计数原理 专项训练-2026届高三数学一轮复习

计数原理

A组　夯基精练

一、单项选择题

1．(2022·新高考Ⅱ卷)有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，则甲不站在两端，且丙和丁相邻的不同的排列方式有(　　)

A．12种 B．24种

C．36种 D．48种

 

2．(2023·全国甲卷理)有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则恰有1人连续参加两天服务的选择种数为(　　)

A．120 B．60

C．40 D．30

3．(2024·武汉2月调研)将3个相同的红球和3个相同的黑球装入三个不同的袋中，每袋均装2个球，则不同的装法种数为(　　)

A．7 B．8

C．9 D．10

4．如图，现要用5种不同的颜色对某市的4个区县地图进行着色，要求有公共边的两个地区不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有(　　)

A．120种 B．180种

C．221种 D．300种

5．(2024·河南济、洛、平、许三模)有5名志愿者去定点帮扶3位困难老人，若要求每名志愿者都要帮扶且只帮扶一位老人，每位老人至多安排2名志愿者帮扶，则不同的安排方法共有(　　)

A．180种 B．150种

C．90种 D．60种

6．小明同学去文具店购买文具，现有四种不同样式的笔记本可供选择(可以有笔记本不被选择)，单价均为一元一本，小明只有8元钱且要求全部花完，则不同的选购方法共有(　　)

A．70种 B．165种

C．280种 D．1 860种

7．(2025·大同期初)某商场举办购物抽奖活动，其中将抽到的各位数字之和为8的四位数称为“幸运数”(如2 024是“幸运数”)，并获得一定的奖品，则首位数字为2的“幸运数”共有(　　)

A．32个 B．28个

C．27个 D．24个

二、多项选择题

8．(2024·镇江期初)小明、小华、小红、小兰四位同学分别到镇江的南山、焦山、北固山参观旅游，要求每位同学只去一个地方，每个地方至少安排一位同学参观，则下列说法正确的是(    )

A．若安排两位同学去焦山，则有12种安排方法

B．若安排小红和小兰去同一个地方参观，则有6种安排方法

C．若小华不去南山参观，则有24种安排方法

D．共有18种安排方法

9．现有4个小球和4个小盒子，下面的说法正确的是(     )

A．将4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，共有24种放法

B．将4个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，恰有两个空盒的放法共有18种

C．将4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，恰有一个空盒的放法共有144种

D．将编号为1，2，3，4的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，没有一个空盒但小球的编号和盒子的编号全不相同的放法共有9种

三、填空题

10．(2023·新高考Ⅰ卷)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有____种．(用数字作答)

11.7名同学坐圆桌吃饭，其中甲、乙相邻，则不同的排法种数为___．(只考虑左右人选，不考虑具体方位)

12．(2024·邢台一模)4名男生和2名女生随机站成一排，每名男生至少与另一名男生相邻，则不同的排法种数为____．

13．(2024·张家口一模)有5位大学生要分配到A，B，C三个单位实习，每位学生只能到一个单位实习，每个单位至少要接收一位学生实习，已知这5位学生中的甲同学分配在A单位实习，则这5位学生实习的不同分配方案有____种．(用数字作答)

14．(2024·永州三模)在2024年龙舟公开赛期间，一位热情好客的永州市民准备将9份一样的永州特产分给甲、乙、丙三名幸运观众，若每人至少分得一份，且甲、乙两人分得的份数不相同，则不同的分法有____种．

B组　滚动小练

15．(2024·安庆池州铜陵期初联考)(多选)已知x＝1为函数f(x)＝x2－3x－logax的极值点，则(参考数据：ln 2≈0.693 1)(　　)

A．f(x)在(0，1)上单调递减 B．f(x)的极小值为－2

C．f＞f(1) D．f＜f(1)

16．(2024·惠州一调)设等差数列{an}的公差为d，且d＝2a1，a5＝9．

(1) 求数列{an}的通项公式；

(2) 设数列{bn}满足a1b1＋a2b2＋…＋anbn＝3－，求{bn}的前n项和Sn．