专题06 图形的初步（期末复习知识清单，6知识12题型2易错3方法）七年级数学上学期新教材浙教版

该初中数学“图形的初步”专题知识清单，涵盖6个核心知识清单，包含线段、射线、直线、角的特征与表示，尺规作图等内容，搭建从概念辨析到综合应用的递进式学习支架。 清单采用“知识清单+题型分类+易错警示+方法指导”四维架构，将“线段中点计算”“角平分线应用”等标注为重点，通过12类典型题型（如钟面角、三角板角度问题）培养几何直观和推理意识，设计易错点分类（如分类讨论缺失）和方法清单（方程思想、动态问题分析），助力学生系统掌握，教师可据此设计分层教学，提升课堂实效。

专题06图形的初步（6知识&12题型&2易错&3方法清单） 【清单01】线段、射线和直线的特征与表示方法 名称 图形 表示方法 端点个数 延伸性 长度（能否度量） 线段 线段 或线段 或线段 2 不可延伸 可度量 射线 射线 1 向一端 无限延伸 不可度量 直线 直线 或直线 0 向两端 无限延伸 不可度量 直线的基本事实 经过两点有一条而且只有一条直线。可以简单地说成:两点确定一条直线 线段的基本事实 在所有连结两点的线中，线段最短。简单地说：两点之间线段最短 两点间的距离 连结两点的线段的长度叫作这两点间的距离 【清单02】比较线段的长短 ·比较线段长短方法：①度量法：用刻度尺进行测量进行比较； ②叠合法：两条线段一个端点重合，根据另一个端点位置进行比较；③圆规比较 【清单03】线段的和差 线段的和差 一条线段的长度是另两条线段的长度的和，那么这条线段就叫作另两条线段的和 数量关系：AC=AB+BC 一条线段的长度是另两条线段的长度的差，那么这条线段就叫作另两条线段的差 数量关系：AB=AC-BC 线段的中点 点C把线段AB分成相等的两条线段AC和BC，点C叫作线段AB的中点 ， 【清单04】角的表示 角的几何符号：“∠” 表示方法 基本图形 记法 适用范围 （1）用三个大写字母表示 或 任何情况都适用，表示顶点的字母写在中间 （2）用一个大写字母表示 以某一点为顶点的角只有一个时，可以用顶点表示角 （3）用阿拉伯数字表示 任何情况都适用 （4）用希腊字母表示 任何情况都适用 角度制 以度、分、秒为单位的角的度量制，叫作角度制：1°=， ①把一个周角360等分，每一份就是1度的角，记作1° ②把1度的角60等分，每一份叫作1分的角，记作 ③把1分的角60等分，每一份叫作1秒的角，记作 【清单05】角的比较与分类 ·角的比较： ①度量法：用量角器测量进行比较；②叠合法：使两角一边重合，根据另一边的位置进行比较. 注意：一般地，如果两个角的度数相等，那么我们就说这两个角相等。 ·角的分类：①等于90°的角是直角；②小于直角的角是锐角；③大于直角而小于平角的角是钝角。 【清单05】角的和差与角平分线 角的和差 如果一个角的度数是另两个角的度数的和，那么这个角就叫作另两个角的和 如果一个角的度数是另两个角的度数的差，那么这个角就叫作另两个角的差 角的平分线 从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫作这个角的平分线 ∵OC是∠AOB的平分线， ∴∠AOC=∠BOC=∠AOB，∠AOB=∠AOC+∠BOC=2∠AOC=2∠BOC. 【清单05】余角和补角 ·余角和补角定义： ①如果两个锐角的和是一个直角，我们就说这两个角互为余角，简称互余，也可以说其中一个角是另一个角的余角：∠α+∠β=90° ②如果两个角的和是一个平角，我们就说这两个角互为补角，简称互补，也可以说其中一个角是另一个角的补角：∠α+∠β=180° ·余角和补角性质：同角或等角的余角相等；同角或等角的补角相等. 【清单06】尺规作图 解释：限定用无刻度的直尺和圆规作图，即是尺规作图。 直尺作用：画直线或射线（无刻度）；圆规作用：量长（截长）、定点（画弧） 尺规作图题只要求作出图形，并说明结果。在没有特别说明的情况下可以不写作法，但要保留作图痕迹。 【题型一】判断平面图形的旋转体 【例1】（24-25七年级上·浙江台州·期末）如图，将长方形沿直线旋转一周形成的几何体是（   ） A．长方体 B．圆柱 C．圆锥 D．球 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】平面图形旋转后所得的立体图形 【分析】本题考查平面图形旋转形成的立体图形，解题的关键是理解旋转的特征以及常见立体图形的形成方式． 根据长方形绕一边所在直线旋转一周的特点，判断形成的几何体形状． 【详解】解：将一个长方形绕它的一条边旋转一周，所得的几何体是圆柱． 故选：B． 【变式1-1】（24-25七年级上·浙江金华·期末）下列各平面图形绕虚线旋转一周，能得到球的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】平面图形旋转后所得的立体图形 【分析】本题考查了点、线、面、体，熟练掌握每一个几何体的特征是解题的关键．根据每一个几何体的特征，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、图形绕虚线旋转一周后，得到的几何体是圆锥，故不符合题意； B、图形绕虚线旋转一周后，得到的几何体是球体，故符合题意； C、图形绕虚线旋转一周后，得到的几何体是梭形，故不符合题意； D、图形绕虚线旋转一周后，得到的几何体是圆柱，故不符合题意； 故选：B． 【题型二】钟面角和方向角的计算 【例2】（24-25七年级上·浙江台州·期末）如图，在灯塔处测得轮船位于北偏西的方向上，轮船位于南偏东的方向上，轮船在的平分线上，则在灯塔处观测轮船的方向为（   ） A．南偏东 B．南偏东 C．北偏东 D．北偏东 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】方向角的表示、与方向角有关的计算题、角平分线的有关计算 【分析】本题考查方向角，角平分线，理解方向角以及角平分线的定义是正确解答的关键．根据角的和差关系得出，再根据角平分线的定义得出，最后根据角的和差关系以及方向角的定义求解即可． 【详解】解：如图，由方向角的定义可知，， ∴ ∴， ∵平分， ∴， ∴， 即点A在点O的北偏东， 故选:C 【变式2-1】（24-25七年级上·浙江金华·期末）下面图形中，射线是表示北偏东方向的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】方向角的表示 【分析】此题考查了方位角，熟练掌握方位角的意义是解题的关键．根据方位角的定义进行解答即可． 【详解】解：射线是表示北偏东方向的是： 故选：C 【例3】（24-25七年级上·浙江金华·期末）如图，时钟在2点时，分针与时针所夹的角为．从12时到15时的3个小时中，分针与时针能构成的角时刻有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】钟面角、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了钟面角、一元一次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．先求出分针每分钟转动的角度为，时针每分钟转动的角度为，时钟在13点时，分针与时针所夹的角为；时钟在14点时，分针与时针所夹的角为；时钟在15点时，分针与时针所夹的角为，再分四种情况：①在12时到13时之间，②在13时到14时之间，③在14点时，④在14时到15时之间，分别建立方程，解方程即可得． 【详解】解：分针每分钟转动的角度为，时针每分钟转动的角度为，时钟在13点时，分针与时针所夹的角为；时钟在14点时，分针与时针所夹的角为；时钟在15点时，分针与时针所夹的角为． 设分钟后，分针与时针能构成的角， ①在12时到13时之间， 则和， 解得和， 所以在12时分和12时分的时刻，分针与时针能构成的角； ②在13时到14时之间， 则， 解得， 所以在13时分的时刻，分针与时针能构成的角； ③在14点时，分针与时针所夹的角为； ④在14时到15时之间， 则， 解得， 所以在14时分的时刻，分针与时针能构成的角； 综上，从12时到15时的3个小时中，分针与时针能构成的角的时刻共有5个， 故选：C． 【变式3-1】如图，从早上到同一天早上，时钟的分针旋转了（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】钟面角 【分析】此题考查了时钟分钟转过的角度问题，解题的关键是求出时钟的分针一分钟走．由题意可得时钟一共走了分钟，然后乘以求解即可． 【详解】解：从上午到当天上午， 时钟一共走了100分钟， ， 时钟的分针一分钟走， ． 故选D． 【变式3-2】（24-25七年级上·浙江湖州·期末）规律作息可以使人体有充分的时间休息，为养成良好的作息习惯，小明坚持晚上点分入睡，此时时针与分针的夹角为度． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】钟面角 【分析】本题考查了钟面角，熟练掌握时钟上一大格是是解题的关键．根据时钟上一大格是进行计算，即可解答． 【详解】解：点分，时针与分针相差 ， 小明坚持晚上点分入睡，此时时针与分针的夹角为度， 故答案为：． 【题型三】与补角、余角有关的计算 【例4】（24-25七年级上·浙江金华·期末）已知一个角的补角是这个角的3倍，则这个角的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、与余角、补角有关的计算 【分析】本题考查了补角的定义，以及一元一次方程的应用，解题的关键在于根据补角的定义建立方程．设这个角的度数是，则这个角的补角为，再根据补角的定义建立方程求解，即可解题． 【详解】解：设这个角的度数是，则这个角的补角为， 有， 解得． 故选：B． 【变式4-1】（24-25七年级上·浙江温州·期末）若，则的余角的度数为． 【答案】/ 【难度】0.85 【知识点】求一个角的余角 【分析】本题考查了余角的概念及计算，掌握余角的概念和计算，角的计算方法是解题的关键． 根据两个角的和为，则两个角互余，结合角度的计算方法即可求解． 【详解】解：∵， ∴的余角的度数为， 故答案为： ． 【变式4-2】（24-25七年级上·浙江台州·期末）如图，将三角尺的直角顶点放在直线上的点处，若，则的度数为． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】与余角、补角有关的计算、角度的四则运算 【分析】本题主要考查了求一个角的余角与补角，角度的计算，先根据余角的定义得出，再根据补角的定义即可求出． 【详解】解：如下图∶ ∵，， ∴， ∴ 故答案为∶ 【例5】（24-25七年级上·浙江杭州·期末）已知与互为余角，与互为补角，有以下三个结论：①；②；③．其中正确的结论是（   ） A．①③ B．① C．③ D．①②③ 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】与余角、补角有关的计算 【分析】本题考查的是互余，互补的含义，等式的基本性质，掌握以上知识是解题的关键．由与互为余角，与互为补角，可得 再利用等式的基本性质逐一判断各选项即可得到答案． 【详解】解：与互为余角，与互为补角， 即，故①符合题意； ， ，故②不符合题意； ∵， ∴， ，故③符合题意； 综上分析可知：正确的有①③． 故选：A． 【变式5-1】（24-25七年级上·天津河北·期末）如果和互补，且，则下列表示的余角的式子中：①；②；③；④．其中不正确的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】与余角、补角有关的计算 【分析】本题考查了余角和补角：如果两个角的和等于（直角），就说这两个角互为余角；如果两个角的和等于（平角），就说这两个角互为补角．先利用互补得到，再利用互余得到的余角，则可对①进行判断；由于，所以的余角，则可对②进行判断；利用得到，从而可对③④进行判断． 【详解】解：∵和互补，， ∴， ∵的余角，所以①正确； ∵， ∴的余角，所以②正确； ∵， ∴， ∴的余角，所以③错误，④正确． 故选：C． 【题型四】三角板中的角度计算问题 【例6】（24-25七年级上·浙江湖州·期末）如图，将一块三角尺中角的顶点与另一块三角尺的直角顶点重合，若，则的大小是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】三角板中角度计算问题、几何图形中角度计算问题 【分析】本题考查了角的计算，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．利用角的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：， ， ， ， 故选：B． 【变式6-1】（23-24七年级上·安徽合肥·期末）如图，将一副三角尺的两个锐角（角和角）的顶点叠放在一起，若与的和为，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】三角板中角度计算问题、几何图形中角度计算问题 【分析】本题考查了三角板中角度的计算，角度的和差计算；根据两个锐角角和角的顶点叠放在一起，可知，，与的和为，可算出的度数，根据，即可求解． 【详解】解：∵， ，， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【变式6-2】如图，将一副三角板叠在一起，使它们的直角顶点重合于O点，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】三角板中角度计算问题、几何图形中角度计算问题 【分析】本题主要考查了三角板角的计算，熟知直角三角板的特点是解题的关键． 由题意可得：，先根据角的和差求得，再根据角的和差即可解答． 【详解】解：∵，是一副直角三角板， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 【变式6-3】（24-25七年级上·浙江湖州·期末）一副三角板如图所示摆放，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】三角板中角度计算问题、几何图形中角度计算问题 【分析】本题主要考查了三角板中角的计算，几何图形中角的计算，根据，，，求出，再求出结果即可． 【详解】解：根据图可知：，， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 【题型五】概念辨析问题 【例7】（24-25七年级上·浙江杭州·期末）下列四种说法中，正确的是（   ） A．连结两点的线段叫作两点间的距离 B．若，则点B是线段的中点 C．若，则是的平分线 D．若是锐角，则的补角一定比它的余角大90度 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】线段中点的有关计算、角平分线的有关计算、两点间的距离、与余角、补角有关的计算 【分析】本题考查了余角和补角，两点间的距离，角平分线，线段的中点，熟练掌握这些知识点是解题的关键．根据两点间的距离的定义判断选项A；根据线段的中点的定义判断选项B；根据角平分线的定义判断选项C；根据余角和补角的定义判断选项D． 【详解】解：A、连结两点的线段的长度叫作两点间的距离，原说法错误，故此选项不符合题意； B、若，当点B不在时，点B不是线段的中点，原说法错误，故此选项不符合题意； C、若，当在外部时，不是的平分线，原说法错误，故此选项不符合题意； D、若是锐角，则的补角是，余角是，所以，即的补角一定比它的余角大，原说法正确，故此选项符合题意； 故选：D． 【变式7-1】（24-25七年级上·浙江杭州·期末）下列说法正确的是（　　） A．经过一个点只能画一条直线 B．两条射线组成的图形叫角 C．两点间的距离是连接两点的线段的长度 D．将一个角分成两个角的射线叫角的平分线 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】两点间的距离、角的概念理解、角平分线的有关计算 【分析】本题考查了角的定义，两点间距离，角平分线的定义，根据角的定义，两点间距离，角平分线的定义，逐一判断各选项，即可得到结果，熟练掌握相关概念是解题的关键． 【详解】解：A、经过一个点能画无数条直线，故原说法错误，不符合题意； B、由公共端点的两条射线组成的图形叫角，故原说法错误，不符合题意； C、两点间的距离是连结两点的线段的长度，故原说法正确，符合题意； D、从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线，故原说法错误，不符合题意， 故选：C． 【题型六】运用数学知识解释生活现象 【例8】（24-25七年级上·广东深圳·期末）下列四个生产生活现象，可以用“两点之间，线段最短”来解释的是（   ） A．把弯曲的河道改直，可以缩短航程 B．用两个钉子就可以把木条固定在墙上 C．植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线 D．木匠师傅锯木料时，一般先在木板上画出两个点，然后过这两点弹出一条墨线 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】两点确定一条直线、两点之间线段最短 【分析】本题主要考查了两点之间，线段最短，两点确定一条直线，会利用两点之间线段最短解释实际生活问题是解答的关键．根据两点确定一条直线，两点之间，线段最短逐个判断解答即可． 【详解】解：A、把弯曲的河道改直，可以缩短航程，这是两点之间，线段最短，符合题意； B、用两个钉子就可以把木条固定在墙上，这是两点确定一条直线，不符合题意； C、植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线，这是两点确定一条直线，不符合题意； D、木匠师傅锯木料时，一般先在木板上画出两个点，然后过这两点弹出一条墨线，这是两点确定一条直线，不符合题意； 故选：A． 【变式8-1】（24-25七年级上·浙江湖州·期末）跑步比赛时，标记冲刺终点线的拉绳，只需要两个支点，其中蕴含的数学基本事实是（   ） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．连接两点的线段的长度叫做这两点间的距离 D．两点间的距离就是两点间的路程 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】两点确定一条直线 【分析】本题主要考查了直线的性质，根据两点确定一条直线进行解答即可． 【详解】解：跑步比赛时，标记冲刺终点线的拉绳，只需要两个支点，其中蕴含的数学基本事实是两点确定一条直线． 故选：A． 【变式8-2】（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）新昌挂岩岭隧道和上角坪隧道（示意图如图）通过把部分道路取直以缩短路程，其中蕴含的数学原理是． 【答案】两点之间，线段最短 【难度】0.85 【知识点】两点之间线段最短 【分析】此题主要考查了两点之间线段最短的性质，为数学知识的应用，由题意将弯曲的道路改直以缩短路程，就用到两点之间线段最短的性质，正确将数学定理应用于实际生活是解题的关键． 【详解】解：从大山中开挖隧道穿过，把道路取直，使两点处于同一条线段上． 这样做包含的数学道理是：两点之间，线段最短． 故答案为：两点之间，线段最短． 【题型七】角平分线有关的计算 【例9】（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）如图，已知，平分，若内部存在一条射线，满足，则． 【答案】或 【难度】0.85 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】本题考查的是角平分线的含义，角的和差运算；分两种情况画图，当在的右边时，当在的左边时，再进一步结合角平分线与角的和差运算可得答案． 【详解】解：如图，当在的右边时， ∵，平分， ∴， ∴， 如图，当在的左边时， ∴， 综上：为或； 故答案为：或 【变式9-1】（24-25七年级上·浙江温州·期末）如图，是直线上一点，，分别是，的平分线．若的度数为，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】角平分线的有关计算、几何图形中角度计算问题 【分析】本题主要考查角平分线的定义以及角的和差，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键．根据题意求出，再根据邻补角的定义计算出，即可得到答案． 【详解】解：是的平分线，， ， ， 是的平分线， ． 故选B． 【题型八】角度的四则运算 【例10】（24-25七年级上·浙江金华·期末）计算：（结果用度、分、秒表示）． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】角度的四则运算 【分析】本题主要考查角度的和差计算，熟练掌握角度的换算是解题的关键．根据角度差的计算方法计算即可． 【详解】 故答案为： 【变式10-1】（24-25七年级上·浙江杭州·期末）（结果用度、分、秒表示）． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】角的单位与角度制 【分析】本题考查了角的单位与角度制，根据度分秒之间60进制的关系计算，即可作答． 【详解】解：依题意，， 则， 故答案为：． 【题型九】根据线段的和差倍分关系进行线段计算 【例11】（24-25七年级上·浙江金华·期末）如图，C是线段中点，点D在线段上，．若，则的长是（     ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】线段的和与差 【分析】本题考查了线段的和差，两点间的距离，掌握线段的和差计算，两点间的距离是解题的关键． 根据题意，点是线段的中点，，由线段的中点定义可得：，再根据，则2 ，由此可求出的长，进而得出的长，最后由进行计算，即可得出答案． 【详解】解：∵点是线段的中点，， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 【变式11-1】（24-25七年级上·浙江宁波·期末）如图，点，把线段三等分，是线段的中点．下列说法中，错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】本题考查了线段的和差，解题的关键是理解题意，正确找出各线段间的数量关系．根据题意可得：，，即可求解． 【详解】解：点，把线段三等分， ， 是线段的中点， ， ，故A正确； ，故错误； ，故C正确； ，故D正确； 故选：B． 【变式11-2】（24-25七年级上·浙江·期末）如图，已知点B在线段上，D是的中点，M是的中点．若，，则． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】本题考查了线段的和差，两点间的距离，掌握线段的和差计算，线段的中点定义，两点间的距离是解题的关键．由，，可得，再根据点D是的中点，M是的中点，由线段的中点定义，可得，，最后由进行计算，即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵点D是的中点，M是的中点， ∴，， ∴． 故答案为：． 【变式11-3】（24-25七年级上·浙江金华·期末）如图，已知点C在线段的延长线上，点P、Q分别在线段上，且满足，．则线段的长（   ） A．与线段、线段的长度都有关 B．仅与线段的长度有关 C．仅与线段的长度有关 D．与线段、线段的长度无关 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】线段的和与差、两点间的距离 【分析】本题考查两点间的距离，解题的关键是掌握相关知识的灵活推理．通过已知的线段比例关系，将用、、等线段表示出来，再进行化简，看其最终与哪些线段长度有关． 【详解】解： 将和用表示， 因为，且， 把代入中， 可得， 那么，． 将和用表示由于，且， 把代入中， 可得， 所以，． 计算的长度表达式根据线段关系，将，代入可得：， 又因为（线段由线段和线段组成）， 所以． 故选：B． 【例12】（24-25七年级上·浙江温州·期末）都江堰李冰石人的肩部和脚部通常被用作测量水位．洪水水位与枯水水位分别位于整尊石人的六等分点处，，已知，则整尊石人的高度． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】线段的和与差、线段n等分点的有关计算 【分析】本题考查了线段的和与差，熟练掌握六等分点的含义是解题的关键； 根据与分别是的六等分点处，得出，然后结合几何根据线段和和与差求出即可． 【详解】解：∵洪水水位与枯水水位分别位于整尊石人的六等分点处，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【12-1】（24-25七年级上·浙江金华·期末）课本中有这样一道题：如图，已知是线段的中点，是线段的中点，请完成下列填空．甲，乙，丙，丁四位同学分别填写了答案，其中填错的同学是（    ） 甲：乙：2丙：4丁： A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】本题考查的是线段和差的计算及线段中点的有关计算，解题的关键是根据中点的性质得出各线段的长度．根据线段的和差关系及线段中点的有关计算做出判断即可． 【详解】解：由图可知：，故甲正确； 是线段的中点， ，故乙正确； 是线段的中点，是线段的中点， ， ，故丙错误； ，故丁正确； 故选：C． 【题型十】线段综合问题 【例13】（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）如图，线段，点是线段的中点，点是线段的中点． (1)如图①，求线段的长； (2)如图②，点是线段上的一点，且满足，求的长度． 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】本题主要考查了与线段中点有关的线段和差计算： （1）由线段中点的定义求出的长，进而求出的长，再由线段的和差关系即可求出答案； （2）由线段中点的定义求出的长，进而求出的长，再由线段的和差关系即可求出答案． 【详解】（1）解：∵线段，点是线段的中点， ∴， ∵点是线段的中点， ∴， ∴； （2）解：∵线段，点是线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式13-1】（24-25七年级上·浙江台州·期末）如图，线段，点是线段的一点，，点是线段的中点． (1)求线段的长度； (2)若点是线段上的一点，且，求线段的长． 【答案】(1) (2)或 【难度】0.65 【知识点】线段中点的有关计算、线段的和与差 【分析】本题考查了线段的和差、与线段中点有关的计算，熟练掌握线段中点的计算是解题关键． （1）先根据线段的和差可得，再根据线段中点的定义可得，然后根据求解即可得； （2）分两种情况：①点在点的左侧，②点在点的右侧；根据线段的和差求解即可得． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵点是线段的中点， ∴， ∴． （2）解：①如图，当点在点的左侧时， 由（1）已得：， ∵， ∴； ②如图，当点在点的右侧时， 由（1）已得：， ∵， ∴； 综上，线段的长或． 【变式13-2】（24-25七年级上·浙江湖州·期末）如图，已知点为线段上一点，，，、分别是、的中点． (1)______； (2)求的长度； (3)若在直线上，且，求的长度． 【答案】(1) (2) (3)或 【难度】0.65 【知识点】线段中点的有关计算、线段之间的数量关系 【分析】本题考查了线段中点，两点之间的距离，解题的关键是正确识别图形，找出线段之间的数量关系． （1）根据题意得出，计算即可； （2）先求出，再计算即可； （3）分点在点左侧或右侧两种情况计算即可． 【详解】（1）解：，是的中点， ， （2）解：，是的中点， ， ； （3）解：，， 当点在点左侧时， ； 当点在点右侧时， ． 【变式13-3】如图，点C是线段的中点，点D在线段上，点B是线段的中点． (1)若，求的长； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】线段的和与差、两点间的距离、线段中点的有关计算 【分析】本题考查两点间的距离，掌握线段中点的定义以及线段的和差，倍分关系是正确解答的关键． （1）根据线段中点的定义以及线段之间的和差关系进行计算即可； （2）根据线段中点的定义，线段的倍分关系进行计算即可． 【详解】（1）∵点C是线段的中点，， ∴， ∵， ∴； （2）由于，设,则, ∵点B是线段的中点， ∴, ∵，即， 解得， 即， ∴， ∴． 【题型十一】角综合问题 【例14】（24-25七年级上·浙江金华·期末）如图，射线在的内部，，． (1)求的度数． (2)若另一条射线也在的内部且满足，求的度数． 【答案】(1) (2)的度数为或 【难度】0.85 【知识点】几何图形中角度计算问题 【分析】本题主要考查了几何中角度的计算，掌握角的和差关系是解题的关键． （1）根据计算得出结论； （2）分两种情况：当在内部时或当在内部时，分别根据角的和差计算即可； 【详解】（1）解：，， ． （2）解：， 当在内部时， ． 当在内部时， ． 综上所述，的度数为或． 【变式14-1】（24-25七年级上·浙江杭州·期末）如图，已知． (1)若，求的度数． (2)与互补吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)与互补，理由见解析 【难度】0.85 【知识点】几何图形中角度计算问题、与余角、补角有关的计算 【分析】本题考考查了角度的几何计算，互补的定义，找出角度之间的数量关系是解题关键． （1）根据求解即可； （2）由题意可得，再根据互补的定义判断即可． 【详解】（1）解：，， ； （2）解：与互补，理由如下： ， ， ， 与互补． 【14-2】（24-25七年级上·浙江·期末）（1）如图1，P为线段的中点，点C，D把线段三等分，已知线段的长为，求线段的长． （2）如图2，射线平分，射线把三等分，若，求的度数（用含的代数式表示）． 【答案】（1）；（2） 【难度】0.65 【知识点】线段中点的有关计算、线段n等分点的有关计算、角平分线的有关计算、角n等分线的有关计算 【分析】考查线段中点的定义和线段的和差，角平分线的定义和角的和差，数形结合是解题的关键. （1）根据中点的性质得到，再根据点C，D把线段三等分，得到，由即可求解； （2）根据角平分线的性质得出，再根据射线把三等分，得到，求出，推出，由即可求解． 【详解】解：（1）∵P为线段的中点，， ∴， ∵点C，D把线段三等分， ∴， ∴； （2）∵射线平分， ∴， ∵射线把三等分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【14-3】（24-25七年级上·浙江宁波·期末）如图，点为直线上一点，过点作射线，使，射线与位于直线同侧，平分． (1)如图，当时，求的度数． (2)若，通过计算判断与的大小关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，见解析 【难度】0.65 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】本题主要考查几何图形中角的计算，准确识图是解答本题的关键． （1）先计算出，再根据角平分线定义求出，再计算即可得出； （2）设，求出设根据列方程，求出的值，可得，再比较大小即可． 【详解】（1）解： 平分， ； （2）解：设， ， 平分， ， ； ， ，解得， ， ． 【题型十二】尺规作图 【例15】（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）作图：如图，已知平面上有四个点，，，． (1)用直尺和圆规完成作图（保留作图痕迹，不写作图步骤） ①作线段； ②作直线，在直线上取一点，使得； (2)在（1）的条件下，若线段，且，求线段的长． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)的长为或． 【难度】0.65 【知识点】作线段(尺规作图)、线段的和与差、画出直线、射线、线段 【分析】本题考查作图-复杂作图，直线，射线，线段的定义，解题的关键是理解直线，射线，线段的定义． （1）根据线段，直线的定义画出图形； （2）求出，分两种情形求出即可． 【详解】（1）解：（1）①如图，线段即为所求； ②如图，线段或线段即为所求． ； （2）解：∵，， ∴， 当点D在点B的右侧时，， 当点在点B的左侧时，， 综上所述，的长为或． 【变式15-1】（24-25七年级上·浙江台州·期末）如图，已知四点，请按要求作图，并解答． (1)画线段，并延长； (2)画直线，连接交直线于点； (3)若，是线段的中点，则的长为__________． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)1 【难度】0.65 【知识点】画出直线、射线、线段、线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】本题主要考查作图、线段中点和线段之间的关系， （1）根据定义画线段并延长即可； （2）根据直线的定义作图即可； （3）根据，结合中点求得，则即可． 【详解】（1）解：如图，线段，并延长即为所求， （2）解：如图，直线，连接交直线于点， （3）解：∵， ∴， ∵是线段的中点， ∴， ∴． 【变式15-2】（24-25七年级上·浙江宁波·期末）已知点（如图），请利用没有刻度的直尺和圆规按下列要求完成作图，并保留作图痕迹． (1)画线段，射线； (2)在射线上找一点（不与重合），使得； (3)在线段上找到一点，使点到、两点距离之和最小，请在图中标出点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【难度】0.85 【知识点】画出直线、射线、线段、两点之间线段最短 【分析】本题考查作图一复杂作图、直线、射线、线段、线段的性质：两点之间线段最短，熟练掌握射线、线段的定义、线段的性质是解答本题的关键． （1）根据线段、射线的定义画图即可； （2）以点为圆心，的长为半径画弧，交射线于点，则点即为所求； （3）结合线段的性质，连接交于点，则点即为所求． 【详解】（1）解：如图，线段、射线即为所求， （2）解：如图，以点为圆心，的长为半径画弧，交射线于点，则点即为所求， （3）解：如图，连接交于点，则点即为所求， 【题型一】因考虑不全面没有进行分类讨论 【例1】（24-25七年级上·浙江杭州·期末）如图，三角尺①固定不动，将三角尺②的直角顶点O与三角尺①的顶点A重合．若三角尺②的一条直角边与边的夹角为，则三角尺②的另一条直角边与边的夹角的度数全部正确的（    ） A．       B．       C．       D．       【答案】C 【难度】0.65 【知识点】三角板中角度计算问题 【分析】本题主要考查了与三夹板有关的角度计算，根据题意，画出图形，进行分类讨论即可． 【详解】解：（1）当与边的夹角为时， ①当在下方时， ∵，， ∴； ∵， ∴， ②当在上方时， ∵，，， ∴； （2）当与边的夹角为时， ①当在下方时， ∵，， ∴， ∴， ②当在上方时， ∵，， ∴， 综上：另一条直角边与边的夹角可能是，，，， 故选：C． 【变式1-1】（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）定义：从角的顶点出发的射线将角平均分成三等分，则称该射线为角的三等分线．如图，已知，，若为的三等分线，则的度数为． 【答案】或 【难度】0.94 【知识点】角n等分线的有关计算 【分析】本题考查了角三等分线的有关计算，运用分类讨论思想是解题的关键． 分两种情况讨论：①当时；②当时；分别根据角三等分线的定义及角的和差关系进行求解即可． 【详解】解：分两种情况讨论： ①当时， 如图， ，为的三等分线， ， ， ； ②当时， 如图， ，为的三等分线， ， ； 综上，的度数为或， 故答案为：或． 【变式1-2】（24-25七年级上·浙江杭州·期末）已知，在同一平面内，，则的度数为． 【答案】或 【难度】0.85 【知识点】几何图形中角度计算问题 【分析】本题考查了角的计算，掌握角的和差计算，利用分类讨论思想是解题的关键．根据题意，分两种情况画出图形，由角的和差计算即可得出答案． 【详解】解：分两种情况： ①如图所示， ∵，， ∴， ∴； ②如图所示， ∵，， ∴， ∴， 综上所述，的度数为或． 故答案为：或． 【变式1-3】（24-25七年级上·浙江宁波·期末）已知点是线段的中点，点分线段的长度为．已知厘米，则的长为厘米． 【答案】35或21 【难度】0.65 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】本题考查了线段的和与差，线段的比和线段中点的性质，解题关键是熟练掌握中点的性质和根据是线段中点和点D分线段的比例关系，分情况分类讨论． 先根据点是线段的中点以及点分线段的长度比，求出与的关系，进而求出的长度，最后根据与的关系求出答案． 【详解】解：∵点是线段的中点， ∴， ∵点分线段的长度为． 如图：当时， ∴此时占的，即， ∴， ∵， ∴（厘米）， ∴（厘米） 当时， 如图所示； 此时占的，即． ∴， ∵， ∴（厘米）， ∴（厘米） 故答案为35或21． 【变式1-4】（24-25七年级上·浙江杭州·期末）定义：从一个钝角的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将这个钝角分得的两个角中有一个角与钝角互为补角，则称该射线为此钝角的“割补线”．如图，点O在直线上，在直线的上方，且，钝角的“割补线”记为． (1)若，求的度数； (2)若恰好平分，求的度数； (3)若是的平分线，是的平分线，求出与的数量关系． 【答案】(1)或 (2) (3)或 【难度】0.65 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算、与余角、补角有关的计算 【分析】本题考查角平分线，余角与补角，掌握角平分线的定义，余角与补角的定义，理解“好线”的定义是正确解答的关键． （1）画出相应的图形，由角平分线的定义以及图形中角的和差关系进行解答即可； （2）根据平角的定义以及角平分线的定义进行计算即可； （3）分（1）中的两种情况进行解答，分别用表示，进而答案即可． 【详解】（1）解：①如图，当在内部时， ∵射线是的“割补线”， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ②如图，当在外部时， ∵射线是的“割补线”， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上，的度数为或； （2）解：若恰好平分， ∴， ∴； （3）解：或，理由如下： ①如图，， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴是的平分线， ∴， ∴， ∴； ②如图，， ∵， ∴， ∴ ， ， ∴， 综上所述或． 【题型二】在组合三角板中易忽略已知角度（90°、180°、45°） 三角板中的角度问题：余角、补角、对顶角与角度等量代换 考查补角： 45°+60°=105°， ∠α=180°-105°=75° 考查余角： 45°+30°=75° ∠α=90°-75°=15° 考查余角： 45°-10°=35°， ∠α=90°-35°=55° 考查补角： 180°-45°-30°=105°，∠α=180°-105°=75° 【例2】（24-25七年级上·浙江温州·期末）如图，一副三角板按图中的四个位置摆放，则其中与一定相等的是（  ） A．①② B．②③ C．①④ D．②④ 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】三角板中角度计算问题、与余角、补角有关的计算 【分析】本题考查余角和补角的性质，熟练掌握余角和补角的性质是解题的关键； 由余角和补角的性质，依次判断，即可求解． 【详解】解：①，故①不符合题意； ②由，得到，故②符合题意； ③，故③不符合题意； ④由，，得到，故④符合题意． 故选：D 【变式2-1】（24-25七年级上·浙江宁波·期末）如图，一副三角板按图中的位置摆放，其中和具有互余关系的位置是（） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】三角板中角度计算问题、与余角、补角有关的计算 【分析】本题考查了余角，三角板中的角度计算；根据图形逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A．，和不互余，故该选项不符合题意； B．如图所示，，而不一定成立，则和不互余，故该选项不符合题意； C．，和不互余，故该选项不符合题意； D．，和互余，故该选项符合题意； 故选：D． 【题型一】运用方程思想解线段/角综合问题 ·适用方程形式：当方程可化为或（）的形式时，可直接通过开平方求解. ·求解方法： （1）若，则（时无实数根）； （2）若，则，再解一元一次方程. 【例1】（24-25七年级上·浙江杭州·期末）如图，C点是线段的中点，，，下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】本题考查了线段的和差关系以及与线段有关的中点计算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据C点是线段的中点，，得，再结合，，则，，即可判断A选项和D选项；再结合线段的和差运算得，，即可判断B选项和C选项，进行作答即可． 【详解】解：∵C点是线段的中点，， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， 故D选项是符合题意的，A选项是不符合题意的； ∵C点是线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故B选项是不符合题意的； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 【变式1-1】（24-25七年级上·浙江温州·期末）如图，在数轴上从左往右依次有四点，，，，对应的数分别为，，，，且点为的中点，．若，则（用只含的代数式表示）． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】整式的加减运算、线段中点的有关计算、等式的性质1、等式的性质2 【分析】此题考查了数轴上的点表示数，等式基本性质的应用，整式的加减，关键是弄清各线段间的数量关系．根据中点的定义得到，由得到，由已知得到，则，进一步得到，整理后即可得到答案． 【详解】解：∵点为的中点， ∴， 即， ∵， ∴， 即 ∵， ∴， ∴ ∴， 则， 整理得到，， 故答案为： 【例2】（24-25七年级上·浙江杭州·期末）如图，是直线上一点，是一条射线，平分，在内，且，，则下列四个结论正确的个数有（      ） ；射线平分；图中与互余的角有个；图中互补的角有对． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算、与余角、补角有关的计算 【分析】此题考查了角平分线以及补角和余角，解答本题的关键是正确计算出图中各角的度数． 首先利用已知得出的度数，再计算出、、、的度数，然后再分析即可． 【详解】解：平分， ， ， 设，则， ， ， ， 解得：， ，故正确； ，， ，则， 射线平分，故正确； ，，， ，， 图中与互余的角有个，故正确； ， ， ，，，， ，，，，， 图中互补的角有对，故错误； 故选：C． 【变式2-1】（24-25七年级上·浙江温州·期末）如图，线段上依次有三点，已知是中点，． (1)当时，求的长． (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】其他问题(一元一次方程的应用)、线段中点的有关计算 【分析】本题考查了线段的中点，线段的和差，一元一次方程，熟练利用线段的关系列方程是解题的关键． （1）利用是中点，，求得，再利用，即可解答； （2）设，则，，列方程，即可解答． 【详解】（1）解：是中点， , ； （2）解：设，则， 是中点，， ， 根据， 可得， 解得． 【变式2-2】（24-25七年级上·浙江杭州·期末）【问题提出】如图A，B，C是直线l上的三点，，点D是线段中点，点E是线段的中点，求线段的长． 【问题解决】圆圆运用整体思想，解决问题． ∵点D是线段中点，点E是线段的中点 ∴， ∴ 城城发现这一题困难的原因是已知条件太少，于是他运用方程思想，设线段， 则  ∵点D是线段中点，∴ ∵点E是线段中点，∴  ∴ 【问题应用】请选择你喜欢的方法，解决下面两个问题 如图，在的外部，平分，平分． (1)若，求的度数； (2)若，用含x的代数式表示的度数； (3)若与互余，与互补．求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】列代数式、几何问题(一元一次方程的应用)、几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】本题考查了几何图形中角度计算问题，角平分线的有关计算，余角和补角有关的计算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据角平分线的定义得，运用角的和差关系先表示，，再列式，然后代入化简，即可作答． （2）与（1）同理，把换成，进行列式化简，即可作答． （3）先得，结合与互余，与互补列式，再化简得，算出，即可作答． 【详解】（1）解：∵平分，平分， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴； （2）解：∵平分，平分， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴； （3）解：∵平分，平分， ∴， ∵与互余，与互补， ∴，， ∴， ∴， 与（2）同理，设，则， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴． 【例3】（24-25七年级上·浙江金华·期末）问题研究： 如图1，已知点、（点在左边）在线段（点在左边）上，点、分别是线段的中点．若，求线段的长． 拓展学习： 如图2，直线l上有线段（点在左边）和线段（点在左边），且线段在线段外移动，点、分别是线段的中点．若，那么在线段移动过程中，线段的长是否会发生变化，若不变化，请用含、的代数式表示的长．若发生变化请说明理由． 类比学习 如图3，已知（度）在（度）左侧，若射线分别满足，求的值（用含、的代数式表示）．    【答案】（1）15；（2）的长不会发生变化，；（3）（度） 【难度】0.4 【知识点】几何图形中角度计算问题、线段之间的数量关系、线段的和与差 【分析】本题考查了线段的和差倍分与角的和差倍分，掌握相关计算技巧是解题的关键． （1）根据，将问题转化为求，即求即可； （2）根据，将问题转化为求，即求即可； （3）设（度），根据，将问题转化为求，即可求解． 【详解】解：（1）∵点、分别是线段的中点， ， ， ， ， ； （2）∵点、分别是线段的中点， ， ， ， 的长不会发生变化； （3）设（度），则度，度； ， 则度，度， 则度． 【变式3-1】（23-24七年级上·浙江杭州·期末）如图，在内部顺次有一组射线，，…，，满足，，，…，．若，则（用含，的代数式表示）． 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】图形类规律探索、几何图形中角度计算问题 【分析】本题主要考查了图形规律探索，角的计算，根据，得出，求出，，，，得出一般规律即可． 【详解】∵， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为： 【题型二】几何动态问题（动角、动三角形） 【例4】（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）已知：如图1，点A、O、B依次在直线上，现将射线绕点O沿顺时针方向以每秒的速度旋转，同时射线绕点O沿逆时针方向以每秒的速度旋转，如图2，设旋转时间为t（）． (1)用含t的代数式表示的度数． (2)在运动过程中，当第二次达到时，求t的值． (3)在旋转过程中是否存在这样的t，使得射线是由射线、射线、射线中的其中两条组成的角（指大于而不超过的角）的平分线？如果存在，请直接写出t的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)40秒 (3)存在，18或或36或秒 【难度】0.65 【知识点】列代数式、几何问题(一元一次方程的应用)、角平分线的有关计算 【分析】本题主要考查角的计算和角平分线性质的运用，为角平分线时分类讨论是解题的关键和难点． （1）的度数等于旋转速度乘以旋转时间； （2）当第二次达到时，射线在的左侧，根据列方程求解可得； （3）射线是由射线、射线、射线中的其中两条组成的角的平分线有三种情况：①平分时，根据，列方程求解，②平分时，根据，列方程求解，③平分时，根据，列方程求解． 【详解】（1）解：由题意可得：； （2）解：如图，根据题意知：，， 当第二次达到时，， 即，解得：， 故秒时，第二次达到； （3）解：射线是由射线、射线、射线中的其中两条组成的角的平分线有以下三种情况： ①平分时， ∵， ∴， 解得：； ②平分时， ∵，即， ∴或， 解得：，或； ③平分时， ∵， ∴， 解得：； 综上，当t的值分别为18、、36、秒时，射线是由射线、射线、射线中的其中两条组成的角的平分线． 【变式4-1】（24-25七年级上·浙江台州·期末）如图1，，过点在的内部作射线，使得，射线从射线开始以每秒的速度绕着点顺时针转动，当为平角时停止转动，设转动的时间为秒． (1)当射线位于射线的左侧时，_____________（用含的式子表示）； (2)当射线平分时，求的值． (3)如图2，射线从射线开始以每秒的速度与射线同时开始绕着点顺时针转动，同时停止． ①当时，求的值． ②在转动过程中，请直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1) (2)21 (3)①10.8或54；② 【难度】0.4 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、几何图形中角度计算问题 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，用含的代数式表示相关角的度数． （1）由，求出，，故当射线位于射线的左侧时，， （2）根据得：，即可解得的值为21； （3）①当到达所在的位置前，，当到达所在的位置后，，解方程可得答案； ②分两种情况可求得． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 根据题意，， 当射线位于射线的左侧时，， 故答案为：； （2）解：根据题意得：， 解得， 的值为21； （3）解：由题意可得， ①当到达所在的位置前，， 解得； 当到达所在的位置后，， 解得； 的值为10.8或54； ②当与重合时，， ， 此时与重合； 当到达所在的位置前，，， ； 当到达所在的位置后，，， ； 综上所述，． 【例5】（24-25七年级上·浙江宁波·期末）定义：如果两个角相差，则称这两个角互为“优角”，也可以说一个角是另一个角的优角．现有一副三角板按图所示摆放，其中、、三点共线，我们可以说和都是的优角． (1)在图中，的优角有______个． (2)如图，将绕点按顺时针方向旋转一个角度至． ①当旋转的角度为何值时，与互为优角？ ②如图，作的角平分线，是否存在这样的，使得，这两个角都是同一个角的优角．若存在，请直接写出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①或；②存在，，或 【难度】0.65 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、三角板中角度计算问题、几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，角平分线的定义，三角板中角的有关计算，读懂题意，理解优角定义是解题的关键． （1）分别求出图中的各角，进而利用优角定义判断求解即可； （2）①由（）得，，进而得，再根据优角的定义可列出方程求解即可；②由角平分线得，，根据优角的定义可得，同角的优角要么相等，要么相差．进而分，和两种情况结合优角定义求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得，，，， ∴，，， ∴的优角为或， ∴、、是的优角，其他角不是的优角， ∴在图中，的优角有个， 故答案为：； （2）解：①由（）得，， 由旋转得， ∴， 当与互为优角时，可列出方程： ， ∴或， 解得或； ②∵，作的角平分线， ∴，， 根据优角的定义可得，同角的优角要么相等，要么相差． 当时， （） 解得． （） 解得（舍）或（舍）． 当时， （） 解得． （） 解得或（舍）． 综上所述，，或． 【变式5-1】（24-25七年级上·浙江台州·期末）有一副三角板． (1)如图1，将边放在直线上，求的度数； (2)如图2，三角板固定不动，边仍在直线上，把三角板绕点顺时针旋转一周． ①当平分时，求的度数； ②当时，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2)或 【难度】0.65 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、三角板中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】本题考查了角的计算，一元一次方程，角平分线的定义，正确认识图形是解题的关键． （1）根据题意，结合图形，可得到的度数； （2）①根据图2，结合角平分线，得到的度数，从而得到结果； ②根据旋转的不同位置，得到角度之间的数量关系，得到结果． 【详解】（1）解：如图1， ，， ， 即； （2）解：①如图2，当未旋转到时， ， ， 平分， ， ， ； ②如图2，当旋转到，且未到的延长线时，， 设，则， ， ， 解得， ， 如图3，设，则， ， ， ， 解得， 即， 当旋转超过延长线时，不存在，故不符合题意， 综上所述，的度数为或． 【题型三】钟面角的综合实践 【例6】（24-25七年级上·浙江金华·期末）根据以下素材，探索完成任务． “数”说时钟 素材1 时钟在我们日常生活中时常可见．时钟表盘中的数字是均匀分布的，其中分针60分钟转动，时针60分钟转动．因此，分针转速为每分钟转6度，时针转速为每分钟转0.5度．定义：钟面角是指时钟的时针与分针所成的角．如右图所示，即为某一时刻的钟面角，我们规定的度数在至之间． 素材2 当时钟显示时，钟面角为多少度呢？要解决这个问题，可以先考虑时，钟面角为，时针经过10分钟转了，分针经过10分钟转了，因此时，钟面角为． 素材3 作息时间表 第一节 第五节 第二节 第六节 大课间 眼保健操 第三节 第七节 眼保健操 体育活动 第四节 课后服务 解决问题 任务1 （1）求作息时间表中第三节课后开始做眼保健操时（即）钟面角的度数． 任务2 （2）根据素材3中作息时间表的安排，在第五节课（）时间段内，请问：上课铃声（即）响后几分钟时恰好存在钟面角为的情况？ 任务3 （3）记钟面上刻度为3的点为，在作息时间表的第六节课时间段内，当钟面角的两边，所在射线与射线中恰有一条射线是另两条射线所成角的平分线时，请直接写出此时对应的时刻．（结果用“几时几分”的形式表示） 【答案】（1） （2）分钟或分钟 （3）时分或时分 【难度】0.4 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、钟面角、角平分线的有关计算 【分析】本题主要考查了钟面角，一元一次方程的应用（几何问题），角平分线的有关计算等知识点，运用数形结合思想和分类讨论思想是解题的关键． （1）依题意直接列式可得，计算可得答案； （2）设上课铃声响后经过分钟时恰好存在钟面角为的情况，分两种情形构建方程求解即可； （3）令时针所在射线为，分针所在射线为，设此时对应的时刻是时分（），然后分三种情况讨论：①当为和所成角的平分线时；②当为和所成角的平分线时；③当为和所成角的平分线时；分别列方程求解即可． 【详解】解：（1）时钟面角的度数为： ； （2）设上课铃声响后经过分钟时恰好存在钟面角为的情况，则： ， 解得：， （分）； 或， 解得：， （分）； 答：上课铃声响后经过分钟或分钟时恰好存在钟面角为的情况； （3）令时针所在射线为，分针所在射线为，设此时对应的时刻是时分（）， 分三种情况讨论： ①当为和所成角的平分线时， ， 解得：（不符合题意，故舍去）； ②当为和所成角的平分线时， ， 解得：； ③当为和所成角的平分线时， ， 解得：； 综上，当钟面角的两边，所在射线与射线中恰有一条射线是另两条射线所成角的平分线时，此时对应的时刻为时分或时分． 【变式6-1】 信息1 小刚和小颖两家人分别开车匀速行驶在笔直的高速公路上（如图1），小颖家车的速度是100千米/时，小刚家车的速度是小颖家车的速度的1.2倍，将车看成点，高速公路看成直线，得到图2的示意图，甲表示小刚家的车，乙表示小颖家的车． 信息2 某时刻乙车在甲车前方20千米，此时小刚看到自己手表（图3）显示的时间如图4中表盘所示，表示时针，表示分针，时针和分针在转动的过程中形成的角是，表带所在直线为． 根据以上信息回答问题： (1)小刚看表时，时针和分针的夹角为°． (2)①经过小时，甲车追上乙车； ②甲车刚追上乙车时，此时时针和分针的夹角为°． (3)①在表盘中分针每分钟转过°，时针每分钟转过°； ②自小刚看表时刻开始，到甲车追上乙车时这段时间之内，经过分钟后，的度数是． (4)小刚根据时针和分针的启示，做了一个类似的装置（如图5），该装置的“表带”所在直线是，装置有三根指针分别为和，指针和在转动过程中保持，指针始终平分，指针从图5所示位置（和射线重合）以每秒顺时针开始旋转，经过秒后转到图6位置时，小刚记下此时，继续转动秒，当转到图7位置时，小刚记下此时，若，直接写出的值． 【答案】(1)105 (2)①1；②135 (3)①6，0.5；②或 (4)7 【难度】0.4 【知识点】其他问题(一元一次方程的应用)、钟面角、角平分线的有关计算 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，角的计算，角平分线的定义，在“钟面”的背景下考查追及，根据题意，进行准确的分类讨论是解题关键． （1）根据图知显示时间为9时30分，易算出的度数； （2）①根据题意得到等量关系甲车走的减去乙车走的为20，即可求出追击时间； ②在第（1）问的基础上加上一小时时针走过的角度即可； （3）①表盘中分针每分钟转过为；时针每分钟转过为； ②分情况讨论，在分针与时针重合之前和之后列式计算即可； （4）根据题意先分析图6，得到，再分析图7，得到，根据已知条件即可求得的值． 【详解】（1）解：， 故答案为：105； （2）①设经过小时，甲车追上乙车， 由题得， 解得：， ②， 故答案为：1；135； （3）①，， 故答案为：6，0.5； ②设经过分钟后，的度数是， <1>在分针与时针重合之前， ， 解得， <2>在分针与时针重合之后， ， 解得， 故答案为：或； （4）在图6中，根据题意知， 又始终平分， ， ， ， 即， 在图7中，根据题意知， 又始终平分， ， ， ， 即， 又， ， 解得（负值舍去）， 故答案为：7． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06图形的初步（6知识&12题型&2易错&3方法清单） 【清单01】线段、射线和直线的特征与表示方法 名称 图形 表示方法 端点个数 延伸性 长度（能否度量） 线段 线段 或线段 或线段 不可延伸 可度量 射线 射线 向一端 无限延伸 不可度量 直线 直线 或直线 0 向两端 无限延伸 不可度量 直线的基本事实 经过两点有一条而且只有一条直线。可以简单地说成: 线段的基本事实 在所有连结两点的线中， 。简单地说： 两点间的距离 连结两点的线段的长度叫作这两点间的距离 【清单02】比较线段的长短 ·比较线段长短方法：①度量法：用刻度尺进行测量进行比较； ②叠合法：两条线段一个端点重合，根据另一个端点位置进行比较；③圆规比较 【清单03】线段的和差 线段的和差 一条线段的长度是另两条线段的长度的和，那么这条线段就叫作另两条线段的和 数量关系：AC=AB+BC 一条线段的长度是另两条线段的长度的差，那么这条线段就叫作另两条线段的差 数量关系：AB=AC-BC 线段的中点 点C把线段AB分成相等的两条线段AC和BC，点C叫作线段AB的中点 ， 【清单04】角的表示 角的几何符号：“∠” 表示方法 基本图形 记法 适用范围 （1）用三个大写字母表示 或 任何情况都适用，表示顶点的字母写在中间 （2）用一个大写字母表示 以某一点为顶点的角只有一个时，可以用顶点表示角 （3）用阿拉伯数字表示 任何情况都适用 （4）用希腊字母表示 任何情况都适用 角度制 以度、分、秒为单位的角的度量制，叫作角度制：1°= ， ①把一个周角360等分，每一份就是1度的角，记作1° ②把1度的角60等分，每一份叫作1分的角，记作 ③把1分的角60等分，每一份叫作1秒的角，记作 【清单05】角的比较与分类 ·角的比较： ①度量法：用量角器测量进行比较；②叠合法：使两角一边重合，根据另一边的位置进行比较. 注意：一般地，如果两个角的度数相等，那么我们就说这两个角相等。 ·角的分类：①等于90°的角是直角；②小于直角的角是锐角；③大于直角而小于平角的角是钝角。 【清单05】角的和差与角平分线 角的和差 如果一个角的度数是另两个角的度数的和，那么这个角就叫作另两个角的和 如果一个角的度数是另两个角的度数的差，那么这个角就叫作另两个角的差 角的平分线 从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫作这个角的平分线 ∵OC是∠AOB的平分线， ∴∠AOC= = ，∠AOB=∠AOC+∠BOC=2∠BOC= . 【清单05】余角和补角 ·余角和补角定义： ①如果两个锐角的和是一个直角，我们就说这两个角互为余角，简称互余，也可以说其中一个角是另一个角的余角：∠α+∠β=90° ②如果两个角的和是一个平角，我们就说这两个角互为补角，简称互补，也可以说其中一个角是另一个角的补角：∠α+∠β=180° ·余角和补角性质：同角或等角的 ；同角或等角的 . 【清单06】尺规作图 解释：限定用无刻度的直尺和圆规作图，即是尺规作图。 直尺作用：画直线或射线（无刻度）；圆规作用：量长（截长）、定点（画弧） 尺规作图题只要求作出图形，并说明结果。在没有特别说明的情况下可以不写作法，但要保留作图痕迹。 【题型一】判断平面图形的旋转体 【例1】（24-25七年级上·浙江台州·期末）如图，将长方形沿直线旋转一周形成的几何体是（   ） A．长方体 B．圆柱 C．圆锥 D．球 【变式1-1】（24-25七年级上·浙江金华·期末）下列各平面图形绕虚线旋转一周，能得到球的是（   ） A． B． C． D． 【题型二】钟面角和方向角的计算 【例2】（24-25七年级上·浙江台州·期末）如图，在灯塔处测得轮船位于北偏西的方向上，轮船位于南偏东的方向上，轮船在的平分线上，则在灯塔处观测轮船的方向为（   ） A．南偏东 B．南偏东 C．北偏东 D．北偏东 【变式2-1】（24-25七年级上·浙江金华·期末）下面图形中，射线是表示北偏东方向的是（   ） A． B． C． D． 【例3】（24-25七年级上·浙江金华·期末）如图，时钟在2点时，分针与时针所夹的角为．从12时到15时的3个小时中，分针与时针能构成的角时刻有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【变式3-1】如图，从早上到同一天早上，时钟的分针旋转了（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25七年级上·浙江湖州·期末）规律作息可以使人体有充分的时间休息，为养成良好的作息习惯，小明坚持晚上点分入睡，此时时针与分针的夹角为度． 【题型三】与补角、余角有关的计算 【例4】（24-25七年级上·浙江金华·期末）已知一个角的补角是这个角的3倍，则这个角的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25七年级上·浙江温州·期末）若，则的余角的度数为． 【变式4-2】（24-25七年级上·浙江台州·期末）如图，将三角尺的直角顶点放在直线上的点处，若，则的度数为． 【例5】（24-25七年级上·浙江杭州·期末）已知与互为余角，与互为补角，有以下三个结论：①；②；③．其中正确的结论是（   ） A．①③ B．① C．③ D．①②③ 【变式5-1】（24-25七年级上·天津河北·期末）如果和互补，且，则下列表示的余角的式子中：①；②；③；④．其中不正确的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【题型四】三角板中的角度计算问题 【例6】（24-25七年级上·浙江湖州·期末）如图，将一块三角尺中角的顶点与另一块三角尺的直角顶点重合，若，则的大小是(　　) A． B． C． D． 【变式6-1】（23-24七年级上·安徽合肥·期末）如图，将一副三角尺的两个锐角（角和角）的顶点叠放在一起，若与的和为，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】如图，将一副三角板叠在一起，使它们的直角顶点重合于O点，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】（24-25七年级上·浙江湖州·期末）一副三角板如图所示摆放，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【题型五】概念辨析问题 【例7】（24-25七年级上·浙江杭州·期末）下列四种说法中，正确的是（   ） A．连结两点的线段叫作两点间的距离 B．若，则点B是线段的中点 C．若，则是的平分线 D．若是锐角，则的补角一定比它的余角大90度 【变式7-1】（24-25七年级上·浙江杭州·期末）下列说法正确的是（　　） A．经过一个点只能画一条直线 B．两条射线组成的图形叫角 C．两点间的距离是连接两点的线段的长度 D．将一个角分成两个角的射线叫角的平分线 【题型六】运用数学知识解释生活现象 【例8】（24-25七年级上·广东深圳·期末）下列四个生产生活现象，可以用“两点之间，线段最短”来解释的是（   ） A．把弯曲的河道改直，可以缩短航程 B．用两个钉子就可以把木条固定在墙上 C．植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线 D．木匠师傅锯木料时，一般先在木板上画出两个点，然后过这两点弹出一条墨线 【变式8-1】（24-25七年级上·浙江湖州·期末）跑步比赛时，标记冲刺终点线的拉绳，只需要两个支点，其中蕴含的数学基本事实是（   ） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．连接两点的线段的长度叫做这两点间的距离 D．两点间的距离就是两点间的路程 【变式8-2】（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）新昌挂岩岭隧道和上角坪隧道（示意图如图）通过把部分道路取直以缩短路程，其中蕴含的数学原理是． 【题型七】角平分线有关的计算 【例9】（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）如图，已知，平分，若内部存在一条射线，满足，则． 【变式9-1】（24-25七年级上·浙江温州·期末）如图，是直线上一点，，分别是，的平分线．若的度数为，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【题型八】角度的四则运算 【例10】（24-25七年级上·浙江金华·期末）计算：（结果用度、分、秒表示）． 【变式10-1】（24-25七年级上·浙江杭州·期末）（结果用度、分、秒表示）． 【题型九】根据线段的和差倍分关系进行线段计算 【例11】（24-25七年级上·浙江金华·期末）如图，C是线段中点，点D在线段上，．若，则的长是（     ） A．2 B．3 C．4 D．6 【变式11-1】（24-25七年级上·浙江宁波·期末）如图，点，把线段三等分，是线段的中点．下列说法中，错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式11-2】（24-25七年级上·浙江·期末）如图，已知点B在线段上，D是的中点，M是的中点．若，，则． 【变式11-3】（24-25七年级上·浙江金华·期末）如图，已知点C在线段的延长线上，点P、Q分别在线段上，且满足，．则线段的长（   ） A．与线段、线段的长度都有关 B．仅与线段的长度有关 C．仅与线段的长度有关 D．与线段、线段的长度无关 【例12】（24-25七年级上·浙江温州·期末）都江堰李冰石人的肩部和脚部通常被用作测量水位．洪水水位与枯水水位分别位于整尊石人的六等分点处，，已知，则整尊石人的高度． 【12-1】（24-25七年级上·浙江金华·期末）课本中有这样一道题：如图，已知是线段的中点，是线段的中点，请完成下列填空．甲，乙，丙，丁四位同学分别填写了答案，其中填错的同学是（    ） 甲：乙：2丙：4丁： A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【题型十】线段综合问题 【例13】（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）如图，线段，点是线段的中点，点是线段的中点． (1)如图①，求线段的长； (2)如图②，点是线段上的一点，且满足，求的长度． 【变式13-1】（24-25七年级上·浙江台州·期末）如图，线段，点是线段的一点，，点是线段的中点． (1)求线段的长度； (2)若点是线段上的一点，且，求线段的长． 【变式13-2】（24-25七年级上·浙江湖州·期末）如图，已知点为线段上一点，，，、分别是、的中点． (1)______； (2)求的长度； (3)若在直线上，且，求的长度． 【变式13-3】如图，点C是线段的中点，点D在线段上，点B是线段的中点． (1)若，求的长； (2)若，求的长． 【题型十一】角综合问题 【例14】（24-25七年级上·浙江金华·期末）如图，射线在的内部，，． (1)求的度数． (2)若另一条射线也在的内部且满足，求的度数． 【变式14-1】（24-25七年级上·浙江杭州·期末）如图，已知． (1)若，求的度数． (2)与互补吗？请说明理由． 【14-2】（24-25七年级上·浙江·期末）（1）如图1，P为线段的中点，点C，D把线段三等分，已知线段的长为，求线段的长． （2）如图2，射线平分，射线把三等分，若，求的度数（用含的代数式表示）． 【14-3】（24-25七年级上·浙江宁波·期末）如图，点为直线上一点，过点作射线，使，射线与位于直线同侧，平分． (1)如图，当时，求的度数． (2)若，通过计算判断与的大小关系，并说明理由． 【题型十二】尺规作图 【例15】（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）作图：如图，已知平面上有四个点，，，． (1)用直尺和圆规完成作图（保留作图痕迹，不写作图步骤） ①作线段； ②作直线，在直线上取一点，使得； (2)在（1）的条件下，若线段，且，求线段的长． 【变式15-1】（24-25七年级上·浙江台州·期末）如图，已知四点，请按要求作图，并解答． (1)画线段，并延长； (2)画直线，连接交直线于点； (3)若，是线段的中点，则的长为__________． 【变式15-2】（24-25七年级上·浙江宁波·期末）已知点（如图），请利用没有刻度的直尺和圆规按下列要求完成作图，并保留作图痕迹． (1)画线段，射线； (2)在射线上找一点（不与重合），使得； (3)在线段上找到一点，使点到、两点距离之和最小，请在图中标出点． 【题型一】因考虑不全面没有进行分类讨论 【例1】（24-25七年级上·浙江杭州·期末）如图，三角尺①固定不动，将三角尺②的直角顶点O与三角尺①的顶点A重合．若三角尺②的一条直角边与边的夹角为，则三角尺②的另一条直角边与边的夹角的度数全部正确的（    ） A．       B．       C．       D．       【变式1-1】（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）定义：从角的顶点出发的射线将角平均分成三等分，则称该射线为角的三等分线．如图，已知，，若为的三等分线，则的度数为． 【变式1-2】（24-25七年级上·浙江杭州·期末）已知，在同一平面内，，则的度数为． 【变式1-3】（24-25七年级上·浙江宁波·期末）已知点是线段的中点，点分线段的长度为．已知厘米，则的长为厘米． 【变式1-4】（24-25七年级上·浙江杭州·期末）定义：从一个钝角的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将这个钝角分得的两个角中有一个角与钝角互为补角，则称该射线为此钝角的“割补线”．如图，点O在直线上，在直线的上方，且，钝角的“割补线”记为． (1)若，求的度数； (2)若恰好平分，求的度数； (3)若是的平分线，是的平分线，求出与的数量关系． 【题型二】在组合三角板中易忽略已知角度（90°、180°、45°） 三角板中的角度问题：余角、补角、对顶角与角度等量代换 考查补角： 45°+60°=105°， ∠α=180°-105°=75° 考查余角： 45°+30°=75° ∠α=90°-75°=15° 考查余角： 45°-10°=35°， ∠α=90°-35°=55° 考查补角： 180°-45°-30°=105°，∠α=180°-105°=75° 【例2】（24-25七年级上·浙江温州·期末）如图，一副三角板按图中的四个位置摆放，则其中与一定相等的是（  ） A．①② B．②③ C．①④ D．②④ 【变式2-1】（24-25七年级上·浙江宁波·期末）如图，一副三角板按图中的位置摆放，其中和具有互余关系的位置是（） A． B． C． D． 【题型一】运用方程思想解线段/角综合问题 ·适用方程形式：当方程可化为或（）的形式时，可直接通过开平方求解. ·求解方法： （1）若，则（时无实数根）； （2）若，则，再解一元一次方程. 【例1】（24-25七年级上·浙江杭州·期末）如图，C点是线段的中点，，，下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式1-1】（24-25七年级上·浙江温州·期末）如图，在数轴上从左往右依次有四点，，，，对应的数分别为，，，，且点为的中点，．若，则（用只含的代数式表示）． 【例2】（24-25七年级上·浙江杭州·期末）如图，是直线上一点，是一条射线，平分，在内，且，，则下列四个结论正确的个数有（      ） ；射线平分；图中与互余的角有个；图中互补的角有对． A．个 B．个 C．个 D．个 【变式2-1】（24-25七年级上·浙江温州·期末）如图，线段上依次有三点，已知是中点，． (1)当时，求的长． (2)若，求的长． 【变式2-2】（24-25七年级上·浙江杭州·期末）【问题提出】如图A，B，C是直线l上的三点，，点D是线段中点，点E是线段的中点，求线段的长． 【问题解决】圆圆运用整体思想，解决问题． ∵点D是线段中点，点E是线段的中点 ∴， ∴ 城城发现这一题困难的原因是已知条件太少，于是他运用方程思想，设线段， 则  ∵点D是线段中点，∴ ∵点E是线段中点，∴  ∴ 【问题应用】请选择你喜欢的方法，解决下面两个问题 如图，在的外部，平分，平分． (1)若，求的度数； (2)若，用含x的代数式表示的度数； (3)若与互余，与互补．求的度数． 【例3】（24-25七年级上·浙江金华·期末）问题研究： 如图1，已知点、（点在左边）在线段（点在左边）上，点、分别是线段的中点．若，求线段的长． 拓展学习： 如图2，直线l上有线段（点在左边）和线段（点在左边），且线段在线段外移动，点、分别是线段的中点．若，那么在线段移动过程中，线段的长是否会发生变化，若不变化，请用含、的代数式表示的长．若发生变化请说明理由． 类比学习 如图3，已知（度）在（度）左侧，若射线分别满足，求的值（用含、的代数式表示）．    【变式3-1】（23-24七年级上·浙江杭州·期末）如图，在内部顺次有一组射线，，…，，满足，，，…，．若，则（用含，的代数式表示）． 【题型二】几何动态问题（动角、动三角形） 【例4】（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）已知：如图1，点A、O、B依次在直线上，现将射线绕点O沿顺时针方向以每秒的速度旋转，同时射线绕点O沿逆时针方向以每秒的速度旋转，如图2，设旋转时间为t（）． (1)用含t的代数式表示的度数． (2)在运动过程中，当第二次达到时，求t的值． (3)在旋转过程中是否存在这样的t，使得射线是由射线、射线、射线中的其中两条组成的角（指大于而不超过的角）的平分线？如果存在，请直接写出t的值；如果不存在，请说明理由． 【变式4-1】（24-25七年级上·浙江台州·期末）如图1，，过点在的内部作射线，使得，射线从射线开始以每秒的速度绕着点顺时针转动，当为平角时停止转动，设转动的时间为秒． (1)当射线位于射线的左侧时，_____________（用含的式子表示）； (2)当射线平分时，求的值． (3)如图2，射线从射线开始以每秒的速度与射线同时开始绕着点顺时针转动，同时停止． ①当时，求的值． ②在转动过程中，请直接写出与之间的数量关系． 【例5】（24-25七年级上·浙江宁波·期末）定义：如果两个角相差，则称这两个角互为“优角”，也可以说一个角是另一个角的优角．现有一副三角板按图所示摆放，其中、、三点共线，我们可以说和都是的优角． (1)在图中，的优角有______个． (2)如图，将绕点按顺时针方向旋转一个角度至． ①当旋转的角度为何值时，与互为优角？ ②如图，作的角平分线，是否存在这样的，使得，这两个角都是同一个角的优角．若存在，请直接写出的值，若不存在，请说明理由． 【变式5-1】（24-25七年级上·浙江台州·期末）有一副三角板． (1)如图1，将边放在直线上，求的度数； (2)如图2，三角板固定不动，边仍在直线上，把三角板绕点顺时针旋转一周． ①当平分时，求的度数； ②当时，请直接写出的度数． 【题型三】钟面角的综合实践 【例6】（24-25七年级上·浙江金华·期末）根据以下素材，探索完成任务． “数”说时钟 素材1 时钟在我们日常生活中时常可见．时钟表盘中的数字是均匀分布的，其中分针60分钟转动，时针60分钟转动．因此，分针转速为每分钟转6度，时针转速为每分钟转0.5度．定义：钟面角是指时钟的时针与分针所成的角．如右图所示，即为某一时刻的钟面角，我们规定的度数在至之间． 素材2 当时钟显示时，钟面角为多少度呢？要解决这个问题，可以先考虑时，钟面角为，时针经过10分钟转了，分针经过10分钟转了，因此时，钟面角为． 素材3 作息时间表 第一节 第五节 第二节 第六节 大课间 眼保健操 第三节 第七节 眼保健操 体育活动 第四节 课后服务 解决问题 任务1 （1）求作息时间表中第三节课后开始做眼保健操时（即）钟面角的度数． 任务2 （2）根据素材3中作息时间表的安排，在第五节课（）时间段内，请问：上课铃声（即）响后几分钟时恰好存在钟面角为的情况？ 任务3 （3）记钟面上刻度为3的点为，在作息时间表的第六节课时间段内，当钟面角的两边，所在射线与射线中恰有一条射线是另两条射线所成角的平分线时，请直接写出此时对应的时刻．（结果用“几时几分”的形式表示） 【变式6-1】 信息1 小刚和小颖两家人分别开车匀速行驶在笔直的高速公路上（如图1），小颖家车的速度是100千米/时，小刚家车的速度是小颖家车的速度的1.2倍，将车看成点，高速公路看成直线，得到图2的示意图，甲表示小刚家的车，乙表示小颖家的车． 信息2 某时刻乙车在甲车前方20千米，此时小刚看到自己手表（图3）显示的时间如图4中表盘所示，表示时针，表示分针，时针和分针在转动的过程中形成的角是，表带所在直线为． 根据以上信息回答问题： (1)小刚看表时，时针和分针的夹角为°． (2)①经过小时，甲车追上乙车； ②甲车刚追上乙车时，此时时针和分针的夹角为°． (3)①在表盘中分针每分钟转过°，时针每分钟转过°； ②自小刚看表时刻开始，到甲车追上乙车时这段时间之内，经过分钟后，的度数是． (4)小刚根据时针和分针的启示，做了一个类似的装置（如图5），该装置的“表带”所在直线是，装置有三根指针分别为和，指针和在转动过程中保持，指针始终平分，指针从图5所示位置（和射线重合）以每秒顺时针开始旋转，经过秒后转到图6位置时，小刚记下此时，继续转动秒，当转到图7位置时，小刚记下此时，若，直接写出的值． 学科网（北京）股份有限公司 $