第二章不等式与不等式组综合能力提升测试卷 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

第二章不等式与不等式组综合能力提升测试卷 一、单选题 1．用不等式可将“a与b的和的平方为非负数”表示为(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列不等式、非负数的概念（非负数即大于等于 0 的数）以及代数式的正确表示；解题的关键是准确拆解文字表述中的数量关系，先确定 “a 与 b 和的平方” 对应的代数式，再结合 “非负数” 的符号特征列出不等式． 先分析文字表述：“a 与 b 的和” 表示为，“和的平方” 即对整体平方，为；“非负数” 表示该式的值大于等于 0，即，由此组合得到对应的不等式，再与选项对比确定答案． 【详解】解：A、选项表示 “a 的平方与 b 的平方的和为非负数”，并非 “a 与 b 和的平方”，此选项不符合题意； B、选项表示 “a 与 b 和的平方为非负数”，与文字表述完全一致，此选项符合题意； C、选项表示 “a 的平方与 b 的平方的和为正数”，既不是 “和的平方” 也排除了非负数中的 0，此选项不符合题意； D、选项表示 “a 与 b 的和的平方为正数”，虽为 “和的平方” 但排除了非负数中的 0，此选项不符合题意； 故选：B． 2．若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，解一元一次不等式，掌握相关知识是解决问题的关键．二次根式在实数范围内有意义的条件是被开方数大于或等于零． 【详解】解：∵ 在实数范围内有意义， ∴ ， ∴ ． 故选：D． 3．下列不等式的解集中，不包括的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查不等式的解集，根据不等式的解集的定义进行判断即可． 【详解】解：中不包括， 故选：C． 4．已知是不等式的一个解，则整数的最小值为（   ） A．6 B．5 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的解，解一元一次不等式确定最小值，掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 将不等式的解代入得出关于k的不等式，再求出解集，确定答案即可． 【详解】解：∵是不等式的一个解， ∴， 解得， ∴整数k的最小值是6． 故选：A． 5．已知有理数a、b，的差比a大，但比b小，则下列说法中正确的是（    ） A．a是正数，b是正数 B．a是正数，b是负数 C．a是负数，b是正数 D．a是负数，b是负数 【答案】D 【分析】本题主要考查了正负数的判定，不等式的性质，根据条件的差比a大，但比b小，列出不等式 和 ，通过代数推导得出a和b的符号均为负． 【详解】解：∵， ∴，即； ∵， ∴； 又∵， ∴， ∴，即． 因此，a和b均为负数， 故选：D． 6．已知有理数，且，则使始终成立的有理数的取值范围是（    ） A．小于或等于的有理数 B．小于的有理数 C．小于或等于的有理数 D．小于的有理数 【答案】C 【分析】根据绝对值的定义先求出的取值范围，再根据始终成立，求出的取值范围． 【详解】解：∵， ∴， ∵始终成立， ∴的取值范围是小于或等于的有理数． 故选：． 【点睛】本题结合绝对值考查了解不等式，掌握绝对值不等式的解法是解题的关键． 7．如图，一次函数的图象经过第二、三、四象限，且与x轴交于点，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式、一次函数的性质，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．根据图象，可以得到当时，，y随x的增大而减小，即可得到不等式的解集． 【详解】解：由图象可得， 当时，，y随x的增大而减小， ∴不等式的解集为， 故选：A． 8．如图，函数和的图像相交于点，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数与一次不等式，掌握数形结合思想是解题的关键． 先求出点的坐标，再根据图像求解即可． 【详解】解：当时，， 解得：， 则点， 由图像得：不等式的解集为：， 故选：A． 9．将不等式组的解集在数轴上表示，下面表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了求不等式组的解集、在数轴上表示解集等知识点，正确求得不等式组的解集是解题的关键． 先分别求出各不等式的解集，再确定不等式组的解集，然后在数轴上表示即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， 所以，该不等式组的解集为． 解集在数轴上表示为： ． 故选：D． 10．若关于x的不等式组无解，且关于x的分式方程的解为非负数，则满足条件的所有整数m的和是（   ） A． B．3 C．0 D．1 【答案】A 【分析】本题考查解一元一次不等式组和分式方程的知识点，解题关键是根据不等式组无解的条件和分式方程解的非负性确定整数的取值范围． 先解不等式组，根据无解的条件得出的范围；再解分式方程，结合解为非负数且分母不为零的条件进一步确定的范围，最后找出符合条件的整数并求和． 【详解】解：解不等式组，得 ∵不等式组无解， ∴， ， 解分式方程，得， ∴且， 且， 且， ，，，，． ． 故选：A． 二、填空题 11．不等式的负整数解为 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式和负整数的定义，解题的关键是掌握解一元一次不等式．解出不等式的解集，即可得到不等式的负整数解． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴不等式的负整数解是. 故答案为：． 12．按照如下程序操作，规定：从“输入一个值x”到“结果是否大于21”为一次程序操作，如果结果得到的数小于或等于21，则用得到的这个数进行下一次操作． 如果程序操作进行了一次就停止，那么输入的x的最大整数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 根据程序操作进行了一次就停止，可列出关于x的一元一次不等式，求出最大整数解即可解答． 【详解】解：根据题意，得， 解得， ∴最大整数解为， 即输入x的最大整数是． 故答案为：． 13．某校为了培养学生阅读的习惯，准备把一些书分给学生阅读，若每人分3本，则多10本；若每人分5本，则最后一人分到了书但不到3本书．共有多少学生？现设一共有x名学生，则可列不等式组为 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式组．设一共有x名学生，根据如果每人分3本，则多10本，共本书；如果每人分5本，那么最后一人分到的书是，可列出不等式组． 【详解】解：设一共有x名学生，列不等式组为： ． 故答案为：． 14．春雨中学九年级（1）班和九年级（2）班的同学外出参观，将两班的所有学生分成8组，如果每组人数比预定每组人数多1人，那么学生总数将超过100人；如果每组人数比预定每组人数少1人，那么学生总数将不到90人．则预定每组学生有 人． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的实际应用，根据题意列出不等式组是解题的关键． 设预定每组分配人，根据两班的所有学生分成8组，如果每组人数比预定每组人数多1人，那么学生总数将超过100人；如果每组人数比预定每组人数少1人，那么学生总数将不到90人，列出不等式方程组求解即可． 【详解】解：设预定每组分配人，根据题意可得： 解得： ∵为整数， ∴， 故答案为：． 15．关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解，解题的关键是根据已知列出关于a的不等式组．先解含参的不等式组，根据不等式组恰有3个整数解得到关于a的不等式组，求解即可．根据解集的情况得到关于a的不等式组是解题的关键． 【详解】解：解不等式得：， 解不等式得：， ∵不等式组恰有3个整数解， ∴， 故答案为：． 16．已知关于的不等式无解，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查不等式的性质，熟练掌握不等式的计算法则是解题的关键； 根据不等式的计算法则即可求解； 【详解】解：关于的不等式无解， 当时， 无解， 即，无解，满足题意； 当时， 无解， 即恒成立， ， 解得：， 综上，实数的取值范围； 故答案为： 三、解答题 17．解下列不等式： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是熟练掌握不等式的性质：不等式两边都加上或减去同一个数或同一个式子，不等号的方向不变；不等式两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向改变． （1）按照移项，合并同类项，化系数为1的步骤进行求解即可； （2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤进行求解即可． 【详解】（1）解：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：； （2）解：， 去分母，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：． 18．解不等式组：，并在数轴上把解集表示出来． 【答案】，图见解析 【分析】本题考查了求不等式组的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式的解集表示在数轴上即可． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， 不等式组的解集为：． 解集在数轴上正确表示为： 19．如图，直线分别交x轴、y轴于A，B两点． (1)求A，B两点的坐标； (2)根据图象：当时，写出x的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查一次函数的性质，求函数值， （1）令得；令得，即可得到A，B两点的坐标； （2）根据一次函数的性质解答． 【详解】（1）解：令中，则，解得； 令得， ∴； （2）由图象得当时，． 20．近年来，机器人技术在各个领域的应用和影响日益显著，它们已经从科幻电影逐渐走入我们的日常生活．某公司计划采购A，B两种机器人进行销售，已知每个B种机器人比每个A种机器人贵5万元，采购5个A种机器人和6个B种机器人共用690万元． (1)采购一个A种机器人、一个B种机器人各需多少万元？ (2)一段时间后，该公司准备用不超过3100万元再次采购第二批A，B两种机器人共50个，且种机器人的数量不超过种机器人数量的3倍．该公司最多可以采购种机器人多少个？ 【答案】(1)采购一个A种机器人需60万元，采购一个B种机器人需65万元 (2)最多可以采购B种机器人20个 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用． （1）设采购一个A种机器人需x万元，则一个B种机器人需万元，根据题意列出一元一次方程解方程即可； （2）设采购B种机器人a个，则采购A种机器人个，根据题意列出一元一次不等式组，解不等式组即可． 【详解】（1）解：设采购一个A种机器人需x万元，则一个B种机器人需万元， 由题意得，， 解得， ∴， 答：采购一个A种机器人需60万元，采购一个B种机器人需65万元； （2）解：设采购B种机器人a个，则采购A种机器人个， 根据题意得， 解得， ∵为整数， ∴最大为20． 答：最多可以采购种机器人20个． 21．已知直线：与直线：相交于点，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线与y轴交于点D． (1)求A，C两点的坐标； (2)若，则x的取值范围是 _______； (3)根据图象，直接写出关于x的不等式的解集． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了求一元一次不等式的解集，一次函数图象与坐标轴的交点问题，求一次函数解析式，根据两条直线的交点求不等式的解集，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）先把代入，求出，再将点坐标代入求得即可； （2）根据，也就是，结合图象可得结论； （3）根据图象，可以得出不等式的解集． 【详解】（1）解：∵直线：与直线：相交于点， ∴把代入， 得， 解得：， 把代入， 得， 解得：， ∴直线：， 当时，则 ， 解出， ∴； （2）∵直线：，， ∴当时，x的取值范围是； （3）， 即， 根据图象，此时的不等式的解集为． 22．2025年3月19日下午，习近平总书记在云南丽江考察时，当地居民与游客热情邀请习近平总书记品尝云南咖啡，总书记亲切回应：“云南咖啡还是代表着中国的，现在国外也是受欢迎的．”某咖啡专卖店销售甲、乙两种类型的云南咖啡的信息如下表： 进货价格（单位：元/盒） 销售价格（单位：元/盒） 甲 x 60 乙 y 75 若该专卖店购进25盒甲种咖啡和30盒乙种咖啡共花费2500元，购进12盒甲种咖啡和15盒乙种咖啡共花费1230元． (1)求x，y的值； (2)该专卖店购进甲、乙两种咖啡共1000盒，其中甲种咖啡的数量不超过700盒，且不少于乙种咖啡数量的．设该专卖店销售这1000盒咖啡获得的利润为w元，求w的最大值． 【答案】(1) (2)w的最大值为23000 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用及一次函数的应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系和不等关系，列出方程组和不等式求解． （1）由题意得甲种咖啡的采购单价是元，乙种咖啡的采购单价是元，根据购进25盒甲种咖啡和30盒乙种咖啡共花费2500元，购进12盒甲种咖啡和15盒乙种咖啡共花费1230元，列出方程组求解即； （2）设购买甲种咖啡盒，购买乙种咖啡盒，根据“甲种咖啡的数量不超过700盒，且不少于乙种咖啡数量的”，列出不等式求解出a的取值范围，再根据，利用一次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得 ； （2）解：设购买甲种咖啡盒，购买乙种咖啡盒， ， 解得 又∵ ∴，且a为正整数， ， 随a的增大而减小， 当时，有最大值，最大值为， 答：w的最大值为23000． 23．已知关于x、y的二元一次方程组． (1)求方程组的解；（用含k的代数式表示）； (2)若，设，求S的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了采用加减消元法求解二元一次方程组的解，不等式的性质等知识，掌握加减消元法是解答本题的关键． （1）根据加减消元法解二元一次方程组，即可求解； （2）根据，得出，再根据，即可求解． 【详解】（1）解： ， ：， ， 把代入②，得   （2）           法二：：         24．已知． (1)比较大小：①_____；②_____．（填“”、“”或“”）； (2)若，，，求与的大小关系． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）运用不等式的性质进行计算求解； （2）运用不等式的性质和作差法进行比较、求解． 此题考查了不等式性质的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识． 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∴； ②∵， ∴， 即， 故答案为：，； （2）解：由（1）得，， ∴， ∵，，， ∴ ， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $第二章不等式与不等式组综合能力提升测试卷 一、单选题 1.用不等式可将“a与b的和的平方为非负数”表示为() A.a2+b2≥0B.(a+b)≥0 C.a2+b2>0 D.(a+b)>0 2.若二次根式√x-1在实数范围内有意义，则x的取值范围是() A.x≠1 B.x≥-1 C.x>1 D.x≥1 3.下列不等式的解集中，不包括-5的是() A.x≤5 B.x≥-5 C.x≤-6 D.x≥-6 =5是不等式红+3y≤4的一个解，则整数k的最小值为() x=-2 4.已知 A.6 B.5 C.-6 D.-5 5.已知有理数a、b,a-b的差比a大，但比b小，则下列说法中正确的是() A.a是正数，b是正数 B.a是正数，b是负数 C.a是负数，b是正数 D.a是负数，b是负数 6.已知有理数a,b,且b<3,则使a<b始终成立的有理数a的取值范围是() A.小于或等于3的有理数 B.小于3的有理数 C.小于或等于-3的有理数 D.小于-3的有理数 7.如图，一次函数y=@+b的图象经过第二、三、四象限，且与x轴交于点(-2,0)，则不 等式+b<0的解集是() A.x>-2 B.x<-2 C.x>0 D.x<0 8.如图，函数y=2x和y=ax+4的图像相交于点A(m,4),则不等式2x≥ax+4的解集为 () 试卷第1页，共4页 A.x≥2 B.x≤4 C.x≤2 D.x≥4 9.将不等式组 x-1>-2 [6-2x≤3的解集在数轴上表示，下面表示正确的是(） 。。 A.-2-1 023 B.-2101323 c.202 D.-2-101323 2 2 10.若关于x的不等式组 x-1≤-m+3x无解，且关于x的分式方程4，m--3的解为 x-2>2x x-33-x 非负数，则满足条件的所有整数m的和是() A.-2 B.3 C.0 D.1 二、填空题 11.不等式-3x+1≤4的负整数解为 12.按照如下程序操作，规定：从“输入一个值x”到“结果是否大于21”为一次程序操作，如 果结果得到的数小于或等于21，则用得到的这个数进行下一次操作， 是 输入（习2 停止 如果程序操作进行了一次就停止，那么输入的x的最大整数是 13,某校为了培养学生阅读的习惯，准备把一些书分给学生阅读，若每人分3本，则多10 本；若每人分5本，则最后一人分到了书但不到3本书.共有多少学生？现设一共有x名学 生，则可列不等式组为· 14.春雨中学九年级(1)班和九年级(2)班的同学外出参观，将两班的所有学生分成8组， 如果每组人数比预定每组人数多1人，那么学生总数将超过100人如果每组人数比预定每 组人数少1人，那么学生总数将不到90人.则预定每组学生有 人 [2x-3≤0 15.关于x的不等式组 r-a>0恰有3个整数解，则a的取值范围是 16,己知关于x的不等式x2-x+1≤0无解，则实数m的取值范围是， 试卷第2页，共4页 三、解答题 17.解下列不等式： (1)-x+1<7x-3. 2+1>x-3. 2x+1<4x+3 18.解不等式组： 3+x、2x-1,,并在数轴上把解集表示出来。 +1 2 3 -5-4-3-2-1012345→ 19.如图，直线y=2x+4分别交x轴、y轴于A,B两点， (1)求A,B两点的坐标； (②)根据图象：当y<0时，写出x的取值范围 20,近年来，机器人技术在各个领域的应用和影响日益显著，它们已经从科幻电影逐渐走入 我们的日常生活，某公司计划采购A,B两种机器人进行销售，已知每个B种机器人比每个 A种机器人贵5万元，采购5个A种机器人和6个B种机器人共用690万元 (1)采购一个A种机器人、一个B种机器人各需多少万元？ (2)一段时间后，该公司准备用不超过3100万元再次采购第二批A,B两种机器人共50个， 且A种机器人的数量不超过B种机器人数量的3倍.该公司最多可以采购B种机器人多少 个？ 21.已知直线AB:y=mx+4与直线CD:y=2x-4相交于点C(n,2),直线AB与x轴交于 点A,与y轴交于点B,直线CD与y轴交于点D. D (1)求A,C两点的坐标： 试卷第3页，共4页 (2)若x+4<0,则x的取值范围是 (3)根据图象，直接写出关于x的不等式0<x+4≤2x-4的解集. 22.2025年3月19日下午，习近平总书记在云南丽江考察时，当地居民与游客热情邀请习 近平总书记品尝云南咖啡，总书记亲切回应：“云南咖啡还是代表着中国的，现在国外也是 受欢迎的.”某咖啡专卖店销售甲、乙两种类型的云南咖啡的信息如下表： 进货价格（单位：元/盒） 销售价格（单位：元/盒） 甲 60 乙 75 若该专卖店购进25盒甲种咖啡和30盒乙种咖啡共花费2500元，购进12盒甲种咖啡和15 盒乙种咖啡共花费1230元. (1)求x,y的值： (2)该专卖店购进甲、乙两种咖啡共1000盒，其中甲种咖啡的数量不超过700盒，且不少于 乙种咖啡数量的 ,设该专卖店销售这1000盒咖啡获得的利润为w元，求w的最大值。 2x-5y=2k-3 23.已知关于x、y的二元一次方程组 x+3y=5 (1)求方程组的解；（用含k的代数式表示）： (2)若-1<k≤1，设S=x-8y,求S的取值范围. 24.已知a>b>c. (I)比较大小：①a+bb+c;②a+b2c.(填“>”、“=”或“<”)； ②法p+9,g-, 2—n三9C，求P与的大小关系. 试卷第4页，共4页