二项式定理及其应用 专项训练-2026届高三数学一轮复习
二项式定理及其应用
A组 夯基精练
一、单项选择题
1．(2024·广东大湾区二模)(2x－y)5的展开式中，x2y3的系数为( )
A．－10 B．10
C．－40 D．40
2．(2024·开封二模)若(2x－1)4＝a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则a0＋a2＋a4＝( )
A．－40 B．40
C．41 D．82
3．(2024·福州4月质检)(1－x)5(1＋2x)4的展开式中x2的系数为( )
A．－14 B．－6
C．34 D．74
4．(2024·烟台、德州二模)
展开式中x2y－2的系数为( )
A．－840 B．－420
C．420 D．840
5．(2024·温州二模)在(3－x)(1－x)5展开式中，x的奇数次幂的项的系数和为( )
A．－64 B．64
C．－32 D．32
6．(2024·武汉5月训练)若(1＋2x)10＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a10(1＋x)10，则a2＝( )
A．180 B．－180
C．－90 D．90
二、多项选择题
7．(2025·苏州期初)已知二项式
，则其展开式中( )
A．二项式系数最大的项为第3项
B．常数项为第5项
C．含x3的项为60x3
D．所有项的系数和为64
8．已知(x2＋x＋1)9＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a18x18，则下列说法正确的有( )
A．a0＝1
B．a2＝42
C．a2＋a4＋…＋a18＝
D．a1＋2a2＋3a3＋…＋18a18＝311
9．已知函数f(x)＝(4x－1)12＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a12x12，则( )
A．a3＝43×C
B．f(x)展开式中，二项式系数的最大值为C
C．a1＋a2＋a3＋…＋a12＝312
D．f(5)的个位数字是1
10．已知
(n∈N*)展开式中共有8项，则其展开式中( )
A．所有项的二项式系数和为128
B．所有项的系数和为1
C．系数最大项为第4项
D．有理项共有4项
三、填空题
11．(2023·天津卷)在
的展开式中含x2项的系数为____．
12．(2024·南通一调)已知(x－1)(x＋2)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则a2＝__8__，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝____．
13．(2024·聊城一模)设6299＝7n＋r，其中n∈N*，且0≤r＜7，则r＝____．
14．(2024·湖北宜荆荆随恩5月联考)已知(2x－1)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则a0＋a1＋2a2＋3a3＋…＋10a10＝____．
四、解答题
15． 已知
(n为正整数)．
(1) 若C
＋C
＋C
＋…＋C
＝64，求该式的展开式中所有项的系数之和；
(2) 若C＋C
＝465，求该式的展开式中无理项的个数；
(3) 若n＝20，求该式的展开式中系数最大的项．
B组 创新题体验
16．设a，b∈Z，a≠0．如果存在q∈Z使得b＝aq，那么就说b可被a整除(或a整除b)，记作a|b，且称b是a的倍数，a是b的约数(也可称为除数、因数)．b不能被a整除就记作ab．由整除的定义，不难得出整除的下面几条性质：①若a|b，b|c，则a|c；②a，b互质，若a|c，b|c，则ab|c；③若a|bi，则a|
cibi，其中ci∈Z，i＝1，2，3，…，n．
(1) 若数列{an}满足an＝2n－1，其前n项和为Sn，证明：279|S3 000；
(2) 若n为奇数，求证：an＋bn能被a＋b整除．