数学一模提分卷02（天津专用）学易金卷：2026年高考第一次模拟考试

2026年高考第一次模拟考试 数学·参考答案 第一部分（选择题 共45分） 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 D B C D C D A C A 第二部分（非选择题 共105分） 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 10． 11． 12．/ 13．5 14． 15． 三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（14分） 【详解】（1）由，得， 由余弦定理得.----------------------4分 （2）（ⅰ）由（1）得，且， 所以， 因为，所以；----------------------8分 （ⅱ）由（ⅰ）得，所以， 因为，所以， 由正弦定理可得，可得，故， 因，则，，故， 所以.----------------------14分 17．（15分） 【详解】（1）连接， 因为，为线段的中点，， ，且， 所以四边形为平行四边形，所以， 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系： 则，，，，, 因为是的中点，所以，----------------------3分 ，，， 设平面的一个法向量为， 则，即， 取，则， 又因为平面，所以平面；----------------------6分 （2）由（1）知，，，所以， 且平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离；----------------------9分 （3）由题意知，底面的法向量为， 因为，， 且，，所以，----------------------11分 所以由题意知：， 解得：，所以，----------------------13分 因为，设平面的一个法向量为， 则，即，取， 所以， 又平面与平面夹角为锐角， 所以平面与平面夹角的余弦值为．----------------------15分 18．（15分） 【详解】（1）由，，解得， 所以；则， 由是和的等比中项，则，解得， 又由，所以，所以.----------------------4分 （2）由（1）可得， 则①， ②， 将两式相减得：， 化简得.----------------------8分 （3）若对于恒成立， 即对于恒成立， 化简得对于恒成立，令，----------------------11分 则，当时，；----------------------12分 所以当时，， 所以当时，单调递减，当时，，----------------------14分 所以，所以. 故实数的取值范围为.----------------------15分 19．（15分） 【详解】（1）依题意知：，解得， 所以椭圆C的方程为：----------------------3分 （2）①依题意由（1）知，直线的斜率不为0． 设其方程为：，并与椭圆C联立方程组： ，得， 则，----------------------6分 ，同理：， 所以．----------------------8分 令，则， 所以，----------------------10分 因为，则， 所以，结合函数单调性定义知，在时单调递增． 所以，则. 所以的最大值是.----------------------12分 ②证明：由①知. 所以 .----------------------15分 20．（16分） 【详解】（1）当时，函数，求导得，则，而， 所以曲线在点处的切线方程为.----------------------5分 （2）函数的定义域为，，令， 依题意，，恒成立，----------------------8分 求导得，由，得；由，得， 则函数在上单调递增，在上单调递减，， 所以.----------------------12分 （3）由（2）知，，即，当且仅当时取等号， 则当时，，，…，，----------------------14分 因此， 所以原不等式成立.----------------------16分 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026年高考第一次模拟考试 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共45分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题5分，共30分） 10．_______________________ 11．_________________________ 12．_______________________ 13．____________，___________ 14．___________，__________ 15．_________________________ 四、解答题（共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（14分） 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（16分） 非 作 答 区 域 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考第一次模拟考试 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共45分） 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知，，（     ） A． B． C． D． 2．若，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．函数的大致图象为（    ） A． B． C． D． 4．已知，，，那么的大小为（    ） A． B． C． D． 5．连续抛掷一枚质地均匀的骰子5次，得到的点数分别为2，3，4，5，，则这5个数的第60百分位数为的概率为（    ） A． B． C． D． 6．若实数a、b满足 则 （    ） A．-1 B．1 C． D． 7．已知双曲线的左顶点为，离心率为，抛物线上一点到其焦点的距离为.若双曲线的一条渐近线与直线平行，则双曲线的方程为(    ) A． B． C． D． 8．如图，由两个平行平面截半径为2cm且足够高的圆柱体所得的几何体，截面与圆柱体的轴成，上、下截面间的距离为．天津一中学数学兴趣小组对该几何体进行了探究后得出下列四个结论，其中正确结论的个数是（   ） ①截口曲线的离心率为    ② ③该几何体的体积为    ④该几何体的侧面积为 A．1 B．2 C．3 D．4 9．已知对于任意的，不等式恒成立，当实数取最大值时，函数的图象与直线在轴右侧的交点自左向右依次记为，，则（    ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共105分） 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 10．已知复数满足，（其中为虚数单位），则复数的虚部为 . 11．在的展开式中，的系数为 ． 12．已知圆C：，则当圆C的面积最小时，圆上的点到坐标原点的距离的最大值为 ． 13．设是等比数列的前项和，若，，则 . 14．某志愿者组织召开春季运动会，为了组建一支朝气蓬勃、训练有素的赛会志愿者队伍，欲从4名男志愿者和3名女志愿者中随机抽取3人聘为志愿者队的队长，则①抽取的3人中至少有一名是女志愿者的概率为 ；②在“抽取的3人中至少有一名男志愿者”的前提下“抽取的3人中全是男志愿者”的概率是 . 15．中，为边中点，,,,则 （用,表示），若,,则 三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（14分）在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知. (1)求的值； (2)若，求 （ⅰ）的值； （ⅱ）的值. 17．（15分） 如图，四棱锥中，侧面为等边三角形，线段的中点为且底面，，且，是的中点. (1)证明：平面； (2)求点到平面的距离； (3)点在棱上，且直线与底面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值. 18．（15分）已知是等差数列，其前项和为，是等比数列，已知，，，是和的等比中项. (1)求和的通项公式； (2)对任意的正整数，设求数列的前项和. (3)若对于恒成立，求实数的取值范围. 19．（15分）已知椭圆的离心率为，且过点，其左、右顶点分别为，为椭圆上异于的两点． (1)求椭圆的方程． (2)设直线的斜率分别为，且直线过定点． ①设和的面积分别为，求的最大值； ②证明为定值，并求出该定值． 20．（16分）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若恒成立，求实数的取值范围； (3)利用（2）的结论证明：． / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ ( ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2026年高考第一次模拟考试 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共45分） 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知，，（     ） A． B． C． D． 2．若，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．函数的大致图象为（    ） A． B． C． D． 4．已知，，，那么的大小为（    ） A． B． C． D． 5．连续抛掷一枚质地均匀的骰子5次，得到的点数分别为2，3，4，5，，则这5个数的第60百分位数为的概率为（    ） A． B． C． D． 6．若实数a、b满足 则 （    ） A．-1 B．1 C． D． 7．已知双曲线的左顶点为，离心率为，抛物线上一点到其焦点的距离为.若双曲线的一条渐近线与直线平行，则双曲线的方程为(    ) A． B． C． D． 8．如图，由两个平行平面截半径为2cm且足够高的圆柱体所得的几何体，截面与圆柱体的轴成，上、下截面间的距离为．天津一中学数学兴趣小组对该几何体进行了探究后得出下列四个结论，其中正确结论的个数是（   ） ①截口曲线的离心率为    ② ③该几何体的体积为    ④该几何体的侧面积为 A．1 B．2 C．3 D．4 9．已知对于任意的，不等式恒成立，当实数取最大值时，函数的图象与直线在轴右侧的交点自左向右依次记为，，则（    ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共105分） 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 10．已知复数满足，（其中为虚数单位），则复数的虚部为 . 11．在的展开式中，的系数为 ． 12．已知圆C：，则当圆C的面积最小时，圆上的点到坐标原点的距离的最大值为 ． 13．设是等比数列的前项和，若，，则 . 14．某志愿者组织召开春季运动会，为了组建一支朝气蓬勃、训练有素的赛会志愿者队伍，欲从4名男志愿者和3名女志愿者中随机抽取3人聘为志愿者队的队长，则①抽取的3人中至少有一名是女志愿者的概率为 ；②在“抽取的3人中至少有一名男志愿者”的前提下“抽取的3人中全是男志愿者”的概率是 . 15．中，为边中点，,,,则 （用,表示），若,,则 三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（14分）在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知. (1)求的值； (2)若，求 （ⅰ）的值； （ⅱ）的值. 17．（15分） 如图，四棱锥中，侧面为等边三角形，线段的中点为且底面，，且，是的中点. (1)证明：平面； (2)求点到平面的距离； (3)点在棱上，且直线与底面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值. 18．（15分）已知是等差数列，其前项和为，是等比数列，已知，，，是和的等比中项. (1)求和的通项公式； (2)对任意的正整数，设求数列的前项和. (3)若对于恒成立，求实数的取值范围. 19．（15分）已知椭圆的离心率为，且过点，其左、右顶点分别为，为椭圆上异于的两点． (1)求椭圆的方程． (2)设直线的斜率分别为，且直线过定点． ①设和的面积分别为，求的最大值； ②证明为定值，并求出该定值． 20．（16分）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若恒成立，求实数的取值范围； (3)利用（2）的结论证明：． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考第一次模拟考试 数学·全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共45分） 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知，，（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合类型结合交集的概念可得. 【详解】因为集合为数集，集合为点集，故. 故选：D 2．若，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】解不等式，再由充分、必要性的定义确定条件间的关系即可. 【详解】由，此时不一定有成立，充分性不成立， 由，则必有，必要性成立， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 3．函数的大致图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析函数的奇偶性和特殊点的函数值符号，可排除干扰项. 【详解】由可知，，即，，显然该函数定义域关于原点对称， 由可知，函数为奇函数，图象关于原点对称，所以排除BD两项； 又，所以排除A. 又C选项的图象满足函数的性质． 故选：C 4．已知，，，那么的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数函数与指数函数的单调性比较大小即可. 【详解】因为函数在上单调递减，所以，故； 因为函数在上单调递增，所以，故； 因为函数在上单调递减，所以，故； 综上，. 故选：D. 5．连续抛掷一枚质地均匀的骰子5次，得到的点数分别为2，3，4，5，，则这5个数的第60百分位数为的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据百分位数的计算得到的可能取值，再利用古典概型概率公式求解. 【详解】因为，所以这个数的第百分位数是第个数与第个数的平均数， 又第百分位数是，所以第个数是，第个数是， 所以，即或， 而抛掷一枚骰子一次可能出现的点数有种情况， 所以或的概率， 即这个数的第百分位数是的概率为. 故选：C. 6．若实数a、b满足 则 （    ） A．-1 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】利用指数式与对数式互化公式可把用对数表示出来，代入到中，再利用换底公式以及对数的运算法则可得答案. 【详解】由，得；由，得， 则：， 则， 则：， 故选：D 7．已知双曲线的左顶点为，离心率为，抛物线上一点到其焦点的距离为.若双曲线的一条渐近线与直线平行，则双曲线的方程为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由定义求出抛物线方程，再由渐近线和离心率求出双曲线方程. 【详解】因为上一点到其焦点的距离为， 由定义可得，得，所以抛物线方程为. 代入点，可得， 双曲线左顶点为，渐近线斜率为， 由得，直线的斜率为， 因渐近线与直线平行，则，即， 两边平方得，将代入，得，解得（故）， 所以，则，双曲线方程为. 故选：A. 8．如图，由两个平行平面截半径为2cm且足够高的圆柱体所得的几何体，截面与圆柱体的轴成，上、下截面间的距离为．天津一中学数学兴趣小组对该几何体进行了探究后得出下列四个结论，其中正确结论的个数是（   ） ①截口曲线的离心率为    ② ③该几何体的体积为    ④该几何体的侧面积为 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据题设对圆柱体的切割方式确定截面椭圆的长短轴长度及，再求椭圆离心率，应用割补思想，将几何体割补为一个高为2，底面半径为2的圆柱体，即可求其体积和侧面积. 【详解】由题设，截面椭圆长轴长为，短轴长为， 所以，故离心率为，①错， 截面与圆柱体的轴成，上、下截面间的距离为，故，②对， 应用割补法，可将几何体割补为一个高为2，底面半径为2的圆柱体， 所以几何体的体积为，侧面积为，③④对. 故选：C 9．已知对于任意的，不等式恒成立，当实数取最大值时，函数的图象与直线在轴右侧的交点自左向右依次记为，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用二倍角公式转化不等式，构造函数并利用导数求出的最大值，再利用二倍角正弦化简函数，结合周期及给定函数值求得答案. 【详解】依题意，当时，恒成立，由余弦函数性质，不妨设， 由，得，则，即， 由为奇函数，且其值域为，得对于任意的，不等式 恒成立可等价转化为对于任意的，不等式恒成立， 由，得，当时，不等式恒成立； 当时，，令，，求导得， 函数在上单调递增，则，即，于是， 则，的最大值为1，， 函数的最小正周期，由函数的图象知， 且，所以. 故选：A 第二部分（非选择题 共105分） 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 10．已知复数满足，（其中为虚数单位），则复数的虚部为 . 【答案】 【分析】运用复数的模，复数除法等知识计算即可. 【详解】， . 故复数的虚部为. 故答案为：. 11．在的展开式中，的系数为 ． 【答案】 【分析】求出展开式通项公式，从而得到，得到答案. 【详解】的展开式通项公式为， 令得， 故，故的系数为. 故答案为： 12．已知圆C：，则当圆C的面积最小时，圆上的点到坐标原点的距离的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】利用配方法，结合二次函数的性质、圆的几何性质进行求解即可. 【详解】， 所以半径，当且仅当时，半径最小， 此时圆心为，圆心到原点的距离为， 因为， 所以原点在圆外，根据圆的性质， 圆上的点到坐标原点的距离的最大值为， 故答案为： 13．设是等比数列的前项和，若，，则 . 【答案】5 【分析】根据题意，由等比数列前项和的片段和性质，代入计算，即可得到结果. 【详解】由题意得，， 因为，，，，成等比数列， 故，即，解得， 则，所以，，故. 故答案为： 14．某志愿者组织召开春季运动会，为了组建一支朝气蓬勃、训练有素的赛会志愿者队伍，欲从4名男志愿者和3名女志愿者中随机抽取3人聘为志愿者队的队长，则①抽取的3人中至少有一名是女志愿者的概率为 ；②在“抽取的3人中至少有一名男志愿者”的前提下“抽取的3人中全是男志愿者”的概率是 . 【答案】 【分析】本题包含两个概率计算问题，均需利用组合数及概率相关知识求解，第一个问题通过对立事件间接计算至少有一名女志愿者的概率；第二个问题利用条件概率公式，在给定前提条件下特定事件的概率. 【详解】记全是男志愿者为事件，至少有一名男志愿者为事件B，则 ，. 记至少有一名是女志愿者为事件C，则事件C与事件 A互为对立事件， 则 ， 抽取的3人中至少有一名男志愿者”的前提下“抽取的3人中全是男志愿者”的概率为. 故答案为： ；. 15．中，为边中点，,,,则 （用,表示），若,,则 【答案】 【分析】根据向量的线性运算求解空一，应用数量积运算律计算求解空二. 【详解】 对于第一空，因为,所以,所以. 因为为线段的中点,所以; 对于第二空，因为,所以,即①. ,即,代入①式后，化简可得：. 所以 故答案为：. 三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（14分）在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知. (1)求的值； (2)若，求 （ⅰ）的值； （ⅱ）的值. 【详解】（1）由，得， 由余弦定理得. （2）（ⅰ）由（1）得，且， 所以， 因为，所以； （ⅱ）由（ⅰ）得，所以， 因为，所以， 由正弦定理可得，可得，故， 因，则，，故， 所以. 17．（15分）如图，四棱锥中，侧面为等边三角形，线段的中点为且底面，，且，是的中点. (1)证明：平面； (2)求点到平面的距离； (3)点在棱上，且直线与底面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值. 【详解】（1）连接， 因为，为线段的中点，， ，且， 所以四边形为平行四边形，所以， 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系： 则，，，，, 因为是的中点，所以， ，，， 设平面的一个法向量为， 则，即， 取，则， 又因为平面，所以平面； （2）由（1）知，，，所以， 且平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离； （3）由题意知，底面的法向量为， 因为，， 且，，所以， 所以由题意知：， 解得：，所以， 因为，设平面的一个法向量为， 则，即，取， 所以， 又平面与平面夹角为锐角， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 18．（15分）已知是等差数列，其前项和为，是等比数列，已知，，，是和的等比中项. (1)求和的通项公式； (2)对任意的正整数，设求数列的前项和. (3)若对于恒成立，求实数的取值范围. 【详解】（1）由，，解得， 所以；则， 由是和的等比中项，则，解得， 又由，所以，所以. （2）由（1）可得， 则①， ②， 将两式相减得：， 化简得. （3）若对于恒成立， 即对于恒成立， 化简得对于恒成立，令， 则，当时，； 所以当时，， 所以当时，单调递减，当时，， 所以，所以. 故实数的取值范围为. 19．（15分）已知椭圆的离心率为，且过点，其左、右顶点分别为，为椭圆上异于的两点． (1)求椭圆的方程． (2)设直线的斜率分别为，且直线过定点． ①设和的面积分别为，求的最大值； ②证明为定值，并求出该定值． 【详解】（1）依题意知：，解得， 所以椭圆C的方程为： （2）①依题意由（1）知，直线的斜率不为0． 设其方程为：，并与椭圆C联立方程组： ，得， 则， ，同理：， 所以． 令，则， 所以， 因为，则， 所以，结合函数单调性定义知，在时单调递增． 所以，则. 所以的最大值是. ②证明：由①知. 所以 . 20．（16分）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若恒成立，求实数的取值范围； (3)利用（2）的结论证明：． 【详解】（1）当时，函数，求导得，则，而， 所以曲线在点处的切线方程为. （2）函数的定义域为，，令， 依题意，，恒成立， 求导得，由，得；由，得， 则函数在上单调递增，在上单调递减，， 所以. （3）由（2）知，，即，当且仅当时取等号， 则当时，，，…，， 因此， 所以原不等式成立. / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $