数据分析——列联表与独立性检验 专项训练-2026届高三数学一轮复习

数据分析——列联表与独立性检验 附：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d． α 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 一、单项选择题 1．下列关于独立性检验的说法正确的是(　　) A．独立性检验是对两个变量是否具有线性相关关系的一种检验 B．独立性检验可以100%确定两个变量之间是否具有某种关系 C．利用χ2独立性检验推断吸烟与患肺病的关联，若有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，则我们可以说在100个吸烟的人中，有99人患肺病 D．对于独立性检验，随机变量χ2的值越小，判定“两变量有关系”犯错误的概率越大 2．某校为了研究“学生的性别”与“对待某一活动的态度”是否有关，运用2×2列联表进行独立性检验，经计算χ2＝7.069，则认为“学生性别”与“对待某一活动的态度”有关系的犯错误的概率不超过(　　) A．0.1% B．1% C．0.5% D．0.25% 3．(2024·枣庄一模)某儿童医院用甲、乙两种疗法治疗小儿消化不良．采用有放回简单随机抽样的方法对治疗情况进行检查，得到两种疗法治疗数据的列联表： 疗法 疗效 合计 未治愈 治愈 甲 15 52 67 乙 6 63 69 合计 21 115 136 经计算得到χ2≈4.881，根据小概率值α＝0.005的独立性检验，则可以认为(　　) A．两种疗法的效果存在差异 B．两种疗法的效果存在差异，这种判断犯错误的概率不超过0.005 C．两种疗法的效果没有差异 D．两种疗法的效果没有差异，这种判断犯错误的概率不超过0.005 4．(2024·临汾二模)人生因阅读而气象万千，人生因阅读而精彩纷呈．腹有诗书气自华，读书有益于开阔眼界、提升格局；最是书香能致远，书海中深蕴着灼热的理想信仰、炽热的国家情怀．对某校高中学生的读书情况进行了调查，结果如下： 喜欢读书 不喜欢读书 合计 男生 260 60 320 女生 200 m m＋200 合计 460 m＋60 m＋520 根据小概率值α＝0.001的独立性检验，推断是否喜欢阅读与性别有关，则m的值可以为(　　) A．10 B．20 C．30 D．40 二、多项选择题 5．某中学为了解性别因素是否对本校学生体育锻炼的经常性有影响，从本校所有学生中随机调查了50名男生和50名女生，得到如下列联表： 经常锻炼 不经常锻炼 男 40 10 女 30 20 经计算χ2≈4.762，则可以推断出(　　) A．该学校男生中经常体育锻炼的概率的估计值为 B．该学校男生比女生更经常锻炼 C．有95%的把握认为男、女生在体育锻炼的经常性方面有差异 D．有99%的把握认为男、女生在体育锻炼的经常性方面有差异 6．(2024·南昌二模)为了解中学生喜爱足球运动与性别是否有关，甲、乙两校的课题组分别随机抽取了本校部分学生进行调查，得到如下两个表格： 甲校样本 喜爱足球运动 不喜爱足球运动 合计 男性 15 5 20 女性 8 12 20 合计 23 17 40 乙校样本 喜爱足球运动 不喜爱足球运动 合计 男性 70 30 100 女性 45 55 100 合计 115 85 200 则下列判断中正确的是(　　) A．样本中，甲校男学生喜爱足球运动的比例高于乙校男学生喜爱足球运动的比例 B．样本中，甲校女学生喜爱足球运动的比例高于乙校女学生喜爱足球运动的比例 C．根据甲校样本有99%的把握认为中学生喜爱足球运动与性别有关 D．根据乙校样本有99%的把握认为中学生喜爱足球运动与性别有关 7．(2024·湖北八市3月联考)某校为了解高一新生对数学是否感兴趣，从400名女生和600名男生中通过分层随机抽样的方式随机抽取100名学生进行问卷调查，根据调查的结果得到如下等高堆积条形图和列联表，则(　　) 性别 数学兴趣 合计 感兴趣 不感兴趣 女生 a b a＋b 男生 c d c＋d 合计 a＋c b＋d 100 参考数据：本题中χ2≈3.94． A．表中a＝12，c＝30 B．可以估计该校高一新生中对数学不感兴趣的女生人数比男生多 C．根据小概率值α＝0.05的χ2独立性检验，可以认为性别与对数学的兴趣有差异 D．根据小概率值α＝0.01的χ2独立性检验，可以认为性别与对数学的兴趣没有差异 三、填空题 8．下表是对于“喜欢运动”与性别是否有关的2×2列联表，依据表中的数据，得到χ2≈____(结果保留到小数点后3位)． 喜欢运动 不喜欢运动 合计 男 40 28 68 女 5 12 17 合计 45 40 85 9．某种疾病可分为A，B两种类型，为了解该疾病的类型与患者性别是否相关，在某地区随机抽取了若干名该疾病的患者进行调查，发现女性患者人数是男性患者的2倍，男性患A型疾病的人数占男性患者的，女性患A型疾病的人数占女性患者的．若本次调查得出“在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为‘所患疾病类型’与‘性别’有关”的结论，则被调查的男性患者至少有___人． 四、解答题 10．(2024·保定二模)某青少年跳水队共有100人，在强化训练前、后，教练组对他们进行了成绩测试，分别得到如图(1)所示的强化训练前的频率分布直方图，如图(2)所示的强化训练后的频率分布直方图． 图(1) 图(2) (1) 根据图中数据，估计强化训练后的平均成绩(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)与成绩的中位数(中位数精确到0.01)； (2) 我们规定得分80分以上(含80分)的为“优秀”，低于80分的为“非优秀”． 优秀人数 非优秀人数 合计 强化训练前 强化训练后 合计 将上面的表格补充完整，依据小概率值α＝0.005的独立性检验，能否据此推断跳水运动员是否优秀与强化训练有关？ 11．某校为调研学生对新开设劳动课程的满意度并不断改进劳动教育，该校从2023年1月到10月每两个月从全校3 000名学生中随机抽取150名学生进行问卷调查，统计数据如下表． 月份x 2 4 6 8 10 满意人数y 80 95 100 105 120 (1) 由表中数据可以看出，可用线性回归模型拟合满意人数y与月份x之间的关系，求y关于x的经验回归方程＝x＋，并预测12月份该校全体学生中对劳动课程满意的人数； (2) 10月份时，该校为进一步深化劳动教育改革，了解不同性别的学生对劳动课程是否满意，经调研得如下统计表： 满意 不满意 合计 男生 65 10 75 女生 55 20 75 合计 120 30 150 请根据上表判断是否有95%的把握认为该校的学生对劳动课程是否满意与性别有关． 1. D　【解析】 对于A，独立性检验是通过卡方计算来判断两个变量存在关联的可能性的一种方法，并非检验二者是不是线性相关，故A错误；对于B，独立性检验并不能100%确定两个变量相关，故B错误；对于C，99%是指“吸烟”和“患肺病”存在关联的可能性，并非吸烟的人中患肺病的发病率，故C错误；对于D，根据χ2计算的定义可知D正确． 2. B　【解析】 因为χ2＝7.069>6.635＝x0.01，所以认为“学生性别”与“对待某一活动的态度”有关系的犯错误的概率不超过1%. 3. C　【解析】 零假设为H0：疗法与疗效独立，即两种疗法效果没有差异．根据列联表中的数据，χ2≈4.881<7.879＝x0.005，根据小概率值α＝0.005的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，因此可以认为H0成立，即认为两种疗法效果没有差异． 4. A　【解析】 根据列联表可知a＝260，b＝60，c＝200，d＝m，则n＝a＋b＋c＋d＝520＋m，由公式χ2＝＝＝，即根据小概率值α＝0.001的独立性检验，推断是否喜欢阅读与性别有关，则根据α＝0.001可知只需χ2>10.828即可，即>10.828即可．当m＝10时，≈21.642>10.828，满足题意，故m可取10；当m＝20时，≈9.638<10.828，不满足题意；当m＝30时，≈3.184<10.828，不满足题意；当取m＝40时，≈0.406<10.828，不满足题意． 5. BC　【解析】 对于A，该学校男生中经常体育锻炼的概率的估计值为＝，故A错误；对于B，经常体育锻炼的概率的估计值：男生为＝，女生为＝，故B正确；对于C，χ2≈4.762>3.841，故有95%的把握认为男、女生在体育锻炼的经常性方面有差异，故C正确；对于D，χ2≈4.762<6.635，故没有99%的把握认为男、女生在体育锻炼的经常性方面有差异，故D错误． 6. AD　【解析】 对于A，甲校男学生喜爱足球运动的比例为＝，乙校男学生喜爱足球运动的比例为＝<，即甲校男学生喜爱足球运动的比例高于乙校男学生喜爱足球运动的比例，故A正确；对于B，甲校女学生喜爱足球运动的比例为＝，乙校女学生喜爱足球运动的比例为＝>，即甲校女学生喜爱足球运动的比例低于乙校女学生喜爱足球运动的比例，故B错误；对于C，甲校中χ2＝≈5.013<6.635，所以根据甲校样本没有99%的把握认为中学生喜爱足球运动与性别有关，故C错误；对于D，乙校中χ2＝≈12.788>6.635，所以根据乙校样本有99%的把握认为中学生喜爱足球运动与性别有关，故D正确． 7. ACD　【解析】 由题可知，抽取男生人数为600×＝60，抽取女生人数为400×＝40．由等高堆积条形图知，抽取的男生中感兴趣的人数为60×0.5＝30，抽取的男生中不感兴趣的人数为60×0.5＝30，抽取的女生中感兴趣的人数为40×0.3＝12，抽取的女生中不感兴趣的人数为40×0.7＝28，作出2×2列联表如下： 性别 数学兴趣 合计 感兴趣 不感兴趣 女生 12 28 40 男生 30 30 60 合计 42 58 100 由此表可知，a＝12，c＝30，故A正确；女生不感兴趣的人数约为400×＝280(人)，男生不感兴趣的人数约为600×＝300(人)，所以估计该校高一新生中对数学不感兴趣的女生人数比男生少，故B错误；零假设为H0：性别与对数学的兴趣没有差异，χ2≈3.94＞3.841，依据小概率值α＝0.05的独立性检验，有充分证据推断H0不成立，因此可以认为不成立，即可以认为性别与对数学的兴趣有差异，故C正确；零假设为H0：性别与对数学的兴趣没有差异，χ2≈3.94＜6.635，依据小概率值α＝0.01的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，因此可以认为成立，即可以认为性别与对数学的兴趣没有差异，故D正确． 8. 4.722　【解析】 χ2＝≈4.722. 9. 12　【解析】 设男性患者有x人，则女性患者有2x人，得 2×2列联表如下： A型病 B型病 总计 男 x 女 2x 总计 3x 零假设为H0：患者所患疾病类型与性别之间无关联．根据列联表中的数据，经计算得到χ2＝＝，要使在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“所患疾病类型”与“性别”有关，则>7.879，解得x>11.818 5.因为∈Z，∈Z，所以x的最小整数值为12，因此，被调查的男性患者至少有12人． 10. 【解答】 (1) 强化训练后的平均成绩约为55×0.04＋65×0.16＋75×0.2＋85×0.32＋95×0.28＝81.4.由于前三列概率之和为0.04＋0.16＋0.2＝0.4，设中位数为80＋x，则0.032x＝0.1，解得x＝3.125，所以中位数约为83.13. (2) 零假设为H0：跳水运动员是否优秀与强化训练无关．补充完整的2×2列联表如下： 优秀人数 非优秀人数 合计 强化训练前 40 60 100 强化训练后 60 40 100 合计 100 100 200 则χ2＝＝8>7.879＝x0.005，根据小概率值α＝0.005的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为跳水运动员是否优秀与强化训练有关，此推断犯错误的概率不大于0.005. 11. 【解答】 (1) 由题意可得x＝(2＋4＋6＋8＋10)÷5＝6，y＝(80＋95＋100＋105＋120)÷5＝100，则(xi－x)(yi－y)＝(2－6)×(80－100)＋(4－6)×(95－100)＋(6－6)×(100－100)＋(8－6)×(105－100)＋(10－6)×(120－100)＝80＋10＋0＋10＋80＝180，(xi－x)2＝(2－6)2＋(4－6)2＋(6－6)2＋(8－6)2＋(10－6)2＝16＋4＋0＋4＋16＝40，可得b∧＝＝＝，a∧＝100－×6＝73，故y关于x的经验回归方程为y∧＝x＋73.令x＝12，得y∧＝127，据此预测12月份该校全体学生中对劳动课程满意的人数为3 000×＝2 540. (2) 零假设为H0：该校的学生对劳动课程是否满意与性别无关，根据列联表得χ2＝＝≈4.167>3.841＝x0.05，所以根据小概率值α＝0.05的独立性检验，推断H0不成立，即有95%的把握认为该校的学生对劳动课程是否满意与性别有关． 学科网（北京）股份有限公司 $