17.2 一元二次方程的解法（题型专练，4基础题型+7提升题型+培优）数学新教材沪科版八年级下册

17.2 一元二次方程的解法 题型一 直接开平方法 1．方程的根是（   ） A．2 B． C． D．4 2．一元二次方程的根为（   ） A． B．， C．， D．， 3．一元二次方程的解是 ． 4．方程的根是 ． 5．解方程： 6．解方程：. 7．解方程： 题型二 配方法 1．用配方法解方程时，配方后正确的是（   ） A． B． C． D． 2．用配方法解方程时，等号两边应同时加上（    ） A．2 B． C．4 D． 3．一元二次方程配方为，则k的值是（    ） A．7 B．1 C．5 D． 4．一元二次方程用配方法解可变形为 ． 5．用配方法解方程：． 解：整理，得_____， 移项，得_____， 二次项系数化为1，得_____， 配方，得_____，即（_____）_____， 开方，得_____， _____，_____． 6．用配方法解方程： (1)； (2)； (3)； (4) 题型三 公式法 1．用公式法解一元二次方程时，首先要确定a、b、c的值，下列叙述正确的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．用公式法解一元二次方程时，的值为（） A．8 B．12 C．16 D．24 3．用公式法解关于x的一元二次方程，得，则该一元二次方程是（    ） A． B． C． D． 4．一元二次方程，用求根公式求解时c的值是 ． 5．一元二次方程有实数根，其根为 （用a，b，c表示） 6．小海在用公式法解方程时出现了错误，解答过程如下所示： 解方程 解： （第一步） （第二步） ∴原方程无实数根 （第三步） 小海的解答过程从第__________步开始出错的，其错误的原因是__________； 7．用公式法解方程： (1)； (2)； (3)． 题型四 因式分解法 1.方程的根是（    ） A．0 B． C．0， D．0，1 2．一元二次方程的根为（   ） A．0 B．9 C．0或 D．0或9 3．解方程较为合适的方法是（   ） A．直接开平方法 B．公式法 C．配方法 D．因式分解法 4．方程的解为 ． 5．方程的两根分别为 ． 6．用因式分解解下列一元二次方程： (1)； (2) 题型一 根据a（x+m）2=n求参数的值或取值范围 1．若关于的方程有实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．若关于x的一元二次方程有实数根，则m的值可以是（   ） A． B． C． D． 3．如果关于的方程可以用直接开平方法求解，那么满足的条件是（    ） A． B． C． D． 4．若关于的一元二次方程的一个根为，则方程的根是（    ） A． B． C．或 D．或 5．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ． 题型二 新定义下一元二次方程的解法 1．在实数范围内定义运算“”为，则方程的解为（   ） A． B． C． D． 2．新定义：．若，则的值为 ． 3．对于符号“”，我们作如下规定：，如，若，则 ． 4．定义一种新运算：，例如：．若，则的值为 ． 5．定义：若，是方程的两个整数根，且满足，则称此类方程为“差1方程”．例如：是“差方程”． (1)下列方程是“差方程”的是______；（填序号） ①    ②    ③； (2)若方程是“差方程”，求的值． 题型三 利用配方法求解代数式的值 1．将一元二次方程化成（a，b为常数）的形式，则a，b的值分别是（   ） A．4， B．4， C．4， D．4， 2．用配方法将方程转化为的形式，则的值为（） A．2028 B． C．2024 D． 3．不论为何实数，多项式的值一定是（） A．正数 B．负数 C．0 D．不能确定 4．已知满足，则（） A． B． C．2 D．3 5．将一元二次方程化成的形式，则 ． 6．若，则的值为 ． 7．已知代数式，． (1)当x为何值时，代数式A的值比B的值大2； (2)求证：对于任意x的值，代数式A的值恒大于B的值． 题型四 配方法与最值问题 1．若，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 2．把整式表示成的形式，则的最小值为（    ） A．5 B．2.5 C．7 D．3.5 3．已知x，y为实数，且满足，设，记的最大值为，最小值为，则（） A． B．8 C． D．10 4．若（x、y为实数），则W的最小值为 ． 5．代数式的最大值 ． 6．阅读材料：形如的式子叫做完全平方式．有些多项式虽然不是完全平方式，但可以通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、代数最值等问题中都有广泛的应用． （一）用配方法分解因式：． 解： ． （二）用配方法求代数式的最小值． 解： ， ， ≥－1． 即的最小值为． 请仿照以上例子解答下列问题： (1)若代数式是完全平方式，则常数的值为_____；（直接写出结果） (2)用配方法分解因式：； (3)用配方法求代数式的最小值． 题型五 利用配方法求解新定义问题中的最值或参数的值 1．关于的一元二次方程的新定义：若关于的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”如与就是“同族二次方程”现有关于的一元二次方程：与是“同族二次方程”那么代数式能取的最小值是（    ） A． B． C． D． 2．新定义：关于x的一元二次方程与称为“同族二次方程”如与是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程与是“同族二次方程”，那么代数式能取的最小值是（    ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 3．如果关于的一元二次方程（）有一个根是1，那么我们称这个方程为“和美方程”．已知关于的一元二次方程是“和美方程”，则的最小值为 ． 4．新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”例如：与是“同族二次方程”现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式的最小值是 ． 5．关于x的一元二次方程新定义：若关于x的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”．如与就是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程：与是“同族二次方程”．那么代数式取的最大值是（   ） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 6．对于实数，我们用符号表示两数中较小的数，如，因此， ； ；若，则x= ． 7．对于有理数，，定义：当时，；当时，．若，则的值为 ． 题型六 配方法在几何问题中的应用 1．已知a，b，c是不等边△ABC的三边长，满足a2＋b2＝6a＋8b－25，则最长边c的范围（     ） A．1＜c＜7 B．4≤c＜7 C．4＜c＜7 D．1＜c≤4 2．已知、、是的三边且满足，则的面积是（ ） A．60 B．30 C．65 D．32.5 3．已知三角形三边长为a、b、c，且满足， ， ，则此三角形的形状是（ ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．无法确定 4．如图，一块直径为的圆形钢板，从中挖去直径分别为a和b的两个圆，当时，剩下的钢板面积的最大值是（    ）    A． B． C． D． 5．阅读材料并解决问题： 材料一：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法可以解决代数式值的最小（或最大）问题． 例如：当x取何值时，代数式有最小（或最大）值？ 当时，代数式有最小值． 根据上面的材料请解决下面问题： 如图，要围成一个矩形鸡场，一边靠墙（墙长24米），另三边用总长为40米的竹篱笆围成． (1)请用含x的代数式表示矩形鸡场的面积； (2)当x为何值时，围成的矩形鸡场的面积最大？最大面积是多少？ 6．配方法是数学中重要的一种思想方法，利用配方法可求一元二次方程的根，也可以求代数式的最值等，所谓配方法是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．其实这种方法还经常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义解决某些问题． 例：求代数式的最大值． 解：原式． ∵，∴， ∴，∴的最大值为． 【问题解决】 (1)若m，k，h满足，求的值； (2)求代数式的最小值． (3)若等腰的三边长a，b，c均为整数，且满足，求的周长． 7．我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用，例如：求二次三项式的最小值． 解：， ， 即的最小值是2．试利用“配方法”解决下列问题： (1)已知，求y的最小值． (2)比较代数式与的大小，并说明理由． (3)如图，在中，，，，点P在边AC上以2的速度从点A向点C移动，点Q在边CB上以1的速度从点C向点B移动．若点P、Q同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，设四边形的面积为，运动时间为t秒，求S的最小值． 题型七 整体换元法 1．若，则代数式的值为（    ） A．或 B．1或 C． D．3 2．若实数、满足，则a2+b2的值为（    ） A．-5 B．-2或5 C．2 D．-5或-2 3．若，则代数式的值为 4．已知方程的根是，，则方程的根是 5．解方程：． 6．解方程： 7．【阅读材料】方程是一个一元四次方程，我们可以把看成一个整体，设，则原方程可化为① 解方程①可得． 当时，； 当时，； 原方程的解为． 【解决问题】 (1)在由原方程得到方程①的过程中，是利用换元法达到___________的目的（填“降次”或“消元”），体现了数学的转化思想． (2)请仿照材料的方法，解下列方程： 8．阅读下列材料： 已知实数满足，试求的值． 解：设 则原方程可化为，即； 解得． ， ． 上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化．根据以上阅读材料内容，解决下列问题： (1)已知实数满足，求的值； (2)解方程； (3)若四个连续正整数的积为120，请求出这四个连续的正整数． 1．观察下列方程： ，变形为：，其解为或； ，变形为：，其解为或； ，变形为：，其解为或；…，根据以上阅读，若为正整数，关于的方程的较小解是，则的值是（   ） A． B． C．或 D．或 2．我们可以利用二次根式性质准确解出形如的方程， 方法如下： 由题意，可知，得 原方程变形为： ∴ ∴或（舍去） ∴ 小杰同学将二次根式的性质进一步探究后发现：． 已知，参考上述方法，可求得 ． 3．配方法是数学中重要的一种思想方法，能帮助解决一些与非负数有关或求代数式的最大值、最小值等问题，我们定义：一个整数能表示成（，是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为．再如：，（，是整数），所以也是“完美数”． 例如，把二次三项式进行配方，可求其最值． 解： 当时，的最小值为2． 请通过阅读以上材料，解决以下问题： （1）下列各数中，“完美数”有________（只填序号）； ①11；    ②34；    ③60． （2）若可配方成（，为正整数），则的值为________； （3）已知实数x，y满足，求代数式的最小值． 4．阅读一元二次方程的新解法，思考并完成相应的任务． 一元二次方程的新解法 对于任意的一元二次方程，都可以用配方法将原方程转化为（，为常数）的形式，当时，两边开平方即可求出原方程的解． 下面我们讨论一种新解法——消去未知数的一次项，将原方程转化为可以开平方的形式． 【特例分析】 以课本37页例题为例， 设（为常数）， 则原方程化为．① 整理，得．② 为使方程②不含的一次项，令，解得：． 则 所以，方程②化为． 解，得，． 所以， ， ． 【类比推广】 按这种思路，可以求解任意一元二次方程，还能推导出求根公式． 任务： (1)直接写出材料中“特例分析”部分方程的解 ， ； (2)按照材料中“特例分析”的方法，求解一元二次方程． 5．阅读下列材料： 解方程：．这是一个一元四次方程，根据该方程的特点， 它的解法通常是： 设，那么，于是原方程可变为， 解这个方程，得． 当时，，解得； 当时，，解得． 综上，原方程有四个根：． 这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了数学的转化思想． (1)用换元法解方程：； (2)三边是，若两直角边满足，斜边，求的周长． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 17.2 一元二次方程的解法 题型一 直接开平方法 1．方程的根是（   ） A．2 B． C． D．4 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程， 根据直接开平方法解一元二次方程即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ． 故选：C． 2．一元二次方程的根为（   ） A． B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程. 通过直接开平方法解方程即可. 【详解】解：∵， ∴或， ∴， ， 故选：C. 3．一元二次方程的解是 ． 【答案】， 【分析】本题考查了一元二次方程的解法．熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 利用直接开平方法求解一元二次方程． 【详解】解：由方程，两边开平方，得，即． 当时，解得； 当时，解得． 故答案为，． 4．方程的根是 ． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法解一元二次方程是解题的关键． 利用直接开平方法解方程即可． 【详解】解：， ， ， 故答案为：， ． 5．解方程： 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，配方法，因式分解法和公式法是解题的关键．本题直接利用开平方法求解即可． 【详解】解：， ， ∴． 6．解方程：. 【答案】， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 利用直接开平方法求解即可． 【详解】解：， 移项，得， 两边开平方，得 解得：，． 7．解方程： 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确选择合适的方法解一元二次方程是解题的关键．利用直接开平方法解方程即可． 【详解】解： 或 ∴，． 题型二 配方法 1．用配方法解方程时，配方后正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键．先将常数项移项，再两边同加上一次项系数一半的平方，由此即可得． 【详解】解：， ， ， ， 故选：C． 2．用配方法解方程时，等号两边应同时加上（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】本题考查了用配方法，利用完全平方公式进行求解即可. 【详解】解：进行配方，方程两边应同时加上一次项系数一半的平方， 即，即， 故选：C. 3．一元二次方程配方为，则k的值是（    ） A．7 B．1 C．5 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查解一元二次方程中的配方法，掌握配方法的解题步骤是解本题的关键． 将原方程变形成与相同的形式，即可求解． 【详解】解： ∴ 故选：B． 4．一元二次方程用配方法解可变形为 ． 【答案】 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程，先移项，再两边配上，写成完全平方公式即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解： ， ， ∴， 故答案为：． 5．用配方法解方程：． 解：整理，得_____， 移项，得_____， 二次项系数化为1，得_____， 配方，得_____，即（_____）_____， 开方，得_____， _____，_____． 【答案】，，，，，，，， 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 按照配方法解一元二次方程的一般步骤补全整个计算过程即可． 【详解】解：用配方法解一元二次方程如下： ， 整理，得：， 移项，得：， 二次项系数化为1，得：， 配方，得：， 即：， 开方，得：， 解得：，， 故答案为：，，，，，，，，． 6．用配方法解方程： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1)， (2)， (3)， (4) 【分析】本题考查解一元二次方程，正确计算是解题的关键： （1）利用配方法解一元二次方程即可； （2）利用配方法解一元二次方程即可； （3）利用配方法解一元二次方程即可； （4）利用配方法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， ， ，； （2）解：， ， ，； （3）解：， ， ，； （4）解：， ， ， ． 题型三 公式法 1．用公式法解一元二次方程时，首先要确定a、b、c的值，下列叙述正确的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，根据一元二次方程的一般形式，即可求解． 【详解】解： ∴，， 故选：D． 2．用公式法解一元二次方程时，的值为（） A．8 B．12 C．16 D．24 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程判别式的计算，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 直接用一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】解：∵方程为标准形式， ∴， ∴． 故选A． 3．用公式法解关于x的一元二次方程，得，则该一元二次方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的求根公式．根据一元二次方程的求根公式即可求解． 【详解】解：形如的一元二次方程， 当时， 其两根为， ∵一元二次方程的根为， ∴， 故选：C． 4．一元二次方程，用求根公式求解时c的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程-公式法，把方程化为一般式，从而得到c的值，即可求解；正确理解一元二次方程的、、及求根公式是解决问题的关键． 【详解】解：方程化为一般式为， 所以c的值为， 故答案为：． 5．一元二次方程有实数根，其根为 （用a，b，c表示） 【答案】 【分析】本题主要考查公式法解一元二次方程．根据求根公式求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程有实数根， ∴， ∴， 故答案为：． 6．小海在用公式法解方程时出现了错误，解答过程如下所示： 解方程 解： （第一步） （第二步） ∴原方程无实数根 （第三步） 小海的解答过程从第__________步开始出错的，其错误的原因是__________； 【答案】一，原方程没有化成一般形式 【分析】根据公式法解方程的基本步骤解答即可． 本题考查了公式法解方程，熟练掌握解方程的基本步骤是解题的关键． 【详解】解：由 故 （第一步） （第二步） ∴原方程有两个不相等的实数根， 故答案为：一；原方程没有化成一般形式． 7．用公式法解方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2)， (3)， 【分析】本题考查解一元二次方程，熟记一元二次方程的解法是解决问题的关键． （1）由公式法解一元二次方程即可得到答案； （2）由配方法解一元二次方程即可得到答案； （3）由提公因式法因式分解解一元二次方程即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， ， ， 则； （2）解：， ， 则， 直接开平方得， ，； （3）解：， ， 则， 或， 则，． 题型四 因式分解法 1.方程的根是（    ） A．0 B． C．0， D．0，1 【答案】C 【分析】由 可得 或 ，分别求出x的值即可得解． 本题考查了因式分解法解一元二次方程，熟知“两个因式的乘积为0，则至少有一个因式的值为0”是解题的关键． 【详解】解：∵ ， ∴ 或 ， ∴ 或 ， ∴ 方程的根是 和 ． 故选：C． 2．一元二次方程的根为（   ） A．0 B．9 C．0或 D．0或9 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程. 通过因式分解法求解即可. 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴，. 故选：C. 3．解方程较为合适的方法是（   ） A．直接开平方法 B．公式法 C．配方法 D．因式分解法 【答案】D 【分析】本题考查了解一元二次方程． 方程缺少常数项，且右边为0，容易通过提取公因式x进行因式分解，从而直接求解，因此因式分解法最为合适． 【详解】解：∵， ∴提取公因式x得， 进而得或， 解得，， 该过程简洁直接，故选择因式分解法． 故选：D． 4．方程的解为 ． 【答案】， 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，解题关键是掌握因式分解法解一元二次方程并能熟练运用求解． 通过因式分解法求解一元二次方程． 【详解】解：方程， 提取公因式，得， 因此或， 解得：，． 故答案为：，． 5．方程的两根分别为 ． 【答案】， 【分析】本题考查了利用因式分解法解一元二次方程，根据零乘积性质，两个因式的乘积为零，则每个因式可能为零，分别求解即可． 【详解】解：由， 得或， 解得，． 故答案为， 6．用因式分解解下列一元二次方程： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟知解法是正确解答此题的关键． （1）用因式分解法将方程变形成解方程即可． （2）用因式分解法将方程变形成解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， 解得 ； （2）解：， ， ， ， ， 解得 ． 题型一 根据a（x+m）2=n求参数的值或取值范围 1．若关于的方程有实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法——直接开平方法，熟记偶次方的非负性是解题的关键． 方程左边为平方项，始终非负，因此右边也必须非负，方程才有实数根． 【详解】解：∵ ， ∴ ， 解得 ． 故选：D． 2．若关于x的一元二次方程有实数根，则m的值可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握直接开平方法是解题的关键；由题意易得，然后可得，然后问题可求解． 【详解】解：由题意得：， ∵方程要有实数根， ∴， 解得：； 故选A． 3．如果关于的方程可以用直接开平方法求解，那么满足的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了利用直接开平方法解一元二次方程，根据完全平方是非负数列出关于的不等式即可求解，掌握直接开平方法是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， ∴， 故选：． 4．若关于的一元二次方程的一个根为，则方程的根是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是一元二次方程的解、解一元二次方程，解题关键是熟练掌握解一元二次方程． 由已知根代入原方程得与的关系，再代入新方程求解即可． 【详解】解： 方程 的一个根为， ， ， 对于方程， 代入，得 ， ，两边除以，得 ， 即， 或， 或， 即方程根为或． 故选：． 5．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】该题考查了解一元二次方程，根据方程有两个不相等的实数根，得，解答即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴． 故答案为：． 题型二 新定义下一元二次方程的解法 1．在实数范围内定义运算“”为，则方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，本题是新定义型，正确理解并熟练运用新定义的规则是解题的关键． 根据定义的新运算规则，先计算括号内，再代入方程，转化，再利用开平方法解方程即可． 【详解】解：根据定义， 原方程变为 ，即 ． 化简得 进一步得 解得 ，即 ，． ∴方程的解为 ，， 故答案选： C． 2．新定义：．若，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了新定义运算，解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 根据题意得到，即，得到，求出或，即可得到答案． 【详解】解：新定义：，， ，即， ， 解得：或， 故答案为：或． 3．对于符号“”，我们作如下规定：，如，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义，一元二次方程的应用，根据题意列方程，即可解答，熟知题意是解题的关键． 【详解】解：由题意可得， 解得， 故答案为：． 4．定义一种新运算：，例如：．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了新定义运算及一元二次方程的解法，根据新定义可得，解方程即可． 【详解】解：， 解得， 故答案为． 5．定义：若，是方程的两个整数根，且满足，则称此类方程为“差1方程”．例如：是“差方程”． (1)下列方程是“差方程”的是______；（填序号） ①    ②    ③； (2)若方程是“差方程”，求的值． 【答案】(1)② (2)或 【分析】本题以新定义题型为背景，考查一元二次方程的求解，掌握各类求解方法是解题关键． （1）分别求出方程的解即可判断； （2）利用因式分解法解出方程，再根据“差方程”的定义即可求解． 【详解】（1）解：①， ， ∴， ，不是整数根，故①不是“差方程”； ②， ， ∴， ∴，故②是“差方程”； ③， ， ， ∴方程无整数根，故③不是“差方程”； 故答案为：②； （2）解：方程因式分解得， 解得：，. ∵方程为“差方程”， ∴， 解得：或. 题型三 利用配方法求解代数式的值 1．将一元二次方程化成（a，b为常数）的形式，则a，b的值分别是（   ） A．4， B．4， C．4， D．4， 【答案】A 【分析】本题考查了配方法的应用，由得，，推出即可求解； 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴， 故选：A 2．用配方法将方程转化为的形式，则的值为（） A．2028 B． C．2024 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是关键． 先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，据此求出、的值即可得到答案． 【详解】解：∵方程， ∴移项得， 配方得，即， 与比较，得，， ∴， 故选：B． 3．不论为何实数，多项式的值一定是（） A．正数 B．负数 C．0 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查配方法的应用，掌握知识点是解题的关键． 利用配方法将多项式转化为完全平方加常数的形式，根据平方的非负性判断其值恒为正数即可． 【详解】解：∵ ∵对于所有实数，都有， ∴ 因此，多项式的值总是正数． 故选：A． 4．已知满足，则（） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了代数式求值，配方法的应用，非负数的性质，将变形，然后根据非负数的性质和式子的结果，可以求出的值，再代入求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：， ， ，， ∴当时，， 解得：， ， 故选：B． 5．将一元二次方程化成的形式，则 ． 【答案】7 【分析】本题考查了配方法，熟练掌握配方法的步骤是解答本题的关键． 直接根据配方法的步骤解题即可． 【详解】解：方程移项得， 配方得， 即， ，， ． 故答案为：7． 6．若，则的值为 ． 【答案】/0.5 【分析】本题考查了配方法的应用，求代数式的值． 移项后配方，利用完全平方式的非负性求出x和y的值，然后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 7．已知代数式，． (1)当x为何值时，代数式A的值比B的值大2； (2)求证：对于任意x的值，代数式A的值恒大于B的值． 【答案】(1)x为-1或-3时，代数式A的值比B的值大2 (2)见解析 【分析】本题考查了解一元二次方程，配方法的运用，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）由题意得，得到，解一元二次方程即可求解； （2）由题意得，即可证明结论成立． 【详解】（1）解：由题意得， 去括号得， 整理得， 解得或， 当或时，代数式A比B的值大2； （2）解： ∵， ∴， ∴， ∴对于任意的值，代数式A的值恒大于B的值． 题型四 配方法与最值问题 1．若，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了配方法的应用，由题意可得，即得，进而即可求解，掌握配方法的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最大值为， 故选：． 2．把整式表示成的形式，则的最小值为（    ） A．5 B．2.5 C．7 D．3.5 【答案】A 【分析】本题考查整式的混合运算，先利用整式的混合运算法则，结合完全平方公式将化简，因为把整式表示成的形式，得出 ，故，即可作答． 【详解】解：∵ ， 又， ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， 当时，则有最小值，且为． 故选：A． 3．已知x，y为实数，且满足，设，记的最大值为，最小值为，则（） A． B．8 C． D．10 【答案】C 【分析】本题主要考查配方法的应用，乘法公式；由已知条件变形得到，再通过配方法求出的取值范围，进而得到u的最值，计算即可． 【详解】解：， 由①得，，代入②中，得 ， 把①的两边同时加，得， 解得， 把①的两边同时减，得 解得， ∴， ， 即， ∴的最大值为，最小值为， ∴， 故选：C． 4．若（x、y为实数），则W的最小值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查配方法的应用，通过配方法将原式化为完全平方和的形式，利用非负数的性质求最小值即可． 【详解】解： ， ∵，， ∴，当， 时取等号， 故的最小值为； 故答案为：3． 5．代数式的最大值 ． 【答案】 【分析】本题考查了配方法的应用，对原式进行配方，再根据非负数的性质即可求解，掌握配方法是解题的关键． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， ∴代数式的最大值为， 故答案为：． 6．阅读材料：形如的式子叫做完全平方式．有些多项式虽然不是完全平方式，但可以通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、代数最值等问题中都有广泛的应用． （一）用配方法分解因式：． 解： ． （二）用配方法求代数式的最小值． 解： ， ， ≥－1． 即的最小值为． 请仿照以上例子解答下列问题： (1)若代数式是完全平方式，则常数的值为_____；（直接写出结果） (2)用配方法分解因式：； (3)用配方法求代数式的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）根据完全平方公式解答即可； （）仿照（一）解答即可； （）仿照（二）解答即可； 本题考查了完全平方公式，配方法及因式分解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：∵代数式是完全平方式， ∴， 即， ∴， 故答案为：； （2）解： ； （3）解： ， ∵， ∴， ∴ 即代数式的最小值是． 题型五 利用配方法求解新定义问题中的最值或参数的值 1．关于的一元二次方程的新定义：若关于的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”如与就是“同族二次方程”现有关于的一元二次方程：与是“同族二次方程”那么代数式能取的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了配方法的应用以及一元二次方程的定义，利用“同族二次方程”定义列出关系式，再利用多项式相等的条件列出关于a与b的方程组，求出方程组的解得到a与b的值，进而利用非负数的性质确定出代数式的最大值即可． 【详解】解：与是“同族二次方程”， ， ，解得：， ， 代数式取的最大值是， 故选：A． 2．新定义：关于x的一元二次方程与称为“同族二次方程”如与是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程与是“同族二次方程”，那么代数式能取的最小值是（    ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 【答案】D 【分析】本题考查了配方法的应用，一元二次方程的定义，理解题目中的新定义是解题的关键；利用“同族二次方程”定义列出关系式，再利用多项式相等的条件列出关于a与b的方程组，求出方程组的解得到a与b的值，进而利用非负数的性质确定出代数式的最大值即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程与是“同族二次方程”， ∴， ∴， ， 解得：， ， ∵， ∴， 当时，能取的最小值是2024， 故选：． 3．如果关于的一元二次方程（）有一个根是1，那么我们称这个方程为“和美方程”．已知关于的一元二次方程是“和美方程”，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的根及配方法求代数式的最小值，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据“和美方程”的定义，将代入方程得到与的关系式，再代入所求表达式，通过配方法求最小值． 【详解】方程是“和美方程”， 是它的一个根， 将代入方程得：， 即， ， 配方得：， 由于， 当时，取得最小值， 故答案为：． 4．新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”例如：与是“同族二次方程”现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式的最小值是 ． 【答案】2027 【分析】本题考查了新定义，配方法的应用，根据同族二次方程的定义，两个方程必须具有相同的c和k，由第二个方程确定，，令第一个方程中的c相等，解出（舍去），再令k相等，解出，代入代数式，结合配方法求最小值，即可作答． 【详解】解：∵关于的一元二次方程与是“同族二次方程”， ∴，，， 解得，， 则 ， 当时，则， ∴， 即代数式的最小值是， 故答案为：． 5．关于x的一元二次方程新定义：若关于x的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”．如与就是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程：与是“同族二次方程”．那么代数式取的最大值是（   ） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 【答案】A 【分析】此题考查了配方法的应用以及一元二次方程的定义，利用“同族二次方程”定义列出关系式，再利用多项式相等的条件列出关于a与b的方程组，求出方程组的解得到a与b的值，进而利用非负数的性质确定出代数式的最大值即可． 【详解】解：与是“同族二次方程”， ， ，解得：， ， 代数式取的最大值是， 故选：A． 6．对于实数，我们用符号表示两数中较小的数，如，因此， ； ；若，则x= ． 【答案】 0 2或/或2 【分析】根据题目所给的信息，结合实数的大小比较，配方法的应用进行大小比较即可得出答案． 【详解】解：根据题意可得：， ∵， ∴， ∵， ∴或， ∴或或， 当时，， 当时，， ∴或， 故答案为：，，2或． 【点睛】本题考查了实数的大小比较，配方法的应用，直接开方法解一元二次方程，读懂题意，理解题目给出的新定义是解本题的关键． 7．对于有理数，，定义：当时，；当时，．若，则的值为 ． 【答案】36 【分析】根据与40的大小，再根据，从而确定m，n的值即可得出的值． 【详解】解：∵， ∴40≤； ∴ ∴（m+6）2+（n-2）2≤0， ∵（m+6）2+（n-2）20， ∴m+6=0，n-2=0， ∴m=-6，n=2， ∴ 故答案为：36． 题型六 配方法在几何问题中的应用 1．已知a，b，c是不等边△ABC的三边长，满足a2＋b2＝6a＋8b－25，则最长边c的范围（     ） A．1＜c＜7 B．4≤c＜7 C．4＜c＜7 D．1＜c≤4 【答案】C 【分析】由a2+b2=6a+8b-25，得a，b的值，然后利用三角形的三边关系求得c的取值范围即可． 【详解】∵a2+b2=6a+8b-25， ∴（a-3）2+（b-4）2=0， ∴a=3，b=4； ∴4-3＜c＜4+3， ∵c是最长边， ∴4＜c＜7． 故选C． 【点睛】本题考查了配方法的应用、非负数的性质及三角形的三边关系，解题的关键是对方程的左边进行配方，难度不大． 2．已知、、是的三边且满足，则的面积是（ ） A．60 B．30 C．65 D．32.5 【答案】B 【分析】将a2+b2+c2=10a+24b+26c﹣338进行配方，求出a，b，c，根据勾股定理的逆定理判断△ABC的形状． 【详解】△ABC是直角三角形．理由是： ∵a2+b2+c2=10a+24b+26c﹣338，∴a2﹣10a+25+b2﹣24b+144+c2﹣26c+169=0，∴（a﹣5）2+（b﹣12）2+（c﹣13）2=0，∴a﹣5=0，b﹣12=0，c﹣13=0，即a=5，b=12，c=13． ∵52+122=132，∴△ABC是直角三角形，∴△ABC的面积是×5×12=30． 故选B． 【点睛】本题考查了配方法的应用及勾股定理逆定理的应用，是基础知识，比较简单． 3．已知三角形三边长为a、b、c，且满足， ， ，则此三角形的形状是（ ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．无法确定 【答案】A 【详解】解：∵a2﹣4b=7，b2﹣4c=﹣6，c2﹣6a=﹣18，∴a2﹣4b+b2﹣4c+c2﹣6a=7﹣6﹣18，整理得：a2﹣6a+9+b2﹣4b+4+c2﹣4c+4=0，即（a﹣3）2+（b﹣2）2+（c﹣2）2=0，∴a=3，b=2，c=2，∴此三角形为等腰三角形．故选A． 点睛：本题考查了因式分解的应用，解题的关键是正确的进行因式分解． 4．如图，一块直径为的圆形钢板，从中挖去直径分别为a和b的两个圆，当时，剩下的钢板面积的最大值是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了配方法的应用以及偶次方的非负性，解题关键是把代数式配成完全平方式．首先根据题意可得，然后根据图形写出剩下的钢板面积，然后利用配方法可把代数式配成的形式，利用偶次方的非负性即可解出答案． 【详解】解：∵， ∴，则， 根据图形可得：剩下的钢板面积 ； ∵， ∴，即剩下的钢板面积， ∴剩下的钢板面积的最大值为，只有选项B符合； 故选：B． 5．阅读材料并解决问题： 材料一：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法可以解决代数式值的最小（或最大）问题． 例如：当x取何值时，代数式有最小（或最大）值？ 当时，代数式有最小值． 根据上面的材料请解决下面问题： 如图，要围成一个矩形鸡场，一边靠墙（墙长24米），另三边用总长为40米的竹篱笆围成． (1)请用含x的代数式表示矩形鸡场的面积； (2)当x为何值时，围成的矩形鸡场的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1) (2)当时，围成的矩形鸡场的面积最大，面积是 【分析】本题考查了配方法的应用、完全平方式、代数式求值等知识点，正确读懂题目中的阅读材料，理解配方的方法是关键． （1）直接根据题意列代数式即可； （2）先运用完全平方公式配方，然后再根据完全平方的非负性求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得：鸡场的长为， 则鸡场的面积：； （2）解：， ∵， ∴， ∴当时，围成的矩形鸡场的面积最大，最大面积是， ∵，， ∴最大面积是符合题意． 故当时，围成的矩形鸡场的面积最大，最大面积是． 6．配方法是数学中重要的一种思想方法，利用配方法可求一元二次方程的根，也可以求代数式的最值等，所谓配方法是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．其实这种方法还经常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义解决某些问题． 例：求代数式的最大值． 解：原式． ∵，∴， ∴，∴的最大值为． 【问题解决】 (1)若m，k，h满足，求的值； (2)求代数式的最小值． (3)若等腰的三边长a，b，c均为整数，且满足，求的周长． 【答案】(1)； (2)； (3)的周长为13或14． 【分析】本题考查了配方法的应用，等腰三角形的性质． （1）将所给式子配方求出，的值，即可求解； （2）根据材料中的配方法，即可求解； （3）利用配方法得，求得，，再分两种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：由题意，∵， 又∵， ∴，， ∴； （2）解：． ∵， ∴， ∴的最小值为； （3）解：， 整理得，即， ∵，， ∴，， 当，，三边为4，4，5，能组成三角形，周长为13； 当，，三边为4，5，5，能组成三角形，周长为14； 综上，的周长为13或14． 7．我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用，例如：求二次三项式的最小值． 解：， ， 即的最小值是2．试利用“配方法”解决下列问题： (1)已知，求y的最小值． (2)比较代数式与的大小，并说明理由． (3)如图，在中，，，，点P在边AC上以2的速度从点A向点C移动，点Q在边CB上以1的速度从点C向点B移动．若点P、Q同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，设四边形的面积为，运动时间为t秒，求S的最小值． 【答案】(1)4 (2)，理由见解析 (3)5 【分析】（1）根据题目给的方法将原式配方即可求解； （2）利用作差法结合配方法解答即可； （3）由题意得：，，，进而可用含的式子表示出四边形的面积，再利用配方法求解即可． 本题考查了配方法的应用，正确变形、掌握解答的方法是解题的关键． 【详解】（1）解：， ∴的最小值是4； （2）解：，理由如下： ∵ ， ； （3）解：由题意得：，， ， ∴当时，S的最小值为． 题型七 整体换元法 1．若，则代数式的值为（    ） A．或 B．1或 C． D．3 【答案】D 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程；令，再解一元二次方程即可； 【详解】解：设，可知， 原方程可化为：， 解得：或， ∵， ∴ ∴， 故选： D． 2．若实数、满足，则a2+b2的值为（    ） A．-5 B．-2或5 C．2 D．-5或-2 【答案】C 【分析】根据换元法，令a2+b2=m，将原式整理成含有m的一元二次方程，解出m的值，根据题意对m的值进行取舍即可. 【详解】解：令a2+b2=m， 原式可化为：， 即， 解得：m=-5或m=2， 因为a2+b2≥0 所以m=2 a²+b²=2 故答案为C. 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，利用换元法求一元二次方程根，进而求出相应代数式的值，解决本题的关键是正确理解题意，能够用m将所求式子替换下来. 3．若，则代数式的值为 【答案】4 【分析】本题考查了解一元二次方程，设，则原方程换元为，可得，，即可求解． 【详解】解：设，则原方程换元为， ， 解得，（不合题意，舍去）， 的值为4． 故答案为：4． 4．已知方程的根是，，则方程的根是 【答案】或 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，根据题意可知，方程的根是或，再进行求解即可． 【详解】解：∵方程的根是，， ∴方程的根是或， 解得或． 故答案为：或． 5．解方程：． 【答案】，． 【分析】此题考查了换元法解一元二次方程，用到的知识点是因式分解法解方程，关键是通过换元得到关于的一元二次方程． 设，根据，得出，求出的值，再代入，即可得出答案． 【详解】解：设， ， ， ，， 或， ，． 6．解方程： 【答案】或或或 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 通过换元法，设，将原方程转化为关于y的二次方程求解，然后代回解关于x的方程． 【详解】解：设， 则， 因式分解，， 解得或， 当时，即 移项得，， 因式分解得， 解得或， 当时，即 移项得，， 因式分解得， 解得或， 综上，原方程的解为或或或． 7．【阅读材料】方程是一个一元四次方程，我们可以把看成一个整体，设，则原方程可化为① 解方程①可得． 当时，； 当时，； 原方程的解为． 【解决问题】 (1)在由原方程得到方程①的过程中，是利用换元法达到___________的目的（填“降次”或“消元”），体现了数学的转化思想． (2)请仿照材料的方法，解下列方程： 【答案】(1)降次 (2)， 【分析】本题考查换元法解高次方程，通过换元达到降次的目的，将一元四次方程转化为一元二次方程求解． （1）根据材料，换元是为了降低方程的次数； （2）仿照材料方法，设，将方程转化为，解出后回代求解． 【详解】（1）解：利用换元法达到降次的目的，体现了数学的转化思想． 故答案为：降次． （2）解：， 设，则原方程化为，即， 解得，， 当时，，解得，； 当时，，此方程无实数解， ∴原方程的解为，． 8．阅读下列材料： 已知实数满足，试求的值． 解：设 则原方程可化为，即； 解得． ， ． 上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化．根据以上阅读材料内容，解决下列问题： (1)已知实数满足，求的值； (2)解方程； (3)若四个连续正整数的积为120，请求出这四个连续的正整数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程． （1）由已知等式设，得出，求出，结合可得答案； （2）设，则，可得，求出的值，再根据绝对值的性质得出答案； （3）根据题意设最小数为，列出关系式，进而利用换元法即可求解． 【详解】（1）解：∵， 设， 则， ， ， ∴， ， ； （2）解：∵， ∴， 设，则， ， 或， ， 或， ； （3）解：设最小数为，则， 即， 设，则， ， ∵为正整数， ， （舍去）， 这四个整数为， 故答案为：． 1．观察下列方程： ，变形为：，其解为或； ，变形为：，其解为或； ，变形为：，其解为或；…，根据以上阅读，若为正整数，关于的方程的较小解是，则的值是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，根据分式方程解的情况求值，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 通过变量替换将原方程化为类似题干中示例的形式，利用示例中的规律(即若，则或)，结合较小解为的条件，建立方程求解，并验证是否符合较小解为． 【详解】解：设， 则原方程化为：， ∵根据示例规律，若，则或， ∴设，． 又∵较小解，即较小， ∴设（），则． 代入：， 整理得：， 解得：， 即或． 当时，方程解为或，较小解为，不符合； 当时，方程解为或，较小解为，符合． ∴， 故选：A． 2．我们可以利用二次根式性质准确解出形如的方程， 方法如下： 由题意，可知，得 原方程变形为： ∴ ∴或（舍去） ∴ 小杰同学将二次根式的性质进一步探究后发现：． 已知，参考上述方法，可求得 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，因式分解法解一元二次方程等知识，设，代入原方程，利用换元法将方程转化为关于的二次方程，求解后得到的值，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由，设，则， 代入原方程，得， ， ∵， ∴， ∴， ， 设（)，则， 代入得：，即， 整理为：， ∴，（舍去，因为)， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．配方法是数学中重要的一种思想方法，能帮助解决一些与非负数有关或求代数式的最大值、最小值等问题，我们定义：一个整数能表示成（，是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为．再如：，（，是整数），所以也是“完美数”． 例如，把二次三项式进行配方，可求其最值． 解： 当时，的最小值为2． 请通过阅读以上材料，解决以下问题： （1）下列各数中，“完美数”有________（只填序号）； ①11；    ②34；    ③60． （2）若可配方成（，为正整数），则的值为________； （3）已知实数x，y满足，求代数式的最小值． 【答案】（1）②；（2）5；（3）2022． 【分析】本题主要考查了配方法的应用，偶次方的非负数的性质、完全平方式、新定义等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）依据“完美数”的定义求解即可； （2）将配方成的形式，即可得解； （3），据此求解即可． 【详解】解：（1）由于②，所以②是完美数， ；； 所以，不能表示成（a，b是整数）的形式，不是完美数； 故答案为：②； （2）由， 可配方成， ，， ， 故答案为：5； （3）解：因为， ∴ ∴ ∴ ∴当时，的最小值为2022． 4．阅读一元二次方程的新解法，思考并完成相应的任务． 一元二次方程的新解法 对于任意的一元二次方程，都可以用配方法将原方程转化为（，为常数）的形式，当时，两边开平方即可求出原方程的解． 下面我们讨论一种新解法——消去未知数的一次项，将原方程转化为可以开平方的形式． 【特例分析】 以课本37页例题为例， 设（为常数）， 则原方程化为．① 整理，得．② 为使方程②不含的一次项，令，解得：． 则 所以，方程②化为． 解，得，． 所以， ， ． 【类比推广】 按这种思路，可以求解任意一元二次方程，还能推导出求根公式． 任务： (1)直接写出材料中“特例分析”部分方程的解 ， ； (2)按照材料中“特例分析”的方法，求解一元二次方程． 【答案】(1)， (2)，． 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）利用和的值写出和的值即可； （2）设，原方程化为，整理得，令，解得，则，所以方程化为，利用直接开平方法解方程，然后计算出对应的x的值即可． 【详解】（1）解：，，， ，， 故答案为：，． （2）解：设（为常数）， 则原方程化为① 整理，得② 为使方程②不含的一次项，令， 解得：， 则， 所以，方程②化为， 解得：，， 所以，，． 5．阅读下列材料： 解方程：．这是一个一元四次方程，根据该方程的特点， 它的解法通常是： 设，那么，于是原方程可变为， 解这个方程，得． 当时，，解得； 当时，，解得． 综上，原方程有四个根：． 这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了数学的转化思想． (1)用换元法解方程：； (2)三边是，若两直角边满足，斜边，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，三角形的三边关系的应用； （1）设，原方程可变形为进而解一元二次方程，注意最后要检验； （2）设，进而因式分解法解一元二次方程，根据三角形的三边关系，取舍方程的解，即可求解． 【详解】（1）解：设，原方程可变形为， 解得， 当时，，解得； 当时，，移项，得， ∵， ∴原方程没有实数根， 综上，原方程有两个根：； （2）设， ∵， ∴ 即， 解得 ∵斜边， ∴，则， ∴的周长为 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $