精品解析：吉林省扶余市部分学校2025-2026学年上学期期末测试九年级数学试题

九年级期末测试数学 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 根据中心对称图形的定义和轴对称图形的定义进行逐项判断即可． 【详解】解：A．是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意； B．是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； C．不是轴对称图形，但是中心对称图形，不符合题意； D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意． 故选：A． 2. 反比例函数的图象位于（ ） A. 第一、二象限 B. 第一、三象限 C. 第一、四象限 D. 第二、四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质．由反比例函数，函数图象经过第一、三象限问题可解 【详解】解：∵， ∴反比例函数的图象位于第一、三象限； 故选：B． 3. 成语是中国语言文化的缩影，有着深厚丰富的文化底蕴，下列成语所描述的事件中，属于随机事件的是（ ） A. 水中捞月 B. 旭日东升 C. 秋去冬来 D. 一箭双雕 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类，根据不可能事件的定义进行逐一判断即可，随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 【详解】解：A．水中捞月是不可能事件，故该选项不符合题意； B．旭日东升是必然事件，故该选项不符合题意； C．秋去冬来是必然事件，故该选项不符合题意； D．一箭双雕是随机事件，故该选项符合题意； 故选：D． 4. 如图，是的直径，点、为上的点．若，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理、圆的内接四边形的性质等知识点，熟练运用圆周角定理和内接四边形的性质是解题的关键． 由圆周角定理可得，从而可求得，再根据圆的内接四边形对角互补即可解答． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选B． 5. 如图，，若，，，则的长为（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例，根据该知识求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 故选：C． 6. 如图，已知抛物线与轴交于、两点，顶点的纵坐标为，现将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线，则下列结论正确的是（　　） A. B. C. D. 阴影部分的面积为4 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数的图象与几何变换，二次函数图象和系数的关系，根据抛物线开口向上，可得，据此判断A；抛物线与轴的交点在轴的下方，据此判断B；根据抛物线的图象，可得时，，即，据此判断C；首先判断出阴影部分是一个平行四边形，然后根据平行四边形的面积底高，求出阴影部分的面积是多少即可判断D． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴， 故A不正确； ∵抛物线与轴的交点在轴的下方， ∴， 故B不正确； ∵时，， ∴， 故C不正确； ∵抛物线向右平移了2个单位， ∴平行四边形的底是2， ∵函数的最小值是， ∴平行四边形的高是2， ∴阴影部分的面积是：， 故D正确． 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，解题的关键是方程有两个不相等的实数根，则，即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴且， 故答案为：且. 8. 若某城市人口万人，绿地面积1000万平方米，平均每人拥有绿地平方米，则与之间的函数表达式为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了列函数关系式，直接用绿地面积乘以人数即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 9. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，交于点，点恰好落在上，此时等于_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质、等腰三角形性质、三角形外角的性质等知识点，灵活运用相关知识点是解题的关键． 根据旋转得到，，利用等腰三角形性质求出、，根据题意算出，最后根据三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：由旋转的性质，可知，，， ， ， ． 故答案为：． 10. 如图，身高为1.5米的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA由B向A走去当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC＝3米，CA＝1米，则树的高度为_____米． 【答案】6 【解析】 【分析】先判定三角形相似，然后根据相似三角形的性质列出等式，即可求出树的高度． 【详解】如图： ∵△ACD∽△ABE ∴ ∴EB=4DC=1.5×4=6米 故答案为：6 【点睛】本题考查相似三角形在求树木高度的应用，找到比例列出等式是本题关键． 11. 某新建学校因场地限制，要合理规划体育场地．小明绘制的铅球场地设计图如图所示，该场地由和扇形组成，分别与交于点．，，，则长为________（结果保留）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求弧长，熟记弧长公式“（为圆心角的度数，表示圆的半径）”是解题关键．先求出，再利用弧长公式即可得． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴长为， 故答案为：． 三、解答题（本大题共11小题，共87分） 12. 解方程：x2+4x﹣1=0． 【答案】x1=﹣2+，x2=﹣2﹣． 【解析】 【分析】方程变形后，利用配方法求出解即可． 【详解】方程变形得：x2+4x=1， 配方得：x2+4x+4=5，即（x+2）2=5， 开方得：x+2=±， 解得：x1=﹣2+，x2=﹣2﹣． 13. 如图，在边长为的小正方形组成的网格中，和的顶点都在网格点上，证明：． 【答案】证明见解析． 【解析】 【分析】本题考查了网格与勾股定理，相似三角形的判定，由网格可知，，，，，，再利用三边对应成比例的两个三角形相似即可求证，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键． 【详解】证明：根据勾股定理，得，，，，，， ∴，，， ∴， ∴． 14. 在一个不透明的口袋里装有分别标有数字1，2，3，4的四个小球，除数字不同外，小球没有任何区别． （1）从中任取一球，球上的数字为奇数的概率是_________________________； （2）从中任取两球，请用画树状图或列表的方法求两个球上的数字之和为偶数的概率． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）由在一个不透明的口袋里装有分别标有数字1、2、3、4的四个小球，除数字不同外，小球没有任何区别，直接利用概率公式求解即可求得答案； （2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两个球上的数字之和为偶数的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【小问1详解】 解：∵不透明的口袋里有分别标有数字1，2，3，4的四个小球，球上的数字为奇数的是1与3， ∴从中任取一球，球上的数字为奇数的概率为． 故答案为：； 【小问2详解】 解：画树状图，得 ∵共有12种等可能的结果，两个球上的数字之和为偶数的有4种情况， ∴两个球上的数字之和为偶数的概率为：． 15. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在正方形网格的格点上，已知点的坐标为． （1）画出关于原点对称的，并写出点的对应点的坐标； （2）以点为位似中心，在给出的网格内画，使与的相似比为； （3）直接写出与的面积比． 【答案】（1）见解析，点； （2）见解析； （3）． 【解析】 【分析】本题主要考查作图---中心对称变换、位似变换以及相似三角形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据中心对称的性质作出图形即可； （2）利用位似变换的性质分别作出的对应点即可； （3）根据相似三角形的性质解答即可． 【小问1详解】 解：如图所示，点； 【小问2详解】 解：如图，即为所作； 【小问3详解】 解：∵与的相似比为， ∴与的面积比为． 16. 如图，某小区计划用的铁栅栏，在借助两面外墙（墙足够长）围成一个矩形车棚，为了方便存车，在边上开了一个宽的门（建在处，另用其他材料）．当车棚的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为的车棚？ 【答案】当车棚的长为12米，宽为8米时，能围成一个面积为的车棚 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设米，则米，根据围成车棚的面积为，可列出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设米，则米， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，（米）； 当时，（米）； 答：当车棚的长为12米，宽为8米时，能围成一个面积为的车棚． 17. 如图，反比例函数的图象经过点． （1）求该反比例函数的解析式； （2）若点也在反比例函数的图象上，当时，求的取值范围． 【答案】（1）反比例函数的解析式为； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数的性质，反比例函数图像上点的坐标特征，由待定系数法求出反比例函数解析式是解决问题的关键． （1）待定系数法求反比例函数解析式，把点A的坐标代入解析式即可求出k； （2）分别求出和时对应的y值，再利用反比例函数的增减性即可求解． 【小问1详解】 解：将点代入，得：， ∴反比例函数解析式为：； 【小问2详解】 解：∵点也在反比例函数的图象上， ∴当时，；当时，， ∵， ∴当时，y随x增大而增大， ∴当时，． 18. 如图，游乐园计划在点处安装一个高的喷水头，使得喷出的水柱正好在距离点处达到最高，且最大高度为米．已知水柱的形状是抛物线的一部分，现以点为原点建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求抛物线的解析式； （2）求出水柱的落地点的坐标． 【答案】（1）； （2）点的坐标为． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，读懂题意、利用待定系数法求得抛物线解析式是解决问题的关键． （1）由题意得：，顶点坐标，设抛物线的解析式为，将代入抛物线解析式求得a的值即可； （2）将代入（1）的解析式求得x，并取符合题意x的值即可确定点B的坐标． 【小问1详解】 解：由题意得：，顶点坐标， 设抛物线的解析式为， 将A代入抛物线解析式可得， 解得：． 所以抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：由（1）知：， 将代入可得：， 解得：（不符合题意舍去）， ∴水柱的落地点的坐标为． 19. 如图，是的直径，是上一点，在的延长线上，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求阴影部分的面积（结果保留根号和）． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】此题考查的是切线的判定与性质、勾股定理、圆周角定理． （1）连接，根据圆周角定理求出，求出，根据切线判定推出即可； （2）在中，解直角三角形求得，，利用阴影部分的面积，列式计算即可． 【小问1详解】 证明：连接， ∵为直径， ∴， 即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∵为半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：∵，，， ∴，， 阴影部分的面积． 20. 如图，是等腰直角三角形，，，点P沿折线向终点C运动，在上的速度为每秒2个单位长度，在上的速度为每秒个单位长度．过点P作于点D，以为边向右侧作矩形，且．设点P的运动时间为t秒，矩形和重叠部分图形的面积为S． （1）当点F在上时， ______． （2）当矩形和重叠部分的图形为四边形时，求S关于t的函数解析式，并写出t的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查动点问题的函数解析式，矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质； （1）由是等腰直角三角形，得到，，，当点F在上时，由题意得，，则，由矩形，得到，则，据此列方程求解即可； （2）当在上，到之前时；当在上，到之后时；当在上时，三种情况分类讨论，分别画出图形，表示出对应线段的长度，求出当矩形和重叠部分的图形为四边形时，求S关于t的函数解析式即可，注意证明等腰直角三角形． 【小问1详解】 解：∵是等腰直角三角形，，， ∴，， 当点F在上时，由题意得，，则， ∵矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， 故答案为：； 【小问2详解】 解：当在上，在上之前，，如图， 此时矩形和重叠部分的图形为矩形，； 当在上，在上之后，，如图， 此时矩形和重叠部分的图形为五边形，不合题意； 当在上时，如图，设与交点， 此时矩形和重叠部分的图形为梯形， 此时由题意可得：，， ∵， ∴，解得， ∵矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴矩形和重叠部分的图形面积； 综上所述，． 21. 【基础巩固】 （1）如图①，在中，为上一点，，求证：； 【尝试应用】 （2）如图②，在中，为上一点，为延长线上一点，，若，，求的长； 【拓展提高】 （3）如图③，在菱形中，为上一点，为内一点，，，，连接，若，直接写出的长． 【答案】（1）见解析；（2）5；（3）． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，菱形的性质，作辅助线构造相似三角形是解题关键． （1）根据相似三角形的判定定理证明即可； （2）根据平行四边形的性质，证明，求出，即可得出的长； （3）先证明四边形为平行四边形，再结合菱形的性质，证明，得到，即可求解． 【详解】解：（1）证明：在和中， ∵， ∴； （2）∵是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3），理由如下： 如图，延长与的延长线交于点G， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， 在菱形中，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 22. 如图，已知抛物线与轴相交于、两点，与轴相交于点．设点为抛物线上的一点，其横坐标为． （1）直接写出坐标：点__________，点______________； （2）当点与点关于抛物线对称轴对称时，求的值； （3）若抛物线上点与点之间（包含点和点）的部分的图象记为图象，图象的最高点和最低点纵坐标的差记为． ①当和时，分别求的值； ②当时，直接写出的取值范围； （4）点是线段上异于、的动点，过点的直线轴于点，交抛物线于点，当为直角三角形时，请直接写出点的坐标． 【答案】（1）；； （2）； （3）①当时，；当时，；②或； （4）或． 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数关系式、求二次函数的最值、等腰直角三角形的判定、二次函数图象的性质等，学会用坐标差表示线段长是解题的关键． （1）令，求出x的值，即可求解； （2）根据题意可得抛物线的对称轴为直线，从而得到，即可求解； （3）根据题意可得该函数最高点为，分别求出当和时，点P的坐标，即可求解； （4）分两种情况解答，即可求解． 【小问1详解】 解：当时，， 解得：， ∴点A的坐标为，点B的坐标为； 【小问2详解】 解：， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线与轴相交于点， ∴当时，， ， ∵点与点关于抛物线对称轴直线对称， ， 即； 【小问3详解】 解：①， ∴抛物线的顶点为， ， ∴抛物线开口向下， ∴该抛物线最高点坐标为， 当时，， ， 此时； 当时，， ， ∵该抛物线最高点坐标为， 此时； ②当时，图象G的最高点为， 此时满足； 当点A为最高点时， ∵， ∴点P的纵坐标为， 此时， 解得：， 当时，（不合题意舍去）， ∴当或时，； 综上所述，m的取值范围为或； 【小问4详解】 解：点M的坐标为或，理由如下： 如图，当时，则轴， ∴点C和点M关于对称轴对称， ∵点C的坐标为，抛物线的对称轴为直线， ∴点M的坐标为； 如图，当时，则轴于点F， ， ， ， ， 设，则， ∴点M的坐标为， 把代入，则， 解得：（不合题意，舍去）， ∴当时，， ∴点M的坐标为； 综上所述，点M的坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级期末测试数学 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 反比例函数的图象位于（ ） A. 第一、二象限 B. 第一、三象限 C. 第一、四象限 D. 第二、四象限 3. 成语是中国语言文化的缩影，有着深厚丰富的文化底蕴，下列成语所描述的事件中，属于随机事件的是（ ） A. 水中捞月 B. 旭日东升 C. 秋去冬来 D. 一箭双雕 4. 如图，是的直径，点、为上的点．若，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 5. 如图，，若，，，则的长为（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 9 6. 如图，已知抛物线与轴交于、两点，顶点的纵坐标为，现将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线，则下列结论正确的是（　　） A. B. C. D. 阴影部分的面积为4 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_______． 8. 若某城市人口万人，绿地面积1000万平方米，平均每人拥有绿地平方米，则与之间的函数表达式为__________． 9. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，交于点，点恰好落在上，此时等于_____________． 10. 如图，身高为1.5米的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA由B向A走去当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC＝3米，CA＝1米，则树的高度为_____米． 11. 某新建学校因场地限制，要合理规划体育场地．小明绘制的铅球场地设计图如图所示，该场地由和扇形组成，分别与交于点．，，，则长为________（结果保留）． 三、解答题（本大题共11小题，共87分） 12. 解方程：x2+4x﹣1=0． 13. 如图，在边长为的小正方形组成的网格中，和的顶点都在网格点上，证明：． 14. 在一个不透明的口袋里装有分别标有数字1，2，3，4的四个小球，除数字不同外，小球没有任何区别． （1）从中任取一球，球上的数字为奇数的概率是_________________________； （2）从中任取两球，请用画树状图或列表的方法求两个球上的数字之和为偶数的概率． 15. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在正方形网格的格点上，已知点的坐标为． （1）画出关于原点对称的，并写出点的对应点的坐标； （2）以点为位似中心，在给出的网格内画，使与的相似比为； （3）直接写出与的面积比． 16. 如图，某小区计划用的铁栅栏，在借助两面外墙（墙足够长）围成一个矩形车棚，为了方便存车，在边上开了一个宽的门（建在处，另用其他材料）．当车棚的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为的车棚？ 17. 如图，反比例函数的图象经过点． （1）求该反比例函数的解析式； （2）若点也在反比例函数的图象上，当时，求的取值范围． 18. 如图，游乐园计划在点处安装一个高的喷水头，使得喷出的水柱正好在距离点处达到最高，且最大高度为米．已知水柱的形状是抛物线的一部分，现以点为原点建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求抛物线的解析式； （2）求出水柱的落地点的坐标． 19. 如图，是的直径，是上一点，在的延长线上，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求阴影部分的面积（结果保留根号和）． 20. 如图，是等腰直角三角形，，，点P沿折线向终点C运动，在上的速度为每秒2个单位长度，在上的速度为每秒个单位长度．过点P作于点D，以为边向右侧作矩形，且．设点P的运动时间为t秒，矩形和重叠部分图形的面积为S． （1）当点F在上时， ______． （2）当矩形和重叠部分的图形为四边形时，求S关于t的函数解析式，并写出t的取值范围． 21. 【基础巩固】 （1）如图①，在中，为上一点，，求证：； 【尝试应用】 （2）如图②，在中，为上一点，为延长线上一点，，若，，求的长； 【拓展提高】 （3）如图③，在菱形中，为上一点，为内一点，，，，连接，若，直接写出的长． 22. 如图，已知抛物线与轴相交于、两点，与轴相交于点．设点为抛物线上的一点，其横坐标为． （1）直接写出坐标：点__________，点______________； （2）当点与点关于抛物线对称轴对称时，求的值； （3）若抛物线上点与点之间（包含点和点）的部分的图象记为图象，图象的最高点和最低点纵坐标的差记为． ①当和时，分别求的值； ②当时，直接写出的取值范围； （4）点是线段上异于、的动点，过点的直线轴于点，交抛物线于点，当为直角三角形时，请直接写出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $