精品解析：四川省成都市武侯区领川外国语学校2025-2026学年七年级上学期12月月考数学试题

2025-2026学年度上期12月综合素养调查 七年级数学 （时间：120分钟 总分：150分） A卷（满分100分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 1. 的相反数是（　　） A. B. C. D. 2. 下图是由几个小正方体搭成的几何体，则这个几何体的左视图为（ ） A. B. C. D. 3. 党的二十大报告中指出，我国全社会研发经费支出从一万亿元增加到二万八千亿元，居世界第二位，研发人员总量居世界首位．将用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列各式中，不是同类项的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 6. 下列等式变形正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 7. 如图，已知，，点、、在同一条直线上，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 8. 《孙子算经》中记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？该题意思是：今有若干人乘车，每3人乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？若设有x辆车，则可列方程（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 9. 单项式9x3y2的次数为___． 10. 若是关于的一元一次方程的解，则______． 11. 如图，城市，分别在城市的北偏东方向和南偏东方向，则_____． 12. 如图，已知C为线段AB的中点，D在线段BC上，且AD=7，BD=5，则线段CD的长度为______________． 13. 如图是正方体的展开图，图中的六个正方形内分别标有：我、爱、武、侯、领、川，将其围成一个正方体，与“我”所在面相对面上的字是________． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. （1）计算： ； （2）计算：； （3）解方程：； （4）解方程：． 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 从正面、左面、上面观察如图所示的几何体，分别画出你所看到的几何体的形状图． 17. 如图，已知点C为上一点，，，D，E分别为的中点，求的长． 18. 已知，、是内部的两条射线． （1）如图，若，平分，为内部的一条射线，，求的度数； （2）如图，若、分别平分，且，若，求和的度数； （3）如图，为射线的反向延长线上一点，将射线绕点以的速度顺时针旋转，旋转后对应的射线为，旋转时间为，平分，，若，直接写出的值．（注：本题涉及的角均小于） B卷（满分50分） 一、填空题（每小题4分，共20分） 19. 若，则代数式的值为______． 20. 如图，a、b、c是数轴上点表示的有理数计算： ________． 21. 我们规定：使得成立的一对数a，b为“有趣数对”，记为．例如，因为，所以数对都是“有趣数对”．若是“有趣数对”，则k的值为 _____． 22. 如图①，O为直线AB上一点，作射线OC，使，将一块直角三角尺如图摆放，直角顶点在点O处，一条直角边OP在射线OA上，将图①中的三角尺绕点O以每秒的速度按逆时针方向旋转（如图②所示），在旋转一周的过程中，第t秒时，OQ所在直线恰好平分，则t的值为_____________． 23. 一个四位正整数m各数位上的数字都不为0且各数位上的数字都不相同，四位数m的前两位数字之和为9，后两位数字之和为9，称这样的四位数m为“九九数”、把该四位数m的前两位上的数字和后两位数字整体轮换后得到新的四位数，称此时的是m的“轮换数”并规定；例如：不是“九九数”．为“九九数”，则，若“九九数”（其中的整数），则的最大值=________． 二、解答题（共3小题，共30分） 24. 已知关于的整式，其中，． （1）求； （2）若中不含二次项和一次项，求的值． 25. 今年成都的天气比往年要寒冷许多，进入12月份以后人们对暖手宝热水袋的需求开始增加，某超市第一次共购进300件甲、乙两种品牌的暖手宝热水袋，全部出售后赚得2700元．已知甲品牌暖手宝的进价为22元/件，售价为29元/件，乙品牌暖手宝的进价为30元/件，售价为40元/件． （1）该超市第一次购进甲、乙两种暖手宝各多少件？ （2）该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种暖手宝，其中乙品牌的件数不变；甲品牌按原价销售，乙品牌打九折销售．第二次两种暖手袋都销售完以后获得的总利润比第一次获得的总利润多600元，求第二次购进甲品牌多少件？ （3）该超市第三次进货时，厂家给出了如下优惠方案： 甲品牌优惠方案 一次性购买数量 不超过100件的部分 超过100件的部分 折扣数 九折 八折 乙品牌优惠方案 购买总金额 不超过3000元 超过3000元但不超过5000元 超过5000元 返现金金额 0元 直接返现金200元 先返购买总金额的5％，再返现金200元 已知超市购进甲品牌共支付了3740元，购进乙品牌共支付了4930元．将第三次购进的甲、乙两种暖手宝全部卖完一共可获得多少利润？ 26. 如图，数轴上有，，三个点对应的数分别为，，，点为原点，已知是关于的一元一次方程，且，满足． （1）直接写出_____，线段_____； （2）若数轴上有两个动点，分别从，两点沿数轴同时出发向右匀速运动，点速度为3单位长度/秒，点速度为1单位长度/秒，若运动时间为秒，运动过程中，是否存在线段的中点到点的中点距离为2，若存在，请求出的值．若不存在，请说明理由； （3）在（2）的条件下，另外两个动点，分别随着，一起运动，且始终保持线段，线段（点在的左边，点在的左边），当点运动到点时，线段立即以相同的速度返回，当点返回运动到点时，线段和立即同时停止运动，在整个运动过程中，是否存在使两条线段重叠部分的长为线段长度的一半，若存在，请直接写出的值，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度上期12月综合素养调查 七年级数学 （时间：120分钟 总分：150分） A卷（满分100分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 1. 的相反数是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得． 【详解】解：的相反数是， 故选：B． 【点睛】本题考查了相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键． 2. 下图是由几个小正方体搭成的几何体，则这个几何体的左视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三视图，根据题意和三视图即可得，掌握三视图是解题的关键． 【详解】解：根据题意得，这个几何体的左视图为， 故选：D． 3. 党的二十大报告中指出，我国全社会研发经费支出从一万亿元增加到二万八千亿元，居世界第二位，研发人员总量居世界首位．将用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，掌握科学记数法的表示方法是解题的关键，科学记数法的表示形式为，其中，为整数，对于，将小数点向左移动位得到，因此． 【详解】解：， 用科学记数法表示为， 故选：． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变．据此判断即可． 【详解】解：A．x与3y不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意； B．与不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意； C．，故本选项符合题意； D．与不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了同类项的概念和合并同类项法则，所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项，合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变．掌握合并同类项法则是解答本题的关键． 5. 下列各式中，不是同类项的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】D 【解析】 【分析】根据同类项的定义即可求出答案． 【详解】解：A、与，字母相同且相同字母的指数也相同，是同类项，故选项A不合题意； B、与，字母相同且相同字母的指数也相同，是同类项，故选项B不合题意； C、与，字母相同且相同字母的指数也相同，是同类项，故选项C不合题意； D、与，相同字母的指数不相同，故选项D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查同类项的定义，解题的关键是正确理解同类项的定义． 6. 下列等式变形正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等式的基本性质，解题的关键是熟练掌握等式的基本性质． 根据等式的基本性质1：等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得的结果仍是等式；等式的基本性质2：等式的两边同时乘以（或除以）同一个数（除数不为零），所得的结果仍是等式，针对每一个选项进行判断即可． 【详解】解：A、若，则，故选项错误； B、若，则，故选项错误； C、若，则，故选项错误； D、若，则，故选项正确． 故选：D． 7. 如图，已知，，点、、在同一条直线上，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查角度的和差，领补角的性质，熟练掌握角度的和差和领补角的性质是解题的关键．先利用，，求出，再利用领补角的性质即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵点、、在同一条直线上， ∴， 故选：C． 8. 《孙子算经》中记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？该题意思是：今有若干人乘车，每3人乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？若设有x辆车，则可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，根据题意，设有x辆车，通过两种乘车方式表示总人数并相等，列出方程. 【详解】解：由题知， 因为每3人乘一车，最终剩余2辆车， 所以总人数可表示为：． 因为每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘， 所以总人数可表示为：， 则可建立方程：． 故选：B． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 9. 单项式9x3y2的次数为___． 【答案】5 【解析】 【分析】根据单项式的次数的定义：各字母指数和即为单项式的次数，解答即可． 【详解】解：单项式9x3y2的次数是：3+2＝5． 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查单项式的次数，熟知单项式次数等于各字母指数和是解题的关键． 10. 若是关于的一元一次方程的解，则______． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值，把代入方程计算即可求出的值． 【详解】解：把代入方程得：， 解得：， 故答案为：7． 11. 如图，城市，分别在城市的北偏东方向和南偏东方向，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查方向角，熟练掌握角的运算是解题的关键； 根据题意，列式计算即可求解； 【详解】解：根据题意得：； 故答案为： 12. 如图，已知C为线段AB的中点，D在线段BC上，且AD=7，BD=5，则线段CD的长度为______________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据已知可求得AB的长，从而可求得AC的长，已知AD的长则不难求得CD的长． 【详解】∵AD=7，BD=5 ∴AB=AD+BD=12 ∵C是AB的中点 ∴AC=AB=6 ∴CD=AD-AC=7-6=1． 故答案为：1． 【点睛】此题主要考查线段的和差，线段中点的计算，比较简单． 13. 如图是正方体的展开图，图中的六个正方形内分别标有：我、爱、武、侯、领、川，将其围成一个正方体，与“我”所在面相对面上的字是________． 【答案】侯 【解析】 【分析】本题考查了正方体相对两个面上的文字，根据正方体的表面展开图找相对面的方法：“Z”字两端是对面，即可解答． 【详解】解：与“我”所在面相对面上的字是“侯”， 故答案为：侯． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. （1）计算： ； （2）计算：； （3）解方程：； （4）解方程：． 【答案】（1）；（2）；（3）：（4） 【解析】 【分析】此题考查了有理数的混合运算和解一元一次方程，熟练掌握有理数的运算法则和顺序、解一元一次方程，是解题的关键． （1）利用加法交换律进行计算即可； （2）先计算乘方和绝对值，再进行加减法即可； （3）按照去括号、移项合并同类项，系数化1得步骤解方程即可； （4）按照去分母、去括号、移项合并同类项，系数化1得步骤解方程即可； 【详解】（1） （2） （3） 去括号得， 移项合并同类项得， 系数化1得， （4） 去分母得， 去括号得， 移项合并同类项得， 系数化1得， 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，14 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先去括号，然后合并同类项化简，再代值计算即可得到答案． 【详解】解 ． 当时，原式． 16. 从正面、左面、上面观察如图所示的几何体，分别画出你所看到的几何体的形状图． 【答案】 如图： 【解析】 【分析】本题考查了从不同方向看几何体，根据几何体示意图画图即可． 【详解】解：略． 17. 如图，已知点C为上一点，，，D，E分别为的中点，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查线段中点有关的计算．先求出的长，进而求出的长，根据中点，求出的长，利用，计算即可．正确的识图，找准线段之间的数量关系，是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵D，E分别为的中点， ∴， ∴． 18. 已知，、是内部的两条射线． （1）如图，若，平分，为内部的一条射线，，求的度数； （2）如图，若、分别平分，且，若，求和的度数； （3）如图，为射线的反向延长线上一点，将射线绕点以的速度顺时针旋转，旋转后对应的射线为，旋转时间为，平分，，若，直接写出的值．（注：本题涉及的角均小于） 【答案】（1）的度数为 （2）的度数为，的度数为 （3）秒或秒 【解析】 【分析】本题考查几何图形中角的计算，角平分线的定义， （1）利用角平分线的定义求出，可得结论； （2）设，则，，构建方程求解； （3）①当时，②当时，当时，列方程即可得到结论； 利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵，平分，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即的度数为； 【小问2详解】 设，则，， ∵、分别平分， ∴，， ∵，， ∴， 解得：， ∴，， 即的度数为，的度数为； 【小问3详解】 ①当时， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∵， ∴， ∵，即， ∴或， ∴（不符合题意，舍去）或； ②当时， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∵， ∴， ∵，即， ∴或， ∴（不符合题意，舍去）或； ③当时， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∵， ∴， ∵，即， ∴或， ∴（不符合题意，舍去）或（不符合题意，舍去； 综上所述，的值为秒或秒． B卷（满分50分） 一、填空题（每小题4分，共20分） 19. 若，则代数式的值为______． 【答案】10 【解析】 【分析】根据，可以得到，然后代入所求式子，即可解答本题． 【详解】解：， ， ， 故答案为：10． 【点睛】本题考查代数式求值，解答本题的关键是明确题意，求出所求式子的值． 20. 如图，a、b、c是数轴上点表示的有理数计算： ________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了数轴和绝对值，正确得出各式的符号是解题关键．直接利用数轴得出，，进而利用绝对值的性质化简得出答案． 【详解】解：由数轴可得： ， 所以，，， 故： ． 故答案为：． 21. 我们规定：使得成立的一对数a，b为“有趣数对”，记为．例如，因为，所以数对都是“有趣数对”．若是“有趣数对”，则k的值为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次方程，根据“有趣数对”建立关于k的一元一次方程，解方程即可． 【详解】解：由题意得：，即， 解得：， 故答案为：． 22. 如图①，O为直线AB上一点，作射线OC，使，将一块直角三角尺如图摆放，直角顶点在点O处，一条直角边OP在射线OA上，将图①中的三角尺绕点O以每秒的速度按逆时针方向旋转（如图②所示），在旋转一周的过程中，第t秒时，OQ所在直线恰好平分，则t的值为_____________． 【答案】24或60 【解析】 【分析】如图1，如图2，根据平角的定义得到∠BOC=60°，根据角平分线定义得到结论． 【详解】解：如图1，∵∠AOC=120°， ∴∠BOC=60°， ∵OQ平分∠BOC， ∴∠BOQ=∠BOC=30°， ∴t==24s； 如图2，∵∠AOC=120°， ∴∠BOC=60°， ∵OQ′平分∠BOC， ∴∠AOQ=∠BOQ′=∠BOC=30°， ∴t==60s， 综上所述，OQ所在直线恰好平分∠BOC，则t的值为24s或60s， 故答案为：24或60． 【点睛】本题考查了角平分线定义，平角的定义，正确的作出图形是解题的关键． 23. 一个四位正整数m各数位上的数字都不为0且各数位上的数字都不相同，四位数m的前两位数字之和为9，后两位数字之和为9，称这样的四位数m为“九九数”、把该四位数m的前两位上的数字和后两位数字整体轮换后得到新的四位数，称此时的是m的“轮换数”并规定；例如：不是“九九数”．为“九九数”，则，若“九九数”（其中的整数），则的最大值=________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的加减计算，根据“九九数”的定义，四位数的各位数字都不为0且互不相同，前两位数字之和为9，后两位数字之和为9．设，其中为1到9的整数，且，．函数，其中是的前两位与后两位整体轮换后的数．通过计算可得．为最大化，需最大化，同时确保数字互不相同且不为0．和的取值范围均为1到8．最大，即或，此时． 【详解】解：由，且，，得， ∴ ∴ ， ∴当最大时，最大， ∵正整数m各数位上的数字都不为0且各数位上的数字都不相同， ∴和为1到8的整数（因为和必须为1到9），且数字互不相同． 当，时，，，数字为8，1，2，7，互不相同； 当，时，，，数字为7，2，1，8，互不相同． 两种情况下，． 其他组合如，导致数字重复，无效． 故的最大值为66． 故答案为：． 二、解答题（共3小题，共30分） 24. 已知关于的整式，其中，． （1）求； （2）若中不含二次项和一次项，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）将整式代入所求式中，再根据去括号法则、合并同类项法则计算即可； （）由中不含二次项和一次项可知，含二次项和一次项的系数均为，据此求出的值即可求解； 本题考查了整式的加减及整式加减中的无关型问题，熟练掌握去括号法则、合并同类项法则是解题的关键． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：∵中不含二次项和一次项， ∴，， ∴，， ∴． 25. 今年成都的天气比往年要寒冷许多，进入12月份以后人们对暖手宝热水袋的需求开始增加，某超市第一次共购进300件甲、乙两种品牌的暖手宝热水袋，全部出售后赚得2700元．已知甲品牌暖手宝的进价为22元/件，售价为29元/件，乙品牌暖手宝的进价为30元/件，售价为40元/件． （1）该超市第一次购进甲、乙两种暖手宝各多少件？ （2）该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种暖手宝，其中乙品牌的件数不变；甲品牌按原价销售，乙品牌打九折销售．第二次两种暖手袋都销售完以后获得的总利润比第一次获得的总利润多600元，求第二次购进甲品牌多少件？ （3）该超市第三次进货时，厂家给出了如下优惠方案： 甲品牌优惠方案 一次性购买数量 不超过100件的部分 超过100件的部分 折扣数 九折 八折 乙品牌优惠方案 购买总金额 不超过3000元 超过3000元但不超过5000元 超过5000元 返现金金额 0元 直接返现金200元 先返购买总金额的5％，再返现金200元 已知超市购进甲品牌共支付了3740元，购进乙品牌共支付了4930元．将第三次购进的甲、乙两种暖手宝全部卖完一共可获得多少利润？ 【答案】（1）甲100件，乙200件（2）300件（3）4330元 【解析】 【分析】（1）设第一次购进甲件，则第一次购进乙件，依题意列出一元一次方程，故可求解； （2）设第二次购进甲品牌件，根据题意列出一元一次方程，故可求解； （3）分别求出第三次购进的甲、乙品牌的件数，故可求解． 【详解】解：（1）设甲件，乙件， 依题意可得， 解得 ∴超市第一次购进甲种暖手宝100件、乙种暖手宝乙200件， （2）设第二次购进甲品牌件， 根据题意可得， ， ∴第二次购进甲品牌300件。 （3）设第三次购进甲品牌件， 依题意可得， ， 设第三次购进乙品牌总金额元， 依题意可得， ， （件） ∴共获利：（元） 答：第三次购进的甲、乙两种暖手宝全部卖完一共可获得4330元利润． 【点睛】此题主要考查一元一次方程的实际应用，解题的关键是根据题意找到数量关系列方程求解． 26. 如图，数轴上有，，三个点对应的数分别为，，，点为原点，已知是关于的一元一次方程，且，满足． （1）直接写出_____，线段_____； （2）若数轴上有两个动点，分别从，两点沿数轴同时出发向右匀速运动，点速度为3单位长度/秒，点速度为1单位长度/秒，若运动时间为秒，运动过程中，是否存在线段的中点到点的中点距离为2，若存在，请求出的值．若不存在，请说明理由； （3）在（2）的条件下，另外两个动点，分别随着，一起运动，且始终保持线段，线段（点在的左边，点在的左边），当点运动到点时，线段立即以相同的速度返回，当点返回运动到点时，线段和立即同时停止运动，在整个运动过程中，是否存在使两条线段重叠部分的长为线段长度的一半，若存在，请直接写出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1），24 （2）存在，，14 （3）存在，的值为：6，，，9 【解析】 【分析】（1）根据一元一次方程的定义可得，即可求出b，根据绝对值、平方的非负性即可求解a、c，问题得解； （2）根据运动特点可得P表示的数为，Q表示的数为，再根据M为的中点，N为中点，可得M表示的数为，N表示的数为，依据，可得方程，解方程即可求解； （3）分类讨论：与第一次重合中，由P到C的时间为8秒，即时，点P表示的数为，E表示的数为，Q表示的数为，F表示的数为，①点P表示的数比点F表示的数大1，即，②点Q表示的数比点E表示的数大1，即；与第二次重合中，P到C返回时，即，同理表示出P表示的数为，E表示的数为，Q表示的数为，F表示的数为，③点Q表示的数比E表示的数大1时，即，④点P表示的数比F表示的数大1时，即，分别解方程即可求解． 【小问1详解】 解：∵是关于的一元一次方程， ∴， 解得， ∵， 又∵，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：，24； 【小问2详解】 解：∵A表示的数为，B表示的数为，C表示的数为6， ∴根据运动特点可得P表示的数为，Q表示的数为， ∵M为的中点，N为中点， ∴M表示的数为，N表示的数为， ∵， ∴， ∴， ∴或， 解得或14， 即存在线段的中点到点的中点距离为2，或14； 【小问3详解】 解：∵， ∴， 与第一次重合中，由P到C的时间为8，即时， 点P表示的数为，E表示的数为，Q表示的数为，F表示的数为， ①点P表示的数比点F表示的数大1， 即， 解得：； ②点Q表示的数比点E表示的数大1， 即， 解得：； 与第二次重合中，P到C返回时，即， P表示的数为，E表示的数为，Q表示的数为，F表示的数为， ③点Q表示的数比E表示的数大1时， 即， 解得：； ④点P表示的数比F表示的数大1时， 即， 解得：． 故存在使两条线段重叠部分的长为线段长度的一半，的值为：6，，，9． 【点睛】本题考查数轴上的动点问题，两点之间的距离，一元一次方程的应用，绝对值、平方的非负性等知识，解题的关键是用含t的代数式表示点运动后所表示的数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $