精品解析：湖北省武汉经济开发区官士墩中学2025--2026学年上学期12月九年级数学月考试卷

九年级数学12月学程清单 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 志愿服务，传递爱心，传递文明．下列志愿服务标志为中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. “明天武汉市最高气温为”这一事件是（ ）． A. 必然事件 B. 随机事件 C. 确定性事件 D. 不可能事件 3. 如图，若的半径为5，圆心O到一条直线的距离为2，则这条直线可能是（ ） A. B. C. D. 4. 一只不透明的袋中装有除颜色外都相同的红球、黄球、白球共50个．通过多次摸球试验后，发现摸到红球、黄球的频率分别是．则可估计袋中白球的个数是（ ） A. 10 B. 15 C. 25 D. 20 5. 关于一元二次方程，下列说法错误的是（ ） A. 方程有两个不相等的实数根 B. 方程的两根之和为2 C. 方程的两根异号 D. 方程的两根互为倒数 6. 秋冬季节是流感高发期，有1人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了个人，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 已知二次函数（m为常数，且）的图象上有三点，，，则、、的大小关系是（ ）． A. B. C. D. 8. 如图，在中，以为直径的经过点C，以点B为圆心，适当长为半径画弧分别交、于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点P，画射线分别交弦、劣弧于点D、E，连接．下列结论正确的是（ ）． A. B. C. 点D为弦中点 D. 点E为劣弧的中点 9. 二次函数在的范围内有最小值为，则c的值（　　） A. 3或 B. C. 或1 D. 3 10. 如图，是的外接圆，且为的直径，点E为的内心，的延长线交于点F，连接．若，，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 二．填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 已知点A（a，1）与点B（﹣4，b）关于原点对称，则a+b的值是_____． 12. 随意掷一枚正反方体骰子，均落在图中的小方格内（每个方格除颜色外完全相同），那么这枚骰子落在中阴影小方格中的概率为__________． 13. 如图，正五边形内接于，P为上不同于A、C的点，连接则的度数为________． 14. 已知一个圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，其底面圆周长为，则这个圆锥侧面展开图的面积是______． 15. 已知二次函数（a为常数，且）． 下列五个结论： ①该函数图象经过点； ②若，则当时，y随x增大而减小； ③该函数图象与x轴有两个不同的公共点； ④若关于x的方程有一个根大于0且小于，则； ⑤若，则关于x的方程的负实数根只有一个． 其中一定正确的是__________．（填写正确序号）． 16. 如图，在中，，；将绕点C顺时针旋转得到，则线段的长度的最小值是________． 三．解答题（共8小题，共72分）下列各题需要在答题卡指定的位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形． 17. 已知关于的方程，若方程的一个根是1，求的值及方程的另一个根． 18. 如图，将绕点A按逆时针方向旋转得到，连接． （1）判断的形状为__________； （2）若，求的度数． 19. 化学实验课上，张老师带来了（镁）、（铝）、（锌）、（铜）四种金属，这四种金属分别用四个相同的不透明容器装着，让同学们随机选择一种金属与盐酸反应来制取氢气．（根据金属活动顺序可知：可以置换出氢气，而不能置换出氢气） （1）小明从四种金属中随机选一种，则选到的概率为 ； （2）小明和小红分别从四种金属中随机选一种金属分别进行实验，求二人所选金属均能置换出氢气的概率． 20. 如图，在中，，点在上，以为直径的经过上的点，与交于点，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 21. 如图，由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． （1）在图①中，、、三点是格点，请你画出经过、、三点的圆的圆心，并在上作点，使； （2）在图②中，经过格点、格点和格点，圆心也在格点上，点是和网格线的交点，连接，，请在上作点，使平分，并在上作点，使得． 22. 如图1，某桥拱截面可视为抛物线的一部分，以为坐标原点、所在直线为轴建立平面直角坐标系．在某一时刻，桥拱内的水面宽米，桥拱顶点到水面的距离是4米． （1）①直接写出、两点的坐标：（　　），（　　）； ②求抛物线对应的函数解析式； （2）要保证高米的小船能够通过此桥（船顶与桥拱的距离不小于米），求小船的最大宽度是多少？ （3）如图2，桥拱所在的抛物线在轴下方部分与桥拱在平静水面中的倒影组成一个新函数图像，将新函数图像向右平移个单位长度，平移后的函数图像在时，的值随值的增大而减小，结合函数图像，直接写出的取值范围． 23. 如图1，中，为内一点，连接，将绕点按顺时针旋转角得到，连接，且C、D、E三点在同一直线上． （1）求证：； （2）如图2，若，过点作于点，探究线段之间的数量关系，并证明你的结论； （3）如图3，若，直接写出四边形面积的最大值：__________． 24. 如图1，抛物线：的对称轴为直线，且经过点． （1）求抛物线的解析式； （2）若点是抛物线对称轴上一点，且，求点的坐标； （3）如图2．将抛物线平移，得到抛物线，其顶点坐标为，点为直线上一点，过点的直线、与抛物线只有一个公共点，求证：直线过定点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学12月学程清单 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 志愿服务，传递爱心，传递文明．下列志愿服务标志为中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形，把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 根据中心对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．不是中心对称图形，不符合题意； B．是中心对称图形，符合题意； C．不是中心对称图形，不符合题意； D．不是中心对称图形，不符合题意． 故选B． 2. “明天武汉市最高气温为”这一事件是（ ）． A. 必然事件 B. 随机事件 C. 确定性事件 D. 不可能事件 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了随机事件，熟练掌握其判断方法是解题的关键． 根据随机事件的定义解题即可． 【详解】解：明天武汉市最高气温无法预先确定， ∴“明天武汉市最高气温为”这一事件是随机事件． 故选：B． 3. 如图，若的半径为5，圆心O到一条直线的距离为2，则这条直线可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线与圆的位置关系：当圆心到直线的距离等于半径时，则直线与圆相切，当圆心到直线的距离大于半径时，则直线与圆相离，当圆心到直线的距离小于半径时，则直线与圆相交；由此问题可求解． 【详解】解：∵的半径为5，圆心O到一条直线的距离为2，， ∴这条直线与圆相交， 由图可知直线与圆心的距离较小，故这条直线可能是． 故选C． 【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，熟练掌握直线与圆的位置关系是解题的关键． 4. 一只不透明的袋中装有除颜色外都相同的红球、黄球、白球共50个．通过多次摸球试验后，发现摸到红球、黄球的频率分别是．则可估计袋中白球的个数是（ ） A. 10 B. 15 C. 25 D. 20 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，已知概率求数量，根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值得到摸到红球和摸到黄球的概率，进而求出黄球和红球的个数，据此可得白球的个数． 【详解】解：∵通过多次摸球试验后，发现摸到红球、黄球的频率分别是， ∴摸到红球、黄球的概率分别是， ∴红球和黄球各有个，个， ∴可估计袋中白球的个数是个， 故选：D． 5. 关于一元二次方程，下列说法错误的是（ ） A. 方程有两个不相等的实数根 B. 方程的两根之和为2 C. 方程的两根异号 D. 方程的两根互为倒数 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，利用根的判别式，可得出，进而可得出原方程有两个不相等的实数根，再利用根与系数的关系，即可求出两根之和及两根之积的值． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴原方程有两个不相等的实数根，故A选项正确，不合题意； ∴两根之和为，故B选项正确，不合题意； 两根之积为， ∴方程的两根异号，故C选项正确，不合题意； ∵两根之积不等于1， ∴方程的两根不互为倒数，故D选项错误，符合题意； 故选：D． 6. 秋冬季节是流感高发期，有1人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了个人，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据有1人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，列出方程即可． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了个人，由题意，得： ； 故选D． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用．根据题意，正确的列出一元二次方程，是解题的关键． 7. 已知二次函数（m为常数，且）的图象上有三点，，，则、、的大小关系是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图像与性质，掌握二次函数的开口方向、对称轴是解题的关键． 二次函数开口向上，对称轴为，顶点处函数值最小；通过计算各点函数值比较大小即可解答． 【详解】解：∵ 二次函数，， ∴抛物线的开口向上，对称轴， ∴当时，最小， ∵，， ∵， ∴， ∴． 故选A． 8. 如图，在中，以为直径的经过点C，以点B为圆心，适当长为半径画弧分别交、于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点P，画射线分别交弦、劣弧于点D、E，连接．下列结论正确的是（ ）． A. B. C. 点D为弦中点 D. 点E为劣弧的中点 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的作图、圆周角定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据作图推出，得出，即可作答． 【详解】解：由作图可知， ∴，即点为劣弧的中点． 故选：D． 9. 二次函数在的范围内有最小值为，则c的值（　　） A. 3或 B. C. 或1 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】把二次函数解析式化为顶点式可得二次函数图象的对称轴为直线，从而得到当时，二次函数取最小值，最小值为，从而得到，即可求解． 【详解】解： ∴二次函数图象的对称轴为直线， ∵， ∴二次函数的图象开口向下， ∵，且， ∴当时，二次函数取最小值，最小值为， ∵在的范围内有最小值为， ∴， 解得：或3． 故选：A 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质的知识点，解答本题的关键是求出二次函数的对称轴，本题比较简单． 10. 如图，是的外接圆，且为的直径，点E为的内心，的延长线交于点F，连接．若，，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接交于点G，作于点H，证明，得到，，证明是等腰直角三角形，得到，则，利用等积法得到，即可得到答案． 【详解】解：连接交于点G，作于点H， ∵点E为的内心， ∴，， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∴ ∵ ∴， ∵，， ∴， ∴ 故选：B 【点睛】此题考查了勾股定理、圆周角定理、三角形内心的性质、垂径定理的推论、等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握圆周角定理、三角形内心的性质、垂径定理的推论是解题的关键． 二．填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 已知点A（a，1）与点B（﹣4，b）关于原点对称，则a+b的值是_____． 【答案】3 【解析】 【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出答案． 【详解】∵点A（a，1）与点B（−4，b）关于原点对称， ∴a＝4，b＝−1， 则a＋b的值是：4−1＝3． 故答案为：3． 【点睛】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确把握对应点横纵坐标的关系是解题关键． 12. 随意掷一枚正反方体骰子，均落在图中的小方格内（每个方格除颜色外完全相同），那么这枚骰子落在中阴影小方格中的概率为__________． 【答案】 【解析】 【详解】∵共有9个方格，其中黑色方格占4个， ∴这粒豆子停在黑色方格中的概率是． 故答案为． 13. 如图，正五边形内接于，P为上不同于A、C的点，连接则的度数为________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查正多边与圆．熟练掌握求中心角的度数的公式，以及在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，是解题的关键．连接，分两种情况，再根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，即可得解． 【详解】解：如图，当点P在上时，连接，，正五边形内接于， 则：所对应的圆心角度数为， ∴； 如图，当点P在上时，连接，，正五边形内接于， 则：所对应的圆心角度数为， ∴； 故答案为：或． 14. 已知一个圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，其底面圆周长为，则这个圆锥侧面展开图的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是圆锥的侧面积的计算，先求解扇形的半径，再利用圆锥的侧面积公式计算即可． 【详解】解：∵圆锥的侧面展开图是一个圆心角为，底面圆周长为， ∴， ∴ 这个圆锥侧面展开图的面积是； 故答案为： 15. 已知二次函数（a为常数，且）． 下列五个结论： ①该函数图象经过点； ②若，则当时，y随x增大而减小； ③该函数图象与x轴有两个不同的公共点； ④若关于x的方程有一个根大于0且小于，则； ⑤若，则关于x的方程的负实数根只有一个． 其中一定正确的是__________．（填写正确序号）． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象与坐标轴的交点问题，利用二次函数确定一元二次方程的根，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键，通过代入点验证、计算对称轴、判别式和分析根的情况进行判断． 【详解】解：∵， ∴当时，， ∴该函数图象经过点；故①正确； 当时，， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小；故②正确； ∵， ∴， ∴抛物线与轴有1个或2个交点，故③错误； ∵函数图象经过点， ∴的一个根为， ∴由根与系数的关系可知：，则方程的另一个根为， ∵关于的方程有一个根大于0且小于1，即， ∴，故④正确； 由④可知，当时，抛物线与轴的两个交点分别为，且， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线在轴的左侧， 考虑方程 ，即：或， 对于 ，即 ， 设其根为 和 ，根据根与系数的关系：，， 由于  ， ，说明一个根为正，一个根为负， 因此，方程 有一个负根。 对于 ，即：， 解得或， 由于 ， ，因此， 是一个非负根， 是一个负根； 综合以上分析，方程  的负实数根有两个，故⑤错误， 故答案为：①②④． 16. 如图，在中，，；将绕点C顺时针旋转得到，则线段的长度的最小值是________． 【答案】 【解析】 【分析】在的上方作，且使，连接，．设，则，根据证明得出，，得出，即可推出结论． 【详解】解：如图，在的上方作，且使，连接，．过点C作的垂线，F为垂足． ∵，， ∴， 设，则， ∴， ∴， ， ∵将绕点C顺时针旋转得到， ，， 又， ， 在和中， ， ， ，． ， ， ， 的最小值为12， 的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，配方法的应用，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键． 三．解答题（共8小题，共72分）下列各题需要在答题卡指定的位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形． 17. 已知关于的方程，若方程的一个根是1，求的值及方程的另一个根． 【答案】的值为，方程的另一个根为． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根以及根与系数的关系，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先将代入方程求得的值，再根据根与系数关系可知，即可求得方程的另一个根． 【详解】解：将代入方程得： 解得： 由根与系数的关系可知 ， 的值为，方程的另一个根为． 18. 如图，将绕点A按逆时针方向旋转得到，连接． （1）判断的形状为__________； （2）若，求的度数． 【答案】（1）等腰三角形 （2）的度数为 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形的判定和性质． （1）根据旋转的性质可推出结论； （2）根据旋转的性质得出，根据平行线的性质得出，从而得出结果． 【小问1详解】 解：∵将绕点按逆时针方向旋转得到， ∴， ∴的形状为等腰三角形； 【小问2详解】 解：∵将绕点按逆时针方向旋转得到， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为． 19. 化学实验课上，张老师带来了（镁）、（铝）、（锌）、（铜）四种金属，这四种金属分别用四个相同的不透明容器装着，让同学们随机选择一种金属与盐酸反应来制取氢气．（根据金属活动顺序可知：可以置换出氢气，而不能置换出氢气） （1）小明从四种金属中随机选一种，则选到的概率为 ； （2）小明和小红分别从四种金属中随机选一种金属分别进行实验，求二人所选金属均能置换出氢气的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）直接利用概率公式可得答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及二人所选金属均能置换出氢气的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意得，选到的概率为． 故答案为：． 【小问2详解】 （2）列表如下： （,） （,） （,） （,） （,） （,） （,） （,） （,） （,） （,） （,） （,） （,） （,） （,） 共有16种等可能的结果，其中二人所选金属均能置换出氢气的结果有：（,），（,），（,），（,），（,），（,），（,），（,），（,），共9种， ∴二人所选金属均能置换出氢气的概率为． 20. 如图，在中，，点在上，以为直径的经过上的点，与交于点，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】（）证明，得到，即可求证； （）设的半径为，则，利用勾股定理可得，进而得到，即得，即得到，再根据弧长公式计算即可求解； 本题考查了切线的判定，锐角三角函数，弧长公式等，熟练掌握知识点是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设的半径为，则， ∵， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的长． 21. 如图，由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． （1）在图①中，、、三点是格点，请你画出经过、、三点的圆的圆心，并在上作点，使； （2）在图②中，经过格点、格点和格点，圆心也在格点上，点是和网格线的交点，连接，，请在上作点，使平分，并在上作点，使得． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了网格作图，垂径定理，三角形中位线的性质，等弧对等角，熟练掌握圆的相关性质是解题的关键； （1）连接交于点，则即为圆心，取的格点，连接，则，连接，根据垂径定理即可得出； （2）根据网格的特点取的中点，连接并延长交于点，连接交于点，根据垂径定理可得，则； 连接并延交网格线于点，则，连接交网格线于点，则，连接交于点，则，即可求解． 【小问1详解】 如图，连接交于点，则即为圆心，取的格点，连接，则，连接，则； 【小问2详解】 如图，根据网格的特点取的中点，连接并延长交于点，连接交于点，根据垂径定理可得，则； 连接并延长交网格线于点，则，连接交网格线于点，则，连接交于点，则； 理由如下，根据网格的特点取的中点，连接并延长交于点，连接交于点，根据垂径定理可得，则； 根据，则是的中位线，则； 22. 如图1，某桥拱截面可视为抛物线的一部分，以为坐标原点、所在直线为轴建立平面直角坐标系．在某一时刻，桥拱内的水面宽米，桥拱顶点到水面的距离是4米． （1）①直接写出、两点的坐标：（　　），（　　）； ②求抛物线对应的函数解析式； （2）要保证高米的小船能够通过此桥（船顶与桥拱的距离不小于米），求小船的最大宽度是多少？ （3）如图2，桥拱所在的抛物线在轴下方部分与桥拱在平静水面中的倒影组成一个新函数图像，将新函数图像向右平移个单位长度，平移后的函数图像在时，的值随值的增大而减小，结合函数图像，直接写出的取值范围． 【答案】（1）①，② （2）米 （3） 【解析】 【小问1详解】 ①∵，且点A在x轴上， ∴， 根据抛物线的特点确定抛物线的对称轴为直线， ∴点， 故答案为：，． ②设抛物线的解析式为，把原点代入得 ， 解得， ∴此二次函数的表达式． 【小问2详解】 ∵二次函数的表达式， 令得： ， 解得：，， ∴小船的最大宽度为：米． 【小问3详解】 根据平移规律得到点O平移后的对应点为，对称轴平移后的对称轴为，点A平移后的对应点为，根据图像性质，得到函数在上，满足y随x的增大而减小， ∴或， 解得或（舍去）， 故n的取值范围是． 【点睛】本题考查了抛物线的解析式，抛物线的平移，函数的增减性，抛物线的应用，熟练掌握抛物线的平移，函数的增减性，抛物线的应用是解题的关键． 23. 如图1，中，为内一点，连接，将绕点按顺时针旋转角得到，连接，且C、D、E三点在同一直线上． （1）求证：； （2）如图2，若，过点作于点，探究线段之间的数量关系，并证明你的结论； （3）如图3，若，直接写出四边形面积的最大值：__________． 【答案】（1） 证明：∵将绕点按顺时针旋转角得到， ∴， ∴， ， 在和中 ， ∴， ． （2） 证明如下： 由（1）可得， ∵如图2，由旋转可得， ∴为等边三角形， ∵， ∴平分， 在中，， ， ∵， ∴，即， ， 即， ， ． （3） 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质可得，从而得出，根据“”证明，即可求解； （2）由（1）可得，如图2，由旋转可得，证明为等边三角形，根据，得出平分，在中，求出，从而得，根据勾股定理得出，求出，结合，即可得． （3）如图3中，过点A作交的延长线于，设交于．同（1）可得，则，根据三角形内角和定理得出，从而得出点在以为直径的圆上运动，即图中上运动，确定当，四边形的面积最大，此时，根据，得出，从而得，，设，则，根据，，列方程求出，求出，再根据四边形最大面积求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图3中，过点A作交的延长线于，设交于． 同（1）可得， ， ， ， ∴点在以为直径的圆上运动，即图中上运动， ∵， ∴， ∵为定值， ∴当点距离越远，则面积最大， ∴当，四边形的面积最大，此时， ， ， ， ， ， ， ， 设， 则， ∵，， ， ， ． ∴四边形最大面积． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的性质和判定，旋转的性质，等边三角形的性质和判定，直角三角形的性质，二次根式的性质，弦、弧、圆心角之间的关系，勾股定理等知识点，证明三角形全等是本题的关键． 24. 如图1，抛物线：的对称轴为直线，且经过点． （1）求抛物线的解析式； （2）若点是抛物线对称轴上一点，且，求点的坐标； （3）如图2．将抛物线平移，得到抛物线，其顶点坐标为，点为直线上一点，过点的直线、与抛物线只有一个公共点，求证：直线过定点． 【答案】（1） （2）点的坐标为或 （3） 证明：将抛物线平移，得到抛物线，其顶点坐标为， 抛物线的解析式为：， 点为直线上一点， 设点， 设过点的直线的解析式为， ， ， 过点P 的直线的解析式为， ， ， 即， 过点的直线、与抛物线只有一个公共点， ， ， ，， 则直线的解析式为， 则直线的解析式为， 联立得： ， 设点的横坐标为，则是方程的根， 过点的直线与抛物线只有一个公共点， 方程有两个相等的实根， ， ； ， 设点的横坐标为，则是方程的根， 过点的直线与抛物线只有一个公共点， 方程有两个相等的实根， ， ， ，， 、是方程的两根， ， ， 即：点、的坐标满足方程组， 点、是抛物线与直线的交点， ， 直线过定点． 【解析】 【分析】（1）由的对称轴为直线，可得，根据经过点，得到，联立，即可求解； （2）在中，令，求得点，点，则，令，则，得到点，，，由是抛物线对称轴上一点，可设点的坐标为，从而得到，，根据，可得，即，求出即可求解； （3）由题意得：，设过点的直线的解析式为，与抛物线解析式联立，利用过点的直线、与抛物线只有一个公共点，得到与的关系式，则直线的解析式为，直线的解析式为，分别与抛物线联立，设点的横坐标为，则是方程的根，利用根与系数的关系得到，，则、是方程的两根，即，整理得：，于是得到点、是抛物线与直线的交点，由此即可得证． 【小问1详解】 解：的对称轴为直线， ， 将点代入中得： ， 联立， 解得：， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 令，则， 解得：，， 点，点， ， 令，则， 点， ， ， 是抛物线对称轴上一点， 设点的坐标为， 则，， ， 在中，， 即， 解得：或， 点的坐标为或； 【小问3详解】 略 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数图像上点的坐标特征，一次函数的性质，一元二次方程根与系数的关系，抛物线与直线的交点，直角三角形的性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $