湖南省部分学校联考2025-2026学年高三上学期1月月考数学试题

高 三 数 学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一.单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知复数z 满足(z-1)i=1+i，则z在复平面内对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.已知集合 ,则A∩B= A.(-5,0] B.(-2,0] C.[0,2) D.[0,5) 3.已知向量a,b满足|a|=2|b|=2,且(a+b)⊥b,则b在a上的投影向量为 C. D. 4.设抛物线 的焦点为F，过抛物线上一点 P 作y的垂线，设垂足为Q，若以 F 为顶点的等腰三角形FPQ 的面积为2 ,则|PF|= A.2 D.3 5.已知随机变量X~ N(3,4),且P(X<1)=P(X>n),则(x+y)(2x-y)n的展开式中x³y³的系数为 A.-80 B.-40 C.40 D.80. 6.已知函数 若正数a，b满足f(a)+f(b-ab)=2,则4a+b的最小值为 A.9 B.8 C.6 7.在菱形ABCD 中, 将△CBD 沿对角线BD 折起,使以A,B,C,D 四点为顶点的三棱锥的表面积最大，则直线 BC 与平面ABD 所成角的正弦值为 A. 8.已知函数 若f(x)在[1,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围是 B.(-∞,e] 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.某中学高一年级举行“青春向党”演讲比赛，10位评委给某选手打出的分数如下表： 评委 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 分数 7.7 8.4 8.5 8.6 8.7 8.8 8.9 8.9 9.1 9.3 以这10位评委的分数为原始数据，去掉一个最高分和一个最低分后，剩余的8位评委的分数为有效数据，则 A.原始数据的极差大于有效数据的极差 B.原始数据的75%分位数为8.9 C.原始数据的平均分大于有效数据的平均分 D.原始数据的方差大于有效数据的方差 10.已知函数 则下列说法正确的是 A. f(x)的图象可由y=2sin3x 的图象向右平移个单位长度得到 B.直线 是 f(x)的图象的一条对称轴 C. f(x)在区间 上单调 D. y=f(x)-sinx 在区间[0,2π]上有5个零点 11.已知椭圆 分别为C 的左、右焦点，P，Q为C上两个动点，则 A.若则△PQF₁的周长为4a B.若c=3,直线 PQ过点F₂,且线段 PQ的中点为(1,-1),则C 的短轴长为 C.若 且|PQ|=|QF1|,则C的离心率为 D.若B 为C 的下顶点，|PB|≤2b，则C 的离心率的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.记 Sn为等差数列{an}的前n项和,若 则 13.已知曲线 在点(0，1)处的切线与以(1，2)为方向向量的直线垂直，则 14.在三棱锥P-ABC中,PB⊥PA,PB=2PA,顶点 P 在底面内的射影O为 的垂心，且PO=2,则三棱锥 P-ABC体积的最小值为 ▲ . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分) 记 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知 (1)求证:b,a,c 成等差数列. (2)若 且 的外接圆半径为2，求 的面积. 18.(15分) 如图，在三棱柱 中， 是边长为2的正三角形，D为 的中点. (1)求证: (2)若平面 求平面 与平面 的夹角的余弦值. 17.(15分) 已知函数 (1)证明:f(x)有2个零点. (2)设f(x)的极值点为x₀，大于0的零点为 判断 与 的大小，并证明. 18.(17分) 某“种子银行”对某种珍稀名贵植物采取“活态保存”方法进行保存，即对种子实行定期更换和种植的措施.以往的相关数据表明，该植物种子的出芽率为p(0<p<1)，每颗种子是否发芽相互独立.现任取n(n≥2，n∈N*)颗该植物种子进行种植，若种子的出芽数 X 超过半数，则可认为种植成功. (1)当 时，求种植成功的概率及X 的数学期望； (2)现拟加种一颗该植物种子，试分析能否提高种植成功率. 19.(17分) 已知双曲线 的离心率为 ,点A( ,2)在C上,直线l:y= kx+1与C的上、下两支分别交于点 M，N(异于点A). (1)求C的方程; (2)若直线AM，AN的斜率均存在且不为0，求直线AM，AN 的斜率的倒数之和； (3)设直线AM,AN分别交x轴于P,Q两点,若M,N,P,Q四点共圆,求直线l的方程. 学科网（北京）股份有限公司 $