精品解析：广东省深圳市宝安区深圳东方英文书院　2025-2026学年上学期九年级12月月考数学试卷

九年级数学月考试题 一、选择题（每小题3分，共24分，每小题只有一个选项正确） 1. 在一个圆柱体内挖去一个圆柱（如图所示），它的主视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了几何图形的三视图，根据主视图是从正面看得到的图形，以及看到的轮廓线用实线表示，看不见的轮廓线用虚线表示，对图形进行判断，即可解题． 【详解】解：主视图是从正面看得到的图形，观察已知几何体，可知其主视图是一个长方形，中间看不见的轮廓线用虚线表示， 它的主视图为 ， 故选：A． 2. 已知，是一元二次方程的两根，则的值为（ ） A. B. C. 4 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可解答． 【详解】根据题意，得 故选：B 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，． 3. 关于x的一元二次方程的一个根是1，则m的值为（　　） A. B. 3 C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，把代入方程，进行求解即可．熟练掌握方程的解是使方程成立的未知数的值，是解题的关键． 【详解】解：把代入，得：， 解得； 故选D． 4. 下列说法中正确的是（ ） A. 两条直线被一组平行线所截，所得的线段成比例 B. 对于反比例函数y随x的增大而减小 C. 关于x的方程 是一元二次方程 D. 正方形的每一条对角线平分一组对角 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例的性质、反比例函数的性质、一元二次方程的定义和正方形的性质．分别根据平行线分线段成比例的性质、反比例函数的性质、一元二次方程的定义和正方形的性质判断即可． 【详解】解：A、两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，原说法错误，不符合题意； B、对于反比例函数在每个象限内y随x的增大而减小，原说法错误，不符合题意； C、关于x的方程 是一元二次方程，原说法错误，不符合题意； D、正方形的每一条对角线平分一组对角，原说法正确，符合题意； 故选：D． 5. 如图，小颖身高为，在阳光下影长，当她走到距离墙角（点）的处时，她的部分影子投射到墙上，则投射在墙上的影子的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过E作EF⊥CG于F，利用相似三角形列出比例式求出投射在墙上的影子DE长度即可． 【详解】解：如图，过E作EF⊥CG于F， 设投射在墙上的影子DE长度为x， 由题意得：△GFE∽△HAB， ∴AB：FE＝AH：（GC−x）， 则240：120＝160：（160−x）， 解得：x＝80． 答：投射在墙上的影子DE长度为80cm． 故选：B． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是正确地构造直角三角形． 6. 我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“圆中方形”问题：“今有圆田一段，中间有个方池．丈量田地待耕犁，恰好三分在记，池面至周有数，每边三步无疑．内方圆径若能知，堪作算中第一．”其大意为：有一块圆形的田，中间有一块正方形水池，测量出除水池外圆内可耕地的面积恰好72平方步，从水池边到圆周，每边相距3步远．如果你能求出正方形边长和圆的直径，那么你的计算水平就是第一了．如图，设正方形的边长是x步，则列出的方程是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了正方形的性质以及由实际问题抽象出一元二次方程，正确表示出圆的面积是解题关键．直接利用圆的面积减去正方形面积，进而得出答案． 【详解】解：设正方形的边长是x步，则列出的方程是： 故选：B． 7. 如图，已知△ABC和△EDC是以点C为位似中心的位似图形，且△ABC和△EDC的周长之比为1：2，点C的坐标为（﹣2，0），若点B的坐标为（﹣5，1），则点D的坐标为（　　） A. （4，﹣2） B. （6，﹣2） C. （8，﹣2） D. （10，﹣2） 【答案】A 【解析】 【分析】作BG⊥x轴于点G，DH⊥x轴于点H，根据位似图形的概念得到△ABC∽△EDC，根据相似是三角形的性质计算即可． 【详解】作BG⊥x轴于点G，DH⊥x轴于点H， 则BG∥DH， ∵△ABC和△EDC是以点C为位似中心的位似图形， ∴△ABC∽△EDC， ∵△ABC和△EDC的周长之比为1：2， ∴＝， 由题意得，CG＝3，BG＝1， ∵BG∥DH， ∴△BCG∽△DCH， ∴＝＝＝，即＝＝， 解得，CH＝6，DH＝2， ∴OH＝CH﹣OC＝4， 则点D的坐标为为（4，﹣2）， 故选：A． 【点睛】本题考查的是位似变换的性质，正确理解位似与相似的关系，记忆关于原点位似的两个图形对应点坐标之间的关系是解题的关键． 8. 如图，正方形的一条边与等腰的一条边在同一直线上，分别交于点G，．已知，，则的长为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过E作于M，根据等腰三角形的性质得到，根据勾股定理得到，根据正方形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，，，，根据三角形的面积公式得到，根据勾股定理得到 【详解】解：过E作于M， ， ， ， 四边形是正方形， ，， 在与中， ， ， ，， 在与中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 故选：A 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 9. 若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质． 根据比例关系设参数表示变量，代入表达式计算即可． 【详解】解：由， 设，（）， 则． 故答案为：． 10. 已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】由方程有两个相等的实数根结合根的判别式即可得出关于m的一元一次方程，解方程即可求出m的值． 【详解】解：∵方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：m＝4． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 11. 调查全班50个人生日相同的概率，记录其中有无2个人的生日相同，每选取50个被调查人的生日为一次试验，重复尽可能多次试验，并将数据记录表中： 试验总次数 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 “有2个人的生日相同”的次数 480 900 1320 1920 2350 2910 3400 “有2个人的生日相同”的频率 0.96 0.90 0.88 0.96 0.94 0.97 0.97 根据上表中的数据，估计“50个人中有2个人生日相同”的概率为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 发现当实验总次数越多的时候，频率会逐渐稳定在，据此回答即可． 【详解】解：发现当实验总次数越多的时候，频率会逐渐稳定在， ∴估计“50个人中有2个人生日相同”的概率为， 故答案为： ． 12. 如图，在中，点D、E分别在边、上，且，若，则_________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据求出，证明，得出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 如图，直线交轴于点B，交轴于点C，以BC为边的正方形ABCD的顶点A（-1，a）在双曲线上，D点在双曲线上，则的值为_______. 【答案】6 【解析】 【分析】先确定出点A的坐标，进而求出AB，再确定出点C的坐标，利用平移即可得出结论． 【详解】∵A(−1,a)在反比例函数y=上， ∴a=2， ∴A(−1,2)， ∵点B在直线y=kx−1上， ∴B(0,−1)， ∴AB=， ∵四边形ABCD是正方形， ∴BC=AB=， 设B(m,0)， ∴， ∴m=−3(舍)或m=3， ∴C(3,0)， ∴点B向右平移3个单位，再向上平移1个单位， ∴点D是点A向右平移3个单位，再向上平移1个单位， ∴点D(2,3),将点D的坐标代入反比例函数y=中， ∴k=6 故答案为：6. 【点睛】本题主要考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题突破口是确定出点A的坐标. 三、解答题 14. 解下列关于x的一元二次方程 （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用公式法计算即可； 【小问1详解】 ， ， ， 或， ，． 【小问2详解】 ， ，，， ∵， ∴， ∴，． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的求解，准确利用因式分解法和公式法求解是解题的关键． 15. 初三年级“黄金分割项目活动”展示，为了解全体初三年级同学的活动成绩，抽取了部分参加活动的同学的成绩进行统计后，分为“优秀”，“良好”，“一般”，“较差”四个等级，并根据成绩绘制成如图两幅不完整的统计图，请结合统计图中的信息，回答下列问题： （1）扇形统计图中“优秀”所对应扇形的圆心角为______度，并将条形统计图补充完整． （2）如果学校初三年级共有名学生，则参加“黄金分割项目活动”比赛成绩良好的学生有______人． （3）此次活动中有四名同学获得满分，分别是甲，乙，丙，丁，现从这四名同学中挑选两名同学参加校外举行的“黄金分割项目活动”展示，请用列表法或画树状图法，求出选中的两名同学恰好是甲、丁的概率． 【答案】（1），条形统计图补充完整如下： （2） （3） 【解析】 【分析】（）用乘以“优秀”的百分比可求出所对应扇形的圆心角，用一般的学生人数除以其百分比求出抽取的学生人数，进而求出“良好”的学生人数，即可将条形统计图补充完整； （）用乘以成绩良好的百分比即可求解； （）画出树状图，根据树状图解答即可求解； 本题考查了扇形统计图和条形统计图，样本估计总体，用列表法或树状图求概率，解题的关键是从统计图表中获取相关信息． 【小问1详解】 解：“优秀”所对应扇形的圆心角为， 故答案为：， ∵， ∴抽取的学生人数为人， ∴“良好”的学生人数为人； 【小问2详解】 解：∵， ∴参加“黄金分割项目活动”比赛成绩良好的学生有人， 故答案为：； 【小问3详解】 解：画树状图如下： 由树状图可得，共有种等结果，其中两名同学恰好是甲、丁的结果有种， ∴选中的两名同学恰好是甲、丁的概率为． 16. 如图，在平面直角坐标系中，小正方形的边长看成单位1，的顶点坐标分别为，，． （1）画出向上平移3个单位长度得到的； （2）在轴右侧，以原点为位似中心，画出，使它与位似，且相似比为． （3）若点为线段上的黄金分割点，且，则的长度为_________． 【答案】（1） 所作如图所示： （2） 所作如图所示： （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了作图-平移变换，位似变换，黄金分割，熟练掌握位似变换的性质是解题的关键． （1）根据平移的性质得到其对应点，再顺次连接对应点即可； （2）根据位似图形的性质，分别画出点，再顺次连接对应点即可； （3）先求出，再根据黄金分割比为建立等式求解，即可解题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：点为线段上的黄金分割点，且，，． ， ， ， 解得， 故答案为：． 17. 如图，在平行四边形中，对角线、交于点O，平分，过点C作交的延长线于点E，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长度． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2） 3 【解析】 【分析】（1）先判断出，进而判断出，得出，即可得出结论； （2）先判断出，再求出，利用勾股定理求出，即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定，菱形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解答本题的关键． 18. 某超市于今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高，在售价不变的基础上，三月份的销售量达到400件．设二、三这两个月的月平均增长率不变． （1）求二、三这两个月的月平均增长率； （2）从四月份起，超市决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量在400件的基础上增加5件，当商品降价多少元时，超市获利4250元？ 【答案】（1）二、三这两个月的月平均增长率为； （2）当商品降价5元时，商场获利4250元． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设二、三这两个月的月平均增长率为，利用该商品三月份的销售量该商品一月份的销售量二、三这两个月的月平均增长率，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可； （2）设商品降价元，则每件的销售利润为元，月销售量为件，根据超市获利4250元，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可． 【小问1详解】 解：设二、三这两个月的月平均增长率为， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：二、三这两个月的月平均增长率为； 【小问2详解】 解：设商品降价元，则每件的销售利润为元，月销售量为件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：当商品降价5元时，超市获利4250元． 19. 请认真阅读，并根据理解，完成相应任务： 阅读材料： 定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”，例如：和有且只有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”． 任务一： （1）根据所学定义，下列方程属于“同伴方程”的有______；（只填写序号即可） ①；②；③． 任务二： （2）关于的一元二次方程与为“同伴方程”，求的值； 任务三： （3）若关于的一元二次方程（）同时满足和，且与互为“同伴方程”，求的值． 【答案】（1）①②；（2）1或；（3）或． 【解析】 【分析】（1）利用题中的新定义判断即可； （2）根据题中的新定义列出有关于的方程，求出方程的解即可得到的值； （3）求得两个方程的根，根据“同伴方程”的定义即可得出的值． 【详解】解：（1）① 解得：，， ②， 解得：， ③， 解得， 所以，属于“同伴方程”的有①② 故答案为：①②； （2）一元二次方程的解为， 当相同的根是时，则，解得； 当相同的根是时，则，解得； 综上，的值为1或； （3）∵关于的一元二次方程（） 同时满足和， ∴关于的一元二次方程的两个根是， ∵的两个根是， ∵关于的一元二次方程（）与互为“同伴方程”， ∴或． 【点睛】此题考查了一元二次方程的解，根的判别式，熟练掌握新定义是解题的关键． 20. 【模型发现】如图 1，，求证：． 【深入探究】如图2，等边中，，是上的动点，连接，将绕着点逆时针旋转得到，连接，当点从运动到时，求点的运动路径长． 【应用拓展】如图3，等腰中，，于，是上的一点，连接，将绕着点逆时针旋转得到，交于点，连接，若，则的值为_______． 【答案】模型发现： 证明：， ，， ， ， ； 深入探究：3； 应用拓展： 【解析】 【分析】模型发现：由相似三角形的性质可得，，易得，即可证明； 深入探究：连接，证明是等边三角形，，，证明，得到，即点的运动路径与点的路径等长，即可得到答案； 应用拓展：连接，结合等腰直角三角形的性质可得，，，，即可证明，结合相似三角形的性质可得，证明，由相似三角形的性质并结合已知条件可得，然后进行计算即可． 【详解】模型发现：略 深入探究： 解：如图，连接， ， 是等边三角形， ，， 将绕着点逆时针旋转得到， ， 是等边三角形， ，， ， ，即， 在和中， ， ， ，即点的运动路径与点的路径等长， 为等边三角形，， ， 点从运动到的运动路径长为3， 点的运动路径长为3； 应用拓展： 解：如图，连接， ， 为等腰直角三角形，， ，， ， ，即， 绕着点逆时针旋转得到， ，， 为等腰直角三角形， ， ， ，即， ， ，即， ， ， ，即， ，为等腰直角三角形，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识点，综合性强，解题的关键是正确作出辅助线，熟练掌握相似三角形的判定与性质及全等三角形的判定与性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学月考试题 一、选择题（每小题3分，共24分，每小题只有一个选项正确） 1. 在一个圆柱体内挖去一个圆柱（如图所示），它的主视图为（ ） A. B. C. D. 2. 已知，是一元二次方程的两根，则的值为（ ） A. B. C. 4 D. 2 3. 关于x的一元二次方程的一个根是1，则m的值为（　　） A. B. 3 C. 4 D. 4. 下列说法中正确的是（ ） A. 两条直线被一组平行线所截，所得的线段成比例 B. 对于反比例函数y随x的增大而减小 C. 关于x的方程 是一元二次方程 D. 正方形的每一条对角线平分一组对角 5. 如图，小颖身高为，在阳光下影长，当她走到距离墙角（点）的处时，她的部分影子投射到墙上，则投射在墙上的影子的长度为（ ） A. B. C. D. 6. 我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“圆中方形”问题：“今有圆田一段，中间有个方池．丈量田地待耕犁，恰好三分在记，池面至周有数，每边三步无疑．内方圆径若能知，堪作算中第一．”其大意为：有一块圆形的田，中间有一块正方形水池，测量出除水池外圆内可耕地的面积恰好72平方步，从水池边到圆周，每边相距3步远．如果你能求出正方形边长和圆的直径，那么你的计算水平就是第一了．如图，设正方形的边长是x步，则列出的方程是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，已知△ABC和△EDC是以点C为位似中心的位似图形，且△ABC和△EDC的周长之比为1：2，点C的坐标为（﹣2，0），若点B的坐标为（﹣5，1），则点D的坐标为（　　） A. （4，﹣2） B. （6，﹣2） C. （8，﹣2） D. （10，﹣2） 8. 如图，正方形的一条边与等腰的一条边在同一直线上，分别交于点G，．已知，，则的长为（    ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 9. 若，则________． 10. 已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为______． 11. 调查全班50个人生日相同的概率，记录其中有无2个人的生日相同，每选取50个被调查人的生日为一次试验，重复尽可能多次试验，并将数据记录表中： 试验总次数 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 “有2个人的生日相同”的次数 480 900 1320 1920 2350 2910 3400 “有2个人的生日相同”的频率 0.96 0.90 0.88 0.96 0.94 0.97 0.97 根据上表中的数据，估计“50个人中有2个人生日相同”的概率为________． 12. 如图，在中，点D、E分别在边、上，且，若，则_________________． 13. 如图，直线交轴于点B，交轴于点C，以BC为边的正方形ABCD的顶点A（-1，a）在双曲线上，D点在双曲线上，则的值为_______. 三、解答题 14. 解下列关于x的一元二次方程 （1） （2） 15. 初三年级“黄金分割项目活动”展示，为了解全体初三年级同学的活动成绩，抽取了部分参加活动的同学的成绩进行统计后，分为“优秀”，“良好”，“一般”，“较差”四个等级，并根据成绩绘制成如图两幅不完整的统计图，请结合统计图中的信息，回答下列问题： （1）扇形统计图中“优秀”所对应扇形的圆心角为______度，并将条形统计图补充完整． （2）如果学校初三年级共有名学生，则参加“黄金分割项目活动”比赛成绩良好的学生有______人． （3）此次活动中有四名同学获得满分，分别是甲，乙，丙，丁，现从这四名同学中挑选两名同学参加校外举行的“黄金分割项目活动”展示，请用列表法或画树状图法，求出选中的两名同学恰好是甲、丁的概率． 16. 如图，在平面直角坐标系中，小正方形的边长看成单位1，的顶点坐标分别为，，． （1）画出向上平移3个单位长度得到的； （2）在轴右侧，以原点为位似中心，画出，使它与位似，且相似比为． （3）若点为线段上的黄金分割点，且，则的长度为_________． 17. 如图，在平行四边形中，对角线、交于点O，平分，过点C作交的延长线于点E，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长度． 18. 某超市于今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高，在售价不变的基础上，三月份的销售量达到400件．设二、三这两个月的月平均增长率不变． （1）求二、三这两个月的月平均增长率； （2）从四月份起，超市决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量在400件的基础上增加5件，当商品降价多少元时，超市获利4250元？ 19. 请认真阅读，并根据理解，完成相应任务： 阅读材料： 定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”，例如：和有且只有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”． 任务一： （1）根据所学定义，下列方程属于“同伴方程”的有______；（只填写序号即可） ①；②；③． 任务二： （2）关于的一元二次方程与为“同伴方程”，求的值； 任务三： （3）若关于的一元二次方程（）同时满足和，且与互为“同伴方程”，求的值． 20. 【模型发现】如图 1，，求证：． 【深入探究】如图2，等边中，，是上的动点，连接，将绕着点逆时针旋转得到，连接，当点从运动到时，求点的运动路径长． 【应用拓展】如图3，等腰中，，于，是上的一点，连接，将绕着点逆时针旋转得到，交于点，连接，若，则的值为_______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $