精品解析：安徽省芜湖市华强中学2025-2026学年 上学期九年级 卷三数学试题

数学（人教版）九年级卷三 试题卷 注意事项： 1．满分150分，时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，“试题卷”共4页，“答题卷”共6页，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题无效． 3．范围：21~26章． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 古典园林中的窗户是中国传统建筑装饰的重要组成部分，一窗一姿容，一窗一景致．下列窗户图案中，是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的概念，根据如果一个图形绕某一点旋转后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心，解答本题即可． 【详解】解：A、该图形不是中心对称图形，不符合题意； B、该图形不是中心对称图形，不符合题意； C、该图形不是中心对称图形，不符合题意； D、该图形是中心对称图形，符合题意； 故选：D． 2. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 把五个人分成四组，每组至少一人，这四组中有一组有两人 B. 在学校读书演讲比赛中，七年级3班获得一等奖 C. 从分别标有数字1，2，3，4，5的五张卡片中随机抽取一张，上面的数字是6 D. 打开手机有未接电话 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查必然事件的概念，必然事件是指在一定条件下一定会发生的事件．根据选项内容，判断每个事件是否必然发生． 【详解】解：A、五个人分成四组，每组至少一人，但组数为四，人数为五，必有一组有两人，是必然事件； B、在学校读书演讲比赛中，七年级3班获得一等奖是随机事件； C、卡片无数字6，是不可能事件； D、打开手机有未接电话是随机事件； 故选：A． 3. 已知一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可得方程的判别式△=0，进而可得关于k的方程，解方程即得答案． 【详解】解：由题意，得：，解得：． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式，属于基础题型，熟知一元二次方程的根的判别式与方程根的个数的关系是解题关键． 4. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数图象上的点的坐标符合函数解析式是解题的关键． 通过将各点的横坐标代入反比例函数解析式求出对应的纵坐标，再比较大小． 【详解】解：∵ 点、、都在反比例函数的图象上， ∴ ， ， ， ∴ ． 故选：D． 5. 近年来，由于新能源汽车的兴起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年6月份售价为20万元，8月份售价为18万元．设该款汽车这两个月售价的月均下降率是x，则所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程．由题意知，7月份的售价为万元，8月份的售价为万元，进而可列方程． 【详解】解：依题意得，， 故选：B． 6. 四大名著是中国古典文学的精品，承载着中国文化的精髓，是学习中国文化的必读著作．王小聪准备利用寒假阅读其中的两本，他选中《三国演义》和《水浒传》的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了概率的求法，关键是画树状图求概率； 把四大名著分别记为：，画树状图即可． 【详解】解：把四大名著分别记为：，其中《三国演义》为，《水浒传》为， 根据题意画树状图如下： 由上图可知：共种等可能结果，其中抽取的有两种， ∴， 故答案选：D． 7. 明明和亮亮在一次大量重复试验中统计了某一结果出现的频率，绘制出如图所示的统计图，符合这一结果的试验可能是（ ） A. 掷一枚质地均匀的骰子，出现1点朝上的频率 B. 掷一枚质地均匀的硬币，出身反面朝上的频率 C. 从分别标有1，2，3的3张纸条中，随机抽出一张，抽到的是偶数的频率 D. 从一道单项选择题的四个备选答案中随机选一个答案，选中正确答案的频率 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查频率与概率的关系，概率的计算方法，掌握相关知识是解决问题的关键．在大量重复试验中，试验的频率逐步稳定在理论概率附近，先计算每个选项的概率，再结合统计图中频率稳定在左右的特征，匹配对应的试验． 【详解】解：由题意知，试验的频率约为， A：掷均匀骰子，总共有 6 个等可能结果，出现 1 点的结果有 1 种，概率 ，与不符； B：掷均匀硬币，总共有 2 个等可能结果，反面朝上的结果有 1 种，概率，与不符； C：从标有 1、2、3 的纸条中抽取，总共有 3 个等可能结果，偶数只有 1 种，概率，与统计图中频率的稳定值一致； D：单项选择题有 4 个选项，且只有 1 个正确答案，总共有 4 个等可能结果，选对正确答案的结果有 1 种，概率 ，与不符． 故选：C． 8. 为了拉动乡村经济振兴，某村设立了一个草帽手工作坊，让留守的老人也能赚钱，其制作工艺中用固定规格的扇形草毡围成一个底面周长为，侧面积为的圆锥形草帽，则制作工艺中所使用扇形草毡的圆心角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆锥侧面积，弧长公式等知识；设扇形的半径为r，扇形面积可求得半径r；再由弧长公式即可求得扇形圆心角的度数． 【详解】解：设扇形的半径为r，则， 解得：； 设扇形圆心角度数为n度，则， 解得：， 即扇形圆心角为； 故选：B． 9. 喜欢钻研的晓雅同学在学习探究二次函数（h为常数）的性质时得到以下结论： ①这个函数图象的顶点始终在直线上； ②当时，y随x的增大而减小，则h的取值范围为； ③点与点在函数图象上，若，则； 其中正确的结论有（ ）． A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，掌握好二次函数的顶点的计算方法是解题关键． 判断三个结论的正确性：结论①：通过顶点坐标验证是否在直线上；结论②：根据二次函数的增减性，求h的范围；结论③：结合函数的性质与函数值的关系． 【详解】解：∵ 二次函数为 ， ∴顶点坐标为 ， 代入直线，当 时，，符合， ∴ 结论①正确； ∵ 函数开口向上，对称轴为直线， ∴在时，随增大而减小， 又∵当时，y随x的增大而减小， ∴ ，即， ∴ 结论②正确； ∵， ∴， ∴，即， ∴结论③正确． 故选：A． 10. 如图，矩形的顶点A，E分别在y轴，x轴的正半轴上，B为的中点，反比例函数的图象经过点B，且与交于点D，连接，，．若的面积为3，则下列结论：①与的面积一定相等；②的面积为1；③；④D为的中点．其中正确的结论是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，关键是找到图形面积与反比例函数的关系； 理解题意，结合矩形的性质以及中线与面积的关系，得，设，根据的面积为，列出方程求得，在论证的过程中逐一判断结论的正确性． 【详解】解：连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∵是的中点， ∴， 设， ∵在反比例函数图象上， ∴， ∴，故①正确； ∴， 即：为的中点，故④正确； ∵的面积为， ∴， ∵分别是的中点，， ∴， ∴， 解得：， 即：，②正确； ∴，故③正确； 故选：D 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 如图所示是“光盘行动”的宣传海报，图中的餐盘与筷子可看成圆和直线，它们的位置关系是______． 【答案】相交 【解析】 【分析】本题考查了直线和圆的位置关系的应用，已知O的半径为r，圆心O到直线的距离是d，当时，直线和圆相离，当时，直线和圆相切，当时，直线和圆相交． 【详解】解：把餐盘看成圆，餐盘的圆心到筷子的距离为d． ∴， ∴直线和圆相交， 故答案为：相交． 12. 在实数范围内定义一种运算“®”，其规则为，例如，．根据这个规则，方程的解为________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查定义新运算，解一元二次方程，掌握相关知识是解决问题的关键．根据新运算规则，将方程转化为关于的一元二次方程，然后利用直接开方法求解． 【详解】解：由运算规则 ，得： ， 即 或 解得或． 故答案为：或． 13. 如图，已知为直线上一点，过点作交反比例函数于点．若，则的值是______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握反比例函数与一次函数的图象和性质以及等腰直角三角形的性质是解答本题的关键． 延长交轴于点，过点作轴于点，可得， 均为等腰直角三角形，设点的坐标为，可得点的坐标为，可得直线函数解析式，设点的横坐标为，则可得点的坐标，计算出，由即可求解出的值． 【详解】解：如图，延长交轴于点，过点作轴于点， ∵为直线上一点， ∴， ∴， ∴，是等腰直角三角形， ∴， 设点的坐标为，则， ∴点的坐标为， 设直线函数解析式为， 把、代入得， ， 解得， ∴直线函数解析式为， 设点的横坐标为，则， ∴， ∵， ∴， ∵点在反比例函数图象上， ∴． 故答案为：8． 14. 按下图所示的流程操作，输入一个数据x，根据y与x的关系式输出一个数据y： 这样可以将一组数据变换成另一组新的数据．现要使任意一组都在之间（含10和60）的数据，变换成一组新数据后能满足下列两个要求： （Ⅰ）新数据都在之间（含40和80）； （Ⅱ）新数据之间的大小关系与原数据之间的大小关系相反，即原数据大的对应的新数据较小． （1）请写出一个符合上述条件的一次函数关系式：___________________． （2）若按关系式将数据进行变换，请写出一个满足上述要求的关系式：___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式． （1）设一次函数为，根据题意对应(最大值)，对应(最小值)，利用待定系数法求解即可； （2）根据题意求得顶点为，当对应(最大值)，对应(最小值)，利用待定系数法求解即可． 【详解】解：（1）要求一次函数满足:原数据在之间时，新数据在之间，且大小关系相反， ∴对应(最大值)，对应(最小值)， 设一次函数为， 由题意得方程组：， 解得，， 故函数为； 故答案为：； （2）二次函数形式为，需满足在之间时，新数据在之间，且大小关系相反， ∴在之间时，是减函数，且端点对应新数据端点， ∵，开口向下， ∴此时顶点为， ∴对应(最大值)，对应(最小值)， ∴得方程组：， 解得，， 故函数为， 故答案为：． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 在功（单位：）一定的条件下，功率（单位：）与做功时间（单位：）成反比例，P与t之间的函数关系如图所示．求当时，P的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的应用． 根据图象可得点在反比例函数图象上，利用待定系数法求得反比例函数的解析式，进而求得当时的P值即可． 【详解】解：由图象知，点在反比例函数图象上， 设反比例函数的解析式为，则， ∴该反比例函数的解析式为， 当时，． 16. 如图，在平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，的三个顶点的坐标分别为． （1）将向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后得到，画出，并直接写出点的坐标； （2）将绕原点顺时针旋转得到，按要求作出，并写出点的坐标以及点在旋转过程中经过的路径长． 【答案】（1） 如图，即为所求， （2） 如图，即为所求， ， 【解析】 【分析】本题平移作图，画旋转图形，弧长公式等知识，数形结合是解题的关键． （1）根据平移的性质找到对应点，顺次连线得出，根据坐标系写出点的坐标，即可求解； （2）根据旋转的性质找到对应点，顺次连线得出，根据坐标系写出点点的坐标，再根据弧长公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：点在旋转过程中经过的路径长 为． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，一次函数的图象与反比例函数（）的图象交于点，． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）利用图象，直接写出不等式的解集为______； 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，利用数形结合的思想求解是解题的关键． （1）把点A坐标代入反比例函数解析式中求出反比例函数解析式，再把点B坐标代入反比例函数解析式中求出点B坐标，最后把点A和点B坐标代入一次函数解析式中求出一次函数解析式即可； （2）根据函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象下方时自变量的取值范围即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵反比例函数的图象经过， ∴， 解得， ∴反比例函数的解析式为； 在中，当时，， ∴， ∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，， ∴， 解得， ∴一次函数解析式为； 【小问2详解】 解：由函数图象可知，当一次函数的图象在反比例函数的 图象下方时自变量的取值范围为或． ∴不等式的解集为或． 18. 如图，是的内接三角形，是的直径，延长到点D，连接，且，．求证：直线是的切线． 【答案】 证明：如图，连接， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在中，，且是的半径， ∴直线是的切线． 【解析】 【分析】本题考查了圆的切线的判定，等腰三角形的性质．连接根据等边对等角的性质得到，推出，，再结合三角形内角和定理，得到，即可证明结论． 【详解】略 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 2025年国庆期间，某商家推出两款文旅纪念品．已知款纪念品进价40元/个，款纪念品进价20元/个． （1）根据网上预约的情况，如果该商家计划用不超过12000元购进两款纪念品共400个，那么至少需要购进款纪念品多少个？ （2）在销售中，该商家发现每个款纪念品售价60元时，可售出200个，售价每增加1元，销售量将减少5个．设每个款纪念品售价元，表示该商家销售款纪念品的利润（单位：元），求关于的函数表达式，并求出的最大值． 【答案】（1）至少需要购进款纪念品200个； （2），最大值为4500． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程组，函数关系式和不等式是解题的关键． （1）设需要购进款纪念品个，则需要购进款纪念品个，根据购买资金不超过 12000元建立不等式求解即可； （2）根据题意可得每个A款纪念品的利润为元，销售量为个，据此列出W关于a的二次函数关系式，再利用二次函数的性质求出W的最大值即可． 【小问1详解】 解：设需要购进款纪念品个，则需要购进款纪念品个， 由题意得，， 解得， ∴的最小值为200， 答：至少需要购进款纪念品200个； 【小问2详解】 解：由题意得， ， ∵， ∴当，即当时，最大，最大值为4500． 20. 已知：和都是等腰直角三角形，． （1）如图①E在上，点D在上时，线段与的数量关系是______，位置关系是______； （2）把绕点C旋转到如图②的位置，连接，（1）中的结论还成立吗？说明理由； 【答案】（1）， （2） （1）中的结论还成立，理由如下： ∵和都是等腰直角三角形，． ∴，即， ∴， ∴，， 如图：设与、分别交于O，F， ∵， ∴，即． 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）根据等腰直角三角形的性质可得，；再利用线段的和差可得； （2）运用等腰直角三角形的性质证明可得、；如图：设与、分别交与O，F，结合运用三角形内角和定理可得，即． 【小问1详解】 解：，，理由如下： ∵和都是等腰直角三角形，． ∴，， ∴，即． 【小问2详解】 略 六、（本题满分12分） 21. 复兴路中学计划成立五个课外兴趣小组（要求每名学生只能参加一个兴趣小组）：A．音乐；B．美术；C．篮球；D．阅读；E．棋类．为了了解学生对以上兴趣小组活动的参与情况，学校老师随机抽取了部分学生进行调查统计，并根据统计结果，绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图、根据图中信息，完成下列问题： （1）①补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）： ②扇形统计图中的圆心角的度数为________． （2）若该校有名学生，估计该校参加E组（棋类）的学生人数． （3）该学校从A组中挑选出了成绩优秀的两名男生和两名女生，计划从这四名同学中随机抽取两名同学参加市里举办的“中学生新年文艺汇演”，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率． 【答案】（1）① 如图： ② （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查统计图，用样本估计总体，用列表法求概率，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）①先由B组人数及百分比求调查总数，再计算D组人数补全条形图；②用D组人数占比乘以 得圆心角 ； （2）先求样本中E组的比例，再乘以全校总人数即可； （3）用列表法求概率即可． 【小问1详解】 解：①B组对应百分比，得调查总数为： 人， D组人数为人； ② ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：参加E组的人数估计为： 人； 【小问3详解】 解： 男1 男2 女1 女2 男1 （男2，男1） （女1，男1） （女2，男1） 男2 （男1，男2） （女1，男2） （女2，男2） 女1 （男1，女1） （男2，女1） （女2，女1） 女2 （男1，女2） （男2，女2） （女1，女2） 共有种等可能性结果，其中恰好一男生一女生的有8种，故． 七、（本题满分12分） 22. 如图1，在半径为1的中，弦，点是的延长线与的交点，连接． （1）求证：平分． （2）如图2，若点是的中点，且，求所对应的圆心角的度数． （3）如图2，当时，求的长． 【答案】（1） 证明：∵点都在上， ∴， 在和中， ∴ ∴ 即平分； （2）圆心角为； （3） 【解析】 【分析】本题考查了圆的综合问题，涉及垂径定理，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，角直角三角形的性质，勾股定理等知识点． （1）证明即可； （2）由等腰三角形可得，而，可求，再由三角形内角和定理可得； （3）连接，由垂径定理得，然后由线段的垂直平分线性质可得，继而可证明是等边三角形，求出，在中，运用角直角三角形的性质和勾股定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴所对应的圆心角为； 【小问3详解】 解：如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴. ∴是等边三角形， ∴， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， ∴． 八、（本题满分14分） 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图像的一个交点为，与x轴的交点为． （1）求，的值． （2）若点是轴上的一个动点，当的周长最小时，求点的坐标． （3）为轴上一点，直线交反比例函数的图像于点（异于），连接，若的面积为，求点的坐标． 【答案】（1）， （2）点的坐标为 （3）点的坐标为 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握利用待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）把代入求出值，把代入可求出的值，代入即可求出的值； （2）作点关于轴的对称点，连接，交轴于，根据轴对称的性质得出的周长最小为，利用待定系数法可求出直线的解析式为，令，求出值，即可得答案； （3）设，直线的解析式为，利用待定系数法得出直线的解析式为，求出，根据的面积为得出，解方程即可得答案． 【小问1详解】 解：∵直线与反比例函数的图像的一个交点为，与x轴的交点为， ∴，， 解得：，， ∴， ∴， 解得：． 【小问2详解】 解：如图，作点关于轴的对称点，连接，交轴于， ∴， ∴， ∴、、三点共线时有最小值，为， ∴的周长最小，为， ∵， ∴， 设直线的解析式为， ∵， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点的坐标为． 【小问3详解】 解：由（1）得， ∴反比例函数解析式为， ∵直线交反比例函数的图像于点（异于）， ∴设，直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得：， ∴， ∴， ∵的面积为， ∴， 当时，，整理得（舍去）， 当时，，整理得（舍去）， 当时，， 解得：， ∴， ∴点的坐标为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学（人教版）九年级卷三 试题卷 注意事项： 1．满分150分，时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，“试题卷”共4页，“答题卷”共6页，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题无效． 3．范围：21~26章． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 古典园林中的窗户是中国传统建筑装饰的重要组成部分，一窗一姿容，一窗一景致．下列窗户图案中，是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 把五个人分成四组，每组至少一人，这四组中有一组有两人 B. 在学校读书演讲比赛中，七年级3班获得一等奖 C. 从分别标有数字1，2，3，4，5的五张卡片中随机抽取一张，上面的数字是6 D. 打开手机有未接电话 3. 已知一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 5. 近年来，由于新能源汽车的兴起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年6月份售价为20万元，8月份售价为18万元．设该款汽车这两个月售价的月均下降率是x，则所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 四大名著是中国古典文学的精品，承载着中国文化的精髓，是学习中国文化的必读著作．王小聪准备利用寒假阅读其中的两本，他选中《三国演义》和《水浒传》的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 明明和亮亮在一次大量重复试验中统计了某一结果出现的频率，绘制出如图所示的统计图，符合这一结果的试验可能是（ ） A. 掷一枚质地均匀的骰子，出现1点朝上的频率 B. 掷一枚质地均匀的硬币，出身反面朝上的频率 C. 从分别标有1，2，3的3张纸条中，随机抽出一张，抽到的是偶数的频率 D. 从一道单项选择题的四个备选答案中随机选一个答案，选中正确答案的频率 8. 为了拉动乡村经济振兴，某村设立了一个草帽手工作坊，让留守的老人也能赚钱，其制作工艺中用固定规格的扇形草毡围成一个底面周长为，侧面积为的圆锥形草帽，则制作工艺中所使用扇形草毡的圆心角为（ ） A. B. C. D. 9. 喜欢钻研的晓雅同学在学习探究二次函数（h为常数）的性质时得到以下结论： ①这个函数图象的顶点始终在直线上； ②当时，y随x的增大而减小，则h的取值范围为； ③点与点在函数图象上，若，则； 其中正确的结论有（ ）． A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个 10. 如图，矩形的顶点A，E分别在y轴，x轴的正半轴上，B为的中点，反比例函数的图象经过点B，且与交于点D，连接，，．若的面积为3，则下列结论：①与的面积一定相等；②的面积为1；③；④D为的中点．其中正确的结论是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 如图所示是“光盘行动”的宣传海报，图中的餐盘与筷子可看成圆和直线，它们的位置关系是______． 12. 在实数范围内定义一种运算“®”，其规则为，例如，．根据这个规则，方程的解为________． 13. 如图，已知为直线上一点，过点作交反比例函数于点．若，则的值是______． 14. 按下图所示的流程操作，输入一个数据x，根据y与x的关系式输出一个数据y： 这样可以将一组数据变换成另一组新的数据．现要使任意一组都在之间（含10和60）的数据，变换成一组新数据后能满足下列两个要求： （Ⅰ）新数据都在之间（含40和80）； （Ⅱ）新数据之间的大小关系与原数据之间的大小关系相反，即原数据大的对应的新数据较小． （1）请写出一个符合上述条件的一次函数关系式：___________________． （2）若按关系式将数据进行变换，请写出一个满足上述要求的关系式：___________． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 在功（单位：）一定的条件下，功率（单位：）与做功时间（单位：）成反比例，P与t之间的函数关系如图所示．求当时，P的值． 16. 如图，在平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，的三个顶点的坐标分别为． （1）将向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后得到，画出，并直接写出点的坐标； （2）将绕原点顺时针旋转得到，按要求作出，并写出点的坐标以及点在旋转过程中经过的路径长． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，一次函数的图象与反比例函数（）的图象交于点，． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）利用图象，直接写出不等式的解集为______； 18. 如图，是的内接三角形，是的直径，延长到点D，连接，且，．求证：直线是的切线． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 2025年国庆期间，某商家推出两款文旅纪念品．已知款纪念品进价40元/个，款纪念品进价20元/个． （1）根据网上预约的情况，如果该商家计划用不超过12000元购进两款纪念品共400个，那么至少需要购进款纪念品多少个？ （2）在销售中，该商家发现每个款纪念品售价60元时，可售出200个，售价每增加1元，销售量将减少5个．设每个款纪念品售价元，表示该商家销售款纪念品的利润（单位：元），求关于的函数表达式，并求出的最大值． 20. 已知：和都是等腰直角三角形，． （1）如图①E在上，点D在上时，线段与的数量关系是______，位置关系是______； （2）把绕点C旋转到如图②的位置，连接，（1）中的结论还成立吗？说明理由； 六、（本题满分12分） 21. 复兴路中学计划成立五个课外兴趣小组（要求每名学生只能参加一个兴趣小组）：A．音乐；B．美术；C．篮球；D．阅读；E．棋类．为了了解学生对以上兴趣小组活动的参与情况，学校老师随机抽取了部分学生进行调查统计，并根据统计结果，绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图、根据图中信息，完成下列问题： （1）①补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）： ②扇形统计图中的圆心角的度数为________． （2）若该校有名学生，估计该校参加E组（棋类）的学生人数． （3）该学校从A组中挑选出了成绩优秀的两名男生和两名女生，计划从这四名同学中随机抽取两名同学参加市里举办的“中学生新年文艺汇演”，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率． 七、（本题满分12分） 22. 如图1，在半径为1的中，弦，点是的延长线与的交点，连接． （1）求证：平分． （2）如图2，若点是的中点，且，求所对应的圆心角的度数． （3）如图2，当时，求的长． 八、（本题满分14分） 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图像的一个交点为，与x轴的交点为． （1）求，的值． （2）若点是轴上的一个动点，当的周长最小时，求点的坐标． （3）为轴上一点，直线交反比例函数的图像于点（异于），连接，若的面积为，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $