精品解析：河北省邯郸市汉光中学2023-2024学年九年级上学期期末数学试卷

2024汉光中学九上期末数学试卷 一、选择题（共12小题） 1. “扶危救困、乐善好施”是中华民族的优良传统．志愿服务，传递爱心，传递文明，下列志愿服务标志是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列关系中，y与x之间是反比例关系的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列事件中，是随机事件的是（ ） A. 对顶角相等 B. 太阳从西方升起 C. 圆是轴对称图形 D. 随意翻到一本书的某页，这页的页码是偶数 4. 如图所示的几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 5. 通过大量的掷图钉试验，发现钉尖朝上的频率稳定在附近，则可估计钉尖朝上的概率为（　　） A. B. C. D. 6. 三角尺在灯泡O的照射下在墙上形成的影子如图所示，OA＝20cm，OA′＝50cm，则这个三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长的比是（ ） A. 5：2 B. 2：5 C. 4：25 D. 25：4 7. 如图，在中，半径长为，圆心到弦的距离，则弦的长为(　　) A. B. C. D. 8. 图中抛物线的表达式可能是（ ） A. B. C. D. 9. 2024年5月29日16时12分，“长春净月一号”卫星搭乘谷神星一号火箭在黄海海域成功发射．当火箭上升到点时，位于海平面处的雷达测得点到点的距离为千米，仰角为，则此时火箭距海平面的高度为（　　） A. 千米 B. 千米 C. 千米 D. 千米 10. 如图，将绕点A顺时针旋转得到，点B的对应点D恰好落在边上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，某地入口处原有三级台阶，每级台阶高为20cm，深为30cm，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A，斜坡的起始点为C，现设计斜坡的坡度i=1:5，则AC的长度是（ ） A. 200cm B. 210 cm C. 240 cm D. 300 cm 12. 如图（1）所示，E为矩形的边上一点，动点P，Q同时从点B出发，点P沿折线运动到点C时停止，点Q沿运动到点C时停止，它们运动的速度都是/秒．设P、Q同时出发t秒时，的面积为．已知y与t的函数关系图像如图（2）（曲线为抛物线的一部分），则下列结论：①；②；③当时，；④当秒时，；其中正确的结论是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（共4小题） 13. 一个不透明的盒子里有形状、大小相同的黄球2个、红球3个，从盒子里任意摸出1个球，摸到红球的概率是_______． 14. 若是关于的反比例函数，则表格中“？”处应填_____________． 2 ？ 4 1 15. 如图，已知点分别在的边上，，且，若，则________． 16. 如图，是正方形的外接圆，，点是上任意一点，于点．当点从点出发按顺时针方向运动到点时，长的最小值为_______． 三、解答题（共8小题） 17. 计算 （1）； （2）． 18. 小娜家购买了4个灯笼(外观完全一样)，灯笼上分别写有“欢”“度”“春”“节”． (1)小娜从四个灯笼中任取一个，取到“春”的概率是多少； (2)小娜从四个灯笼中先后取出两个灯笼，请用列表法或画树状图法求小娜恰好取到“春”“节”两个灯笼的概率． 19. 如图，是等边三角形，点，分别在边，上，． （1）求证：； （2）如果，求的长． 20. 日晷仪也称日晷，是观测日影计时的仪器．它是根据日影的位置，指定当时的时辰或刻数，是我国古代较为普遍使用的计时仪器．小东为了探究日晷的奥秘，在不同时刻对日晷进行了观察．如图，日晷的平面是以点O为圆心的圆，线段是日晷的底座，点D为日晷与底座的接触点（即与相切于点D）．点A在上，为某一时刻晷针的影长，的延长线与交于点B，连接，，． （1）求证：； （2）若，，求半径长． 21. 在一次海上救援中，两艘专业救助船、同时收到某事故渔船的求救讯息，已知此时救助船在的正北方向，事故渔船在救助船的北偏西30°方向上，在救助船的西南方向上，且事故渔船与救助船相距60海里． （1）求收到求救讯息时事故渔船与救助船之间的距离（结果保留根号）； （2）求救助船、分别以20海里/小时，15海里/小时的速度同时出发，匀速直线前往事故渔船处搜救，试通过计算判断哪艘船先到达． 22. 我校后勤处每周周日均会对学校教室进行消毒处理，已知消毒水的消毒效果随着时间变化如图所示，消毒效果（单位：效力）与时间（单位：分钟）呈现三段函数图象，其中段为渐消毒阶段，段为深消毒阶段，段是反比例函数图象的一部分，为降消毒阶段，请根据图中信息解答下列问题： （1）第3分钟时消毒效果为________效力； （2）求深消毒阶段和降消毒阶段中与之间的函数关系式； （3）若消毒效果持续28分钟达到4效力及以上，即可产生消毒作用，请问本次消毒是否有效？ 23. 如图，点，在抛物线：上，且点A在的对称轴右侧，抛物线与y轴交于点． （1）分别求抛物线的解析式和a的值； （2）平移抛物线，使其顶点在直线上，设平移后所得的抛物线的顶点的横坐标为m，平移后点A的对应点为点． ①当时，求点移动的最短路程； ②求抛物线与y轴交点的纵坐标的最大值． 24. 如图（1），在四边形中，，，， ，动点P从点D开始沿边匀速运动，动点Q从点A开始沿边匀速运动，它们的运动速度均为．点P和点Q同时出发，设运动的时间为t（s），． （1）用含t的代数式表示； （2）当以点A、P、Q为顶点的三角形与相似时，求t的值； （3）如图（2），延长、，两延长线相交于点M，当为直角三角形时，直接写出t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024汉光中学九上期末数学试卷 一、选择题（共12小题） 1. “扶危救困、乐善好施”是中华民族的优良传统．志愿服务，传递爱心，传递文明，下列志愿服务标志是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形，根据中心对称图形的定义判断即可，解题的关键是正确理解中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案． 【详解】、图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，符合题意； 、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； 、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； 、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； 故选：． 2. 下列关系中，y与x之间是反比例关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例关系，根据两个量的乘积一定时，两个量成反比例关系，进行判断即可． 【详解】解：A、 ，的商为定值，不是反比例关系，不符合题意； B、，得到，y与x之间是反比例关系，符合题意； C、，不是反比例关系，不符合题意； D、，得到y与之间是反比例关系，不符合题意； 故选B． 3. 下列事件中，是随机事件的是（ ） A. 对顶角相等 B. 太阳从西方升起 C. 圆是轴对称图形 D. 随意翻到一本书的某页，这页的页码是偶数 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据随机事件的概念，逐项判定即可． 【详解】解：A、对顶角相等，是必然事件，故此选项不符合题意； B、太阳从东方升起，则太阳从西方升起是不可能事件，故此选项不符合题意； C、圆是轴对称图形，是必然事件，故此选项不符合题意； D、随意翻到一本书的某页，这页的页码是偶数，是随机事件，故此选项符合题意； 故选：D． 4. 如图所示的几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了简单几何体的三视图，掌握主视图是从正面看到的图形，左视图是从左面看到的图形，俯视图是从上面看到的图形，且能够看到的线用实线，看不到的线用虚线画出是解题关键．根据主视图是从正面看到的图形判断即可． 【详解】解：如图所示的几何体的主视图为： 故选：A． 5. 通过大量的掷图钉试验，发现钉尖朝上的频率稳定在附近，则可估计钉尖朝上的概率为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据随机事件通过大量重复试验发生的频率与概率的关系求解即可． 【详解】掷图钉钉尖朝上为随机事件，通过大量的试验，该事件发生的频率稳定在，于是可以把频率估计成该事件发生的概率． 故选：C． 【点睛】本题主要考查用频率估计概率，牢记随机事件的频率与概率的关系（可以通过大量的重复试验，用一个随机事件发生的频率去估计它的概率）是解题的关键． 6. 三角尺在灯泡O的照射下在墙上形成的影子如图所示，OA＝20cm，OA′＝50cm，则这个三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长的比是（ ） A. 5：2 B. 2：5 C. 4：25 D. 25：4 【答案】B 【解析】 【分析】先根据相似三角形对应边成比例求出三角尺与影子的相似比，再根据相似三角形周长的比等于相似比解答即可． 【详解】 如图，∵OA=20cm，OA′=50cm， ∴=== ∵三角尺与影子是相似三角形， ∴三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长的比==2:5. 故选B. 7. 如图，在中，半径长为，圆心到弦的距离，则弦的长为(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了垂径定理与勾股定理．由勾股定理即可求得的长，然后由垂径定理求得的长． 【详解】解：依题意，，，，由勾股定理得： ， ， ， 故选：C． 8. 图中抛物线的表达式可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，由二次函数的图象可得抛物线开口向上，对称轴在轴的右侧，与轴交于负半轴，从而可得，，，即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由图象可得：抛物线开口向上，对称轴在轴的右侧，与轴交于负半轴， ∴，，， ∴， ∴图中抛物线的表达式可能是， 故选：A． 9. 2024年5月29日16时12分，“长春净月一号”卫星搭乘谷神星一号火箭在黄海海域成功发射．当火箭上升到点时，位于海平面处的雷达测得点到点的距离为千米，仰角为，则此时火箭距海平面的高度为（　　） A. 千米 B. 千米 C. 千米 D. 千米 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，熟记锐角三角函数的定义是解题关键，根据锐角的正弦函数的定义即可求解 【详解】解：由题意得： ∴千米 故选：A 10. 如图，将绕点A顺时针旋转得到，点B的对应点D恰好落在边上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了旋转变换的性质、等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键． 根据旋转的性质得到，，根据等腰三角形的性质得到，求得． 【详解】解：由旋转的性质可知，，， ， ， ， 故选：B． 11. 如图，某地入口处原有三级台阶，每级台阶高为20cm，深为30cm，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A，斜坡的起始点为C，现设计斜坡的坡度i=1:5，则AC的长度是（ ） A. 200cm B. 210 cm C. 240 cm D. 300 cm 【答案】C 【解析】 【分析】如图所示：所有台阶高度和为BD的长，所有台阶深度和为AD的长，即BD=60m，AD=60m．然后根据坡度比解答即可． 【详解】过B作BD⊥AC， 由题可知BD=60cm，AD=60cm． ∵tan∠BCA=， ∴DC=300cm， ∴AC=DC-AD=300-60=240（cm）． 故选C． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，运用所学的解直角三角形的知识解决实际生活中的问题，要求我们要具备数学建模能力（即将实际问题转化为数学问题）． 12. 如图（1）所示，E为矩形的边上一点，动点P，Q同时从点B出发，点P沿折线运动到点C时停止，点Q沿运动到点C时停止，它们运动的速度都是/秒．设P、Q同时出发t秒时，的面积为．已知y与t的函数关系图像如图（2）（曲线为抛物线的一部分），则下列结论：①；②；③当时，；④当秒时，；其中正确的结论是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据图（2）可以判断三角形的面积变化分为三段，可以判断出当点P到达点E时点Q到达点C，从而得到的长度，再根据M、N是从5秒到7秒，可得的长度，然后表示出的长度，根据勾股定理求出的长度，然后针对各结论分析解答即可． 【详解】解：根据图（2）可得，当点P到达点E时点Q到达点C， ∵点P、Q的运动的速度都是/秒， ∴， ∴，故①正确； ∵从M到N的变化是2， ∴， ∴， 在中，， ∴，故②错误； 过点P作于点F， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当时，，故③正确； 当秒时，点P在上，此时，， ， ∵，， ∴， 又∵， ∴，故④正确． 综上所述，正确的有①③④． 故选：C． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，解题的关键是根据图（2）判断出点P到达点E时点Q到达点C，也是本题的突破口． 二、填空题（共4小题） 13. 一个不透明的盒子里有形状、大小相同的黄球2个、红球3个，从盒子里任意摸出1个球，摸到红球的概率是_______． 【答案】##0.6 【解析】 【分析】本题主要考查了根据概率公式计算概率，盒子里面有黄球2个、红球3个，一共5个，从盒子里任意摸到1个红球的概率即为红球的个数3除以总的个数5即可． 【详解】解：盒子里面有黄球2个、红球3个，一共5个， 从盒子里任意摸到1个红球的概率是． 故答案为：． 14. 若是关于的反比例函数，则表格中“？”处应填_____________． 2 ？ 4 1 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求反比例函数解析式，已知函数值求自变量值等．根据题意先求出反比例函数解析式为，再将代入中即可求出本题答案． 【详解】解：根据题意设反比例函数解析式为：， ∴将代入中，即， 将代入中，解得：， ∴表格中“？”处应填：， 故答案为：． 15. 如图，已知点分别在的边上，，且，若，则________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了三角形相似的性质，根据相似三角形性质可得到，结合已知即可得出结果． 【详解】解：，， ， ， ， 故答案为：4． 16. 如图，是正方形的外接圆，，点是上任意一点，于点．当点从点出发按顺时针方向运动到点时，长的最小值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】先确定点的运动轨迹，再根据点与圆的位置关系，求出长的最小值即可． 【详解】解：连接、， ∵是正方形的外接圆， ∴、是的直径，即、过圆心O， ∵四边形是正方形， ∴，，， 又， 根据勾股定理得， ∴． ∵， ∴， ∴点在以为直径的圆上（设该圆的圆心为），连接，． ∵， ∴． 在中，，， 根据勾股定理可得． 当、、三点共线时，取得最小值，最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、圆周角定理、点的运动轨迹以及勾股定理，熟练掌握相关性质定理，确定点的运动轨迹是解题的关键． 三、解答题（共8小题） 17. 计算 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）掌握特殊角的三角函数值即可求解； （2）掌握特殊角的三角函数值，零指数幂、绝对值化简、二次根式化简即可求解． 【小问1详解】 【小问2详解】 【点睛】本题主要考查特殊角的三角函数值、零指数幂、绝对值化简、二次根式化简，解题的关键是能够熟练掌握特殊角的三角函数值、零指数幂、绝对值化简、二次根式化简的知识． 18. 小娜家购买了4个灯笼(外观完全一样)，灯笼上分别写有“欢”“度”“春”“节”． (1)小娜从四个灯笼中任取一个，取到“春”的概率是多少； (2)小娜从四个灯笼中先后取出两个灯笼，请用列表法或画树状图法求小娜恰好取到“春”“节”两个灯笼的概率． 【答案】(1)P＝；(2) 【解析】 【分析】⑴根据题意，直接可得概率；⑵首先根据题意列表或者画树状图，然后根据表格求得所有等可能的结果与两次取到所要求的情况数，即列举出符合题意的各种情况的个数，再根据概率公式求解即可求得答案. 【详解】(1)共4种等可能情况,符合题意的有1种 ∴P＝. (2)列表如下： 或画树状图如下： 由列表或画树状图可知，共有12种等可能情况，其中恰好取到“春”“节”两个灯笼的有2种， ∴P(两次恰好取到“春”“节”)＝＝. 【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率，注意列表法与树状图法可以不重不漏的表示出所有等可能的结果，掌握知识点：概率＝所求情况数与总情况数之比是解题关键. 19. 如图，是等边三角形，点，分别在边，上，． （1）求证：； （2）如果，求的长． 【答案】（1） 证明：∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）的长为或 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质及其应用是解题的关键． （）是等边三角形，得到，根据，结合三角形外角的性质，推出，得到； （）由，得到，然后代入数值求得结果； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， 由（）得， ∴即， 设，则， ∴， ∴或， ∴的长为或． 20. 日晷仪也称日晷，是观测日影计时的仪器．它是根据日影的位置，指定当时的时辰或刻数，是我国古代较为普遍使用的计时仪器．小东为了探究日晷的奥秘，在不同时刻对日晷进行了观察．如图，日晷的平面是以点O为圆心的圆，线段是日晷的底座，点D为日晷与底座的接触点（即与相切于点D）．点A在上，为某一时刻晷针的影长，的延长线与交于点B，连接，，． （1）求证：； （2）若，，求半径长． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵与相切于点， ∴， ∵，，， ∴是的平分线， ∴； （2） 【解析】 【分析】（）连接，由切线的性质可得，再根据角平分线的判定可得平分线，即可求解； （）由直角三角形的性质可得，进而得到，再利用直角三角形的性质和勾股定理解答即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴解得， ∴半径长为． 【点睛】本题考查了切线的性质，角平分线的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 21. 在一次海上救援中，两艘专业救助船、同时收到某事故渔船的求救讯息，已知此时救助船在的正北方向，事故渔船在救助船的北偏西30°方向上，在救助船的西南方向上，且事故渔船与救助船相距60海里． （1）求收到求救讯息时事故渔船与救助船之间的距离（结果保留根号）； （2）求救助船、分别以20海里/小时，15海里/小时的速度同时出发，匀速直线前往事故渔船处搜救，试通过计算判断哪艘船先到达． 【答案】（1）海里 （2）救助船先到达 【解析】 【分析】（1）如图，作于，在中先求出的长，继而在中求出的长即可； （2）根据“时间=路程÷速度”分别求出救助船A和救助船B所需的时间，进行比较即可． 【小问1详解】 解：如图，过点P作于， ∴， 由题意得：海里，，， ∴海里，是等腰直角三角形， ∴海里，海里， 答：收到求救讯息时事故渔船与救助船之间的距离为海里； 【小问2详解】 解：∵海里，海里，救助船分别以20海里/小时、15海里/小时的速度同时出发， ∴救助船所用的时间为(小时)， 救助船所用的时间为(小时)， ∵， ∴救助船先到达． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，涉及了含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定，勾股定理的应用等，熟练正确添加辅助线构建直角三角形是解题的关键． 22. 我校后勤处每周周日均会对学校教室进行消毒处理，已知消毒水的消毒效果随着时间变化如图所示，消毒效果（单位：效力）与时间（单位：分钟）呈现三段函数图象，其中段为渐消毒阶段，段为深消毒阶段，段是反比例函数图象的一部分，为降消毒阶段，请根据图中信息解答下列问题： （1）第3分钟时消毒效果为________效力； （2）求深消毒阶段和降消毒阶段中与之间的函数关系式； （3）若消毒效果持续28分钟达到4效力及以上，即可产生消毒作用，请问本次消毒是否有效？ 【答案】（1） （2）深消毒阶段的函数解析式为；降消毒阶段的函数解析式为； （3）本次消毒有效 【解析】 【分析】本题是一次函数与反比例函数综合题，考查了求一次函数及反比例函数解析式，求自变量值和函数值，利用数形结合的思想解决问题是关键． （1）设渐消毒阶段的函数解析式为，将点代入，利用待定系数法求出函数解析式，再求出时的函数值即可； （2）分别设深消毒阶段的函数解析式为，降消毒阶段的函数解析式为，利用待定系数法求出函数解析式即可； （3）分别求出深消毒阶段和降消毒阶段消毒效果达到4效力的时间，作差比较即可． 【小问1详解】 解：由图象可知，第3分钟处于段渐消毒阶段， 设渐消毒阶段的函数解析式为， 将点代入得：， 解得：， 渐消毒阶段的函数解析式为， 当时，， 即第3分钟时消毒效果为效力， 故答案为： 【小问2详解】 解：设深消毒阶段的函数解析式为， 将点和代入得：， 解得：， 深消毒阶段的函数解析式为； 设降消毒阶段的函数解析式为， 将点代入得：， 解得：， 降消毒阶段的函数解析式为； 【小问3详解】 解：当深消毒阶段消毒效果达到4效力时，则， 解得：； 当降消毒阶段消毒效果达到4效力时，则， 解得：， ， 即本次消毒有效． 23. 如图，点，在抛物线：上，且点A在的对称轴右侧，抛物线与y轴交于点． （1）分别求抛物线的解析式和a的值； （2）平移抛物线，使其顶点在直线上，设平移后所得的抛物线的顶点的横坐标为m，平移后点A的对应点为点． ①当时，求点移动的最短路程； ②求抛物线与y轴交点的纵坐标的最大值． 【答案】（1），a的值为3 （2）①；②抛物线与y轴交点的纵坐标的最大值为2 【解析】 【分析】（1）将和代入中，再利用待定系数法求解二次函数的解析式即可，将点代入中，结合二次函数的性质可得a的值； （2）①先求解抛物线的顶点坐标为．结合（1）可得抛物线的顶点坐标为，由平移的性质可得点移动的最短路程为；②先求解抛物线的顶点坐标为，可得抛物线的解析式为．由可得，再利用二次函数的性质可得答案． 【小问1详解】 解：将和代入中， ，解得：， ∴抛物线的解析式为． 将点代入中，解得，． ∵， ∴该抛物线的对称轴为直线． ∵点A在的对称轴右侧， ∴，即a的值为3； 【小问2详解】 ①∵， ∴， 即抛物线的顶点坐标为． 由（1）可得抛物线的顶点坐标为， ∴点移动的最短路程为； ②∵抛物线的顶点的横坐标为m，且顶点在直线上， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线的解析式为． 当时，， 即抛物线与y轴交点的纵坐标为， ∴当时，抛物线与y轴交点的纵坐标的最大值为2． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图象的平移，勾股定理的应用，熟练地运用二次函数的性质解决问题是关键． 24. 如图（1），在四边形中，，，， ，动点P从点D开始沿边匀速运动，动点Q从点A开始沿边匀速运动，它们的运动速度均为．点P和点Q同时出发，设运动的时间为t（s），． （1）用含t的代数式表示； （2）当以点A、P、Q为顶点的三角形与相似时，求t的值； （3）如图（2），延长、，两延长线相交于点M，当为直角三角形时，直接写出t的值． 【答案】（1） （2）或； （3）当或时，为直角三角形； 【解析】 【分析】（1）过点D作，根据条件证明是正方形，根据正方形的性质和题中信息即可求出，用勾股定理求出，即可求出答案； （2）分两种情况讨论：①当时，②当时，根据第一问的结果代入即可； （3）分两种情况讨论：①当时，过点P作，根据条件证明，，根据相似三角形的性质即可求出，②当时，根据条件证明即可求出． 【小问1详解】 解：过点D作，如图所示， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵动点P从点D开始沿边匀速运动，速度为， ∴； 【小问2详解】 解：①当时， 由（1）得：， 由题意得：，， ∴，解得：， ∴当时，以点A、P、Q为顶点的三角形与相似； ②当时， ∴，解得：， ∴当时，以点A、P、Q为顶点的三角形与相似； 综上所述，或； 【小问3详解】 解：①当时， 过点P作，如图所示， 由（1）可得： ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）得：四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴， ∴， 由（1）得：，， ∴， ∴， ∴， ∴，解得：， 经检验， 是分式方程的解； ②当时，如图所示， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得：， 经检验，是分式方程的解， ∴当时，，即为直角三角形， 综上所述，当或时，为直角三角形； 【点睛】本题考查相似的综合知识的应用，掌握矩形的性质，相似三角形的判定与性质等知识是关键，注意分类讨论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $