直线与圆、圆与圆的位置关系 专项训练-2026届高三数学一轮复习

直线与圆、圆与圆的位置关系 A组　夯基精练 一、单项选择题 1．若直线x－2y＝0与圆(x－4)2＋y2＝r2(r＞0)相切，则r＝(　　) A． B．5 C． D．25 2．(2024·石家庄三模)已知圆C1：x2＋y2＝1和圆C2：x2＋y2－6x－8y＋9＝0，则两圆公切线的条数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 3．(2024·全国甲卷)已知b是a，c的等差中项，直线ax＋by＋c＝0与圆x2＋y2＋4y－1＝0交于A，B两点，则|AB|的最小值为(　　) A．2 B．3 C．4 D．2 4．(2024·苏锡常镇一调)莱莫恩(Lemoine)定理指出：过△ABC的三个顶点A，B，C作它的外接圆的切线，分别和BC，CA，AB所在直线交于点P，Q，R，则P，Q，R三点在同一条直线上，这条直线被称为三角形的Lemoine线．在平面直角坐标系xOy中，若三角形的三个顶点坐标分别为A(0,1)，B(2,0)，C(0，－4)，则该三角形的Lemoine线的方程为(　　) A．2x－3y－2＝0 B．2x＋3y－8＝0 C．3x＋2y－22＝0 D．2x－3y－32＝0 二、多项选择题 5．(2024·郑州三模)已知直线l：ax＋by＋1＝0(a，b不同时为0)，圆C：x2＋y2－2x＝0，则(　　) A．当b2－2a＝1时，直线l与圆C相切 B．当a＋b＝－2时，直线l与圆C不可能相交 C．当a＝1，b＝－1时，与圆C外切且与直线l相切的动圆圆心的轨迹是一条抛物线 D．当a＝1，b＝－1时，直线l与坐标轴相交于A，B两点，则圆C上存在点P满足·＝0 6．(2024·连云港、如皋联考)已知圆C1：x2＋y2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y＋4)2＝r2(r＞0)，P，Q分别是圆C1与圆C2上的动点，则(　　) A．若圆C1与圆C2无公共点，则0＜r＜4 B．当r＝5时，两圆公共弦所在直线方程为6x－8y－1＝0 C．当r＝2时，|PQ|的取值范围为[2,8] D．当r＝3时，过点P作圆C2的两条切线，切点分别为A，B，则∠APB不可能等于 三、填空题 7．(2024·邢台一模)已知a＞0，过点A(a，a)恰好只有一条直线与圆E：x2＋y2－4x＋2y＝0相切，则a＝____，该直线的方程为____． 8．(2024·常德3月模拟)已知曲线f(x)＝xlnx－1在x＝1处的切线l与圆C：(x－1)2＋y2＝9相交于A，B两点，则|AB|＝____． 9．(2024·黄山宣城二检)若函数f(x)＝－k(x－1)－4有两个零点，则实数k的取值范围是____． 四、解答题 10．已知圆C的半径为2，圆心在x轴正半轴上，直线3x－4y＋4＝0与圆C相切． (1) 求圆C的方程； (2) 若过点(0，－3)的直线l与圆C交于不同的两点A，B，且·＝3，O为坐标原点，求直线l的方程． 11．已知圆C的标准方程为(x－2)2＋y2＝4． (1) 若点Q的坐标为(－2,4)，过点Q作圆C的两条切线，切点分别为M，N，求直线MN的方程． (2) 过点A(1,0)任作一条不与y轴垂直的直线与圆C相交于E，F两点，在x非正半轴上是否存在点B，使得∠ABE＝∠ABF？若存在，求点B的坐标；若不存在，请说明理由． B组　滚动小练 12．(2025·锦州期中)已知函数y＝f(x＋1)为偶函数，且y＝f(x)的图象关于点(2,0)对称，当x∈[0,1]时，f(x)＝x，则f(88)＝(　　) A．88 B．2 C．1 D．0 13．(2025·烟台期中)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足acosC＋(sinA－1)c＝b，D是边BC上的点，AD＝2． (1) 求角A的大小； (2) 若BD＝2CD，求△ABC面积的最大值． 1. C　【解析】 设圆心到直线的距离为d，则d＝＝.由直线与圆相切可得r＝. 2. C　【解析】 圆C1：x2＋y2＝1的圆心为C1(0，0)，半径r1＝1，圆C2：x2＋y2－6x－8y＋9＝0的圆心为C2(3，4)，半径r2＝4，则|C1C2|＝＝5＝r1＋r2，故两圆外切，则两圆公切线的条数为3. (第3题) 3. C　【解析】 因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c，c＝2b－a，代入直线方程ax＋by＋c＝0，得ax＋by＋2b－a＝0，即a(x－1)＋b(y＋2)＝0，令得故直线恒过(1，－2).设P(1，－2)，圆化为标准方程得x2＋(y＋2)2＝5，设圆心为C，如图，当PC⊥AB时，|AB|最小，|PC|＝1，|AC|＝|r|＝，此时|AB|＝2|AP|＝2＝2＝4. 4. B　【解析】 设△ABC的外接圆方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则解得所以△ABC的外接圆方程为x2＋y2＋3y－4＝0，即x2＋＝.易知在点A(0，1)处的切线方程为y＝1.又直线BC的方程为＋＝1，令y＝1，得x＝，所以P.在点C(0，－4)处的切线方程为y＝－4，又直线AB的方程为＋y＝1，令y＝－4，得x＝10，所以R(10，－4)，则△ABC的Lemoine线的方程为＝，即2x＋3y－8＝0. 5. ACD　【解析】 圆C：x2＋y2－2x＝0，即(x－1)2＋y2＝1，圆心为C(1，0)，半径r＝1.对于A，若b2－2a＝1，则圆心到直线l的距离d＝＝＝＝1＝r，所以直线l与圆C相切，故A正确；对于B，当a＝0，b＝－2时满足a＋b＝－2，此时直线l的方程为y＝，则圆心C到直线l的距离为<r，显然直线l与圆C相交，故B错误；对于C，当a＝1，b＝－1时，直线l：x－y＋1＝0，则直线x－y＋1＋＝0与直线l平行，且两平行线间的距离d1＝＝1，依题意知动圆圆心到直线x－y＋1＋＝0的距离与到C(1，0)的距离相等，且点C(1，0)不在直线x－y＋1＋＝0上，根据抛物线的定义可知动圆圆心的轨迹是一条抛物线，故C正确；对于D，不妨令A(－1，0)，B(0，1)，AB的中点为D.又|AB|＝，所以以AB为直径的圆D的方程为＋＝.又|CD|＝＝<＋1，所以圆D与圆C相交，所以圆C上存在点P满足·＝0，故D正确． (第5题) 6. BC　【解析】 易知圆C1：x2＋y2＝1的圆心为C1(0，0)，半径r1＝1；圆C2：(x－3)2＋(y＋4)2＝r2的圆心为C2(3，－4)，半径为r.对于A，若圆C1与圆C2无公共点，则|C1C2|>r＋1或|C1C2|<|r－1|，即可得5>r＋1或5<|r－1|，解得0<r<4或r>6，故A错误；对于B，当r＝5时，两圆相交，公共弦为x2＋y2－[(x－3)2＋(y＋4)2]＝1－25，整理可得6x－8y－1＝0，故B正确；对于C，当r＝2时，易知两圆外离，|PQ|∈[|C1C2|－3，|C1C2|＋3]，即|PQ|∈[2，8]，故C正确；对于D，若∠APB＝，则四边形AC2BP为正方形，如图，则|PC2|＝3，而|PC2|∈[|C1C2|－1，|C1C2|＋1]，即|PC2|∈[4，6]，而3∈[4，6]，所以存在点P满足∠APB＝，故D错误． 　 (第6题) 7. 1　　x－2y＋1＝0　【解析】 若过点A(a，a)，a>0恰好只有一条直线与圆E：x2＋y2－4x＋2y＝0相切，则A(a，a)一定在圆x2＋y2－4x＋2y＝0上，可得a2＋a2－4a＋2a＝0，解得a＝1(a＝0舍去)，故A(1，1)，圆E的标准方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝5，圆心E(2，－1)，半径r＝.因为kAE＝＝－2，所以该直线的斜率为，直线方程为y－1＝(x－1)，即x－2y＋1＝0. 8. 　【解析】 由f(x)＝x ln x－1，定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝ln x＋1，则切线斜率k＝f′(1)＝1，又f(1)＝ln 1－1＝－1，所以切线方程为y－(－1)＝x－1，化简得x－y－2＝0.又因为圆的圆心C(1，0)，半径r＝3，设圆心到直线l的距离为d，则d＝＝，故|AB|＝2＝2＝. 9. 　【解析】 令f(x)＝－k(x－1)－4＝0，则－k(x－1)－4＝0，所以＝k(x－1)＋4，又因为y＝≥0，即为x2＋y2＝1(y≥0)，表示单位圆位于x轴上及上方部分；而y＝k(x－1)＋4表示过点(1，4)且斜率为k的直线，所以将问题转化为半圆x2＋y2＝1(y≥0)与直线y＝k(x－1)＋4有两个交点．如图，当直线与半圆相切时，＝1，解得k＝，当直线过点(－1，0)时，－2k＋4＝0，解得k＝2.综上，k∈. (第9题) 10. 【解答】 (1) 设圆心C的坐标为(a，0)(a>0)，则圆C的方程为(x－a)2＋y2＝4，因为直线3x－4y＋4＝0与圆C相切，所以点C(a，0)到直线3x－4y＋4＝0的距离d＝＝2.因为a>0，所以a＝2，所以圆C的标准方程为(x－2)2＋y2＝4. (2) 易知直线l的斜率存在且不为0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l：y＝kx－3，联立消去y得(k2＋1)x2－(4＋6k)x＋9＝0，Δ＝(4＋6k)2－36(k2＋1)＝48k－20>0，解得k>，所以x1x2＝，x1＋x2＝，y1y2＝(kx1－3)(kx2－3)＝k2x1x2－3k(x1＋x2)＋9＝.因为·＝3，所以x1x2＋y1y2＝＋＝3，解得k＝1或k＝－5(舍去)，所以直线l的方程为y＝x－3. 11. 【解答】 (1) 由条件可知Q，M，C，N四点共圆，且QC为直径，记为圆D，则D(0，2)，半径r＝＝2，所以圆D的方程为x2＋(y－2)2＝8，即x2＋y2－4y－4＝0.因为圆C的方程为x2＋y2－4x＝0，两圆方程相减可得x－y－1＝0，所以直线MN的方程为x－y－1＝0. (2) 假设存在点B(b，0)(b≤0)满足条件，由题可设直线AE：x＝my＋1，E(x1，y1)，F(x2，y2).联立消去x得(m2＋1)y2－2my－3＝0.因为点A(1，0)在圆C内部，所以Δ>0恒成立，则y1＋y2＝，y1y2＝.因为∠ABE＝∠ABF，所以kBE＝－kBF，即＋＝0，即＋＝0，整理得2my1y2＋(1－b)(y1＋y2)＝0，从而2m·＋(1－b)·＝0，化简有m(b＋2)＝0.因为对任意的m∈R恒成立，所以b＝－2，由此可得假设成立，故存在满足条件的点B，且坐标为(－2，0). 12. D　【解析】 因为函数y＝f(x＋1)为偶函数，所以y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以f(1＋x)＝f(1－x)，即f(x)＝f(2－x).又因为函数y＝f(x)的图象关于点(2，0)对称，所以f(2＋x)＋f(2－x)＝0，则可得f(x)＋f(2＋x)＝0.又f(x＋2)＋f(x＋4)＝0，所以f(x)－f(x＋4)＝0，即f(x＋4)＝f(x)，所以函数f(x)的周期为4，所以f(88)＝f(4×22＋0)＝f(0)＝0. 13. 【解答】 (1) 由a cos C＋(sin A－1)c＝b，可得sin A cos C＋(sin A－1)sin C＝sin B，所以sin A cos C＋sin A sin C－sin C＝sin (A＋C)，所以sin A cos C＋sin A sin C－sin C＝sin A cos C＋cos A sin C，所以sin A sin C－sin C＝cos A sin C.又因为0<C<π，所以sin C>0，所以sin A－1＝cos A，所以sin A－cos A＝1，所以2sin ＝1，所以sin (A－)＝.又因为0<A<π，所以－<A－<，所以A－＝，所以A＝. (2) 因为BD＝2CD，所以＝＋，两边平方可得2＝2＋·＋2.又因为AD＝2，所以4＝c2＋cb cos ＋b2＝c2＋cb＋b2≥2＋cb＝cb，当且仅当c2＝b2，即c＝2b＝2时取等号，所以cb≤6，所以S△ABC＝bc sin A≤×6×＝.所以△ABC面积的最大值为. 学科网（北京）股份有限公司 $