精品解析：山东省德州市第九中学2025-2026学年八年级上学期第二次月考数学试题

八年级数学学科单元检测题 一、单选题（每题4分，共40分） 1. 中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广，下列四个选项中，是轴对称图形的为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形． 根据轴对称图形的定义即可求解． 【详解】解：根据轴对称图形的定义可得只有“中”字是轴对称图形，符合题意， 故选：C． 2. 下列从左到右的变形，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的意义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，结合选项进行判断即可． 【详解】解：A．，是整式的乘法，不是因式分解，不符合题意； B．，等式右边不是乘积形式，不是因式分解，不符合题意； C．，右边不是整式，不是因式分解，不符合题意； D．，右边是整式的积，是因式分解，符合题意； 故选：D． 3. 下列计算中，正确的是（  ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂乘除法计算，积的乘方计算和合并同类项，根据相关计算法则求出对应选项中式子的结果即可得到答案． 【详解】解：A、，原式计算正确，符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：A． 4. 如图，已知，，如果只添加一个条件使，则添加的条件不能为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理． 根据全等三角形的判定定理逐项进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， 即， A.根据，，，无法判定， 该选项符合题意； B.∵，，， ∴， ∴该选项不符合题意； C. ∵，，， ∴， ∴该选项不符合题意； D. ∵，，， ∴， ∴该选项不符合题意； 故选：A． 5. 一个等腰三角形的两边长分别为，，则它的周长为（ ） A. 12 B. 16 C. 20 D. 16或20 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质和三角形的三边关系．分情况讨论等腰三角形的腰长是解题关键． 分两种情况讨论：当腰长为4时，不满足三边关系；当腰长为8时，满足三边关系，计算周长即可． 【详解】解：∵等腰三角形两边长分别为4和8， ∴可能情况：腰为4，底为8；或腰为8，底为4， 当腰为4，底为8时， ∵ ，不符合三角形三边关系， ∴该情况不成立； 当腰为8，底为4时， ∵，，，均满足三边关系， ∴ 周长为． 故选：C． 6. 如图，在中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据尺规作图痕迹，可得DF垂直平分AB，BE是的角平分线，根据垂直平分线的性质和角平分线的定义，直角三角形两锐角互余，等边对等角的性质进行判断即可． 【详解】根据尺规作图痕迹，可得DF垂直平分AB，BE是的角平分线， ， ， ， 综上，正确的是A、C、D选项， 故选：B． 【点睛】本题考查了垂直平分线和角平分线的作图，垂直平分线的性质，角平分线的定义，直角三角形两锐角互余，等边对等角的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 7. 在日常生活中，经常会用到密码，有一种利用“因式分解”法生成的密码，方便记忆．如将因式分解的结果为，取个人年龄作为的值，当时，，由此可以得到数字密码1016．小旭按这种方式将因式分解后，取自己的年龄14设置了一个密码，他设置的密码可能是（ ） A. 141414 B. 141315 C. 131413 D. 151415 【答案】B 【解析】 【分析】对多项式先进行因式分解，再代值求出各因式的值，然后组合成密码． 【详解】解：， 当时，，，， 他设置的密码可能是131415或131514或141315或141513或151314或151413，只有选项B符合． 8. 如图，在中，是边上的中线，，，E，F分别是垂足．已知，则与的长度之比是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的面积，三角形的角平分线、中线和高，根据三角形的中线把其面积分成相等的两个三角形得出和的面积相等，再根据三角形面积公式计算即可得出高之间的关系． 【详解】解：∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， 即与的长度之比是， 故选：C． 9. 若，，则的值是（ ） A. 2024 B. 2025 C. 2026 D. 4050 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题关键． 通过设，将原式转化为关于和的等式，利用已知平方和求值． 【详解】∵，， 设，则，， 将两式相加得：， ∴， ∴， 又∵， ∴． 故选B． 10. 如图，的外角，的平分线、交于点D，于E，于F，点P在上，，则下列结论中错误的是（ ） A. 平分 B. C. 若，则 D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点作于，由角平分线的性质得到，然后利用角平分线的判定定理即可得到平分，进而判断A；由结合三角形面积即可判断B；由角平分线的定义得到，，然后结合三角形外角的性质得到，然后由平分即可得到，即可判断C；证明出，得到，证明出，得到，然后等量代换即可判断D． 【详解】解：A．过点作于， ∵平分，， ∴， 又平分，，， ∴， ∴， 又，， ∴平分，故A正确； B．由①知， ，故B正确； C．∵平分平分， ∴，， ∴ ∴ ∵平分， ∴，故C错误； D．∵， ∴ ， ， 又∵，， ， ， 在 和中， ， ， ， ， ，故D正确． 故选：C． 【点睛】本题考查角平分线的性质和判定定理，三角形的面积公式，三角形的外角性质，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是熟练运用角平分线的性质和三角形的相关定理进行推理计算． 二、填空题（每题4分，共20分） 11. 计算__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查单项式乘以多项式的运算，根据单项式乘以多项式的运算法则求解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 12. 若是一个完全平方式，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查完全平方公式，熟记公式是解题的关键．根据完全平方公式的特征直接进行求解即可． 【详解】解：是一个完全平方式， ， ． 故答案为：． 13. 如图，，在的平分线上，，垂足为，点在上，若，，则的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是角平分线的性质、含30度角的直角三角形的性质、等腰三角形的判定和性质，熟记角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 过点作与于，根据角平分线的性质得到，根据含30度角的直角三角形的性质求出，根据平行线的性质、角平分线的定义得到，再根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：如图，过点作与于， 平分，，， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， 的面积为：， 故答案为：． 14. 计算图中阴影部分的面积是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式乘法在几何图形中的应用，阴影部分的面积等于一个长为，宽为的长方形面积减去一个长为，宽为的长方形面积，据此列式求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 15. 如图，，点M、N分别是边上的定点，、分别是边、上的动点，记，，当最小时，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查轴对称—最短路径问题、三角形外角的性质．作关于的对称点，关于的对称点，连接，则当四点共线时，最小，可得，，根据三角形的外角的性质和平角的定义即可得到结论． 【详解】解：如图，作关于的对称点，关于的对称点，连接， 由轴对称的性质可得， ∴， ∵点M、N分别是边上的定点， ∴点是定点， ∵， ∴当四点共线时，最小， ，， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题 16. 因式分解： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键． （1）利用完全平方公式分解因式即可； （2）先提取公因式a，再利用平方差公式分解因式即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算及化简求值，先利用整式的运算法则进行化简，再把的值代入到化简后的结果中计算即可求解，掌握整式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式 ． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为． （1）在图中作出关于x轴的对称图形； （2）直接写出点C关于y轴的对称点的坐标：______； （3）求图形的面积． 【答案】（1） 如图： （2） （3）5 【解析】 【分析】本题考查了轴对称、梯形的面积，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据轴对称的定义作图即可； （2）根据图象即可解题； （3）根据梯形的面积公式进行计算． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：点C关于y轴的对称点的坐标为； 故答案为：； 【小问3详解】 解：如图： 由图可知四边形为梯形，，， ∴ ． 19. 如图，在四边形中，，,于点，交于点，连结，若平分． （1）求证：； （2）若，,求的长． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）4 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； （1）根据垂直可得，再根据角平分线求得，然后证得，得到，再证，即可求解； （2）由（1）得到，然后即可求解； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得， ∵， ∴， ∵， ∴； 20. 如图，在中，边的垂直平分线分别交边，于点，，过点作于点，且为线段的中点． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：连接， ∵于点D，且D为线段的中点， ∴垂直平分， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查中垂线的判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）连接，由题意可判定垂直平分，由线段垂直平分线的性质可得，即可证明结论； （2）由等腰三角形的性质可求，由直角三角形的性质可得的度数，即可求得的度数，进而可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 21. 阅读例题，解答下列问题 例：试说明对于任何实数x，均有 解： （1）试说明对于任何实数x，均有：； （2）利用例题中的代数式配方法，试判断代数式的最值情况，当 时，函数存在 （填“最大值”或“最小值”）请说明理由． （3）不论x为何实数，多项式的值总大于的值．（提示：可将这两个代数式作差） 【答案】（1） 证明： ∴ （2），最大值， 理由如下： ∴ 即当时，函数存在最大值 （3） 证明： 即不论x为何实数，多项式的值总大于的值 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用． （1）仿照题干作答即可； （2）仿照题干进行配方，进而判断即可； （3）将这两个代数式作差，根据差的正负即可判断大小． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 22. 【教材原题】观察图①，用等式表示图中图形的面积的运算为， 【类比探究】 （1）观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和的运算为______． 【应用】 （2）根据图②所得的公式，若，，求的值． （3）若x满足，求的值． 【拓展】 （4）如图③，某学校有一块梯形空地，于点E，，，该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草，经测量种花区域的面积和为102平方米，米，求种草区域的面积和． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）种草区域的面积和为60平方米． 【解析】 【分析】此题主要考查了几何背景下的完全平方公式，准确识图，熟练掌握完全平方公式的结构特征，图形的面积公式是解决问题的关键． （1）根据图②中“阴影部分两个正方形的面积之和=大正方形的面积-两个长方形的面积”得，据此即可得出答案； （2）由（1）的结论得，将代入计算即可得出答案； （3）设，则，进而得，由（1）的结论得，由此即可得出答案； （4）设，则种花区域的面积（米），由此得，由（1）的结论得，进而得种草区域的面积和为（平方米）． 【详解】解：（1）∵图②中大正方形的边长为，阴影部分两个正方形的边长分别为a，b，两个长方形的宽和长分别为a，b， 大正方形的面积为，阴影部分两个正方形的面积分别为，长方形的面积为， 又阴影部分两个正方形的面积之和大正方形的面积两个长方形的面积， ， 故答案为：； （2）由（1）的结论得：， 又， ； （3）设，则， ， ， ， 由（1）的结论得：， ， ； （4）设， 于点E，米， （平方米），（平方米），（平方米），平方米，（米）， 种花区域的面积和为102平方米， ， ， 由（1）的结论得：， ， ， 种草区域的面积和为：（平方米）， 答：种草区域的面积和为60平方米． 23. 阅读下列材料，完成（1）～（3）题． 数学课上，老师出示了这样一道题： 如图1，，，，垂足为，，交的延长线于点，求证：； 【拓展延伸】在上面问题的基础上，老师补充： 如图2，延长交于点G，如果，所在直线交于点F，过F作交延长线于点P，交于点Q，试探究线段，之间的数量关系，并说明理由． 同学们经过思考后，交流了自己的想法： 小彤：“通过观察和度量，发现与有某种数量关系；” 小强：“通过研究发现，将三条线段中的两条放到同一条直线上，即“截长补短”，再通过进一步推理，可以得出结论．” ...... 阅读上面材料，请回答下面问题： （1）求证：； （2）猜想与的数量关系，并证明； （3）探究线段之间的数量关系，并证明． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴； （2） 解：； 证明如下：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 即； （3） 解：线段之间的数量关系为； 证明如下：过点B作交的延长线于点K， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设交于点M， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，灵活运用这些知识是解题的关键． （1）证，则，，由即可得证； （2）猜想；由可证明，则有，再由等腰三角形的性质得，结合，即可证得； （3）线段之间的数量关系为；过点B作交的延长线于点K，由证明，则得，设交于点M，再由证明，得，，最后证明，即可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学学科单元检测题 一、单选题（每题4分，共40分） 1. 中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广，下列四个选项中，是轴对称图形的为（ ） A. B. C. D. 2. 下列从左到右的变形，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算中，正确的是（  ） A. B. C. D. 4. 如图，已知，，如果只添加一个条件使，则添加的条件不能为（ ） A. B. C. D. 5. 一个等腰三角形的两边长分别为，，则它的周长为（ ） A. 12 B. 16 C. 20 D. 16或20 6. 如图，在中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 在日常生活中，经常会用到密码，有一种利用“因式分解”法生成的密码，方便记忆．如将因式分解的结果为，取个人年龄作为的值，当时，，由此可以得到数字密码1016．小旭按这种方式将因式分解后，取自己的年龄14设置了一个密码，他设置的密码可能是（ ） A. 141414 B. 141315 C. 131413 D. 151415 8. 如图，在中，是边上的中线，，，E，F分别是垂足．已知，则与的长度之比是（ ） A. B. C. D. 9. 若，，则的值是（ ） A. 2024 B. 2025 C. 2026 D. 4050 10. 如图，的外角，的平分线、交于点D，于E，于F，点P在上，，则下列结论中错误的是（ ） A. 平分 B. C. 若，则 D. 二、填空题（每题4分，共20分） 11. 计算__________． 12. 若是一个完全平方式，则的值是______． 13. 如图，，在的平分线上，，垂足为，点在上，若，，则的面积是______． 14. 计算图中阴影部分的面积是__________． 15. 如图，，点M、N分别是边上的定点，、分别是边、上的动点，记，，当最小时，则___________． 三、解答题 16. 因式分解： （1） （2） 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为． （1）在图中作出关于x轴的对称图形； （2）直接写出点C关于y轴的对称点的坐标：______； （3）求图形的面积． 19. 如图，在四边形中，，,于点，交于点，连结，若平分． （1）求证：； （2）若，,求的长． 20. 如图，在中，边的垂直平分线分别交边，于点，，过点作于点，且为线段的中点． （1）求证：； （2）若，求的度数． 21. 阅读例题，解答下列问题 例：试说明对于任何实数x，均有 解： （1）试说明对于任何实数x，均有：； （2）利用例题中的代数式配方法，试判断代数式的最值情况，当 时，函数存在 （填“最大值”或“最小值”）请说明理由． （3）不论x为何实数，多项式的值总大于的值．（提示：可将这两个代数式作差） 22. 【教材原题】观察图①，用等式表示图中图形的面积的运算为， 【类比探究】 （1）观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和的运算为______． 【应用】 （2）根据图②所得的公式，若，，求的值． （3）若x满足，求的值． 【拓展】 （4）如图③，某学校有一块梯形空地，于点E，，，该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草，经测量种花区域的面积和为102平方米，米，求种草区域的面积和． 23. 阅读下列材料，完成（1）～（3）题． 数学课上，老师出示了这样一道题： 如图1，，，，垂足为，，交的延长线于点，求证：； 【拓展延伸】在上面问题的基础上，老师补充： 如图2，延长交于点G，如果，所在直线交于点F，过F作交延长线于点P，交于点Q，试探究线段，之间的数量关系，并说明理由． 同学们经过思考后，交流了自己的想法： 小彤：“通过观察和度量，发现与有某种数量关系；” 小强：“通过研究发现，将三条线段中的两条放到同一条直线上，即“截长补短”，再通过进一步推理，可以得出结论．” ...... 阅读上面材料，请回答下面问题： （1）求证：； （2）猜想与的数量关系，并证明； （3）探究线段之间的数量关系，并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $