精品解析：湖南省邵阳市新邵广益世才学校2023-2024学年九年级上学期期中考试数学试题

2023年九年级（上）期中学情质量检测 数学 一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 下列四个方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，熟记只含一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程是一元二次方程是解题的关键． 根据一元二次方程的定义，逐项分析判断即可得出答案． 【详解】解：A、，含有2个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； B、是一元二次方程，符合题意； C、不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； D、，未知数的最高次数不是2，不是一元二次方程，不符合题意； 故选：B． 2. 如图是反比例函数的图象，下列说法正确的是（ ） A. 常数 B. 在每个象限内，随的增大而增大 C. 若，在图象上，则 D. 若在图象上，则也在图象上 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是结合反比例函数的性质以及函数图象逐一分析四个选项．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，熟悉掌握反比例函数图象的有关知识是关键．结合函数图象逐一分析四个选项的对错，由此即可得出结论． 【详解】解：A、∵反比例函数y=的图象在第一三象限， ∴， ∴A错误，故本选项不符合题意； B、根据函数图象可得出：在每个象限内，y随x的增大而减小， ∴B错误，故本选项不符合题意； C、根据函数图象可得出：在第三象限内，，在第一象限内，， ∵，， ∴， ∴C正确，故本选项符合题意； D、由反比例函数的对称性可知： 若在图象上，则在图象上， ∴D错误，故本选项不符合题意． 故选：C． 3. 如图，直线，被彼此平行的直线，，，所截，，若，则是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例定理即可求解． 【详解】解：∵直线，被彼此平行的直线，，，所截， ∴， 又∵， ∴，， ∴． 故选：B． 4. 用配方法将二次三项式a2+4a+5变形，结果为( ) A. (a-2)2+1 B. (a+2)2+1 C. (a-2)2-1 D. (a+2)2-1 【答案】B 【解析】 【分析】分析：此题考查了配方法，解题时要注意常数项的确定方法，若二次项系数为1，则二次项与一次项再加上一次项系数的一半的平方即构成完全平方式，若二次项系数不为1，则可提取二次项系数，将其化为1． 解答：解：∵a2=4a+5=a2+4a+4-4+5， ∴a2+4a+5=（a+2）2+1． 故选B． 【详解】请在此输入详解！ 5. 如图，在中，，，，则下列叙述正确的是（ ） ①；②；③；④． A. ①②③④ B. ①②③ C. ①②④ D. ②④ 【答案】D 【解析】 【分析】利用平行线的性质以及相似三角形的性质一一判断即可． 【详解】解：， ，④正确， ，，③错误， ，②正确， ， ，①错误， ②④正确， 故选：． 【点睛】本题考查相似三角形的判定，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质，属于中考常考题型． 6. 已知点，，在反比例函数的图象上，若，则、、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据反比例函数性质，反比例函数的图象分布在第一、三象限，再根据即可得出结论． 【详解】解：反比例函数的图象分布在第一、三象限， 在每一象限随的增大而减小， 而， 点在第一象限，、点在第三象限， ． 即． 故选：D． 【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数的性质是解答此题的关键． 7. 如图1，A、B两点被池塘隔开，在外任选一点C，连结、 ，分别取其三等分点M、N，量得．则的长是 （ ） A. 152m B. 114m C. 76m D. 104m 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查相似三角形的判定和性质，依题意知在中，M、N分别为三等分点，则可证明，根据三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵在中，M、N分别为三等分点， ∴, ∵， ∴， ∴， ∴ 故选：B 8. 如图，已知，B为反比例函数，以为直径的圆的圆心C在y轴上，与y轴正半轴交于，则的值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】设与x轴的正半轴的为E，连接，根据垂径定理，得到，结合以为直径的圆的圆心C在y轴上，得到是的中位线，设，则，利用勾股定理计算即可，本题考查了垂径定理，勾股定理，三角形中位线定理，反比例函数的解析式计算，熟练掌握定理和待定系数法是解题的关键． 【详解】设与x轴的正半轴的为E，连接， ∵，， ∴， ∵以为直径的圆的圆心C在y轴上，, ∴，，轴， ∴是的中位线， 设，则， ∵， ∴ 解得， ∴， ∴， ∴， 故选C． ． ． 9. 在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，相似比为，把缩小，则点的对应点的坐标是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知得出位似图形对应坐标与位似图形比的关系进而得出答案． 【详解】解：的一个顶点的坐标是，以原点为位似中心相似比为将缩小得到它的位似图形， 若与在原点同侧，则将点的横纵坐标均乘以， 得到点的坐标是：，，即， 若与在原点异侧，则将点的横纵坐标均乘以， 得到点的坐标是：，，即， 综上所述：点的对应点的坐标是或． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了位似图形的性质，根据如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或得出是解题关键． 10. 疫情期间为预防病毒，某家庭对住房进行喷药消毒．已知消杀过程中室内每立方米空气中的含药量（毫克/立方米）与喷药的时间（分钟）成正比例，消杀完成后，与成反比例（如图所示）．已知消杀4分钟后完成，此时室内每立方米空气中含药量为8毫克．研究表明，当空气中每立方米的含药量低于2毫克时，人进入才安全．那么( )分钟后人可以进入房间． A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查正比例函数、反比例函数的实际应用，先利用待定系数法求出它们的关系式，再计算当时的值，从而得出答案．． 【详解】解：解：设正比例函数解析式：且过， ， ， ， 设反比例函数解析式：，且过， ， ， ， 当时，， 解得：， 当时，， 解得：， 分钟后，人可以进入房间． 故选：D． 二、填空题（共8小题，满分24分，每小题3分） 11. 关于x的一元二次方程x2+（2a﹣1）x+a2+4＝0有实数根，则a的取值范围是___． 【答案】a≤﹣ 【解析】 【分析】根据题意得根的判别式Δ＞0，即可得出关于a的一元一次不等式，解之即可得出结论． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2+（2a﹣1）x+a2+4＝0有实数根， ∴Δ＝（2a﹣1）2﹣4（a2+4）≥0， 解得：a≤﹣． 故答案为：a≤﹣． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式，关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根． 12. 如果两个相似三角形的面积之比是，那么它们对应的中线之比是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．根据相似三角形的面积之比是，得到相似比为，进而得出对应的中线之比． 【详解】解：∵两个相似三角形的面积之比是， ∴相似比为， ∴对应的中线之比为． 故答案为：． 13. 已知关于x的方程有一个根是，则的值为________. 【答案】-1 【解析】 【详解】试题分析：关于X的方程有一个根是付a，所以，化简为，即a(a-b+1)=0，由可得a-b+1=0，因此a-b=-1. 考点：一元二次方程的解 14. 在对物体做功一定的情况下，力与此物体在力的方向上移动的距离成反比例函数关系，其图象如图所示，则当力达到时，此物体在力的方向上移动的距离是______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，理解题意是解题的关键．设反比例函数关系为，代入求出的值，得到，再代入求出对应的值即可求解． 【详解】解：设反比例函数关系为， 代入，得， ∴反比例函数关系为， 当时，， 解得， 故答案为：1． 15. 如图，点A为反比例函数的图象上一点，过A作AB⊥x轴于点B，连接OA，则△ABO的面积为2，则反比例函数解析式为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数系数k的几何意义及图像所在的象限求出k，即可求出反比例函数解析式． 【详解】解：根据题意可知：， ∵反比例函数的图象位于第二象限，k＜0， ∴k＝﹣4， ∴反比例函数解析式为． 故答案为： 【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，熟练掌握反比例函数系数k的几何意义是解决问题的关键． 16. 如图，一长为32m、宽为20m的矩形地面上修建有同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分进行了绿化．若已知绿化面积为540㎡，则道路的宽为__________m． 【答案】2 【解析】 【分析】把四块耕地拼到一起正好构成一个矩形，矩形的长和宽分别是（32-x）m和（20-x）m，根据矩形的面积公式，列出关于道路宽的方程求解． 【详解】解：设道路的宽是xm， (32−x)(20−x)=540， 整理得， 因式分解得, 解得：x1=2，x2=50(舍), 答：道路的宽是2m． 故答案为2． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，对于面积问题应熟记各种图形的面积公式． 17. 黄金分割是一种最能引起美感的分割比例，具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值．如图，在某校初三中考百日倒计时启动仪式的中，舞台的长为18米，主持人站在点处自然得体．已知点是线段上靠近点的黄金分割点，则此时主持人与点的距离为 _________米． 【答案】## 【解析】 【分析】由黄金分割点的定义得，再代入的长计算即可． 【详解】解：由题意可知，点是线段上靠近点的黄金分割点，米，， （米）， 即此时主持人与点A的距离为米， 故答案为：． 【点睛】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割点的定义和黄金比值是解题的关键． 18. 如图，在中，，高，正方形的边在上，点E，F分别在，上，交于点N，则的长为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，正方形的性质，掌握相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质是解题的关键． 设正方形的边长，证明四边形是矩形，则，根据正方形的性质得出，推出，根据相似三角形的性质计算即可得解． 【详解】解：设正方形的边长， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵是的高， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 三、解答题（共8小题，满分64分） 19. 解方程： （1）2x（x﹣1）＝（5x+2）（x﹣1）； （2）3x2﹣x（x+6）＝20． 【答案】（1）x1＝1，x2＝﹣；（2）x1＝﹣2，x2＝5 【解析】 【分析】（1）利用因式分解法求解即可； （2）整理为一般式后，再利用因式分解法求解即可． 【详解】解：（1）∵2x（x﹣1）＝（5x+2）（x﹣1）， ∴2x（x﹣1）﹣（5x+2）（x﹣1）＝0， 则（x﹣1）（﹣3x﹣2）＝0， ∴x﹣1＝0或﹣3x﹣2＝0， 解得x1＝1，x2＝﹣； （2）整理，得：x2﹣3x﹣10＝0， ∴（x+2）（x﹣5）＝0， 则x+2＝0或x﹣5＝0， 解得x1＝﹣2，x2＝5． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 20. 网格图中每个方格都是边长为1的正方形．若A，B，C，D，E，F都是格点，试说明△ABC∽△DEF． 【答案】 证明：∵ ， ∴． ∴△ABC∽△DEF． 【解析】 【分析】 【详解】略 21. 关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+2k＝0． （1）求证：无论k取任何实数，方程总有两个实数根； （2）若该方程的两个根x1，x2满足3x1+3x2﹣x1x2＝6，求k的值． 【答案】 （1）证明：∵△＝[﹣（2k+1）]2﹣4×1×2k ＝（2k﹣1）2≥0， ∴无论k取何值，所以方程总有两个实数根； （2）k 【解析】 【分析】（1）计算判别式的值，再利用配方法得到△＝（2k+1）2≥0，然后根据一元二次方程根的判别式与根的关系得到结论； （2）根据根与系数的关系得到x1+x2＝2k+1，x1•x2＝2k，而3（x1+x2）﹣x1•x2＝6，所以3（2k+1）﹣2k＝6，然后解关于k的方程即可． 【详解】（1）略 （2）解：根据题意得：x1+x2＝2k+1，x1•x2＝2k， ∵3（x1+x2）﹣x1•x2＝6， ∴3（2k+1）﹣2k＝6， ∴k． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2，也考查了根的判别式、配方法、解一元一次方程． 22. 如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数与反比例函数的图象交于点A(﹣6，﹣3)和B(m，6)，直线AB交y轴于点C，连接OA，OB． （1）求AOB的面积； （2）根据图象直接写出，当x的取值在什么范围内时，反比例函数的值大于一次函数的值． 【答案】（1）；（2）x＜﹣6或0＜x＜3 【解析】 【分析】（1）根据反比例函数图象上点的坐标特征求得m，得到B的坐标，然后利用待定系数法求得直线AB的解析式，即可求出直线与y轴的交点坐标可得线段OC的长，然后分别计算出△AOC和△BOC的面积，则S△AOB＝S△AOC+S△BOC． （2）写出一次函数图象在反比例函数图象下方的x的取值范围即可． 【详解】解：（1）∵点A（﹣6，﹣3）和B（m，6）在反比例函数图象上， ∴6m＝﹣6×（﹣3）， ∴m＝3， ∴B（3，6）， 设直线AB的解析式为y＝kx+b， ∴，解得， ∴直线AB的解析式为y＝x+3， ∴C（0，3）， ∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝×3×6+＝； （2）由图象可知，x＜﹣6或0＜x＜3时，反比例函数的值大于一次函数的值． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，求得交点坐标是解题的关键． 23. 如图，四边形ABCD是平行四边形，点F在BA的延长线上，连接CF交AD于点E． （1）求证：△CDE∽△FAE； （2）当E是AD的中点且BC＝2CD时，直接写出图中所有与∠F相等的角． 【答案】 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD∥AB， ∴∠DCE＝∠F，∠CDE＝∠FAE， ∴△CDE∽△FAE； （2）图中所有与∠F相等的角为∠DCE、∠BCF、∠AEF、∠DCE 【解析】 【分析】（1）根据四边形ABCD是平行四边形就可以证明△CDE∽△FAE； （2）根据（1）和E是AD的中点可以得到△CDE≌△FAE，然后根据全等三角形的性质和等腰三角形的性质即可得出答案． 【详解】（1）略 （2）解：图中所有与∠F相等的角为∠DCE、∠BCF、∠AEF、∠DCE，理由如下： 由（1）得：∠DCE＝∠F， ∵△CDE∽△FAE，DE＝EA， ∴△CDE≌△FAE， ∴CD＝AF， ∴BF＝2CD， ∵BC＝2CD，AD＝BC＝2AE＝2DE， ∴BF＝BC，AF＝AE，CD＝DE， ∴∠F＝∠BCF，∠AEF＝∠F，∠DEC＝∠DCE． 【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握相似三角形的判定和平行四边形的性质是解题的关键． 24. 如图，在宽为，长为的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路(互相垂直)，把耕地分成大小不等的六块试验田，要使试验田的面积为，道路应为多宽？ 【答案】1米 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意正确列方程是解题关键．设道路宽应为米，根据六块试验田可拼成长为，宽为的矩形，列方程求解即可． 【详解】解：设道路宽应为米， 则， 整理得：， 解得：，（舍）， 答：道路宽应为米． 25. 如图，在中，，．点分别从同时出发，沿分别向终点移动．已知点移动端的速度分别为．设两点移动的时间为，当以为顶点的三角形与相似时，求的值． 【答案】的值为或时，以为顶点的三角形与相似 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握以判定方法及性质是解题的关键，根据相似三角形的判定方法，分类讨论，①；②；结合相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：点从的运动时间为，点从的运动时间为，根据题意可得，，则，，则， 以为顶点的三角形与相似，分类讨论， ①， ∴，即，解得，， ∵， ∴运动时间为时，以为顶点的三角形与相似； ②， ∴，即，解得，， ∵， ∴运动时间为时，以为顶点的三角形与相似； 综上所述，的值为或时，以为顶点的三角形与相似． 26. 如图，在平面直角坐标系中，点A在轴的正半轴上，点在轴的负半轴上，点在轴的正半轴上，且，线段、的长是一元二次方程的两个根，且． （1）求点A、点的坐标； （2）求点的坐标； （3）若直线过点A交线段于点，且，求点坐标； 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】此题考查了解一元二次方程与相似三角形的判定和性质， （1）解一元二次方程，根据题意可求得点的坐标； （2）设点C的坐标为，根据得，利用对应边成比例即可； （3）过点D作轴于点E，轴于点F，即有，，得到和，根据题意有，则有和即可求得点D的坐标． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 解得，， ∵点A在轴的正半轴上，点在轴的负半轴上，且， ∴A点坐标为，B点坐标为； 【小问2详解】 由（1）可得，，， 设点C的坐标为，则， ∵，， ∴， ∴， 则， ∵， ∴，解得， 则点C的坐标是； 【小问3详解】 过点D作轴于点E，轴于点F，如图， 根据题意得，， ∴，， 则，， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， 则点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023年九年级（上）期中学情质量检测 数学 一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 下列四个方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图是反比例函数的图象，下列说法正确的是（ ） A. 常数 B. 在每个象限内，随的增大而增大 C. 若，在图象上，则 D. 若在图象上，则也在图象上 3. 如图，直线，被彼此平行的直线，，，所截，，若，则是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 4. 用配方法将二次三项式a2+4a+5变形，结果为( ) A. (a-2)2+1 B. (a+2)2+1 C. (a-2)2-1 D. (a+2)2-1 5. 如图，在中，，，，则下列叙述正确的是（ ） ①；②；③；④． A. ①②③④ B. ①②③ C. ①②④ D. ②④ 6. 已知点，，在反比例函数的图象上，若，则、、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 如图1，A、B两点被池塘隔开，在外任选一点C，连结、 ，分别取其三等分点M、N，量得．则的长是 （ ） A. 152m B. 114m C. 76m D. 104m 8. 如图，已知，B为反比例函数，以为直径的圆的圆心C在y轴上，与y轴正半轴交于，则的值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 9. 在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，相似比为，把缩小，则点的对应点的坐标是（ ） A. B. C. 或 D. 或 10. 疫情期间为预防病毒，某家庭对住房进行喷药消毒．已知消杀过程中室内每立方米空气中的含药量（毫克/立方米）与喷药的时间（分钟）成正比例，消杀完成后，与成反比例（如图所示）．已知消杀4分钟后完成，此时室内每立方米空气中含药量为8毫克．研究表明，当空气中每立方米的含药量低于2毫克时，人进入才安全．那么( )分钟后人可以进入房间． A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 二、填空题（共8小题，满分24分，每小题3分） 11. 关于x的一元二次方程x2+（2a﹣1）x+a2+4＝0有实数根，则a的取值范围是___． 12. 如果两个相似三角形的面积之比是，那么它们对应的中线之比是______． 13. 已知关于x的方程有一个根是，则的值为________. 14. 在对物体做功一定的情况下，力与此物体在力的方向上移动的距离成反比例函数关系，其图象如图所示，则当力达到时，此物体在力的方向上移动的距离是______． 15. 如图，点A为反比例函数的图象上一点，过A作AB⊥x轴于点B，连接OA，则△ABO的面积为2，则反比例函数解析式为 _____． 16. 如图，一长为32m、宽为20m的矩形地面上修建有同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分进行了绿化．若已知绿化面积为540㎡，则道路的宽为__________m． 17. 黄金分割是一种最能引起美感的分割比例，具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值．如图，在某校初三中考百日倒计时启动仪式的中，舞台的长为18米，主持人站在点处自然得体．已知点是线段上靠近点的黄金分割点，则此时主持人与点的距离为 _________米． 18. 如图，在中，，高，正方形的边在上，点E，F分别在，上，交于点N，则的长为______． 三、解答题（共8小题，满分64分） 19. 解方程： （1）2x（x﹣1）＝（5x+2）（x﹣1）； （2）3x2﹣x（x+6）＝20． 20. 网格图中每个方格都是边长为1的正方形．若A，B，C，D，E，F都是格点，试说明△ABC∽△DEF． 21. 关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+2k＝0． （1）求证：无论k取任何实数，方程总有两个实数根； （2）若该方程的两个根x1，x2满足3x1+3x2﹣x1x2＝6，求k的值． 22. 如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数与反比例函数的图象交于点A(﹣6，﹣3)和B(m，6)，直线AB交y轴于点C，连接OA，OB． （1）求AOB的面积； （2）根据图象直接写出，当x的取值在什么范围内时，反比例函数的值大于一次函数的值． 23. 如图，四边形ABCD是平行四边形，点F在BA的延长线上，连接CF交AD于点E． （1）求证：△CDE∽△FAE； （2）当E是AD的中点且BC＝2CD时，直接写出图中所有与∠F相等的角． 24. 如图，在宽为，长为的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路(互相垂直)，把耕地分成大小不等的六块试验田，要使试验田的面积为，道路应为多宽？ 25. 如图，在中，，．点分别从同时出发，沿分别向终点移动．已知点移动端的速度分别为．设两点移动的时间为，当以为顶点的三角形与相似时，求的值． 26. 如图，在平面直角坐标系中，点A在轴的正半轴上，点在轴的负半轴上，点在轴的正半轴上，且，线段、的长是一元二次方程的两个根，且． （1）求点A、点的坐标； （2）求点的坐标； （3）若直线过点A交线段于点，且，求点坐标； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $