4.5.1函数的零点与方程的解 课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦函数零点的定义、与方程解的关系及零点存在定理，通过复习二次函数与一元二次方程的联系导入，从具体实例出发搭建旧知到新知的学习支架，帮助学生逐步抽象出一般概念。 其亮点在于注重数学思维与数学眼光的培养，通过探究二次函数零点与区间端点函数值符号的关系，结合“思考”辨析定理的条件与局限性，培养推理意识和批判性思维。例题练习分层设计，从基础函数到分段函数，结合图象与计算，助力学生用数学语言表达函数与方程的联系，学生能深化概念理解，教师可高效实施探究式教学。

4.5.1 函数的零点与方程的解 复习回顾 二次函数 一元二次方程 二次函数的零点 一元二次方程的解 方程 x2-2x-3=0 函数 y=x2-2x-3 函数图象 方程的根 函数的图象与x轴交点 x1=-1,x2=3 (-1,0),(3,0) x y 0 －1 3 2 1 1 2 －1 －2 －3 －4 . . . . . 方程的根就是函数图象与x轴交点的横坐标 一、 函数的零点 定义： 函数y=f(x)的零点 方程f(x)=0的实根 函数y=f(x)图象与x轴交点的横坐标 零点 不是点 对于一般函数f(x)，我们把使f(x)=0的实数x 叫做函数y=f(x)的零点 练 习 -1和-6 -1 观察二次函数y=x2-2x-3的图象 探究： 二次函数的零点 -1 3 x y -3 O 在区间[-2,0]和区间[2,4]内有零点； 思考：这两个端点的函数值符号有什么关系？ 它和“区间内有零点”有联系吗？ 计算区间端点的函数值，符号分别是？ 二、 零点存在定理 函数零点存在定理：函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)·f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根。 函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点，是不是一定有f(a)·f(b)<0？ 思考1 ？ a b 不一定 零点存在性定理是“存在零点”的充分不必要条件。 函数 在区间 内满足 但它在 内有零点吗？ 思考2 ？ b 没有 函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且f(a)·f(b)<0时，能否判断函数在区间(a，b)上的零点个数？ 思考3 ？ 不能 a b 在零点存在定理中，若f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在(a，b)内存在零点．则满足什么条件时f(x)在(a，b)上有唯一零点？ 思考4 ？ 多个零点 a b a b 唯一零点 f(x)在(a，b)内为单调函数 二、 零点存在定理 函数零点存在定理：函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)·f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根。 例1 例题探究 C A 练 习 C C 3.若函数 在区间 上有零点，则 的值可能是 A.-2 B.0 C.1 D.3 A 总结 1.函数零点定义 2.函数零点与方程的解的关系——函数图象与x轴 交点的横坐标; 3.零点存在性及判定方法——方程解的存在与判定； 零点个数的判断——方程解的个数判定. $