8.3 统计分析帮你做预测（题型专练）数学苏科版九年级下册

8.3 统计分析帮你做预测 题型一 数学模型——一次函数 1．（2024·江都区·一模）漏刻（如图）是我国古代的一种计时工具．据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．李明依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位h（cm）是时间t（min）的一次函数，下表是李明记录的部分数据，其中有一个h的值记录错误，错误的h值为（　　） t（min） … 2 4 7 12 … h（cm） … 1.8 2.6 4.2 5.8 … A．1.8 B．2.6 C．4.2 D．5.8 2．（2024·淮安·校级期末）漏刻是中国古代的一种计时工具，漏刻的工作原理是利用均匀水流导致的水位变化来显示时间．水从上面漏壶源源不断地补充给下面的漏壶，再均匀地流入最下方的箭壶，使得壶中有刻度的小棍匀速升高，从而取得比较精确的时刻．某学习小组复制了一个漏刻模型，研究中发现小棍露出的部分y（厘米）是时间x（分钟）的一次函数，且当时间x＝0分钟时，y＝2厘米．表中是小明记录的部分数据，其中有一个y的值记录错误． x（分钟） … 10 20 30 40 y（厘米） … 2.6 3.2 3.6 4.4 （1）你认为y的值记录错误的数据是　　，请利用正确的数据确定函数表达式； （2）当小棍露出部分为14厘米时，对应的时间为多少？ 3．（2025·镇江·真题）新一轮科技革命和产业变革深入发展，科技创新是建成科技强国的重要保障．学校兴趣小组成员收集了我国2018﹣2024年发明专利申请授权数，整理数据如下表（单位：万个，精确到0.1）： x（年份） 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024 y/万个 43.2 45.3 53.0 69.6 79.8 92.1 104.5 （1）计算2020到2021年我国发明专利申请授权数的增长率（精确到1%）； （2）小组成员建立平面直角坐标系，并根据表中数据画出相对应的点（如图），从图中可以看出，这些点大致分布在一条直线附近，他们选择了两个点A（2019，45.3）、B（2024，104.5）作一条直线来近似的表示y的值随年份x不断增长的变化趋势．设直线AB上点的坐标满足函数表达式y＝kx+b．试求出k的值，并写出k的实际意义，再预测我国2025年发明专利申请授权数． 4．（2025·南京·月考）[背景]在第一季度（1～3月）中，某工厂各月的利润分别同比去年增长2万元、4万元、3万元（数据经过四舍五入），为了反映各月盈利增长的趋势，工厂进行数学建模，将该月利润同比增长值y（万元）与月份x（0≤x≤3）满足的函数的抽象为折线段（默认折线段的起始端点为（0，0），即该折线段是以点（0，0）、点（2，4）为端点的线段与以点（2，4）、点（3，3）为端点的线段组合而成的图象）．为了直观预测工厂未来的各月利润同比增长量，现计划将该折线图象用某直线作为简化图象代替，为了使预测更具精准性，工厂引入差异值的概念来比较不同简化图象关于折线变化趋势的代替效果，差异值越小，该简化图象越能反映该折线的变化趋势．以下为工厂对差异值的定义： [定义]在平面直角坐标系内，对于某折线段，记它的起始端点与终止端点的横坐标分别为x1、x2（x1＜x2），称某函数图象与该折线段在直线x＝x1和直线x＝x2之间的区域中围成图形的面积为该函数关于该折线段的差异值．如图A，阴影部分的面积为直线y＝1关于折线ABC的差异值． [任务] （1）在如图B绘制出该月利润同比增长值y（万元）与月份x（0≤x≤3）的折线段图象． （2）工厂目前提供如下两种简化图象的方案： 方案一：使用常值函数作为简化图象． 方案二：使用　　函数作为简化图象． ①请计算方案一中的常值函数关于（1）中所绘制折线段的差异值的最小值． ②厂长经过分析后，认为方案一中的常值函数关于折线段的差异值的最小值没能达到期望值，为此他制定了方案二．假如你是厂长，请你在方案二中的横线中填入合适的内容，使方案二的函数关于（1）中所绘制的折线段的差异值比①中求得结果小，并计算该差异值． 题型二 数学模型——反比例函数 1．（2023·惠山区·校级期中）实验数据显示，一般成人喝50毫升某品牌白酒后，血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）变化的图象如图（图象由线段OA与部分双曲线AB组成）所示．国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路． （1）求部分双曲线AB的函数表达式； （2）参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上22：00在家喝完50毫升该品牌白酒，第二天早上6：30能否驾车去上班？请说明理由． 2．（2024春•邗江区校级月考）小明设计了杠杆平衡实验：如图，取一根长70cm质地均匀的木杆，用细绳绑在木杆的中点O处并将其吊起来，在左侧距离中点O20cm处挂一个重9N的物体，为了保持木杆水平（动力×动力臂＝阻力×阻力臂），在中点O右侧用一个弹簧测力计竖直向下拉，改变弹簧测力计与中点O的距离L（单位：cm），看弹簧测力计的示数F（单位：N）有什么变化，小明在做此活动时，得到下表的数据． 第1组 第2组 第3组 第4组 L/cm 20 24 28 30 F/N 9 7.5 10 6 （1）表中第　　组数据是明显错误的； （2）在已学过的函数中选择合适的模型，求F关于L的函数解析式； （3）若弹簧测力计的最大量程是10N，求L的取值范围． 题型三 数学模型——二次函数 1．（2024·吴江区·期中）数学老师带领学生进行“校园农业项目式学习”，实施无土栽培．同学们发现：洒水少了“发芽率p”低，洒水多了要烂根，也会影响“发芽率p”．通过实验，同学们发现：在温度一定的条件下，发芽率p与洒水量v（单位：升）近似地满足函数关系p＝av2+bv+c（a，b，c是常数），如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳的洒水量为（　　） A．3.50升 B．3.75升 C．4.00升 D．4.25升 2．（2025·姑苏区·期中）由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”．某公司设计了一款新型汽车，现在对它的刹车性能（车速不超过150km/h）进行测试，测得数据如表： 车速x（km/h） 0 30 60 90 120 150 刹车距离y（m） 0 7.8 19.2 34.2 52.8 75 （1）以车速x为横坐标，刹车距离y为纵坐标，在坐标系中描出表中各组数值所对应的点，并用平滑曲线连接这些点； （2）若车速和刹车距离的函数关系近似看作二次函数，请求出这个函数的解析式（不要求写出x的取值范围）； （3）若该型汽车某次测试的刹车距离为40m，请根据（2）中求出的函数解析式，估计该车的速度． 3．（2024·鼓楼区·校级月考）“城市轨道交通是现代大城市交通的发展方向，发展轨道交通是解决大城市病的有效途径．”如图1，北京地铁（BeijingSubway）是中华人民共和国北京市的城市轨道交通系统，规划于1953年，始建于1965年，运营于1969年，是中国第一个地铁系统．小华了解到列车从慈寿寺站开往花园桥站时，在距离停车线256米处开始减速．他想知道列车从减速开始，经过多少秒停下来，以及最后一秒滑行的距离．为了解决这个问题，小华通过建立函数模型来描述列车离停车线的距离s（米）与滑行时间t（秒）的函数关系，再应用该函数解决相应的问题． （1）建立模型 ①收集数据 r（秒） 0 4 8 12 16 20 24 … s（米） 256 196 144 100 64 36 16 … ②建立平面直角坐标系 为了观察s（米）与t（秒）的关系，建立如图2所示的平面直角坐标系． ③描点连线 请在平面直角坐标系中将表中未描出的点补充完整，并用平滑的曲线依次连接． ④选择函数模型 观察这条曲线的形状，它可能是　　函数的图象． ⑤求函数解析式 解：设s＝at2+bt+c（a≠0），因为t＝0时，s＝256，所以c＝256，则s＝at2+bt+256． 请根据表格中的数据，求a，b的值． 验证：把a，b的值代入s＝at2+bt+256中，并将其余几对值代入求出的解析式，发现它们都满足该函数解析式． （2）应用模型 列车从减速开始经过　　秒，列车停止；最后一秒钟，列车滑行的距离为　　米． 题型一 数学模型——函数综合问题 1．（2025·姑苏区·校级期中）2018年非洲猪瘟疫情暴发后，专家预测，2019年我市猪肉售价将逐月上涨，每千克猪肉的售价y1（元）与月份x（1≤x≤12，且x为整数）之间满足一次函数关系，如下表所示．每千克猪肉的成本y2（元）与月份x（1≤x≤12，且x为整数）之间满足二次函数关系，且3月份每千克猪肉的成本全年最低，为9元，如图所示． 月份x … 3 4 5 6 … 售价y1/元 … 12 14 16 18 … （1）求y1与x之间的函数关系式． （2）求y2与x之间的函数关系式． （3）设销售每千克猪肉所获得的利润为w（元），求w与x之间的函数关系式，哪个月份销售每千克猪肉所获得的利润最大？最大利润是多少元？ 2．（2025·宝应县·期中）学校旁边水果超市购进一批干果分装成营养搭配合理的小包装后出售，每袋成本3元．试销期间发现每天的销售量y（袋）与销售单价x（元）之间的关系满足如表，另外每天还需支付其他各项费用100元． 销售单价x（元） 3.5 4 4.5 5 5.5 销售量y（袋） 350 300 250 200 150 （1）请你从学过的一次函数、二次函数、反比例函数三个模型中揭示y与x的变化规律，并直接写出y与x之间的函数关系式． （2）为了在元旦前将这批干果销售完，每天的销量不能低于150袋，如果每天获得200元的利润，销售单价为多少元？ （3）若每天的销量不能低于150袋，当销售单价定为多少元时，每袋的利润最大，最大利润是多少元？ 3．（2024·兴化市·二模）科研人员为了研究弹射器的某项性能，利用无人机测量小钢球竖直向上运动的相关数据． 无人机上升到距离地面20m处开始计时，此时，在地面用弹射器（高度不计）竖直向上弹射一个小钢球（忽略空气阻力）．记无人机和小钢球距离地面的高度分别为y1，y2（单位：m），科研人员收集了y1，y2随时间x（单位：s）变化的数据，并分别绘制在平面直角坐标系中，如图所示． （1）根据y1，y2随x的变化规律，从①y＝mx+n（m≠0）；②y＝ax2+bx（a＜0）；③（k≠0）中，选择适当的函数模型，分别求出y1，y2满足的函数关系式； （2）当0＜x＜5时，小钢球和无人机的高度差最大是　　m． 4．（2024·工业园区·校级二模）某市在盐碱地种植海水稻获得突破性进展，小亮和小莹到海水稻种植基地调研．小莹根据水稻年产量数据，分别在直角坐标系中描出表示2017～2021年①号田和②号田年产量情况的点（记2017年为第1年度，横轴表示年度，纵轴表示年产量），如图： 小亮认为，可以从y＝kx+b（k＞0），y（m＞0），y＝﹣0.1x2+ax+c中选择适当的函数模型，模拟①号田和②号田的年产量变化趋势． （1）小莹认为不能选y（m＞0）．你认同吗？请说明理由； （2）请从小亮提供的函数模型中，选择适当的模型分别模拟①号田和②号田的年产量变化趋势，并求出函数表达式； （3）根据（2）中你选择的函数模型，请预测①号田和②号田总年产量在哪一年最大？最大是多少？ 1．（2024·工业园区·校级期中）小强用竹篱笆围一个面积为平方米的矩形小花园，他考虑至少需要几米长的竹篱笆（不考虑接缝），根据学习函数的经验，他做了如下的探究，请你完善他的思考过程． （1）建立函数模型： 设矩形小花园的一边长为x米，则矩形小花园的另一边长为　　米（用含x的代数式表示）；若总篱笆长为y米，请写出总篱笆长y（米）关于边长x（米）的函数关系式　　； （2）列表： 根据函数的表达式，得到了x与y的几组对应值，如表： x 1 2 3 4 5 y 10 6 a b 表中a＝　　，b＝　　； （3）描点、画出函数图象： 如图，在平面直角坐标系xOy中，将表中未描出的点（2，a），补充完整，并根据描出的点画出该函数的图象； （4）解决问题： 根据以上信息可得，当x＝　　时，y有最小值．由此，小强确定篱笆长至少为　　米． 2．（2025·亭湖区·校级二模）学科实践 “科学减重、健康生活”，携手共建健康中国．国家卫生健康委员会提出“体重管理年”3年行动的号召，合理膳食，加强运动已成为人们对健康生活的共识．跳绳是常见的有氧减脂运动，“博•约”学习小组对跳绳运动的心率与时间关系展开了研究．（图1数据来自于初三某班级男生平均值） 【初步思考】 通过运动心率与时间散点图，研究小组准备建立某种函数模型（函数拟合）加以研究： 甲：心率不会随时间的增加而不断增加，也不会明显下降，一次函数不太合理； 乙：运动一段时间后，心率应该趋于相对稳定； 丙：所以二次函数也不能很好地预测长时间运动后的心率情况； 丁：我们可以建立将反比例函数图象经过适当平移后的函数模型… 设拟合函数为： 【问题解决】 （1）如图，若选取A（50，140），B（75，155），C（150，180）进行拟合，经计算k＝﹣11250，请求出拟合函数表达式． （2）从健康角度考虑，中学生运动中的心率不宜超过200次/分钟，在（1）的条件下，请问：跳绳运动几分钟后就应该休息一下？ （3）①根据图象变换，（1）中图象可由的图象向左平移　　个单位，再向上平移　　个单位得到： ②点P在（1）中图象上运动，且位于直线y＝x左侧，当点P到直线y＝x距离最大时，达到最佳运动心率，请直接写出达到最佳运动心率的时间． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.3 统计分析帮你做预测 题型一 数学模型——一次函数 1．（2024·江都区·一模）漏刻（如图）是我国古代的一种计时工具．据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．李明依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位h（cm）是时间t（min）的一次函数，下表是李明记录的部分数据，其中有一个h的值记录错误，错误的h值为（　　） t（min） … 2 4 7 12 … h（cm） … 1.8 2.6 4.2 5.8 … A．1.8 B．2.6 C．4.2 D．5.8 【详解】解：设过点（2，1.8）和点（4，2.6）的函数解析式为y＝kx+b， 则，解得：， ∴y＝0.4x+1， 当x＝7时，y＝0.4×7+1＝3.8， 当x＝12时，y＝0.4×12+1＝5.8， 由上可得：点（7，4.2）不在该函数图象上，与题目中有一个h的值记录错误相符合． 故本题选：C． 2．（2024·淮安·校级期末）漏刻是中国古代的一种计时工具，漏刻的工作原理是利用均匀水流导致的水位变化来显示时间．水从上面漏壶源源不断地补充给下面的漏壶，再均匀地流入最下方的箭壶，使得壶中有刻度的小棍匀速升高，从而取得比较精确的时刻．某学习小组复制了一个漏刻模型，研究中发现小棍露出的部分y（厘米）是时间x（分钟）的一次函数，且当时间x＝0分钟时，y＝2厘米．表中是小明记录的部分数据，其中有一个y的值记录错误． x（分钟） … 10 20 30 40 y（厘米） … 2.6 3.2 3.6 4.4 （1）你认为y的值记录错误的数据是　　，请利用正确的数据确定函数表达式； （2）当小棍露出部分为14厘米时，对应的时间为多少？ 【详解】解：（1）∵，，， ∴y的值记录错误的数据是3.6； 设y＝kx+b（k≠0）， ∵x＝10，y＝2.6，x＝20，y＝3.2， ∴，解得：， ∴； （2）将y＝14代入得：，解得：x＝200， 答：对应的时间是200分钟． 3．（2025·镇江·真题）新一轮科技革命和产业变革深入发展，科技创新是建成科技强国的重要保障．学校兴趣小组成员收集了我国2018﹣2024年发明专利申请授权数，整理数据如下表（单位：万个，精确到0.1）： x（年份） 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024 y/万个 43.2 45.3 53.0 69.6 79.8 92.1 104.5 （1）计算2020到2021年我国发明专利申请授权数的增长率（精确到1%）； （2）小组成员建立平面直角坐标系，并根据表中数据画出相对应的点（如图），从图中可以看出，这些点大致分布在一条直线附近，他们选择了两个点A（2019，45.3）、B（2024，104.5）作一条直线来近似的表示y的值随年份x不断增长的变化趋势．设直线AB上点的坐标满足函数表达式y＝kx+b．试求出k的值，并写出k的实际意义，再预测我国2025年发明专利申请授权数． 【详解】解：（1）（69.6﹣53）÷53×100%≈31%， ∴2020到2021年我国发明专利申请授权数的增长率约为31%； （2）由题意可得：，解得：， ∴y＝11.84x﹣23859.66； 其中k的实际意义为2018﹣2024年我国发明专利申请授权数年均增长约11.84万个； 当x＝2025时，y＝11.84×2025﹣23859.66＝116.34≈116.3， ∴预测我国2025年发明专利申请授权数116.3万个． 4．（2025·南京·月考）[背景]在第一季度（1～3月）中，某工厂各月的利润分别同比去年增长2万元、4万元、3万元（数据经过四舍五入），为了反映各月盈利增长的趋势，工厂进行数学建模，将该月利润同比增长值y（万元）与月份x（0≤x≤3）满足的函数的抽象为折线段（默认折线段的起始端点为（0，0），即该折线段是以点（0，0）、点（2，4）为端点的线段与以点（2，4）、点（3，3）为端点的线段组合而成的图象）．为了直观预测工厂未来的各月利润同比增长量，现计划将该折线图象用某直线作为简化图象代替，为了使预测更具精准性，工厂引入差异值的概念来比较不同简化图象关于折线变化趋势的代替效果，差异值越小，该简化图象越能反映该折线的变化趋势．以下为工厂对差异值的定义： [定义]在平面直角坐标系内，对于某折线段，记它的起始端点与终止端点的横坐标分别为x1、x2（x1＜x2），称某函数图象与该折线段在直线x＝x1和直线x＝x2之间的区域中围成图形的面积为该函数关于该折线段的差异值．如图A，阴影部分的面积为直线y＝1关于折线ABC的差异值． [任务] （1）在如图B绘制出该月利润同比增长值y（万元）与月份x（0≤x≤3）的折线段图象． （2）工厂目前提供如下两种简化图象的方案： 方案一：使用常值函数作为简化图象． 方案二：使用　　函数作为简化图象． ①请计算方案一中的常值函数关于（1）中所绘制折线段的差异值的最小值． ②厂长经过分析后，认为方案一中的常值函数关于折线段的差异值的最小值没能达到期望值，为此他制定了方案二．假如你是厂长，请你在方案二中的横线中填入合适的内容，使方案二的函数关于（1）中所绘制的折线段的差异值比①中求得结果小，并计算该差异值． 【详解】解：（1）①折线段图象如下： ②方案二：使用一次函数（或正比例函数）作为简化图象， 故本题答案为：一次（或正比例）； （2）①如图， 则， ∴方案一中的常值函数关于（1）中所绘制折线段的差异值的最小值为3； ②如图，为了让差异值尽可能小，选择与折线段第一段重合的一次函数：过（0，0）和（2，4）的直线，解析式为y＝2x， 当x＝3时，y＝2×3＝6， 此时差异值为：． 题型二 数学模型——反比例函数 1．（2023·惠山区·校级期中）实验数据显示，一般成人喝50毫升某品牌白酒后，血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）变化的图象如图（图象由线段OA与部分双曲线AB组成）所示．国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路． （1）求部分双曲线AB的函数表达式； （2）参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上22：00在家喝完50毫升该品牌白酒，第二天早上6：30能否驾车去上班？请说明理由． 【详解】解：（1）由图可知：直线OA过（，20），则直线OA的解析式为y＝80x， 当x时，y＝120，即A（，120）， 设双曲线的解析式为y，将点A（，120）代入得：k＝180， ∴y（x）； （2）由y可得：当y＝20时，x＝9， 从晚上22：00到第二天早上6：30时间间距为8.5小时， ∵8.5＜9， ∴第二天早上6：30不能驾车去上班． 2．（2024春•邗江区校级月考）小明设计了杠杆平衡实验：如图，取一根长70cm质地均匀的木杆，用细绳绑在木杆的中点O处并将其吊起来，在左侧距离中点O20cm处挂一个重9N的物体，为了保持木杆水平（动力×动力臂＝阻力×阻力臂），在中点O右侧用一个弹簧测力计竖直向下拉，改变弹簧测力计与中点O的距离L（单位：cm），看弹簧测力计的示数F（单位：N）有什么变化，小明在做此活动时，得到下表的数据． 第1组 第2组 第3组 第4组 L/cm 20 24 28 30 F/N 9 7.5 10 6 （1）表中第　　组数据是明显错误的； （2）在已学过的函数中选择合适的模型，求F关于L的函数解析式； （3）若弹簧测力计的最大量程是10N，求L的取值范围． 【详解】解：（1）根据表格中的数据趋势可知：L的值逐渐增大，F逐渐减小， ∴第3组的数据错误， 故本题答案为：3； （2）根据杠杆原理可知：F×L＝20×9， ∴F与L的函数解析式为； （3）当F＝10N时，由可得：L＝18． 由题意可知：， ∴根据反比例函数的图象与性质可得：L的取值范围为18≤L≤35． 题型三 数学模型——二次函数 1．（2024·吴江区·期中）数学老师带领学生进行“校园农业项目式学习”，实施无土栽培．同学们发现：洒水少了“发芽率p”低，洒水多了要烂根，也会影响“发芽率p”．通过实验，同学们发现：在温度一定的条件下，发芽率p与洒水量v（单位：升）近似地满足函数关系p＝av2+bv+c（a，b，c是常数），如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳的洒水量为（　　） A．3.50升 B．3.75升 C．4.00升 D．4.25升 【详解】解：∵函数为p＝av2+bv+c，且过（2，0.2），（4，0.8），（5，0.5）， ∴， ∴， ∴函数为p＝﹣0.2v2+1.5v﹣2＝﹣0.2（v）2． ∴当v＝3.75时，p最大． 故本题选：B． 2．（2025·姑苏区·期中）由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”．某公司设计了一款新型汽车，现在对它的刹车性能（车速不超过150km/h）进行测试，测得数据如表： 车速x（km/h） 0 30 60 90 120 150 刹车距离y（m） 0 7.8 19.2 34.2 52.8 75 （1）以车速x为横坐标，刹车距离y为纵坐标，在坐标系中描出表中各组数值所对应的点，并用平滑曲线连接这些点； （2）若车速和刹车距离的函数关系近似看作二次函数，请求出这个函数的解析式（不要求写出x的取值范围）； （3）若该型汽车某次测试的刹车距离为40m，请根据（2）中求出的函数解析式，估计该车的速度． 【详解】解：（1）如图， （2）由题意可设y与x的关系式为y＝ax2+bx， 把（30，7.8）和（60，19.2）代入可得：， ∴， ∴y与x的关系式为yx2x； （3）由（2）可知：yx2x． 令y＝40，则40x2x，解得：x＝100或﹣200（负值舍去）， ∴该型汽车某次测试的刹车距离为40m，估计该车的速度约为100km/h． 3．（2024·鼓楼区·校级月考）“城市轨道交通是现代大城市交通的发展方向，发展轨道交通是解决大城市病的有效途径．”如图1，北京地铁（BeijingSubway）是中华人民共和国北京市的城市轨道交通系统，规划于1953年，始建于1965年，运营于1969年，是中国第一个地铁系统．小华了解到列车从慈寿寺站开往花园桥站时，在距离停车线256米处开始减速．他想知道列车从减速开始，经过多少秒停下来，以及最后一秒滑行的距离．为了解决这个问题，小华通过建立函数模型来描述列车离停车线的距离s（米）与滑行时间t（秒）的函数关系，再应用该函数解决相应的问题． （1）建立模型 ①收集数据 r（秒） 0 4 8 12 16 20 24 … s（米） 256 196 144 100 64 36 16 … ②建立平面直角坐标系 为了观察s（米）与t（秒）的关系，建立如图2所示的平面直角坐标系． ③描点连线 请在平面直角坐标系中将表中未描出的点补充完整，并用平滑的曲线依次连接． ④选择函数模型 观察这条曲线的形状，它可能是　　函数的图象． ⑤求函数解析式 解：设s＝at2+bt+c（a≠0），因为t＝0时，s＝256，所以c＝256，则s＝at2+bt+256． 请根据表格中的数据，求a，b的值． 验证：把a，b的值代入s＝at2+bt+256中，并将其余几对值代入求出的解析式，发现它们都满足该函数解析式． （2）应用模型 列车从减速开始经过　　秒，列车停止；最后一秒钟，列车滑行的距离为　　米． 【详解】解：（1）③如图， ④可能是二次函数图象， 故本题答案为：二次； ⑤设s＝at2+bt+c（a≠0）， 因为t＝0时，s＝256，所以c＝256，则s＝at2+bt+256． 把（4，196）和（8，144）代入可得， ，解得：a，b＝﹣16， ∴st2﹣16t+256， 当t＝12时，s144﹣16×12+256＝100， 当t＝16时，s256﹣16×16+256＝64， 当t＝20时，s400﹣16×20+256＝36， 当t＝24时，s576﹣16×24+256＝16， ∴其余几组数值都在函数图象上，减速阶段列车离停车线的距离s（米）与减速时间t（秒）的函数关系式为st2﹣16t+256； （2）应用模型： ∵St2﹣16t+256， ∴当s＝0时，0，解得：t＝32， 当t＝31时，s；当t＝32时，s＝0， ∴0（米）， 故本题答案为：32，． 题型一 数学模型——函数综合问题 1．（2025·姑苏区·校级期中）2018年非洲猪瘟疫情暴发后，专家预测，2019年我市猪肉售价将逐月上涨，每千克猪肉的售价y1（元）与月份x（1≤x≤12，且x为整数）之间满足一次函数关系，如下表所示．每千克猪肉的成本y2（元）与月份x（1≤x≤12，且x为整数）之间满足二次函数关系，且3月份每千克猪肉的成本全年最低，为9元，如图所示． 月份x … 3 4 5 6 … 售价y1/元 … 12 14 16 18 … （1）求y1与x之间的函数关系式． （2）求y2与x之间的函数关系式． （3）设销售每千克猪肉所获得的利润为w（元），求w与x之间的函数关系式，哪个月份销售每千克猪肉所获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【详解】解：（1）设y1与x之间的函数关系式为y1＝kx+b， 将（3，12）（4，14）代入y1可得：，解得：， ∴y1与x之间的函数关系式为：y1＝2x+6； （2）由题意可得：抛物线的顶点坐标为（3，9）， ∴设y2与x之间的函数关系式为：y2＝a（x﹣3）2+9， 将（5，10）代入y2＝a（x﹣3）2+9可得：a（5﹣3）2+9＝10，解得：a， ∴y2（x﹣3）2+9x2x； （3）由题意可得：w＝y1﹣y2＝2x+6x2xx2x， ∵0， ∴w有最大值， ∴当x7时，w最大7277， ∴7月份销售每千克猪肉所获得的利润最大，最大利润是每千克7元． 2．（2025·宝应县·期中）学校旁边水果超市购进一批干果分装成营养搭配合理的小包装后出售，每袋成本3元．试销期间发现每天的销售量y（袋）与销售单价x（元）之间的关系满足如表，另外每天还需支付其他各项费用100元． 销售单价x（元） 3.5 4 4.5 5 5.5 销售量y（袋） 350 300 250 200 150 （1）请你从学过的一次函数、二次函数、反比例函数三个模型中揭示y与x的变化规律，并直接写出y与x之间的函数关系式． （2）为了在元旦前将这批干果销售完，每天的销量不能低于150袋，如果每天获得200元的利润，销售单价为多少元？ （3）若每天的销量不能低于150袋，当销售单价定为多少元时，每袋的利润最大，最大利润是多少元？ 【详解】解：（1）从表格中可以看出y与x成一次函数，设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），将x＝4，y＝300；x＝5，y＝200分别代入得： ∴，解得：k＝﹣100，b＝700， ∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣100x+700； （2）由题意可得：（x﹣3）（﹣100x+700）﹣100＝200， x2﹣10x+24＝0，解得：x1＝4，x2＝6， ∵﹣100x+700≥150， ∴3≤x≤5.5， ∴x＝4， ∴如果每天获得200元的利润，销售单价为4元； （3）设每天的利润为w元， 由题意可得：w＝（x﹣3）（﹣100x+700）﹣100＝﹣100x2+1000x﹣2200＝﹣100（x﹣5）2+300， ∵a＝﹣100＜0，3.5≤x≤5.5， ∴当x＝5时，w有最大值300， ∴当销售单价定为5元时，每天的利润最大，最大利润是300元． 3．（2024·兴化市·二模）科研人员为了研究弹射器的某项性能，利用无人机测量小钢球竖直向上运动的相关数据． 无人机上升到距离地面20m处开始计时，此时，在地面用弹射器（高度不计）竖直向上弹射一个小钢球（忽略空气阻力）．记无人机和小钢球距离地面的高度分别为y1，y2（单位：m），科研人员收集了y1，y2随时间x（单位：s）变化的数据，并分别绘制在平面直角坐标系中，如图所示． （1）根据y1，y2随x的变化规律，从①y＝mx+n（m≠0）；②y＝ax2+bx（a＜0）；③（k≠0）中，选择适当的函数模型，分别求出y1，y2满足的函数关系式； （2）当0＜x＜5时，小钢球和无人机的高度差最大是　　m． 【详解】解：（1）不能选择反比例函数来模拟这两个关系，因为在反比例函数中，自变量x的值不能为0； 设y1关于t的函数表达式为y1＝kx+b（k≠0）， 将（0，20），（1，25）代入可得： ，解得：， ∴y1关于x的函数表达式为y1＝5x+20； 设y2关于x的函数表达式y2＝ax2+bx+c（a≠0）， 将（1，30），（2，50），（3，60）代入可得： ，解得：， ∴y2关于x的函数表达式为y2＝﹣5x2+35x； （2）由（1）可得：y2﹣y1＝﹣5x2+30x﹣20＝﹣5（x﹣3）2+25， ∵﹣5＜0， ∴当x＝3时，高度差最大，最大值为25米， 故本题答案为：25． 4．（2024·工业园区·校级二模）某市在盐碱地种植海水稻获得突破性进展，小亮和小莹到海水稻种植基地调研．小莹根据水稻年产量数据，分别在直角坐标系中描出表示2017～2021年①号田和②号田年产量情况的点（记2017年为第1年度，横轴表示年度，纵轴表示年产量），如图： 小亮认为，可以从y＝kx+b（k＞0），y（m＞0），y＝﹣0.1x2+ax+c中选择适当的函数模型，模拟①号田和②号田的年产量变化趋势． （1）小莹认为不能选y（m＞0）．你认同吗？请说明理由； （2）请从小亮提供的函数模型中，选择适当的模型分别模拟①号田和②号田的年产量变化趋势，并求出函数表达式； （3）根据（2）中你选择的函数模型，请预测①号田和②号田总年产量在哪一年最大？最大是多少？ 【详解】解：（1）认同，理由如下： 当m＞0时，y中，y随x的增大而减小， 而从图中描点可知：x增大y随之增大，故不能选y（m＞0）； （2）观察①号田和②号田的年产量变化趋势可知，①号田为y＝kx+b（k＞0），②号田为y＝﹣0.1x2+ax+c， 把（1，1.5），（2，2.0）代入y＝kx+b得： ，解得：， ∴y＝0.5x+1； 把（1，1.9），（2，2.6）代入y＝﹣0.1x2+ax+c得： ，解得：， ∴y＝﹣0.1x2+x+1， 答：模拟①号田的函数表达式为y＝0.5x+1，模拟②号田的函数表达式为y＝﹣0.1x2+x+1； （3）设①号田和②号田总年产量为w吨， 由（2）可知：w＝0.5x+1+（﹣0.1x2+x+1）＝﹣0.1x2+1.5x+2＝﹣0.1（x﹣7.5）2+7.625， ∵﹣0.1＜0，抛物线对称轴为直线x＝7.5，而x为整数， ∴当x＝7或8时，w取最大值，最大值为7.6， 答：①号田和②号田总年产量在2023年或2024年最大，最大是7.6吨． 1．（2024·工业园区·校级期中）小强用竹篱笆围一个面积为平方米的矩形小花园，他考虑至少需要几米长的竹篱笆（不考虑接缝），根据学习函数的经验，他做了如下的探究，请你完善他的思考过程． （1）建立函数模型： 设矩形小花园的一边长为x米，则矩形小花园的另一边长为　　米（用含x的代数式表示）；若总篱笆长为y米，请写出总篱笆长y（米）关于边长x（米）的函数关系式　　； （2）列表： 根据函数的表达式，得到了x与y的几组对应值，如表： x 1 2 3 4 5 y 10 6 a b 表中a＝　　，b＝　　； （3）描点、画出函数图象： 如图，在平面直角坐标系xOy中，将表中未描出的点（2，a），补充完整，并根据描出的点画出该函数的图象； （4）解决问题： 根据以上信息可得，当x＝　　时，y有最小值．由此，小强确定篱笆长至少为　　米． 【详解】解：（1）设矩形小花园的一边长为x米，则矩形小花园的另一边长为米； 总篱笆长y（米）关于边长x（米）的函数关系式为y＝2x+2•2x（x＞0）， 故本题答案为：，2x（x＞0）； （2）当x＝2时，y＝2x2×2，即a， 当x＝2时，y＝2x210，即b＝10， 故本题答案为：，10； （3）如图， （4）根据以上信息可得：当x时，y有最小值6； ∴小强确定篱笆长至少为6米． 故本题答案为：，6． 2．（2025·亭湖区·校级二模）学科实践 “科学减重、健康生活”，携手共建健康中国．国家卫生健康委员会提出“体重管理年”3年行动的号召，合理膳食，加强运动已成为人们对健康生活的共识．跳绳是常见的有氧减脂运动，“博•约”学习小组对跳绳运动的心率与时间关系展开了研究．（图1数据来自于初三某班级男生平均值） 【初步思考】 通过运动心率与时间散点图，研究小组准备建立某种函数模型（函数拟合）加以研究： 甲：心率不会随时间的增加而不断增加，也不会明显下降，一次函数不太合理； 乙：运动一段时间后，心率应该趋于相对稳定； 丙：所以二次函数也不能很好地预测长时间运动后的心率情况； 丁：我们可以建立将反比例函数图象经过适当平移后的函数模型… 设拟合函数为： 【问题解决】 （1）如图，若选取A（50，140），B（75，155），C（150，180）进行拟合，经计算k＝﹣11250，请求出拟合函数表达式． （2）从健康角度考虑，中学生运动中的心率不宜超过200次/分钟，在（1）的条件下，请问：跳绳运动几分钟后就应该休息一下？ （3）①根据图象变换，（1）中图象可由的图象向左平移　　个单位，再向上平移　　个单位得到： ②点P在（1）中图象上运动，且位于直线y＝x左侧，当点P到直线y＝x距离最大时，达到最佳运动心率，请直接写出达到最佳运动心率的时间． 【详解】解：（1）由题意可得：， 用第二个方程减去第一个方程消去b可得：155﹣140， （75+a）（50+a）＝﹣11250，a2+125a﹣15000＝0， （a+200）（a﹣75）＝0，解得a＝75或a＝﹣200（舍去，因为a＞0 ）． 把a＝75代入可得：， 140＝﹣90+b，解得：b＝230， ∴拟合函数表达式为； （2）令y＝200可得：，解得：x＝300， 300÷60＝5（分钟）， ∴跳绳运动5分钟后就应该休息一下； （3）①函数到，根据“左加右减，上加下减”原则， x变为x+75，图象向左平移了75个单位；整体加230，图象向上平移了230个单位， 故本题答案为：75，230； ②设与直线y＝x平行的直线方程为y＝x+b， ∵该直线与曲线相切时，该切点到y＝x的距离最大， ∴联立方程可得：， ∴（x+75）（x+b）﹣（﹣11250）﹣（x+75）×230＝0， x2+bx+75x+75b+11250﹣230x﹣17250＝0， x2+（b﹣155）x+75b﹣6000＝0， ∵直线与曲线相切， ∴联立后的一元二次方程x2+（b﹣155）x+75b﹣6000＝0的判别式Δ＝（b﹣155）2﹣4×（75b﹣6000）＝0． ∴b2﹣610b+48025＝0， ∴， ∴x2+（b﹣155）x+75b﹣6000＝0的解为， ∴（舍去）或， ∴最佳运动心率的时间为秒． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $