精品解析：河南省沁阳市2025-2026学年九年级上学期阶段性调研一（一检）数学试题

九年级阶段性调研试卷（一） 数学 注意事项： 1.本试卷分试题卷和答题卡两部分，三个大题，试题卷4页，答题卡2页，满分120分，考试时间100分钟． 2.考生应首先阅读试题卷及答题卡上的相关信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效．交卷时只交答题卡． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的． 1. 窗棂是中国传统木构建筑的重要元素，既散发着古典之韵，又展现几何之美．下列窗棂图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形，中心对称图形． 根据轴对称图形的定义和中心对称图形的定义，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：A．既是轴对称图形，又是中心对称图形，不符合题意； B．既是轴对称图形，又是中心对称图形，不符合题意； C．是中心对称图形，但不是轴对称图形，符合题意； D．是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意． 故选：C． 2. 某学习小组抛掷一枚质地不均匀的棋子，用频率估计“正面朝上”的概率为0.55，下列说法正确的是（ ） A. 抛掷100次，一定有55次正面朝上 B. 抛掷1次，一定是正面朝上 C. 抛掷1次，不一定是正面朝上 D. 抛掷2次，一定有2次正面朝上 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查用频率估计概率，概率反映事件发生的可能性，而非确定性；频率估计概率存在波动，实际结果可能偏离理论值. 概率0.55表示正面朝上的可能性为，但非必然事件，因此单次抛掷结果不确定，据此逐一判断即可 【详解】∵因概率不保证具体次数或结果， ∴抛掷100次，不一定有55次正面朝上， 抛掷1次，不一定是正面朝上，抛掷2次，不一定有2次正面朝上 ，选项A、B、D均错误， ∵每次抛掷正面朝上不是必然事件， ∴抛掷1次，不一定是正面朝上，选项C正确， 故选C 3. 下列方程中，有两个不相等的实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解题思路为利用一元二次方程根的判别式，分别计算四个选项方程的值，根据与的大小关系判断根的情况 ．本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的判别式及根据判断根的情况是解题的关键． 【详解】解：选项A： ，，， ，无实数根，不符合题意； 选项B： ，，， ，有两个相等的实数根，不符合题意； 选项C： ，，， ，无实数根，不符合题意； 选项D： ，，， ，有两个不相等的实数根，符合题意； 故选：D． 4. 如图，在等边中，D是边AC上一点，连接BD，将绕点B逆时针旋转得到，连接ED，若，则的周长是（ ） A. 15 B. 14 C. 13 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】由旋转的性质可得BD=BE，∠DBE=60°，CD=AE，可证△DBE是等边三角形，可得BD=DE=7，即可求解． 【详解】解：∵将△BCD绕点B逆时针旋转60°得到△BAE， ∴BD=BE，∠DBE=60°，CD=AE， ∴△DBE是等边三角形， ∴BD=DE=7， ∴△AED的周长=AE+AD+DE=CD+AD+DE=8+7=15， 故选：A． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，掌握旋转的性质是本题的关键． 5. 某景区2022年接待游客25万人，经过两年加大旅游开发力度，该景区2024年接待游客达到36万人，那么该景区这两年接待游客的年平均增长率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设该景区这两年接待游客的年平均增长率为x,利用该景区2024年接待游客人次数该景区2022年接待游客人次数该景区这两年接待游客的年平均增长率，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：设年平均增长率为x， 可得方程， 解得或（舍去负值）， 所以该景区这两年接待游客的年平均增长率为， 故选：B 6. 一只不透明的袋子中，装有4个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，通过多次摸球实验后，发现摸到红球的频率约为0.6，估计袋中红球的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，频率估计概率．利用频率估计概率，摸到红球的频率为，即概率约为，设红球个数为r，通过方程求解. 【详解】解：设红球个数为r，则总球数为， ∵ 摸到红球的频率约为， ∴， 解得， 经检验：是原分式方程的解， ∴ 估计袋中红球个数为6， 故选：D 7. 如图，四边形内接于，，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查圆内接四边形的性质、圆周角定理，根据圆内接四边形的性质得到，根据得到，即可得到的度数．关键是根据圆内接四边形的性质得到解答． 【详解】解：由圆内接四边形的性质可知：， ， ， ∵， ． 故选：C． 8. 已知二次函数的图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴位置、与轴交点及特殊点的函数值，结合二次函数性质，逐一分析选项 ．本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数中（开口方向）、（对称轴与共同决定）、（与轴交点）的意义及特殊点函数值的应用是解题的关键． 【详解】解： 二次函数图象中，开口向上， ． 对称轴，又， ，即． 抛物线与轴交点在负半轴， ． 选项A：，，， 两负一正相乘得正， ，该选项错误． 选项B：对称轴，由图象知对称轴，即， 又，两边乘得，，该选项错误． 选项C：当时，，即；当时，， ，该选项正确． 选项D：当时，，由图象知对应的函数值， ，该选项错误． 故选． 9. 定义运算：，例如，则函数的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了新定义运算的理解与二次函数的最值求解，将新定义运算转化为二次函数并利用配方法（顶点式）分析最值是解题的关键． 根据新定义运算，将函数化为二次函数，然后化为顶点式，根据二次函数性质求最小值即可． 【详解】解：， 化为顶点式得 ， ∵，抛物线开口向上， ∴当时，有最小值，． 故选：B． 10. 在水分、养料等条件一定的情况下，某植物的生长速度（厘米/天）和光照强度（勒克斯）之间存在一定关系．在低光照强度范围（）内，与近似成一次函数关系；在中高光照强度范围内，与近似成二次函数关系．其部分图象如图所示．根据图象，下列结论正确的是（ ） A. 当时，随的增大而减小 B. 当时，有最大值 C. 当时， D. 当时， 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质、二次函数与不等式等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． 根据抛物线可直接判断A选项；根据抛物线以及相关数据可得抛物线的对称轴为，进而判定B选项；根据函数图象可判定C选项；根据二次函数的对称性可判定D选项． 【详解】解：A．当时，随的增大先增大、后减小，即A选项错误，不符合题意； B．由函数图象可知：抛物线的对称轴为，即当时，有最大值，则B选项正确，符合题意； C．由函数图象可知：当时，，即C选项错误，不符合题意； D．当时，由图象知，对应的值有两个，即D选项错误，不符合题意． 故选B． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知二次函数的图象经过点，，若，则的整数值可以是______．（写出一个答案即可） 【答案】5（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质．把点，代入，再结合，可得到关于b的不等式，即可求解． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点，， ∴，， ∵， ∴， 解得：或． ∴的整数值可以是5． 故答案为：5（答案不唯一）． 12. 在化学元素“H”“”“”“O”中，任意选择两种化学元素，恰好都是水的组成元素的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题结合化学知识（水的组成元素）考查概率计算，关键在于正确运用组合数公式计算所有可能的选取情况，并准确识别符合要求的情况，体现了跨学科知识的综合应用．要解决该问题，需先明确水的组成元素，再计算从给定的四种元素中任意选取两种的所有可能组合数，接着找出其中恰好包含水的组成元素的组合数，最后根据概率公式（概率=符合条件的组合数÷总组合数）计算概率． 【详解】解：∵从H、、、O四个元素中任意选择两种化学元素， ∴所有可能的结果有，共6种． 其中，恰好都是水的组成元素（即H和O）的结果只有这1种． 因此，所求概率为． 故答案为：． 13. 如图，小明在数学综合实践活动中，利用一面墙（墙长）和18m长的围栏围成一个面积为的矩形场地，则矩形的宽为______m． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设的长度为，则的长度为．然后根据矩形的面积公式列出方程求解即可． 【详解】解：设的长度为，则的长度为，依题意得 整理得， 解得，． 利用一面墙（墙长），围成矩形场地， ． 当时，，不合题意，舍去； 当时，．，符合题意． 矩形的宽为． 故答案为：5． 14. 如图，半圆的直径，将半圆绕点旋转，得到半圆，交于点，若，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理、勾股定理、含的直角三角形的性质和等边三角形的判定和性质，作出正确的辅助线是解决本题的关键． 连接，，过点作，根据勾股定理求出的长，进而证明为等边三角形，则可以根据圆周角定理和含的直角三角形的性质可求出，再根据求解即可． 【详解】解：连接，，过点作，如图， 由旋转可得，， 为直径， ， ， ， ∴为等边三角形， ， ，， 在中，， ， 故答案为：． 15. 如图，在中，，，点是的中点，连接，将绕点旋转，得到．连接，当时，__________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据旋转的性质可知：，根据勾股定理可以求得的值，然后再根据平行线的性质和勾股定理，可以求得和的值，从而可以求得的值；还有一种情况就是点F在点C的左侧时，同理可以求得的值． 【详解】解：作于点G，如图所示， ∵，，点D是的中点， ∴，， ∴， 由旋转的性质可知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点D运动点时，此时， 同理可得，，， ∴； 故答案为：或． 【点睛】本题考查旋转的性质、全等三角形的性质、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 解方程： （1） （2）（配方法） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程．解题的关键在于熟练掌握配方法、公式法解一元二次方程； （1）利用公式法解方程即可； （2）利用配方法解方程即可． 【小问1详解】 解：， ，，， ， ，． 【小问2详解】 解：， ， ， ， ，． 17. 为弘扬科学精神，传播航天知识，感悟榜样力量，某校决定开展“航天逐梦，共赴星辰”的主题活动，包含了以下四个内容：A.科普宣讲；B.模型展览；C.模拟体验；D.手工实践．王老师在四张完全相同的卡片上分别写了，搅匀后背面朝上放置． （1）小颖从中随机抽取一张卡片，恰好是“模型展览”的事件是（ ） A.必然事件 B.随机事件 C.不可能事件 （2）笑笑先从这四张主题卡片中随机抽取一张，然后放回，小颖再从这四张主题卡片中随机抽取一张，请用画树状图或列表的方法求笑笑和小颖抽到不同内容的概率． 【答案】（1）B （2） 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A的结果数目m，然后利用概率公式求出事件A的概率． （1）直接根据随机事件的概念可得答案； （2）画树状图展示所有16种等可能的结果，再找出笑笑和小颖抽到不同内容的结果数，然后根据概率公式求解． 【小问1详解】 小颖从中随机抽取一张卡片，恰好是“模型展览”的事件是：随机事件， 故选B 【小问2详解】 根据题意，画出如下树状图： P（抽到不同内容）． 18. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）作出与关于坐标原点成中心对称的，并写出的坐标． （2）画出绕点顺时针旋转得到，并写出的坐标． （3）在（2）的条件下，求点旋转到点的过程中，所经过的路径长（结果保留） 【答案】（1） 如图，即为所求，由图可知：； （2） 如图，即为所求，由图可知：； （3） 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形变换-中心对称和旋转，求弧长： （1）根据中心对称的性质，画出，进而写出点的坐标即可； （2）根据旋转的性质，画出，进而写出点的坐标即可； （3）利用勾股定理和弧长公式进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由勾股定理得， ∴点旋转到点的过程中，所经过的路径长． 19. 为弘扬沁阳地方文化，让更多游客了解神农故里．神农山景区推出多款文创产品．某景区商店购进一批成本价为30元的猕猴玩偶，当售价为40元时，每天可以售出60件，经调查发现，售价每降价1元，每天可以多售出10件．设该款猕猴玩偶降价元． （1）为让利于游客，该款猕猴玩偶应该降价多少元，商店每天的利润是630元？ （2）商店每天售卖该款猕猴玩偶的利润为元，当售价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）降价3元 （2）当售价为38元时，每天的利润最大，最大利润为640元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用和二次函数的应用，正确理解题意、列出方程与函数关系式是解题的关键； （1）设该款猕猴玩偶降价x元，根据每件的利润×销售数量=销售利润，即可列出方程，解方程，即可作答； （2）设该款猕猴玩偶降价x元，根据每件的利润×销售数量=销售利润即可列出二次函数关系式，再根据二次函数的性质解答即可． 【小问1详解】 解：设该款猕猴玩偶降价x元，则每天售出的数量是件； 根据题意可得：， 整理可得：， 解得：， 由于要让利于游客，舍去， ∴该款猕猴玩偶降价3元时商店每天的利润是630元； 【小问2详解】 解：设该款猕猴玩偶降价x元， 则 ， ∵， ∴当时，取最大值为640元，此时销售价为38元， 答：售价为38元时，每天的利润最大，最大利润是640元． 20. 二次函数的图象经过点和． （1）求该二次函数的表达式及顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出该函数图象； （2）将二次函数的图象向左平移个单位长度后，当时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为6，直接写出的值． 【答案】（1），， 图象如下： （2）或或． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象与几何变换、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值、待定系数法求二次函数解析式，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）利用待定系数法求出解析式，再求出顶点坐标，进而画出图象即可； （2）依据题意，由二次函数的图象向左平移m个单位长度后，则新函数为，此时对称轴是直线，函数图象开口向下，然后分三种情形分别讨论计算，进而可以得解． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象经过点和． ∴，解得， ∴二次函数解析式为：， ∴，即顶点坐标为； 【小问2详解】 解：向左平移m个单位长度后，新函数解析式为 ∴此时对称轴是直线，函数图象开口向下， ∴①当时，即， ∴当时，y取最小值为；当时，y取最大值为． ∵最大值与最小值的差为6， ∴ 解得，符合题意． ②当时，即， ∴当或时，y取最小值为或；当时，y取最大值为2． ∵最大值与最小值的差为6， ∴或． ∴或（不合题意，舍去）或（不合题意，舍去）或， ③当时，即， ∴当时，y取最大值为；当时，y取最小值为． ∵最大值与最小值的差为6， ∴． ∴，不合题意． 综上，或或． 21. 如图，四边形的顶点都在半圆O上，是半圆O的直径，，连接，P在延长线上，且． （1）求证：是半圆O的切线． （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵， ∴，． ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵为直径， ∴，即， ∴， ∴， 又∵为半圆O的半径， ∴为半圆O的切线． （2）6 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理与性质，等腰三角形的性质，切线的判定定理，三角形中位线定理及勾股定理． （1）通过圆周角定理，等腰三角形性质证明，从而证得是半圆O的切线； （2）通过构造中位线，勾股定理列方程求出半径，进而得到的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接交于点E， 由（1）得， ∴， ∵为直径， ∴， ∴为的中位线， ∴， 设，则， ∴，解得：（负数舍去）， ∴． 22. 小王同学很喜欢玩纸飞机，他发现纸飞机的飞行一般会经历上抛、下降、滑行三个阶段，上抛和下降的飞行路径可看作是一段抛物线，滑行的飞行路径可看作是一条线段．如图所示，以地平线为x轴，起抛点所在铅垂线为y轴建立平面直角坐标系，分别得到抛物线和直线．其中，当纸飞机飞行的水平距离为8m时，自动进入滑行阶段． （1）若纸飞机进入滑行阶段时的高度为3.8m． ①直接写出的值； ②小明的前方有一堵2.7m高的围栏，小明最多距离围栏多少米时，纸飞机可以顺利飞过围栏？ （2）要使纸飞机落地点与起抛点的水平距离不超过16m，求的最大值． 【答案】（1）①，；②10.2米 （2） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用； （1）①由纸飞机进入滑行阶段时的高度为3.8m，可得抛物线和直线都过点，分别代入计算即可； ②由纸飞机进入滑行阶段时的高度为，则在滑行阶段飞过围栏时距离最大，当时解方程即可； （2）由题意得：经过，得到直线表达式，再得到抛物线经过，进而即可求解． 【小问1详解】 ①解：纸飞机进入滑行阶段时的高度为3.8m， ∴抛物线和直线都过点， 把代入得，解得； 把代入得，解得； ②解：把代入，． 解得：（舍），, 把代入，得，解得：． ， ∴小明最多距离围栏10.2米时，纸飞机可以顺利飞过围栏． 【小问2详解】 解：由题意得：经过， ，解得：， ． ∴当时，，抛物线经过， ，解得：． 23. 综合与实践 问题情境： 如图①，点为正方形内一点，，将绕点按顺时针方向旋转，得到（点的对应点为点），延长交于点，连接． 猜想证明： （1）试判断四边形的形状，并说明理由； （2）如图②，若，请猜想线段与的数量关系并加以证明； 解决问题： （3）如图①，若，，请直接写出的长． 【答案】（1）四边形是正方形， 理由：由旋转可知：，， 又， 四边形是矩形． ∵． 四边形是正方形； （2）． 证明：如图，过点作，垂足为， 则， ． 四边形是正方形， ，． ， ． ． ∵， ； （3）． 【解析】 【分析】（1）由旋转可知：，,再说明可得四边形是矩形，再结合即可证明； （2）过点作，垂足为，先根据等腰三角形的性质得到，再证可得，再结合、即可解答； （3）过E作EG⊥AD，先说明∠1=∠2，再设EF=x、则BE=FE＇=EF=BE＇=x、CE＇=AE=3+x，再在Rt△AEB中运用勾股定理求得x，进一步求得BE和AE的长，然后运用三角函数和线段的和差求得DG和EG的长，最后在Rt△DEG中运用勾股定理解答即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）如图：过E作EG⊥AD ∴GE//AB ∴∠1=∠2 设EF=x，则BE=FE＇=EF=BE＇=x，CE＇=AE=3+x 在Rt△AEB中，BE=x，AE=x+3，AB=15 ∴AB2=BE2+AE2，即152=x2+（x+3）2，解得x=-12（舍），x=9 ∴BE=9,AE=12 ∴sin∠1= ,cos∠1= ∴sin∠2= ,cos∠2= ∴AG=7.2,GE=9.6 ∴DG=15-7.2=7.8 ∴DE=． 【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转变换、勾股定理、解三角形等知识，综合应用所学知识是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级阶段性调研试卷（一） 数学 注意事项： 1.本试卷分试题卷和答题卡两部分，三个大题，试题卷4页，答题卡2页，满分120分，考试时间100分钟． 2.考生应首先阅读试题卷及答题卡上的相关信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效．交卷时只交答题卡． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的． 1. 窗棂是中国传统木构建筑的重要元素，既散发着古典之韵，又展现几何之美．下列窗棂图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 某学习小组抛掷一枚质地不均匀的棋子，用频率估计“正面朝上”的概率为0.55，下列说法正确的是（ ） A. 抛掷100次，一定有55次正面朝上 B. 抛掷1次，一定是正面朝上 C. 抛掷1次，不一定是正面朝上 D. 抛掷2次，一定有2次正面朝上 3. 下列方程中，有两个不相等的实数根的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在等边中，D是边AC上一点，连接BD，将绕点B逆时针旋转得到，连接ED，若，则的周长是（ ） A. 15 B. 14 C. 13 D. 12 5. 某景区2022年接待游客25万人，经过两年加大旅游开发力度，该景区2024年接待游客达到36万人，那么该景区这两年接待游客的年平均增长率为（ ） A. B. C. D. 6. 一只不透明的袋子中，装有4个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，通过多次摸球实验后，发现摸到红球的频率约为0.6，估计袋中红球的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 7. 如图，四边形内接于，，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 已知二次函数的图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 9. 定义运算：，例如，则函数的最小值为（ ） A. B. C. D. 10. 在水分、养料等条件一定的情况下，某植物的生长速度（厘米/天）和光照强度（勒克斯）之间存在一定关系．在低光照强度范围（）内，与近似成一次函数关系；在中高光照强度范围内，与近似成二次函数关系．其部分图象如图所示．根据图象，下列结论正确的是（ ） A. 当时，随的增大而减小 B. 当时，有最大值 C. 当时， D. 当时， 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知二次函数的图象经过点，，若，则的整数值可以是______．（写出一个答案即可） 12. 在化学元素“H”“”“”“O”中，任意选择两种化学元素，恰好都是水的组成元素的概率是______． 13. 如图，小明在数学综合实践活动中，利用一面墙（墙长）和18m长的围栏围成一个面积为的矩形场地，则矩形的宽为______m． 14. 如图，半圆的直径，将半圆绕点旋转，得到半圆，交于点，若，则图中阴影部分的面积为______． 15. 如图，在中，，，点是的中点，连接，将绕点旋转，得到．连接，当时，__________． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 解方程： （1） （2）（配方法） 17. 为弘扬科学精神，传播航天知识，感悟榜样力量，某校决定开展“航天逐梦，共赴星辰”的主题活动，包含了以下四个内容：A.科普宣讲；B.模型展览；C.模拟体验；D.手工实践．王老师在四张完全相同的卡片上分别写了，搅匀后背面朝上放置． （1）小颖从中随机抽取一张卡片，恰好是“模型展览”的事件是（ ） A.必然事件 B.随机事件 C.不可能事件 （2）笑笑先从这四张主题卡片中随机抽取一张，然后放回，小颖再从这四张主题卡片中随机抽取一张，请用画树状图或列表的方法求笑笑和小颖抽到不同内容的概率． 18. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）作出与关于坐标原点成中心对称的，并写出的坐标． （2）画出绕点顺时针旋转得到，并写出的坐标． （3）在（2）的条件下，求点旋转到点的过程中，所经过的路径长（结果保留） 19. 为弘扬沁阳地方文化，让更多游客了解神农故里．神农山景区推出多款文创产品．某景区商店购进一批成本价为30元的猕猴玩偶，当售价为40元时，每天可以售出60件，经调查发现，售价每降价1元，每天可以多售出10件．设该款猕猴玩偶降价元． （1）为让利于游客，该款猕猴玩偶应该降价多少元，商店每天的利润是630元？ （2）商店每天售卖该款猕猴玩偶的利润为元，当售价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？ 20. 二次函数的图象经过点和． （1）求该二次函数的表达式及顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出该函数图象； （2）将二次函数的图象向左平移个单位长度后，当时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为6，直接写出的值． 21. 如图，四边形的顶点都在半圆O上，是半圆O的直径，，连接，P在延长线上，且． （1）求证：是半圆O的切线． （2）若，，求的长． 22. 小王同学很喜欢玩纸飞机，他发现纸飞机的飞行一般会经历上抛、下降、滑行三个阶段，上抛和下降的飞行路径可看作是一段抛物线，滑行的飞行路径可看作是一条线段．如图所示，以地平线为x轴，起抛点所在铅垂线为y轴建立平面直角坐标系，分别得到抛物线和直线．其中，当纸飞机飞行的水平距离为8m时，自动进入滑行阶段． （1）若纸飞机进入滑行阶段时的高度为3.8m． ①直接写出的值； ②小明的前方有一堵2.7m高的围栏，小明最多距离围栏多少米时，纸飞机可以顺利飞过围栏？ （2）要使纸飞机落地点与起抛点的水平距离不超过16m，求的最大值． 23. 综合与实践 问题情境： 如图①，点为正方形内一点，，将绕点按顺时针方向旋转，得到（点的对应点为点），延长交于点，连接． 猜想证明： （1）试判断四边形的形状，并说明理由； （2）如图②，若，请猜想线段与的数量关系并加以证明； 解决问题： （3）如图①，若，，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $