抛物线 专项训练-2026届高三数学一轮复习

抛物线

A组　夯基精练

一、单项选择题

1．(2024·十堰4月调研)已知P(2，m)是抛物线C：x2＝2py(p＞0)上的一点，F为抛物线C的焦点，且|PF|＝2，则抛物线C的焦点坐标是(　　)

A．(1,0) B．(2,0)

C．(0,1) D．(0,2)

2．已知M为抛物线y2＝4x上的动点，F为抛物线的焦点，点P(1,1)，则|MP|＋|MF|的最小值为(　　)

A．2 B．4

C．8 D．16

3．(2024·武汉2月调研)设抛物线y2＝2x的焦点为F，过抛物线上点P作其准线的垂线，设垂足为Q，若∠PQF＝30°，则|PQ|＝(　　)

A． B．

C． D．

 4．(2025·南京零模)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，点P在C上，点Q在l上．若|PF|＝2|QF|，PF⊥QF，则△PFQ的面积为(　　)

A． B．25

C． D．55

二、多项选择题

5．(2025·湛江期中)已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝4x的焦点为F，A为C上第一象限的点，且|AF|＝2，过点F的直线l与C交于P，Q两点，圆E：x2＋y2－4x＝0，则(　　)

A．|OA|＝

B．若|PQ|＝6，则直线l倾斜角的正弦值为

C．若△OPQ的面积为6，则直线l的斜率为±

D．过点A作圆E的两条切线，则两切点连线的方程为x－2y＋2＝0

6．(2024·新高考Ⅱ卷)设抛物线C：y2＝4x的准线为l，P为C上的动点，过点P作圆A：x2＋(y－4)2＝1的一条切线，Q为切点，过点P作l的垂线，垂足为B，则(　　)

A．l与圆A相切

B．当P，A，B三点共线时，|PQ|＝

C．当|PB|＝2时，PA⊥AB

D．满足|PA|＝|PB|的点P有且仅有2个

【

三、填空题

7．若抛物线x2＝2py(p＞0)上一点M(1，m)到焦点的距离是2m，则p＝___．

8．(2025·宁波期中)若抛物线C：y2＝4x的焦点为F，P为C上一点且|PF|＝3，O为坐标原点，则S△OPF＝____．

四、解答题

9．(2025·石家庄期中)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为2且位于x轴上方的点，点A到抛物线焦点的距离为．

(1) 求抛物线C的方程；

(2) 若过点F的直线l交抛物线C于B，D两点(异于点O)，连接OB，OD，若S△OBF＝S△ODF，求BD的长．

10．(2025·杭州一模)在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点M在抛物线C上，若△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆的面积为．

(1) 求抛物线C的方程；

(2) 若点(－1,1)关于直线y＝kx对称的点在C上，求k的值．

B组　滚动小练

11．(2025·湖州、衢州、丽水期中节选)直线族是指具有某种共同性质的直

线的全体，例如y＝kx＋1(k∈R)表示过点(0,1)的直线族(不包括直线y轴)，直线族的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线．

(1) 若圆M：x2＋(y－3)2＝4是直线族mx＋ny＝1(m，n∈R)的包络曲线，求m，n满足的关系式；

(2) 若点N(x0，y0)不在直线族Ω：y＝tx－t2(t∈R)的任意一条直线上，求y0的取值范围及直线族Ω的包络曲线E的方程．