精品解析：四川省自贡市富顺县古佛镇2025-2026学年九年级上期末数学定时练习题

2025-2026年度（上）九年级期末教学质量调研 初中数学试题 （时间:120分钟　满分:150分）　 一．选择题（共12小题，每小题4分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，解题的关键是熟练掌握两个定义． 利用轴对称图形和中心对称图形的定义，逐项进行判断即可． 【详解】解：A.该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意； B.该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； C. 该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； D. 该图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，不符合题意； 故选：A． 2. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（　　） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，需注意二次项系数不为零，根据一元二次方程根的判别式，方程有两个不相等的实数根时，判别式大于零，且二次项系数不为零． 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴，且， 其中，，， ∴， 解得， 又∵， ∴且． 故选：D． 3. 已知m，n是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根，则m2﹣mn+3m+n=（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】根据m+n=-2，m•n=-5，直接求出m、n即可解题． 【详解】∵m、n是方程x2+2x−5=0的两个实数根， ∴mn=−5，m+n=−2， ∵m2+2m−5=0 ∴m2=5−2m ∴m2−mn+3m+n=(5−2m)−(−5)+3m+n=10+m+n=10−2=8， 故答案为C. 【点睛】本题考查的是代数式求解，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键. 4. 已知二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 对称轴为直线 B. 函数的最大值是3 C. 抛物线开口向上 D. 顶点坐标为 【答案】D 【解析】 【分析】由二次函数解析式可得抛物线开口方向、对称轴、顶点坐标和最值，进而求解． 【详解】解：， 对称轴为直线，最大值为，顶点坐标为， ∵， ∴开口向下， 故D正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系． 5. 关于圆有如下的命题：①平分弦的直径垂直于弦；②不在同一直线上的三个点确定一个圆；③三角形的内心到三角形三条边的距离相等；④圆的切线垂直于半径；⑤在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆周角相等．其中命题正确的是有（ ）个． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】根据垂径定理，圆的基本性质，弧、圆心角、圆周角的关系，切线的性质，逐项判断即可求解． 【详解】解：①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故①错误； ②不在同一直线上的三个点确定一个圆，故②正确； ③三角形的内心到三角形三条边的距离相等，故③正确； ④圆的切线垂直于过切点的半径，故④错误； ⑤在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆周角相等或互补，故⑤错误； 所以正确的命题有②③，共2个． 故选：A． 【点睛】本题考查垂径定理，圆的基本性质，弧、圆心角、圆周角的关系，切线的性质，熟练掌握垂径定理，切线的性质，圆的基本性质，弧、圆心角、圆周角的关系是解题的关键． 6. 如图，将绕点逆时针旋转得到，若点落在线段的延长线上，则大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查的是三角形的旋转，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．根据旋转的性质可得出，再根据等腰三角形的性质可求出的度数，此题得解． 【详解】解：根据旋转的性质，可得， ， 故选：B． 7. 如图，是的直径，点C，D在上，若，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由于是的直径，由圆周角定理可知，则和互余，欲求需先求出的度数，已知了同弧所对的圆周角的度数，则，由此得解． 【详解】解：是的直径， ，即； 又， ． 故选：D． 【点睛】此题主要考查的是圆周角定理及其推论；半圆（弧）和直径所对的圆周角是直角；同弧所对的圆周角相等． 8. 一次函数与二次函数在同一个平面坐标系中图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一次函数、二次函数图象与系数的关系逐项判断即可． 【详解】解：由解析式可得：一次函数与二次函数的图象与y轴的交点都为，即交点重合， 选项B，C，D满足，选项A不满足，排除A； B选项，由一次函数图象可得，此时二次函数的图象应开口向下，有可能； C选项，由一次函数图象可得，此时二次函数的图象应开口向上，不可能； D选项，由一次函数图象可得，此时二次函数的图象应开口向下，不可能； 故选B． 【点睛】本题考查一次函数与二次函数图象的综合判断，解题的关键是掌握一次函数、二次函数图象与系数的关系． 9. 如图，、分别与半圆O切于点A，D，切于点E，若，，则的半径为（ ） A. 12 B. C. 6 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】过B作于F，证明四边形为矩形，得到，，由切线长定理得，，求出，然后结合勾股定理求解即可． 【详解】解：过B作于F，如图， ∵、分别与半圆O切于点A，D， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵切于点E， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴的半径为6． 10. 若函数在上的最小值为4，则实数a的值为（ ） A. 或3 B. －1或1 C. 0或2 D. 2或4 【答案】A 【解析】 【分析】求出函数值为4时的自变量值，再根据开口方向，得到关于a的方程，解之即可． 【详解】解：∵函数在上的最小值为4， ∴令， 解得：或， ∵， ∴函数图象开口向上， ∴或， ∴或， 故选A． 【点睛】本题考查的知识点是二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键． 11. 下表中列出的是二次函数的自变量x与函数y的几组对应值： x … 0 1 3 … y … 12 … 下列各选项中，正确的是（ ） A. B. 这个函数的最小值是 C. 一元二次方程的根是 D. 当时，y的值随x值的增大而增大 【答案】C 【解析】 【分析】先利用待定系数法求出二次函数的解析式，然后根据二次函数的性质即可判断A、B、D选项，解相应的方程即可判断C选项，进而可得答案. 【详解】解：把点代入，得 ，解得：， 所以抛物线的解析式为； ∴，这个函数的最小值是，当时，y的值随x值的增大而增大， 故A、B、D选项错误； 方程即为，此方程的两根是，故选项C正确； 故选：C. 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数的性质等知识，正确求解函数的解析式、熟练掌握二次函数的性质是解题的关键. 12. 已知二次函数，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新的函数图像（如图所示），当直线与新图像有3个交点时，m的值是（　　） A. B. C. 或3 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】求出抛物线与x轴的交点坐标，直线与抛物线只有一个公共点时，即可求得直线与新图象有3个交点时m的值． 【详解】解：令，解得：， 抛物线与x轴的交点坐标分别为及， 如图，当直线过时，它与新函数的图象有3个交点，则有，解得：； 当直线与抛物线关于x轴对称的抛物线只有一个公共点时，则，即， 则，即， 此时直线与抛物线恰有3个公共点； 综上，当或时，直线与新图像有3个交点． 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数解析式，二次函数的图象与性质，图形的翻折，图象与坐标轴的交点等知识，注意数形结合． 二．填空题（共6小题，每小题4分） 13. 已知点与点关于原点对称，则__________． 【答案】0 【解析】 【分析】平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是，据此即可求得a和b的值，代入即可得出答案． 【详解】解：∵点与点关于原点O的对称， ∴，， ∴． 故答案为：0． 【点睛】此题考查了关于原点对称的点的坐标的特点，属于基础题，关键是掌握关于原点对称的两点的坐标互为相反数，难度一般． 14. 将二次函数的图象向右平移1个单位，再向下平移一个单位，得到对应函数图象的解析式为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先将二次函数解析式化为顶点式，再根据二次函数图象平移规律“左加右减，上加下减”解答即可． 【详解】解：将二次函数化为顶点式为：， 将二次函数的图象向右平移1个单位，再向下平移一个单位，得到的新图象函数的表达式为， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的平移，熟练掌握二次函数图象平移规律是解答的关键． 15. 如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的交点问题，先整理，得，再根据抛物线与直线交于，两点以及运用数形结合思想，进行分析，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵抛物线与直线交于，两点， ∴结合函数，得的解集是， 故答案为： 16. 如图，点O是外接圆的圆心，点I是的内心．若，则的度数为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内心和外心的概念、圆周角定理、等腰三角形的定义等知识，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键．连接，由点I是的内心可得平分，根据角平分线的定义可得，根据圆周角定理可得，根据等腰三角形的定义及三角形内角和定理进行计算即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， ∵点I是的内心， ∴平分， ∵， ∴， ∵点O是外接圆的圆心， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 17. 如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点B的坐标为，直线l：恰好将平行四边形OABC的面积平分，则b的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，直线l：恰好将平行四边形OABC的面积平分，则直线l必过平行四边形对角线的交点，即为线段的中点，可知的中点坐标为，然后将其代入直线方程即可得解． 【详解】解：直线l：恰好将平行四边形OABC的面积平分， 直线l必过平行四边形对角线的交点，即为线段的中点，设为点E（如图）， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】此题考查一次函数图像平分平行四边形的面积问题，熟练掌握一次函数的图像与性质，平行四边形的性质是解此题的关键． 18. 如图，已知、分别为的直径和弦，D为弧的中点，垂直于，交的延长线于E，连接，若，，下列结论正确的是________． ①是的切线；②直径长为；③弦长为；④C为弧的中点． 【答案】①② 【解析】 【分析】本题主要考查切线的判定、垂径定理等知识的综合应用，从D为弧的中点为突破口，结合垂径定理、勾股定理求得半径是解题的关键．连接，交于点F，连接，可证明四边形为矩形，可判断①；在中，由垂径定理结合勾股定理可求得圆的半径，可判断②；由垂径定理可求得的长，结合②可判断③；由弧相等可得弦相等可判断④；可得出答案． 【详解】解：如图，连接，交于点F，连接， ∵D为弧的中点， ∴，且， 又∵为的直径，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴为的切线， 故①正确； ∴，， ∴， 设半径为，， 在中，由勾股定理可得，即， 解得， ∴， 故②正确； 在中，，， ∴， 故③不正确； 若C为弧的中点，则， 在中，，， 由勾股定理可求得， 故④不正确； 综上可知正确的为①②， 故答案为：①②． 三．解答题（共4小题，每小题8分） 19. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】利用因式分解法求解． 【详解】解：∵， 即， ∴或， 解得：，． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 20. 已知关于x的方程 （1）当该方程的一个根为1时，求a的值及该方程的另一根； （2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 【答案】（1），； （2）∵， ∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系列方程组求解即可； （2）要证方程都有两个不相等的实数根，只要证明根的判别式大于0即可． 【详解】解：（1）设方程的另一根为x1， ∵该方程的一个根为1， ∴， 解得． ∴a的值为，该方程的另一根为． （2）略 【点睛】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，注意：如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数，a≠0）的两个根，则x1+x2，x1•x2，要记牢公式，灵活运用． 21. 已知的直径为10，点A，点B，点C在上，的平分线交于点D． （1）求的度数； （2）若，求的长． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题综合考查了圆周角定理，勾股定理，掌握圆周角定理是解题的关键． （1）根据圆周角定理得到，根据角平分线的定义和圆周角定理即可得到结论； （2）利用圆周角定理可以判定和是直角三角形，利用勾股定理可以求得的长度；利用圆心角、弧、弦的关系推知也是等腰三角形，所以利用勾股定理同样得到． 【小问1详解】 解：∵为的直径， ∴， ∵平分， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵为的直径， ∴， ∵在直角中，， ∴由勾股定理得到：， ∵平分， ∴， ∴， 在直角中，， ， ∴． 22. 如图，在足够大的空地上有一段长为24米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形ABCD，其中AD≤MN，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了60米木栏． （1）若围成的矩形菜园的面积为400平方米，求菜园AB边的长； （2）求矩形菜园ABCD面积的最大值． 【答案】（1）20米 （2）432平方米 【解析】 【分析】（1）设AB=x米，根据题意列出方程，再结合墙长进行取舍； （2）设矩形ABCD的面积为S平方米，列出S关于x的函数表达式，再求出x的范围，结合二次函数的性质求出最大值即可． 【小问1详解】 解：设AB=x米，则AD=60-2x， 依题意得，， 解得：，， ∵AD≤MN=24， ∴当x=10时，不合题意，舍去， ∴菜园AB边的长为20米； 【小问2详解】 设AB=x米，矩形ABCD的面积为S平方米， 依题意得：， ，抛物线开口向下， ∵， ∴， ∴当x=18时，菜园ABCD面积的最大值为432平方米． 【点睛】本题考查了二次函数的应用：解此类题的关键是通过几何性质确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围． 四．解答题（共2小题，每小题10分） 23. 如图，在正方形中，E、F是对角线上两点，且，将绕点A顺时针旋转后，得到，连接EQ． （1）求证：是的平分线； （2）已知：，，求的长． 【答案】（1） 证明：由旋转的性质可得，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴ ∴， ∴是平分线； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，正方形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，熟知旋转前后对应角相等，对应线段相等是解题的关键． （1）由旋转的性质得到，，则，由此证明得到，即可证明是平分线； （2）由旋转的性质可得，，再由正方形的性质推出，利用勾股定理求出，则由全等三角形的性质可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由旋转的性质可得，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴． 24. 如图，的三个顶点坐标分别为，，． （1）画出将绕点A顺时针旋转90°得到的，并写出点D，E的坐标； （2）请在图中作出的外接圆（保留作图过程），写出圆心M的坐标． 【答案】（1）点D、E的坐标分别为， （2）M的坐标为 【解析】 【分析】本题考查了旋转作图以及外接圆，熟练掌握旋转的性质作图是解题的关键． （1）将、绕点A顺时针旋转90°得到对应的点D、E，顺次连接即可得到，进而得到点D，E的坐标． （2）作出、垂直平分线，其交点即为外接圆的圆心，再以的长为半径作圆即可． 【小问1详解】 所作如图所示，点D、E的坐标分别为，． 【小问2详解】 所作如图所示，M的坐标为． 五．解答题（共2小题，25题12分，26题14分） 25. 如图，线段为的直径，点C在上，，垂足为点D．点F在上，且．的延长线交于点E．过点C作交的延长线于点M． （1）猜想与的数量关系，并说明理由； （2）求证：直线是的切线； （3）若，，求的长． 【答案】（1） ，理由如下： 延长交于点H，如图所示： ∵，线段为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2） 证明：连接，如图所示： 由（1）知：， ∴， ∵， ∴，即， ∵是的半径， ∴直线是的切线； （3） 【解析】 【分析】本题主要考查垂径定理、切线的判定及性质、勾股定理． （1）延长交于点H，则有，由题意易得，然后问题可求解； （2）连接，由（1）可得，然后可得，进而问题可求证； （3）连接，先由勾股定理求出，再利用面积法求出，最后由勾股定理求的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：连接，如图所示： ∵线段为的直径，点C在上， ∴， 在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，，， ∴． 26. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴和y轴分别交于点A，B，其中，． （1）求抛物线的解析式； （2）点P是直线上方抛物线上一动点，求面积的最大值及此时点P的坐标； （3）在（2）的条件下，将该抛物线向右平移个单位，点C为点P的对应点，平移后的抛物线与y轴交于点E，Q为平移后的抛物线的对称轴上任意一点．若是以为腰的等腰三角形．写出所有符合条件的点Q的坐标，并把求其中一个点Q的坐标的过程写出来． 【答案】（1） （2）， （3） Q的坐标为，，， 过程：，则平移后的抛物线表达式为：，则点， 当时，， 则点，设点， 由点Q、E、C的坐标得，，，， 当时，则， 解得：， 则点Q的坐标为：； 当时，则， 解得：， 则点Q的坐标为：或， 综上，点Q的坐标为：或或． 【解析】 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）由面积，即可求解； （3）由平移方式得到抛物线解析式，进而得到，，设，分当时，列出等式即可求解；当时，同理可解． 【小问1详解】 解：抛物线经过，得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：设直线的解析式为， 经过得：， 解得：， ∴直线AB的解析式为， 过P作x轴的垂线交于H， 设、则， ， ， ∴当时，， 此时； 【小问3详解】 略 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、等腰三角形的性质、解直角三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026年度（上）九年级期末教学质量调研 初中数学试题 （时间:120分钟　满分:150分）　 一．选择题（共12小题，每小题4分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（　　） A. B. C. 且 D. 且 3. 已知m，n是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根，则m2﹣mn+3m+n=（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 4. 已知二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 对称轴为直线 B. 函数的最大值是3 C. 抛物线开口向上 D. 顶点坐标为 5. 关于圆有如下的命题：①平分弦的直径垂直于弦；②不在同一直线上的三个点确定一个圆；③三角形的内心到三角形三条边的距离相等；④圆的切线垂直于半径；⑤在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆周角相等．其中命题正确的是有（ ）个． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 6. 如图，将绕点逆时针旋转得到，若点落在线段的延长线上，则大小为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，是的直径，点C，D在上，若，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 8. 一次函数与二次函数在同一个平面坐标系中图象可能是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，、分别与半圆O切于点A，D，切于点E，若，，则的半径为（ ） A. 12 B. C. 6 D. 5 10. 若函数在上的最小值为4，则实数a的值为（ ） A. 或3 B. －1或1 C. 0或2 D. 2或4 11. 下表中列出的是二次函数的自变量x与函数y的几组对应值： x … 0 1 3 … y … 12 … 下列各选项中，正确的是（ ） A. B. 这个函数的最小值是 C. 一元二次方程的根是 D. 当时，y的值随x值的增大而增大 12. 已知二次函数，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新的函数图像（如图所示），当直线与新图像有3个交点时，m的值是（　　） A. B. C. 或3 D. 或 二．填空题（共6小题，每小题4分） 13. 已知点与点关于原点对称，则__________． 14. 将二次函数的图象向右平移1个单位，再向下平移一个单位，得到对应函数图象的解析式为__________． 15. 如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是______． 16. 如图，点O是外接圆的圆心，点I是的内心．若，则的度数为________． 17. 如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点B的坐标为，直线l：恰好将平行四边形OABC的面积平分，则b的值为______． 18. 如图，已知、分别为的直径和弦，D为弧的中点，垂直于，交的延长线于E，连接，若，，下列结论正确的是________． ①是的切线；②直径长为；③弦长为；④C为弧的中点． 三．解答题（共4小题，每小题8分） 19. 解方程：． 20. 已知关于x的方程 （1）当该方程的一个根为1时，求a的值及该方程的另一根； （2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 21. 已知的直径为10，点A，点B，点C在上，的平分线交于点D． （1）求的度数； （2）若，求的长． 22. 如图，在足够大的空地上有一段长为24米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形ABCD，其中AD≤MN，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了60米木栏． （1）若围成的矩形菜园的面积为400平方米，求菜园AB边的长； （2）求矩形菜园ABCD面积的最大值． 四．解答题（共2小题，每小题10分） 23. 如图，在正方形中，E、F是对角线上两点，且，将绕点A顺时针旋转后，得到，连接EQ． （1）求证：是的平分线； （2）已知：，，求的长． 24. 如图，的三个顶点坐标分别为，，． （1）画出将绕点A顺时针旋转90°得到的，并写出点D，E的坐标； （2）请在图中作出的外接圆（保留作图过程），写出圆心M的坐标． 五．解答题（共2小题，25题12分，26题14分） 25. 如图，线段为的直径，点C在上，，垂足为点D．点F在上，且．的延长线交于点E．过点C作交的延长线于点M． （1）猜想与的数量关系，并说明理由； （2）求证：直线是的切线； （3）若，，求的长． 26. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴和y轴分别交于点A，B，其中，． （1）求抛物线的解析式； （2）点P是直线上方抛物线上一动点，求面积的最大值及此时点P的坐标； （3）在（2）的条件下，将该抛物线向右平移个单位，点C为点P的对应点，平移后的抛物线与y轴交于点E，Q为平移后的抛物线的对称轴上任意一点．若是以为腰的等腰三角形．写出所有符合条件的点Q的坐标，并把求其中一个点Q的坐标的过程写出来． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $