2026届高三数学一轮复习优生加练69：直线的方程及直线与直线的位置关系

第69练　直线的方程及直线与直线的位置关系 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.已知直线mx+4y-2=0与2x-5y+n=0互相垂直，垂足坐标为(1，p)，则m-n+p等于(　　) A.24 B.-20 C.0 D.20 2.已知直线l过点P(2，4)，且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍，则直线l的方程为(　　) A.2x-y=0 B.2x+y-8=0 C.2x-y=0或x+2y-10=0 D.2x-y=0或2x+y-8=0 3.设a∈R，则“a=-1”是“直线ax+y-1=0与直线x+ay+5=0平行”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.无论m取何实数，直线l：mx+y-1+2m=0恒过一定点，则该定点的坐标为(　　) A.(-2，1) B.(-2，-1) C.(2，1) D.(2，-1) 5.设直线l1：x+3y-7=0 与直线l2：x-y+1=0的交点为P，则点P到直线l：x+ay+2-a=0距离的最大值为(　　) A. B.4 C.3 D. 6.直线l与两直线y=1和x-y-7=0分别交于A，B两点，线段AB的中点为M，则直线l的斜率为(　　) A. B. C.- D.- 二、多项选择题(每小题6分，共12分) 7.已知直线l：x-y+1=0，下列四个说法中正确的是(　　) A.直线l的倾斜角为 B.若直线m：x-y+1=0，则l⊥m C.点(，0)到直线l的距离为2 D.过点(2，2)，并且与直线l平行的直线方程为x-y-4=0 8.(2024·合肥模拟)唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边让马喝水后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是A(2，4)，军营所在位置为B(6，2)，河岸所在直线的方程为x+y-3=0，若将军从出发点到河边让马喝水，再回到军营(“将军饮马”)的总路程最短，则(　　) A.将军从出发点到河边的路线所在直线的方程是6x-y-8=0 B.将军在河边让马喝水的地点的坐标为 C.将军从河边回军营的路线所在直线的方程是x-6y+6=0 D.“将军饮马”走过的总路程为5 三、填空题(每小题5分，共10分) 9.(2024·宜昌模拟)数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线后人称之为三角形的欧拉线，已知△ABC的顶点A(2，0)，B(0，4)，若其欧拉线方程为x-y+2=0，则顶点C的坐标为　　　　　　 .  10.(2025·沈阳模拟)如图，已知直线l1∥l2，点A是l1，l2之间的定点，点A到l1，l2之间的距离分别为3和2，点B是l2上的动点，作AC⊥AB，且AC与l1交于点C，则△ABC的面积的最小值为　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $ 第69练　直线的方程及直线与直线的位置关系 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.已知直线mx+4y-2=0与2x-5y+n=0互相垂直，垂足坐标为(1，p)，则m-n+p等于(　　) A.24 B.-20 C.0 D.20 答案　D 解析　由两直线互相垂直，得-×=-1， 解得m=10， 又垂足坐标为(1，p)，代入直线5x+2y-1=0， 得p=-2. 将(1，-2)代入直线2x-5y+n=0， 得n=-12， 所以m-n+p=20. 2.已知直线l过点P(2，4)，且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍，则直线l的方程为(　　) A.2x-y=0 B.2x+y-8=0 C.2x-y=0或x+2y-10=0 D.2x-y=0或2x+y-8=0 答案　D 解析　若直线l经过原点，可得直线l的方程为y=2x，即2x-y=0； 若直线l不经过原点，可设直线l的方程为+=1(a≠0)， 把点P(2，4)代入可得+=1，解得a=4， 所以直线l的方程为+=1，即2x+y-8=0.综上，直线l的方程为2x-y=0或2x+y-8=0. 3.设a∈R，则“a=-1”是“直线ax+y-1=0与直线x+ay+5=0平行”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案　A 解析　直线ax+y-1=0与直线x+ay+5=0平行的充要条件为即a=±1，故“a=-1”是“直线ax+y-1=0与直线x+ay+5=0平行”的充分不必要条件. 4.无论m取何实数，直线l：mx+y-1+2m=0恒过一定点，则该定点的坐标为(　　) A.(-2，1) B.(-2，-1) C.(2，1) D.(2，-1) 答案　A 解析　直线l：mx+y-1+2m=0可化为m(x+2)+(y-1)=0， 由题意，可得 ∴ ∴直线l：mx+y-1+2m=0恒过定点(-2，1). 5.设直线l1：x+3y-7=0 与直线l2：x-y+1=0的交点为P，则点P到直线l：x+ay+2-a=0距离的最大值为(　　) A. B.4 C.3 D. 答案　A 解析　由解得 即P， ∵x+ay+2-a=0即x+2+a=0， 由解得 ∴直线l恒过定点Q， 易知，当PQ⊥l时，点P到直线l的距离最大， 最大值为==. 6.直线l与两直线y=1和x-y-7=0分别交于A，B两点，线段AB的中点为M，则直线l的斜率为(　　) A. B. C.- D.- 答案　D 解析　由题意可得直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k，又直线l过点M，则直线l的方程为y+1=k(x-1)， 联立直线l与y=1，得 解得x=，所以A； 联立直线l与x-y-7=0，得 解得x=，y=， 所以B， 又线段AB的中点为M， 所以+=2，解得k=-. 二、多项选择题(每小题6分，共12分) 7.已知直线l：x-y+1=0，下列四个说法中正确的是(　　) A.直线l的倾斜角为 B.若直线m：x-y+1=0，则l⊥m C.点(，0)到直线l的距离为2 D.过点(2，2)，并且与直线l平行的直线方程为x-y-4=0 答案　CD 解析　直线l的斜率k1=，倾斜角为，A不正确； 直线m的斜率k2=，倾斜角为，与直线l不垂直，B不正确； 点(，0)到直线l的距离 d==2，C正确； 过点(2，2)，与直线l平行的直线方程为y-2=(x-2)，即x-y-4=0，D正确. 8.(2024·合肥模拟)唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边让马喝水后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是A(2，4)，军营所在位置为B(6，2)，河岸所在直线的方程为x+y-3=0，若将军从出发点到河边让马喝水，再回到军营(“将军饮马”)的总路程最短，则(　　) A.将军从出发点到河边的路线所在直线的方程是6x-y-8=0 B.将军在河边让马喝水的地点的坐标为 C.将军从河边回军营的路线所在直线的方程是x-6y+6=0 D.“将军饮马”走过的总路程为5 答案　BD 解析　由题可知A，B在直线x+y-3=0的同侧， 设点B关于直线x+y-3=0的对称点为B'(a，b)，如图所示， 则 解得即B'(1，-3). 将军从出发点到河边的路线所在直线即为AB'， 又A(2，4)，所以直线AB'的方程为7x-y-10=0，故A错误； 设将军在河边让马喝水的地点为M，则M即为7x-y-10=0与x+y-3=0的交点， 联立两直线方程解得M，故B正确； 将军从河边回军营的路线所在直线为BM，又B(6，2)， 所以直线BM的方程为x-7y+8=0，故C错误； 总路程为|MA|+|MB|=|MA|+|MB'|=|AB'|==5， 所以“将军饮马”的总路程为5，故D正确. 三、填空题(每小题5分，共10分) 9.(2024·宜昌模拟)数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线后人称之为三角形的欧拉线，已知△ABC的顶点A(2，0)，B(0，4)，若其欧拉线方程为x-y+2=0，则顶点C的坐标为　　　　　　 .  答案　(-4，0) 解析　设C(m，n)，由重心坐标公式得，△ABC的重心为， 代入欧拉线方程得-+2=0， 整理得m-n+4=0. ① ∵AB的中点为(1，2)，kAB==-2， ∴AB的垂直平分线方程为y-2=(x-1)，即x-2y+3=0. 联立解得 ∴△ABC的外心为(-1，1). ∴(m+1)2+(n-1)2=32+12， 整理得m2+n2+2m-2n=8. ② 联立①②得m=-4，n=0或m=0，n=4. 当m=0，n=4时，B，C重合，舍去. ∴顶点C的坐标是(-4，0). 10.(2025·沈阳模拟)如图，已知直线l1∥l2，点A是l1，l2之间的定点，点A到l1，l2之间的距离分别为3和2，点B是l2上的动点，作AC⊥AB，且AC与l1交于点C，则△ABC的面积的最小值为　　　　.  答案　6 解析　以A为坐标原点，平行于l1的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 设B(a，-2)(a≠0)，C(b，3). 因为AC⊥AB，所以·=0， 即ab-6=0，所以b=， 所以Rt△ABC的面积S=·=·=≥×=6(当且仅当a2=4时取等号). 所以△ABC的面积的最小值为6. 学科网（北京）股份有限公司 $