， 而， 当且仅当时等号成立，由，解得， 当时，取得最小值为， 此时取得最小值为. 即的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题 12．已知为正实数，且， (1)求的最大值． (2)求的最小值； (3)求的最小值． 【答案】(1)8 (2)8 (3)． 【分析】（1）利用基本不等式得到，再采取换元法令解出的范围，从而得到的最大值。 （2）由题得到，则再化简使用基本不等式求解即可. （3）直接使用基本不等式得到，再结合求得，取得最小值． 【详解】（1）因为，，，当且仅当时取等号， 令，则，， 化为，所以，故， 当且仅当即时取等号，所以的最大值为8． （2）由得，， 所以， 当且仅当，即时取等号，此时取得最小值8； （3），，， ， 当且仅当，即时取等号， 此时取得最小值． 一、单选题 1．中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为，则三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，则此三角形面积的最大值为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【分析】由公式列出面积的表达式，然后由基本不等式求得最大值. 【详解】由题意. ，即， 当且仅当时等号成立. 所以此三角形面积的最大值为3. 故选：B. 2．南开是中国北方话剧的摇篮，今年是话剧《一元钱》在南开首演的一百一十周年．为纪念这一历史，刚刚从我校毕业并仍心系母校的欧阳南德与上官琐艾同学为学校设计了一座“和静庄舞台”，希望新剧的火焰、进步的思潮仍在今日的南开闪耀．下图为“和静庄舞台”的平面示意图，它的设计灵感来自南开中学的校徽，四边形与EFGH为两个共中心但不一定等大的正方形，位于中间的八边形区域（即两个正方形的公共部分）为舞台，阴影部分的五个等腰直角三角形为贵宾席，其余三个等腰直角三角形区域组成后台区域．试问：当贵宾席面积（即五个阴影等腰直角三角形面积总和）为定值时，舞台面积的最大值为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设、上的贵宾席的等腰直角三角形的边长分别为、，从而有，进而得舞台面积，再应用基本不等式求最大值. 【详解】设上的贵宾席的两个等腰直角三角形的边长，上的贵宾席的三个等腰直角三角形的边长为， 所以，即，且正方形的边长为， 所以舞台面积， 当且仅当，即时，等号成立， 此时. 故选：B 3．柯西不等式（Caulhy-Schwarz Lnequality）是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式：，当且仅当时等号成立.根据柯西不等式，已知，，且，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】变形给定等式可得，再将目标式化为并利用二维柯西不等式求出最大值. 【详解】由，得，即， 由，得，则， 由，，得， 由柯西不等式得， 因此，当，即时取等号， 所以的最大值为. 故选：C 4．我国古代著名数学巨著《周髀算经》记载着周朝时期的商高与周公的对话，商高提出了“勾三股四弦五”特例.后来古希腊的毕达哥拉斯学派用演绎法证明了直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方之和.若一个直角三角形的斜边长等于5，则这个直角三角形周长的最大值为（    ） A．12 B． C． D．15 【答案】B 【分析】因为，借助重要不等式求最大值. 【详解】因为直角三角形的斜边长等于5，设两直角边分别为a、b，则， 又因为， 所以，当且仅当时取“＝”， 故三角形周长的最大值为. 故选：B． 5．中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为a、b、c，则三角形的面积S可由公式求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦－秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为（    ） A．6 B．12 C．4 D．4 【答案】B 【分析】求出，得到，由基本不等式求出面积最大值. 【详解】由题意得， 故， 当且仅当，即时，等号成立， 故此三角形面积最大值为12. 故选：B 6．《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，运用这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，则该图形可以完成的无字证明为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题设结合中即可得解. 【详解】由题， 所以， 所以由得. 故选：D. 7．如图所示的“大方图”称为“赵爽弦图”，它是由中国数学家赵爽于公元3世纪在给《周髀算经》"勾股网方图"作注时给出的一种几何平面图，记载于赵爽“负薪余日，聊观《周》”一书之中．他用数学符号语言将其表示为"若直角三角形两直角边为a、b，斜边为c（a、b、c均为正数）．则，．某同学读到此书中的“赵爽弦图”时，出于好奇，想用软钢丝制作此图，他用一段长8cm的软钢丝作为的长度（制作其它边长的软钢丝足够用），请你给他算一算，他能制作出来的“赵爽弦图”的最小面积为（   ） A．24 B．30 C．32 D．36 【答案】C 【分析】根据题意，，利用基本不等式求的最小值. 【详解】由题可知，，， 则，即，所以，当且仅当时，等号成立， 又“赵爽弦图”的面积为， 所以当时，“赵爽弦图”的最小面积为. 故选：C 8．数学里有一种证明方法叫Proofs without words，也称为无字证明，一般是指仅用图形语言而无需文字解释就能不证自明的数学命题．由于这种证明方法的特殊性，无字证明被认为比严格的数学证明更为优雅与有条理．如图，在等腰直角中，为斜边的中点，是斜边上异于、的一个动点，设，，则该图形可以完成的无字证明是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等腰三角形的性质得，且，即可得答案. 【详解】由题设，且， 其中，或， 且， 由图知，即. 故选：A 二、多选题 9．《九章算术》中“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在其《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图（1），用对角线将长和宽分别为b和a的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱、青）．将三种颜色的图形进行重组，得到如图（2）所示的矩形，该矩形长为，宽为内接正方形的边长d．由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图（3），设D为斜边BC的中点，作直角三角形ABC的内接正方形的对角线AE，过点A作AF⊥BC于点F，下列推理正确的是（   ） A．由题图（1）和题图（2）面积相等得 B．由可得 C．由可得 D．由可得 【答案】AD 【分析】利用图（1）和图（2）面积相等直接列式可判断A；根据三角形相似比求（3）中正方形边长，然后可得AE，利用等面积可得AF，由直角三角形斜边上的中线性质可得AD，然后根据题意推导可判断BCD． 【详解】A选项：由图（1）和图（2）面积相等可得，所以，A正确； B选项：因为AF⊥BC，所以，得， 设图（3）中正方形边长为t，因为小三角形（青）与相似， 所以，解得，所以， 因为，所以，整理得，B错误； C选项：因为为斜边的中点，所以， 因为，所以，整理得，C错误； D选项：因为，所以，整理得，D正确． 故选：AD 三、填空题 10．阿基米德有句名言：“给我一个支点，我就能撬起整个地球！”这句话说的便是杠杆原理，即“动力×动力臂=阻力×阻力臂”．现有一商店使用两臂不等长的天平称黄金，一位顾客到店里预购买黄金，售货员先将的砝码放在天平左盘中，取出黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，取黄金放在天平左盘中使天平平衡，最后将称得的和黄金交给顾客，则顾客购得的黄金重量 20g（填“大于”“小于”或“等于”） 【答案】大于 【分析】设天平左臂长为，右臂长为，根据题设得，再应用基本不等式求的范围，即可得答案. 【详解】设天平左臂长为，右臂长为，且， ，则， ， ， 故答案为：大于 5 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $