专题01平方根.立方根寒假预习核心讲义(知识点梳理+常考题型精析+强化巩固)2025-2026学年沪科版七年级数学下册

专题01平方根.立方根寒假预习核心讲义 · 理解平方根、算术平方根、立方根的定义，明确三者的区别与联系。 · 掌握平方根、立方根的计算方法，能准确求解非负数的平方根、算术平方根和任意实数的立方根。 · 会用符号表示平方根、算术平方根和立方根，熟练进行简单的根式运算。 预习必备 知识点梳理 1,平方根(重点预习) 2.立方根 3.平方根与立方根的核心区别与联系 4.预习关键提醒 常考题型 精讲精炼 1.算术平方根的求解方法 2.巧用算术平方根的非负性解题 3.与算术平方根相关的规律探索题 4.算术平方根的实际应用 5.平方根的概念辨析与理解 6.一个数的平方根如何求解 7.已知平方根,反求原数的方法 8.利用平方根解方程 9.立方根的核心概念解析 10.立方根的具体求解步骤 11.已知立方根,反推原数的技巧 12.立方根的实际应用 强化巩固 题型通关 (16题) 【知识点01.平方根】 1.核心定义——从“平方逆运算” 如果一个数x的平方等于a（即x² = a，a是具体的数或字母表达式），那么这个数x就叫做a的平方根（也叫二次方根）。 通俗理解：已知x² = a，反过来求x，求得的x就是a的平方根。比如：因为3²=9，(-3)²=9，所以当a=9时，x=3或x=-3，即3和-3都是9的平方根。 2. 符号表示——规范书写是关键 a的平方根记作：±（读作“正负根号a”），其中“√”是平方根符号（也叫二次根号），被开方数是a。 注意：符号“±”是一个整体，不能拆分理解；只有当a满足特定条件时，这个符号才有意义（具体条件见下方性质）。 3. 重要性质——必须熟记的核心规律 被开方数的取值范围：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数；0只有一个平方根，就是0本身；负数没有平方根（因为任何实数的平方都不可能是负数）。 平方根与平方的互逆性：① 若x是a的平方根，则x² = a；② 若x² = a，则x = ±（前提是a≥0，否则x不存在）。 非负性关联：因为平方根中被开方数需满足a≥0，且算术平方根是平方根中的非负部分，所以≥ 0（a≥0），即被开方数非负、算术平方根非负，这是重要的双重非负性结论。 4. 特别区分——算术平方根（平方根的“非负版本”） 定义：若x² = a（a>0），则正的那个平方根x叫做a的算术平方根，记作x = ；当a=0时，0的算术平方根是0，即= 0。 符号表示：a的算术平方根记作（读作“根号a”），注意此时符号前没有“±”，默认是正数或0。 核心区别： 1 当a>0时，平方根有2个：x = ±（一正一负，互为相反数），算术平方根只有1个：x = （正数）； 2 符号区别：平方根为±，算术平方根为； 3 取值限制：两者均要求被开方数a≥0，且算术平方根满足≥ 0。 【知识点02.立方根(对比预习.突出于平方根的差异)】 1. 核心定义——类比平方根，理解“立方逆运算” 如果一个数x的立方等于a（即x³ = a），那么这个数x就叫做a的立方根（也叫三次方根）。 通俗理解：已知x³ = a，反过来求x，求得的x就是a的立方根。 2. 符号表示——注意与平方根的符号区别 a的立方根记作：x = （读作“三次根号a”），其中“”是立方根符号（也叫三次根号），被开方数是a，符号左上角的“3”是根指数，不能省略；而平方根的根指数是2，通常省略，即其实是。 注意：立方根符号“”前没有“±”，因为对于任意实数a，满足x³ = a的x只有一个，即是唯一的。 3. 重要性质——对比平方根，强化记忆 被开方数的取值范围：任意实数a都有立方根，具体为：当a>0时， > 0；当a=0时，= 0；当a<0时，< 0（与平方根最大的区别：平方根要求a≥0，负数无平方根）。 【知识点03.平方根与立方根的核心区别与联系(核心难点,重点对比】 1. 核心区别（表格梳理，清晰直观） 立方根与立方的互逆性：① 若x是a的立方根，则x³ = a；② 若x³ = a，则x = （a为任意实数，无需限制取值）。 对比维度 平方根（±） 立方根（） 根指数 2（通常省略，即= ） 3（不能省略） 被开方数取值范围 a≥0（非负数），当a<0时，±无意义 a为任意实数（正数、0、负数均可） 结果的个数 a>0时，有2个：±（互为相反数）；a=0时，有1个： = 0 任意实数都只有1个立方根 结果的符号 a>0时，为±（一正一负）；a=0时，为0 a>0时, > 0；a<0时< 0；,=0时，= 0 特殊符号规则 需加“±”表示两个平方根（±），不加“±”默认是算术平方根（≥ 0） 无需加“±”，符号由被开方数决定：的符号与a的符号一致（a>0则 >0，a<0则<0） 特殊结论：互为相反数的两个数的立方根也互为相反数，即 = -（a为任意实数）； 2. 核心联系 (1)都是“开方运算”，是“乘方运算”的逆运算（平方根对应平方的逆运算，立方根对应立方的逆运算）； (2)0的平方根和立方根都是0； (3)都有明确的符号表示，且被开方数是运算的核心对象。 【知识点04.预习关键提醒】 1. 不要混淆“平方根”和“算术平方根”：≥ 0（算术平方根，非负），±才是两个平方根，比如=2（不是±2），±=±2； 2. 不要忽略被开方数的取值范围：遇到√a时，首先要想到a≥0（否则无意义）；遇到时，a为任意实数，均有意义； 3. 不要省略立方根的根指数“3”：不能写成，两者意义完全不同（ 是平方根，是立方根）； 4. 记住“双重非负性”：算术平方根满足≥ 0且a≥0，这是后续解题的关键，需理解“为什么非负”（因为算术平方根是正的平方根或0）。 【题型1.算术平方根的求解方法】 【典例】的值是（   ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了求算术平方根．根据算术平方根的定义，解答即可． 【详解】解：． 故选：B． 【跟踪专练1】若x是25的算术平方根，y是的立方根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根和算术平方根，代数式求值，根据算术平方根和立方根的定义，分别求出x和y的值，然后计算它们的乘积即可得到答案． 【详解】解：∵x是25的算术平方根，y是的立方根， ∴， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练2】下列各组数中，互为相反数的一组是（    ） A．与 B．-3与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】本题考查的是算术平方根，绝对值，相反数与立方根，熟记概念是解题的关键． 判断各组数是否互为相反数，即和是否为零，需计算每组数值并验证. 【详解】解：A、，，，不是相反数，不符合题意； B、，，不是相反数，不符合题意； C、，，是相反数，符合题意； D、，不是相反数，不符合题意； 故选：C． 【题型2.巧用算术平方根的非负性解题】 【典例】若实数，满足，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根和平方的非负性质，熟练掌握非负性质是解题的关键．根据算术平方根和平方的非负性质求出，的值，再代入进行计算即可． 【详解】解：， ，， 解得：，， ． 故答案为：． 【跟踪专练1】已知，那么的值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了算术平方根和绝对值的非负性，代数式求值，解题的关键是熟练掌握算术平方根和绝对值的非负性． 利用非负数的性质（算术平方根和绝对值均非负），它们的和为零则每个必须为零，从而求出x和y的值，再计算表达式． 【详解】解：∵且，且， ∴ 且， ∴ ，即， ，即， ∴， ∴ ， 故选：D． 【跟踪专练2】若，为实数，且，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查平方的非负性和二次根式的双重非负性，有理数的乘方，解决此题定关键是正确的计算；先根据非负性得到，的值，代入求值即可得到答案； 【详解】解：∵， ∴，， 解得，， ∴， 故答案为：1． 【题型3.与算术平方根相关的规律探索题】 【典例】已知，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了被开方数的变化与算术平方根之间的变化规律，熟练掌握小数点移动的规律是解答本题的关键．当被开方数的小数点每向右（或向左）移动2位，它的算术平方根的小数点就相应的向右（或向左）移动1位．据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选A． 【跟踪专练1】利用计算器，得，，，，按此规律．可得的值约为 ． 【答案】 【分析】本题是算术平方根的计算．根据算术平方根的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练2】用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下： 0.0625 0.625 6.25 62.5 625 6250 62500 0.25 0.7906 2.5 7.906 25 79.06 250 根据以上规律，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查算术平方根，能够读懂题意，理解图表是解题的关键．根据表格得到规律，被开方数的小数点（向左或者右）每移动两位，其算术平方根的小数点相应的向相同方向移动一位，据此求解即可． 【详解】解：由表格可以发现：被开方数的小数点（向左或者右）每移动两位，其算术平方根的小数点相应的向相同方向移动一位． ∵， ∴， 故选：A． 【题型4.算术平方根的实际应用】 【典例】电流通过导线时会产生热量，电流、导线电阻、通电时间与产生的热量满足公式，当时， ． 【答案】 【分析】此题考查了用算术平方根解方程，根据题意代入数值得到，根据算术平方根的意义即可得到答案． 【详解】解：当时， ∴， ∵， ∴， 故答案为： 【跟踪专练1】如果一个正方形的面积为，那么它的边长在哪两个相邻的整数之间（   ） A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的估算，掌握估算方式是解题的关键．根据正方形面积公式求出边长后进行估算即可． 【详解】解：∵正方形的面积为， ∴正方形的边长为， ∵， ∴， 故选：B． 【跟踪专练2】如图，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，则阴影部分的面积为 ．    【答案】 【分析】先求出两个小正方形的边长，，再计算大正方形的边长，用大正方形的面积减去小正方形的面积即可得到阴影的面积． 本题考查了正方形的面积与算术平方根，熟练掌握算术平方根的计算是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得两个小正方形的边长，， 故大正方形的边长， 故阴影面积为：， 故答案为：． 【题型5.平方根的概念辨析与理解】 【典例】中国清代学者华蘅芳与英国人傅兰雅合译的《代数术》卷首有“代数之法，无论何数，皆可以任何记号代之”，则2的平方根用符号可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方根的定义．根据平方根的定义，一个正数的平方根有两个，互为相反数，因此2的平方根应表示为正负两个值． 【详解】解：2的平方根用符号表示为 ． 故选：D． 【跟踪专练1】若一个正数的两个平方根分别为与，则等于 ． 【答案】2 【分析】本题考查平方根的性质，根据一个正数的两个不同的平方根互为相反数，即，求解方程即可． 【详解】解：∵若一个正数的两个平方根分别为与， ∴， 解得， 故答案为：2． 【跟踪专练2】下列说法： ①是5的一个平方根； ②的算术平方根是－3； ③的平方根是； ④0的平方根是0． 其中错误说法的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了求一个数的平方根和算术平方根，解题的关键是熟练掌握求一个数的平方根和算术平方根的定义． 逐一分析各说法是否正确，结合平方根和算术平方根的定义进行判断． 【详解】解：说法①：是5的一个平方根； 平方根的定义：若，则是的平方根，5的平方根为，其中是正的平方根（即算术平方根），因此，确实是5的一个平方根，①正确，不符合题意； 说法②：的算术平方根是； 计算，其算术平方根为（算术平方根非负），题目中结果为，显然错误，②错误，符合题意； 说法③：的平方根是； 先计算，再求2的平方根为，题目中结果为，与不符，③错误，符合题意； 说法④：0的平方根是0； 根据定义，0的平方根仅有0本身，④正确，不符合题意； 综上，错误的说法为②和③，共2个， 故选：B． 【题型6.一个数的平方根如何求解】 【典例】64的平方根是 【答案】 【分析】本题考查了平方根的概念，需注意正数有两个平方根． 根据平方根的定义，一个数的平方根是另一个数，其平方等于原数． 【详解】解：∵，， ∴64的平方根是， 故答案为：． 【跟踪专练1】若，则的平方根是（    ） A． B． C．或 D．1或3 【答案】C 【分析】本题主要考查了平方根的概念，熟知如果一个数的平方等于，那么这个数就叫的平方根是解题的关键． 由 可得 x 的值，代入 求值，再求其平方根. 【详解】解：∵ ， ∴ . 当时，，的平方根为； 当时，，的平方根为. ∴的平方根是或. 故选：C． 【跟踪专练2】若m是的平方根，是n的一个平方根，且，则 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查了平方根的定义等知识点，掌握相关概念是解题的关键． 先计算的值，再根据平方根的定义和条件确定的值；由是的一个平方根求的值；最后计算． 【详解】解：∵， ∴ ∵ 是 的平方根，且 ， ∴ ∵，且 是 的一个平方根， ∴ 则 故答案为：8． 【题型7.已知平方根,反求原数的方法】 【典例】若a的平方根是，则a的值为（    ） A． B． C．7 D．49 【答案】D 【分析】本题主要考查平方根的定义，根据平方根的定义，若一个数的平方根是，则该数． 【详解】∵ a的平方根是， ∴ ， ∴ a的值为49． 故选：D． 【跟踪专练1】若一个正数的两个平方根为和，则这个数是 ． 【答案】25 【分析】本题考查平方根，根据平方根的性质，一个正数的两个平方根互为相反数，由此列出方程求解． 【详解】解：由题意，得， 解得， 则这个正数为． 故答案为：25． 【跟踪专练2】已知一个正数的两个平方根分别是和，则的值是（    ） A． B．5 C． D．25 【答案】D 【分析】本题考查了平方根的性质． 根据平方根的性质，正数的两个平方根互为相反数，列出方程求解n的值，再代入任一平方根表达式计算m即可． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是和， ∴ 解得： ∴m的值为： 故选：D． 【题型8.利用平方根解方程】 【典例】若且满足，则 ． 【答案】 【分析】该题考查了利用平方根解方程，掌握平方根的概念是解本题的关键． 根据题意求出，结合，即可解答． 【详解】解： 故答案为：． 【跟踪专练1】定义一种新运算“*” ∶ 则中x的值为（   ） A．1 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】本题考查新定义，根据新定义运算的规则，将已知条件代入，转化为一元二次方程，运用平方根求解即可． 【详解】解：根据定义，运算“*”的规则为， ∵， ∴， 解得： 故选：D． 【跟踪专练2】已知，则 ． 【答案】9 【分析】本题考查换元法解一元二次方程，平方差公式，解题的关键是学会用整体思想解决问题．注意． 利用整体思想，令，则有，从而得到，再利用求平方根解方程即可． 【详解】解：令， ， ， ， ， ， ． 故答案为：9． 【题型9.立方根的核心概念解析】 【典例】下列说法不正确的是（　　） A．的立方根是 B． C．的平方根是 D．0没有算术平方根 【答案】D 【分析】本题考查了立方根、平方根和算术平方根，掌握相关定义是解题关键．根据立方根、平方根、算术平方根的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、的立方根是，原说法正确，不符合题意； B、，原说法正确，不符合题意； C、，的平方根是，原说法正确，不符合题意； D、0有算术平方根，原说法不正确，符合题意； 故选：D． 【跟踪专练1】已知，，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方根、算术平方根、立方根的概念等，根据平方根、算术平方根、立方根的概念依次求解即可，属于基础题，熟练掌握其定义是解决本类题的关键． 【详解】解： ∵， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练2】下列说法中正确的是（    ） A．1的平方根和立方根都等于它本身 B．若，则 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方根，立方根，算术平方根，根据平方根，立方根，算术平方根的定义逐句进行判断即可．熟练掌握相关定义是解题的关键． 【详解】解：A、1的平方根是，故A选项错误； B、若，则，故B选项错误； C、，，故C选项错误； D、，故D选项正确． 故选：D． 【题型10.立方根的具体求解步骤】 【典例】的立方根为 ． 【答案】 【分析】本题考查了求一个数的立方根，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据立方根的定义求解． 【详解】解：的立方根为， 故答案为：． 【跟踪专练1】下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平方根、算术平方根和立方根的性质，熟练掌握其定义和性质是解题的关键． 根据立方根、算术平方根和平方根的定义，直接计算每个等式的值，判断是否正确即可． 【详解】解：A、 ，故该选项说法错误，不符合题意； B、，故该选项说法正确，符合题意； C、，故该选项说法错误，不符合题意； D、，故该选项说法错误，不符合题意； 故选：B． 【跟踪专练2】若是的算术平方根，是的立方根，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了立方根，算术平方根，根据算术平方根的定义求出的值，根据立方根的定义求出的值，即可得出结果，熟练掌握这两个定义是解题的关键． 【详解】解：∵是的算术平方根， ∴， ∴， ∵是的立方根， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型11.已知立方根.反推原数的技巧】 【典例】已知一个数的立方根是，那么这个数是（   ） A． B．1 C．0 D． 【答案】A 【分析】本题考查立方根，根据立方根的定义求解即可． 【详解】解：∵立方根是， ∴这个数为， 故选：A． 【跟踪专练1】已知，则x的值为 ． 【答案】0或1或2 【分析】本题主要考查了根据立方根求原数．根据题意可得的立方根是它本身，则或，据此求出x的值即可． 【详解】解：∵， ∴的立方根是它本身， ∴或， ∴或或， 故答案为：0或1或2． 【跟踪专练2】若，，则约为（   ） A．3260 B．32600 C．326000 D．0.326 【答案】C 【分析】本题考查立方根，理解一个数扩大1000倍，则它的立方根扩大10倍是得出正确答案的关键． 根据立方根的定义，得出与被开方数的倍数关系，即一个数的立方根扩大10倍，则被开方数就扩大到1000倍，可得答案． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 【题型12.立方根的实际应用】 【典例】已知一个正方体铁块的体积为，李师傅现准备将这个铁块融化，重新锻造成两个小正方体铁块，其中一个的体积为，则另一个小正方体铁块的棱长是 ． 【答案】5 【分析】本题考查立方根的应用、正方体的体积，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．根据题意先求得另一个小立方体铁块的体积，再根据立方根的定义进行计算即可． 【详解】解：另一个小立方体铁块的体积为， ∴另一个小立方体铁块的棱长为， 故答案为：5． 【跟踪专练1】我们知道，球的体积公式是，若某种型号的皮球的体积为，则这个皮球的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据球的体积公式，代入已知体积求解半径。 【详解】解：设球的半径为r代入公式： ． 两边同时除以， 得． 对216开立方， 得 ． 因此，皮球的半径为． 故选：A． 【跟踪专练2】已知球体的体积，若一个球的体积，则它的半径 ． 【答案】6 【分析】本题考查了立方根的应用，熟记立方根的定义是解题的关键； 根据球体的体积代入公式，再根据立方根计算即可得解． 【详解】解：∵球体的体积公式为，球的体积， ∴， ∴ 故答案为：6． 1．如果一个实数的平方根与它的立方根相等，则这个数是 ． 【答案】0 【分析】本题考查了平方根和立方根，掌握的平方根和立方根的定义是解题的关键． 根据平方根和立方根的定义即可求解． 【详解】解：设这个实数为， 当时，它的平方根是0，立方根是0，二者相等，符合题意； 当时，它的平方根是，立方根是,不符合题意； 综上，这个数是0. 故答案为：0. 2．以下语句其写成式子正确的是（   ） A．7是49的算术平方根，即 B．7是的算术平方根，即 C．是49的平方根，即 D．是49的平方根，即 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根和平方根，分别利用算术平方根和平方根的定义及性质对每个选项逐个分析，即可得到正确的答案． 【详解】解：A．7是49的算术平方根， 即，故该选项错误； B．7是的算术平方根，即，故该选项正确； C．是49的平方根，即，故该选项错误； D．是49的平方根，即，故该选项错误； 故选：B 3．求一个正数的算术平方根，有些数可以直接求得，如，有些数不能直接求得，如，但可以利用计算器求得，还可以通过一组数的内在联系，运用规律求得．请同学们观察下表： 0.04 4 400 40000 … 0.2 2 20 200 … 已知，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要数的开方和数字的变化规律，由表格数据得出规律：被开方数每扩大为原来的100倍，其算术平方根相应的扩大为原来的10倍，据此依据求解可得．解题的关键是得出被开方数每扩大为原来的100倍，其算术平方根相应的扩大为原来的10倍的规律． 【详解】解：由表格数据可知，被开方数每扩大为原来的100倍，其算术平方根相应的扩大为原来的10倍， ， ， 故答案为：． 4．据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：某正整数的立方是59319，求这个正整数．华罗庚脱口而出：39． 华罗庚迅速求出立方根的过程如下： ①由，可以确定是两位数； ②由可知，的十位上的数字是3； ③考虑到1至9的立方中，只有9的立方的个位上的数字是9，所以确定的个位上的数字是9，所以． 请你根据上述步骤求出74088的立方根是 ． 【答案】42 【分析】本题考查立方根，理解题干中的解题方法是解题的关键．根据题干中求立方根的方法和步骤，推理出相应的结果即可． 【详解】解：设74088的立方根是， ， ∴可以确定是两位数， ， ∴的十位数字是4， ∵至9的立方中，个位数字为8的只有2的立方， ∴确定的个位数字是2，即． 故答案为：42 ． 5．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查绝对值，算术平方根，有理数的乘方，解题的关键是求出和的值． 根据绝对值和算术平方根的非负性，解得和的值，代入计算即可． 【详解】解：，，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴ ∴ 故选：． 6．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了算术平方根及立方根的计算，化简绝对值，熟练掌握算术平方根、立方根的计算及化简绝对值是解题的关键．根据算术平方根及立方根的定义及绝对值的性质，即可判断答案． 【详解】解：A、因为，所以选项A错误，不符合题意； B、因为，所以选项B错误，不符合题意； C、因为，所以选项C错误，不符合题意； D、因为，所以，所以选项D正确，符合题意． 故选：D． 7．大、中、小三个正方形摆放如图所示，若大正方形的面积为6，小正方形的面积为1，则正方形的边长可能是（    ） A．1 B．1.3 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根，根据正方形的面积公式求得大正方形和小正方形的边长，即可确定正方形的边长的取值范围，据此判断即可． 【详解】解：由正方形的面积公式得：大正方形的边长为，小正方形的边长为1， ∴正方形的边长x的取值范围是， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴正方形B的边长可以是． 故选：C． 8．如图所示为一个按某种规律排列的数阵． 根据数阵规律，第八行第十三个数是( ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数字的变化规律，根据数字的变化找出规律求值是解本题的关键．找出规律，计算求值即可． 【详解】解：第一行有个数， 第二行有个数， 第三行有个数， ， 第行有个数， 前行包含第行数的总个数为：， 第八行数的个数为：， 前八行包含第八行数的总个数为：， 根据规律，可知第八行的最后一个数为：， ，， 第八行第十三个数是 故选：D． 9．已知与互为相反数，的立方根是2，则的平方根为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了相反数的定义，立方根，平方根，正确掌握相关定义是解题关键．先利用立方根、互为相反数的定义得出，，的值；代入求解得出的值，再求解平方根即可． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴，， 解得：，， ∵的立方根是2， ∴， ∴ ∴ ∴的平方根是． 故答案为：． 10．已知与是正数的平方根，则的值是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了平方根，由平方根的性质可得与相等或互为相反数，分别求出的值进而即可求解，掌握平方根的性质是解题的关键． 【详解】解：∵与是正数的平方根， ∴与相等或互为相反数， ∴或， 解得或， 当时，， ∴； 当时，， ∴， 故答案为：或． 11．解方程 (1) (2) 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查平方根和立方根，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）方程直接开立方求解即可； （2）原式移项变形后直接开平方求解即可． 【详解】（1）解：， ， 解得； （2）解：， ， ， 即或． 12．已知的一个平方根是，的立方根是3． (1)求的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查平方根，算术平方根和立方根．熟练掌握相关知识点，是解题的关键． （1）根据平方根和立方根的定义，求出x、y的值即可； （2）将x、y的值代入，化简后，再求算术平方根即可． 【详解】（1）解：的一个平方根是， ，解得． 的立方根是3， ， ，解得． ； （2）解：由（1）知，， ， 的算术平方根为2， 的算术平方根为2． 13．已知，． (1)已知x的算术平方根为3，求a的值； (2)如果x，y都是同一个正数的两个平方根，求这个数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查算术平方根，平方根，解一元一次方程，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据算术平方根的定义求出，即得关于的方程，求解即可； （2）一个正数的两个平方根互为相反数，据此列方程求出，再求即可． 【详解】（1）解：∵x的算术平方根为3， ∴， 即 ； （2）解：∵x，y都是同一个正数的两个平方根， 解得， ∴． 答：这个数是． 14．观察下表： 0.0001 0.01 1 100 10000 0.01 0.1 1 10 100 (1)由上表你发现了什么规律？请用语言叙述这个规律：__________________； (2)根据你发现的规律填空：已知． 则___________，___________； 若，则___________； (3)拓展提升： ①已知，则___________； ②已知，则___________． 【答案】(1)被开方数的小数点向左或向右移动两位，它的算术平方根的小数点就向左或向右移动一位 (2)，， (3)①；② 【分析】本题考查算术平方根、立方根定义和性质，掌握其性质是解题的关键． （1）由于被开方数的小数点每移动两位，相应的算术平方根的小数点相应移动一位，由此即可解决问题； （2）利用（1）中发现的规律进而分别得出各数据答案； （3）①、②被开方数每移动三位，立方根就相应移动一位．利用此规律即可求解． 【详解】（1）解： 由表格可以发现：被开方数的小数点向左或向右移动两位，它的算术平方根的小数点就向左或向右移动一位．或者：被开方数扩大或缩小百倍，它的算术平方根就扩大或缩小十倍． 故答案为：被开方数的小数点向左或向右移动两位，它的算术平方根的小数点就向左或向右移动一位； （2）解：∵． ∴，； 若，则， 故答案为：，，； （3）解：①∵知， ∴， 故答案为：； ②∵， ∴， 故答案为：． 15．如图，用两个边长为的小正方形纸片拼成一个大的正方形纸片． (1)则大正方形的边长为______； (2)沿着大正方形纸片的边的方向截出一个长方形纸片，能否使截得的长方形纸片长宽之比为，且面积为？请说明理由． 【答案】(1) (2)不能，理由见解析 【分析】本题考查了算术平方根的实际应用，注意计算的准确性即可； （1）由题意得：大正方形的面积为：，即可求解； （2）假设能截出满足题意的长方形纸片，设它的长、宽分别为，则， 解得：，推出，与大正方形的边长对比即可得出结论； 【详解】（1）解：由题意得：大正方形的面积为：， ∴大正方形的边长为； 故答案为：4． （2）解：假设能截出满足题意的长方形纸片，设它的长、宽分别为， 则， ∴， 解得：或（舍去）； ∴； ∵， ∴， ∴不能截得长宽之比为，且面积为的长方形纸片． 16．如图，数轴上A，B，C三点表示的数分别为a，b，c．已知b是最小的正整数，且a，c满足． (1)求式子的值． (2)若将数轴折叠，使得点A与点B重合，求与点C重合的点表示的数． (3)已知数轴上存在一点D，使得，求点D表示的数． 【答案】(1)64 (2)－7 (3)点D表示的数是0或4 【分析】（1）根据非负数的性质即可确定出、的值，然后代入进行计算即可得； （2）根据是最小的正整数，确定出点、点的对称点所表示的数，通过计算即可得出与点重合的点表示的数； （3）分点在点的左边、点在点，之间、点在点的右边三种情况进行讨论即可得． 【详解】（1）解：（1）∵， ∴，， 解得，， ∴． （2）解：∵是最小的正整数， ∴． ∵， ∴，， ∴与点重合的点表示的数是． （3）解：设点表示的数为．分以下三种情况讨论： 若点在点的左侧，则，解得（不合题意，舍去）； 若点在点，之间，则，解得； 若点在点的右侧，则，解得． 综上所述，点表示的数是0或4． 【点睛】本题考查的是非负性的应用、数轴上两点之间的距离、中点公式和一元一次方程的应用，掌握平方、绝对值的非负性、数轴上两点之间的距离公式、中点公式和等量关系是解决此题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $专题01平方根.立方根寒假预习核心讲义 1 预习目标 ● 理解平方根、算术平方根、立方根的定义，明确三者的区别与联系。 掌握平方根、立方根的计算方法，能准确求解非负数的平方根、算术平方 根和任意实数的立方根。 会用符号表示平方根、算术平方根和立方根，熟练进行简单的根式运算。 预习内容概览 预习必备 1,平方根（重点预习） 2.立方根 知识点梳理 3.平方根与立方根的核心区别与联 4.预习关键提醒 系 1算术平方根的求解方法 2.巧用算术平方根的非负性解题 3.与算术平方根相关的规律探索题 4.算术平方根的实际应用 常考题型 5.平方根的概念辨析与理解 6.一个数的平方根如何求解 精讲精炼 7.已知平方根，反求原数的方法 8.利用平方根解方程 9.立方根的核心概念解析 10.立方根的具体求解步骤 11.已知立方根，反推原数的技巧 12.立方根的实际应用 强化巩固 (16题) 题型通关 3 知识点梳理 【知识点01.平方根】 1.核心定义一一从“平方逆运算” 如果一个数x的平方等于a(即x2=a,a是具体的数或字母表达式)，那么 这个数x就叫做a的平方根（也叫二次方根）。 通俗理解：已知x2=a,反过来求x,求得的x就是a的平方根。比如：因为32=9， (-3)2=9,所以当a=9时，x=3或x=-3,即3和-3都是9的平方根。 试卷第1页，共3页 2.符号表示—规范书写是关键 a的平方根记作：±V点（读作“正负根号a”),其中“√”是平方根符号（也 叫二次根号)，被开方数是a。 注意：符号“±Va”是一个整体，不能拆分理解；只有当a满足特定条件时， 这个符号才有意义（具体条件见下方性质）。 3.重要性质一必须熟记的核心规律 被开方数的取值范围：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数；0只 有一个平方根，就是0本身；负数没有平方根（因为任何实数的平方都不可能是 负数)。 平方根与平方的互逆性：①若x是a的平方根，则x2=a;②若x2=a,则 x=±ya(前提是a≥0，否则x不存在)。 非负性关联：因为平方根中被开方数需满足a≥0，且算术平方根是平方根中的 非负部分，所以Va≥0(a≥0)，即被开方数非负、算术平方根非负，这是重 要的双重非负性结论。 4.特别区分一算术平方根（平方根的非负版本”）》 定义：若x2=a(a>0),则正的那个平方根x叫做a的算术平方根，记作x=Va ；当a=0时，0的算术平方根是0，即V6=0。 符号表示：a的算术平方根记作√（读作“根号a”)，注意此时符号前没有 “±”，默认是正数或0。 ①当a>0时，平方根有2个：x=±V(一正一负，互为相反数)，算术平方 根只有1个：x=√a (正数)； ②符号区别：平方根为±ya,算术平方根为Va: ③取值限制：两者均要求被开方数a≥0，且算术平方根满足ya≥0。 【知识点02.立方根（对比预习.突出于平方根的差异）】 1.核心定义一类比平方根，理解立方逆运算 试卷第1页，共3页 如果一个数x的立方等于a(即x=a),那么这个数x就叫做a的立方根（也 叫三次方根)。 通俗理解：已知x3=a,反过来求x,求得的x就是a的立方根。 2。符号表示—注意与平方根的符号区别 a的立方根记作：x=a(读作“三次根号a”),其中“”是立方根符号 (也叫三次根号)，被开方数是a,符号左上角的“3”是根指数，不能省略； 而平方根的根指数是2，通常省略，即V其实是。 注意：立方根符号“a”前没有“士”，因为对于任意实数a,满足x=a的 x只有一个，即点是唯一的。 3.重要性质一对比平方根，强化记忆 被开方数的取值范围：任意实数a都有立方根，具体为：当a>0时，>0： 当a=0时，6=0；当a<0时，a<0(与平方根最大的区别：平方根要求a ≥0，负数无平方根)。 【知识点03.平方根与立方根的核心区别与联系（核心难点，重点对 比】 1.核心区别（表格梳理，清晰直观) 立方根与立方的互逆性：①若x是a的立方根，则x3=a;②若x3=a,则 x=a (a为任意实数，无需限制取值)。 对比维度 平方根（生石 立方根〈 根指数 2(通常省略， 3(不能省略) 被开方数取值范围 a≥0（非负数），当a<0时，± a为任意实数（正数、0、负数均可） 石无意义 结果的个数 a>0时，有2个： (互为 任意实数都只有1个立方根 试卷第1页，共3页 对比维度 平方根（生石 立方根〈 相反数)；a0时，有1个： 6 =0 结果的符号 ao时，为士石一正一负)a0形柜0a0时60 a0时，为0 时， 60 特殊符号规则 需加“士”表示两个平方根（士 无需加“±”，符号由被开方数决定： V石），不加“士”款认是算术 石的符号与a的符号一致(a0则 平方根（5产0) 0.a0则60 特殊结论： 互为相反数的两个数的立方根也互为相反数，即-a=( 为任意实数)； 2.核心联系 (1)都是“开方运算”，是“乘方运算”的逆运算（平方根对应平方的逆运算， 立方根对应立方的逆运算)； (2)0的平方根和立方根都是0； (3)都有明确的符号表示，且被开方数是运算的核心对象。 【知识点04.预习关键提醒】 1. 不要混淆“平方根”和“算术平方根”：V≥0（算术平方根，非负）， ±V才是两个平方根，比如V4=2(不是±2)，±V4=士2： 2. 不要忽略被开方数的取值范围：遇到√a时，首先要想到a≥0（否则√无 意义)；遇到a时，a为任意实数，均有意义； 3. 不要省略立方根的根指数“3”：不能写成，两者意义完全不同 (是平方根，是立方根)； 试卷第1页，共3页 4. 记住“双重非负性”：算术平方根满足Va≥0且a≥0，这是后续解题的 关键，需理解“为什么非负”（因为算术平方根是正的平方根或0）。 常考题型精讲精练 【题型1.算术平方根的求解方法】 【典例】√4的值是() A.±2 B.2 C.-2 D.√2 【跟踪专练1】若x是25的算术平方根，y是-8的立方根，则少的值为」 【跟踪专练2】下列各组数中，互为相反数的一组是() A.--2与-8 B.3与-√-3) C.-2与2 D.√2+1与√2-1 【题型2.巧用算术平方根的非负性解题】 【典例】若实数a,b满足Va+3+(b-4)2=0,则b+a的值是 【跟踪专练1】已知Vx+1+y+2=0,那么(x+y)2025的值为() A.1 B.-1 C.32025 D.-32025 【跟踪专练2】若x,y为实数，且(x+)2+√y-2=0,则x的值为一 【题型3.与算术平方根相关的规律探索题】 【典例】已知V7=a,√70=b,则√700的值是() A.10a B.10b C.100a D.100b 【跟踪专练1】利用计算器，得0.05≈0.2236，√0.5≈0.7071，√5≈2.236，√50≈7.071， 按此规律.可得√500的值约为 【跟踪专练2】用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下： 0.0625 0.625 6.25 62.5 625 6250 62500 0.25 0.7906 2.5 7.906 25 79.06 250 试卷第1页，共3页 根据以上规律，若√1.71≈1.31,17.1≈4.14，则1710≈（) A.41.4 B.13.1 C.414 D.131 【题型4.算术平方根的实际应用】 【典例】电流通过导线时会产生热量，电流I、导线电阻R、通电时间t与产生的热量Q满 足公式9=12RtI>0),当2=30，R=5,t=1时，1= 【跟踪专练1】如果一个正方形的面积为40，那么它的边长在哪两个相邻的整数之间() A.5和6之间B.6和7之间 C.7和8之间 D.8和9之间 【跟踪专练2】如图，从一个大正方形中裁去面积为4cm2和25cm的两个小正方形，则阴影 部分的面积为」 25cm2 4cm 【题型5.平方根的概念辨析与理解】 【典例】中国清代学者华蘅芳与英国人傅兰雅合译的《代数术》卷首有“代数之法，无论何 数，皆可以任何记号代之”，则2的平方根用符号可表示为() A.22 B.√2 C.√2 D.±√2 【跟踪专练1】若一个正数的两个平方根分别为2x+3与x-9,则x等于 【跟踪专练2】下列说法： ①√5是5的一个平方根； ②(-3)的算术平方根是-3： ③√4的平方根是±2： ④0的平方根是0. 其中错误说法的个数是() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【题型6.一个数的平方根如何求解】 【典例】64的平方根是 试卷第1页，共3页 【跟踪专练1】若x2=16,则5-x的平方根是() A.±1 B.3 C.±1或±3 D.1或3 【跟踪专练2】若m是--4)的平方根，（-2)是n的一个平方根，且m<0,则 m+n= 【题型7.已知平方根，反求原数的方法】 【典例】若a的平方根是±7，则a的值为() A.-49 B.-7 C.7 D.49 【跟踪专练1】若一个正数的两个平方根为a+1和2a-13,则这个数是」 【跟踪专练2】已知一个正数m的两个平方根分别是2n+1和n-7,则m的值是() A.-5 B.5 C.-25 D.25 【题型8.利用平方根解方程】 【典例】若x<0且满足x2-25=0,则x= 【跟踪专练1】定义一种新运算“*”：a*b=b2-a,则5*x=4中x的值为（) A.1 B.±1 C.3 D.±3 【跟踪专练2】已知x2+4y2+1x2+4y2-1=80,则x2+4y2= 【题型9.立方根的核心概念解析】 【典例】下列说法不正确的是() A.-8的立方根是-2 B.±V4=2 C.⑧1的平方根是3 D.0没有算术平方根 【跟踪专练1】已知V2.14=1.463,√21.4=4.626,0.214=0.5981,2.14=1.289，则 ±V0.0214= 【跟踪专练2】下列说法中正确的是() A.1的平方根和立方根都等于它本身B.若Va-1)2=a-1,则a>1 C.0.64=0.4 D --52=-5 【题型10.立方根的具体求解步骤】 试卷第1页，共3页 【典例】一 8的立方根为， 【跟踪专练1】下列各式中，正确的是() A.8=±2 B.1=-1 C.√4=±2 D.±√27=3 【跟踪专练2】若x+3是9的算术平方根，y+1是-27的立方根，则x+y=一 【题型11.己知立方根.反推原数的技巧】 【典例】已知一个数的立方根是-1，那么这个数是() A.-1 B.1 C.0 D.-0.1 【跟踪专练1】己知x-1=x-1,则x的值为」 【跟踪专练2】若326≈6.88，≈68.8，则x约为() A.3260 B.32600 C.326000 D.0.326 【题型12.立方根的实际应用】 【典例】已知一个正方体铁块的体积为343℃m3,李师傅现准备将这个铁块融化，重新锻造 成两个小正方体铁块，其中一个的体积为218cm,则另一个小正方体铁块的棱长是」 cm. 【跟踪专练1】我们知道，球的体积公式是V=4元 w,若菜种型号的皮球的体积为288cm ,则这个皮球的半径为() A.6cm B.9cm C.12cm D.18cm 【跟踪专练2】已知球体的体积y=4户，若一个球的体积y=288πcm,则它的半径r 3 cm. 强化巩固通关 1.如果一个实数的平方根与它的立方根相等，则这个数是 2.以下语句其写成式子正确的是() A.7是49的算术平方根，即√49=±7 B.7是(-7)的算术平方根，即V(-7)2=7 试卷第1页，共3页 C.7是49的平方根，即±√49=7 D.7是49的平方根，即√49=±7 3.求一个正数的算术平方根，有些数可以直接求得，如√4=2，有些数不能直接求得，如 √万，但可以利用计算器求得，还可以通过一组数的内在联系，运用规律求得.请同学们观 察下表： n 0.04 4 400 40000 0.2 2 20 200 己知V2.06≈1.436，√20.61≈4.540，则V20610 4.据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志 上有一道智力题：某正整数的立方是59319，求这个正整数n.华罗庚脱口而出：39. 华罗庚迅速求出立方根的过程如下： ①由103=1000,1003=1000000，可以确定n是两位数； ②由303=27000,403=64000,27000<59319<64000可知，的十位上的数字是3： ③考虑到1至9的立方中，只有9的立方的个位上的数字是9，所以确定的个位上的数字 是9，所以n=39. 请你根据上述步骤求出74088的立方根是· 2025 5.已知la-3到+3+b=0,则0 =() A.1 B.-1 C.2 D.-2 6.下列计算正确的是() A.V36=±6B.364=±4 C.V(-5)2=-5 D.I1-√2=√2-1 7.大、中、小三个正方形摆放如图所示，若大正方形的面积为6，小正方形的面积为1，则 正方形ABCD的边长可能是() 试卷第1页，共3页 D A.1 B.1.3 C.5 D.6-1 8.如图所示为一个按某种规律排列的数阵. 第一行 1√2 第二行 3256 第三行 √78310√i√12 第四行 1314√15417181920 … 根据数阵规律，第八行第十三个数是() A.√72 B.√7i C.√70 D.V69 9.已知a-6与√a+2b互为相反数，c+5的立方根是2，则a-2b-c的平方根为一 10.已知2a-1与-a+2是正数m的平方根，则m的值是」 11.解方程 (1)(x-4)3=-27 (2)4x2-9=0 12.已知x+2的一个平方根是-2,2x+y-1的立方根是3. (1)求y的值； (2)求√y-4x的算术平方根. 13.已知x=1-2a,y=3a-4. (1)己知x的算术平方根为3，求a的值； (2)如果x,y都是同一个正数的两个平方根，求这个数， 14.观察下表： 0 0.0001 0.01 1 100 10000 a 0.01 0.1 1 10 100 试卷第1页，共3页