精品解析：北京市海淀区中国人民大学附属中学2025-2026学年 八年级上学期数学12月月考试题

初二上数学大作业12 一、单选题 1. 下列图形中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形的性质，掌握轴对称图形的性质是解题的关键． 观察图形，依次判断各选项中的图形能否沿一条直线对折后能完全重合即可． 【详解】解：选项A：该图形沿竖直的直线对折后，左右部分能完全重合，是轴对称图形，不符合题意要求； 选项B：该图形不论沿哪条直线对折，左右部分均不能完全重合，不是轴对称图形，符合题意要求； 选项C：该图形沿竖直的直线对折后，左右部分能完全重合，是轴对称图形，不符合题意要求； 选项D：该图形沿竖直的直线对折后，左右部分能完全重合，是轴对称图形，不符合题意要求； 故选B． 2. 某公司运用技术，下载一个的文件大约需要秒，将数字用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：， 故选：C． 3. 下列各式从左到右变形正确的是（　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查分式的基本性质，熟练掌握其性质是解题的关键，分子分母同时扩大或缩小相同的倍数（非零），分式的值不变． 据此即可求解． 【详解】解：A、，原式变形正确，符合题意； B、与不一定相等，原式变形错误，不符合题意； C、，原式变形错误，不符合题意； D、，原式变形错误，不符合题意； 故选：A． 4. 在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了关于坐标轴对称的点的坐标特征，根据关于轴对称点的规律，横坐标相同，纵坐标互为相反数，解答即可． 【详解】解：点关于x轴对称的点的坐标是， 故选：A． 5. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据同底数幂相乘，底数不变指数相加；同底数幂相除，底数不变指数相减；幂的乘方，底数不变指数相乘；积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；对各选项分析判断后利用排除法求解． 本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，故此选项不符合题意； 故选：B． 6. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查因式分解的意义，熟练掌握其定义是解题的关键．把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，据此逐项判断即可． 【详解】解：是乘法运算，则A不符合题意； 是乘法运算，则B不符合题意； 中等号右边不是整式积的形式，则C不符合题意； 符合因式分解的定义，则D符合题意； 故选：． 7. 如图，在中，是的角平分线．如果点D到的距离为1，那么的长为（ ） A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，含角的直角三角形的性质等知识，过D作于E，由题意可知，，根据角平分线的定义得，则，得出，再利用含角的直角三角形的性质可得的长，从而解决问题． 【详解】解：过D作于E，由题意可知，， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， 在中， ∵， ∴，即， ∴， 故选：C． 8. 将一副三角板按如图所示的方式放置，图中∠CAF的大小等于（　　） A. 50° B. 60° C. 75° D. 85° 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角形内角和定理和三角形的外角的性质计算即可． 【详解】∵∠DAC＝∠DFE+∠C＝60°+45°＝105°， ∴∠CAF＝180°﹣∠DAC＝75°， 故选C． 【点睛】考查了三角形外角的性质，解题关键是利用了三角形的外角的性质． 9. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，（），且，则点C的横坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查坐标与图形，全等三角形的判定和性质，掌握“一线三等角”模型证明三角形全等是解题的关键． 根据题意，分别作轴，轴，根据“一线三等角”模型证明，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作轴于点，过点作轴于点， ∵，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在，中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵点在轴的负半轴上， ∴点的横坐标为， 故选：． 10. 如图，在中，，，平分交于点，延长到点，使，连接交的延长线于点．给出下面四个结论： ①；②；③；④的面积是的面积的2倍；上述结论中，所有正确结论的序号是（） A. ①② B. ①②③ C. ①③④ D. ①②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键．根据全等三角形的判定与性质、三角形面积公式判断求解即可． 【详解】解：， ， 在和中， ， ， ，， 故①正确，符合题意； ，， ， ， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ， 故②正确，符合题意； ，，， ； 故③正确，符合题意； 根据三角形面积公式得，只有时，的面积是的面积的2倍， 故④错误，不符合题意； 故选：B． 二、填空题 11. 分解因式：___． 【答案】 【解析】 【详解】分析：要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此， 先提取公因式后继续应用平方差公式分解即可：． 12. 已知等腰三角形的周长为，其中一边的长为5，则底边的长为______. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，分两种情况讨论是解题的关键．分类讨论当等腰三角形的底边长为5时，当等腰三角形的腰长为5时，结合三角形的三边关系即可求解； 【详解】解：当等腰三角形的底边长为5时， 等腰三角形的周长为， 它的腰长； 当等腰三角形的腰长为5时， 等腰三角形的周长为， 它的底边长， ， 不能组成三角形； 综上所述：它的底边长为5， 故答案为： 13. 如图，在中，，线段的垂直平分线交，于点M，N，若，则的长为____________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．根据线段垂直平分线的性质得到，进而解答即可． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴， 故答案为：1． 14. 若分式值为负数，则的取值范围是__________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了求分式的值． 分式的值为负，需分子和分母异号，即且，结合分式有意义的条件作答即可． 【详解】解：∵分式的值为负数， ∴分子和分母异号， ∵， ∴且， 解得：且， ∵分母不能为零， ∴， 综上所述，的取值范围是且． 故答案为：且． 15. 在中，，D在边上，且是等腰三角形，则的度数为________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质和三角形内角和定理，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求得，分类讨论：当时；当时；当时，分别根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 当时，， ∴； 当时，； 当时，， 则， ∴不符合题意，故舍去； 综上所述，的度数为或， 故答案为：或． 16. 如图，有正方形A，B，现将B放在A的内部得图1，将A，B并列放置后构造新的正方形得图2，若图1，图2中阴影部分的面积分别为4，30．下列说法正确的有__________． ①正方形A和B的面积和是34； ②图2中新的正方形的面积是64； ③正方形A和B的面积差是4； ④正方形A的边长是5． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用，解二元一次方程组，设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，图1中阴影部分是一个边长为的正方形，图2中新的正方形是一个边长为的正方形，根据正方形面积计算公式可得，据此可求出，和的值，进一步可得的值，再解方程组求出a、b的值，据此逐一判断可得答案． 【详解】解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b， ∵图1，图2中阴影部分的面积分别为4，30， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴正方形A和B的面积和是34，故①正确； ∴， ∴图2中新的正方形的面积是64，故②正确； ∵，且， ∴， ∴， ∴正方形A的边长是5，故④正确； ∵， ∴正方形A和B的面积差是16，故③错误； 故答案为：①②④． 三、解答题 17. 计算：． 【答案】5 【解析】 【分析】先根据绝对值、零指数幂、负整数指数幂、有理数的乘方运算法则计算，再根据有理数加减法则计算即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了绝对值、零指数幂、负整数指数幂、有理数的乘方、有理数的加减，熟练掌握各运算法则是解题的关键． 18. （1）计算：； （2）已知，求代数式的值． 【答案】（1）0；（2）5 【解析】 【分析】此题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，同底数幂的除法，完全平方公式和多项式除以单项式以及求值，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）首先计算同底数幂的乘法，幂的乘方，然后计算同底数幂的除法，然后合并即可； （2）首先将变形为，然后利用完全平方公式和多项式除以单项式化简，然后整体代入求解即可． 【详解】解：（1） ； （2）∵ ∴ ∴ ． 19. 解分式方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，先化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得． 【详解】解： 去分母得， 解得 检验：将代入 ∴原方程的解为． 20. 如图，点A，，，在一条直线上，，，．求证：． 【答案】 证明：， ． 在和中， ． ． 【解析】 【分析】本题主要考查三角形全等．解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定与性质． 根据得到，结合，，，得到，即可得到证明． 【详解】略 21. 先化简，再求值：，其中． 【答案】；7 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，先通分计算括号内，除法变乘法，约分化简后，代值计算即可． 【详解】解： ； 当时，原式． 22. 已知：如图，中，．求作：点，使得点在边上且．作法：①作线段的垂直平分线，交于点，交于点；②连接．点即为所求作的点． （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：是的垂直平分线， ①_____（②__________（填推理的依据）． ③_____（④__________）（填推理的依据）． 又， ． 【答案】（1） 如图所示，即为所求； （2）；线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；；等边对等角 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质和尺规作图，等边对等角和三角形外角的性质： （1）根据线段垂直平分线的尺规作图方法作图即可； （2）由线段垂直平分线的性质得到，再由等边对等角可得，最后根据三角形外角的性质即可证明结论． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略． 23. 嘉嘉去文具店帮同学买笔，回来后和淇淇的对话如图． 设每支圆珠笔为x元．请你通过计算分析，淇淇为什么说嘉嘉搞错了？ 【答案】 ∵每支圆珠笔为x元，则中性笔价格为元， 因此可列方程， 解得，经检验，是分式方程的解， 则圆珠笔的数量为， ∵圆珠笔的数量一定是整数， ∴不符合题意． 故嘉嘉搞错了． 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出分式方程是解此题的关键． 根据买了相同数量的中性笔和圆珠笔，列出分式方程，解方程，进而求出圆珠笔的数量，即可解决问题． 【详解】略 24. 给出定义：如果两个实数a，b使得关于x的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b组成的数对称为关于x的分式方程的一个“k相关系数”． 例如：当时，使得关于x的分式方程的解是成立，所以数对称为关于x的分式方程的一个“1相关系数”． （1）在数对①；②；③中，______（只填序号）是关于x的分式方程的“1相关系数”； （2）若数对是关于x的分式方程的一个“1相关系数”，求t的值； （3）若数对（且）是关于x的分式方程的一个“1相关系数”，且关于y的方程有整数解，直接写出整数c的值． 【答案】（1）① （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了分式的新定义，熟练掌握定义是解题的关键． （1）根据定义，计算判断即可． （2）根据定义，分式方程的解为，代入方程求t的值即可． （3）根据数对（且）是关于的分式方程的一个“1相关系数”，得关于的分式方程的解是，回代方程，得，结合关于的方程的解为，且方程有整数解，解答即可． 【小问1详解】 解：当，时，使得关于的分式方程的解是成立， 所以数对是关于的分式方程的一个“1相关系数”， 故①正确； 当，时，使得关于的分式方程的解是， ， 所以数对不是关于的分式方程的一个“1相关系数”； 故②错误； 当，时，使得关于的分式方程的解是， 无意义， 所以数对不是关于的分式方程的一个“1相关系数”； 故③错误； 故答案为：①； 【小问2详解】 解：根据定义，分式方程的解为， 故． 解得； 【小问3详解】 解：根据数对（且）是关于的分式方程的一个“1相关系数”， 得关于的分式方程的解是， 回代方程，得， 整理，得， ∴， ∵且， ∴， ∴， ∵方程的解为， ∴， ∵方程有整数解， ∴ 当时，，（舍去）； 当时，，（舍去）； 故或． 25. 如图，是等边三角形，D，E两点是边和上的动点（点D不与点B重合），满足，与交于点F． （1）直接写出的度数； （2）作点B关于直线的对称点M，连接，点N为的中点，连接． ①依题意补全图形： ②请写出一个k的值，使得对于满足上述条件的任意一点F，总有成立，并证明． ③设等边三角形的边长为2，直接写出周长的最小值为__________． 【答案】（1） （2） ①依题意补全图形如图所示； ②当时，，证明如下： 由（1）知， 如图所示，延长到Q，使得，连接， ∵是等边三角形， ∴； 由轴对称的性质可得； ∵点N为的中点， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴； 如图所示，延长到P，使得，连接，则是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴． ③6 【解析】 【分析】（1）由等边三角形的性质可得，，则可证明，得到，再根据三角形外角的性质可得答案； （2）①根据题意画出图形即可；②延长到Q，使得，连接，可证明，得到，，则可证明，得到；延长到P，使得，连接，则是等边三角形，证明，得到，则可证明是等边三角形，据此可得结论；③作点M关于直线的对称点T，连接，可证明的周长，则当D、C、T三点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值，最小值为线段的长加上2；证明是等边三角形，得到，则，据此可得答案． 【小问1详解】 解：∵是等边三角形， ∴，， 在中， ， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：略 ① 略 ② ③如图所示，作点M关于直线的对称点T，连接， ∵等边的边长为2， ∴， 由轴对称的性质可得， ∴的周长， ∵点M为定点， ∴点T为定点， ∵， ∴当D、C、T三点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值，最小值为线段的长加上2； ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴的周长的最小值为． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，轴对称的性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 26. 在平面直角坐标系中，对于点和线段给出如下定义：若点满足最小，且，则称点为线段的美好点． （1）若点的坐标是，点的坐标是，线段的美好点的坐标是_____． （2）若点为轴上一动点，点为轴上一动点， ①在图1中画出线段的所有美好点； ②当点的坐标为，点在轴正半轴时，的值为_____． （3）如图2，点和点的坐标分别是，，点为线段上的动点，点的坐标是，以点为中心，各边分别与坐标轴平行且边长为的正方形上存在线段的美好点，直接写出的取值范围． 【答案】（1）或 （2） ①如图所示，直线即为所求 ②； （3）或 【解析】 【分析】本题考查了几何新定义，全等三角形的性质与判定，坐标与图形，等腰直角三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识，理解新定义，分类讨论是解题的关键． （1）根据新定义可得是等腰直角三角形，且是斜边；结合坐标系，写出点的坐标，即可求解； （2）①构造等腰直角三角形，结合坐标系得出美好点的坐标，进而可得美好点在象限平分线上，进而画出图形，即可求解； ②根据①的结论得出点的坐标为即，即可求解； （3）根据题意画出图形，找到的最大值与最小值，根据全等三角形的性质结合坐标系，得出点的坐标，即可求解． 【小问1详解】 解：点满足最小，且， ∴，即是等腰直角三角形，且是斜边； ∵，，且，如图所示， 线段的美好点的坐标是或， 故答案为：或； 【小问2详解】 解：①理由如下， 如图所示，设，过点作轴，过点作于点， ∵，，则是的美好点； 又， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴ ∴ 即点在第二象限的平分线上， 如图所示，当在的另一侧时， 同理可得， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴， 即点在第一象限的平分线上， 如图所示，同理可得在第三、四象限的平分线上， 综上所述，线段的所有美好点组成的图形为象限平分线； ②如图所示， 由①可得， ∴ ∴ ∴， ∴ ∴ 又∵点的坐标为， ∴ ∴ 故答案为：； 【小问3详解】 解：如图所示，设，过点分别作垂足分别为，分别在轴上， ∵点和点的坐标分别是，，点为线段上的动点， ∵，则，是等腰直角三角形， ∴ 即，且， 设P为线段的美好点，， 过P作直线轴，过F作于t，过G作于S，如图， ∵ ∴， ∵， ∴， 又∵ ∴， ∴， ∴， 或， 解得， 或， 当P在上时，，即， ∴ ∴， ∵， ∴，符合题意； 当P在上时，，即或， ∴或， ∴（与P在左侧矛盾，舍去）或， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 当P在上时，，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 当P在上时，，不符合题意； 综上所述，t的取值范围为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初二上数学大作业12 一、单选题 1. 下列图形中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 某公司运用技术，下载一个的文件大约需要秒，将数字用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式从左到右变形正确的是（　） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，是的角平分线．如果点D到的距离为1，那么的长为（ ） A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 4 8. 将一副三角板按如图所示的方式放置，图中∠CAF的大小等于（　　） A. 50° B. 60° C. 75° D. 85° 9. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，（），且，则点C的横坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，平分交于点，延长到点，使，连接交的延长线于点．给出下面四个结论： ①；②；③；④的面积是的面积的2倍；上述结论中，所有正确结论的序号是（） A. ①② B. ①②③ C. ①③④ D. ①②③④ 二、填空题 11. 分解因式：___． 12. 已知等腰三角形的周长为，其中一边的长为5，则底边的长为______. 13. 如图，在中，，线段的垂直平分线交，于点M，N，若，则的长为____________． 14. 若分式值为负数，则的取值范围是__________． 15. 在中，，D在边上，且是等腰三角形，则的度数为________． 16. 如图，有正方形A，B，现将B放在A的内部得图1，将A，B并列放置后构造新的正方形得图2，若图1，图2中阴影部分的面积分别为4，30．下列说法正确的有__________． ①正方形A和B的面积和是34； ②图2中新的正方形的面积是64； ③正方形A和B的面积差是4； ④正方形A的边长是5． 三、解答题 17. 计算：． 18. （1）计算：； （2）已知，求代数式的值． 19. 解分式方程：． 20. 如图，点A，，，在一条直线上，，，．求证：． 21. 先化简，再求值：，其中． 22. 已知：如图，中，．求作：点，使得点在边上且．作法：①作线段的垂直平分线，交于点，交于点；②连接．点即为所求作的点． （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：是的垂直平分线， ①_____（②__________（填推理的依据）． ③_____（④__________）（填推理的依据）． 又， ． 23. 嘉嘉去文具店帮同学买笔，回来后和淇淇的对话如图． 设每支圆珠笔为x元．请你通过计算分析，淇淇为什么说嘉嘉搞错了？ 24. 给出定义：如果两个实数a，b使得关于x的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b组成的数对称为关于x的分式方程的一个“k相关系数”． 例如：当时，使得关于x的分式方程的解是成立，所以数对称为关于x的分式方程的一个“1相关系数”． （1）在数对①；②；③中，______（只填序号）是关于x的分式方程的“1相关系数”； （2）若数对是关于x的分式方程的一个“1相关系数”，求t的值； （3）若数对（且）是关于x的分式方程的一个“1相关系数”，且关于y的方程有整数解，直接写出整数c的值． 25. 如图，是等边三角形，D，E两点是边和上的动点（点D不与点B重合），满足，与交于点F． （1）直接写出的度数； （2）作点B关于直线的对称点M，连接，点N为的中点，连接． ①依题意补全图形： ②请写出一个k的值，使得对于满足上述条件的任意一点F，总有成立，并证明． ③设等边三角形的边长为2，直接写出周长的最小值为__________． 26. 在平面直角坐标系中，对于点和线段给出如下定义：若点满足最小，且，则称点为线段的美好点． （1）若点的坐标是，点的坐标是，线段的美好点的坐标是_____． （2）若点为轴上一动点，点为轴上一动点， ①在图1中画出线段的所有美好点； ②当点的坐标为，点在轴正半轴时，的值为_____． （3）如图2，点和点的坐标分别是，，点为线段上的动点，点的坐标是，以点为中心，各边分别与坐标轴平行且边长为的正方形上存在线段的美好点，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $