第5章 函数概念与性质全章高频重点题型突破（专项训练）数学苏教版必修第一册

第5章 函数概念与性质全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型一、同一函数的判断 题型二、求函数的定义域（含抽象函数） 题型三、求函数的值域 题型四、分段函数的图像与求值 题型五、求函数的解析式 题型六、函数单调性的判定 题型七、函数的最大值与最小值 题型八、函数奇偶性的判定 题型九、利用函数奇偶性求解析式与求值 核心提升：重难题型归纳 题型一、利用函数单调性解不等式 题型二、函数单调性与奇偶性的综合应用 题型三、恒成立与有解问题 题型四、抽象函数综合应用 题型五：函数新定义 题型专练：高频重难特训 题型一、同一函数的判断 1．（2026·高一·广东清远·阶段检测）下列各组函数中，表示同一个函数的一组是（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解析】对于A，函数定义域为，函数定义域为， 定义域不相同，不是同一函数，故A错误； 对于B，，， 对应关系不一致，不是同一函数，故B错误； 对于C，函数定义域为，函数定义域为， 定义域不相同，不是同一函数，故C错误； 对于D，因为， 此时函数与函数定义域相同，对应关系完全一致，是同一函数，故D正确. 2．（2026·高一·浙江湖州·阶段检测）下列各组函数是相等函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【解析】相等函数要求定义域和对应关系都相同，逐项比较. 对于A， 的定义域为 ， 的定义域为 ，且 ，两函数相等，故A正确； 对于B，，，对应关系不同，不相等，故B错误； 对于C， 的定义域不含 ， 的定义域为 ，不相等，故C错误； 对于D，，与 对应关系不同，不相等，故D错误. 3．（2026·高一·江苏无锡·阶段检测）下列各组函数中，表示同一函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【解析】对于A，与的定义域不同， 前者定义域为，后者为，故两者表示不同函数； 对于B，与的定义域不同， 前者定义域为，后者为，故两者表示不同函数； 对于C，，而， 前者定义域为，后者为，故两者表示不同函数； 对于D，，故的定义域相同，对应法则相同， 故两者为同一函数. 4．（2026·高一·陕西西安·阶段检测）下列四组函数中，表示同一函数的一组是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解析】A选项：，和的对应关系不同，所以不是同一函数. B选项：的定义域是R，的定义域是，定义域不同， 所以不是同一函数. C选项：有意义当且仅当，即定义域是， 有意义当且仅当或， 即定义域是，定义域不同，所以不是同一函数. D选项：的定义域是， 的定义域是，定义域和对应关系皆相同，是同一函数. 题型二、求函数的定义域（含抽象函数） 5．函数 的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】要使函数有意义，需 且 ，即 且 ， 故函数的定义域为 ． 6．（2026·高一·辽宁抚顺·期中）若函数的定义域为，则的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意知，所以. 因此，得，所以的定义域为. 7．（2026·高一·江苏淮安·阶段检测）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由的定义域为，由，可得， 对于函数,令，得， 所以函数的定义域为. 8．（2026·高一·四川达州·阶段检测）函数的定义域为，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，解得，由，解得． 而两条件同时成立，得，即定义域为，故A正确． 题型三、求函数的值域 9．（018限时小练13函数的概念高中数学必修第一册�RA）（1）已知的定义域为，求的定义域． （2）求下列函数的值域： ①； ②． 【解析】（1）在函数中，，则．因此在函数中，，解得，所以函数的定义域为． （2）①函数的定义域为，，当且仅当时，等号成立，所以函数的值域为． ②函数的定义域为，，当且仅当时，等号成立，所以函数的值域为． 10．（2026·高一·全国·期中）求下列函数的值域． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)（）． 【解析】（1）因为，所以．故值域为． （2）因为，且，所以，所以，故函数的值域为． （3）令，则，且， 所以（）．故函数的值域． （4），其中，， 当时，． 又因为，所以． 故函数的值域为． （5）因为，所以，所以， 当且仅当，即时，取等号，即取得最小值8． 故函数的值域为． 11．求下列函数的值域． (1)； (2)； (3). 【解析】（1）由于，且； 所以可得， 因此函数的值域是． （2）令，所以， 即， 当时，， 即函数的值域为. （3）易知需满足，即，即函数定义域为； ， 由二次函数性质可得， 所以的值域为． 12．求下列函数的值域： (1)，； (2)，； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)． 【解析】（1）（观察法）由，分别代入求值，可得函数的值域为． （2）（配方法），由，再结合函数的图像，可得函数的值域为． （3）（分离常数法）  ，因为，所以，所以故函数的值域为． （4）（换元法）  设，则，且， 所以，由，再结合函数的图像，可得函数的值域为． （5）因为，所以，当且仅当，即时，等号成立． 故函数的值域为． （6）因为，所以，令，则，当且仅当，即时，等号成立，所以，，故函数的值域为． （7）由知， 整理得． 当时，方程无解；当时，，即． 故所求函数的值域为． 题型四、分段函数的图像与求值 13．（2026·高一·浙江台州·阶段检测）已知函数， (1)将写成分段函数的形式，并作出函数的图象，并写出其单调区间及单调性(不用证明)； (2)写出不等式时x的解集. 【解析】（1）当时，，当时，，故. 图象如下图: 单调递增区间:;单调递减区间: （2）由图像可知不等式时x的解集. 14．（2026·高一·四川自贡·期中）已知函数 (1)画出函数的图象； (2)求的值； (3)写出函数的单调递增区间. 【解析】（1） （2）； （3）由(1)得到的图像可知，f(x)的单调递增区间为和. 15．（2026·高一·甘肃兰州·期中）已知函数. (1)在图中画出函数的大致图象； (2)写出函数的单调递减区间； (3)写出不等式的解集. 【解析】（1） 0 1 2 3 4 0 1 2 1 ∴的大致图象如图所示： （2）由图知：函数的单调递减区间为[2,4]. （3）由图知：不等式的解集为[1,4]. 16．（2026·高一·四川成都·阶段检测）已知函数. (1)画出函数的图像； (2)写出函数的单调区间并指明单调性（不用证明）； (3)当时，求函数的值域. 【解析】（1）由解析式有： 函数图象如下图示： （2）由图知：函数在上为增区间，在上为减区间； （3）由图知： 当时，， 当时，， 当时，， ∴当时，求函数的值域为. 题型五、求函数的解析式 17．（2026·高一·河南郑州·阶段检测）求下列函数的解析式： (1)已知 ，求函数 的解析式． (2)已知函数 对于任意 都有 ，求函数 的解析式． (3)已知函数 为二次函数，且 ，求 的解析式． 【解析】（1）令 ，则 ，，． ， （）． （2）　…① 把换成得　…② ①+②得，即， ． （3）设（）， 则， ， 由比较系数得 ，解得，，， ． 18．（1）已知，求的解析式． （2）已知是一次函数，并且，求． （3）函数满足方程，且，求． 【解析】（1）设，则，，且， 所以，. 用代替，得：，. （2）因为为一次函数，可设，. 所以， 又， 所以或. 所以或. （3）因为① 用代替，得② ①②得：，. 19．（2026·高一·安徽芜湖·期中）（1）已知为二次函数，且，求的解析式； （2）已知，求的解析式； （3）已知（），求的解析式. 【解析】（1）由题意，可设，. 由. 由， 所以. 所以. （2）设，则且. 所以，. 所以，. （3）因为①. 用代替，可得②. ①②得：，. 20．（2026·高一·黑龙江牡丹江·期中）（1）已知函数，求的值； （2）已知是一次函数，且，求的解析式； （3）已知函数满足，求函数的解析式. 【解析】（1）令，则.   （2）设， 则， 所以， 解得或， 所以或. （3）在已知等式中，将换成，得， 与已知方程联立，得， 解得. 题型六、函数单调性的判定 21．（2026·高一·江苏无锡·阶段检测）已知函数． (1)判断函数在上的单调性，并用定义法证明你的结论； (2)若，求t的取值范围． 【解析】（1）函数在上单调递增． 证明：任取且， 所以 ， 因为，所以，,,, 所以，即，故函数在上单调递增． （2）由（1）知，函数在上单调递增， 则，解得， 所以的取值范围是. 22．（2026·高一·天津津南·阶段检测）已知函数是定义在上的函数，且，. (1)求函数的解析式； (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明； (3)解关于的不等式：. 【解析】（1），由题意，得，故， 又，解得， 所以，. （2）在上是增函数， 证明：设是上任意两个实数且， ， 因为，所以， 所以，即， 所以在上是增函数； （3）由， 且在上是增函数，所以， 解得． 23．（2026·高一·河北·阶段检测）已知函数. (1)求的解析式； (2)试判断在上的单调性，并用单调性的定义证明. 【解析】（1）因为，所以. （2）在上单调递增. 证明：任取，且，则， 所以， 因为，所以，所以，所以， 又，所以，即， 所以在上单调递增. 24．（2026·高一·甘肃兰州·期末）已知二次函数. (1)当时，解不等式； (2)若在区间上单调递增，求实数的取值范围. 【解析】（1）当时， 不等式，即，即，解得或， 所以不等式的解集为； （2）因为在区间上单调递增， 则或，解得或， 所以实数的取值范围为. 题型七、函数的最大值与最小值 25．已知函数， (1)求的值域． (2)，求的最小值． (3)，求的值域． 【解析】（1）函数在上单调递减，所以，即，所以值域为. （2）函数在上单调递减，在上单调递增， 所以的最小值为. （3）函数在在上单调递增， 所以，即，所以值域为. 26．（2026·高一·天津滨海新区·阶段检测）已知函数，且满足，. (1)求函数的解析式； (2)判断在上的单调性，并用定义证明； (3)求函数在区间上的最值. 【解析】（1）由函数满足，， 可得，解得， 则. （2）在上单调递增，证明如下： 设任意，，且， 则 ， 由，可得， 又，，， 则， 即， 所以在上单调递增. （3）由（2）得函数在上单调递增. ，. 27．（2026·高一·上海·阶段检测）设函数. (1)求的单调区间； (2)求在区间的最大值和最小值. 【解析】（1）函数中，，即，解得， 函数在上单调递增，在上单调递减， 而函数在上单调递增， 所以的单调递增区间是，递减区间是. （2）由（1）知，函数在上单调递增，在上单调递减， 而，则， 所以在区间的最大值和最小值分别为. 28．（2026·高一·湖北黄石·阶段检测）已知函数. （1）求函数的单调区间和值域； （2）设，求函数的最大值的表达式. 【解析】（1）要使函数有意义，需满足， 解得 所以函数的定义域是. ∵，又， 所以的单调增区间为，单调减区间为 又， ∴， ∵ ∴， 即函数的值域为. （2）令， 则， 原函数转化为：， 令， 时函数的图像的对称轴方程为. ①当时，，函数在区间上递增， ∴. ②当时，， ③当时，， 若，即时，函数在区间上递减， ∴， 若，即时，， 若，即时，函数在区间上递增， ∴. 综上， 题型八、函数奇偶性的判定 29．判断下列函数的奇偶性 （1）； （2）； （3）； （4） 【解析】（1）定义域为， ， 所以是奇函数； （2）的定义域为，关于原点对称， ， 所以是偶函数； （3）的定义域为， ， 所以函数是奇函数； （4）定义域为，关于原点对称， ， 所以是奇函数. 所以（1）（3）（4是奇函数，（2）是偶函数. 30．（2026·高一·新疆克拉玛依·期末）已知． (1)用定义法求证在上单调递增； (2)判断并证明的奇偶性； (3)解不等式：． 【解析】（1） 任取，且， 则， 因为，且，可得， 所以，即， 所以在上单调递增. （2）函数为奇函数， 证明如下：由函数，可得其定义域为，关于原点对称， 且， 所以函数是定义域上的奇函数. （3）由得，所以或， 解得或,所以不等式的解集为. 31．（2026·高三·内蒙古巴彦淖尔·阶段检测）已知函数的图象经过点． (1)求的解析式； (2)探究的奇偶性； (3)求不等式的解集． 【解析】（1）把点的坐标分别代入中， 得； （2）显然函数的定义域为R，关于原点对称， 又， 所以函数是偶函数； （3）当时，函数单调递增，且， 所以此时函数单调递减， 因为函数是偶函数， 所以由 或， 因此原不等式的解集为. 32．判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3)． 【解析】（1）因为的定义域为，关于原点对称， 又， 所以为偶函数． （2）因为的定义域为，它关于原点对称， 又， 所以为奇函数． （3）由题设得：，所以函数定义域为，关于原点对称， 且，所以， 所以， 所以， 所以是奇函数． 题型九、利用函数奇偶性求解析式与求值 33．已知是定义在上的奇函数，当时，，求的解析式． 【解析】因为是定义在上的奇函数，所以． 因为当时，， 所以． 又因为奇函数在原点有意义，所以． 故． 34．已知函数为偶函数，求实数的值. 【解析】因函数为偶函数，且定义域为，则对于任意的，， 取，得， 从而. 当时，满足题设，故. 35．（2026·高一·广东汕头·期末）已知函数． (1)若为奇函数，求a的值； (2)试判断在内的单调性，并用定义证明． 【解析】（1）由已知，得，定义域为 因为是奇函数，所以， 即， 解得． （2）函数在内为增函数． 证明如下：任取，则． 因为，所以，， 所以，即． 所以函数在内是增函数． 36．（2026·高三·宁夏·阶段检测）函数，函数是定义在R上的奇函数，且当时，． (1)求和的值； (2)求函数在时的解析式． 【解析】（1）函数，则当时，，， 由函数是定义在R上的奇函数，得. （2）由（1）知当时，，又函数是定义在R上的奇函数， 所以当时，，. 题型一、利用函数单调性解不等式 1．已知函数是定义在上的减函数，且，求的取值范围. 【解析】∵ 是定义在上的减函数，且， ∴，解得. ∴的取值范围是. 2．（2026·高一·广东清远·期中）已知函数 (1)用定义法证明函数在区间上是增函数； (2)若函数的定义域为，且，求实数的取值范围. 【解析】（1） 任取，且，， 则 ， 又，，，则，， 所以，， 得到，即， 所以函数在区间上是增函数. （2）因为函数的定义域为， 且在区间上是增函数，由， 得到，解得或， 所以实数的取值范围为或. 3．（2026·高一·四川遂宁·阶段检测）已知函数 （1）判断函数在上的单调性，并用定义证明； （2）若，求实数的取值范围． 【解析】（1）函数f(x)在上为减函数，证明如下： 任取，且， 则 即， 所以函数f(x)在上为减函数； （2）由（1）得， 所以实数的取值范围. 4．（2026·高一·四川遂宁·阶段检测）已知函数， (1)用定义法证明函数在区间上是增函数； (2)若，求实数的取值范围． 【解析】（1） 任取，且， 则 ， 又，则， 所以，故， 得到，即， 所以函数在区间上是增函数． （2）因为函数是定义在区间上的增函数，由， 得到，解得或， 所以实数的取值范围为或 题型二、函数单调性与奇偶性的综合应用 5．（2026·高一·江苏无锡·阶段检测）已知函数是定义在上的奇函数，且． (1)求函数的解析式； (2)判断函数在区间上的单调性，并用定义法证明； (3)解关于实数的不等式. 【解析】（1）因为函数是定义在上的奇函数， 所以，即，则， 由，解得， 所以，故函数的解析式为. （2）函数在区间上单调递增，证明如下： 任取，且， 则， 因为，所以，， 所以，即， 因此函数在区间上单调递增. （3）由题意，函数是定义在上的奇函数， 则由，得， 即， 又函数是定义在区间上的单调递增函数， 所以，解得， 则关于实数的不等式的解集为. 6．（2026·高三·福建南平·阶段检测）已知函数是定义在上的奇函数，且． (1)确定函数的解析式； (2)解不等式． 【解析】（1）因为是定义在上的奇函数，且， 所以，即，解得，此时， 又因为，代入得，即，解得， 所以， 经检验，分母 恒成立，且，符合题意， 故函数的解析式为，定义域为. （2）任取 且，则， 因为且，所以，，且分母大于， 所以，即，故在上单调递增， 不等式 等价于， 因为为奇函数，所以，即， 又因为在上单调递增，所以， 解得， 所以不等式的解集为. 7．（2026·高一·北京昌平·期末）已知函数. (1)判断函数的奇偶性，并证明； (2)用函数单调性定义证明：函数在区间上是减函数； (3)若不等式成立，求实数的取值范围. 【解析】（1） 函数的定义域为. 因为， 所以函数为奇函数. （2）任取，且， . 因为，所以，， 所以，即， 所以函数在区间上是减函数. （3）根据奇函数的性质，不等式可变形为， 因为函数在区间上是减函数，， 所以，即，解得. 故实数的取值范围为. 8．（2026·高一·云南昆明·期中）已知函数是上的奇函数. (1)求的值，并用定义证明函数在上为增函数； (2)若，求实数的取值范围. 【解析】（1）因为函数是定义在上的奇函数． 所以，解得， 当时，， 则， 则函数是定义在上的奇函数，所以． 任取，且， 则， 因为，所以， 所以，即，故函数在上单调递增． （2）由题意，函数是定义在上的奇函数，且， 则， 因为函数在上单调递增， 则函数在上单调递增， 所以，则，解得， 所以的取值范围是． 题型三、恒成立与有解问题 9．（2026·高一·宁夏银川·期中）已知二次函数满足，； (1)求的解析式； (2)若存在，使得成立，求实数m的取值范围； (3)记： ①当的定义域为（）时，值域为，求实数c的取值范围； ②若，设函数在区间上的最小值为，求的表达式． 【解析】（1）因为为二次函数，故设； 因为，； 可得，解得； 则； （2）因为存在，使得， 则在上能成立，即； 令，则； 因为，的对称轴为； 故，故， 实数m的取值范围为； （3）由可得； ①因为的对称轴为，故在上单调递增； 当的定义域为（）时，值域为， 故，； 即方程有2个不相等的正根， 故，故； 综上实数c的取值范围为； ②由题意可知，函数在区间上的最小值为； 当，解得时，在区间上单调递减， 此时； 当，解得时，在区间上先减后增， 此时； 当时，在区间上单调递增， 此时； 综上． 10．（2026·高一·福建厦门·阶段检测）已知定义在上的函数满足． (1)求函数的解析式； (2)判断函数在上的单调性，并利用单调性定义证明； (3)任意，对任意，，都有，求实数的取值范围． 【解析】（1），得， 两式相加，得，得． （2）在单调递减，证明如下： 任意，设， ， 由，得，， ，且， ， 则，得， 则在单调递减． （3）由（2）可知在上单调递减，同理可证在上单调递增， ， ，， 任意，，都有， ， 所以，使得，， ，， 由在上单调递增可知， . 11．（2026·高一·天津津南·阶段检测）已知函数. (1)当时，求函数在上的最大值与最小值； (2)若在上是单调函数，求实数的取值范围； (3)若，恒成立，求实数的取值范围. 【解析】（1）当时，， 因，函数在上单调递减，在上单调递增， 且，， 故当时，函数取得最大值12；当时，函数取得最小值为3. （2），函数的对称轴为， 则函数的单调递减区间为，单调递增区间为， 因在上是单调函数，则有或， 即实数的取值范围为 （3）由，恒成立，即的解集为， 故有，解得， 即实数的取值范围为. 12．（2026·高一·广东韶关·阶段检测）已知函数． (1)若，求不等式的解集； (2)解关于x的不等式； (3)当时，若，对，，关于x的不等式恒成立，求实数m的取值范围． 【解析】（1）当时，，二次项系数小于，判别式 因此对任意均成立，不等式的解集为． （2）由，得即 当时，，故，解集为． 当时，原不等式化为，解集为． 当时，原不等式等价于 ①若，则，故或，解集为． ②若，则，原不等式等价于，解集为． ③若，则，故或，解集为． （3）因为，函数的图象开口向上，对称轴为，所以 又在上单调递减，所以 题设要求对任意、均有，等价于 解得，且符合． 所以的取值范围为． 题型四、抽象函数综合应用 13．（2026·高一·黑龙江大庆·阶段检测）函数的定义域为，且满足对任意，都有． (1)试判断的奇偶性并证明你的结论； (2)若在上是单调的，且满足，求不等式的解集． 【解析】（1）函数是偶函数. 证明：函数的定义域为，关于原点对称. 因为对任意，都有， 所以令，得； 用替换，得. 所以， 即. 所以函数是偶函数. （2）由题意知，，所以. 又在上是单调的，， 所以在上单调递增. 由（1）知，是偶函数，所以在上单调递减. 因为对任意，都有， 所以不等式， 所以， 由，得， 所以， 所以， 解得或. 所以不等式的解集为或或. 14．已知函数满足对任意的x，恒有，当时，， (1)判断并证明函数的奇偶性； (2)若不等式对任意，恒成立，求实数m的取值范围． 【解析】（1）函数是奇函数，证明： 令得，令，得， 所以函数是奇函数． （2）由（1）得，对任意的x，恒成立， 任取， 则， 由于当时，，所以，即， 所以是减函数， 则当时，， 所以对任意恒成立， 记函数， 由于函数图象为直线， 故只需满足且即可， 即， 解得 15．（2026·高一·河南信阳·期中）定义在非零实数集上的函数满足，且是区间上的递增函数． (1)求的值； (2)证明：函数是偶函数； (3)解不等式 【解析】（1）由，令，得，得， 令，得，解得. （2）因为的定义域为，， 令，得， 即，所以函数为偶函数． （3）不等式， 即， ， 由（2）知为偶函数，得， 又是区间上的递增函数， ，解得或， 所以不等式的解集为. 16．（2026·高一·福建厦门·期中）已知定义在上的函数满足对任意的实数、都有，且当时，，. (1)求，； (2)判断并证明的奇偶性； (3)解关于的不等式. 【解析】（1）由题设有，， . （2）为上的奇函数，证明如下： 令，则，故， 令，则，故， 故为上的奇函数. （3）为上的减函数，证明如下： 证明：，由题设有， 故，而，故， 故，即为上的减函数. 由题设有， 所以可化为： 即， 故，即， 若，则，不等式的解为或； 若，则，不等式的解为或； 若，则不等式的解为； 若，则，故不等式的解为； 若，则，故不等式的解为； 综上，若，不等式的解集为； 若，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为； 当时，，不等式的解集为； 当时，，不等式的解集为. 题型五：函数新定义 17．（2026·高一·贵州贵阳·阶段检测）设的定义域是，区间.若存在常数使得：，，都有，则称是区间上的函数.现有函数，其中，为常数. (1)若，判断是不是上的“函数”，并说明理由； (2)若是上的“函数”，求的值； (3)若，令在上的最大值为，且为“函数”，满足成立，求的取值范围. 【解析】（1）是，理由如下： 当时，， 当时，有成立， 当时，不等式恒成立，此时， 当时，有成立，即，等价于， 因为，所以， 即时，有成立，所以是上的“函数”. （2）当时，有成立， 当时，不等式恒成立，此时， 当时，有成立，即， 等价于，因为，所以， 即，解得，此时满足条件，所以. （3）当时，，可知函数对称轴为直线， 当，即时，函数在处取得最大值，此时， 当时，函数在处取得最大值，此时， 所以， 当在上为“函数”，即时，有成立， 由（2）可得在上恒成立，即成立， 当时，，即成立， 当时，可得，解得， 综上所述，当时，有成立，即的取值范围为 18．（2026·高三·江苏南通·开学考试）已知函数的定义域和值域均为．对于，定义集合． (1)若求； (2)若，总有，则称是对称集．证明：“是偶函数”的充要条件是“，是对称集”； (3)设，函数的定义域和值域均为，非空点集满足，总有，判断并证明的奇偶性． 【解析】（1）当时，，解得； 当时，，解得， 所以． （2）必要性：，则． 因为是偶函数，则，所以． 所以是对称集．     充分性：，记． 由，则，又是对称集， 所以，从而．     记， 由，则，又是对称集， 所以，从而．     所以． 所以是偶函数． （3）是偶函数，证明如下： 设，假设，不妨设． 因为函数的值域为， 所以存在，使得． 从而．     因此，所以． 则有． 又， 所以． 因此，所以． 则有，这与矛盾， 故假设不成立，即有， 所以是偶函数． 19．（2026·高一·上海杨浦·期末）已知为定义在实数集上的函数，把关于x的方程称为函数的“衍生”方程，记为函数的“衍生”方程的两个实根. (1)根据的值，讨论函数的奇偶性，并说明理由； (2)已知为给定实数，求的表达式； (3)把函数（）的最大值记作，最小值记作. （i）判断并证明函数（）的单调性； （ii）令，若恒成立，求的取值范围. 【解析】（1） 当 时，， 因为 ，所以 为奇函数， 当 时，，， 所以 ，， 所以 不是奇函数也不是偶函数， 综上，当时，函数为奇函数， 当时，函数即不是奇函数也不是偶函数； （2）因为方程 的两个实根为 、， 即方程 的两个实根为 、； ，所以 ，， ， ， ， （3）（i）函数 在 上是单调递增函数； 证明：任取 ， 则， 因为 ，所以 ，， 两式相加得 ， 又因为 ， 所以 ， 所以， 又因为，所以，所以， 所以函数 在 上是单调递增函数. （ii）由（i）知函数 在 上单调递增函数， 则 ， 因为 恒成立，即 恒成立， 所以 ， 因为 ，所以 ， 所以，即 故 的取值范围是 . 20．（2026·高一·山东济南·阶段检测）函数被称为小数距离函数，它的定义是指x与距离它自己最近的整数的距离，比如：是指2.7与距离它最近的整数3之间的距离，我们可以写成. (1)已知非负实数a，b满足，分别写出与的最小值和最大值. (2)已知，且在区间上有2025个解，求a的所有可能取值. (3)已知x为正实数，求的最大可能值. 【解析】（1）①不妨设，则， 则，最小值为0，最大值为1； 当时，，， 单调递增，， 当时，， ， ，在单调递减， ，， 所以的最小值为0，最大值为. （2），， 作出图像如图，可得为偶函数，周期为1，最大值为， 则图像如图，同样为偶函数，周期为， 在第一象限与交点如图， 若与的个周期，各有两个交点，且与个周期无交点时， 则与共有个交点， 当时，共有个交点， 当时，共有个交点，如图， 则要使且在区间上有2025个解，只能恰与有1个交点，即，. （3）由（2）得，周期为， 如图，总在最下方的图像，即， 当时，， 令，得， 即最大为， 当时取得. 1．如图，点在边长为1的正方形上运动，设点为的中点，当点沿运动时，点经过的路程设为，面积设为，则函数的图象只可能是下图中的（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当点在上时：； 当点在上时： ； 当点在上时：， 所以， 由函数解析式可知，有三段线段，又当点在上时是减函数， 故符合题意的为选项A. 2．（26-27高一上·福建厦门·阶段检测）函数的值域为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，其中即 故函数的定义域为， 由解析式可知函数在单调递增， 所以， 故的值域为. 3．（26-27高一上·山东济南·阶段检测）使函数 的定义域是 的一个必要不充分条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】要使函数定义域为，需 对任意 恒成立． ①当 时， 恒成立，符合； ②当 时，需 ，； ③当 时，二次函数开口向下，不可能恒正，舍去． 的定义域是的充要条件是 ，即 ． .取值范围相同，是充要条件； B.没有交集，既不充分也不必要条件; D.没有交集，既不充分也不必要条件； C.真包含， ，当时，推不出，充分性不成立， 能推出，必要性成立， 故是 的定义域是的必要不充分条件. 4．（25-26高一上·江苏宿迁·阶段检测）设函数的定义域为R，为偶函数，为奇函数，当时，且，若，则下列叙述中正确的个数有（     ） （1）的图象关于直线对称                  （2） （3）函数恰有3个零点              （4） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】因为为偶函数，所以，即，故的图象关于直线对称，（1）正确； 因为为奇函数，所以，即， 又因为的图象关于直线对称，所以，即，所以，所以是以4为周期的函数. 当时，且，所以，， 因为的图象关于点对称，所以，， 又因为，所以， 因为的图象关于直线对称，所以，即，解得，，（2）错误； 当时，，且的图象关于直线对称，关于点对称， 因为的值域为，所以当或时函数没有零点. 当时， ，又，，所以，， ，所以当时，. 由图可知，函数恰有3个零点，分别为，（3）正确； 因为周期为4，且，， ，，所以. （4）错误. 5．（26-27高一上·江苏淮安·阶段检测） “”是“函数的定义域为”的（    ）条件. A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 【答案】B 【解析】若函数的定义域为，则对任意恒成立， ①当时，不等式化为恒成立，满足题意； ②当时，若对任意恒成立， 则，解得：， 综上所述，若函数的定义域为，则的取值范围为：， 因为集合是集合的真子集， 所以“”是“函数的定义域为”的必要不充分条件. 6．（26-27高一上·山西太原·阶段检测）若命题：“，”为真命题，实数的取值范围（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设，因“，”， 则，因函数开口向上， 则，则. 7．（26-27高一上·江苏无锡·阶段检测）已知函数，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】是开口向上的二次函数，对称轴为，分三类讨论： 当即时，在上单调递增，，满足条件； 当即，，   满足条件； 当即时，在上单调递减，， 要满足，需即，故仅符合条件； 综上，实数的取值范围是. 8．（26-27高一上·辽宁沈阳·阶段检测）定义符号函数，设函数，其中，.若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】①当时，； ②当时，； ③当时，； 综上所述，，其图象如图所示： 结合图象，由可得， 当时，可得，解得； 当时，，不满足题意； 当时，可得，解得； 综上所得，实数的取值范围是. 9．（多选题）（26-27高一上·宁夏吴忠·期中）已知函数是定义在上的增函数，则的取值可以是 （ ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】因为分段函数在上是单调增函数，需要同时满足三个条件： ①当时，是单调递增函数，所以，得； ②当时，是单调递增函数； ③分段点处左侧函数值不大于右侧函数值： ，即. 综上，函数在上是单调增函数，则. 因为，，，，所以AC正确，BD错误. 10．（多选题）（26-27高一上·广东深圳·阶段检测）以下命题正确的是（     ） A．的最小值为2 B．若一次函数满足，则 C．函数的值域为 D．若函数，则对，，不等式恒成立 【答案】BCD 【解析】选项A：令，则，可化为， 由对勾函数的单调性可知：函数在上单调递增， 当时，，即原式的最小值为，选项A错误； 选项B：设一次函数， 则， 故，解得：，故， ，选项B正确； 选项C：令，则，. 原函数变形为， 这是开口向下的二次函数，对称轴为， 当时，， 当时，， 故函数的值域为，选项C正确； 选项D：对，，， ， ， 故不等式恒成立，选项D正确. 11．（多选题）（26-27高一上·广西桂林·阶段检测）已知函数 的定义域是 ，对任意的 ，，都有 ，当 时，，且 ，下列说法正确的是（　　） A． B．函数 在 上单调递增 C． D．满足不等式 的 的取值范围为 【答案】BCD 【解析】对于选项A，在中令得； 令得，即， 所以，则，故A错误； 对于选项B，把条件写成， 任取，则，所以 故在上单调递增，故B正确； 对于选项C，由，可得每两项和为，所以该和式为，故C正确； 对于选项D，， 由单调性得，结合解得，故D正确． 12．（26-27高一上·宁夏吴忠·期中）若函数在区间上不单调，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【解析】因为函数在区间上不单调， 当时，函数在区间上单调递减，不符合题意，舍去； 当时，函数是二次函数，对称轴为，且在区间上不单调， 所以，即，，，解得. 综上，实数的取值范围是. 13．（26-27高一上·广东珠海·阶段检测） 表示与中的较小者，设 ，则函数的最大值是______． 【答案】 【解析】由得，解得或， 当或 时，，此时 ， 当时，，此时， 又时 ，单调递增，此时最大值为， 当时，单调递增， 所以当时，， 当时，单调递减，所以当时，， 综上所述，，故的最大值为. 14．（26-27高一上·陕西西安·阶段检测）设命题：对任意，不等式恒成立，命题：存在，使得不等式成立，若、有且只有一个真命题，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】命题为真： ，对恒成立，左边最小值为， 所以，即，解得； 命题为真：存在 使， 因为 在上的最大值为，所以． ①真假：且，得； ②假真：或，且，得． 综上，. 15．（26-27高一上·河南新乡·阶段检测）已知函数是奇函数． (1)求； (2)设函数，判断在区间上的单调性，并用单调性的定义证明． 【解析】（1）因为为奇函数， 所以， 即恒成立， 所以． （2）在区间上单调递增，在区间上单调递减． 证明：因为，所以． 任取，，且，则 ．      当时，，，， 所以． 所以在区间上单调递增．      当时，，，， 所以．所以在区间上单调递减． 综上，在区间上单调递增，在区间上单调递减． 16．（25-26高一上·四川乐山·期中）二次函数满足且． (1)求的解析式； (2)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围． (3)令，函数在区间上的最小值为，最大值为，求． 【解析】（1）设，． 则． 从而，， 又， ， 又， ． （2）因为当时，不等式恒成立， 所以在上恒成立． 因为， 当且仅当，即时等号成立， 由于，所以在上单调递增， 所以在上， 所以. （3）根据题意，， 当时，函数在上单调递减， 所以，， 两式相减，得，代入解得， 所以区间为； 当时，函数在上单调递增， 所以，， 由于方程的两根为和， 而，故无解； 当时，函数在上先增后减， 则，所以， 此时， 所以，解得， 所以区间为， 综上所述，区间为或. 17．（26-27高一上·重庆沙坪坝·阶段检测）已知函数满足，. (1)求的解析式； (2)若对任意实数，恒成立，且存在实数使得，求实数的取值范围. 【解析】（1），令，则， 得，所以. （2），，即， 所以，， 判别式，得， ，，即， 存在x使之小于等于0，等价于判别式，得， 则有，得，即， 解得，即实数的取值范围为. 18．（26-27高一上·广东茂名·阶段检测）已知二次函数（）满足，． (1)求的解析式； (2)若函数在区间上的最小值为，求实数的值； 【解析】（1）因为，则， 所以， 又， 所以，得，，所以． （2），所以的图象开口向上，对称轴是． 当，即时，在上单调递增， ，得，满足题意； 当，即时，在上单调递减， ，得，满足题意； 当，即时，在上单调递减，上单调递增． ，得或，不满足题意． 综上所述，或． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第5章 函数概念与性质全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型一、同一函数的判断 题型二、求函数的定义域（含抽象函数） 题型三、求函数的值域 题型四、分段函数的图像与求值 题型五、求函数的解析式 题型六、函数单调性的判定 题型七、函数的最大值与最小值 题型八、函数奇偶性的判定 题型九、利用函数奇偶性求解析式与求值 核心提升：重难题型归纳 题型一、利用函数单调性解不等式 题型二、函数单调性与奇偶性的综合应用 题型三、恒成立与有解问题 题型四、抽象函数综合应用 题型五：函数新定义 题型专练：高频重难特训 题型一、同一函数的判断 1．（2026·高一·广东清远·阶段检测）下列各组函数中，表示同一个函数的一组是（ ） A．， B．， C．， D．， 2．（2026·高一·浙江湖州·阶段检测）下列各组函数是相等函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 3．（2026·高一·江苏无锡·阶段检测）下列各组函数中，表示同一函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 4．（2026·高一·陕西西安·阶段检测）下列四组函数中，表示同一函数的一组是（     ） A．， B．， C．， D．， 题型二、求函数的定义域（含抽象函数） 5．函数 的定义域是（    ） A． B． C． D． 6．（2026·高一·辽宁抚顺·期中）若函数的定义域为，则的定义域为（   ） A． B． C． D． 7．（2026·高一·江苏淮安·阶段检测）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 8．（2026·高一·四川达州·阶段检测）函数的定义域为，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 题型三、求函数的值域 9．（018限时小练13函数的概念高中数学必修第一册�RA）（1）已知的定义域为，求的定义域． （2）求下列函数的值域： ①； ②． 10．（2026·高一·全国·期中）求下列函数的值域． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)（）． 11．求下列函数的值域． (1)； (2)； (3). 12．求下列函数的值域： (1)，； (2)，； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)． 题型四、分段函数的图像与求值 13．（2026·高一·浙江台州·阶段检测）已知函数， (1)将写成分段函数的形式，并作出函数的图象，并写出其单调区间及单调性(不用证明)； (2)写出不等式时x的解集. 14．（2026·高一·四川自贡·期中）已知函数 (1)画出函数的图象； (2)求的值； (3)写出函数的单调递增区间. 15．（2026·高一·甘肃兰州·期中）已知函数. (1)在图中画出函数的大致图象； (2)写出函数的单调递减区间； (3)写出不等式的解集. 16．（2026·高一·四川成都·阶段检测）已知函数. (1)画出函数的图像； (2)写出函数的单调区间并指明单调性（不用证明）； (3)当时，求函数的值域. 题型五、求函数的解析式 17．（2026·高一·河南郑州·阶段检测）求下列函数的解析式： (1)已知 ，求函数 的解析式． (2)已知函数 对于任意 都有 ，求函数 的解析式． (3)已知函数 为二次函数，且 ，求 的解析式． 18．（1）已知，求的解析式． （2）已知是一次函数，并且，求． （3）函数满足方程，且，求． 19．（2026·高一·安徽芜湖·期中）（1）已知为二次函数，且，求的解析式； （2）已知，求的解析式； （3）已知（），求的解析式. 20．（2026·高一·黑龙江牡丹江·期中）（1）已知函数，求的值； （2）已知是一次函数，且，求的解析式； （3）已知函数满足，求函数的解析式. 题型六、函数单调性的判定 21．（2026·高一·江苏无锡·阶段检测）已知函数． (1)判断函数在上的单调性，并用定义法证明你的结论； (2)若，求t的取值范围． 22．（2026·高一·天津津南·阶段检测）已知函数是定义在上的函数，且，. (1)求函数的解析式； (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明； (3)解关于的不等式：. 23．（2026·高一·河北·阶段检测）已知函数. (1)求的解析式； (2)试判断在上的单调性，并用单调性的定义证明. 24．（2026·高一·甘肃兰州·期末）已知二次函数. (1)当时，解不等式； (2)若在区间上单调递增，求实数的取值范围. 题型七、函数的最大值与最小值 25．已知函数， (1)求的值域． (2)，求的最小值． (3)，求的值域． 26．（2026·高一·天津滨海新区·阶段检测）已知函数，且满足，. (1)求函数的解析式； (2)判断在上的单调性，并用定义证明； (3)求函数在区间上的最值. 27．（2026·高一·上海·阶段检测）设函数. (1)求的单调区间； (2)求在区间的最大值和最小值. 28．（2026·高一·湖北黄石·阶段检测）已知函数. （1）求函数的单调区间和值域； （2）设，求函数的最大值的表达式. 题型八、函数奇偶性的判定 29．判断下列函数的奇偶性 （1）； （2）； （3）； （4） 30．（2026·高一·新疆克拉玛依·期末）已知． (1)用定义法求证在上单调递增； (2)判断并证明的奇偶性； (3)解不等式：． 31．（2026·高三·内蒙古巴彦淖尔·阶段检测）已知函数的图象经过点． (1)求的解析式； (2)探究的奇偶性； (3)求不等式的解集． 32．判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3)． 题型九、利用函数奇偶性求解析式与求值 33．已知是定义在上的奇函数，当时，，求的解析式． 34．已知函数为偶函数，求实数的值. 35．（2026·高一·广东汕头·期末）已知函数． (1)若为奇函数，求a的值； (2)试判断在内的单调性，并用定义证明． 36．（2026·高三·宁夏·阶段检测）函数，函数是定义在R上的奇函数，且当时，． (1)求和的值； (2)求函数在时的解析式． 题型一、利用函数单调性解不等式 1．已知函数是定义在上的减函数，且，求的取值范围. 2．（2026·高一·广东清远·期中）已知函数 (1)用定义法证明函数在区间上是增函数； (2)若函数的定义域为，且，求实数的取值范围. 3．（2026·高一·四川遂宁·阶段检测）已知函数 （1）判断函数在上的单调性，并用定义证明； （2）若，求实数的取值范围． 4．（2026·高一·四川遂宁·阶段检测）已知函数， (1)用定义法证明函数在区间上是增函数； (2)若，求实数的取值范围． 题型二、函数单调性与奇偶性的综合应用 5．（2026·高一·江苏无锡·阶段检测）已知函数是定义在上的奇函数，且． (1)求函数的解析式； (2)判断函数在区间上的单调性，并用定义法证明； (3)解关于实数的不等式. 6．（2026·高三·福建南平·阶段检测）已知函数是定义在上的奇函数，且． (1)确定函数的解析式； (2)解不等式． 7．（2026·高一·北京昌平·期末）已知函数. (1)判断函数的奇偶性，并证明； (2)用函数单调性定义证明：函数在区间上是减函数； (3)若不等式成立，求实数的取值范围. 8．（2026·高一·云南昆明·期中）已知函数是上的奇函数. (1)求的值，并用定义证明函数在上为增函数； (2)若，求实数的取值范围. 题型三、恒成立与有解问题 9．（2026·高一·宁夏银川·期中）已知二次函数满足，； (1)求的解析式； (2)若存在，使得成立，求实数m的取值范围； (3)记： ①当的定义域为（）时，值域为，求实数c的取值范围； ②若，设函数在区间上的最小值为，求的表达式． 10．（2026·高一·福建厦门·阶段检测）已知定义在上的函数满足． (1)求函数的解析式； (2)判断函数在上的单调性，并利用单调性定义证明； (3)任意，对任意，，都有，求实数的取值范围． 11．（2026·高一·天津津南·阶段检测）已知函数. (1)当时，求函数在上的最大值与最小值； (2)若在上是单调函数，求实数的取值范围； (3)若，恒成立，求实数的取值范围. 12．（2026·高一·广东韶关·阶段检测）已知函数． (1)若，求不等式的解集； (2)解关于x的不等式； (3)当时，若，对，，关于x的不等式恒成立，求实数m的取值范围． 题型四、抽象函数综合应用 13．（2026·高一·黑龙江大庆·阶段检测）函数的定义域为，且满足对任意，都有． (1)试判断的奇偶性并证明你的结论； (2)若在上是单调的，且满足，求不等式的解集． 14．已知函数满足对任意的x，恒有，当时，， (1)判断并证明函数的奇偶性； (2)若不等式对任意，恒成立，求实数m的取值范围． 15．（2026·高一·河南信阳·期中）定义在非零实数集上的函数满足，且是区间上的递增函数． (1)求的值； (2)证明：函数是偶函数； (3)解不等式 16．（2026·高一·福建厦门·期中）已知定义在上的函数满足对任意的实数、都有，且当时，，. (1)求，； (2)判断并证明的奇偶性； (3)解关于的不等式. 题型五：函数新定义 17．（2026·高一·贵州贵阳·阶段检测）设的定义域是，区间.若存在常数使得：，，都有，则称是区间上的函数.现有函数，其中，为常数. (1)若，判断是不是上的“函数”，并说明理由； (2)若是上的“函数”，求的值； (3)若，令在上的最大值为，且为“函数”，满足成立，求的取值范围. 18．（2026·高三·江苏南通·开学考试）已知函数的定义域和值域均为．对于，定义集合． (1)若求； (2)若，总有，则称是对称集．证明：“是偶函数”的充要条件是“，是对称集”； (3)设，函数的定义域和值域均为，非空点集满足，总有，判断并证明的奇偶性． 19．（2026·高一·上海杨浦·期末）已知为定义在实数集上的函数，把关于x的方程称为函数的“衍生”方程，记为函数的“衍生”方程的两个实根. (1)根据的值，讨论函数的奇偶性，并说明理由； (2)已知为给定实数，求的表达式； (3)把函数（）的最大值记作，最小值记作. （i）判断并证明函数（）的单调性； （ii）令，若恒成立，求的取值范围. 20．（2026·高一·山东济南·阶段检测）函数被称为小数距离函数，它的定义是指x与距离它自己最近的整数的距离，比如：是指2.7与距离它最近的整数3之间的距离，我们可以写成. (1)已知非负实数a，b满足，分别写出与的最小值和最大值. (2)已知，且在区间上有2025个解，求a的所有可能取值. (3)已知x为正实数，求的最大可能值. 1．如图，点在边长为1的正方形上运动，设点为的中点，当点沿运动时，点经过的路程设为，面积设为，则函数的图象只可能是下图中的（    ） A． B． C． D． 2．（26-27高一上·福建厦门·阶段检测）函数的值域为（     ） A． B． C． D． 3．（26-27高一上·山东济南·阶段检测）使函数 的定义域是 的一个必要不充分条件是（　　） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·江苏宿迁·阶段检测）设函数的定义域为R，为偶函数，为奇函数，当时，且，若，则下列叙述中正确的个数有（     ） （1）的图象关于直线对称                  （2） （3）函数恰有3个零点              （4） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（26-27高一上·江苏淮安·阶段检测） “”是“函数的定义域为”的（    ）条件. A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 6．（26-27高一上·山西太原·阶段检测）若命题：“，”为真命题，实数的取值范围（     ） A． B． C． D． 7．（26-27高一上·江苏无锡·阶段检测）已知函数，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 8．（26-27高一上·辽宁沈阳·阶段检测）定义符号函数，设函数，其中，.若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（多选题）（26-27高一上·宁夏吴忠·期中）已知函数是定义在上的增函数，则的取值可以是 （ ） A． B． C． D． 10．（多选题）（26-27高一上·广东深圳·阶段检测）以下命题正确的是（     ） A．的最小值为2 B．若一次函数满足，则 C．函数的值域为 D．若函数，则对，，不等式恒成立 11．（多选题）（26-27高一上·广西桂林·阶段检测）已知函数 的定义域是 ，对任意的 ，，都有 ，当 时，，且 ，下列说法正确的是（　　） A． B．函数 在 上单调递增 C． D．满足不等式 的 的取值范围为 12．（26-27高一上·宁夏吴忠·期中）若函数在区间上不单调，则实数的取值范围是___________． 13．（26-27高一上·广东珠海·阶段检测） 表示与中的较小者，设 ，则函数的最大值是______． 14．（26-27高一上·陕西西安·阶段检测）设命题：对任意，不等式恒成立，命题：存在，使得不等式成立，若、有且只有一个真命题，则实数的取值范围是______． 15．（26-27高一上·河南新乡·阶段检测）已知函数是奇函数． (1)求； (2)设函数，判断在区间上的单调性，并用单调性的定义证明． 16．（25-26高一上·四川乐山·期中）二次函数满足且． (1)求的解析式； (2)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围． (3)令，函数在区间上的最小值为，最大值为，求． 17．（26-27高一上·重庆沙坪坝·阶段检测）已知函数满足，. (1)求的解析式； (2)若对任意实数，恒成立，且存在实数使得，求实数的取值范围. 18．（26-27高一上·广东茂名·阶段检测）已知二次函数（）满足，． (1)求的解析式； (2)若函数在区间上的最小值为，求实数的值； 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $