双曲线 专项训练-2026届高三数学一轮复习

双曲线

A组　夯基精练

一、单项选择题

1．(2024·全国甲卷)已知双曲线的两个焦点分别为(0,4)，(0，－4)，点(－6,4)在该双曲线上，则该双曲线的离心率为(　　)

A．4 B．3

C．2 D．

2．(2025·漳州期初)已知双曲线C：x2－y2＝4，点M为C上一点，过M分别作C的两条渐近线的垂线，垂足分别为A，B，则四边形OAMB(O为原点)的面积为(　　)

A．1 B．2

C．4 D．6

3．(2024·天津卷)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是双曲线右支上一点，且直线PF2的斜率为2，△PF1F2是面积为8的直角三角形，则该双曲线的方程为(　　)

A．－＝1 B．－＝1

C．－＝1 D．－＝1

4．(2023·全国乙卷)设A，B为双曲线x2－＝1上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是(　　)

A．(1,1) B．(－1,2)

C．(1,3) D．(－1，－4)

二、多项选择题

5．(2024·邯郸三调)已知双曲线C：－＝1，则(　　)

A．λ的取值范围是(－6,3)

B．C的焦点可在x轴上也可在y轴上

C．C的焦距为6

D．C的离心率e的取值范围为(1,3)

6．(2024·苏中苏北七市二调)已知双曲线C：－＝1(b＞0)的右焦点为F，直线l：x＋by＝0是C的一条渐近线，P是l上一点，则(　　)

A．C的虚轴长为2 B．C的离心率为

C．|PF|的最小值为2 D．直线PF的斜率不等于－

三、填空题

7．(2024·新乡三模)若双曲线E：－＝1的实轴长为4，则实数a＝____．

 

8．(2025·湛江期中)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的焦距为2c，直线l：＋＝1与C的交点为A，若点A到C的左焦点的距离不小于点A到C的右焦点的距离的5倍，则C的离心率的最大值为____．

9．(2024·郑州三模)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，A，B分别是它的两条渐近线上的两点(不与坐标原点O重合)，点P在双曲线C上且＋＝2，△AOB的面积为6，则该双曲线的实轴长为____．

四、解答题

10． (2025·潍坊期初节选)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的焦距为4，离心率为2，F1，F2分别为C的左、右焦点，两点A(x1，y1)，B(x2，y2)都在C上．

(1) 求C的方程；

(2) 若＝2，求直线AB的方程．

11．(2024·广州冲刺训练(一))已知A(－1,0)，B(1,0)，平面上有动点P，且

直线AP的斜率与直线BP的斜率之积为1．

(1) 求动点P的轨迹Ω的方程．

(2) 过点A的直线与Ω交于点M(M在第一象限)，过点B的直线与Ω交于点N(N在第三象限)，记直线AM，BN的斜率分别为k1，k2，且k1＝4k2．试判断△AMN与△BMN的面积之比是否为定值，若为定值，请求出该定值；若不为定值，请说明理由．

 

B组　滚动小练

12．(2025·景德镇期中)函数f(x)＝x2－sin(3πx)的零点个数是(　　)

A．5 B．6

C．7 D．8

13．(2025·烟台期中)已知函数f(x)＝e2x＋(a－2)ex－ax．

(1) 当a＝2时，求过点(0,0)且与函数f(x)图象相切的直线方程；

(2) 当a＜0时，讨论函数f(x)的单调性．