山东省日照市实验高级中学2025-2026学年高二上学期第三次阶段性考试（1月）数学试题

保密★启用前 试卷类型：A 2024级高二上学期第三次阶段性考试 数学试题 2026.01 注意事项： 1.答题前，考生先将自已的姓名、考生号、座号填写在相应位置，认真核对条形码上的姓名、考生 号和座号，并将条形码粘贴在指定位置上。 2.选择题答案必须使用2B铅笔（按填涂样例）正确填涂：非选择题答案必须使用0.5毫米黑色签 字笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3.请按照题号在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答 题无效。保持卡面清洁，不折叠、不破损。 第】卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符 合题目要求的. 1.若直线1的斜率为5，则1的倾斜角为 A.君 B. c.号 D答 2.下列选项正确的是 A.A)=5A8 B.A+A4=As C Cl3 =Cis D.3C8=8C &.设a,b∈R,i是虚数单位，则复数z=a+白为纯虚数”是“b=0的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.既不充分也不必要条件 D.充要条件 6 4已知a>0,若 的展开式中，常数项等于240，则a= A.3 B.2 C.6 D.4 5.已知长方体ABCD-4B,CD中，AA,=1,AB=2,AD=3,若AA=a,AB=i,AD=c, 则(a+):(6-c)= A.0 B.1 C.4 D.9 6.若(2x-1)°=4+4x+a+4x+a,x+a,则a+a2+a4的值为 A.-121 B.-122 C.121 D.122 1 、小明与小红两人组队同时参加了闯关游戏，两人各自独立闯关互不影响，已知小明能闯关 3 2 成功的概率为亏，小红能闯关成功的概率为 ，则在此游戏被闯关成功的条件下，小明能闯 3 关成功的概率为 7 9 9 8 A. B. C. D. 13 13 15 15 8.如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形和抛物线构成，为保证安全，要 求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5m,2知行车道 总宽度AB=6m,那么车辆通过隧道的限制高度为 不物线 6m A ✉3加 3田 8m A.2.25m B.2.5m C.3.25m D.3.5m 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求.全选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分、 9.已知直线：x+(a-1)y+1=0,直线，2：ax+2y+2=0,则下列结论正确的是 A.4在x轴上的截距为1 B.2恒过定点(0,1》 C.若l∥2，则a=-1或a=8 D.若4L,则a=号 10.下列选项正确的是 A.若随机变量x服从两点纷布（或0-1分布），且()=之，则DC) R B.若随机变量x满足Px=-C，k=0,1,2,则(0=号 C2 ￡. 若随机变量X~B,,则D)=号 D.某人在10次射击中，击中目标的次数为z,蓓Z~B10,0.7),则此人最有可能7次司 目标 2 11.在正方体ABCD-ABGD中，点E,F分别满足A正=AB,BF=μBC(2∈[0，]，u∈[0，])，则 A.当4=时，三棱锥A-BEF的体积为定值 B.当A=时，存在入使得0⊥平面Ar C.当元=)时，点A与点B到平面B,F的距离相等 D.当九=μ时，总有AF⊥C,E 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.某学校要从6名学生中选出3人担任世博会志愿者，则所有的选法有 种.（用 数字作答) 13.已知随机变量XN(3,σ2)，且P(0<X还3)=0.4，则P(X≥6)=」 4.过点M2D作斜率为-3的直线与椭圆C茶+ +岸=1相交于AB两点，若M为线段AB的 中点，则C的离心率为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(13分) 甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率是牙，乙每次击中目标的概率是 2 假设两人是否击中目标相互之间没有影响。 (1)设甲击中目标的次数为X,求X的分布列； (2)求甲恰好比乙多击中目标2次的概率， 16.(15分) 如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC,∠BAC=90°，D,E,F分别是棱AB, BC,CP的中点，AB=AC=1,PA=2. (1)证明：PB∥平面DEF; (2)求直线PA与平面DEF所成角的正弦值. E 17.(15分) 已知F(-1,0),E(L,0),动点P满足PF+PF=4,动点P的轨迹为曲线G. (1)求点P的轨迹方程； (2)过作圆C:x2+y2-的切线，切线与曲线G交于M,N两点，求M. 18.(17分) 某自助餐厅为了吸引顾客，鼓励消费，设置了一个抽奖箱，箱中放有八折、八五折的奖 券各2张，九折、九五折的奖券各3张，每张奖券的形状都相同，每位顾客可以从中任取3 张奖券，最终餐厅将在结账时按照3张奖卷申最优惠的折扣进行结算， (1)若该自助餐厅有A,B两个餐厅，顾客选择去A、B餐厅的可能性是等柯能的顾客甲 第一次随机地选择一个餐厅用餐，如果第一次去A餐厅，那么第二次去A餐厅的概率为0.56； 如果第一次去B餐厅，那么第二次去A餐厅的概率为Q.88,求顾客甲第二次去在餐厅用餐的 概率； (2)求一位顾客抽到的3张奖券的折扣均不相同的概率； （3)若自助餐的原价为100元/位，记一位顾客最终结算时的价格为X,求X的分布列及 数学期望E(). 19.(17分) 已知双曹线C:号茶=a>0b>0的离心率为2点(3，·1D在双曲线C上.过C的 左焦点F作直线I交C的左支于A、B两点. (1)求双曲线C的方程； (2)若M(-2,0),试问：是否存在直线l,使得点M在以AB为直径的圆上？请说明 理由； (3)由P(-4,2),直线AP交直线x=-2于点Q.设直线QA、QB的斜率分别/k1、2 求证：k1-2定值. 2024级高二上学期第三次阶段性考试数学参考答案 一、选择题CDAB CABC;ABD;BCD; ACD 6.【详解】由(2x-1)=a+ax+azx2+a3x3+a4x4+ax5, 令x=1,得(2-1)3=1=a+a1+a2+a3+a4+a5①， 令x=-1,得(-2-105=(-3)°=a。-a+42-43+a4-a②， ①+②得，2(a+a2+a4)=1-35=-242,所以a1+a3+a5=-121.故选：A 3 7.【详解】由题可知，小明能闯关成功的概率为二，此游戏被闯关成功的概率为 --引-引号 3 5=9 则在此游戏被闽关成功的条件下，小明能阅关成功的概率为P=是=3，故选：B. 15 8.【详解】如上图，取抛物线的顶点为原点，对称轴为y轴，建立 y 平面直角坐标系，则C(4,-4),设抛物线方程x2=-2py(p>0), 0 将点C代入抛物线方程解得：p=2,.抛物线方程为x2=一4y， 6m .行车道总宽度AB=6m,∴.将x=3代入抛物线方程， 6mB 解得：y=-2.25m,.车辆通过隧道的限制高度为 8m 6-2.25-0.5=3.25m,故选：C. 1 10.【详解】对于A,若随机变量X服从两点分布，也称0-1分布，且B(X)=,所以成功的概率p= 2 所以D(0=0-产×0-孕+0-×兮-子数4错误： 时于B,若随机变量X满足PX=)=,k=0,,2 则x服从超几何分布，所以X)=2×2=4=名，故B正确： 663 对于C,若随机变量X~B0,的，则D0=2×兮-月-号，放C正确： 对于D,对于D,由题意可知，P(Z=)=C×07*×0310-(k=01,2,3,4,5,6,7,8,9,10j, P2=2P2=k+1》得C%x0:7x0:30t≥C"×071×03t 由 (P(Z=k)2P(Z=k-1)1C$×0.7*×0310-t≥C6x0.7-×03-t' 解得6.7≤k≤7.7，所以k=7,即P(Z=7)最大，此人最有可能7次击中目标，故D正确.故选：BCD, 11.【详解】在正方体ABCD-ARCD中，令AB=1,建立如图所示的空 D 间直角坐标系，如图， B A,0,0),B(1,l,0),A(1,0,I,B,41,10,C(01,1),D,(0,0,1),E0,,0),F(1-4,1,0), 对于Aw=吉8a股=写宁位A正确 对于8，丽-(-0，F=(20-,丽=40， X 则BD,与B,F不垂直，因此BD,与平面B,EF不垂直，B错误： 对于C,当入=}时，E是线段AB的中点，点A与点B到平面B,EF的距离相等，C正确： 对于D,AF=(←41，-)，CE=(1,-1,-1),而4FCE=-4+元-1+1=0，则4F1CE,D对故选：AcD 三、填空题 12.20 13.0.114.3 3 13.【详解】因为随机变量XN(3,o2),则该正态分布曲线的对称轴为X=3, 所以P(0<X3)=P(3<X<6)=0.4,则P(6)=0.5-P(3<X<6)=0.5-0.4=0.1.案为：0.1. 14.【详解】直线AB的斜率为-3，设A(x,),B(x2,2),则x≠x2,*y2, ∫n2x+m2=m2n2 好+m=m2两式相减得m(-)+m26竹-0， 即m(名+x)-x)+m2+%)6-为上0，所以公+业.乃-2=产 为+为为-为m’ 由于业==5业=3，故3， x+x22×22'x-x2 2 所以=3，故r2=3m2>m',所以椭圆的焦点在y轴上，则C的离心率为 m2-2 2 及故答案为： m2 n2 3 15.【详解】（1)由题可知X的所有可能取值为0,1,2,3，且 Px=--Px=-c图-器Px--c()-是P(x-)-(=a 所以X的分布列为 X 0 2 3 27 9 P 27 1 64 64 64 64 (2)设甲恰好比乙多击中目标2次为事件A,甲击中目标2次且乙击中目标0次为事件B,甲击中目 3次且乙击中目标1次为事件B2, 则r(4=P(a)+p(a,)=c×c+c(xc= J3 所以甲恰好比乙多击中目标2次的概率为 28 16.【详解】(1)由题意知E,F分别是BC,CP的中点，所以PB∥EF, 因为EFC平面DEF,PB士平面DEF,所以PB∥平面DEF, (2)由PA⊥平面ABC,∠BAC=90°，可知AB,AC,AP两两垂直，则可以A点为坐标原点，以 AB,AC,AP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图： 则4，a,o.aLa,o0.c@Lo.P002,500,20r02, 所以亚-00,2，正-050)F-(分2 设平面DEF的法向量为 D. D2元=上=0 2 元=(x,y,z), 则 ,令z=1,则x=2,得n=(2,0,1), 1 DF,=-x+ y+z=0 2 2 n.AP 25 设直线PA与平面DEF所成角为O,则sin0= 2×55 故直线PA与平面DF所成角的正弦值为5 17.【详解】(1)由椭圆的定义可知点P的轨迹是以F（-1,0),F2(1,0)为焦点，长轴长为4的椭圆， 所以a2,b5,c1.所以r的方程为+号1. (2)根据题意，设M(x1,),N(x2,2),直线N为x=my叶1(m0),因为直线MN与圆C相切， 所以马则m=1,由专消去x并整理得(3m446my9三0 =my+1, 则△=36m+36(3m4)>0,所以必：w号所以b9%=号 9 故MN-√T+m2.M2FV2.V0t2P-4yp2-4 8.【详解】(1)设A=“第i次去A餐厅用餐”，B:=“第i次去B餐厅用餐”(i=1,2).根据题意得P(A1) =P（B1)=0.5,P（A2A1)=0.56,P(A2B1)=0.88,则P(A2)=P(A1)P（A2A1)+P(B1)P(AB1) =0.5×0.56+0.5×0.88=0.72,故顾容甲第二次去A餐厅用餐的概率为0.72. (2)从10张奖券中任选3张有Ci。=120种方法，取到的折扣均不相同的取法有CC以CC+CCC以C60 种，所以一位顾富：到的3张奖券的折扣均不相同的概率为会 (3)由题意，X的所有可能取值为80,85,90,95，PX=80)=CC+CC=4=8 Cio 12015’ AK8a-盖合rx90-s等金-品（K=9）-是所以X的分布列 Cio Cio 为 80 85 90 95 8 19 5 10 120 120 0+95× 所以B00-80x号+85×号+90×品 =1997 12024 19.详解】（1)因为双曲线C: 三-兰-1的离心率为，且M(3,1)在双曲线c上， e=9=v2 所以 得-克叹C三②联立0②，解得三8，=8，所以双由线的方程炎-每 (2)由（1)知双曲线C的左焦点为F（-4,0),当直线1的斜率为0时，此时直线1的方 程为y=0, 其与双曲线C的左支只有一个交点，不符合题意；当直线1的斜率不为0时，不妨设直线1 (x-my-4 的方程为x=my-4,联立 芒-兰=1消去x并整理得（m2-1)尸-8m+8=0,此时△>0， 88 因为过点F作直线1交C的左支于A,B两点，不妨设A(x1,y),B(x2,y2),由韦达定理 得2=，y2=<0,所以-1<m<1,易知ii=+2,,=+2,),则 MA:MB-(2+201+2)ty12-(m1-2)0my2-2Hy2=（m241）y02-2m（y1+y2） +4=80m2+y)_16m2 m2-m+4-4,所以iA:MiB0, 此时直线MA与MB不相互垂直，故不存在直线1，使得点M在以AB为直径的圆上； (3)证明：易知直线AP的方程为y-2=(x+4),所以0(-2,2+2%)，此时2=22-2=222 2+2m2-2 又1=kp4=72-已，所以k-2=-222=-2四220022-2-2m22r+42mn2mk,因 x1+4 myl my my2-2 my1(my2-2） my(my2-2) 为=号，所以mn=n-2且+归=刚2，此时-===一2，故M- my1(my2-2)y1+y2-2y1 为定值.