计数原理 专项训练-2026届高三数学一轮复习

计数原理 A组　夯基精练 一、单项选择题 1．(2022·新高考Ⅱ卷)有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，则甲不站在两端，且丙和丁相邻的不同的排列方式有(　　) A．12种 B．24种 C．36种 D．48种 2．(2023·全国甲卷理)有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则恰有1人连续参加两天服务的选择种数为(　　) A．120 B．60 C．40 D．30 3．(2024·武汉2月调研)将3个相同的红球和3个相同的黑球装入三个不同的袋中，每袋均装2个球，则不同的装法种数为(　　) A．7 B．8 C．9 D．10 4．如图，现要用5种不同的颜色对某市的4个区县地图进行着色，要求有公共边的两个地区不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有(　　) A．120种 B．180种 C．221种 D．300种 5．(2024·河南济、洛、平、许三模)有5名志愿者去定点帮扶3位困难老人，若要求每名志愿者都要帮扶且只帮扶一位老人，每位老人至多安排2名志愿者帮扶，则不同的安排方法共有(　　) A．180种 B．150种 C．90种 D．60种 6．小明同学去文具店购买文具，现有四种不同样式的笔记本可供选择(可以有笔记本不被选择)，单价均为一元一本，小明只有8元钱且要求全部花完，则不同的选购方法共有(　　) A．70种 B．165种 C．280种 D．1 860种 7．(2025·大同期初)某商场举办购物抽奖活动，其中将抽到的各位数字之和为8的四位数称为“幸运数”(如2 024是“幸运数”)，并获得一定的奖品，则首位数字为2的“幸运数”共有(　　) A．32个 B．28个 C．27个 D．24个 二、多项选择题 8．(2024·镇江期初)小明、小华、小红、小兰四位同学分别到镇江的南山、焦山、北固山参观旅游，要求每位同学只去一个地方，每个地方至少安排一位同学参观，则下列说法正确的是( ) A．若安排两位同学去焦山，则有12种安排方法 B．若安排小红和小兰去同一个地方参观，则有6种安排方法 C．若小华不去南山参观，则有24种安排方法 D．共有18种安排方法 9．现有4个小球和4个小盒子，下面的说法正确的是( ) A．将4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，共有24种放法 B．将4个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，恰有两个空盒的放法共有18种 C．将4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，恰有一个空盒的放法共有144种 D．将编号为1，2，3，4的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，没有一个空盒但小球的编号和盒子的编号全不相同的放法共有9种 三、填空题 10．(2023·新高考Ⅰ卷)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有____种．(用数字作答) 11.7名同学坐圆桌吃饭，其中甲、乙相邻，则不同的排法种数为___．(只考虑左右人选，不考虑具体方位) 12．(2024·邢台一模)4名男生和2名女生随机站成一排，每名男生至少与另一名男生相邻，则不同的排法种数为____． 13．(2024·张家口一模)有5位大学生要分配到A，B，C三个单位实习，每位学生只能到一个单位实习，每个单位至少要接收一位学生实习，已知这5位学生中的甲同学分配在A单位实习，则这5位学生实习的不同分配方案有____种．(用数字作答) 14．(2024·永州三模)在2024年龙舟公开赛期间，一位热情好客的永州市民准备将9份一样的永州特产分给甲、乙、丙三名幸运观众，若每人至少分得一份，且甲、乙两人分得的份数不相同，则不同的分法有____种． B组　滚动小练 15．(2024·安庆池州铜陵期初联考)(多选)已知x＝1为函数f(x)＝x2－3x－logax的极值点，则(参考数据：ln 2≈0.693 1)(　　) A．f(x)在(0，1)上单调递减 B．f(x)的极小值为－2 C．f＞f(1) D．f＜f(1) 16．(2024·惠州一调)设等差数列{an}的公差为d，且d＝2a1，a5＝9． (1) 求数列{an}的通项公式； (2) 设数列{bn}满足a1b1＋a2b2＋…＋anbn＝3－，求{bn}的前n项和Sn． 1. B　【解析】 先利用捆绑法排乙、丙、丁、戊四人，再用插空法选甲的位置，则不同的排列方式有AAC＝24(种). 2. B　【解析】 不妨记五名志愿者为a，b，c，d，e，假设a连续参加了两天社区服务，再从剩余的4人中抽取2人各参加星期六与星期天的社区服务，共有A＝12(种)方法．同理，b，c，d，e连续参加了两天社区服务，也各有12种方法，所以恰有1人连续参加了两天社区服务的选择种数为5×12＝60. 3. A　【解析】 将3个红球分成3组，每组球的数量最多2个最少0个，则有(0，1，2)，(1，1，1)两种组合形式，当红球分组形式为(0，1，2)时，将红球放入三个不同的袋中有A＝6(种)放法，此时三个不同的袋中依次补充上黑球，使每个袋子中球的总个数为2个即可．当红球分组形式为(1，1，1)时，将红球放入三个不同的袋中有1种放法，此时三个不同的袋中依次补充上黑球，使每个袋子中球的总个数为2个即可．综上所述，将3个相同的红球和3个相同的黑球装入三个不同的袋中，每袋均装2个球，不同的装法种数为7. 4. B　【解析】 当Ⅰ，Ⅳ同色时，则Ⅰ有5种涂色方法，Ⅱ有4种涂色方法，Ⅲ有3种涂色方法，此时共有5×4×3×1＝60(种)涂色方法；当Ⅰ，Ⅳ不同色时，则Ⅰ有5种涂色方法，Ⅳ有4种涂色方法，Ⅱ有3种涂色方法，Ⅲ有2种涂色方法，此时共有5×4×3×2＝120(种)涂色方法．综上，共有60＋120＝180(种)不同的着色方法． 5. C　【解析】 由题意得，先将5名志愿者分成3组，只有2，2，1一种情况，有＝15(种)分组方法，再将3组志愿者分配给3位老人，则共有15A＝90(种)安排方法． 6. B　【解析】 问题等价转化为将8个完全相同的小球放入4个盒子里，允许有空盒．进一步转化为将12个完全相同的小球放入4个盒子里，每个盒子里至少有1个球．由隔板法可知，不同的选购方法有C＝165(种). 7. B　【解析】 依题意，首位数字为2的“幸运数”中其他三位数字的组合有以下七类：①“0，0，6”组合，有C种；②“0，1，5”组合，有A种；③“0，2，4”组合，有A种；④“0，3，3”组合，有C种；⑤“1，1，4”组合，有C种；⑥“1，2，3”组合，有A种；⑦“2，2，2”组合，有1种．由分类加法计数原理，得首位数字为2的“幸运数”共有3C＋3A＋1＝9＋18＋1＝28(个). 8. ABC　【解析】 对于A，安排两位同学去焦山，则有C×A＝6×2＝12(种)安排方法，故A正确．对于B，安排小红和小兰去同一个地方参观，则有A＝6(种)安排方法，故B正确．对于C，小华不去南山参观，若小华是1个人，则有C×C×A＝2×3×2＝12(种)安排方法；若小华和另一人一起，则有C×C×A＝12(种)安排方法，所以共有24种安排方法，故C正确．对于D，每位同学只去一个地方，每个地方至少安排一位同学参观，则有CA＝6×6＝36(种)安排方法，故D错误． 9. BCD　【解析】 若4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，共有44＝256(种)放法，故A错误；若4个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，且恰有两个空盒，则一个盒子放3个小球，另一个盒子放1个小球或两个盒子均放2个小球，共有C(A＋1)＝18(种)放法，故B正确；若4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，且恰有一个空盒，则两个盒子中各放1个小球，另一个盒子中放2个小球，共有C·＝144(种)放法，故C正确；编号为1，2，3，4的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，没有一个空盒但小球的编号和盒子的编号全不相同，若(2，1，4，3)代表编号为1，2，3，4的盒子放入的小球编号分别为2，1，4，3，则所有符合要求的情况为(2，1，4，3)，(4，1，2，3)，(3，1，4，2)，(2，4，1，3)，(3，4，1，2)，(4，3，1，2)，(2，3，4，1)，(3，4，2，1)，(4，3，2，1)，共9种放法，故D正确． 10. 64　【解析】 若从8门课中选修2门，则不同的选课方案共有CC＝16(种).若从8门课中选修3门，①体育类选修1门，则不同的选课方案共有CC＝24(种)；②体育类选修2门，则不同的选课方案共有CC＝24(种).综上，不同的选课方案共有16＋24＋24＝64(种). 11. 240　【解析】 将甲、乙看成一个整体，相当于6名同学坐圆桌吃饭，有A种排法，甲、乙两人可交换位置，故排法共有AA＝240(种). 12. 288　【解析】 4名男生先排，共有A＝24(种)排法，2名女生再排，共有2种排法，再将2名女生插空到男生中，若两名女生一起，可排在最左边、中间、最右边，共有3种排法；若两名女生分开排，则有C＝3(种)排法．所以一共有24×2×(3＋3)＝288(种)排法． 13. 50　【解析】 根据特殊元素“甲同学”分类讨论，当A单位只有甲时，其余四人分配到B，C，不同分配方案有CCA＋CC＝14(种)；当A单位不只有甲时，其余四人分配到A，B，C，不同分配方案有A＝36(种).所以共有14＋36＝50(种)不同分配方案． 14. 24　【解析】 将9份一样的永州特产分给甲、乙、丙三名幸运观众，每人至少分得一份，有C＝28(种)分法，而甲、乙两人分得的份数相同，可以都是1份、2份、3份、4份共4种分法，所以每人至少分得一份，且甲、乙两人分得的份数不相同的不同的分法总数为28－4＝24(种). 15. BCD　【解析】 f′(x)＝2x－3－，由题知f′(1)＝0，故ln a＝－1，所以a＝，f(x)＝x2－3x＋ln x，x>0.此时f′(x)＝＝，令f′(x)>0可得x∈或x∈(1，＋∞)；令f′(x)<0可得x∈.故f(x)在，(1，＋∞)上单调递增，在上单调递减．对于A，f(x)在上单调递增，在上单调递减，故A错误；对于B，f(x)的极小值为f(1)＝－2，故B正确；对于C，因为f(x)在上单调递减，所以f>f(1)，故C正确；对于D，f＝－－ln 4<－2＝f(1)，故D正确． 16. 【解答】 (1) 由题意，等差数列{an}的公差为d，且d＝2a1，a5＝9，即d＝2a1，a1＋4d＝9，解得a1＝1，d＝2，故an＝1＋2(n－1)＝2n－1，即数列{an}的通项公式为an＝2n－1. (2) 因为a1b1＋a2b2＋…＋anbn＝3－①，所以当n＝1时，a1b1＝，当n≥2时，a1b1＋a2b2＋…＋an－1bn－1＝3－②，①－②可得anbn＝，而a1b1＝也适合该式，故anbn＝.又an＝2n－1，所以bn＝，则数列{bn}是以为首项，为公比的等比数列，故Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝＝1－. 学科网（北京）股份有限公司 $