专题05 一元一次方程（期末复习知识清单，4知识11题型4方法）七年级数学上学期新教材浙教版

该初中数学一元一次方程专题清单系统涵盖概念、解法、应用步骤及8类应用模型，以“知识清单-11类题型-4大方法”的三阶架构，搭建从基础定义到综合应用的递进式学习支架。 清单通过“应用模型表格化”呈现数量关系，如行程问题明确核心公式与等量关系，题型设计含例题及变式训练，培养运算能力与模型意识。特别设置解方程步骤辨析题，助力学生形成推理意识，教师可精准教学，学生能高效自主复习。

专题05 一元一次方程（4知识&11题型&4方法清单） 【清单01】一元一次方程的概念 一元一次方程 【清单02】一元一次方程的解法 ·解一元一次方程的一般步骤：①变形：去小数；②去分母；③去括号；④移项、合并同类项；⑤系数化1 【清单03】一元一次方程的应用的一般步骤 ·一般步骤： ①审:审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间关系 ②设:设未知数(一般求什么，就设什么为x ③找:找出能够表示应用题全部意义的一个相等关系 ④列:根据这个相等关系列出需要的代数式，进而列出方程 ⑤解:解所列出的方程，求出未知数的值固答:检验所求解是否符合题意，写出答案(包括单位名称) 【清单04】一元一次方程的应用模型 问题类型 解题关键步骤 数量关系与等量关系的确定 和差倍分问题 ①识别“和、差、倍、分”关键词； ②根据数量关系设未知数； ③列出一元一次方程并求解验证 和、差、倍、分对应两个量之间的加、减、乘、除 古典问题 ①提炼隐藏的数量关系； ②根据“总数量”“总价值”等列方程； ③结合实际意义验证解的合理性 调配：从调配后的数量关系中找等量关系； 比例分配：全部数量=各种成分的数量之和 行程问题 ①行程问题核心公式及变形 （速度=路程÷时间，时间=路程÷速度）； ②列出相遇、追击问题的等量关系； 航行问题：顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度 日历问题 ①找出日历中数字的排列规律；②根据规律设元表示未知日期； ③根据“日期和”“日期差”列方程 工程问题 根据“工作总量为1”（通常设总工作量为1）或“部分工作量和为总工作量”列方程 配套问题 ①从题意中找出配套的比例关系；②设元表示两种配套产品的数量； ③根据配套比例列方程 销售问题 根据“盈利/亏损金额”“利润率” 列方程 商品的售价=商品的标价×折扣； 商品的利润=商品售价-商品进价； 商品的利润率=； 数字问题 根据“数字位置变化后的新数与原数的关系”列方程 设分别为一个两位数的个位、十位上的数字，则这个两位数可表示为 【题型一】根据等式的基本性质判断等式是否成立 【例1】（24-25七年级上·浙江温州·期末）已知，根据等式的基本性质，下列等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】等式的性质1、等式的性质2 【分析】本题考查等式的基本性质，根据等式的基本性质，进行判断即可． 【详解】解：A、，则：，即：；等式成立，符合题意； B、，则：，原等式不成立，不符合题意； C、，则：，原等式不成立，不符合题意； D、，则：，即，原等式不成立，不符合题意； 故选A 【变式1-1】（24-25七年级上·浙江台州·期末）下列运用等式的性质进行变形，正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】等式的性质1、等式的性质2 【分析】本题主要考查了等式的性质，根据等式的基本性质：等式两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立；等式两边同时乘或除以同一个数(除数不能为0)，等式仍然成立． 【详解】解：．如果，那么，原变形错误，故该选项不符合题意； ．如果，那么，原变形错误，故该选项不符合题意； ．如果，且时，那么，原变形错误，故该选项不符合题意； ．如果，则，则，变形正确，故该选项符合题意； 故选：D． 【变式1-2】（24-25七年级上·浙江·期末）设a，b，m为实数，则正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】等式的性质1、等式的性质2 【分析】本题主要考查了等式的性质，熟知等式的性质是解题的关键：等式两边同时加上或减去一个数或式子等式仍然成立；等式两边同时乘以一个数或式子等式两边仍然成立，等式两边同时除以一个不为0的数或式子等式仍然成立． 【详解】解：A、若，则，原式错误，不符合题意； B、若，则，原式正确，符合题意； C、若，则，原式错误，不符合题意； D、若，则，原式错误，不符合题意； 故选：B． 【变式1-3】（24-25七年级上·浙江宁波·期末）等式的性质在生活中广泛应用．如图，、分别表示两位同学的身高，表示台阶的高度，左边同学比右边同学高5厘米，图中两人的对话体现的数学原理可表示为（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】等式的性质1、等式的性质2 【分析】本题考查等式的性质，掌握等式的两个基本性质是解题的关键． 根据题意可得，根据等式的基本性质1，将的两边同时加即可． 【详解】解：由图可知， 根据等式的基本性质1，将的两边同时加，得， ∴A符合题意，BCD不符合题意， 故选：A． 【题型二】解一元一次方程——去分母 【例2】（24-25七年级上·浙江温州·期末）将方程，去分母，得（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查了解一元一次方程，根据解一元一次方程的步骤去分母进行计算即可，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． 【详解】解：， 去分母，得：， 故选：． 【变式2-1】（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）把方程的分母化为整数，结果应为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，熟练掌握一元一次方程的解题步骤是解答本题的关键．把的分子和分母都乘以10，然后再约分即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选B． 【题型三】已知方程的解求参数 【例3】（24-25七年级上·浙江温州·期末）已知是关于的一元一次方程的解，则的值为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】已知方程的解，求参数 【分析】本题考查了一元一次方程的解，把代入方程，再根据等式的性质求出关于a的方程的解即可． 【详解】解：把代入方程， 得， 解得． 故答案为：． 【变式3-1】（24-25七年级上·浙江台州·期末）方程“”一部分被遮挡．已知该方程的解为，则部分可能是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】已知方程的解，求参数 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，解题关键是熟练掌握一元一次方程解的定义．把代入，得到关于的方程，然后解方程求出的值，再把代入各选项判断即可． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， ∴， 当时，选项A的值为2，不符合题意，舍去； 选项B的值为，不符合题意，舍去； 选项C的值为，符合题意； 选项D的值为，不符合题意，舍去； 故选：C． 【变式3-2】（24-25七年级上·浙江金华·期末）小马同学在解关于x的方程时，在去分母过程中等号右边漏乘“6”，解得，则k的值为（   ） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、已知一元一次方程的解，求参数 【分析】本题考查一元一次方程错解复原问题，将错就错，去分母后，将代入，求解即可． 【详解】解：按照小马同学去分母的过程得：， 把代入，得：， 解得：； 故选B． 【变式3-3】（24-25七年级上·浙江宁波·期末）若是关于的一元一次方程的解，则的值为 ． 【答案】2 【难度】0.85 【知识点】已知方程的解，求参数 【分析】本题主要考查一元一次方程的解，代数式的求值．由方程的解得到，再将代数式变形得，代入计算即可． 【详解】解：把代入，得， ∴， 故答案为：2． 【题型四】解一元一次方程 【例4】（24-25七年级上·浙江温州·期末）解方程：． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题主要考查的是解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤和方法是解题的关键． 依据去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1等步骤求解即可． 【详解】解：去分母，得 移项，得 合并同类项，得 系数化成1，得． 【变式4-1】（24-25七年级上·浙江台州·期末）解方程：． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】此题主要考查了解一元一次方程的方法，去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，据此求出方程的解即可．要明确解一元一次方程的一般步骤，去括号要注意括号前面的符号，移项时要改变符号是关键． 【详解】解：去分母，可得：， 去括号，可得：， 移项，可得：， 合并同类项，可得：， 系数化为1，可得：． 【变式4-2】（24-25七年级上·浙江金华·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、解一元一次方程（二）——去括号、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题主要考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤及注意事项是解题的关键； （1）方程按移项，合并同类项，系数化为1，求出未知数的值即可； （2）方程按去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，求出未知数的值即可． 【详解】（1）移项，得， 合并同类项，得， 系数化1，得． （2）去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，， 系数化1，得． 【变式4-3】（24-25七年级上·浙江金华·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查了一元一次方程的运算，熟悉掌握运算法则是解题的关键． （1）根据运算法则运算即可； （2）根据运算法则运算即可． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）， ， ， ， ， ， ． 【例5】（24-25七年级上·浙江宁波·期末）在解方程时，小江的解法如下： 解：去分母，得…第①步 去括号，得…第②步 移项，得  …第③步 则 …第④步 解得 …第⑤步 小江同学的解法正确吗？若不正确，请指出他在第 步开始出现错误，并写出正确的解题过程． 【答案】不正确，①，正确的解题过程见解析 【难度】0.65 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤和方法是解题的关键．根据解一元一次方程的步骤和方法判断求解，即可解题． 【详解】解：不正确，小红在第①步去分母时，没有加括号， 所以他在第①步开始出现错误， 正确的解题过程如下： 解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得 ， 则， 解得． 故答案为：①． 【变式5-1】（24-25七年级上·浙江台州·期末）阅读小虎同学解方程的过程，并回答问题． 解：① ② ③ ④ ⑤ (1)小虎解方程最先出现错误的是第__________步（填写序号），该步骤错误原因是__________；（可多选） A．漏乘不含分母的项 B．分子是多项式，去掉分母后未给分子整体添括号 C．移项没有变号 (2)请正确解出这个方程． 【答案】(1)AB (2) 【难度】0.65 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题主要考查了解一元一次方程： （1）第①步去分母时，等式右边的1没有乘以6，且式子去分母后没有加括号，据此可得答案； （2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可． 【详解】（1）解：观察解题过程可知，最先出现错误是第①步，错误原因是再去分母时等式右边的1没有乘以6，且式子去分母后没有加括号， 故选：AB； （2）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：． 【变式5-2】（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）小红在解方程时，第一步出现了错误： 解： …… (1)请在相应的方框内用横线划出小红的错误处； (2)写出你的解答过程． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【难度】0.85 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的方法是解题的关键． （1）根据解一元一次方程的方法：去分母即可得出答案； （2）根据解一元一次方程的方法：去分母，去括号，移项，合并同类项求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得． 【题型五】一元一次方程的应用——行程问题 【例6】（24-25七年级上·浙江金华·期末）一条公路上有相距的两地，甲、乙、丙三人都在这条公路上行驶．根据他们三人对话的信息，解决丙提出的问题． 甲：我从地出发匀速前往地，速度为． 乙：甲出发1小时后，我也从地出发匀速前往地，出发半小时后追上了甲，到达地后停止不动． 丙：我与甲同时出发，但我是从地匀速前往地，当我与甲相遇时，甲与乙相距．我出发后 小时与乙相遇． 【答案】或 【难度】0.4 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，有理数的四则混合运算，正确理解题意是解题的关键． 设丙出发与乙相遇，求出乙的速度为；当丙与甲相遇时，①若甲在乙前面，可求得丙速度为，故，②若乙在甲前面，求出丙的速度为，故，分别解方程可得答案． 【详解】解：设丙出发与乙相遇， 根据题意可得：乙的速度为 当丙与甲相遇时， ①若甲在乙前面，则此时乙在A地，甲刚好出发，行驶了， ∴丙速度为， ∴， 解得：； ②若乙在甲前面， ∵， ∴此时乙出发了，所走路程为，甲所走路程为 ∴丙的速度为， ∴， 解得， 综上所述，丙出发或与乙相遇， 故答案为：或． 【变式6-1】（24-25七年级上·浙江杭州·期末）甲、乙两车站相距，一列慢车从甲站开出，行驶速度为，一列快车从乙站开出，行驶速度为． (1)两车同时开出，相向而行，多少小时后相遇？ (2)两车同时开出，同向而行，慢车在前，多少小时后快车追上慢车？ (3)两车同时开出，相向而行，多少小时后两车相距？ 【答案】(1)两车行驶了小时相遇 (2)小时快车追上慢车 (3)或 【难度】0.65 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，熟练掌握行程问题中的等量关系是解题的关键． （1）设两车行驶小时相遇，根据相遇时两车行驶路程之和为建立方程求解； （2）设小时快车追上慢车，快车比慢车多行驶建立方程求解； （3）设慢车行驶小时两车相遇，分两种情况讨论：两车相遇前；两车相遇后；建立方程求解． 【详解】（1）解：设两车行驶了小时相遇，根据题意，得 ， 解得：， 答：两车行驶了小时相遇； （2）解：设两车行驶了小时快车追上慢车，根据题意，得 ， 解得：， 答：小时快车追上慢车； （3）解：设经过后两车相距，分两种情况讨论： 两车相遇前，由题意， 得， 解得：， 两车相遇后，由题意， 得， 解得， 答：或后两车相距． 【变式6-2】（24-25七年级上·浙江杭州·期末）如图，已知一周长为的圆形轨道上有相距的两点（备注：圆形轨道上相距是圆上这两点间的较短部分展直后的线段长为），动点从点出发，以的速度，在轨道上按逆时针方向运动，与此同时，动点从点出发，以的速度按同样的方向运动，设运动时间为，在第二次相遇前，当动点在轨道上相距时，则 ． 【答案】或或 【难度】0.65 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，分三种情况：①第一次相遇前相距；第一次相遇后相距时；③第二次相遇前相距，分别列出方程解答即可求解，理解题意正确列出一元一次方程是解题的关键． 【详解】解：①当第一次相遇前相距时， 则， 解得； ②当第一次相遇后相距时， 则， 解得； ③当第二次相遇前相距时 则， 解得； 综上，或或， 故答案为：或或． 【题型六】一元一次方程的应用——配套问题 【例7】（24-25七年级上·浙江台州·期末）七（1）班共有44名学生，其中男生人数比女生人数的2倍少4人．劳动课上，董老师组织七（1）班学生制作手工花朵，每名学生一节课可以制作4个花心或20个花瓣． (1)七（1）班各有多少名女生和男生？ (2)原计划女生负责制作花心，男生负责制作花瓣，如果1个花心匹配6个花瓣，那么这节课制作的花心和花瓣不能完全配套．最后决定男生去支援女生，问有多少名男生去支援女生，才能使这节课制作的花心和花瓣刚好配套？ 【答案】(1)七（1）班有28名男生，16名女生 (2)有4名男生去支援女生，才能使这节课制作的花心和花瓣刚好配套 【难度】0.65 【知识点】其他问题(一元一次方程的应用)、配套问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）设七（1）班有x名男生，则有名女生，根据男生人数比女生人数的2倍少4人，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出的值(即男生人数)，再将其代入中，即可求出女生人数． （2）设有y名男生去支援女生，才能使这节课制作的花心和花瓣刚好配套，利用制作的花瓣的总数量是制作花心总数量的6倍，可列出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设七（1）班有x名男生，则有名女生， 根据题意得∶， 解得∶， (名)， 答∶七（1）班有28名男生，16名女生； （2）解：设有y名男生去支援女生，才能使这节课制作的花心和花瓣刚好配套， 根据题意得∶， 解得∶， 答∶有4名男生去支援女生，才能使这节课制作的花心和花瓣刚好配套． 【变式7-1】（24-25七年级上·浙江金华·期末）某节劳动课上刘老师组织学生们制作“便携式垃圾桶”．已知该班共有学生45名，每名学生一节课能做桶身11个或桶底23个，其中一个桶身配两个桶底．设安排名学生做桶身，若该班学生所做的桶身和桶底正好配套，则下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】配套问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，根据题意可知：桶身的数量桶底的数量，然后列出相应的方程即可． 【详解】解：由题意可得，， 故选：C． 【变式7-2】（24-25七年级上·浙江金华·期末）2024年11月5日至10日，第七届中国国际进口博览会（进博会）在上海举行．某工艺品厂接到生产一批水晶工艺品的任务，为按时完成任务，厂家做了相关的准备，请帮工艺品厂解决问题． 问题内容 素材1 工艺品厂原有熟练技术工5人，助理技术工8人，因生产需要，现要从其他厂家借用11名技术工，使得工艺品厂的熟练技术工和助理技术工的人数之比为． 素材2 假设每个包装箱里面装的水晶工艺品个数都相同，每种技术工的工作效率也相同．经测试，在一天时间内，5名熟练技术工可以生产8箱还少40个工艺品；8名助理技术工可以生产9箱还少15个工艺品；已知每名熟练技术工比助理技术工每天多生产20个工艺品． 问题解决 任务1 请计算从其他厂家借用的技术工中，熟练技术工和助理技术工各有几人？ 任务2 请计算每名熟练技术工和助理技术工每天各能生产多少个工艺品？ 【答案】（1）借用的技术工中，熟练技术工为1人，则助理技术工为10人；（2）每名熟练技术工每天能生产80个工艺品，每名助理技术工每天能生产60个工艺品 【难度】0.85 【知识点】其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查一元一次方程的运用，理解数量关系，掌握一元一次方程与实际问题的运用是解题的关键． 任务1：设借用的技术工中，熟练技术工为x人，则助理技术工为人，由此列式求解即可； 任务2：设每箱工艺品个数为y个，由此列方程求解即可． 【详解】解：任务1：设借用的技术工中，熟练技术工为x人，则助理技术工为人， ， ， 答：借用的技术工中，熟练技术工为1人，则助理技术工为10人． 任务2：设每箱工艺品个数为y个， ， （个）， （个）， 答：每名熟练技术工每天能生产80个工艺品，每名助理技术工每天能生产60个工艺品． 【变式7-3】（24-25七年级上·浙江温州·期末）综合与实践：如何设计柜子的制作方案？ 【素材】学校制作一批横式柜和竖式柜用于开辟图书角．现有28张规格的长方形木板按照图1中A或两种方法裁剪，得到小长方形木板和小正方形木板．如图2所示，2块小长方形木板和2块小正方形木板可做成一个横式柜，2块小长方形木板和3块小正方形木板可做成一个竖式柜． 设张长方形木板用于A方法裁剪． 【项目解决】 任务1：填写表格（用含的代数式表示裁剪出的小长方形木板和小正方形木板的数量）． 裁剪方法 小长方形木板（块） 小正方形木板（块） A方法 ________ 0 方法 ________ 任务2：将裁剪出的木板全部用于制作竖式柜且恰好全部用完，求出制作竖式柜的数量． 任务3：将裁剪出的木板用于制作两种柜子且恰好全部用完，给出裁剪方案使得做出的柜子数量最多，并求出两种柜子的总数． 【答案】任务1：，；任务2：16个；任务3：当，时，柜子数量最多，为个 【难度】0.65 【知识点】列代数式、配套问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了列代数，一元一次方程的应用，找到相等关系是解题的关键． （1）根据图1求解； （2）根据“小正方形和小长方形的数量比为”列方程求解； （3）设制作竖式柜子a个，先用x和a表示柜子的总数，当x增大时，柜子的数量也增大． 【详解】任务1：解：由题意得∶A方法得小长方形木块块，B方法得小正方形块， 故答案为∶，； 任务2：由题意得：， 解得， 则， 所以能做出16个竖式柜． 任务3：设制作竖式柜个，则制作横式柜个， 做出的柜子数量为个． 由题意得：， 化简得：． 因为，和均为正整数， 当增大时，柜子数量也增大， 所以当，时，柜子数量最多，为个． 【题型七】一元一次方程的应用——工程问题 【例8】（24-25七年级上·浙江嘉兴·期末）一个蓄水池有甲、乙两个进水管和一个排水管丙，单独打开甲管6小时可注满水池；单独打开乙管8小时可注满水池；单独打开丙管12小时可将满池水排空．若先将甲、乙两管同时打开2小时，再打开丙管，则打开丙管 小时后水池被注满． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】工程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，设打开丙管小时后，水池被注满，根据工作总量等于工作效率乘以工作时间，各劳动分量之和等于总量，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设打开丙管小时后，水池被注满，由题意，得： ， 解得：； 答：打开丙管小时后水池被注满． 故答案为: 【变式8-1】某项工程，甲单独做需要20天完成，乙单独做需要的天数比甲多．原计划由乙单独完成这项工程，实际上乙工作几天后接到通知要缩短工期，后期工程由甲、乙合作完成，若完成此项工程甲工作的总天数是乙工作总天数的，则实际完成这项工程甲、乙各施工多少天？ 【答案】甲施工10天，乙施工15天 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是正确理解题意，找到等量关系． 设实际完成这项工程乙施工x天，依题意列出一元一次方程，求出x的值，即可解答． 【详解】解：设实际完成这项工程乙施工x天，依题意，得 ， ， 解得， ∴（天）， 答：实际完成这项工程甲施工10天，乙施工15天． 【变式8-2】列方程解应用题:某隧道及连接道路工程项目全长500米，其中隧道(地下路段)长度220米，剩余为连接道路（地上路段）．现有甲、乙两个工程队负责工程项目的修建，已知乙工程队每天修建地上路段的长度是甲工程队每天修建地上路段长度的倍，一期工程甲、乙两工程队一起修建完280米长的地上路段，用时共4天． (1)求一期工程中甲、乙两工程队每天分别修建地上道路多少米? (2)工程二期，由甲、乙两工程队继续负责地下路段的建设，由于建设难度的提升，甲、乙两工程队每天可修建地下道路长度缩减为一期工程的一半．工程二期，甲工程队每天修建道路的费用为3万元，乙工程队每天修建道路的费用为9万元．若安排由甲、乙共同修建该地下路段的一部分，剩下部分由甲工程队单独完成，工程二期总费用为72万元，求甲工程队在工程二期道路建设中单独修建了多少天? 【答案】(1)甲工程队每天修建20米，乙工程队每天修建50米 (2)甲工程队在工程二期道路建设中单独修建了8天 【分析】本题考查一元一次方程的应用，理解题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． （1）由题意得，设甲工程队每天修建地上道路x米，则乙工程队每天修建米，根据甲、乙两工程队一起修建完280米长的地上路段，用时共4天，列方程求解即可； （2）设甲工程队单独修建了y天，则甲单独修建的费用为万元，甲乙共同修建的费用为万元，甲乙每天共同费用为万元，进而可求出共同修建的天数为天，再根据“地下路段总长220米”列方程求解即可． 【详解】（1）解：设甲工程队每天修建地上道路x米，则乙工程队每天修建米， 由题意得， 解得， ∴乙每天修建：米， 答：甲工程队每天修建20米，乙工程队每天修建50米； （2）解：∵工程二期，甲、乙每天修建地下道路的长度为一期的一半， ∴甲每天修地下道路：米；乙每天修地下道路：米， 设甲工程队单独修建了y天， ∴甲单独修建的费用：万元，甲乙共同修建的费用：万元，甲乙每天共同费用为万元， ∴共同修建的天数为天， ∵“地下路段总长220米”， ∴ 解得． 答：甲工程队在工程二期道路建设中单独修建了8天． 【题型八】一元一次方程的应用——销售问题 【例9】（24-25七年级上·浙江·期末）某水果店销售60千克苹果，为了更好满足顾客需求，店长把这些苹果分成了特大、大和中三个等次，其中特大苹果售价为16元/千克，大苹果售价为12元/千克，中等苹果售价为8元/千克，全部售完共计所得720元．若大苹果有m千克，则中等苹果有 千克（用含m的代数式表示）． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】列代数式、销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查列代数式及解一元一次方程，解题的关键是理解题意，抓住相等关系列出方程，从而表示出中等苹果的千克数．根据大苹果有m千克，则大苹果的销售额为，设中等苹果有千克，则中等苹果的销售额为，特大苹果的销售额为，根据全部售完共计所得720元列出方程，求出即可． 【详解】解：根据题意得：大苹果有m千克，则大苹果的销售额为， 设中等苹果有千克，则中等苹果的销售额为，特大苹果的销售额为， 由题意得：， 解得： 故答案为：． 【例10】（24-25七年级上·浙江湖州·期末）某健身器材商店共投入元，购进，两种品牌的跑步机共台，其中品牌跑步机每台进价是元，品牌跑步机每台进价是元．在销售过程中，品牌跑步机每台售价元，品牌跑步机每台售价元． (1)购进，两种品牌跑步机各多少台? (2)根据市场调研情况，该健身器材商店决定第二次购进一批，两种品牌的跑步机投放到市场，其中品牌跑步机购进数量不变，进价每台提高元，售价不变，并且全部售出；品牌跑步机购进数量增加，进价不变，售价在原来售价的基础上提高，售出一部分后，出现滞销，商店决定打九折出售剩余的品牌跑步机，第二次购进的两种品牌跑步机全部售出后共获利元，有多少台品牌跑步机打九折出售? 【答案】(1)购进种跑步机台，跑步机台； (2)有台品牌跑步机打九折出售． 【难度】0.65 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． （）设购进种跑步机台，跑步机台，根据题意列出方程进行求解即可； （）先算出种跑步机的总利润，进而求出种跑步机的总利润，设有台品牌跑步机打九折销售，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：设购进种跑步机台，跑步机台， ， 解得， ∴（台）， 答：购进种跑步机台，跑步机台； （2）解：品牌总获利为：（元）， 品牌总获利为：（元）， 设有台品牌跑步机打九折销售，则 ， 解得， 答：有台品牌跑步机打九折出售． 【变式10-1】（24-25七年级上·浙江台州·期末）下面是小宇和小祥的对话： 小宇：小祥，你之前提到的运动手环买了没？ 小祥：没，它的售价比我的预算多呢！ 小宇：这种运动手环现在打6折呢！ 小祥：太好了，这样比我的预算还要少16元！ 设小祥买运动手环的预算为元，下面所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程以及含百分数的一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键， 根据打折后的价格比小祥的预算还要少16元，即可列出关于必的一元一次方程． 【详解】解：根据题意得：小祥买运动手环的预算为元， 则 故选∶D． 【变式10-2】（24-25七年级上·浙江杭州·期末）西湖龙井是中国十大名茶之一，因产于浙江省杭州市西湖龙井村周围群山而得名．在其三十多个品牌中，“狮峰龙井”和“梅坞龙井”尤为有名． 茶农李明种植了5亩“狮峰龙井”和10亩“梅坞龙井”，其中平均每亩“狮峰龙井”制成的茶叶重量是“梅坞龙井”的40%，今年共制成两种茶叶240千克． 两种茶叶的销售规格如下表： 狮峰龙井 梅坞龙井 装盒（克/盒） 125 250 售价（元/盒） 200 600 根据以上信息，回答下列问题： (1)求制成的“狮峰龙井”和“梅坞龙井”茶叶各多少千克？ (2)若销售这两种茶叶共盒．销售额为40000元，求销售“狮峰龙井”的数量．（用含的代数式表示） (3)若李明第一次销售两个品种茶叶共600盒，第二次销售时搞促销活动，对所有剩下的“狮峰龙井”打八折．两次销售完所有的茶叶后，他发现第二次的销售额比第一次的销售额多12800元．求第一次销售“狮峰龙井”多少盒？ 【答案】(1)“狮峰龙井”40千克，“梅坞龙井”200千克 (2) (3)240 【难度】0.4 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用， 对于（1），设制成“狮峰龙井”茶叶x千克，可表示“梅坞龙井”茶叶千克，根据茶叶重量得关系得出方程，求出解； 对于（2），先设销售“狮峰龙井”茶叶y盒，可得“梅坞龙井”茶叶盒，根据销售额等于40000列出方程，然后用含m的代数式表示即可； 对于（3），先求出今年制成“狮峰龙井”和 “梅坞龙井”茶叶的盒数，再设第一次销售“狮峰龙井”茶叶n盒，则第一次销售“梅乌龙井”茶叶盒，分别表示出第二次销售“狮峰龙井”和 “梅乌龙井”茶叶的盒数，根据两次销售额的差等于12800列出方程，求出解即可. 【详解】（1）解：设制成“狮峰龙井”茶叶x千克，则制成“梅坞龙井”茶叶千克，根据题意，得 ， 解得， ∴（千克）． 答：制成“狮峰龙井”茶叶40千克，“梅坞龙井”茶叶200千克； （2）解：设销售“狮峰龙井”茶叶y盒，则销售“梅坞龙井”茶叶盒，根据题意，得 ， 解得． 答：销售“狮峰龙井”茶叶盒； （3）解：今年制成“狮峰龙井”茶叶（盒），制成“梅坞龙井”茶叶（盒）． 设第一次销售“狮峰龙井”茶叶n盒，则第一次销售“梅乌龙井”茶叶盒，第二次销售“狮峰龙井”茶叶盒，“梅乌龙井”茶叶盒，根据题意，得 ， 解得， 答：第一次销售“狮峰龙井”240盒． 【例11】（24-25七年级上·浙江宁波·期末）某商店一款无线耳机按进价提高后标价，再优惠15元销售，能获毛利润75元，则销售这款耳机的毛利率是 ．（） 【答案】 【难度】0.65 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用．设该款耳机的进价为x元，则售价为元，根据毛利润75元列方程并解方程求出该款耳机的进价为元，再根据公式求出毛利率即可． 【详解】解：设该款耳机的进价为x元，则售价为元， 依题意可得：， 解得：， 即该款耳机的进价为元， 销售这款耳机的毛利率是， 故答案为：． 【变式11-1】（24-25七年级上·浙江金华·期末）已知某商场经销A商品，所获的毛利率为（毛利率），A商品每千克的进价为40元，则A商品每千克的售价为 元． 【答案】50 【难度】0.85 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设A商品每千克的售价为x元，根据毛利率为列方程求解即可． 【详解】解：设A商品每千克的售价为x元， 根据题意，得， 解得， 答：A商品每千克的售价为50元， 故答案为：50． 【变式11-2】（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）某种商品标价1000元，由于该商品积压，商店打八折销售，毛利率（毛利率=）恰好为10%，求该商品的进价． 【答案】该商品进价为720元 【难度】0.85 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据利润率=利润÷成本列方程求解即可． 【详解】解：设进价为x元， 由题意得， 解得， 经检验符合题意． 答：该商品进价为720元． 【例12】（24-25七年级上·浙江湖州·期末）2024年天猫平台“双十一”促销活动如火如荼地进行．小明发现天猫平台甲、乙两家店铺在销售同一款标价均为元的杯子．假设小明均一次性购买，但两家的促销方式不同，具体优惠信息如下： 店铺 优惠信息 是否包邮 甲 任买一件商品先享受九折优惠，同时参加平台每满元减元活动 是 乙 若购买数量不超过个，则不打折；若购买数量超过个但不超过个，则超过个部分打九折；若购买数量超过个但不超过个，则超过个部分打八折；若购买数量超过个，则超过个部分打七折．注：不参加平台满减活动． 是 (1)若小明想买个该款杯子，请你帮小明分别计算一下甲、乙两家店铺优惠后的实际价格，再挑选哪家店铺购买更优惠？ (2)若小明想从乙店铺购买个该款杯子，请用含的代数式表示优惠后购买的总价； (3)若小明想花费元在乙店铺来购买该款杯子且钱恰好用完，则他能买多少个该款杯子？ 【答案】(1)选择甲店铺优惠后的实际价格为元，选择乙店铺优惠后的实际价格为元，选择甲店铺购买更优惠 (2)元 (3)个 【难度】0.65 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、列代数式、整式加减的应用、销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及列代数式，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）利用总价单价数量，结合甲、乙两家店铺给出的优惠方案，可求出选择甲、乙两家店铺优惠后的实际价格，比较后，即可得出结论； （2）利用总价单价数量，结合乙店铺给出的优惠方案，即可用含的代数式表示优惠后购买的总价； （3）根据在乙店铺优惠后购买的总价为元，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：元，元， 选择甲店铺优惠后的实际价格为元； 选择乙店铺优惠后的实际价格为元． ， 选择甲店铺购买更优惠； （2）根据题意得：元． 答：优惠后购买的总价为元； （3）根据题意得：， 解得：． 答：他能买个该款杯子． 【变式12-1】（24-25七年级上·浙江杭州·期末）圆圆和城城去某商场搞周年庆促销活动，活动方案如下： 一次购物总金额 优惠措施 少于等于400元 不优惠 超过400，但不超过600元 按总售价打9折 超过600元 其中600元部分打8折优惠，超过600元部分打七五折优惠 按上述优惠条件，圆圆一次性购买500多元的某些商品，付款总额为495元．（1）则园园购买商品原总价为 ；（2）城城让她别着急付款，花相同的钱，我们还可以选一些其他商品，则其他商品的金额为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是解题题意，分类讨论，列出方程求解即可． 【详解】解：设园园购买商品原总价为x元，圆圆一次性购买500多元的某些商品， 所以时，，解得，， 当时，，解得，， （元）， 故答案为：，． 【变式12-2】（24-25七年级上·浙江宁波·期末）小明在学习了第五章《一元一次方程》的“阅读材料”后，通过手机APP查到了自己家目前的水费收费标准如下： 用水性质和分级 到户价格（元/吨） 其中含污水处理价（元/吨） 居民生活用水 第1级（每户每月用水13吨及以下部分） 第2级（每户每月用水14~25吨部分） 第3级（每户每月用水26吨及以上部分） 每月用水量都以整数吨记录，到户价格包含污水处理价．如小明家9月份用水30吨，则总共支付水费：，其中含污水处理费用：．根据以上信息回答下列问题： (1)小明家10月份总共支付水费，求小明家10月份用水多少吨？支付的水费中包含的污水处理费为多少元？ (2)若7月与8月两个月共用水48吨，且8月份用水量超过26吨，两个月共缴水费213元，则该用户7、8月份各用水多少吨？ 【答案】(1)10月份用水16吨，支付的水费中包含的污水处理费为元 (2)小明家七月份用水15吨，八月份用水33吨 【难度】0.65 【知识点】电费和水费问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用． （1）设小明家10月份用水x吨，根据小明家10月份总共支付水费60.5元，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值，再将其代入中，即可求出结论； （2）设8月份用水吨，则7月份用水吨，分两种情况考虑，根据两个月共缴水费213元，可列出关于y的一元一次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】（1）解：当用水量为13吨时，水费为， 当用水量为25吨时，水费为．所以水费为第2级． 设用水量为吨，， 解得， 其中污水处理费元 答：明家10月份用水16吨，支付的水费中包含的污水处理费为元； （2）解：设8月份用水吨，则7月份用水吨， 由题意可得，8月份用水超过26吨， 若7月份用水在13吨及以下，则可得， ， 此时七月份用水14吨超过13吨，所以不符合，舍去， 若7月份用水在14~25吨， 则可得， 符合题意， 所以小明家七月份用水15吨，八月份用水33吨． 【题型九】一元一次方程的应用——数字问题 【例13】（24-25七年级上·浙江温州·期末）如图所示，将连续正偶数由小到大按顺序排列，任意选取“U”型框中的5个数（如阴影部分所示），设“U”型框左上角的数为． (1)用含的代数式表示“U”型框中的5个数的和． (2)“U”型框中的5个数的和能等于758吗？若能，求出的值；如不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)能，，理由见解析 【难度】0.65 【知识点】列代数式、日历问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、列代数式以及整式的加减，解题的关键是：根据各数量之间的关系，列代数式及找准等量关系，正确列出一元一次方程． （1）根据5个数的位置关系，可得出另外的4个数分别为，，，，将5个数相加，即可用含m的代数式表示“U”型框中，的5个数的和； （2）根据“U”型框中的5个数的和得等于758，可列出关于m的一元一次方程，解方程，检验后即可得结论． 【详解】（1）解：根据题意得：另外的4个数分别为，，，， “”型框中的5个数的和为； （2）解：能，理由如下 根据题意得：， 解得：， ，， 在第6列，符合题意， “”型框中的5个数的和能等于758，的值为140． 【变式13-1】（24-25七年级上·浙江台州·期末）如图，在2025年1月的月历表中，用“T”字形框框住了四个日期，“T”字形框可上下左右移动，按照同样的方式框住另外的四个日期．设“T”字形框中最小的日期为m．      (1)求“T”字形框框住的四个日期之和（用含m的式子表示）： (2)移动“T”字形框，被框住的4个日期之和可能等于55吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)被框住的4个日期之和不可能等于55，理由见解析 【难度】0.65 【知识点】列代数式、日历问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是： （1）根据“T”字形的特征列式即可； （2）根据“4个日期之和等于55”列方程求解，然后判断是否实际意义即可． 【详解】（1）解： （2）解：若4个日期之和等于55 则                                                           观察月历表，发现日期11位于侧边      所以被框住的4个日期之和不可能等于55． 【变式13-2】（24-25七年级上·浙江金华·期末）“格子乘法”作为两个数相乘的一种计算方法，在明代的《算法统宗》一书中被称为“铺地锦”，如图1，计算，将乘数53计入上行，乘数43计入右行，然后以乘数53的每位数字乘以乘数43的每位数字，将结果计入相应的格子中，最后沿斜行相加，得2279，图2用“格子乘法”表示两个两位数相乘，则的值为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】数字问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查对“格子乘法”的理解，以及一元一次方程的实际运用，解题的关键在于正确理解“格子乘法”法则．根据“格子乘法”法则分两种情况若为一位数，若为两位数，结合方程思想讨论求解，即可解题． 【详解】解：根据“格子乘法”法则可知， 若为一位数，则，解得（不合题意，舍去）， 若为两位数，则 则有， 解得， 故答案为：． 【变式13-3】（24-25七年级上·浙江湖州·期末）新年将至，学校组织了一场数学创意比赛．老师准备了个彩色气球，先在每个气球上分别标记着这个数，在把这些气球挂在教室里后提出了一个有趣的问题：在每个气球标注的数前面添加“”或者“”号，要使这些数的代数和为，那么“”号最多能够添加 个． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、数字问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了有理数的加减，一元一次方程的应用；先算出的值，再用整体法设标注的数前面添加“”号的总和为，则标注的数前面添加“”号的绝对值为，根据这些数的代数和为，列方程求出的值，最后确定“”号最多能够添加的个数． 【详解】解：因为. 所以可设标注的数前面添加“”号的总和为，则标注的数前面添加“”号的绝对值为， 所以， 解得． 因为， 所以最多能够添加的个数为83个． 故答案为：83． 【题型十】一元一次方程的应用——几何问题 【例14】（24-25七年级上·浙江金华·期末）已知正方形甲和长方形乙的周长相等，将它们分别按下图方式放置在同一个大长方形内（两种方式均有重叠）．按图1放置时，阴影部分①和②的周长之和为；按图2放置时，阴影部分③和④的周长之和为．若，，则正方形甲的边长为（    ） A． B．7 C．7.5 D．8 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】整式加减的应用、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了整式加减和一元一次方程的应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．首先，我们需要分别表示出图1中阴影部分①和②的周长之和m以及图2中阴影部分③和④的周长之和n，然后根据以及正方形甲和长方形乙周长相等这两个条件建立方程，进而求出正方形甲的边长． 【详解】设正方形甲的边长为x，长方形乙的长为a，宽为b，， ∵正方形甲和长方形乙的周长相等， ∴， 阴影部分①的周长， 阴影部分②的周长， ∴ n=阴影③的周长+阴影④的周长， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴正方形甲的边长为7． 故选：B． 【变式14-1】（24-25七年级上·浙江金华·期末）如图，某日晷基座的底面呈正方形，在其四周铺上花岗岩，形成一个边宽为米的正方形框．已知铺这个框恰好用了144块边长为米的正方形花岗岩，设日晷基座的底面边长为x米，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，设日晷基座的底面边长为米，根据阴影部分的面积=4个长方形的面积，即可得出关于的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：设日晷基座的底面边长为米， 依题意，得：． 故选：A． 【变式14-2】（24-25七年级上·浙江金华·期末）现有一张宽为的长方形纸条，纸条两面的颜色分别为灰色和白色（图1是白色面，图2是灰色面），折叠该纸条得到如图3所示的图形．已知图中四个灰色的梯形是完全相同的，则原来的长方形纸条的长度为 ． 【答案】47 【难度】0.65 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找到相等关系是解题的关键．根据“如图摆放时的长度为”列方程求解． 【详解】解：设灰色梯形的上底为， 则， 解得：， ∴， 故答案为：47． 【题型十一】一元一次方程的应用——古代问题 【例15】我国古代数学名著《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有人共买鸡，人出九，盈十一：人出六，不足十六．问人数几何？”译文为：现有若干人合伙出钱买鸡，如果每人出9文钱，就会多11文钱；如果每人出6文钱，又会缺16文钱．问共有几个人？设共有x人，下列方程中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】古代问题(一元一次方程的应用) 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系． 根据题意可得等量关系：人数人数，根据等量关系列出方程即可． 【详解】解：设有人共同买鸡，根据题意得： 故选A． 【变式15-1】（24-25七年级上·浙江宁波·期末）在《算法统宗》中有这样一个问题：牧童分杏各争竞，不知人数不知杏．三人五个多十枚，四人八枚两个剩．问：有几个牧童？题目大意：牧童们要分一堆杏，不知道人数也不知道有多少个杏．若3人一组，每组5个杏，则多10个杏；若4人一组，每组8个，则多2个杏．有多少个牧童？设有个牧童，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】古代问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程．根据若3人一组，每组5个杏，则多10个杏；若4人一组，每组8个杏，则多2个杏，可以列出方程． 【详解】解：由题意可得，， 故选：D． 【变式15-2】（24-25七年级上·浙江温州·期末）我国古代数学著作《孙子算经》中记载了一个“以绳量木”的问题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五；屈绳量之，不足一尺．问木长几何？”译文为：“现有一根木头，不知道它的长短．用整条绳子去量木头，绳子比木头长4.5尺：将绳子对折后去量，绳子比木头短1尺．问木头的长度是多少尺？”设绳子的长度为x尺，则可列方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】古代问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的应用，根据“用整条绳子去量木头，绳子比木头长4.5尺，将绳子对折后去量，绳子比木头短1尺”，可得出木头的长度是或尺，结合木头的长度不变，即可列出关于x的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：∵用整条绳子去量木头，绳子比木头长4.5尺， ∴木头的长度是尺； ∵将绳子对折后去量，绳子比木头短1尺， ∴木头的长度是尺， ∴根据题意得可列出方程， 即． 故选A． 【题型一】含参问题——一元一次方程的特殊解问题 ·求解方法： （1）利用等式基本形式进行代数式变形； （2）用含一个未知数的代数式表示另一个未知数. 【例1】（24-25七年级上·浙江金华·期末）已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】一元一次方程解的关系 【分析】本题考查一元一次方程的解，掌握一元一次方程的解法是解题的关键．将化为，根据关于x的一元一次方程的解可知关于的一元一次方程的解，从而求出关于y的一元一次方程：的解即可． 【详解】解：可化为， ∵关于x的一元一次方程， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式1-1】（24-25七年级上·浙江宁波·期末）已知关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】一元一次方程解的关系 【分析】本题考查了一元一次方程的解，根据题意得到，进而得到求解，即可解题． 【详解】解：，解为， ， ， ， 即， 有， 解得， 故答案为：． 【题型二】一元一次方程的应用——分段计费问题 ·步骤： ①找分段节点或各段收费标准； ②超过节点时，分段求和（注意不要漏算第一段费用或多算超过部分）； ③已知费用求x时，要先判断区间，再列方程； ④进行单位换算，统一单位 【例2】（24-25七年级上·浙江宁波·期末）为了在节能减排的同时考虑惠民利民，规定居民阶梯电价分夏季与非夏季标准：每年月份执行夏季标准；其余月份执行非夏季标准．两种阶梯电价如下表： 阶梯电价 夏季标准 非夏季标准 第一档用电量 （含）千瓦时 （含）千瓦时 第一档电价 元千瓦时 第二档用电量 （含）千瓦时 （含）千瓦时 第二档电价 元千瓦时 第三档用电量 千瓦时以上 千瓦时以上 第三档电价 元千瓦时 (1)小北家月份电费为元，则小北家月份用电量为多少千瓦时？ (2)小北家月份用电量为千瓦时，则需支付电费 元．（用含的代数式表示） (3)小北家月份、月份两月共用电千瓦时，两月电费总计元．已知月份比月份用电量少且不在同一档．请问小北家月份、月份用电量分别是多少千瓦时？ 【答案】(1)小北家月份用电量为千瓦时； (2)； (3)小北家月份用电量是千瓦时，月份用电量是千瓦时． 【难度】0.65 【知识点】电费和水费问题(一元一次方程的应用)、列代数式 【分析】（）设小北家月份用电量为千瓦时，求出非夏季用电量是千瓦时及千瓦时的电费，将其与元比较后，可得出，根据小北家月份电费为元，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （）利用小北家月份需支付电费非夏季用电量是千瓦时的电费超过千瓦时的部分，即可用含的代数式表示出需支付的电费； （）设小北家月份用电量是千瓦时，则月份用电量是千瓦时，分及两种情况考虑，根据小北家月份、月份两月电费总计元，可列出关于的一元一次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； 本题考查了一元一次方程的应用以及列代数式，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 【详解】（1）解：设小北家月份用电量为千瓦时， ∵（元），（元）， ∴， ∴， 根据题意得：， 解得：， 答：小北家月份用电量为千瓦时； （2）解：根据题意得：小北家4月份需支付电费元， 故答案为：； （3）解：设小北家月份用电量是千瓦时，则月份用电量是千瓦时， 当时， ， 解得：（不符合题意，舍去）； 当时， ， 解得：， ∴（千瓦时）， 答：小北家月份用电量是千瓦时，月份用电量是千瓦时． 【变式2-1】（24-25七年级上·浙江台州·期末）为了促进节能减排，倡导节约用电，某地居民的阶梯电价分夏季与非夏季标准执行：每年的月执行夏季标准，其余月份执行非夏季标准．两种阶梯电价计费方案如表： 阶梯电价 夏季标准 非夏季标准 第一档 用电量 千瓦时 千瓦时 电价 元/千瓦时 第二档 用电量 千瓦时 千瓦时 电价 元/千瓦时 第三档 用电量 601千瓦时及以上 401千瓦时及以上 电价 元/千瓦时 执行阶梯电价后，若某用户6月份用电量为700千瓦时，则应缴纳的电费为： （元）． (1)甲用户4月份的用电量为500千瓦时，该用户应缴纳的电费为多少元？ (2)乙用户4月份缴纳的电费为元（）． ①该用户的用电量是__________千瓦时（用含的代数式表示）； ②若乙用户6月份缴纳的电费也是元，求该用户6月份比4月份可多用电多少千瓦时？ (3)丙用户4月份和6月份共用电500千瓦时，电费之和为315元．已知该用户4月份用电量小于400千瓦时，请直接写出丙用户4月份的用电量． 【答案】(1)该用户应缴纳的电费为350元 (2)①②50 (3)丙用户4月份的用电量为100千瓦时或350千瓦． 【难度】0.65 【知识点】整式的加减中的化简求值、电费和水费问题(一元一次方程的应用)、有理数四则混合运算的实际应用、列代数式 【分析】本题考查了有理数混合运算的实际应用，代数式表示式，整式的加减运算，一元一次方程的应用以及分类讨论思想，关键是根据不同的用电量区间，按照对应的电价标准计算电费． （1）四月份执行非夏季标准，200千瓦时单价是0.6元/千瓦时，200千瓦时单价是0.7元/千瓦时，100千瓦时单价是0.9元/千瓦时，据此计算即可． （2）①由知用电量超过了500，4月份用电量为． ②由知用电量超过了600，6月份用电量为，与4月份用电量相减即可． （3）设4月份用电量为x千瓦时，分情况讨论必的取值范围，根据总电费列出方程求解． 【详解】（1）解：由题意得∶(元) 答∶该用户应缴纳的电费为350元． （2）解：①4月份用电量为： （千瓦时） 故答案为∶， ②6月份用电量为∶ （千瓦时） ∴（千瓦时） 则该用户6月份比4月份可多用电50千瓦时 （3）解：设丙用户4月份的用电量为千瓦时，则6月份用电量为千瓦时， 分两种情况讨论∶ 当时，， 6月份用电费用为：， 4月份用电费用为：， 则． 解得∶； 当时，， 若，由题意得： 即， 解得∶， 若，由题意得：，无解， 答∶丙用户4月份的用电量为100千瓦时或350千瓦． 【变式2-2】（24-25七年级上·浙江杭州·期末）我国的个人所得税“起征点”是5000元，即月工资超过5000元的部分需要缴纳税收，具体税率等级如下表，其中应纳税所得额月工资专项扣除金额依法确定的其他扣除金额． 其中专项扣除的常见项目及金额（每个月）如下：①每位子女教育扣除2000元；②住房贷款扣除1000元；③赡养老人扣除3000元． 依法确定的其他扣除金额主要包括养老保险金，医疗保险金等 级数 应纳税所得额 税率 1 0至3000元的部分 2 超过3000元至12000元的部分 3 超过12000元至25000元的部分 … … … (1)方方妈妈的月工资为13100元，专项扣除项目只有赡养老人，依法确定的其他扣除金额为1100元，则方方妈妈应纳税所得额为多少元？缴纳的税额是多少元？ (2)方方爸爸的月工资是x元，他的专项扣除项目有：1位就读初中的子女，一套住房的贷款和赡养老人；依法确定的其他扣除金额为1500元．则方方爸爸的应纳税所得额是多少元？（用含x的代数式表示）． (3)在（2）的基础上，方方爸爸每月缴纳的税额是170元，则方方爸爸每月的收入是多少？ 【答案】(1)方方妈妈应纳税所得额为元，缴纳的税额是元 (2)方方爸爸的应纳税所得额是元 (3)方方爸爸每月的收入是元 【难度】0.65 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、列代数式、其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、有理数的混合运算的应用，列代数式，理解题意、正确理解题意是解题的关键． （1）应纳税所得额月工资专项扣除金额依法确定的其他扣除金额，即可求解；再根据应纳税所得额表格代入数据计算即可； （2）根据应纳税所得额月工资专项扣除金额，即可求出方方爸爸的应纳税所得额； （3）先判断出方方爸爸应纳税所得额所在级别，再根据方方爸爸每月缴纳的税额是170元，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意： 方方妈妈应纳税所得额为：（元）， 缴纳的税额为：（元） 答：方方妈妈应纳税所得额为元，缴纳的税额是元； （2）解：根据题意： 方方爸爸的应纳税所得额是：元， 答：方方爸爸的应纳税所得额是元； （3）解：∵（元），（元）， ∵方方爸爸每月缴纳的税额是170元， ∴方方爸爸的应纳税所得额超过了元，但不超过元， ∴， 整理得：， 解得：， 答：方方爸爸每月的收入是元． 【题型三】一元一次方程的应用——数轴上的动点问题 ·解题方法： 1. 动点位置表示：①向右运动：起始位置+速度×t；②向左运动：起始位置-速度×t； 2. 等量关系：根据“两点距离=已知距离”“相遇时位置相同”“追击时距离为0”列方程（含绝对值）； 3. 分类讨论：考虑t的不同取值范围，对应动点的不同位置，避免漏解； 4. 辅助：画数轴标注动点初始位置和运动方向 ·易错点拨： ①表示动点位置时方向错误（向左运动误用加法）； ②列距离方程时漏加绝对值，导致符号错误； ③未分类讨论t的范围，导致漏解； ④计算绝对值方程时漏解 【例3】（24-25七年级上·浙江湖州·期末）如图，数轴上点A，B表示的数分别是和6，O为原点．点A，B分别以3个单位长度/秒和2个单位长度/秒的速度匀速相向而行，点P从原点O以1个单位长度/秒的速度匀速向右运动，遇到点B后立即向左运动．若A，B，P三个点同时开始运动，当A，B两点相遇时所有点停止运动．在此运动过程中，设运动时间为t秒，若，则t的值是 ． 【答案】或 【难度】0.65 【知识点】数轴上两点之间的距离、动点问题（一元一次方程的应用）、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查的是数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用；先求解，，再分两种情况：当时，，，当时，结合对应的数为，，，再结合建立方程求解即可． 【详解】解：∵数轴上点A，B表示的数分别是和6， ∴，，， 设运动时间为t，则对应的数为，对应的数为， 当，则， 当时， ∴，， ∵， ∴， 解得：， 当时， ∴， 当时， ∴对应的数为， ∴，， ∵， ∴， 解得：， 故答案是：或． 【变式3-1】（24-25七年级上·浙江宁波·期末）对数轴上的点进行如下操作：先把点向左移动个单位，将得到的点表示的数乘以，此时所得数对应的点为，则称点为点的“倍联动点”（、均为正整数）． 例如，点表示的数为2，当时，则它的一个“3倍联动点”表示的数为3；当时，则它的另一个“3倍联动点”表示的数为．请根据以上信息回答下列问题： (1)已知点表示的数为3，则它的“2倍联动点”表示的数是______． (2)若点的其中一个“4倍联动点”是它本身，求点表示的数． (3)已知数轴上两点表示的数分别为，且点为点的“倍联动点”（为正整数）．点从点出发，以每秒1个单位长度沿数轴向右移动，同时点从点出发，以每秒3个单位长度沿数轴向右移动．若在任何一个时刻，点的其中一个“6倍联动点”与点之间的距离始终为3，求的值． 【答案】(1)1或4 (2)或4 (3)或9 【难度】0.4 【知识点】数轴上两点之间的距离、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的应用，理解新定义的意义并能根据新定义得到解决问题的相等关系是解决本题的关键． （1）选取合适的和的值，根据新定义的意义计算即可； （2）求得相应的的值，进而选取合适的和的值代入即可求得点表示的数； （3）易得点和点表示的数，进而得到点表示的数，根据点与点之间的距离始终为3判断出和无关的和的值，根据点为点的“倍联动点”进行整理即可得到的值． 【详解】（1）解：①当，时，点的“倍联动点”表示的数为； ②当，时，点的“倍联动点”表示的数为； 所以点的“倍联动点”表示的数是或， 故答案为：或； （2）解：设表示的数为，则 ①，解得； ②，解得； ③，无解， 所以所表示的数为或4． （3）解：设运动时间为，则点表示的数为，点表示的数为， 若表示的数为， 则，此时，等号左边的代数式仍与t有关，不符题意； 四种情况中，只有表示的数为时，符合题意， 则，， 得， 或， 由概念可知：表示点先向左移动3个单位，再乘以3得到，所以， 表示点先向左移动1个单位，再乘以3得到，所以， 所以或9． ※【题型四】绝对值方程与绝对值代数式的最值问题 【例4】我们知道，表示5与之差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对的两点之间的距离，试探索： (1)填空：__________，若，则__________； (2)填空：使得成立的x是__________； (3)由以上探索，猜想对于任何有理数x，是否有最小值？如果有，写出最小值，如果没有，说明理由． (4)由以上探索，猜想对于任何有理数x，是否有最小值？如果有，直接写出最小值，并写出此时x的值，如果没有，说明理由． 【答案】(1)9，6或 (2)或3 (3)有最小值，原式最小值为7 (4)有，当时，最小值为3 【难度】0.65 【知识点】数轴上两点之间的距离、绝对值的几何意义、绝对值方程 【分析】本题主要考查数轴上两点之间的距离，涉及绝对值的知识，综合性比较强，熟练掌握数轴上两点之间距离的表示，能够结合数轴确定式子的最小值是解决本题的关键． （1）直接运算得到的值，根据，则与1的距离等于5，进行解答即可； （2）由题可知，为表示x的点到表示到和2的点的距离和为8，据此进行分情况解答即可； （3）为表示x的点到表示和5的点的距离和，由图可知，当x处于和5之间时，根据两点之间线段最短，式子有最小值； （4）为表示x的点到表示1、3和4的点的距离和，先观察1和3两数，x点到这两点距离之和最小值需处在1和3之间，x又必须离4最近，则当时，以上条件均符合． 【详解】（1）解：根据题意可得，， 若，则与1的距离等于5，则或； 故答案为：9，6或 （2）表示在数轴上x到和2的距离之和为8， 当时，，解得， 当时，，x不存在， 当时，，解得， 综上可知，使得成立的x是或， 故答案为：或 （3）有最小值，最小值为7，理由是： 当时，根据两点之间线段最短，得到有最小值，最小值为； （4）有最小值， 为表示x的点到表示1、3和4的点的距离和， 由题可得，先观察1和3两数， ∴x点到这两点距离之和最小值需处在1和3之间，x又必须离4最近， 则当时，以上条件均符合， 当时，为最小值， 有最小值，当的时，最小值为3． 【变式4-1】阅读下面材料：点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为．当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1，． 当A、B两点都不在原点时， ①如图2，点A、B都在原点的右边； ②如图3，点A、B都在原点的左边； ③如图4，点A、B在原点的两边； 综上，数轴上A、B两点之间的距离． (1)回答下列问题： ①数轴上表示1和的两点之间的距离是 ． ②数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是 ． (2)探索规律： 式子有最 （填“大”或“小”）值是 ． (3)规律应用 工厂加工车间工作流水线上依次间隔3米排着5个工作台A、B、C、D、E，一只配件箱应该放在工作台 处，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短，所走的最短路程是 米． (4)知识迁移 式子有最值（最大值或最小值）吗？如果有，写出这个值并指出它是最大值还是最小值；如果没有，请说明你的理由． 【答案】(1)①6；② (2)小，2 (3)C，18 (4)最小值，最大值9，理由见解析 【分析】本题主要考查了有理数与数轴．熟练掌握数轴上点的特征，两点间距离的求法，绝对值的化简，分类讨论，是解答此题的关键． （1）①根据两点间距离的求法直接求解即可；②根据两点间距离的求法直接写出即可；（2）当时，；当时，；当时，；可判断有最小值2； （3）以C点为原点，3米为一个单位长度，A、B、C、D、E、依次在数轴上排列，根据绝对值的几何意义，数轴上点的特点可知，当时，有最小值18； （4）分，，三种情况，对绝对值进行运算，再求最大值和最小值即可． 【详解】（1）解：①； 故答案为：6； ②； 故答案为：； （2）解：当时， ； 当时， ； 当时， ； ∴有最小值2； 故答案为：小，2； （3）解：以C点为原点，3米为一个单位长度，A、B、C、D、E、依次在数轴上排列， 则A点表示的数为，B点表示的数为，C点表示的数为0，D点表示的数为3，E点表示的数为6， 设配件箱应该放在数轴上表示x的数的位置， 当有最小值时，工作台上的工作人员取配件所走的路程最短， 由（2）知，当时， ，有最小值18， ∴配件箱应该放在工作台C处，最短路程为18米， 故答案为：C，18； （4）解：有最小值，最大值9，理由： 当时， ； 当时， ； ∴； 当时， ； ∴； 故有最小值，最大值9． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 一元一次方程（4知识&11题型&4方法清单） 【清单01】一元一次方程的概念 一元一次方程 【清单02】一元一次方程的解法 ·解一元一次方程的一般步骤：①变形：去小数；②去分母；③去括号；④移项、合并同类项；⑤系数化1 【清单03】一元一次方程的应用的一般步骤 ·一般步骤： ①审:审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间关系 ②设:设未知数(一般求什么，就设什么为x ③找:找出能够表示应用题全部意义的一个相等关系 ④列:根据这个相等关系列出需要的代数式，进而列出方程 ⑤解:解所列出的方程，求出未知数的值固答:检验所求解是否符合题意，写出答案(包括单位名称) 【清单04】一元一次方程的应用模型 问题类型 解题关键步骤 数量关系与等量关系的确定 和差倍分问题 ①识别“和、差、倍、分”关键词； ②根据数量关系设未知数； ③列出一元一次方程并求解验证 和、差、倍、分对应两个量之间的加、减、乘、除 古典问题 ①提炼隐藏的数量关系； ②根据“总数量”“总价值”等列方程； ③结合实际意义验证解的合理性 调配：从调配后的数量关系中找等量关系； 比例分配：全部数量=各种成分的数量之和 行程问题 ①行程问题核心公式及变形 （速度=路程÷时间，时间=路程÷速度）； ②列出相遇、追击问题的等量关系； 航行问题：顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度 日历问题 ①找出日历中数字的排列规律；②根据规律设元表示未知日期； ③根据“日期和”“日期差”列方程 工程问题 根据“工作总量为1”（通常设总工作量为1）或“部分工作量和为总工作量”列方程 配套问题 ①从题意中找出配套的比例关系；②设元表示两种配套产品的数量； ③根据配套比例列方程 销售问题 根据“盈利/亏损金额”“利润率” 列方程 商品的售价=商品的标价×折扣； 商品的利润=商品售价-商品进价； 商品的利润率=； 数字问题 根据“数字位置变化后的新数与原数的关系”列方程 设分别为一个两位数的个位、十位上的数字，则这个两位数可表示为 【题型一】根据等式的基本性质判断等式是否成立 【例1】（24-25七年级上·浙江温州·期末）已知，根据等式的基本性质，下列等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25七年级上·浙江台州·期末）下列运用等式的性质进行变形，正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【变式1-2】（24-25七年级上·浙江·期末）设a，b，m为实数，则正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式1-3】（24-25七年级上·浙江宁波·期末）等式的性质在生活中广泛应用．如图，、分别表示两位同学的身高，表示台阶的高度，左边同学比右边同学高5厘米，图中两人的对话体现的数学原理可表示为（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【题型二】解一元一次方程——去分母 【例2】（24-25七年级上·浙江温州·期末）将方程，去分母，得（  ） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）把方程的分母化为整数，结果应为（   ） A． B． C． D． 【题型三】已知方程的解求参数 【例3】（24-25七年级上·浙江温州·期末）已知是关于的一元一次方程的解，则的值为 ． 【变式3-1】（24-25七年级上·浙江台州·期末）方程“”一部分被遮挡．已知该方程的解为，则部分可能是（    ） A．2 B． C． D． 【变式3-2】（24-25七年级上·浙江金华·期末）小马同学在解关于x的方程时，在去分母过程中等号右边漏乘“6”，解得，则k的值为（   ） A．1 B．2 C．4 D．6 【变式3-3】（24-25七年级上·浙江宁波·期末）若是关于的一元一次方程的解，则的值为 ． 【题型四】解一元一次方程 【例4】（24-25七年级上·浙江温州·期末）解方程：． 【变式4-1】（24-25七年级上·浙江台州·期末）解方程：． 【变式4-2】（24-25七年级上·浙江金华·期末）解方程： (1)； (2)． 【变式4-3】（24-25七年级上·浙江金华·期末）解方程： (1)； (2)． 【例5】（24-25七年级上·浙江宁波·期末）在解方程时，小江的解法如下： 解：去分母，得…第①步 去括号，得…第②步 移项，得  …第③步 则 …第④步 解得 …第⑤步 小江同学的解法正确吗？若不正确，请指出他在第 步开始出现错误，并写出正确的解题过程． 【变式5-1】（24-25七年级上·浙江台州·期末）阅读小虎同学解方程的过程，并回答问题． 解：① ② ③ ④ ⑤ (1)小虎解方程最先出现错误的是第__________步（填写序号），该步骤错误原因是__________；（可多选） A．漏乘不含分母的项 B．分子是多项式，去掉分母后未给分子整体添括号 C．移项没有变号 (2)请正确解出这个方程． 【变式5-2】（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）小红在解方程时，第一步出现了错误： 解： …… (1)请在相应的方框内用横线划出小红的错误处； (2)写出你的解答过程． 【题型五】一元一次方程的应用——行程问题 【例6】（24-25七年级上·浙江金华·期末）一条公路上有相距的两地，甲、乙、丙三人都在这条公路上行驶．根据他们三人对话的信息，解决丙提出的问题． 甲：我从地出发匀速前往地，速度为． 乙：甲出发1小时后，我也从地出发匀速前往地，出发半小时后追上了甲，到达地后停止不动． 丙：我与甲同时出发，但我是从地匀速前往地，当我与甲相遇时，甲与乙相距．我出发后 小时与乙相遇． 【变式6-1】（24-25七年级上·浙江杭州·期末）甲、乙两车站相距，一列慢车从甲站开出，行驶速度为，一列快车从乙站开出，行驶速度为． (1)两车同时开出，相向而行，多少小时后相遇？ (2)两车同时开出，同向而行，慢车在前，多少小时后快车追上慢车？ (3)两车同时开出，相向而行，多少小时后两车相距？ 【变式6-2】（24-25七年级上·浙江杭州·期末）如图，已知一周长为的圆形轨道上有相距的两点（备注：圆形轨道上相距是圆上这两点间的较短部分展直后的线段长为），动点从点出发，以的速度，在轨道上按逆时针方向运动，与此同时，动点从点出发，以的速度按同样的方向运动，设运动时间为，在第二次相遇前，当动点在轨道上相距时，则 ． 【题型六】一元一次方程的应用——配套问题 【例7】（24-25七年级上·浙江台州·期末）七（1）班共有44名学生，其中男生人数比女生人数的2倍少4人．劳动课上，董老师组织七（1）班学生制作手工花朵，每名学生一节课可以制作4个花心或20个花瓣． (1)七（1）班各有多少名女生和男生？ (2)原计划女生负责制作花心，男生负责制作花瓣，如果1个花心匹配6个花瓣，那么这节课制作的花心和花瓣不能完全配套．最后决定男生去支援女生，问有多少名男生去支援女生，才能使这节课制作的花心和花瓣刚好配套？ 【变式7-1】（24-25七年级上·浙江金华·期末）某节劳动课上刘老师组织学生们制作“便携式垃圾桶”．已知该班共有学生45名，每名学生一节课能做桶身11个或桶底23个，其中一个桶身配两个桶底．设安排名学生做桶身，若该班学生所做的桶身和桶底正好配套，则下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（24-25七年级上·浙江金华·期末）2024年11月5日至10日，第七届中国国际进口博览会（进博会）在上海举行．某工艺品厂接到生产一批水晶工艺品的任务，为按时完成任务，厂家做了相关的准备，请帮工艺品厂解决问题． 问题内容 素材1 工艺品厂原有熟练技术工5人，助理技术工8人，因生产需要，现要从其他厂家借用11名技术工，使得工艺品厂的熟练技术工和助理技术工的人数之比为． 素材2 假设每个包装箱里面装的水晶工艺品个数都相同，每种技术工的工作效率也相同．经测试，在一天时间内，5名熟练技术工可以生产8箱还少40个工艺品；8名助理技术工可以生产9箱还少15个工艺品；已知每名熟练技术工比助理技术工每天多生产20个工艺品． 问题解决 任务1 请计算从其他厂家借用的技术工中，熟练技术工和助理技术工各有几人？ 任务2 请计算每名熟练技术工和助理技术工每天各能生产多少个工艺品？ 【变式7-3】（24-25七年级上·浙江温州·期末）综合与实践：如何设计柜子的制作方案？ 【素材】学校制作一批横式柜和竖式柜用于开辟图书角．现有28张规格的长方形木板按照图1中A或两种方法裁剪，得到小长方形木板和小正方形木板．如图2所示，2块小长方形木板和2块小正方形木板可做成一个横式柜，2块小长方形木板和3块小正方形木板可做成一个竖式柜． 设张长方形木板用于A方法裁剪． 【项目解决】 任务1：填写表格（用含的代数式表示裁剪出的小长方形木板和小正方形木板的数量）． 裁剪方法 小长方形木板（块） 小正方形木板（块） A方法 ________ 0 方法 ________ 任务2：将裁剪出的木板全部用于制作竖式柜且恰好全部用完，求出制作竖式柜的数量． 任务3：将裁剪出的木板用于制作两种柜子且恰好全部用完，给出裁剪方案使得做出的柜子数量最多，并求出两种柜子的总数． 【题型七】一元一次方程的应用——工程问题 【例8】（24-25七年级上·浙江嘉兴·期末）一个蓄水池有甲、乙两个进水管和一个排水管丙，单独打开甲管6小时可注满水池；单独打开乙管8小时可注满水池；单独打开丙管12小时可将满池水排空．若先将甲、乙两管同时打开2小时，再打开丙管，则打开丙管 小时后水池被注满． 【变式8-1】某项工程，甲单独做需要20天完成，乙单独做需要的天数比甲多．原计划由乙单独完成这项工程，实际上乙工作几天后接到通知要缩短工期，后期工程由甲、乙合作完成，若完成此项工程甲工作的总天数是乙工作总天数的，则实际完成这项工程甲、乙各施工多少天？ 【变式8-2】列方程解应用题:某隧道及连接道路工程项目全长500米，其中隧道(地下路段)长度220米，剩余为连接道路（地上路段）．现有甲、乙两个工程队负责工程项目的修建，已知乙工程队每天修建地上路段的长度是甲工程队每天修建地上路段长度的倍，一期工程甲、乙两工程队一起修建完280米长的地上路段，用时共4天． (1)求一期工程中甲、乙两工程队每天分别修建地上道路多少米? (2)工程二期，由甲、乙两工程队继续负责地下路段的建设，由于建设难度的提升，甲、乙两工程队每天可修建地下道路长度缩减为一期工程的一半．工程二期，甲工程队每天修建道路的费用为3万元，乙工程队每天修建道路的费用为9万元．若安排由甲、乙共同修建该地下路段的一部分，剩下部分由甲工程队单独完成，工程二期总费用为72万元，求甲工程队在工程二期道路建设中单独修建了多少天? 【题型八】一元一次方程的应用——销售问题 【例9】（24-25七年级上·浙江·期末）某水果店销售60千克苹果，为了更好满足顾客需求，店长把这些苹果分成了特大、大和中三个等次，其中特大苹果售价为16元/千克，大苹果售价为12元/千克，中等苹果售价为8元/千克，全部售完共计所得720元．若大苹果有m千克，则中等苹果有 千克（用含m的代数式表示）． 【例10】（24-25七年级上·浙江湖州·期末）某健身器材商店共投入元，购进，两种品牌的跑步机共台，其中品牌跑步机每台进价是元，品牌跑步机每台进价是元．在销售过程中，品牌跑步机每台售价元，品牌跑步机每台售价元． (1)购进，两种品牌跑步机各多少台? (2)根据市场调研情况，该健身器材商店决定第二次购进一批，两种品牌的跑步机投放到市场，其中品牌跑步机购进数量不变，进价每台提高元，售价不变，并且全部售出；品牌跑步机购进数量增加，进价不变，售价在原来售价的基础上提高，售出一部分后，出现滞销，商店决定打九折出售剩余的品牌跑步机，第二次购进的两种品牌跑步机全部售出后共获利元，有多少台品牌跑步机打九折出售? 【变式10-1】（24-25七年级上·浙江台州·期末）下面是小宇和小祥的对话： 小宇：小祥，你之前提到的运动手环买了没？ 小祥：没，它的售价比我的预算多呢！ 小宇：这种运动手环现在打6折呢！ 小祥：太好了，这样比我的预算还要少16元！ 设小祥买运动手环的预算为元，下面所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式10-2】（24-25七年级上·浙江杭州·期末）西湖龙井是中国十大名茶之一，因产于浙江省杭州市西湖龙井村周围群山而得名．在其三十多个品牌中，“狮峰龙井”和“梅坞龙井”尤为有名． 茶农李明种植了5亩“狮峰龙井”和10亩“梅坞龙井”，其中平均每亩“狮峰龙井”制成的茶叶重量是“梅坞龙井”的40%，今年共制成两种茶叶240千克． 两种茶叶的销售规格如下表： 狮峰龙井 梅坞龙井 装盒（克/盒） 125 250 售价（元/盒） 200 600 根据以上信息，回答下列问题： (1)求制成的“狮峰龙井”和“梅坞龙井”茶叶各多少千克？ (2)若销售这两种茶叶共盒．销售额为40000元，求销售“狮峰龙井”的数量．（用含的代数式表示） (3)若李明第一次销售两个品种茶叶共600盒，第二次销售时搞促销活动，对所有剩下的“狮峰龙井”打八折．两次销售完所有的茶叶后，他发现第二次的销售额比第一次的销售额多12800元．求第一次销售“狮峰龙井”多少盒？ 【例11】（24-25七年级上·浙江宁波·期末）某商店一款无线耳机按进价提高后标价，再优惠15元销售，能获毛利润75元，则销售这款耳机的毛利率是 ．（） 【变式11-1】（24-25七年级上·浙江金华·期末）已知某商场经销A商品，所获的毛利率为（毛利率），A商品每千克的进价为40元，则A商品每千克的售价为 元． 【变式11-2】（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）某种商品标价1000元，由于该商品积压，商店打八折销售，毛利率（毛利率=）恰好为10%，求该商品的进价． 【例12】（24-25七年级上·浙江湖州·期末）2024年天猫平台“双十一”促销活动如火如荼地进行．小明发现天猫平台甲、乙两家店铺在销售同一款标价均为元的杯子．假设小明均一次性购买，但两家的促销方式不同，具体优惠信息如下： 店铺 优惠信息 是否包邮 甲 任买一件商品先享受九折优惠，同时参加平台每满元减元活动 是 乙 若购买数量不超过个，则不打折；若购买数量超过个但不超过个，则超过个部分打九折；若购买数量超过个但不超过个，则超过个部分打八折；若购买数量超过个，则超过个部分打七折．注：不参加平台满减活动． 是 (1)若小明想买个该款杯子，请你帮小明分别计算一下甲、乙两家店铺优惠后的实际价格，再挑选哪家店铺购买更优惠？ (2)若小明想从乙店铺购买个该款杯子，请用含的代数式表示优惠后购买的总价； (3)若小明想花费元在乙店铺来购买该款杯子且钱恰好用完，则他能买多少个该款杯子？ 【变式12-1】（24-25七年级上·浙江杭州·期末）圆圆和城城去某商场搞周年庆促销活动，活动方案如下： 一次购物总金额 优惠措施 少于等于400元 不优惠 超过400，但不超过600元 按总售价打9折 超过600元 其中600元部分打8折优惠，超过600元部分打七五折优惠 按上述优惠条件，圆圆一次性购买500多元的某些商品，付款总额为495元．（1）则园园购买商品原总价为 ；（2）城城让她别着急付款，花相同的钱，我们还可以选一些其他商品，则其他商品的金额为 ． 【变式12-2】（24-25七年级上·浙江宁波·期末）小明在学习了第五章《一元一次方程》的“阅读材料”后，通过手机APP查到了自己家目前的水费收费标准如下： 用水性质和分级 到户价格（元/吨） 其中含污水处理价（元/吨） 居民生活用水 第1级（每户每月用水13吨及以下部分） 第2级（每户每月用水14~25吨部分） 第3级（每户每月用水26吨及以上部分） 每月用水量都以整数吨记录，到户价格包含污水处理价．如小明家9月份用水30吨，则总共支付水费：，其中含污水处理费用：．根据以上信息回答下列问题： (1)小明家10月份总共支付水费，求小明家10月份用水多少吨？支付的水费中包含的污水处理费为多少元？ (2)若7月与8月两个月共用水48吨，且8月份用水量超过26吨，两个月共缴水费213元，则该用户7、8月份各用水多少吨？ 【题型九】一元一次方程的应用——数字问题 【例13】（24-25七年级上·浙江温州·期末）如图所示，将连续正偶数由小到大按顺序排列，任意选取“U”型框中的5个数（如阴影部分所示），设“U”型框左上角的数为． (1)用含的代数式表示“U”型框中的5个数的和． (2)“U”型框中的5个数的和能等于758吗？若能，求出的值；如不能，请说明理由． 【变式13-1】（24-25七年级上·浙江台州·期末）如图，在2025年1月的月历表中，用“T”字形框框住了四个日期，“T”字形框可上下左右移动，按照同样的方式框住另外的四个日期．设“T”字形框中最小的日期为m．      (1)求“T”字形框框住的四个日期之和（用含m的式子表示）： (2)移动“T”字形框，被框住的4个日期之和可能等于55吗？请说明理由． 【变式13-2】（24-25七年级上·浙江金华·期末）“格子乘法”作为两个数相乘的一种计算方法，在明代的《算法统宗》一书中被称为“铺地锦”，如图1，计算，将乘数53计入上行，乘数43计入右行，然后以乘数53的每位数字乘以乘数43的每位数字，将结果计入相应的格子中，最后沿斜行相加，得2279，图2用“格子乘法”表示两个两位数相乘，则的值为 ． 【变式13-3】（24-25七年级上·浙江湖州·期末）新年将至，学校组织了一场数学创意比赛．老师准备了个彩色气球，先在每个气球上分别标记着这个数，在把这些气球挂在教室里后提出了一个有趣的问题：在每个气球标注的数前面添加“”或者“”号，要使这些数的代数和为，那么“”号最多能够添加 个． 【题型十】一元一次方程的应用——几何问题 【例14】（24-25七年级上·浙江金华·期末）已知正方形甲和长方形乙的周长相等，将它们分别按下图方式放置在同一个大长方形内（两种方式均有重叠）．按图1放置时，阴影部分①和②的周长之和为；按图2放置时，阴影部分③和④的周长之和为．若，，则正方形甲的边长为（    ） A． B．7 C．7.5 D．8 【变式14-1】（24-25七年级上·浙江金华·期末）如图，某日晷基座的底面呈正方形，在其四周铺上花岗岩，形成一个边宽为米的正方形框．已知铺这个框恰好用了144块边长为米的正方形花岗岩，设日晷基座的底面边长为x米，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式14-2】（24-25七年级上·浙江金华·期末）现有一张宽为的长方形纸条，纸条两面的颜色分别为灰色和白色（图1是白色面，图2是灰色面），折叠该纸条得到如图3所示的图形．已知图中四个灰色的梯形是完全相同的，则原来的长方形纸条的长度为 ． 【题型十一】一元一次方程的应用——古代问题 【例15】我国古代数学名著《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有人共买鸡，人出九，盈十一：人出六，不足十六．问人数几何？”译文为：现有若干人合伙出钱买鸡，如果每人出9文钱，就会多11文钱；如果每人出6文钱，又会缺16文钱．问共有几个人？设共有x人，下列方程中正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式15-1】（24-25七年级上·浙江宁波·期末）在《算法统宗》中有这样一个问题：牧童分杏各争竞，不知人数不知杏．三人五个多十枚，四人八枚两个剩．问：有几个牧童？题目大意：牧童们要分一堆杏，不知道人数也不知道有多少个杏．若3人一组，每组5个杏，则多10个杏；若4人一组，每组8个，则多2个杏．有多少个牧童？设有个牧童，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【变式15-2】（24-25七年级上·浙江温州·期末）我国古代数学著作《孙子算经》中记载了一个“以绳量木”的问题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五；屈绳量之，不足一尺．问木长几何？”译文为：“现有一根木头，不知道它的长短．用整条绳子去量木头，绳子比木头长4.5尺：将绳子对折后去量，绳子比木头短1尺．问木头的长度是多少尺？”设绳子的长度为x尺，则可列方程为（  ） A． B． C． D． 【题型一】含参问题——一元一次方程的特殊解问题 ·求解方法： （1）利用等式基本形式进行代数式变形； （2）用含一个未知数的代数式表示另一个未知数. 【例1】（24-25七年级上·浙江金华·期末）已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为 ． 【变式1-1】（24-25七年级上·浙江宁波·期末）已知关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为 ． 【题型二】一元一次方程的应用——分段计费问题 ·步骤： ①找分段节点或各段收费标准； ②超过节点时，分段求和（注意不要漏算第一段费用或多算超过部分）； ③已知费用求x时，要先判断区间，再列方程； ④进行单位换算，统一单位 【例2】（24-25七年级上·浙江宁波·期末）为了在节能减排的同时考虑惠民利民，规定居民阶梯电价分夏季与非夏季标准：每年月份执行夏季标准；其余月份执行非夏季标准．两种阶梯电价如下表： 阶梯电价 夏季标准 非夏季标准 第一档用电量 （含）千瓦时 （含）千瓦时 第一档电价 元千瓦时 第二档用电量 （含）千瓦时 （含）千瓦时 第二档电价 元千瓦时 第三档用电量 千瓦时以上 千瓦时以上 第三档电价 元千瓦时 (1)小北家月份电费为元，则小北家月份用电量为多少千瓦时？ (2)小北家月份用电量为千瓦时，则需支付电费 元．（用含的代数式表示） (3)小北家月份、月份两月共用电千瓦时，两月电费总计元．已知月份比月份用电量少且不在同一档．请问小北家月份、月份用电量分别是多少千瓦时？ 【变式2-1】（24-25七年级上·浙江台州·期末）为了促进节能减排，倡导节约用电，某地居民的阶梯电价分夏季与非夏季标准执行：每年的月执行夏季标准，其余月份执行非夏季标准．两种阶梯电价计费方案如表： 阶梯电价 夏季标准 非夏季标准 第一档 用电量 千瓦时 千瓦时 电价 元/千瓦时 第二档 用电量 千瓦时 千瓦时 电价 元/千瓦时 第三档 用电量 601千瓦时及以上 401千瓦时及以上 电价 元/千瓦时 执行阶梯电价后，若某用户6月份用电量为700千瓦时，则应缴纳的电费为： （元）． (1)甲用户4月份的用电量为500千瓦时，该用户应缴纳的电费为多少元？ (2)乙用户4月份缴纳的电费为元（）． ①该用户的用电量是__________千瓦时（用含的代数式表示）； ②若乙用户6月份缴纳的电费也是元，求该用户6月份比4月份可多用电多少千瓦时？ (3)丙用户4月份和6月份共用电500千瓦时，电费之和为315元．已知该用户4月份用电量小于400千瓦时，请直接写出丙用户4月份的用电量． 【变式2-2】（24-25七年级上·浙江杭州·期末）我国的个人所得税“起征点”是5000元，即月工资超过5000元的部分需要缴纳税收，具体税率等级如下表，其中应纳税所得额月工资专项扣除金额依法确定的其他扣除金额． 其中专项扣除的常见项目及金额（每个月）如下：①每位子女教育扣除2000元；②住房贷款扣除1000元；③赡养老人扣除3000元． 依法确定的其他扣除金额主要包括养老保险金，医疗保险金等 级数 应纳税所得额 税率 1 0至3000元的部分 2 超过3000元至12000元的部分 3 超过12000元至25000元的部分 … … … (1)方方妈妈的月工资为13100元，专项扣除项目只有赡养老人，依法确定的其他扣除金额为1100元，则方方妈妈应纳税所得额为多少元？缴纳的税额是多少元？ (2)方方爸爸的月工资是x元，他的专项扣除项目有：1位就读初中的子女，一套住房的贷款和赡养老人；依法确定的其他扣除金额为1500元．则方方爸爸的应纳税所得额是多少元？（用含x的代数式表示）． (3)在（2）的基础上，方方爸爸每月缴纳的税额是170元，则方方爸爸每月的收入是多少？ 【题型三】一元一次方程的应用——数轴上的动点问题 ·解题方法： 1. 动点位置表示：①向右运动：起始位置+速度×t；②向左运动：起始位置-速度×t； 2. 等量关系：根据“两点距离=已知距离”“相遇时位置相同”“追击时距离为0”列方程（含绝对值）； 3. 分类讨论：考虑t的不同取值范围，对应动点的不同位置，避免漏解； 4. 辅助：画数轴标注动点初始位置和运动方向 ·易错点拨： ①表示动点位置时方向错误（向左运动误用加法）； ②列距离方程时漏加绝对值，导致符号错误； ③未分类讨论t的范围，导致漏解； ④计算绝对值方程时漏解 【例3】（24-25七年级上·浙江湖州·期末）如图，数轴上点A，B表示的数分别是和6，O为原点．点A，B分别以3个单位长度/秒和2个单位长度/秒的速度匀速相向而行，点P从原点O以1个单位长度/秒的速度匀速向右运动，遇到点B后立即向左运动．若A，B，P三个点同时开始运动，当A，B两点相遇时所有点停止运动．在此运动过程中，设运动时间为t秒，若，则t的值是 ． 【变式3-1】（24-25七年级上·浙江宁波·期末）对数轴上的点进行如下操作：先把点向左移动个单位，将得到的点表示的数乘以，此时所得数对应的点为，则称点为点的“倍联动点”（、均为正整数）． 例如，点表示的数为2，当时，则它的一个“3倍联动点”表示的数为3；当时，则它的另一个“3倍联动点”表示的数为．请根据以上信息回答下列问题： (1)已知点表示的数为3，则它的“2倍联动点”表示的数是______． (2)若点的其中一个“4倍联动点”是它本身，求点表示的数． (3)已知数轴上两点表示的数分别为，且点为点的“倍联动点”（为正整数）．点从点出发，以每秒1个单位长度沿数轴向右移动，同时点从点出发，以每秒3个单位长度沿数轴向右移动．若在任何一个时刻，点的其中一个“6倍联动点”与点之间的距离始终为3，求的值． ※【题型四】绝对值方程与绝对值代数式的最值问题 【例4】我们知道，表示5与之差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对的两点之间的距离，试探索： (1)填空：__________，若，则__________； (2)填空：使得成立的x是__________； (3)由以上探索，猜想对于任何有理数x，是否有最小值？如果有，写出最小值，如果没有，说明理由． (4)由以上探索，猜想对于任何有理数x，是否有最小值？如果有，直接写出最小值，并写出此时x的值，如果没有，说明理由． 【变式4-1】阅读下面材料：点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为．当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1，． 当A、B两点都不在原点时， ①如图2，点A、B都在原点的右边； ②如图3，点A、B都在原点的左边； ③如图4，点A、B在原点的两边； 综上，数轴上A、B两点之间的距离． (1)回答下列问题： ①数轴上表示1和的两点之间的距离是 ． ②数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是 ． (2)探索规律： 式子有最 （填“大”或“小”）值是 ． (3)规律应用 工厂加工车间工作流水线上依次间隔3米排着5个工作台A、B、C、D、E，一只配件箱应该放在工作台 处，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短，所走的最短路程是 米． (4)知识迁移 式子有最值（最大值或最小值）吗？如果有，写出这个值并指出它是最大值还是最小值；如果没有，请说明你的理由． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $