精品解析：河南省郑州市创新实验学校2025-2026学年上学期九年级第二次月考数学试卷

郑州市创新实验学校2025-2026学年九年级上期月度调研 数学试卷 满分120分，考试时间100分钟 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 下列四个数中，为有理数的是（ ） A. π B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查有理数以及无理数的定义，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，而无理数就是无限不循环小数，由此即可判断选项．其中初中范围内学习的无理数有：，等；开不尽方的数；以及像0.101001000100001…等有这样规律的数． 【详解】解：A、π是无限不循环小数，是无理数，不符合题意； B、不能表示为分数，是无理数，不符合题意； C、3是整数，是有理数，符合题意； D、不能表示为分数，是无理数，不符合题意； 故选：C． 2. 在空军红剑演习中，歼战斗机凭借隐身优势，在秒内锁定并“击落”一架四代机．数据“”可表示为的形式，下列各数中，n的值可能是（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了负整数指数科学记数法，对于一个绝对值小于1的非0小数，用科学记数法写成的形式，其中，n是正整数，n等于原数中第一个非0数字前面所有0的个数（包括小数点前面的0）．据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选：B． 3. 如图所示几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三视图的概念，先明确左视图的定义，再分析几何体从左面观察所得图形的特征，最后匹配选项得出答案． 【详解】解：A项：该图形缺少了几何体内部结构在左视图中应呈现的虚线，不是从左视图观察该几何体得到的图形，所以A错误； B项：该图形几何体内部结构在左视图中应呈现的是虚线，不是实线，所以B错误； C项：该图形是从左面观察该几何体得到的图形，符合左视图的特征，所以C正确； D项：该图形是从俯视图观察该几何体得到的图形，不符合左视图的特征，所以D错误， 故选：C． 4. 将一副三角板和一个直尺按如图所示的位置摆放，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，与三角板有关的计算，三角形的外角，掌握相关的性质是解题的关键，根据平行线的性质，得到，三角形的外角求出的度数即可． 【详解】解：由题意和图可知：，，， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 5. 若，则下列各式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了不等式的基本性质，解题的关键是熟练掌握：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边同时乘以（或除以）同一个负数时，不等号的方向要改变这一性质．根据不等式的基本性质，由可直接推导出，而其他选项不一定成立，结合反例判断即可求解． 【详解】、由，可得，与选项矛盾，故选项不成立； 、由，可得，故选项成立； 、若，则和同号，但时可能异号（如，，则 ），故选项不一定成立； 、在不等式两边同时乘以，不等号的方向改变，得，与选项矛盾，不成立． 故选：． 6. 运用方差公式对一组数据进行计算的过程中有：，根据该信息，下列说法错误的是（ ） A. 样本的容量是3 B. 样本的中位数是3 C. 样本的众数是2 D. 样本的平均数是 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了方差、样本容量、中位数与众数、平均数，熟练掌握方差公式是解题关键．先根据方差公式可得这组数据为，再根据样本容量的定义、中位数与众数的定义、平均数公式逐项判断即可得． 【详解】解：由方差公式可知，数据3出现了2次，数据4出现了2次，数据2出现了3次， 所以这组数据为． A、样本的容量是，则此项错误； B、样本的中位数是3，则此项正确； C、样本的众数是2，则此项正确； D、样本的平均数是，则此项正确； 故选：A． 7. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是乘方与绝对值，通过计算每个选项，根据指数运算的优先级、绝对值的性质以及负数的奇偶次幂规律进行判断． 【详解】解：∵ A选项中，表示， ∴ A错误； ∵ B选项中，， ∴ B错误； ∵ C选项中，，2025为奇数，结果为， ∴ C错误； ∵ D选项中，，2025为奇数，结果为， ∴ D正确． 故选：D 8. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围（    ） A. B. 且 C. 且 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式的关系，根据关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，得，从而可以列出关于m的不等式，求解即可，还要考虑二次项的系数不能为0． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，且， 解得且， 故选：B． 9. 如图，已知抛物线c（a、b、c为常数，且）的对称轴为直线，且该抛物线与x轴交于点，与y轴的交点B在，之间（不含端点），则下列结论正确的有（ ）个 ①；②；③；④若方程两根为，则 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数和一次函数的性质，根据题干可得，，，即可判断①错误；根据对称轴和一个交点求得另一个交点为，即可判断②正确；将c和b用a表示，即可得到，即可判断③正确；结合抛物线和直线与轴的交点，即可判断④正确． 【详解】解：由图可知， ∵抛物线的对称轴为直线，且该抛物线与轴交于点， ∴，， 则， ∵抛物线与轴的交点在，之间， ∴， 则，故①错误； 设抛物线与轴另一个交点， ∵对称轴为直线，且该抛物线与轴交于点， ∴，解得， 则，故②错误； ∵，，， ∴，解得，故③正确； 根据抛物线与轴交于点和，直线过点和，如图， 方程两根为满足，故④正确； 故选：B． 10. 如图，在边长为4的正方形ABCD中，动点P从A点出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB向B点运动，同时动点Q从B点出发，以每秒2个单位长度的速度沿BC→CD方向运动，当P运动到B点时，P、Q两点同时停止运动．设P点运动的时间为t，△APQ的面积为S，则S与t的函数关系的图象是（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】∵动点Q从B点出发，以每秒2个单位长度的速度沿BC→CD方向运动， ∴点Q运动到点C的时间为4÷2=2秒． 由题意得，当0≤t≤2时，即点P在AB上，点Q在BC上，AP=t，BQ=2t， ，为开口向上的抛物线的一部分． 当2＜t≤4时，即点P在AB上，点Q在DC上，AP=t，AP上的高为4， ，为直线（一次函数）的一部分． 观察所给图象，符合条件的为选项D．故选D． 二、填空题（每空3分，共15分） 11. 若，，则______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了代数式求值，化简二次根式． 将，代入，先计算的值，再化简二次根式即可． 【详解】解：． 故答案为：． 12. 在一个不透明的布袋内，有红球5个，黄球2个，白球1个，蓝球3个，它们除颜色外，大小，质地都相同，若随机从袋中摸取一个球，则摸到______球的可能性最大． 【答案】红 【解析】 【分析】本题考查概率计算，熟练掌握概率公式是解题的关键． 比较各种颜色球的概率，概率最大的即可能性最大． 【详解】解：总球数为个， 则红球的概率为，黄球的概率为，白球的概率为，蓝球的概率为， 由于， 因此摸到红球的可能性最大。 故答案为：红． 13. 如图，中，，，．将平移得到，边和分别交于点G，H．若的面积为6，则阴影部分的周长为_________． 【答案】26 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质、勾股定理、相似三角形的性质与判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据勾股定理得到，根据三角形面积公式得到，根据平移的性质得到，，进而证出，设与的相似比为，根据相似三角形的性质得出，求出的值，得出的三边长，最后利用图形的周长公式即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∵平移得到， ∴，， ∴， ∴， 设与的相似比为， 则， ∴， ∴，，， ∴， ∴阴影部分的周长 ， 故答案为：26． 14. 对于代数式，定义运算“※”：，例如：，若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据新定义运算，将左边按定义化简为分式形式，右边通分后得到分子表达式，通过比较分子系数建立关于A和B的方程组，解出A和B的值后代入所求表达式计算． 【详解】解：根据运算定义，， 右边：， 因此，， 分子相等：， 比较系数得：， 解方程组，得：， 解得：， 将代入得：， 解得：， 因此，． 故答案为：． 15. 如图，是等边三角形的边的中点，为平面内一点，连接，将线段以点为中心逆时针旋转，得到线段，连接．若，点之间的距离为1，则的最小值为_____________，最大值为_____________． 【答案】 ①. ## ②. ## 【解析】 【分析】连接,将绕点逆时针旋转得到,连接,由等边三角形的性质和勾股定理求出,证明是等边三角形，得到,再证明,得到,得出点在以点 为圆心、1 为半径的圆上运动，由点圆位置关系即可得解． 【详解】解：如图所示，连接,将绕点逆时针旋转得到，连接， 点是等边三角形边的中点， ， ， 由旋转的性质可得, 是等边三角形， , , , , , 点在以点 为圆心、1 为半径的圆上运动， 如图， 当点在线段上时，的值最小，最小值为，当点在射线上时，有最大值，最大值为， 故答案为：，. 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，点圆位置关系等知识点，熟练掌握其性质并能正确添加辅助线是解决此题的关键． 三、解答题（共 75 分） 16. 计算： （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，同底数幂的乘法，同底数幂的除法等知识， （1）根据乘方运算，绝对值，立方根等知识进行化简，再进行计算即可求解； （2）根据幂的乘方，单项式乘多项式，同底数幂的乘法进行计算，再合并同类项即可求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. DeepSeek横空出世，犹如一声惊雷劈开垄断，跻身世界最强大模型行列，开启中国人工智能崭新的春天．为激发青少年崇尚科学，探索未知的热情，某校开展了“逐梦科技强国”为主题的模具设计活动．随机抽取全校部分学生的模具设计成绩（成绩为百分制，用x表示），并整理，将其分成如下四组：A：，B：，C：，D：． 下面给出了部分信息：其中C组的成绩为：80，81，82，82，83，84，84，84，85，85，86，86，86，87，87，88，88，89，89，89． 根据以上信息解决下列问题： （1）本次共抽取了________名，学生的模具设计成绩，成绩的中位数是________分，并补全频数分布直方图； （2）请估计全校1200名学生的模具设计成绩不低于80分的人数； （3）学校决定从模具设计优秀的甲、乙、丙、丁四位同学中随机选择两名同学作经验交流，请用画树状图或列表的方法求出所选的两位同学恰为甲和丙的概率． 【答案】（1）50，， 补全频数分布直方图如下： （2）720人 （3） 【解析】 【分析】本题考查了频数直方图，扇形统计图，中位数，样本估计总体，用树状图或列表法求概率，看懂统计图是解题的关键． （1）由D组学生人数除以其百分比可求出抽取的学生人数，进而可求出B组学生人数，补全频数分布直方图即可； （2）用1200乘以成绩不低于80分的人数占比即可； （3）画出树状图，根据树状图解答即可． 【小问1详解】 解：， ∴本次共抽取了50名学生的模具设计成绩， 组学生人数为人， ∵成绩由低到高排列，中位数为第25和第26个数据的平均数， ∴中位数分， 故答案为：50，； 【小问2详解】 解：， 答：估计全校1200名学生的模具设计成绩不低于80分的人数为720人； 【小问3详解】 解：画树状图如下： 由树状图可知，共有12种结果，所选两位同学恰为甲和丙的结果有2种， ∴所选的两位同学恰为甲和丙的概率为． 18. 如图，在平行四边形中，，，． （1）若点是边上的一点，且，请用直尺和圆规作出符合条件的点（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，试求四边形的面积． 【答案】（1） 如图：以点D为圆心，AD长为半径画弧，交BC于点P， ∵AD=DP， ∴∠DPA=∠DAP， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴， ∴∠BPA=∠DAP， ∴． （2）15 【解析】 【分析】（1）以点D为圆心，AD长为半径画弧，交BC于点P，点P即为所求； （2）过点A作AE⊥BC于点E，易证△ABE为等腰直角三角形，根据勾股定理即可求出AE的长度，再根据平行四边形的面积公式即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图：过点A作AE⊥BC于点E， ∵，∠AEB=90°， ∴△ABE为等腰直角三角形， ∴AE=BE， ∵， 设AE=BE=x， ∴在Rt△ABE中，由勾股定理可得：，解得：x=3， ∴四边形ABCD的面积=AD×AE=5×3=15． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质和勾股定理，熟练掌握平行四边形对边平行且相等以及勾股定理相关内容是解题的关键． 19. 如图，已知，是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）求直线AB与x轴的交点C的坐标及的面积； （3）求不等式的解集（请直接写出答案）． 【答案】（1）， （2）6 （3）或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的综合问题，以及和不等式相结合的问题，正确理解函数的图象的坐标，函数与自变量的关系是解决本题的关键． （1）将代入，即可得到m，从而得到反比例函数解析式，然后将A、B代入，即可得到一次函数的解析式； （2）在一次函数上，当时，即可得到的坐标，从而得到的长，然后由求出的面积； （3）根据图象即可求出的解析，即不等式的解集． 【小问1详解】 解：反比例函数经过点， ， ， 将，代入反比例解析式得：， ， 将与坐标代入一次函数解析式得： ， 解得：， ； 【小问2详解】 解：在直线中，当时，， ，即， ； 【小问3详解】 解：由图象知：当或时，， 故不等式的解集是或． 20. 某中学依山而建，校门A处有一坡角的斜坡，长度为20米，在坡顶B处测得教学楼CF的楼顶C的仰角，离B点4米远的E处有一个花台，在E处测得C的仰角，的延长线交水平线于点D，求的长（结果保留根号）． 【答案】米 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，正确进行计算是解题关键．设点B到的距离为，由题意可知，米，，米，，，在中，利用求出的长，设米，则米，然后在，利用求出x的值，进而求出结果即可． 【详解】解：如图，设点B到的距离为， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 由题意可知，米，，米， 在中，（米）， 米， 设米， ∵米， ∴米， 在中，， 米， ∵， ∴在中，， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 米． 答：的长为米． 21. 今年清明假期，陶溪川创意集市吸引了大量游客，某摊位在集市销售两种特色陶瓷工艺品：A款手绘青花瓷杯和B款浮雕陶瓷摆件．已知第一天售出A款5个，B款8个，总销售额为800元；第二天售出A款8个，B款6个，总销售额为940元． （1）求A款手绘青花瓷杯和B款浮雕陶瓷摆件的单价； （2）该摊主第三天共带15个陶瓷工艺品到摊位售卖，全部售出后需保证总销售额不低于1000元，则至少需要带多少个A款陶瓷工艺品？ 【答案】（1）A款手绘青花瓷杯的单价为80元，B款浮雕陶瓷摆件的单价为50元 （2）至少需要带9个A款陶瓷工艺品 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，理解题意得到各数量间的关系是解题的关键． （1）设A款手绘青花瓷杯的单价为x元，B款浮雕陶瓷摆件的单价为y元，根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）设至少需要带a个A款陶瓷工艺品，则需要带个A款陶瓷工艺品，求出总销售额，根据总销售额不低于1000元列不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设A款手绘青花瓷杯的单价为x元，B款浮雕陶瓷摆件的单价为y元， ∵第一天售出A款5个，B款8个，总销售额为800元；第二天售出A款8个，B款6个，总销售额为940元， ∴， 解得：， ∴A款手绘青花瓷杯的单价为80元，B款浮雕陶瓷摆件的单价为50元； 【小问2详解】 解：设至少需要带a个A款陶瓷工艺品，则需要带个B款陶瓷工艺品， 总销售额为元， ∵总销售额不低于1000元， ∴， 解得：， ∵a为整数， ∴a的最小值为9， 答：保证总销售额不低于1000元，至少需要带9个A款陶瓷工艺品． 22. 在校园足球社团课上同学们一起踢足球，球射向球门的路线呈抛物线形，小罗同学从球门正前方的处射门，当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面，球门高为． （1）请建立适当平面直角坐标系，求该抛物线对应的函数表达式； （2）小罗此次射门能否射入球门内？请通过计算说明理由． 【答案】（1）该抛物线对应的函数表达式为； （2） 小罗此次射门不能射入球门内， 理由：由题意得，当时，， 小罗此次射门不能射入球门内． 【解析】 【分析】本题考查的知识点是二次函数的实际应用，待定系数法求解析式，解题关键是根据题意正确求出二次函数解析式． （1）先根据题意建立平面直角坐标系，得到顶点坐标和点坐标，设抛物线解析式为，将点代入即可求解； （2）当时，，即可作答． 【小问1详解】 解：如图所示：以为原点，为轴，建立平面直角坐标系， ， 抛物线顶点为，经过点， 设抛物线解析式为， 将点代入得， 解得， 该抛物线对应的函数表达式为； 【小问2详解】 略 23. （1）【问题探究】如图1，小亮和他的同学组成了“爱琢磨”学习小组，他们碰到这样一道题：“如图1，已知正方形，点，，，分别在边，、，上，若，求证：．“为了解决这个问题，经过思考，学习小组的同学给出了以下两个方案： 方案一：过点作，交于点，过点作，交于点； 方案二：过点作于点，过点作于点． 请在上述两个方案中任选一个加以证明； （2）【知识迁移】如图2，在矩形中，，，点、、、分别在线段、、、上，且．求的值（用含，的式子表示）． （3）【拓展应用】如图3，在四边形中，，，，点、分别在线段、上，且．求的值． 【答案】 证明：方案一，如下图所示，过点作，交于点，过点作，交于点， 四边形是正方形， ，， ， ， ， 四边形和四边形是平行四边形， ，， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， 在和中，， ， ， ， ； 选择方案二，如下图所示， 过点作于点，过点作于点， ， 四边形是正方形， ，， 四边形和四边形是矩形， ，， ，， ， 在和中，， ， ， ； 【解析】 【分析】方案一、过点作，交于点，过点作，交于点，可证四边形和四边形是平行四边形，证明，根据全等三角形的性质可证结论成立； 方案二、过点作于点，过点作于点，可证四边形和四边形是矩形，根据矩形的性质可证，利用全等三角形的性质可证结论成立； 过点作，，可证，，利用角之间的相等关系可证，根据相似三角形的性质可得； 过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，可知四边形是矩形，四边形是平行四边形，过点作，仿照中的方法可以求出结果． 【详解】略 解：如下图所示，过点作，， 四边形是矩形， ，， 四边形和四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， 又， ， ， ； 解：如下图所示，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，过点作， 则， ， 四边形是矩形，四边形是平行四边形， ， ，， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、矩形的性质与判定、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质，解决本题的关键是添加辅助线构造全等三角形或相似三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 郑州市创新实验学校2025-2026学年九年级上期月度调研 数学试卷 满分120分，考试时间100分钟 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 下列四个数中，为有理数的是（ ） A. π B. C. 3 D. 2. 在空军红剑演习中，歼战斗机凭借隐身优势，在秒内锁定并“击落”一架四代机．数据“”可表示为的形式，下列各数中，n的值可能是（ ） A. 5 B. C. D. 3. 如图所示几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 4. 将一副三角板和一个直尺按如图所示的位置摆放，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 若，则下列各式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 6. 运用方差公式对一组数据进行计算的过程中有：，根据该信息，下列说法错误的是（ ） A. 样本的容量是3 B. 样本的中位数是3 C. 样本的众数是2 D. 样本的平均数是 7. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围（    ） A. B. 且 C. 且 D. 9. 如图，已知抛物线c（a、b、c为常数，且）的对称轴为直线，且该抛物线与x轴交于点，与y轴的交点B在，之间（不含端点），则下列结论正确的有（ ）个 ①；②；③；④若方程两根为，则 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 如图，在边长为4的正方形ABCD中，动点P从A点出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB向B点运动，同时动点Q从B点出发，以每秒2个单位长度的速度沿BC→CD方向运动，当P运动到B点时，P、Q两点同时停止运动．设P点运动的时间为t，△APQ的面积为S，则S与t的函数关系的图象是（） A. B. C. D. 二、填空题（每空3分，共15分） 11. 若，，则______ 12. 在一个不透明的布袋内，有红球5个，黄球2个，白球1个，蓝球3个，它们除颜色外，大小，质地都相同，若随机从袋中摸取一个球，则摸到______球的可能性最大． 13. 如图，中，，，．将平移得到，边和分别交于点G，H．若的面积为6，则阴影部分的周长为_________． 14. 对于代数式，定义运算“※”：，例如：，若，则________． 15. 如图，是等边三角形的边的中点，为平面内一点，连接，将线段以点为中心逆时针旋转，得到线段，连接．若，点之间的距离为1，则的最小值为_____________，最大值为_____________． 三、解答题（共 75 分） 16. 计算： （1）计算：； （2）化简：． 17. DeepSeek横空出世，犹如一声惊雷劈开垄断，跻身世界最强大模型行列，开启中国人工智能崭新的春天．为激发青少年崇尚科学，探索未知的热情，某校开展了“逐梦科技强国”为主题的模具设计活动．随机抽取全校部分学生的模具设计成绩（成绩为百分制，用x表示），并整理，将其分成如下四组：A：，B：，C：，D：． 下面给出了部分信息：其中C组的成绩为：80，81，82，82，83，84，84，84，85，85，86，86，86，87，87，88，88，89，89，89． 根据以上信息解决下列问题： （1）本次共抽取了________名，学生的模具设计成绩，成绩的中位数是________分，并补全频数分布直方图； （2）请估计全校1200名学生的模具设计成绩不低于80分的人数； （3）学校决定从模具设计优秀的甲、乙、丙、丁四位同学中随机选择两名同学作经验交流，请用画树状图或列表的方法求出所选的两位同学恰为甲和丙的概率． 18. 如图，在平行四边形中，，，． （1）若点是边上的一点，且，请用直尺和圆规作出符合条件的点（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，试求四边形的面积． 19. 如图，已知，是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）求直线AB与x轴的交点C的坐标及的面积； （3）求不等式的解集（请直接写出答案）． 20. 某中学依山而建，校门A处有一坡角的斜坡，长度为20米，在坡顶B处测得教学楼CF的楼顶C的仰角，离B点4米远的E处有一个花台，在E处测得C的仰角，的延长线交水平线于点D，求的长（结果保留根号）． 21. 今年清明假期，陶溪川创意集市吸引了大量游客，某摊位在集市销售两种特色陶瓷工艺品：A款手绘青花瓷杯和B款浮雕陶瓷摆件．已知第一天售出A款5个，B款8个，总销售额为800元；第二天售出A款8个，B款6个，总销售额为940元． （1）求A款手绘青花瓷杯和B款浮雕陶瓷摆件的单价； （2）该摊主第三天共带15个陶瓷工艺品到摊位售卖，全部售出后需保证总销售额不低于1000元，则至少需要带多少个A款陶瓷工艺品？ 22. 在校园足球社团课上同学们一起踢足球，球射向球门的路线呈抛物线形，小罗同学从球门正前方的处射门，当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面，球门高为． （1）请建立适当平面直角坐标系，求该抛物线对应的函数表达式； （2）小罗此次射门能否射入球门内？请通过计算说明理由． 23. （1）【问题探究】如图1，小亮和他的同学组成了“爱琢磨”学习小组，他们碰到这样一道题：“如图1，已知正方形，点，，，分别在边，、，上，若，求证：．“为了解决这个问题，经过思考，学习小组的同学给出了以下两个方案： 方案一：过点作，交于点，过点作，交于点； 方案二：过点作于点，过点作于点． 请在上述两个方案中任选一个加以证明； （2）【知识迁移】如图2，在矩形中，，，点、、、分别在线段、、、上，且．求的值（用含，的式子表示）． （3）【拓展应用】如图3，在四边形中，，，，点、分别在线段、上，且．求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $