精品解析：广东省广州执信中学2025-2026学年上学期12月月考九年级数学试题

2025-2026学年度第一学期 初三级12月学情调研 本练习用时120分钟，满分120分 一、单选题 1. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. （﹣1，2） B. （﹣1，﹣2） C. （1，﹣2） D. （1，2） 3. 用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣4=0，下列变形正确的是（　　） A. （x﹣6）2=﹣4+36 B. （x﹣6）2=4+36 C. （x﹣3）2=﹣4+9 D. （x﹣3）2=4+9 4. 若关于的一元二次方程的一个根为0，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. D. 1或 5. 若一元二次方程x2+2x+a=0有实数解，则a的取值范围是（ ） A. a<1 B. a≤4 C. a≤1 D. a≥1 6. 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，当y＞0时，x的取值范围是(　　) A. －1＜x＜2 B. x＞2 C. x＜－1 D. x＜－1或x＞2 7. 如图，、切于点A、B，点C是上一点，且，则为（　　） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，平分交于，交延长线于，则的值为（ ） A. B. C. D. 2 9. 如图，直径AB为3的半圆，绕A点逆时针旋转60°，此时点B到了点B′处，则图中阴影部分的面积是（　　） A. 3π B. C. 6π D. 24π 10. 如图，已知二次函数（，，是常数，）的图像顶点为，且经过点．以下结论：①；②；③；④若且时，则；⑤对于任意实数，总有中，错误的有（ ）． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题 11. 若关于x的方程有一个根为－1，则的值为______． 12. 如图，将绕点顺时针旋转得到，若点恰好在的延长线上，，则的度数为______ 13. 如图，点，，以为位似中心，将放大倍，则点的对应点的坐标是______． 14. 已知一个圆锥的母线长为5，底面圆的半径为3，则该圆锥的侧面展开图的圆心角的度数是_______． 15. 现有函数，如果对于任意的实数n，都存在实数m，使得当时，，那么实数a的取值范围是______． 16. 如图，在菱形中，，，，分别是边，上的两个动点，满足，与交于点．的度数为_____；当最大时，线段的长是_____． 三、解答题 17. 解方程： 18. 如图，已知的三个顶点坐标分别为，，，将绕坐标原点逆时针旋转，请在图中画出旋转后的图形． （1）写出点的坐标为__________； （2）点关于坐标原点对称的点的坐标为__________． 19. 如图是一位同学用激光笔测量某古城墙高度的示意图．点处放一水平的平面镜，光线从点出发经平面镜反射后刚好到古城墙的顶端处，若，测得，，，则该古城墙的高是？ 20. 已知直线与轴、轴分别交于、两点，与反比例函数交于第一象限内的，两点． （1）求反比例函数和直线的函数表达式； （2）求的面积． （3）在第一象限内，当时，直接写出的取值范围． 21. 某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元，试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件 （1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润（元）与销售单价（元）之间的函数关系式； （2）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大； （3）商场的营销部结合上述情况，提出了A、B两种营销方案 方案A：该文具的销售单价高于进价且不超过30元； 方案B：每天销售量不少于10件，且每件文具的利润至少为25元 请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由 22. 如图，在△ABC中，BA＝BC＝20cm，AC＝30cm，点P从点A出发，沿AB以4cm/s的速度向点B运动，同时点Q从点C出发，沿CA以3cm/s的速度向点A运动，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动时间为xs． （1）当时，求x的值． （2）△APQ与△CQB能否相似？若能，求出AP的长；若不能，请说明理由． 23. 如图，为的直径，C、D为圆上两点，平分， ，． （1）求证：为切线； （2）用直尺和圆规：作的内心点I．并求长； （3）求长． 24. 已知抛物线，其中n，m为常数，且． （1）若，，求抛物线的顶点坐标； （2）若抛物线的对称轴为，且抛物线经过点．请你用含m的式子表示p，并求出p的取值范围； （3）若，点，抛物线与y轴负半轴交于点G，过点G作直线l平行于x轴，E是直线l上的动点，F是y轴上的动点，，点H是的中点，当的最小值是时，求在的图象的最低点的坐标． 25. 如图1，已知点为正方形内的一点，连接．将线段绕点逆时针方向旋转得到，连接，． （1）如图1，直接写出线段与的位置与数量关系； （2）如图2，点为正方形外的一点，将绕点逆时针方向旋转得到，连接，，探究线段与的关系，并说明理由； （3）如图3，在中，，，点为外一点，且，点为的中点，连接，，，若，，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期 初三级12月学情调研 本练习用时120分钟，满分120分 一、单选题 1. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，熟练掌握如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180度，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形是解题的关键．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解即可． 【详解】解：A、该图形是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意； B、该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； C、该图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，不符合题意； D、该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意， 故选：A． 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. （﹣1，2） B. （﹣1，﹣2） C. （1，﹣2） D. （1，2） 【答案】D 【解析】 【分析】根据顶点式，顶点坐标是（h，k），即可求解. 【详解】∵顶点式，顶点坐标是（h，k）， ∴抛物线的顶点坐标是（1，2）． 故选：D． 3. 用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣4=0，下列变形正确的是（　　） A. （x﹣6）2=﹣4+36 B. （x﹣6）2=4+36 C. （x﹣3）2=﹣4+9 D. （x﹣3）2=4+9 【答案】D 【解析】 【分析】配方时，首先将常数项移到方程的右边，然后在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方，据此进行求解即可. 【详解】x2﹣6x﹣4=0， x2﹣6x=4， x2﹣6x+9=4+9， （x﹣3）2=4+9， 故选：D. 4. 若关于的一元二次方程的一个根为0，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. D. 1或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义与解，解一元二次方程，将代入原方程可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，根据一元二次方程的定义可得出，进而可得出，据此可得答案． 【详解】解：关于的一元二次方程的一个根为0，， ∴将代入，得：， 解得，． ∵方程是一元二次方程， ， ． ∴ 故选：C． 5. 若一元二次方程x2+2x+a=0有实数解，则a的取值范围是（ ） A. a<1 B. a≤4 C. a≤1 D. a≥1 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的根的判别式列不等式求解． 【详解】解：∵方程有实数根 ∴△=4-4a≥0， 解得a≤1 故选C． 【点睛】本题考查一元二次方根的判别式，熟记公式正确计算是本题的解题关键． 6. 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，当y＞0时，x的取值范围是(　　) A. －1＜x＜2 B. x＞2 C. x＜－1 D. x＜－1或x＞2 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知图象可以得到图象与x轴的交点是（-1，0），（2，0），又y＞0时，图象在x轴的上方，由此可以求出x的取值范围． 【详解】依题意得图象与x轴的交点是（-1，0），（2，0）， 当y＞0时，图象在x轴的上方， 此时x＜－1或x＞2， ∴x的取值范围是x＜－1或x＞2， 故选D． 【点睛】本题考查了二次函数与不等式，解答此题的关键是求出图象与x轴的交点，然后由图象找出当y＞0时，自变量x的范围，注意数形结合思想的运用. 7. 如图，、切于点A、B，点C是上一点，且，则为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由与都为圆的切线，利用切线的性质得到两个角为直角，根据，利用四边形的内角和定理求出的度数，再利用同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍，求出的度数即可． 【详解】解：如图所示，连接、， ∵与都为圆的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了圆的切线的性质，圆周角定理、四边形内角和，熟练运用切线的性质和圆周角定量是解此题的关键． 8. 如图，在中，，，平分交于，交延长线于，则的值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，灵活运用相关知识成为解题的关键． 由平行四边形的性质可得，进而得到再结合得到，即；再由线段的和差可得；然后根据可得，然后根据相似三角形的性质列比例式求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 9. 如图，直径AB为3的半圆，绕A点逆时针旋转60°，此时点B到了点B′处，则图中阴影部分的面积是（　　） A. 3π B. C. 6π D. 24π 【答案】B 【解析】 【分析】根据阴影部分的面积=以AB′为直径的半圆的面积+扇形ABB′的面积-以AB为直径的半圆的面积．即阴影部分的面积就等于扇形ABB′的面积． 【详解】由旋转的性质可知：以AB′为直径的半圆的面积=以AB为直径的半圆的面积，再根据阴影部分的面积=以AB′为直径的半圆的面积+扇形ABB′的面积-以AB为直径的半圆的面积=扇形ABB′的面积． 则阴影部分的面积是：π． 故选B． 【点睛】本题考查了扇形的面积的计算以及旋转的性质，培养了学生的计算能力和观察图形的能力，运用面积的和差求不规则图形的面积是解题的关键. 10. 如图，已知二次函数（，，是常数，）的图像顶点为，且经过点．以下结论：①；②；③；④若且时，则；⑤对于任意实数，总有中，错误的有（ ）． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据该二次函数图像的顶点坐标及开口方向，易得，即可判断结论①；由二次函数图像的对称性，可知该二次函数图像经过点，可知当时，可有，可判断结论②；首先将点代入二次函数，整理可得，再将点代入二次函数，整理可得，结合，可得，可判断结论③；结合，可得，结合，可得，可判断结论④；根据该二次函数图像顶点为，且开口向下，可得对于任意实数，总有，整理可得，即可判断结论⑤． 【详解】解：∵二次函数的图像顶点为，且开口向下， ∴，且对称轴为直线， ∴，故结论①正确； ∵二次函数的对称轴为直线，且经过点， ∴点关于直线的对称点为， ∴当时，可有，故结论②错误； 将点代入二次函数， 可得， ∵， ∴，整理可得， 将点代入二次函数， 可得， 将，代入， 可得， 由图像可知，， ∴，解得， 又∵，解得， ∴，故结论③正确； ∵， 则有， 整理可得， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，故结论④正确； 根据题意，二次函数（，，是常数，）的图像顶点为，且该函数图像开口向下， ∴对于任意实数，总有， 即，故结论⑤错误． 综上所述，结论错误的有②⑤，共计2个． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图像与性质、平方差公式的应用等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键． 二、填空题 11. 若关于x的方程有一个根为－1，则的值为______． 【答案】-1 【解析】 【分析】把-1代入原方程即可． 【详解】解：把x= -1代入得， ， ， 故答案为：-1． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根，解题关键是理解方程根的意义，把未知数的值代入原方程． 12. 如图，将绕点顺时针旋转得到，若点恰好在的延长线上，，则的度数为______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，邻补角的意义，掌握旋转的性质是解题的关键．根据旋转的性质可得，进而根据邻补角的意义，即可求得的度数 【详解】解：将绕点C顺时针旋转得到，若点A恰好在的延长线上， 故答案为： 13. 如图，点，，以为位似中心，将放大倍，则点的对应点的坐标是______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了位似变换及坐标与图形，关于原点成位似的两个图形，若位似比是，则原图形上的点，经过位似变化得到的对应点的坐标是或．以为位似中心，将放大倍，则点的对应点的坐标是的坐标同时乘以计算即可． 【详解】解：将放大倍，点， 点的坐标是或，即或， 故答案为：或． 14. 已知一个圆锥的母线长为5，底面圆的半径为3，则该圆锥的侧面展开图的圆心角的度数是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆锥侧面展开图，弧长等知识．熟练圆锥侧面展开图的弧长是圆锥底面圆的周长是解题的关键． 设该圆锥的侧面展开图的圆心角的度数是，依题意得，，计算求解即可． 【详解】解：设该圆锥的侧面展开图的圆心角的度数是， 依题意得，， 解得，， 故答案为：． 15. 现有函数，如果对于任意的实数n，都存在实数m，使得当时，，那么实数a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数、二次函数的图象与性质．数形结合是解题的关键． 联立，可求直线与的交点坐标为，，作图象如下，抛物线的顶点坐标为，当直线的值取时，，由图象可知，①当时，直线，抛物线，函数不能取所有实数，舍去；②当时，函数能取所有实数；③当时，，不合题意，舍去；然后作答即可． 【详解】解：联立， 解得，或， ∴直线与的交点坐标为，， 作函数图象如下， ∴抛物线的顶点坐标为， 当直线的值取时，， 由图象可知，①当时，直线，抛物线，函数不能取所有实数，舍去； ②当时，函数能取所有实数； ③当时，，不合题意，舍去； 综上所述，， 故答案为：． 16. 如图，在菱形中，，，，分别是边，上的两个动点，满足，与交于点．的度数为_____；当最大时，线段的长是_____． 【答案】 ①. ##60度 ②. 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，轨迹，切线等知识．证明，推出，推出．由，推出点的运动轨迹是，设圆心为，连接，，．求出是切线时的长即可． 【详解】解：如图， 四边形是菱形， ， ， 是等边三角形， ，， 在和中， ， ， ， ， ， 点的运动轨迹是， 设圆心为，连接，，． ，， 垂直平分线段， ，，，， ， ， 当与相切时，的值最大，此时． 故答案为：，． 三、解答题 17. 解方程： 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解法解一元二次方程，熟练掌握该知识点是解题关键． 利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解： ， 18. 如图，已知的三个顶点坐标分别为，，，将绕坐标原点逆时针旋转，请在图中画出旋转后的图形． （1）写出点的坐标为__________； （2）点关于坐标原点对称的点的坐标为__________． 【答案】 （1）；（2） 【解析】 【分析】（1）利用旋转变换的性质分别作出，，的对应点，，即可； （2）利用中心对称的性质解决问题即可． 【详解】（1）如图，即为所求，． 故答案为： （2）点关于坐标原点对称的点的坐标为． 故答案为： 【点睛】本题考查作图旋转变换，中心对称等知识，解题的关键是掌握旋转变换的性质，属于中考常考题型． 19. 如图是一位同学用激光笔测量某古城墙高度的示意图．点处放一水平的平面镜，光线从点出发经平面镜反射后刚好到古城墙的顶端处，若，测得，，，则该古城墙的高是？ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，结合镜面反射角度相等，证明，列出比例式，求解即可． 【详解】解：由题意，结合镜面反射原理知：， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴该古城墙的高度是． 20. 已知直线与轴、轴分别交于、两点，与反比例函数交于第一象限内的，两点． （1）求反比例函数和直线的函数表达式； （2）求的面积． （3）在第一象限内，当时，直接写出的取值范围． 【答案】（1）一次函数表达式为，反比例函数表达式为 （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，反比例函数的图象与性质，一次函数与不等式，掌握好一次函数与反比例函数的性质并运用数形结合思想是解题关键． （1）利用待定系数法求出一次函数与反比例函数的解析式； （2）分别过点P和点Q作y轴的垂线，垂足为C、D，先算出 A、B、C、D的坐标，利用的面积减去的面积可求出结果； （3）结合函数的图象可以得到结果． 【小问1详解】 解：将代入反比例函数得， ，即， ∴反比例函数表达式为， 将，，代入反比例函数得，， ∴点Q坐标为， 将，代入一次函数得， ， 解得，， ∴一次函数表达式为； 【小问2详解】 解：如图，分别过点P和点Q作y轴的垂线，垂足为C、D， 将代入一次函数得，， ∴点B坐标为， 同理，点A坐标为， ∵轴于点C， ∴， 同理，， ； 【小问3详解】 由函数与不等式的关系可知，当一次函数的值小于反比例函数的值时，成立， 由图象可知，此时或，即或． 21. 某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元，试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件 （1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润（元）与销售单价（元）之间的函数关系式； （2）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大； （3）商场的营销部结合上述情况，提出了A、B两种营销方案 方案A：该文具的销售单价高于进价且不超过30元； 方案B：每天销售量不少于10件，且每件文具的利润至少为25元 请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由 【答案】（1）w＝－10x2＋700x－10000；（2）即销售单价为35元时，该文具每天的销售利润最大；（3）A方案利润更高． 【解析】 【分析】（1）根据利润（销售单价进价）销售量，列出函数关系式即可； （2）根据（1）式列出的函数关系式，运用配方法求最大值； （3）分别求出方案、中的取值范围，然后分别求出、方案的最大利润，然后进行比较． 【详解】解：（1）由题意得，销售量， 则 ； （2）． ， 函数图象开口向下，有最大值， 当时，， 故当单价为35元时，该文具每天的利润最大； （3）方案利润高．理由如下： 方案中：， 故当时，有最大值， 此时； 方案中：， 故的取值范围为：， 函数，对称轴为直线， 当时，有最大值， 此时， ， 方案利润更高． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，难度较大，解题的关键是掌握最大销售利润的问题常利用函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值），也就是说二次函数的最值不一定在时取得． 22. 如图，在△ABC中，BA＝BC＝20cm，AC＝30cm，点P从点A出发，沿AB以4cm/s的速度向点B运动，同时点Q从点C出发，沿CA以3cm/s的速度向点A运动，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动时间为xs． （1）当时，求x的值． （2）△APQ与△CQB能否相似？若能，求出AP的长；若不能，请说明理由． 【答案】（1） （2）能，AP＝cm或20cm 【解析】 【分析】（1）利用平行线分线段对应成比例，列比例式进行计算即可； （2）分类讨论：①△APQ∽△CQB，②当△APQ∽△CBQ，利用相似的性质，对应边对应成比例，列式计算即可． 【小问1详解】 解：当时，AP：AB＝AQ：AC， ∵AP＝4x，AQ＝30－3x， ∴， 解得：x＝； 【小问2详解】 解：∵BA＝BC ∴， ①当△APQ∽△CQB时，有， 即：， 解得：， ∴（cm）， ②当△APQ∽△CBQ时，有， 即：， 解得：x＝5或x＝－10（舍去）， ∴PA＝4x＝20（cm）， 综上所述，当AP＝cm或20cm时，△APQ与△CQB相似． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，以及相似三角形的判定和性质．熟练掌握相关知识点是解题的关键． 23. 如图，为的直径，C、D为圆上两点，平分， ，． （1）求证：为切线； （2）用直尺和圆规：作的内心点I．并求长； （3）求长． 【答案】（1） 证明：如图：连接， ∵为的直径，平分， ∴， ∵， ∴ ∵ ∴ 即 ∵ ∴ ∵是半径 ∴为切线； （2）如图： （3） 【解析】 【分析】（1）连接，因为为的直径，平分，得，根据同弧所对的弦相等，即，即，结合，即可作答． （2）作出的平分线，交于一点，为点I，并交于一点，结合三角形外角性质即对顶角相等，则，则，结合勾股定理，即可作答． （3）过点I作，结合角平分线上的点到角的两边距离相等，即，结合，得，结合勾股定理，，即可作答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：作出的平分线，交于一点，为点I，并交于一点， 易知 ∵ ∴， 则， ∵， ∴在， 即 即； 【小问3详解】 解：如图：过点I作， 易知 ∴ ∵， ∴ ∴ 同理，得， 即 设， 则 ∵ ∴ ∴ 得， ∵ ∴ ， 由（2）知 ∴ 【点睛】本题考查了圆周角定理，全等三角形的判定与性质，切线的判定，角平分线的性质，勾股定理，三角形的外角性质，等角对等边等知识内容，综合性强，难度较大，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 24. 已知抛物线，其中n，m为常数，且． （1）若，，求抛物线的顶点坐标； （2）若抛物线的对称轴为，且抛物线经过点．请你用含m的式子表示p，并求出p的取值范围； （3）若，点，抛物线与y轴负半轴交于点G，过点G作直线l平行于x轴，E是直线l上的动点，F是y轴上的动点，，点H是的中点，当的最小值是时，求在的图象的最低点的坐标． 【答案】（1） （2）， （3）或 【解析】 【分析】（1）将，代入解析式，再化为顶点式，即可求解； （2）根据对称轴为直线，可得，，将代入解析式即可求解； （3）根据直角三角形斜边中线的性质可得，可判断出点H在以点G为圆心，为半径的圆上，由勾股定理可得，分两种情况：当，即时，满足条件的点H落在线段上，的最小值为；当，即时，满足条件的点H落在线段的延长线上，的最小值为，分别求出m的值，代入解析式，根据二次函数的增减性及横坐标的取值范围及可求出最低点的坐标． 【小问1详解】 解：，， ， 抛物线的顶点坐标为； 【小问2详解】 解：， 抛物线与x轴交点坐标为，， 抛物线的对称轴为直线， ， ， ， 抛物线经过点， ， ，且， ， ， 即，； 【小问3详解】 解：， 抛物线为， 抛物线与x轴交点坐标为，，与y轴交点坐标为， ，点H是的中点，， ， 如图，由题意得，点H在以点G为圆心，为半径的圆上， 由，，可得，， 在中，， 当，即时，满足条件的点H落在线段上， 的最小值为， 解得， 抛物线为， 抛物线的对称轴为直线， 当时，y随x的增大而增大， ，即， 图象最低点的横坐标为， 当时，， 图象最低点的坐标为； 当，即时，满足条件的点H落在线段的延长线上， 的最小值为， 解得， 抛物线为， 抛物线的对称轴为直线， 当时，y随x的增大而增大， ，即， 图象最低点的横坐标为， 当时，， 图象最低点的坐标为； 综上可得，图象最低点的坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，直角三角形斜边上的中线的性质，隐圆问题，勾股定理的应用，第3问难度较大，解题的关键是确定点H的位置，注意分情况讨论，避免漏解． 25. 如图1，已知点为正方形内的一点，连接．将线段绕点逆时针方向旋转得到，连接，． （1）如图1，直接写出线段与的位置与数量关系； （2）如图2，点为正方形外的一点，将绕点逆时针方向旋转得到，连接，，探究线段与的关系，并说明理由； （3）如图3，在中，，，点为外一点，且，点为的中点，连接，，，若，，求的面积． 【答案】（1） 解：，理由如下， ∵四边形是正方形， ∴， ∵将线段绕点逆时针方向旋转得到， ∴， ∴， ∴， ∴，， 如图所示，延长交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上所述，线段与的关系为：； （2） 解：，理由如下， ∵四边形是正方形， ∴， ∵将线段绕点逆时针方向旋转得到， ∴， ∴， ∴， ∴，， 如图所示，设与于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上所述，线段与的关系为：； （3）的面积为 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质，旋转的性质可证，得到，，如图所示，延长交于点，可得，，，由此即可求解； （2）证明方法同（1）； （3）如图所示，过点作交延长线于点，连接，过点作于点，证明，，设，则，分别表示出，，，在中运用勾股定理可得的值，由三角形面积的计算方法即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图所示，过点作交延长线于点，连接，过点作于点， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵，即， ∴，且， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴， ∴， ∴的面积为． 【点睛】本题主要考查四边形的综合，掌握正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，添加合理的辅助线构造三角形全等，数形结合分析思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $